2018年江苏省无锡市锡中中考第一次适应性数学试卷(含答案)
江苏省无锡市锡中2018年中考二模数学试卷及答案
无锡省锡中2017-2018学年度初三中考二模数学试卷2018．4考试说明：满分130分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内） 1．3-的值是A ．3B ．﹣3C ．±3D ．3 2．函数2y x =+中自变量x 的取值范围是A ．2x ≥-B ．2x >-C ．2x ≤-D ．2x <- 3．下列运算正确的是A ．66x x x ⋅=B ．236()x x = C ．22(2)4x x +=+ D ．33(2)2x x = 4．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A B C D5．一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是 A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．方差 6．若42m a b -与225n a b +是同类项，则n m 的值是A ．2B ．0C ．4D ．1 7．已知点A(m ＋1，﹣2)和点B(3，m ﹣1)，若直线AB ∥x 轴，则m 的值为 A ．2 B ．﹣4 C ．﹣1 D ．38．如图，AB 是⊙O 的直径，直线PA 与⊙O 相切于点A ，PO 交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠P ＝50°，则∠ABC 的度数为A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°第9题第8题 第10题9．如图，□ABCD 对角线AC 与BD 交于点O ，且AD ＝3，AB ＝5，在AB 延长线上取一点E ，使BE ＝25AB ，连接OE 交BC 于F ，则BF 的长为A ．23 B ．34 C ．56D ．1 10．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA ＋MD ＋ME 的最小值为 A ．322+ B ．433+ C ．2213+ D ．10二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11．在实数范围内分解因式：2232x -＝ ．12．2017年无锡市国内生产总值(GDP)达到10500亿元，成为全国第14个突破万亿元的城市，数据10500亿元用科学记数法可表示为 亿元． 13．化简：239m m --＝ ．14．如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆锥的侧面积为 cm²． 15．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上，设此点为F ，若AB ：BC ＝4：5，则tan ∠CFD ＝ ．第15题 第16题 第17题 16．如图，点A 是反比例函数ky x=的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ，若△ABC 的面积为4，则k 的值是 ． 17．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，∠ACB ＝90°，以AB 中点D 为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰好在弧EF 上，则图中阴影部分面积为 ． 18．如图，∠AOB ＝45°，点M ，N 在边OA 上，OM ＝x ，ON ＝x ＋4，点P 是边OB 上的点，若使点P ，M ，N 构 成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 满足的条件是．第18题三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）（1）计算：02(12)(3)2---+-； （2）化简：(1)(1)(2)a a a a +-+-． 20．（本题满分8分）（1）解方程：28x x +=； （2）解不等式组：53165142x x x x ≤+⎧⎪⎨-<+⎪⎩．21．（本题满分6分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别在BC ，AB 上，且DE ∥AB ，BE ＝AF ． （1）求证：四边形ADEF 是平行四边形； （2）若∠ABC ＝60°，BD ＝6，求DE 的长．22．（本题满分8）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度；（4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．23．（本题满分8）在一次数学考试中，小明有一道选择题（只能在四个选项A 、B 、C 、D 中选一个）不会做，便随机选了一个答案；小亮有两道选择题都不会做，他也随机选了两个答案．（1）小明随机选的这个答案，答对的概率是 ；（2）通过画树状图或列表法求小亮两题都答对概率是多少？（3）这个班数学老师参加集体阅卷，在阅卷过程中，发现学生的错误率较高，他想：若这10道选择题都是靠随机选择答案，则这10道选择题全对的概率是．24．（本题满分8）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D．（1）在图1中，用直尺和圆规过点D作⊙O的切线DE交BC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．图1图225．（本题满分8）2018年4月，无锡外卖市场竞争激烈，美团、滴滴、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，每月工资：底薪1000元，另外外卖送单补贴（送一次外卖称为一单）（1）若某“外卖小哥”4月份送餐600单，求他这个月的工资总额；（2）设这个月“外卖小哥”送餐x单，所得工资为y元，求y与x的函数关系式；（3）若“外卖小哥”本月送餐800单，所得工资6400≤y≤6500，求m的取值范围．26．（本题满分10）在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(﹣8，0)，如图1，正方形OBCD 的顶点B 在x 轴的负半轴上，点C 在第二象限，现将正方形OBCD 绕点O 顺时针旋转角α得到正方形OEFG ．（1）如图2，若α＝45°，OE ＝OA ，求直线EF 的函数表达式；（2）如图3，若α为锐角，且tan α＝12，当EA ⊥x 轴时，正方形对角线EG 与OF 相交于点M ，求线段AM 的长；（3）当正方形OEFG 的顶点F 落在y 轴正半轴上时，直线AE 与直线FG 相交于点P ，是否存在△OEP ：1？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．图1 图2 图3 27．（本题满分10）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB ＝4，又P 是第一象限抛物线上的一点，抛物线对称轴交x 轴于点F ，交直线AP 于点E ，AE ：EP ＝1：2．（1）求点A 、点B 的坐标；（2）直线AP 交y 轴于点G ，若CG ，求此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点D 是射线AP 上一动点，沿着DF 翻折△ADF 得到△A′DF （点A 的对应点为A′），△A′DF 与△ADB 重叠部分的面积为△ADB 的14，求此时△ADB 的面积．28．（本题满分10）如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E 出发，向终点D运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作□BFHG，连接AG，设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．备用图参考答案一、选择题三、解答题 19．（1）﹣6；（2）1﹣2a ．20．（1）1x =，2x =；（2）﹣1＜x ≤8．21．（1）利用一组对边平行且相等即可得证；（2）22．（1）200；（2）生活类数据标30，小说类数据标70；（3）126°；（4）240人．23．（1）14；（2）116；（3）1014． 24．（1）作图略；（2）OG 的长为1511．25．（1）他这个月的工资总额为4800元；（2）y 与x 的函数关系式为6100005008,500102,x x y x x m x m x m +≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩,；（3）750≤m ≤900．26．（1）直线EF的函数表达式为y x =+；（2）作MN ⊥AM 交x 轴于点N ，此时△AEM ≌△NOM ，得到AE ＝ON ＝4，△AMN是等腰直角三角形，从而AMAN＝； （3）点P 的坐标为(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)，(﹣8，0)或(﹣24，8)． 27．（1）先判断抛物线的对称轴为x ＝1，再根据AB ＝4，求得AF ＝BF ＝2，从而求出A 、B 两点坐标，其中点A 的坐标为(﹣1，0)，点B 的坐标为(3，0)；（2）由于C 是抛物线与y 轴交点，从而表示出点C 坐标(0，c )， 根据CG，得到点G 坐标为(0，c)， 从而利用A 、G 两点表示出AG：(y c x c =+++， 根据AE ：EP ＝1：2判断出点P 横坐标为5，代入直线AG 得到P(5，6c＋)， 将A 、P两点代入抛物线即可得二次函数解析式为：2y x x =； （3）要使△A′DF 与△ADB 重叠部分的面积为△ADB 的14，不难判断出四边形A′BFD 是平行四边形，从而A′D ＝BF ＝2，即AD ＝2，作DQ ⊥x 轴于点Q ，利用△ADQ ∽△AGO ，求得DQADB28．（1）根据SAS 证明△ABG ∽△EBF ；（2）作GI ⊥AD 于点I ，HJ ⊥AD 于点J ，显然EF ＝t ， 由（1）之AGEF，且∠BAG ＝∠BEF ＝135°，从而∠GAE ＝45°， 则AI ＝GI ＝12t ， 由△GIF ≌△FJH ，得GI ＝FJ ＝12t ， 则AJ ＝AE ＋EF ＋FJ ＝2＋t ＋12t ＝2＋32t ，当点H在直线CD上时，AJ＝AD＝10，求得t＝163；（3）HC的最小值为．。
2018-2019第一学期江苏省无锡市锡北片初三数学试题及答案
∴P(选择不同通道通过) =
=．
………………（ 8 分）
23．（8 分）（1）证明：连结 CD，
∵BC 为⊙O 的直径
∴CD⊥AB
∵AC＝BC
∴AD＝BD．
………………（ 4 分）
（2）连结 OD，
∵AD＝BD，OB＝OC
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DF⊥OD
∴DF 是⊙O 的切线．
………………（ 8 分）
（1）此次共调查了多少名学生？
初三数学期中试卷 第 3 页 共 6 页
（2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数为 ▲ º． （3）我校九年级共有 1000 名学生参加了身体素质测试，估计测试成绩在良好以上（含良好）的 人数． 22．（8 分）车辆经过某大桥收费站时，共有 4 个收费通道 A、B、C、D，可随机选择其中的一个
∴S 阴影=S 扇形 EOD=
= ． ………………（8 分）
（不同方法可以相应给分）
25. （本题满分 6 分） ⑴图略．…………4 分
（不同方法可以相应给分）
⑵ 2cm…………6 分
26.（10 分）解：（1）设限购前二手房成交 x 套，新楼盘成交 y 套，根据题意得： ，
解得：
，
4500×（1﹣55%）=2025（套），
一动点 P．连接 AP，若点 C 为 AP 的中点，连接 OC，则 OC 的最小值为
(▲)
A．1
3
B．
2 －1
2
C． 2
D．2 2 －1
第8题
（第 9 题图）
y
A
D
C
B
O
A
O
B
2018年江苏省无锡市初中毕业升学考试数学考试试题(副卷)(解析版)
