线性规划对偶原理

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• • • • •
写出对称形式的对偶规划的要点： (1) min变成max (2) 价值系数与右端向量互换 (3) 系数矩阵转置 (4) ≥ 变 ≤
• 原问题中约束方程的个数=对偶问题中变量的 个数 • 原问题中变量的个数=对偶问题中约束方程的 个数
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非对称形式的对偶
min cx s.t. Ax b x0
(0) 1 xB B b (0) (0) x 可 以 表 示 为 x (0) xN 0
则cBB1(A , I) (c,0) 0
(()) w (A , I) (c,0),
(0) 令w cBB1,由 上 式 ， 得
(0) (0) (0) 即w A c, w 0 ,所 以 ， w 是 (D ) 的 可 行 解
则 x 为 (L) 的 最 优 解
(0)
(0) 同 理 ,w 为 (D ) 的 最 优 解
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例5
M axZ x x3 4x4 1 2x 2 3 x2 2x3 3x4 20 x 1 2 (L) ST : 2x x3 2x4 20 1 x 2 3 x 1, x 2, x 3, x 4 0 M inW 20y 1 20y 2
m in st ..
c x A x b x 0
m a x w b st .. w A c w 0
（2）对称LP问题的对偶问题
m in c x (L) st .. A x b x 0
m a x w b (D) st .. w A c
m a x st ..
w 0 w b
T T T A w c
写成对称形式
min cx s.t. Ax b Ax b x0
对偶问题为：
max wb max ub vb s.t. uA vA c 令w u v s.t. wA c w无限制 u, v 0
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• 例 min 5x1+4x2+3x3 • s.t. x1+x2+x3=4 • 3x1+2x2+x3 =5 • x1 ≥ 0, x2 ≥0, x3 ≥0 • 对偶问题为 • max 4w1+5w2 • s.t. w1+3w2≤5 • w1+2w2 ≤ 4 • w 1 +w 2 ≤ 3
（LP）
3x 1 2x 2 4 x 1, x 2 0
1）原问题任一可行解 x=(1, 1)T 目标值 =40 40是DLP问题最优目标值的上界. 2）对偶问题任一可行解 w=（1 1 1 1） 目标值 =10 10是LP问题最优目标值的下界.
x* 1 6 5 5


