初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第15讲 统计的思想方法

第十五讲 统计的思想方法

20世纪90年代，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》一书．事实上，我们的生活、工作离不开数据，要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求．

统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学． 随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法，也是认识客观世界的事物和现象的方法之一．即用样本的某种特征去估计总体的相应特征，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律． 【例题求解】

【例1】 现有A ，B 两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验．每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示．

(1)由观察所得， 班的标准差较大；

(2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获 分才可以及格．

思路点拨 对于(2)，数一数两班在某一分数以上的人数即可，凭直觉与估计得出答案．

注： 平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数，但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的：

(1)平均数易受数据中少数异常值的影响，有时难以真正反映“平均”；

(2)若一组数据有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋势．

【例2】 已知数据1x 、2x 、3x 的平均数为a ，1y 、2y 、3y 的平均数为b ，则数据1132y x +、2232y x +、3332y x +的平均数为( )

A ．2a+3b

B ．b a +3

2

C ．6a+9b

D ．2a+b

思路点拨 运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数．

【例3】 某班同学参加环保知识竞赛．将学生的成绩(得分取整数)进行整理后分成五组，绘成频率分布直方图(如图)．图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1：3：6：4：2，最右边—组的频数是6．结合直方图提供的信息，解答下列问题： (1)该班共有多少名同学参赛?

(2)成绩落在哪组数据范围内的人数最多，是多少?

(3)求成绩在60分以上(不含60分)的学生占全班参赛人数的百分率．

思路点拨 读图、读懂图，从图中获取频率、组距等相关信息．

【例4】 为估计，一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0 (1)通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)； (2)2001年又刘该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是l0个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求该县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率(2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同)； (3)在(2)的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07米3，求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅．计算中需用的有关数据为：

每盒筷子100双，每双筷子的质量为5克，所用木材的密度为0.5×103 千克／米3；

(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来． 思路点拨 用样本的平均水平去估计总体的平均水平． 注：（1）运用数学知识解决实际问题的过程是：从实际问题中获取必要的信息——分析处理有关信息——建立数学模型——解决这个数学问题．

（2）通过图表获取数据信息，收集、整理分析数据，再运用统计量的意义去分析，这是用统计的思想方法解决问题的基本方式． 思路点拨 【例5】 编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中，15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移到篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加4

1

，问原来在篮子A 中有多少个弹珠?

思路点拨用字母分别表示篮子A、B弹珠数及相应的平均数，运用方程、方程组等知识求解．

学历训练

1．某校初二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级，所绘制的统计图如图所示．试结合图示信息回答下列问题：

(1)这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是，培训后考分的中位数所在的等级是．

(2)这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由下降到．

(3)估计该校整个初二年级中，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有名．

(4)你认为上述估计合理吗?理由是什么?

答：，理由．

2．某商店3、4月份出售同一品牌各种规格的空调销售台数如下表：

根据表中数据回答：

(1)商店平均每月销售空调(台)；

(2)商店出售的各种规格的空调中，众数是(匹)；

(3)在研究6月份进货时，商店经理决定(匹)的空调要多进；(匹)的空调要少进．3．为了了解某中学初三年级250名学生升学考试的数学成绩，从中抽取了50名学生的数学成绩进行分析，求得5.

x．下面是50名学生数学成绩的频率分布表：

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样本

根据题中给出的条件回答下列问题：

(1)在这次抽样分析的过程中，样本是 ； (2)频率分布表中的数据a = ，b = ；

(3)估计该校初三年级这次升学考试的数学平均成绩约为 分； (4)耷这次升学考试中，该校初三年级数学成绩在90．5～100．5范围内的人数约为 人． 4

A ．36．?℃

B ．36．8℃

C ．36．9℃

D ．37．0℃

5．甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：

某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大，上述结论正确的是( )

A ．①②③

B ．①②

C ．①③

D ．②③

6．今年春季，我国部分地区SARS 流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下图是某同学记载的5月1日至30日每天全国的SARS 新增确诊病例数据图，将图中记载的数据每5天作为一组，从左至右分为第一组至第六组，下列说法：①第一组的平均数最大，第六组的平均数最小；②第二组的中位数为138；③第四组的众数为28；其中正确的有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

7．某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变．有关数据如下表所示：

（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平．问风景区是怎样计算的？

（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%．问游客是怎样计算的？