2018年江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）一、选择题（每小题3分，共30分）1．﹣3的绝对值是（）A．﹣B．﹣3C．D．32．9的算术平方根是（）A．3B．﹣3C．±3D．93．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形4．下列计算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a2）3＝a6C．a2•a3＝a6D．a6÷a2＝a35．有6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A．B．C．D．6．如图，正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠AEB的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．70°7．若3a﹣2b＝2，则代数式2b﹣3a+1的值等于（）A．﹣1B．﹣3C．3D．58．蚊香长度y（厘米）与燃烧时间t（小时）之间的函数表达式为y＝105﹣10t．则蚊香燃烧的速度是（）A ．10厘米/小时B ．105厘米/小时C ．10.5厘米/小时D ．不能确定 9．若关于x 的不等式3x +m ≥0有且仅有两个负整数解，则m 的取值范围是（ ） A ．6≤m ≤9 B ．6＜m ＜9 C ．6＜m ≤9 D ．6≤m ＜9 10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连结CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）A ．4B ．C ．3D ．二、填空题（每小题2分，本大题共16分）11．在函数y ＝中，自变量x 的取值范围是 ．12．因式分解：x 3﹣4x ＝ ．13．我国某铁路年输送货物的能力是11 000 000吨，这个数据用科学记数法可记为 ． 14．数据﹣3，﹣1，0，2，4的极差是 ．15．若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是 ．16．某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x ，由题意可列得方程： ．17．已知点A 、B 都在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，其横坐标分别是m 、n （m ＜n ）．过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别是C 、D ；过点B 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别是E 、F ，AC 与BF 交于点P ．当点P 在线段DE 上、且m （n ﹣2）＝3时，m 的值等于 ．18．如图，点A 的坐标是（a ，0）（a ＜0），点C 是以OA 为直径的⊙B 上一动点，点A 关于点C 的对称点为P ．当点C 在⊙B 上运动时，所有这样的点P 组成的图形与直线y ＝﹣x ﹣1有且只有一个公共点，则a 的值等于 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．（8分）计算：（1）tan60°+（3﹣）﹣；（2）（2x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）．20．（8分）解方程（组）：（1）＝﹣3；（2）21．（6分）如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD．证明：∠ACD＝∠ADC．22．（6分）某市教育局组织全市中小学教师开展“请千家”活动．活动过程中，教有局随机抽取了近两周家访的教师人数及家访次数，将采集到的全部数据按家访次数分成五类，由甲、乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）请把这幅条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）；（2）在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访次；（3）若该市有12000名教师，则近两周家访不少于3次的教师约有人．23．（8分）某校4月份八年级的生物实验考查，有A、B、C、D四个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验．小明、小丽都参加了本次考查．（1）小丽参加实验A考查的概率是；（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，点O在边AB 上．过点A、D的圆的圆心O在边AB上，它与边AB交于另一点E．（1）试判断BC与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，sin B＝，求AD的长．25．（8分）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件，厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场，商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件，问：A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？26．（10分）如图，∠AOB＝60°，点P为射线OA上的一动点．过点P作PC⊥OB于点C．点D在∠AOB内，且满足∠APD＝∠OPC，DP+PC＝10．（1）当PC＝6时，求点D到OB的距离；（2）在射线OA上是否存在一定点M，使得MD＝MC？若存在，请用直尺（不带刻度）和圆规作出点M（不必写作法，但要保留作图痕迹），并求OM的长；若不存在，说明理由．27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，BC＝n，m＞n，点P是边AB上一点，连结CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的长；（2）连结BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式．28．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系中，点P（m，m）（m＞0），过点P的直线AB与x轴正半轴交于点A，与直线y＝x交于点B．（1）当m＝3且∠OAB＝90°时，求BP的长度；（2）若点A的坐标是（6，0），且AP＝2PB，求经过点P且以点B为顶点的抛物线的函数表达式．参考答案一、选择题1．﹣3的绝对值是（）A．﹣B．﹣3C．D．3【分析】利用绝对值的定义求解即可．解：﹣3的绝对值是3．故选：D．【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．2．9的算术平方根是（）A．3B．﹣3C．±3D．9【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．解：9的算术平方根是3，故选：A．【点评】本题考查算术平方根的定义，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型．3．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．解：360÷40＝9，即这个多边形的边数是9，故选：C．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和之间的关系，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．4．下列计算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a2）3＝a6C．a2•a3＝a6D．a6÷a2＝a3【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．解：A、3a2﹣a2＝2a2，故此选项错误；B、（a2）3＝a6，正确；C、a2•a3＝a5，故此选项错误；D、a6÷a2＝a4，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．有6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，2，1．解：该几何体的俯视图为故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．6．如图，正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠AEB的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．70°【分析】利用正方形的性质得出∠BAC＝45°，再利用等腰三角形的性质得出答案．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AE＝AB，∴∠BEA＝∠ABE＝＝67.5°．故选：C．【点评】本题考查的是正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，正确得出∠BAE度数是解题关键．7．若3a﹣2b＝2，则代数式2b﹣3a+1的值等于（）A．﹣1B．﹣3C．3D．5【分析】直接利用已知将原式变形，整体代入求出答案．解：当3a﹣2b＝2时，原式＝﹣（3a﹣2b）+1＝﹣2+1＝﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确应用已知求出是解题关键．8．蚊香长度y（厘米）与燃烧时间t（小时）之间的函数表达式为y＝105﹣10t．则蚊香燃烧的速度是（）A．10厘米/小时B．105厘米/小时C．10.5厘米/小时D．不能确定【分析】函数中表达式由自变量和因变量两个因素组成，这个是一次函数，图象为一条直线，可以任选符合条件的两点求出蚊香燃烧的速度．解：设时间t1时蚊香长度为y1，时间t2时蚊香长度为y2∴y1＝105﹣10t1，y2＝105﹣10t2则：速度＝（y1﹣y2）÷（t1﹣t2）＝[（105﹣10t1）﹣（105﹣10t2）]÷（t1﹣t2）＝﹣10∴蚊香燃烧的速度是10厘米/小时故选：A．【点评】本题考查了函数的解析式和图象的结合，另外图象是由点来组成．9．若关于x的不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（）A．6≤m≤9B．6＜m＜9C．6＜m≤9D．6≤m＜9【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定m的值．解：∵3x+m≥0，∴x≥﹣，∵不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，∴﹣3＜﹣≤﹣2．∴6≤m＜9，故选：D．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的基本性质求出x的取值范围，再由x的负整数解列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为边AD上一个动点，连结BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF面积的最小值是（）A．4B．C．3D．【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE＝x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°，∴∠FEH＝90°﹣∠BEA＝∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴，设AE＝x，∵AB＝4，AD＝2，∴HF＝x，EH＝2，DH＝x，∴△CEF面积＝＝，∴当x＝1时，△CEF面积的最小值是．故选：B．【点评】本题通过构造K形图，建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥1．【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．解：根据题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．12．因式分解：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．13．我国某铁路年输送货物的能力是11 000 000吨，这个数据用科学记数法可记为 1.1×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：11 000 000吨，这个数据用科学记数法可记为1.1×107．故答案为：1.1×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．数据﹣3，﹣1，0，2，4的极差是7．【分析】根据极差的定义即可求得．解：由题意可知，极差为4﹣（﹣3）＝7．故答案为：7．【点评】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．15．若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是12π．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．16．某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程：50（1﹣x）（1﹣2x）＝36．【分析】设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，依题意，得：50（1﹣x）（1﹣2x）＝36．故答案为：50（1﹣x）（1﹣2x）＝36．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．已知点A、B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其横坐标分别是m、n（m＜n）．过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是C、D；过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是E、F，AC与BF交于点P．当点P在线段DE上、且m（n﹣2）＝3时，m的值等于．【分析】如图，A（m，），B（n，），则P（m，），通过证明△ADP∽△CEP得到＝，即＝，从而得到n＝2m，所以m（2m﹣2）＝3，然后解关于m的方程即可．解：如图，A（m，），B（n，），则P（m，），∵点P在线段DE上，AD∥CE，∴△ADP∽△CEP，∴＝，即＝，∴m2＝（n﹣m）2，而n＞m＞0，∴m＝n﹣m，即n＝2m，把n＝2m代入m（n﹣2）＝2得m（2m﹣2）＝3，整理得2m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝，m2＝（舍去），即m的值为．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．18．如图，点A的坐标是（a，0）（a＜0），点C是以OA为直径的⊙B上一动点，点A关于点C的对称点为P．当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，则a的值等于﹣．【分析】如图，连接BC，OD，设直线y＝﹣x﹣1交x轴于点E（﹣3，0），交y轴于点F（0，﹣1），首先证明OD＝2BC＝﹣a，推出点D的运动轨迹是以O为圆心﹣a为半径的圆，当⊙O与直线y＝﹣x﹣1相切时，点P组成的图形与直线y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，设切点为G，连接OG．想办法求出OG即可．