§1.2 矩阵的转置

asn
称为A的转置(transpose )，记为AT 或A' . AT的第i行第j
列元素为A的第j行第i列元素a ji (i 1, 2,L , n; j 1, 2,L , s).
矩阵的转置运算是集合P sn (数域P上全体s n矩阵构
成的集合)到集合P ns的一个映射。
1
矩阵的转置满足以下规律：
B的对角线上的元素bii是实数的平方和，及
bii ai21 ai22 ai23 0(i 1, 2, 3).再由题设A 0知，
A至少有一个元素akl 0，则bkk 0，于是B 0. 7
反对称矩阵：设 A (aij )n，且AT A，则称
A为反对称矩阵。 由定义可知:
a11 a21 L an1 a11 a12 L a1n
A为对称矩阵 A为方阵，且aij a ji (i, j 1, 2,L , n), A的一般形式为：
a11 a12 L a1n
A
a12
a22
L
a2
n
M M M M
a1n
a2n L
ann
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
6
例1 设A (aij )3为一个3阶实矩阵，若A 0， 证明：AAT为对称矩阵且AAT 0.
a jkbki (i 1,2, , m; j 1,2, , s) k 1
于是( AB)T BT AT .
4
性质4的推广
有限个矩阵乘积的转置 ( A1 A2 Ar )T ArT A2T A1T
5
定义8 若矩阵A满足条件AT A，则称A为对称矩阵 (symmetric matrix).根据定义及矩阵相等的定义可知：
例如：
1
0
1
2 1 0
全为零,关于对角线位置对 称的元素互为相反数。
8
例2 设列矩阵 X x1, x2 , , xn T 满足X T X 1,
E为n阶单位矩阵, H E 2XX T ,证明H是对称矩
阵,且HH T E.
证明 HT E 2XX T T ET 2 XX T T
E 2 XX T H , H是对称矩阵.
HHT H 2 E 2 XX T 2 E 4XX T 4 XX T XX T
E 4XX T 4X X T X X T
E 4XX T 4XX T E .
9
例3：设A (aij )n为任意的n阶矩阵，则可知 A AT为对称矩阵；A AT为反对称矩
(1)( AT )T A;
(2)( A B)T AT BT ;
(3)(kA)T kAT , k P;
(4)( AB)T BT AT ;
(5)a1
a2 an T
a1
a2
(1
n矩阵的转置为n 1矩阵).
an
2
性质4的证明
证明：设A是s n矩阵，B是n m矩阵，则AB 是s m矩阵，( AB)T 为m s矩阵；BT为m n矩阵， AT为n s矩阵，故BT AT为m s矩阵，( AB)T 与 BT AT是同型矩阵，而且
a12
a22 L
an2
a21
a22 L
a2
n
M M M M M M M M
a1n
a2n L
ann
an1
an2 L
ann
所以，aii aii aii 0(i 1, 2,L , n)
aij a ji (i, j Fra Baidu bibliotek, 2,L , n且i j)
0 1 2 反对称阵据对角线的元素
( AB)T的i行j列元素 ( AB)的j行i列元素 ( A的j行)(B的i列)
n
a jkbki k 1 3
BT AT的i行j列元素 (BT的i行)( AT的j列)
(B的i列)T ( A的j行)T
a j1
(b1i , b2i ,
, bni )aj2
a
jn
n
bkia jk
k 1
n
§1.2 矩阵的转置
定义7 设A (aij )sn是一个s n矩阵，将A的行、列 互换得到一个n s矩阵：
a11 a21 L as1
a12
a22 L
as
2
,
M M M M
a1n a2n L
a
sn
a11 a12 L a1n
a21 a22 L
a2
n
A,
M M M M
as1
as2
L
阵；A 1 ( A AT ) 1 ( A AT )
2
2
10
谢谢观看！ 2020
证明：( AAT )T ( AT )T AT AAT ,故AAT为对称 矩阵；
a11 a12 a13 a11 a21 a31
设B
AAT
a21
a22
a23
a12
a22
a32
,
a31 a32 a33 a13 a23 a33
则bij ai1a j1 ai 2a j2 ai 3a j3 (i, j 1, 2, 3)，特别地，