可控性与可观性

x
5 u
0 0 1 7
（3）
（4）
7 0 0 0 1
7 0 0 0 1
x
0
5
0
x
4
0 u
x
0
5
0
x
0
0 u
0 0 1 7 5
0 0 1 7 5
解：
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
Modern Control Theory
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例题 在S平面上状态完全可控的条件
现 代
【例】判别下列系统的状态可控性。
控 制 理
传递函数：X (s) s 2.5
U (s) (s 2.5)(s 1)
论
显然，在此传递函数的分子和分母中存在相约的因
子（s+2.5）（因此失去一个自由度）。由于有相约因子
论 当A为对角阵且特征根互异时，输入矩阵B无全零行
Modern Control Theory
Page: 6
线性定常连续系统状态完全可控的条件
状 态 可 控 性 例题
现 代
【例】判别下列系统的状态可控性。
控
制 理
（1）
7
x
0
0 5
0 2
0
x
5
u
论
0 0 1 7
（2）
7
x
0
0 5
0 0
0
C
状 态 完 全 可 观 测 的 充 要条 件 是nq n维 能 观 测 矩 阵S0
CA :
CA
n1
满 秩 ， 即rankS0 n,或 CT AT C T ... ( AT )n1 C T n
Modern Control Theory
Page: 11
例 连续时间系统的可观测性
题
Page: 12
定理2 连续时间系统的可观测性
现
代
控 制
定理2：线性定常系统 x Ax Bu, y Cx Du，系统状态空间
理 可观测的充要条件为：当A为对角矩阵且特征值互异时，输出矩阵C中
论 不包含全为零的列。
Modern Control Theory
Page: 13
例 题
连续时间系统的可观测性
可控性和可观测性
现
代 控
1. 可控性与可观测性定义
制 理
2. 连续时间系统的可控性判据
论
3. 输出可控性
4. 连续时间系统的可观测性判据
5. 对偶原理
Modern Control Theory
Page: 1
可控性可观测性定义
现
代 【例】RLC网络
控
制 理 论
取x1 iL , x2 uc , y uc
当 R1R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
x1，x2所有变量，称系统可控。
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性
输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
Modern Control Theory
Page: 2
可控性可观测性例题
现
代 控 制
【例】 1 0 0 x 0 2 x 2 u
理 论
y 1 0 x
解：上述动态方程可写成：
x1 x 2
x1 2x2
2u
y x1
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x1是不可控的；
从输出方程看，输出y不能反映状态变量 x2 ，所以状态变量 x2 不能观测。
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Page: 3
状态完全可控的条件
rank CB CAB ... CAn1B D q
（q-输出变量个数）
一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什么必然的联系。 即输出可控不一定状态可控，状态可控不一定输出可控。
Modern Control Theory
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连的续可系观统测连续时间系统的可观测性 性
现
代 一、定义
现
代 【例】判别可观测性
控
制
（1）
1 0 0 0
理 论
x 0 2 0 x 0 u y 5 3 2 x
0 0 3 1
解：系统可观测。
（2） 1 0 0 0
x 0 2 0 x 0 u 0 0 3 1
解：系统不可观测。
Modern Control Theory
y 5 3 0 x
Page: 14
在S平面上状态完全可控的条件
现
代
完全可观测性条件也可用传递函数或者传递矩阵阐述。完全
控 制
定义：若对系统{A，B，C，D}，存在给定输入u(t)，能在[ t0,tf ）
理 论
有限时间内，由输出y(t)能任一确定系统初始状态x(t0)，则系统
则系统各个状态都可观测，则称系统是状态完全可观测的，简
称系统可观测。
二、可观测性定理
x Ax Bu
定理1：线性定常连续系统 y Cx Du
，所以该系统状态不完全可控。
Modern Control Theory
Page: 9
连续时间连系续统系状统态的完输全出可可控控的性条件
现
代 控
三 连续系统的输出可控性
制 定理：
理 论
设系统 x Ax Bu, y Cx Du，则系统输出完全可控的充要条件是
输出可控性矩阵 CSc | D 满秩，即
现
代
控
制 理 论
【例】
2
x
0
1 1
x
1 0
u,
试判别状态可控性
解：
Qc [b
1 Ab] 0
2
0
，
rankQc 1 n
∴系统不可控。
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Page: 5
连续时间系统状态完全可控的条件
现
代 控
定理2：
定理2
制 理
设连续时间系统 x Ax Bu, 系统状态完全可控的充要条件为：
现
代
【例】判别可观测性
控 制 理 论
（1） （2）
4 5 1
x
1
0 x 1 u
2 1 1
x 1
3
x
1
u
y 1 1 x
1 0 y 1 0 x
解：（1）
c 1 1
Qo cA 5
5
（2）
1 0
Qo
c cA
1 2
0
1
2
1
Modern Control Theory
rankQo 1 2 故系统不可观测 rankQo 2 2 系统可观测
现
代 控
一. 可控性判据
制 理 论
定理1：
若定义连续时间系统A, B的n*(np)可控矩阵
Sc B AB A2B
An1B
则系统状态完全可控（或系统可控）的充要条件是：
该系统的可控性矩阵满秩，即 rankSc n
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Page: 4
连续时间系统状态例完全题可控的条件
（3）系统可控。 （4）系统Biblioteka Baidu可控。
Modern Control Theory
Page: 7
定理3 在S平面上状态完全可控的条件
现
代 控
状态完全可控的条件也可用传递函数或传递矩
制 阵描述。
理
论
状态完全可控性的充分必要条件是在传递函数
或传递矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那
么在相约的模态上，系统不可控。