解：如图，连接BC，OD，设直线y＝﹣x﹣1交x轴于点E（﹣3，0），交y轴于点F （0，﹣1），∵AC＝CD，AB＝OB，∴OD＝2BC＝﹣a，∴点D的运动轨迹是以O为圆心﹣a为半径的圆，当⊙O与直线y＝﹣x﹣1相切时，点P组成的图形与直线y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，设切点为G，连接OG．在Rt△EOF中，∵OG⊥EF，EF＝＝，•OE•OF＝•EF•OG，∴OG＝，∴a＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，轨迹等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（1）tan60°+（3﹣）﹣；（2）（2x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）．【分析】（1）先算特殊角的三角函数值、去括号，再合并同类项即可求解；（2）先算完全平方公式，平方差公式，再合并同类项即可求解．解：（1）tan60°+（3﹣）﹣＝+3﹣﹣＝2；（2）（2x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝4x2﹣4x+1﹣x2+1＝3x2﹣4x+2．【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．20．（8分）解方程（组）：（1）＝﹣3；（2）【分析】（1）两边都乘以x﹣2，化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得；（2）利用加减消元法求解可得．解：（1）两边都乘以x﹣2，得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），解得：x＝2，检验：x＝2时，x﹣2＝0，∴x＝2是分式方程的增根，则原分式方程无解．（2），②×2﹣①，得：5y＝40，解得y＝8，将y＝8代入②，得：x+32＝42，解得：x＝10，则方程组的解为．【点评】本题主要考查解分式方程和二元一次方程组，解题的关键是掌握解分式方程的步骤和解二元一次方程组的两种消元方法．21．（6分）如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD．证明：∠ACD＝∠ADC．【分析】直接利用正五边形的性质得出AB＝AE＝BC＝ED，∠B＝∠E，进而得出△ABC ≌△AED（SAS），即可得出答案．证明：∵正五边形ABCDE中，∴AB＝AE＝BC＝ED，∠B＝∠E，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC．【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及等腰三角形的性质，正确把握正多边形的性质是解题关键．22．（6分）某市教育局组织全市中小学教师开展“请千家”活动．活动过程中，教有局随机抽取了近两周家访的教师人数及家访次数，将采集到的全部数据按家访次数分成五类，由甲、乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）请把这幅条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）；（2）在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访 3.24次；（3）若该市有12000名教师，则近两周家访不少于3次的教师约有9120人．【分析】（1）由3次的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数减去其它次数的人数求得4次的人数即可得；（2）根据加权平均数的公式计算可得；（3）用总人数乘以样本中3次、4次及5次人数和占被调查人数的比例即可得．解：（1）∵被调查的总人数为54÷36%＝150（人），则家访4次的人数为150×28%＝42（人），补全图形如下：（2）在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访＝3.24（次），故答案为：3.24；（3）近两周家访不少于3次的教师约有12000×＝9120（人），故答案为：9120．【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题时注意：条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（8分）某校4月份八年级的生物实验考查，有A、B、C、D四个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验．小明、小丽都参加了本次考查．（1）小丽参加实验A考查的概率是；（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两位同学抽到同一实验A的情况数，即可求出所求概率．解：（1）小丽参加实验A考查的概率是，故答案为：；（2）列表如下：所有等可能的情况有16种，其中小明、小丽都参加实验A考查的只有1种情况，所以小明、小丽都参加实验A考查的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，点O在边AB 上．过点A、D的圆的圆心O在边AB上，它与边AB交于另一点E．（1）试判断BC与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，sin B＝，求AD的长．【分析】（1）由题意可得∠CAD＝∠DAO＝∠ODA，可得DO∥AC，即可证OD⊥BC，则BC与圆O相切；（2）利用三角函数可求AB＝10，BC＝8，由sin B＝＝＝，可求AO＝DO＝，即可求BD，CD的长，由勾股定理可求AD的长．解：（1）BC与圆O相切，理由如下：如图，连接OD∵OA＝OD∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB∴∠CAD＝∠DAO∴∠CAD＝∠ODA∴DO∥AC∵AC⊥CD∴OD⊥BC，且D在圆O上，∴BC与圆O相切（2）在Rt△ABC中，∵AC＝6，sin B＝，∴AB＝10，BC＝8在Rt△BDO中，sin B＝＝＝，∴30＝8DO∴DO＝＝AO∴BO＝AB﹣AO＝∴BD＝＝5∴CD＝BC﹣BD＝3在Rt△ACD中，AD＝＝＝3【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定，勾股定理，锐角三角函数，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．25．（8分）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件，厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场，商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件，问：A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？【分析】设A商场售出该商品x件，分采购量小于400件、等于400件以及大于400件三种情况考虑：①当A商城的采购量小于400件时，利用总利润＝单件利润×销售数量结合总利润达到9600元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；②当A商城的采购量等于400件时，由利润＝销售收入﹣进货成本+返利+退货钱数结合总利润达到9600元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论；③当A商城的采购量大于400件时，结合②可得出销售量必须大于332件，才能保证获利达到9600元．综上，此题得解．解：设A商场售出该商品x件．①当A商城的采购量小于400件时，有（100﹣75）x≥9600，解得：x≥384，∴商城对这种商品的销量至少要384件；②当A商城的采购量等于400件时，有100x﹣400×75+65（400﹣x）+400×5≥9600，解得：x≥331，∵x为正整数，∴x≥332，∴商城对这种商品的销量至少要332件；③当A商城的采购量大于400件时，销售量必须大于332件，才能保证获利达到9600元．答：当A商场对这种商品的销量至少要332件时，他们的获利能达到9600元．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，分采购量小于400件、等于400件以及大于400件三种情况列出一元一次不等式是解题的关键．26．（10分）如图，∠AOB＝60°，点P为射线OA上的一动点．过点P作PC⊥OB于点C．点D在∠AOB内，且满足∠APD＝∠OPC，DP+PC＝10．（1）当PC＝6时，求点D到OB的距离；（2）在射线OA上是否存在一定点M，使得MD＝MC？若存在，请用直尺（不带刻度）和圆规作出点M（不必写作法，但要保留作图痕迹），并求OM的长；若不存在，说明理由．【分析】（1）作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，先计算出PD＝4，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DE＝PD＝2，易得四边形PCHE为矩形，然后计算DH 即可；（2）如图2，延长CP到D′，使PD′＝PD，则CD′＝PC+PD＝10，作CD′的垂直平分线交OA于M，利用∠D′P A＝∠DP A＝30°可判断点D、D′关于OA对称，所以MD′＝MD，而MD′＝MC，所以点M满足MD＝MC，作MN⊥OB于N，如图2，易得MN＝5，根据含30度的直角三角形三边的关系求出ON、OM即可．解：（1）作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，∵DP+PC＝10，PC＝6，∴PD＝4，∵∠AOB＝60°，∴∠OPC＝∠APD＝30°，∴∠DPE＝30°，∴DE＝PD＝2，易得四边形PCHE为矩形，∴EH＝PC＝6，∴DH＝DE+EH＝2+6＝8，即点D到OB的距离为8；（2）存在．如图2，延长CP到D′，使PD′＝PD，则CD′＝PC+PD＝10，作CD′的垂直平分线交OA于M，则点M为所作；作MN⊥OB于N，如图2，则MN＝×10＝5，在Rt△OMN中，ON＝MN＝，∴OM＝2ON＝．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离和含30度的直角三角形三边的关系．27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，BC＝n，m＞n，点P是边AB上一点，连结CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的长；（2）连结BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式．【分析】（1）如图，作CH⊥AB于H．证明△PCH是等腰直角三角形即可解决问题．（2）证明AB＝2n，利用勾股定理即可解决问题．解：（1）如图，作CH⊥AB于H．由翻折的性质可知：∠APC＝∠QPC，∵PQ⊥P A，∴∠APQ＝90°，∴∠APC＝∠QPC＝135°，∴∠BPC+∠QPB＝135°，∵∠QPB＝90°，∴∠BPC＝45°，∵CH⊥AB，∴CH＝PH，在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，∵•AB•CH＝•AC•BC，∴CH＝，BH＝＝，∴PB＝PH+BH＝+＝．（2）如图2中，连接BQ．由翻折不变性可知：P A＝PQ，∠QPC＝∠APC，∵四边形BCPQ是平行四边形，∴PQ＝BC＝P A＝n，PQ∥BC，∴∠QPC+∠PCB＝180°，∵∠BPC+∠APC＝180°，∴∠PCB＝∠BPC，∴PB＝BC＝n，∴AP＝PB＝n，AB＝2n，在Rt△ABC中，则有（2n）2＝m2+n2，∴m2＝3n2，∵m＞0．n＞0，∴m＝n．【点评】本题考查解直角三角形，翻折变换，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．28．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系中，点P（m，m）（m＞0），过点P的直线AB与x轴正半轴交于点A，与直线y＝x交于点B．（1）当m＝3且∠OAB＝90°时，求BP的长度；（2）若点A的坐标是（6，0），且AP＝2PB，求经过点P且以点B为顶点的抛物线的函数表达式．【分析】（1）由题意得：OA＝m＝3，将x＝3代入y＝x，可得：y＝9，即可求解；（2）由CD：DA＝BP：P A＝1：2，PD：BC＝P A：PB＝2：3，求出：OC＝m，CD＝m，AD＝m，利用OA＝m+m+m＝6，即可求解．解：（1）由题意得：OA＝m＝3，将x＝3代入y＝x，可得：y＝9，故：点B的坐标（3，9），∴BP＝6；（2）过点B作BC⊥OA于点C，过点P作PD⊥OA，由题意得：∠BOC＝60°，∵PD∥BC，∴CD：DA＝BP：P A＝1：2，PD：BC＝P A：PB＝2：3，∵PD＝m，OD＝m，∴BC＝m，在Rt△OBC中，OC＝m，∴CD＝m，AD＝m，∴OA＝m+m+m＝6，解得：m＝，∴点B（，），P（3，），故抛物线表达式为：y＝a（x﹣）2+，将点P坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣）2+．【点评】本题主要考查的是一次函数图象与系数的关系、抛物线的基本性质，涉及到解直角三角形、平行线分线段成比例等知识点，综合性强，由一定的难度．。
无锡省锡中2017~2018学年度初三中考一模数学试卷(含答案)