T
最 优 值 28 最 优 值 28
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
min cx s .t . A1 x b1 A2 x b2 A3 x b3 x0
max w1b1+ w2b2 + w3b3 s.t. w1A1+ w2A2 + w3A3 ≤c w1 ≥ 0, w3 ≤0
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• • • • • • • • •
变 量
min ≥0 ≤0 无限制 ≥ ≤ =
xTcT
T T (A ) x b
st ..
x 0
变形
m in
(DD)
cx A x b x 0
6
st ..
结论：对偶问题的对偶为原问题。
例2： 写出下列LP问题的对偶问题：
m ax7y 1 8y 2 y 3 3y 1 4y 2 y 3 3 3y 1y 2 y 3 4 ST : 1 y 2 y 3 0 4y 1, y 2, y 3 0 y
M inw 600y 1 400y 2 300y 3 200y 4 3y 1 2y 2 y 3 y 4 2000 4y y 3y 2y 4000 1 2 3 4 ST : 1 2y 2 3y 3 4y 4 3000 2y y1, y2, y3, y4 0
m in 2w w 1 w 2 2 3 1 w 1 w 2 2 3 w
w w w 2 1 2 3 ST : 1 w 1 w 2 w 3 w 约 束 w 1 0w 2无 3 0
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m in 2x 1 x 2 2x 3
(L)
x 1 x 2 2x 3 1 x 1 x 2 x 3 2 ST : 1 x 2 x 3 1 x 约 束 1 0, x 3 0, x 2无 x
y 1 2y 2 1 2y y 2 1 2 (D) ST : 2y 1 3y 2 3 3y 2y 4 2 1 y 1, y 2 0
由 于 x(0) (0 ,0 ,4 ,4)T , 6 1 y , 是 (L),(D ) 的 可 行 解 5 5 且 cx(0) y(0)b 28
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定理2：最优性准则
(0) 若 x(0) , w 分 别 为 (L ),(D ) 的 可 行 解 且 (0) c x(0) w b ， 则 （） 0 （） 0 x ， w 分 别 为 (L )、 (D )问 题 的 最 优 解
证明：
对 原 问 题 的 任 意 可 行 解 x
(0) (0) 由 定 理可 1 知 , cx w b,而 cx(0) w b
引入剩余变量，把(L)化为标准形．
x min (c, 0) xs x s.t. ( A, I ) b xs x 0, xs 0
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(L) 的 最 优 解 为 x(0)， x(0)所 对 应 的 最 优 基 为 B
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* w 0 0 4 4
推论1： 若LP(或DLP)问题有无界解，则其对偶问题(或原问 题)无可行解； 若LP (或DLP)问题无可行解，则对偶问题(或原问题) 或者无可行解,或者目标函数值趋于无穷。 推论2： 极大化问题的任何一个可行解所对应的目标 函数值都是其对偶问题的目标函数值的下界。 推论3： 极小化问题的任何一个可行解所对应的目标 函数值都是其对偶问题的目标函数值的上界。
m ax w w 1 2 2 w 3 w w w 2 1 2 3 1 w 1 w 2 w 3 ST : 2w w w 2 1 2 3 w 0 w 0 w 无 约 束 3
1
2
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直接写出LP问题的对偶问题 例3
m ax x 1 2x 2 x 3 2 x 1 x 2 x 3 x x x 1 1 2 3 ST : 2 1 x 2 x 3 2x , x2 0 , x3无 约 束 1 0 x
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• • • • • • • • • • • • • •
min cx s.t. A1x –xs =b1 xs为m1×1 A2 x =b2 A3x +xt = b3 xt为m3×1 x, xs , xt ≥0 对偶问题为 max w1b1+ w2b2 + w3b3 s.t. w1A1+ w2A2 + w3A3 ≤c – w1Is ≤0 w3It ≤0
8 16 12 0
4
（3）对偶问题的对偶 推导过程
m ax
(D)
w b w A c w 0
st ..
变形
m in st ..
b w
T T
T
T T
A w c w 0
T
5
m in st ..
T T b w T T T A w c T w 0
m a x
对偶
max ≤ ≥ = ≥0 ≤0 无限制
约 束 方 程 变 量
约 束 方 程
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m in 2x x3 1 x 2 2 x x3 1 1 x 2 2 x 2 1 x 2 x 3 ST : 1 1 x 2 x 3 x 0 , x2无 约 束 ,x 0 1 3 x
(0)
所 以 ， x(0) , y(0)分 别 是 (L),(D)的 最 优 解
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定理3：强对偶定理 若(L),(D)均有可行解,则(L),(D)均有最 优解,且(L),(D)的最优目标函数值相等.
证明：
(0) 设 (L),(D ) 问 题 的 可 行 解 分 别 为 x(0) , w
(0) 对 于 (L) 问 题 的 任 意 可 行 解x ， 有 cx w b
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第二节 对偶问题的基本性质 • 原问题(L) • min cx • s.t. Ax ≥ b • x≥0 对偶问题(D) max wb s.t. wA ≤ c w≥0
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定理1：弱对偶定理
(0) 若 x(0) , w 分 别 为 (L ),(D ) 的 可 行 解 ， 则 (0) c x(0) w b
证 明 ：
由 于 x(0)是 (L ) 的 可 行 解 所 以 , Ax(0) b, x(0) 0 由 于 w 是 (D )的 可 行 解
(0)
(0) 所 以 w 0
(0) w 左 乘 不 等 式 组 的 两 边 得 w(0) Ax(0) w b
(0)
(0) 又 w Ac, x(0) 0 (0) 所 以w Ax(0) cx(0)
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一般情形LP问题的对偶问题
• min cx • s.t. A1x ≥b1 A1 为m1×n , b1为m1×1 • A2x =b2 A2 为m2×n , b2为m2×1 • A3x ≤ b3 A3 为m3×n , b3为m3×1 • x ≥0 • 引入松弛变量 • min cx • s.t. A1x –xs =b1 xs为m1×1 • A2x =b 2 • A3x +xt = b3 xt为m3×1 • x, xs , xt ≥0
因 此 有cx(0) w(0)b
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例：
m in20x 1 20x 2 st . x 1 2x 2 1 2x 1 x 2 2 2x x2 3 1 3
m axw w w w 1 2 2 3 3 4 4 st . (D L P) w w w w 1 2 2 2 3 3 4 20 2w w w 1 w 2 3 3 2 4 20 wj 0, j 1 ,2,3 ,4
第四章
对偶原理
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船 对偶是一种普遍现象
材料 甲 产品 A B C 限额 ３ ４ ２
乙 ２ １ ２
丙 １ ３ ３
丁 １ ２ ４
每台 收益 2000 4000 3000 x1 x2 x3
M axZ 2000x 1 4000x 2 3000x 3 3x 1 4x 2 2x 3 600 2x x 2x 400 1 2 3 ST : x x2 3x3 300 1 3 x 2x 4x 200 2 3 1 x 1, x 2, x 3 0
w 0
3
例1：写出下列LP问题的对偶问题
m in 8x1 16x2 12x3 2 x1 4x2 st . .: 2x1 4x3 3 x 1, x 2, x 3 0
m ax 2w w 1 3 2
对偶
w 1 4w 1 ST :

2w 2 4w 2 w 1, w 2
2
600 400 200 300 y1 y2 y3 y4
假设工厂考虑不进行生产而把 全部可利用的资源都让给其他 企业，工厂希望给这些资源定 出一个合理的价格，即使别的 单位愿意购买，又使本工厂能 得到生产这些产品所能获得的 最大收益。
二、对偶问题的表达 （1）对称LP问题的定义 第一类对称形式 第二类对称形式
所 以 cx在 可 行 域 内 有 下 界
故 (L )问 题 有 最 优 解
同 理 对 于 (D ) 问 题 的 任 意 可 行 解 w ， 有 w b cx
(0)
所 以 w b 在 可 行 域 内 有 上 界
故 (D )问 题 有 最 优 解
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(L)
min cx s.t. Ax b x0