第三章 光的衍射

~
~
~ Ua
~ Ub ~ U0
这个公式给出的是两个衍射场与自由光场的振幅与位相的关系
14
巴比涅原理的理论价值 如果已经求得某一衍射屏的衍射场，应用巴比涅原理就能直接 求得其互补屏的衍射场，因为自由光场事先是容易知道的。 根据巴比涅原理
~ ~ ~ U0 0 Ua Ub I a Ib ~ ~ ~ U a 0 Ub U 0 I b I a
35
人眼的分辨本领
f ~22mm
决定眼睛分辨本领的是瞳孔的直径De，De白昼小，黑夜大，正常 范围在2~8mm。分Biblioteka Baidu白昼时，人眼的分辨本领e。
~ 550nm，De ~ 2m m， 550nm e 1.22 1.22 3.3 104 rad 1'
De 2m m
a 光强分布 I ( ) f
2
2 J1 ( x) x I0
2
2
其中 I0 是入射平面波的光强
28
2 J1 ( x) y x
2
1.0
0.5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
0
1
1.220 1.635 2.233
0 0.0175 0
第三章 光的衍射
1
§3.1 衍射现象
衍射：波遇到障碍物，偏离直线传播的现象。
2
衍射现象的一般特点
限制与展宽
限制ρ、发散角Δθ与波长的关系

3
光孔线度ρ与光波长λ的比是一个敏感因素， 直接决定了衍射效应的强弱，衍射效应大致可分为三个等级： （1）ρ > 103λ，衍射效应很弱，光近乎直线传播， 衍射的边界效应仍然不可忽略。 （2） 103λ > ρ，衍射效应显著，光孔形状与衍射图样对应 （3）ρ ≤λ，衍射效应过于强烈，向散射过渡。
最令人感兴趣的是第二种情况，结构越细微，衍射图样越扩大。
微结构 衍射图样
衍射结构分析学
上世纪50年代，根据X光衍射而发现DNA双螺旋结构
4
衍射系统及分类
衍射系统包括照明空间、衍射屏、衍射空间和接收屏。
P
S


照明空间 衍 射 屏 衍射空间 接 收 屏
5
按光源、衍射屏和接收屏三者之间距离的远近将衍射分成两类 菲涅耳衍射：光源、衍射屏和接收屏三者之间距离为有限远， 或其中之一为有限远。
零级衍射斑的中心是几何光学的像点
23
例 在单缝夫琅禾费衍射实验中，照明光波长为600nm，透镜焦距 为200mm，单缝宽度为15m,求零级衍射斑的半角宽度和屏幕上 显示的零级斑的几何宽度？
600103 半角宽度： 0.04rad a 15
I0

h ，所以几何宽度为： l f 200 0.04 8m m


d

34
瑞利判据
min 1.22

d
I0
0.8I 0
1.22

d
min 1.22

d
1.22

d
两个物点满足瑞利判据时， 一个艾里斑的中心正好落在另一个艾里斑的边缘处。
In Rayleigh’s own words: “This rule is convenient on account of its simplicity and it is sufficiently accurate in view of the necessary uncertainty as to what exactly is meant by resolution.”
I0/2

h

0
24
§3.4 夫琅和费圆孔衍射和光学仪器的分辨本领
夫琅禾费圆孔衍射
x0 x

y0 y 2a f 圆孔的夫琅禾费衍射装置
25
衍射场的分析
L(x0) L0
2a


P
记经单缝中心的光程为 L0，那么经 x0 点的光程为
L( x0 ) L0 x0 sin
26
衍射积分
12
最常见的情况是在傍轴条件下求解衍射场，积分公式可进一步简化
( x, y )
r
b
Q
P
r0
O O
z
傍轴条件： 0 , 0.5rad 28.6
1 1 1 倾斜因子 (cos 0 cos ) 1 球面次波函数 eikr eikr 2 r r0 i ~ ~ ikr 傍轴条件衍射积分公式 U ( P) U ( Q ) e dS 0 r0 ( )
8
§3.2 惠更斯-菲涅尔原理
惠更斯的次波概念
提出
次波相干叠加
杨氏的干涉原理 惠更斯-菲涅耳原理 波前上的每个面元可以看成次波源，它们向四周发射次波； 波场中任一场点的扰动是所有次波源所贡献的次级扰动的相 干叠加。
9
惠更斯-菲涅耳原理的数学表示
~ ~ U ( P ) dU ( P )
()
2.679
0.0042
3.238 3.699
0 0.00016
29
y
圆孔衍射因子
2 J1 ( x) y x
2
中央的圆形亮斑称为艾里斑（Airy disk）
30
艾里斑集中了总光能的84% 第二个暗纹内达到91%
x ka sin 1.220 sin 1.22 1.22
6
夫琅禾费衍射：光源、衍射屏和接收屏三者之间距离均为无限远
在成像衍射系统中的夫琅禾费衍射
F 焦面接收 像面接收
7
菲涅耳衍射是近场衍射，夫琅和费衍射是远场衍射 夫琅和费衍射的计算容易，应用价值更大，实验上又不难实现。 现代变换光学中的傅里叶光学就以夫琅和费衍射为基础
方孔的衍射图样—从菲涅耳衍射过渡到夫琅和费衍射
夫琅禾费圆孔衍射是一个在一切使用透镜的光学系统中普遍存 在的现象。因为任何一个单透镜成像，都可以看成两个透镜加上一 个光阑的组合。因此几何像点实际上是有一定半径的艾里斑，这种 情况就产生了一个问题，即两个像斑可能发生重叠，重叠到一定程 度，就无法分辨。这就是仪器的分辨本领问题。
33
两个物点对光学仪器所张的角度与艾里斑的关系