无锡省锡中2017~2018学年度初三中考一模数学试卷2018．3考试说明：满分130分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内） 1．﹣2的绝对值是A ．2B ．﹣2C ．12D ．12- 2．下列运算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．33a a a ÷=C ．32422a a a -=D ．326()a a = 3．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是A B C D4．如果一个多边形的内角和等于1440°，那么这个多边形的边数为 A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 5．若圆柱的底面半径为3，母线长为5，则这个圆柱的侧面积为A ．15B ．12πC ．15πD ．30π 6则这些队员年龄的众数和中位数分别是A ．15，15B ．15，15.5C ．15，16D ．16，157．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连结AC 、AD 、BD ，若∠BAC ＝35°，则∠ADC 的度数为 A ．35° B ．65° C ．55° D ．70°第7题 第8题 第9题8．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且DE ⊥AB ，若AC ＝6，则DE 的长为A ．3B ．C ．D ．49．如图，矩形ABCD 的顶点A 和对称中心在反比例函数(0ky k x=≠，0)x >上，若矩形ABCD 的面积为8，则k 的值为A ．8B ．C ．D ．410．如图，点A 是直线y ＝﹣x 上的动点，点B 是x 轴上的动点，若AB ＝2，则△AOB 面积的最大值为A ．2B 1C 1D ． 第10题二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上） 11．因式分解：39a a -＝ ．12．据统计，2018无锡市春节黄金周共接待游客约3020000人次，这个数据用科学记数法可表示为 ．13．函数y =中自变量x 的取值范围是 ． 14．分式方程213x x =-的解是 ． 15．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝25°，DE 是边AC 的垂直平分线，连结AE ，则∠BAE 等于 ．第15题 第16题 第17题16．如图，四边形ABCD 是平行四边形，其中边AD 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，若⊙O 的周长是12π，则四边形ABCD 的面积为 ．17．在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相等的正方形，A 、B 、C 、D 都是格点，AB 与CD 相交于M ，则AM ：BM ＝ ．18．在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 、D 四点的坐标依次为(0，0)、(6，2)、(8，8)、(2，6)，若一次函数62(0)y mx m m =-+≠的图像将四边形ABCD 的面积分成1：3两部分，则m 的值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）（1）计算：2018(1)2sin 45-+-︒；（2）化简：2(2)(2)(2)x x x --+-．20．（本题满分8分）（1）解不等式组：1253(1)x x x +>⎧⎨+≥-⎩；（2）解方程：2210x x --=．21．（本题满分8分）已知：如图，AB ∥ED ，点F 、C 在AD 上，AB ＝DE ，AF ＝DC ，求证：BC ＝EF ．22．（本题满分8分）省锡中实验学校为了解九年级学生的身体素质测试情况，随机抽取了该市九年级部分学生的身体素质测试成绩作为样本，按A(优秀)，B(良好)，C(合格)，D(不合格)四个等级进行统计，并将统计结果绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次共调查了多少名学生； （2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中“A ”部分所对应的圆心角的度数； （3）该市九年级共有1000名学生参加了身体素质测试，估计测试成绩在良好以上(含良好)的人数．23．（本题满分8分）车辆经过江阴大桥收费站时，4个收费通道A 、B 、C 、D 中，可随机选择其中的一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，选择A 通道通过的概率是 ；（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率（请用树状图或列表法等方式给出分析过程）．。
江苏省无锡市中考数学试题（解析）
江苏省无锡市中考数学试卷一．选择题（共10小题）1．（无锡）﹣2的相反数是（）A． 2 B．﹣2 C．D．考点：相反数。
专题：探究型。
分析：根据相反数的定义进行解答即可．解答：解：由相反数的定义可知，﹣2的相反数是﹣（﹣2）=2．故选A．点评：本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．（无锡）sin45°的值等于（）A．B．C．D． 1考点：特殊角的三角函数值。
分析：根据特殊角度的三角函数值解答即可．解答：解：sin45°=．故选B．点评：此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．3．（无锡）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（）A．（x﹣1）（x﹣2）B． x2C．（x+1）2D．（x﹣2）2考点：因式分解-运用公式法。
分析：首先把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可．解答：解：（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2．故选：D．点评：此题主要考查了因式分解﹣运用公式法，关键是熟练掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．4．（无锡）若双曲线y=与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B． 1 C．﹣2 D． 2考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：计算题。
分析：将x=1代入直线y=2x+1，求出该点纵坐标，从而得到此交点的坐标，将该交点坐标代入y=即可求出k的值．解答：解：将x=﹣1代入直线y=2x+1得，y=﹣2+1=﹣1，则交点坐标为（﹣1，﹣1），将（﹣1，﹣1）代入y=得，k=﹣1×（﹣1）=1，故选B．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道交点坐标符合两函数解析式是解题的关键．5．（无锡）下列调查中，须用普查的是（）A．了解某市学生的视力情况B．了解某市中学生课外阅读的情况C．了解某市百岁以上老人的健康情况D．了解某市老年人参加晨练的情况考点：全面调查与抽样调查。
2023-2024学年江苏省无锡市高级中学实验学校九年级(上)期中数学(含解析)
2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校、匡园双语中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）sin60°的值为（ ） A ．√32B ．√22C ．1D ．122．（3分）已知⊙O 的半径为4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．不能确定3．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．12B ．2C ．√55D ．25√54．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝35°，那么∠BAD 等于（ ）A ．35°B ．55°C ．65°D ．都不对5．（3分）在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．40°B ．160°C ．80°或160°D ．40°或140°6．（3分）下列说法中，正确的是（ ） A ．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B ．任何三角形有且只有一个内切圆C ．三点确定一个圆D ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等7．（3分）已知∠A 是锐角，且cos A =34，那么锐角A 的取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°8．（3分）如图，AB 是半⊙O 的直径，点C 是AB ̂的中点，点D 为BC ̂的中点，连接AD ，CE ⊥AD 于点E ．若DE ＝1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．2√2C ．√2+1D ．3√2+29．（3分）如图，△ABC 中BC ＝6，∠A ＝60°，点O 为△ABC 的重心，连接AO 、BO 、CO ，若固定边BC ，使顶点A 在△ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC 的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（ ）A ．2＜AO ≤3√2B ．3≤AO ≤3√2C ．3≤AO ≤2√3D ．2＜AO ≤2√310．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，CE 平分∠ACB ，BD ⊥CE ，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若∠ABC ＝30°，则BD ＞AD ；②若∠ABC ＝45°，则S △ACE ＝4S △BDE ；③若sin ∠ABC =13，则S △ABC ＝S △ABD ；④若tan ∠ABC ＝m ，则CE ＝2m •BD ．正确的有（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（每空3分，共24分）11．（3分）已知α是锐角，tan α=45，则cos α＝ ．12．（3分）一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是 m ． 13．（3分）圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝ °． 14．已知圆锥的母线长8cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积是 cm 2．15．（3分）如图，点O、I分别是锐角△ABC的外心、内心，若∠CAB＝6∠OAC＝48°，则∠BCI＝°．16．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是.（结果保留π）17．（3分）将点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，当点A'恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为．18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，sin∠BCD=14，连接AC，BD，当△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，则AC的值为．三、解答题（10小题，共96分）19．（10分）计算：（1）(√3)2−π°+√3cos30°；（2）(12)−2−tan45°+|﹣5|．20．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，已知3b＝2c，斜边上的高CD=√3．（1）求tan A的值；（2）求BD的长．̂上一点，连接BD，AD，OC，21．（10分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；̂的长．（结果保留π）（2）若弦BC＝18cm，求图中劣弧BC22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP．（1）求AP的长；（2）求tan∠DCP的值．23．（10分）如图，在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．（1）在BC边上求作点P，使∠MPN＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．（2）若AB＝9，BM＝5，设CN＝a，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a＝．24．（10分）如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作CE⊥AC，交AD的延长线于点E，连接DB，且CD＝CE．（1）求证：直线DC 与⊙O 相切；（2）若AB ＝15，tan ∠BDC =12，求CE 的长．25．（10分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝2.5米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C ，仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B ，仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）26．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm /s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm /s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当t ＝2时，PQ ＝ ； （2）在运动过程中，当∠DPQ ＝45°时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．27．