三垂线定理及逆定理(一)newPPT教学课件

三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
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3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结 论成立吗？
P
a
o A α
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ立.
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D1 A1
D A
解 题 反 思
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C1
B1 C
练习: (1)求证: D1BB1C (2)求证: D 1B平A 面 1C B
B
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[思考1]:
A
在四面体A-BCD中,A在平面
BCD中的射影O在△BCD内,
试根据下列条件,判断O为
△BCD的什么心?
B
D (1) A到△BCD的三边距离相等.
O
(2) AB=AC=AD.
C
(3) AB,AC,AD两两垂直.
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[思考2]:
在四面体A-BCD中
A
若 AB CD ,BC AD ,
OA
a
PA
a
a
A - - - - - - - - 三垂线定理 .
PO
PA
a
OA
a
a
- - - - - - - - 三垂线逆定理
.
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三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和 这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和 这条斜线垂直.
已知:PA、PO分别是平面α的垂线、 斜线，AO是PO在平面α内的射影， 且a α，a⊥AO
求 证 AC ： BD .
B
D
O
C
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[思考3]:
D1 A1 P
D A
C1
B1
O
若O为 B1BCC1中心, P为 D1D 上一点,M为CD中 点.
M
C 求证：PO⊥AM
N
B
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[思考4]:
D1 A1
G
D
C1 B1 E F
C
设正方体 ABC A 1B 1D C 1D 1的 棱长为2,
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三垂线定理及逆定理
P
oa
A α
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[思考]
如图， l是平面α的一条斜线，如何在α内画一 条直线与 l垂直？
l
a α
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lP
A
αO
a
OA是PA在平面α内的射影
涉及到三对垂直关系
：
PO , OA a , PA a
其中 :
PO
OA是PA在平面α内的射影
求证：a⊥PO
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P
oa A α
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三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条 斜线在平面内的射影垂直.
P oa
A α
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P
理解和深化
oa
A
⒈为什么称为“三垂线”定理？α
三种垂直关系: ①线面垂直②线射垂直③线斜垂直
⒉这个定理的作用是什么？
若E为 C1C 的中点,
求E到 AB1 距离.
A
B
解题反思：找出平面的垂线可使思路
更加清晰.“作——证——算”三步.
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思考：若平面α内的直角△ABC的斜边 AB=20,平面α外一点O到A、B、C三点距离 都是25,求：点O到平面的距离．
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