2d
1.22 1.22

d

2d

d
31
光学仪器的分辨本领
成像光学仪器都有限制光束的孔径。物光通过光学仪器成像时， 由于衍射作用，物点所成的像是一个艾里斑。
几何光学
经透镜 物点 像点
波动光学
经透镜 物点 艾里斑
物(物点集合)像(像点集合)
物(物点集合)像(艾里斑集合)
32
D
i ~ ~ ikr U ( P) U ( Q ) e dS 0 r0
我们有以下条件
~ U0 (Q) A, r0 f , r L( x0 ), x0 cosf, dS dfd
积分范围：
x0
f

0 a 0 f 2
2a
27
iA ikL0 ~ U ( ) e f
波长的影响 ，所以长波长
2
I
4I0 I0
b 的光衍射半角宽度大。 根据基尔霍夫积分公式 ： I 1

蓝光

2
，所以波长短的光
I
红光
衍射峰值大。
关于强度的结论只能从衍射积分公式中得出

22
主极大的半角宽度，即波长与缝宽的比值可作为衍射效应的标志


b
Δ θ越大，衍射效应越强；越小，衍射效应越弱，趋于几何光学
0
不同的光孔和波前函数将造成不同的衍射场，而积分核eikr相同。
13
衍射的巴比涅原理
互补的衍射屏
互补 互补
+
a b
=
0
衍射屏 a b 0 通行无阻
根据衍射积分公式， 两个互补的衍射屏的衍射场与无衍射屏的自由光场满足 巴比涅原理 Ua (P) Ub (P) U0 (P)
~
36
人眼的感光细胞密度
~ 550nm，在黑夜De ~ 8m m， 550nm e 1.22 1.22 0.8 104 rad
De 8m m
人眼睛焦距， f 22m m, 所以： d f e 22m m 0.8 10 4 rad 1.8m，s
17
强度分布公式
L2
B P

C N
P0
单缝宽度b，从B到C相位差逐点增加，BC两点的相位差为

2


2

b sin
θ称为衍射角
18
矢量图解法
O
2
R B A
C

A0
2
A 2 R sin A0 2R
I0为接收屏中央的强度
A A0
sin

I I0
sin 2
2 a
ik cosf sin e ddf 0 0 a
iA ikL0 e 2 J 0 (k sin )d f 0 iA 2 ikL0 2 J 1 ( x ) (a ) e f x x ka sin
J0 和 J1 为 0 阶和 1 阶 Bessel 函数
b i ikL0 Aae e ikxsin dx 0 f iabA ikL0 ikbsin / 2 sin b sin e e , 其中 f b
O

x
sin ~~ I ( ) UU I 0
abA , 其中 I 0 f
2
2
20
强度分布讨论

从光强分布图可见能量主要集中在零级斑，零级斑的总能量占总 能量的 90%。因此用零级斑半角宽度来描述衍射强弱是适当的。 主极大的半角宽度 sin sin 0


b
21
单缝宽度对衍射图样的影响
16I0
b A0 S，I 0 A0 S 2
正常人的明视距离为 25cm，在明视距离处，人可 分辨：
ye l e 25cm 3.3 104 rad 0.08m m
人眼在10m处的分辨本领： ye l e 10m 3.3 10 4 rad 3.3m m
人眼睛分辨本领对一些仪器的设计有指导作用。
与菲涅耳衍射积分公式的主体结构相同，基尔霍夫的新贡献是：
cos 0 cos f ( 0 , ) ， (1) 明确了倾斜因子， 2 闭合面上的各个次波源 均对场点扰动有贡献 i 1 i K e 2 ( 2) 给出了比例系数， (3) 明确指出，积分面 ()不限于等相面，可以是 隔离光源和场点的任意 闭合曲面。
D F P
夫琅禾费衍射
A
~ 除后焦点，轴外自由光场 U 0 0
~ ~ Ua (P) Ub (P)
I a ( P) I b ( P)
B
f
除了后焦点外，互补屏的夫琅和费衍射图样是全同的
15
互补屏及其夫琅禾费衍射图形
16
§3.3夫琅禾费单缝衍射
衍射装置
L1
S
L2
点光源 S 放在透镜 L1 的焦点上，形成平行光垂直照射单缝， 右边为透镜 L2 和放在 L2 的焦面上的接收屏。
~ dU ( P)

S
P
~ dU ( P) ?
10
dS
R S
n
0
r P

~ 基于物理上的若干基本 考虑，dU ( P)决定于： ~ dU ( P) dS 波前上作为次波源的微 分面元 ~ ~ d U ( P ) U 0 (Q ) 次波源的自身复振幅 ~ 1 ikr d U ( P ) e 次波源发出球面波到达 场点 r ~ 的发射不是各向同性 dU ( P) f ( 0 , ) 倾斜因子表示次波面源
2
b sin
19
复振幅积分法
i ~ U ( P) r0
~ U0 (Q) A, r0 f
( 0 )
~ ikr U ( Q ) e dS 0
我们有条件
r由光程取代 r L0 x sin
i b ~ ~ ik ( L0 x sin ) U ( ) U ( Q ) e dxdy 0 0 f 0
最后引进一个比例常数，菲涅耳衍射积分公式可以写为
eikr ~ ~ U ( P) K f ( 0 , )U 0 (Q) dS r ()
11
约六十年后的1880年，德国物理学家基尔霍夫(Kirchhoff, 1824-1887) 从亥姆霍兹方程出发，导出了无源空间边值定解的表达式
i (cos 0 cos ) ~ eikr ~ U ( P) U 0 (Q) dS () 2 r