（10分）已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的⊙O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝8）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AC恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD ＝；（2）将图1中摆放的三角板的顶点A在⊙O上逆时针滑动，若直角顶点C恰好落在x轴的正半轴上，此时BC边与⊙O相切于点M，求点C的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点C恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG＝1，求GH的长．28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2(−12，−1)，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是（填字母）；（2）直线y=−12x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足tan∠CPD=12，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为√2，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校、匡园双语中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）sin60°的值为（ ） A ．√32B ．√22C ．1D ．12【分析】直接根据sin60°=√32求解． 【解答】解：sin60°=√32．故选：A ．2．（3分）已知⊙O 的半径为4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．不能确定【分析】点在圆上，则d ＝r ；点在圆外，d ＞r ；点在圆内，d ＜r （d 即点到圆心的距离，r 即圆的半径）． 【解答】解：∵OP ＝3＜4，故点P 与⊙O 的位置关系是点P 在圆内． 故选：A ．3．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．12B ．2C ．√55D ．25√5【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得 AB =√AC 2+BC 2=√5． 由锐角的余弦，得cos A =ACAB =15=√55． 故选：C ．4．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝35°，那么∠BAD 等于（ ）A．35°B．55°C．65°D．都不对【分析】先利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABD ＝35°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝35°，∴∠ACD＝∠ABD＝35°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝55°，故选：B．5．（3分）在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为80°，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A．40°B．160°C．80°或160°D．40°或140°【分析】根据题意画出图形，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：当点C在优弧AB上时，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB＝40°，当点C在劣弧AB上时，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝140°，∴弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°，故选：D．6．（3分）下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B ．任何三角形有且只有一个内切圆C ．三点确定一个圆D ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等【分析】根据切线的判定定理对A 进行判断；根据三角形内心的定义对B 、D 进行判断；根据确定圆的条件对C 进行判断．【解答】解：A 、过半径的外端垂直于半径的直线是这个圆的切线，所以A 选项错误； B 、任何三角形有且只有一个内切圆，所以B 选项正确； C 、不共线的三点确定一个圆，所以C 选项错误；D 、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，所以D 选项错误． 故选：B ．7．（3分）已知∠A 是锐角，且cos A =34，那么锐角A 的取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°【分析】由cos30°=√32，cos45°=√22，再根据锐角余弦函数值随角度的增大而减小进行分析即可． 【解答】解：∵√22＜34＜√32， 又∵cos30°=√32，cos45°=√22，锐角余弦函数值随角度的增大而减小， ∴30°＜∠A ＜45°． 故选：B ．8．（3分）如图，AB 是半⊙O 的直径，点C 是AB ̂的中点，点D 为BC ̂的中点，连接AD ，CE ⊥AD 于点E ．若DE ＝1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．2√2C ．√2+1D ．3√2+2【分析】连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得EC ＝ET ，连接CT ．证明TA ＝TC =√2EC ，EC ＝DE ，可得结论．【解答】解：如图，连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得EC ＝ET ，连接CT ．∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵点C 是AB ̂的中点， ∴AC ̂=BC ̂， ∴AC ＝CB ，∴∠CAB ＝∠ABC ＝45°， ∵点D 为BC ̂的中点， ∴CD̂=DB ̂， ∴∠CAD ＝∠DAB ＝22.5°，∵∠ADC ＝∠ABC ＝45°，CE ⊥DE ，DE ＝1， ∴∠CED ＝90°， ∴∠ECD ＝∠EDC ＝45°， ∴EC ＝DE ＝1，∴EC ＝DE ＝1，CT =√2， ∵∠ETC ＝45°＝∠TAC +∠ACT ， ∴∠TAC ＝∠TCA ＝22.5°， ∴AT ＝TC =√2， ∴AE ＝AT +TE =√2+1． 故选：C ．9．（3分）如图，△ABC 中BC ＝6，∠A ＝60°，点O 为△ABC 的重心，连接AO 、BO 、CO ，若固定边BC ，使顶点A 在△ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC 的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（ ）A ．2＜AO ≤3√2B ．3≤AO ≤3√2C ．3≤AO ≤2√3D ．2＜AO ≤2√3【分析】作△ABC 的外接圆，延长AO 交BC 于D ，因此A 在BAĈ上运动，由三角形重心的性质得到D 是BC 的中点，AO =23AD ，当AD ⊥BC 时，AD 长最大，求出AD =√32BC =√32×6＝3√3，推出3＜AD ≤3√3，得到3×23＜AO ≤3√3×23，即可求出AO 的取值范围． 【解答】解：作△ABC 的外接圆O ′，延长AO 交BC 于D ，∵∠BAC 的大小不变，∴A 在BAC ̂上运动（不与B 、C 重合），∵O 是△ABC 的重心，∴D 是BC 的中点，当AD ⊥BC 时，AD 长最大，∴AD 垂直平分BC ，∴AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AD =√32BC =√32×6＝3√3，∵A 不与B 、C 重合，∴12BC ＜AD ， ∴3＜AD ≤3√3，∵O 是△ABC 的重心，∴AO =23AD ，∴3×23＜AO ≤3√3×23，∴2＜AO ≤2√3．故选：D ．10．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，CE 平分∠ACB ，BD ⊥CE ，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若∠ABC ＝30°，则BD ＞AD ；②若∠ABC ＝45°，则S △ACE ＝4S △BDE ；③若sin ∠ABC =13，则S △ABC ＝S △ABD ；④若tan ∠ABC ＝m ，则CE ＝2m •BD ．正确的有（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【分析】①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，证明BD ＝DG ，根据直角三角形斜边中线的性质得AD ＝BD ，可作判断；②如图2，过点E 作EF ⊥BC 于F ，设AE ＝x ，则BF ＝EF ＝x ，BE =√2x ，AB ＝AC ＝x +√2x ，证明△BDE ∽△CAE ，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可作判断；③根据sin ∠ABC =EF BE =AC BC =13，设EF ＝a ，BE ＝3a ，则AE ＝EF ＝a ，证明Rt △ACE ≌Rt △FCE （HL ），得AC ＝CF =√2a ，根据三角形面积公式进行计算可作判断；④如图4，延长BD ，CA 交于点G ，证明△AEC ∽△AGB ，列比例式，并结合三角函数可作判断．【解答】解：①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，∵∠ABC ＝30°，∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝30°，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠BCD＝30°，∴∠DBC＝60°，∴△GBC是等边三角形，∵CD⊥BG，∴BD＝DG，Rt△BAG中，AD=12BG＝BD，故①错误；②如图2，过点E作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，∴AE＝EF，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴AB＝AC，同理得△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝EF，设AE＝x，则BF＝EF＝x，BE=√2x，AB＝AC＝x+√2x，∴CE=√AE2+AC2=√x2+(x+√2x)2=√4+2√2x，∵∠DEB＝∠AEC，∠BDE＝∠EAC＝90°，∴△BDE∽△CAE，∴S△ACES△BDE =（CEBE）2=(4+2√2)x22x2=2+√2，∴S△ACE＝（2+√2）S△BDE，故②错误；③如图3，过点E作EF⊥BC于F，∵sin∠ABC=EFBE=ACBC=13，设EF＝a，BE＝3a，则AE＝EF＝a，∴BF＝2√2a，∵∠EAC＝∠CFE＝90°，CE＝CE，∴Rt△ACE≌Rt△FCE（HL），∴AC＝CF=√2a，延长BD，CA交于点G，∵∠GCD＝∠BCD，CD⊥BG，∴∠CBD＝∠G，∴CG＝CB＝3√2a，BD＝DG，∴AG＝2√2a，∴S△ABD=12•S△ABG=12×12×2√2a×4a＝2√2a2，S△ABC=12•√2a•4a＝2√2a2，∴S△ABC＝S△ABD；故③正确；④如图4，延长BD，CA交于点G，∵∠BDE＝∠CAE＝90°，∠DEB＝∠AEC，∴∠ACE＝∠DBE，∵∠EAC＝∠BAG＝90°，∴△AEC∽△AGB，∴CEBG =ACAB，由③知：BG＝2BD，∵tan∠ABC=ACAB=m，∴CE2BD=m，∴CE＝2m•BD．故④正确；本题正确的结论有：③④．故选：D．二、填空题（每空3分，共24分）11．（3分）已知α是锐角，tanα=45，则cosα＝5√4141．【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算即可．【解答】解：设∠A＝α，所在的直角三角形为△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所得的边为a，b，c，∵tanα=45，即ab=45，设a＝4k，则b＝5k，∴c=√a2+b2=√41k，∴cosα=bc=41k=5√4141．故答案为：5√4141． 12．（3分）一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是 25 m ．【分析】根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．【解答】解：由题意得：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝50m ，则BC =12AB =12×50＝25（m ），所以这山的高度是25m ，故答案为：25．13．（3分）圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝ 120 °．【分析】设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，根据圆内接四边形的性质求出x ，得到∠B 的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，则2x +7x ＝180°，解得，x ＝20°，∴∠B ＝3x ＝60°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，故答案为：120．14．已知圆锥的母线长8cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积是 24π cm 2．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．【解答】解：圆锥的侧面积＝πrl ＝π•3•8＝24π（cm 2）．故答案为：24π．15．（3分）如图，点O 、I 分别是锐角△ABC 的外心、内心，若∠CAB ＝6∠OAC ＝48°，则∠BCI ＝ 25 °．【分析】连接OC，如图，先计算出∠OAC＝8°，再根据三角形外心的性质得到OA＝OC，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠AOC＝164°，接着根据圆周角定理得到∠ABC＝82°，则利用三角形内角和可计算出∠ACB＝50°，然后根据三角形内心的性质得到∠BCI的度数．【解答】解：连接OC，如图，∵∠CAB＝6∠OAC＝48°，∴∠OAC＝8°，∵点O是锐角△ABC的外心，∴OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝8°，∴∠AOC＝180°﹣8°﹣8°＝164°，∴∠ABC=12∠AOC＝82°，∵∠ACB+∠CAB+∠ABC＝180°，∴∠ACB＝180°﹣48°﹣82°＝50°，∵点O是锐角△ABC的内心，∴∠BCI=12∠ACB=12×50°＝25°．故答案为：25．16．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1.（结果保留π）【分析】证明阴影部分的面积=14（S圆O﹣S正方形ABCD），可得结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于J，K．则⊙O被分成5个部分，其中4个部分是全等图形，∴图中阴影部分的面积=14（4π﹣4）＝π﹣1．故答案为：π﹣1．17．（3分）将点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，当点A'恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为（﹣3+√2，0）或（﹣3−√2，0）．【分析】如图，设G（m，0），由点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，可得A′（3+m，m+3），根据OA′＝2，构建方程求出m即可．【解答】解：如图，设G（m，0），∵点A （﹣3，3）绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点A '，∴A ′（3+m ，m +3），∵OA ′＝2，∴（3+m ）2+（3+m ）2＝22，解得，m ＝﹣3±√2，∴G （﹣3+√2，0）或（﹣3−√2，0）．故答案为：(−3+√2，0)或(−3−√2，0)．18．（3分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD +∠BCD ＝90°，BC ＝8，CD ＝6，sin ∠BCD =14，连接AC ，BD ，当△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为 2√13或√73 ．【分析】由△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形，因此要分以下两种情况进行讨论：①当BD ＝BA 时，过点B 作BH ⊥AD 于H ，过点C 作CE ⊥CD ，在CE 上截取CE =12BC ＝4，连接BE ，先证△BAD ∽△BCE 得∠ABD ＝∠CBE ，∠BDA ＝∠BEC ，进而证△ABC 和△DBE 全等得AC ＝DE ，然后在Rt △DCE 中，利用勾股定理求出DE 即可；（2）当BD ＝AD 时，过点D 、作DN ⊥AB 于N ，过点C 作CM ⊥CD ，在CM 上截取CM ＝2BC ＝16，连接BM ，先证△ABD ∽CBM ，得∠ABD ＝∠CBM ，进而证△ABC ∽△DBM 得BC ：DM ＝AB ：BD ＝1：2，则BC =12DM ，然后在Rt △DCM 中，利用勾股定理求出DM ．【解答】解：∵△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况：①当BD ＝BA 时，过点B 作BH ⊥AD 于H ，过点C 作CE ⊥CD ，在CE 上截取CE =12BC ＝4，连接BE ，如图1所示：∵BD＝BA，BH⊥AD，∴∠BAD＝∠BDA，AD＝2AH，∠BAD+∠ABH＝90°，∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠ABH＝∠BCD，∵sin∠BCD=1 4，∴sin∠ABH=AHAB=14，∴AB＝4AH＝2AD，∴AD：AB＝1：2，∵CE=12BC＝4，∴BC：CE＝1：2，∴AD：AB＝BC：CE，∵CE⊥CD，∴∠BCE+∠BCD＝90°．∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，又AD：AB＝BC：CE，∴△BAD∽△BCE，∴∠ABD＝∠CBE，∠BDA＝∠BEC，∴∠BDA＝∠BEC＝∠BDA＝∠BCE，∴BC＝BE＝8，∵∠ABD ＝∠CBE ，∴∠ABD +∠DBC ＝∠CBE +∠DBC ， 即∠ABC ＝∠DBE ， 在△ABC 和△DBE 中， {BD =BA∠ABC =∠DBE BC =BE， ∴△ABC ≌△DBE （SAS ）， ∴AC ＝DE ，在Rt △DCE 中，CD ＝6，CE ＝4，由勾股定理得：DE =√CD 2+CE 2=2√13， ∴AC ＝DE =2√13．（2）当BD ＝AD 时，过点D 、作DN ⊥AB 于N ，过点C 作CM ⊥CD ， 在CM 上截取CM ＝2BC ＝16，连接BM ，如图2所示：∵BD ＝AD ，DN ⊥AB ，∴∠DAB ＝∠DBA ，AB ＝2AN ，∠ADN +∠BAD ＝90°， 又∵∠BAD +∠BCD ＝90°， ∴∠ADN ＝∠BCD ， ∵sin ∠BCD =14，∴sin∠ADN=ANAD=14，∴AD＝4AN＝2AB，∴AB：AD＝1：2，∵CM＝2BC＝16，∴BC：CM＝1：2，∴AB：AD＝BC：CM，∵CM⊥CD，∴∠BCM+∠BCD＝90°，又∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠BCM，又∵AB：AD＝BC：CM，∴△ABD∽CBM，∴∠ABD＝∠CBM，∴∠ABD＝∠CBM＝∠DAB＝∠BCM，∴BM＝CM＝2BC＝16，∵∠ABD＝∠CBM，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBM+∠DBC，即∠ABC＝∠DBM，∵AB：BD＝1：2，BC：BM＝1：2，∴AB：BD＝BC：BM，∴△ABC∽△DBM，∴BC：DM＝AB：BD＝1：2，∴BC=12 DM，在Rt△DCM中，CD＝6，CM＝16，由勾股定理得：DM=√CD2+CM2=2√73，∴BC=12DM=√73．综上所述：AC的长为2√13或√73．三、解答题（10小题，共96分）19．（10分）计算：（1）(√3)2−π°+√3cos30°； （2）(12)−2−tan45°+|﹣5|．【分析】（1）先计算二次根式、零次幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减； （2）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算加减． 【解答】解：（1）(√3)2−π°+√3cos30° ＝3﹣1+√3×√32 ＝3﹣1+32 =72；（2）(12)−2−tan45°+|﹣5| ＝4﹣1+5 ＝8．20．（9分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，已知3b ＝2c ，斜边上的高CD =√3． （1）求tan A 的值； （2）求BD 的长．【分析】（1）首先利用勾股定理用b 表示a ，然后利用tan A 的定义即可求解； （2）首先利用已知条件证明∠A ＝∠BCD ，然后利用已知条件即可求解． 【解答】解：（1）∵3b ＝2c ， ∴c =32b ，而a =√c 2−b 2=√52b ， ∴tan A =a b =√52； （2）∵CD ⊥AB 于D ， ∴∠ADC ＝90°＝∠ACB ，∴∠A +∠ACD ＝∠ACD +∠BCD ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD ， ∴tan A ＝tan ∠BCD ， ∴BD CD=√52，而CD=√3，∴BD=√152．21．（10分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BĈ上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝18cm，求图中劣弧BĈ的长．（结果保留π）【分析】（1）连接OB，结合垂径定理得到弧AB＝弧AC，，根据“同圆或等圆中，等弧所对的圆心角为圆周角的两倍”得到∠AOB和∠AOC之间的关系，进而求出∠AOC的度数；（2）要求劣弧弧BC的长，需要知道圆的半径以及弧所对圆心角的度数，由垂径定理得到BE的长，进而在Rt△BOE中利用勾股定理求出OE的长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．【解答】解：（1）连接OB，∵OA⊥BC，∴弧AB＝弧AC，∴∠AOC＝∠AOB，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，∴∠AOC＝∠AOB＝60°．（2）∵OA⊥BC，∴BE =12BC =9，在Rt △BOE 中，∠AOB ＝60°， ∴OB ＝2OE ，∴BE =√OB 2−OE 2=√3OE =9， ∴OE =3√3cm ，OB =6√3cm ． ∴劣弧BC 的长=120π×6√3180=4√3π(cm)． 22．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点，将△CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ． （1）求AP 的长； （2）求tan ∠DCP 的值．【分析】（1）连接PB ，由四边形ABCD 是矩形，H 是AB 的中点，得∠ABC ＝90°，AH ＝BH =32，则CH =√BH 2+BC 2=52，由折叠得PH ＝BH ＝AH ，CH 垂直平分PB ，则∠HPB ＝∠HBP ，∠HP A ＝∠HAP ，可证明∠APB ＝90°，则AP ∥CH ，∠P AB ＝∠BHC ，所以AP AB=cos ∠BHC =35，则AP =35AB =95；（2）作PE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ，则EF ＝BC ＝2，∠BFE ＝∠AFP ＝90°，所以AF AP =cos ∠P AB =35，PF AP=sin ∠BHC =45，则AF =35AP =2725，PF =45AP =3625，所以CE ＝BF =4825，PE =1425，即可求得tan ∠DCP =PECE =724．【解答】解：（1）连接PB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点， ∴∠ABC ＝90°，AH ＝BH =12AB =32， ∴CH =√BH 2+BC 2=√(32)2+22=52，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH ＝BH ＝AH ， ∴CH 垂直平分PB ，∠HPB ＝∠HBP ，∠HP A ＝∠HAP ，∴∠APB ＝∠HPB +∠HP A ＝∠HBP +∠HAP =12×180°＝90°， ∵AP ⊥BP ，CH ⊥BP ， ∴AP ∥CH ， ∴∠P AB ＝∠BHC ，∴APAB =cos ∠P AB ＝cos ∠BHC =BH CH =3252=35， ∴AP =35AB =35×3=95， ∴AP 的长是95．（2）作PE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ， ∵∠FEC ＝∠ECB ＝∠FBC ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形， ∴EF ＝BC ＝2，∠BFE ＝90°， ∴∠AFP ＝90°， ∴AF AP=cos ∠P AB =35，PFAP=sin ∠P AB ＝sin ∠BHC =BC CH =252=45， ∴AF =35AP =35×95=2725，PF =45AP =45×95=3625， ∴CE ＝BF ＝AB ﹣AF ＝3−2725=4825，PE ＝EF ﹣PF ＝2−3625=1425， ∴tan ∠DCP =PE CE =14254825=724， ∴tan ∠DCP 的值为724．23．（10分）如图，在等边△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 边上．（1）在BC 边上求作点P ，使∠MPN ＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．（2）若AB ＝9，BM ＝5，设CN ＝a ，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则a ＝8120．【分析】（1）以A 为圆心，AN 为半径作弧，交AB 于点D ，作△DMN 的外接圆，交BC 于P 1、P 2，即可完成作图；（2）证△MBP ∽△PCN ，可得MB BP 1=CP 1CN，设BP 1＝x ，列出方程5x=9−x a，整理得x 2﹣9x +5a ＝0，当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点P 有两个，当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点P 只有一个，当该方程没有实数根时，对应满足条件的点P 不存在，进而可以解决问题．【解答】解：（1）①以A 为圆心，AN 为半径作弧，交AB 于点D ， ②作△DMN 的外接圆，交BC 于P 1、P 2， 如图，点P 1、P 2即为所求；（2）如图，∵∠MP 1N ＝60°， ∴∠MP 1B +∠CP 1N ＝120°， 在等边△ABC 中，∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠MP 1B +∠BMP 1＝120°， ∴∠BMP 1＝∠CP 1N ， ∴△MBP 1∽△P 1CN ， ∴MB BP 1=CP 1CN，设BP 1＝x ，∴5x =9−x a，∴5a ＝9x ﹣x 2， ∴x 2﹣9x +5a ＝0， ∵只能作出唯一的点P ， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣9）2﹣20a ＝81﹣20a ＝0， ∴a =8120． 故答案为：8120．24．（10分）如图，点C 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点D 是⊙O 上一点，过C 作CE ⊥AC ，交AD 的延长线于点E ，连接DB ，且CD ＝CE ． （1）求证：直线DC 与⊙O 相切；（2）若AB ＝15，tan ∠BDC =12，求CE 的长．【分析】（1）连接OD ，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出∠ODC ＝90°，则OD ⊥DC ，可得出结论；（2）证明△BCD ∽△DCA ，由相似三角形的性质得出BC CD=CD AC=BD AD，设CB ＝x ，则CD ＝2x ，得出方程（2x ）2＝x •（x +15），解方程求出x 即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OD ，∵CE ⊥AC ， ∴∠ACE ＝90°， ∴∠A +∠E ＝90°， ∵CD ＝CE ， ∴∠E ＝∠CDE ， ∴∠A +∠CDE ＝90°， ∵OA ＝OD ， ∴∠A ＝∠ADO ， ∴∠ADO +∠CDE ＝90°， ∴∠ODC ＝90°， ∴OD ⊥DC ， ∴DC 与⊙O 相切；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠A +∠ABD ＝90°， 又∵∠BDC +∠ODB ＝90°， ∴∠BDC ＝∠A ， ∵∠BCD ＝∠ACD ， ∴△BCD ∽△DCA ， ∴BC CD=CD AC=BD AD，∵tan ∠BDC ＝tan ∠A =BDAD =12， 设CB ＝x ，则CD ＝2x ， ∴CD 2＝CB •CA ，∴（2x ）2＝x •（x +15）， ∴x ＝5， ∴CD ＝CE ＝10．25．（10分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝2.5米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C ，仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B ，仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【分析】过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长DC 交AB 的延长线于F ，解直角三角形求出CN 、BN 的长，得出BF 的长，再求出AE AB≈34，设AE ＝3x 米，则AB ＝4x 米，AF ＝AB +BF ＝（4x +3.5）米，AD ＝AE +DE＝（3x +4.5）米，然后证AF ＝AD ，则4x +3.5＝3x +4.5，解得x ＝1，即可求解． 【解答】解：过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长DC 交AB 的延长线于F ，如图所示： 则CN ∥AD ，∴∠NCF ＝∠ADC ＝45°，在Rt △BCN 中，CN ＝BC •sin37°≈2.5×35=1.5（米），BN ＝BC •cos37°≈2.5×45=2（米）， 在Rt △CNF 中，∠NCF ＝45°， ∴△CNF 是等腰直角三角形， ∴NF ＝CN ＝1.5（米）， ∴BF ＝BN +NF ＝3.5（米）， 在Rt △ABE 中，∠AEB ＝53°， ∴∠ABE ＝37°，∴tan ∠ABE ＝tan37°=AE AB ≈34，设AE ＝3x 米，则AB ＝4x 米，AF ＝AB +BF ＝（4x +3.5）米，AD ＝AE +DE ＝（3x +4.5）米， 在Rt △ADF 中，∠ADC ＝45°， ∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AF＝AD，即4x+3.5＝3x+4.5，解得：x＝1，∴AB＝4x＝4（米）．答：匾额悬挂的高度AB的长约为4米．26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t秒．（1）在运动过程中，当t＝2时，PQ＝4√2cm；（2）在运动过程中，当∠DPQ＝45°时，求t的值；（3）在运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个公共点时，请直接写出t的取值范围．【分析】解：（1）当t＝2时，AP＝2×1＝2（cm），BQ＝2×2＝4（cm），可得BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4（cm），故PQ=√BP2+BQ2=4√2（cm）；（2）连接DP，过Q作QM⊥DP于M，过M作MN⊥AB于N，过Q作QK⊥MN于K，根据题意可知，AP＝t cm，BQ＝2t cm，由∠DPQ＝45°，可得△PQM是等腰直角三角形，从而△PMN≌△MQK（AAS），PN＝MK，MN＝QK，设PN＝MK＝x cm，则（6﹣t）+x＝2t﹣x，得x=3t−62，证明△MPN∽△DP A，有即3t−62t=t+6212，即可解得t的值为15﹣3√17；（3）当⊙Q与AD相切于T时，⊙Q与矩形ABCD的边共有3个公共点，连接QT，可得√(6−t)2+(2t)2=6，解得t＝0（舍去）或t＝2.4，当⊙Q经过D时，⊙Q与矩形ABCD的边共有3个公共点，可得√(6−t)2+(2t)2=√(12−2t)2+62，解得t＝6√13−18或t＝﹣6√13−18（舍去），由图可知，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点，需满足2.4＜t＜6√13−18．【解答】解：（1）当t＝2时，AP＝2×1＝2（cm），BQ＝2×2＝4（cm）∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4（cm），∴PQ=√BP2+BQ2=√42+42=4√2（cm），故答案为：4√2cm；（2）连接DP，过Q作QM⊥DP于M，过M作MN⊥AB于N，过Q作QK⊥MN于K，如图：根据题意可知，AP＝t cm，BQ＝2t cm，∴BP＝（6﹣t）cm，由作图可知四边形BQKN是矩形，∴BN＝QK，BQ＝NK＝2t cm，∵∠DPQ＝45°，∴△PQM是等腰直角三角形，∴∠PMQ＝90°，PM＝QM，∴∠PMN＝90°﹣∠QMK＝∠KQM，∵∠MNP＝90°＝∠QKM，∴△PMN≌△MQK（AAS），∴PN＝MK，MN＝QK，设PN＝MK＝x cm，则MN＝NK﹣MK＝（2t﹣x）cm＝QK，∵BN＝QK，∴（6﹣t）+x＝2t﹣x，∴x=3t−6 2，∴PN=3t−62（cm），MN＝2t−3t−62=t+62（cm），∵∠MPN＝∠DP A，∠MNP＝90°＝∠A，∴△MPN ∽△DP A ，∴PN AP =MN AD ，即3t−62t =t+6212，解得t ＝15+3√17（舍去）或t ＝15﹣3√17；∴t 的值为15﹣3√17；（3）当⊙Q 与AD 相切于T 时，⊙Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，如图：∵∠A ＝∠B ＝∠ATQ ＝90°，∴四边形ABQT 是矩形，∴QT ＝AB ＝6cm ＝PQ ，∴√(6−t)2+(2t)2=6，解得t ＝0（舍去）或t ＝2.4，由图可知，⊙O 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足t ＞2.4；当⊙Q 经过D 时，⊙Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，如图：此时PQ＝DQ，∴√(6−t)2+(2t)2=√(12−2t)2+62，解得t＝6√13−18或t＝﹣6√13−18（舍去），由图可知，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点，需满足t＜6√13−18；∴当2.4＜t＜6√13−18时，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点．27．（10分）已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的⊙O交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝8）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AC恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD＝5√33；（2）将图1中摆放的三角板的顶点A在⊙O上逆时针滑动，若直角顶点C恰好落在x轴的正半轴上，此时BC边与⊙O相切于点M，求点C的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点C恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG＝1，求GH的长．【分析】（1）连接OD，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）连接OM，过点O作OE⊥AC于点E，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质求得AE，利用勾股定理解答即可得出结论；（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点G在点P的上方时，过点O作OF⊥CH 于点F，连接AH，利用圆周角定理，勾股定理和垂径定理求得线段HF的长度，再利用三角形的中位线定理和勾股定理求得GF的长度，则GH＝GF﹣HF；②当点G在点P的下方时，过点O作OK⊥CH 于点K，连接AH，利用①的方法解答即可．【解答】解：（1）连接OD，如图，∵AC 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠A ＝60°，∴tan A =OD AD ，∴AD =OD tan60°=5√3=5√33． 故答案为：5√33； （2）连接OM ，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，如图，∵BC 边与⊙O 相切于点M ，∴OM ⊥BC ，∵OE ⊥AC ，∠ACB ＝90°，∴四边形OMCE 为矩形，∴CE ＝OM ＝5．∵AC ＝8，∴AE＝AC﹣CE＝3，∴OE=√OA2−AE2=√52−32=4，∴OC=√OE2+CE2=√42+52=√41．∴C（√41，0）；（3）①当点G在点P的上方时，如图，过点O作OF⊥CH于点F，连接AH，∵∠ACB＝90°，∴AH为⊙O的直径，∴AH经过点O，AH＝10．∴CH=√AH2−AC2=6．∵OF⊥CH，∴CF＝HF=12CH＝3．∵OF⊥CH，AC⊥CH，∴OF∥AC，∴OF为△HAC的中位线，∴OF=12CA＝4．∵PG＝1，∴OG＝OP+PG＝5+1＝6，∴GF=√OG2−OF2=√62−42=2√5，∴GH＝GF﹣HF＝2√5−3；②当点G在点P的下方时，如图，过点O作OK⊥CH于点K，连接AH，∵∠ACB＝90°，∴AH为⊙O的直径，∴AH经过点O，AH＝10．∴CH=√AH2−AC2=6．∵OK⊥CH，∴CF＝HK=12CH＝3．∵OK⊥CH，AC⊥CH，∴OK∥AC，∴OK为△HAC的中位线，∴OK=12CA＝4．∵PG＝1，∴OG＝OP﹣PG＝4，∴OG＝OK，∴点G，K重合，∴GH＝HK＝3．综上，GH的长为2√5−3或3．28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2(−12，−1)，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是P1，P2（填字母）；（2）直线y=−12x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足tan∠CPD=12，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为√2，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．【分析】（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，勾股定理的逆定理得出∠AOP1＝90°，∠AOP2＝90°，即可求解；（2）依题意，点C关于点D的“联络点”P在过点C的CD的垂线上，进而得出直线CP的解析式为y＝2x﹣4，设P（p，2p﹣4），根据CP＝2CD＝2√5，建立方程，解方程，即可求解；（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，根据△PMN是等腰直角三角形，得出△PQM≌△MQN，进而得出即点P在直线y＝x+4上，当PS与⊙T相切时，TS=√2×√2=2，结合图形，即可求解．【解答】解：（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，∴∠AOP＝90°，∵点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2（−12，﹣1），P3（﹣2，1）中，∴AO=√5，OP1=√5，AP1=√10，则OP12+OA2=AP12，∴∠AOP1＝90°，∴OP2=√52，AP2=52，则AP22=OA2+OP22，∴∠AOP2＝90°，如图1，∠AOP3≠90°，∴O 关于点A 的“联络点”是P 1，P 2；故答案为：P 1，P 2；（2）如图2，依题意，点C 关于点D 的“联络点”P 在CD 的垂线上且过点C ，∵直线y =−12x +1与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，当x ＝0时，y ＝1，当y ＝0时，x ＝2，∴C （2，0），D （1，0），∴OD ＝1，OC ＝2，∴tan ∠COD =OD OC =12，CD =√OD 2+OC 2=√5， ∵tan ∠CPD =12，∴CP 1＝2√5，∴DP 1＝5，则P 1（0，﹣4），设直线CP 的解析式为y ＝kx ﹣4，则0＝2k ﹣4，解得：k ＝2，∴直线CP 的解析式为y ＝2x ﹣4；设P （p ，2p ﹣4），∵tan ∠CPD =12，∴CD CP =12，∴CP＝2CD＝2√5，∴（p﹣2）2+（2p﹣4）2=(2√5)2，解得：p＝4或p＝0，∴P（4，4）或P（0，﹣4）；（3）如图3，点P是M关于N的“联络点”，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则△PMN是等腰直角三角形，∴PM＝MN，∠PMN＝90°，∵∠PMQ+∠OMN＝90°，∠ONM+∠OMN＝90°，∴∠PMQ＝∠ONM，∴△PQM≌△MON（AAS），∴ON＝QM，OM＝QP，设M（0，m），∵N（4，0），∴OQ＝4+m，PQ＝m，∴P（m，4+m），即点P在直线y＝x+4上，设直线y＝x+4与y轴交于点S，则S（0，4），依题意可知，P在⊙T上，如图4，当PS与⊙T相切时，TS=√2×√2=2，第41页（共41页）∴T （0，2）或T （0，6），结合图形可得2≤t ≤6；如图5，根据对称性可得﹣2≤t ≤﹣6也符合题意，综上所述，2≤t ≤6或﹣2≤t ≤﹣6．。
2018江苏无锡宜兴实验中学九年级上数学期中试卷
2018-2019学年江苏省无锡市宜兴实验中学九年级（上）期中数学试卷与答案一、选择题（本大题共有10小题，每题3分，共计30分）1．一元二次方程x 2+x ﹣2=0的根的情况是（ A ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．已知点P 在半径为r 的⊙O 外，点P 与点O 的距离为4，则r 的取值范围是（ C ）A ．r ＞4B ．r ≥4C ．r ＜4D ．r ≤43．为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（ D ） 阅读量（单位：本/周）0 1 2 3 4 人数（单位：人）1 4 62 2 A ．中位数是2 B ．平均数是2 C ．众数是2 D ．极差是24．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（ B ）A ．15πB ．24πC ．20πD ．10π5．若x=﹣2是关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣a 2=0的一个根，则a 的值为（ C ）A ．﹣1或4B ．﹣1或﹣4 C ．1或﹣4 D ．1或46．如图，AB 是⊙O 的直径，直线PA 与⊙O 相切于点A ，PO 交⊙O 于点C ，连接BC ．若∠P=40°，则∠ABC 的度数为（ B ）A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°7．若（a 2+1）2﹣2（a 2+1）﹣3=0，则a 2等于（ A ）A．2 B．﹣2 C．±2 D．以上都不对8．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ C ）A．50cm B．25cm C．50cm D．50cm9．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ C ）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=19610．如图，扇形OMN与正方形ABCD，半径OM与边AB重合，弧MN的长等于AB的长，已知AB=2，扇形OMN沿着正方形ABCD逆时针滚动到点O首次与正方形的某顶点重合时停止，则点O经过的路径长（ B ）A．4πB．2+4πC．4π﹣2 D．以上都不对二、填空题（本大题共8空，每空2分，共计16分）11．方程2x2+4x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2= ﹣2 ．12．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是．13．图中△ABC外接圆的圆心坐标是（5，2）．14．如果一组数据x1，x2，…，x n的方差是5，则另一组数据x1+5，x2+5，…，x n+5的方差是 5 ．15．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=140°，则∠AOC的度数是80 度．16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C点为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，则弦AD的长为．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为80 °．18．如图，平面直角坐标系中，已知点M（2，3）、以点B（3，4）为圆心，3为半径作⊙B，N是⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为5﹣3 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．解方程：（1）（2x﹣5）2=9（2）x2﹣4x=96（3）3x2+5x﹣2=0（4）2（x﹣3）2=﹣x（3﹣x）解：（1）2x﹣5=3或2x﹣5=﹣3，解得：x=4或x=1；（2）x2﹣4x﹣96=0，则（x+8）（x﹣12）=0，∴x+8=0或x﹣12=0，解得：x=﹣8或x=12；（3）∵（x+2）（3x﹣1）=0，∴x+2=0或3x﹣1=0，解得：x=﹣2或x=；（4）2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，∴（x﹣3）（2x﹣6﹣x）=0，即（x﹣3）（x﹣6）=0，∴x﹣3=0或x﹣6=0，解得：x=3或x=6．20．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并求出线段AB旋转到点A1B1所扫过的面积．解：如图，菱形OA1B1C1即为所求．∵OA==，OB==，∴线段AB旋转到点A1B1所扫过的面积=S扇形BOB1﹣S扇形OAA1=﹣=．21．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x=0是此方程的一个根，∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，∴m=0或m=﹣1，∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．22．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图1中a的值为25 ；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．解：（Ⅰ）根据题意得：1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%=25%；则a的值是25；故答案为：25；（Ⅱ）观察条形统计图得：==1.61；∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是1.65；将这组数据从小到大排列为，其中处于中间的两个数都是1.60，则这组数据的中位数是1.60．（Ⅲ）能；∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，∴根据中位数可以判断出能否进入前9名；∵1.65m＞1.60m，∴能进入复赛．23．在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．解：（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率==；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为6，所以刚好是一男生一女生的概率==．24．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心，AC为直径作⊙O，交BC于点E，过O作OD∥BC交⊙O于点D，连结AE，AD，DC．求证：（1）D是的中点；（2）∠DAO=∠B+∠BAD．解：（1）∵AC是直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而OD∥BC，∴OD⊥AE，∴OD平分弧AE，即点D是弧AE的中点；（2）延长AD交BC于点F′，如图，∵弧AD=弧ED，∴∠ACD=∠ECD，∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AF′，∴△CAF′为等腰三角形，∴CA=CF′，∴∠CAF′=∠AF′C，而∠AF′C=∠B+∠BAF′，∴∠CAF′=∠B+∠BAF′，即∠DAO=∠B+∠BAD．25．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一点．（1）过A、B、D三点作⊙O，交线段AC于点E（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若=，求证：AB是⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若AB=13，BC=10，求AE的长．（1）解：如图，⊙O即为所求；（2）证明：∵过A、B、D三点作⊙O，交线段AC于点E，∴A、B、D、E四点共圆，∴∠DEC=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠DEC=∠ACB，∴DE=CD，∵=，∴DE=BD，∴CD=BD，∴AD⊥BC，∴AB是⊙O的直径；（3）解：连结BE，∵AB是⊙O的直径，∴BE⊥AC，由勾股定理可得，AB2﹣AE2=BC2﹣（AC﹣AE）2，即132﹣AE2=102﹣（13﹣AE）2，解得AE=．故AE的长是．26．（10分）（2016•济宁校级模拟）阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1= 2 ，x2= ，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？解：（1）由上可知（x﹣2）（2x﹣3）=0∴x1=2，x2=；（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得消去y化简，得2x2﹣3x+2=0∵△=9﹣16＜0∴不存在矩形B；（3）（m+n）2﹣8mn≥0．设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得消去y化简，得2x2﹣（m+n）x+mn=0△=（m+n）2﹣8mn≥0即（m+n）2﹣8mn≥0时，满足要求的矩形B存在．27．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．（1）求返回时A、B两地间的路程；（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A 地到C地共锻炼多少分钟？解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：=，解得x=1800．答：A、B两地间的路程为1800米；（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，整理得y2﹣50y﹣104=0，解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．28．如图⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标是（﹣3，1），点A坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若⊙M沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒2个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值解：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．∵B（1，﹣），A（2，0），∴BE=，AE=1．∴AB==2．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=AD．∴菱形的周长=2×4=8．（2）如图2所示：⊙M与x轴的切线为F，AD的中点为E．∵M（﹣3，1），∴F（﹣3，0）．∵AD=2，且E为AD的中点，∴E（3，0）．∴EF=6．∴2t+3t=6．解得：t=．平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为⊙M与AD的切点．∵由（1）可知；AN=1，BN=，∴tan∠NAB=．∴∠NAB=60°．∴∠FAB=120°．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FAC=∠FAB=×120°=60°．∵AD为⊙M的切线，∴MF⊥AD．∵F为AD的中点，∴AF=MF=1．∴△AFM为等腰直角三角形．∴∠MAF=45°．∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=45°+60°=105°．（3）如图4所示，连接DM，过点M作MN⊥BD，垂足为N，并延长交x轴于P，作ME⊥AD，垂足为E．∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=120°，∴∠PDN=∠ADB=30°．∵BD、AD是⊙M的切线，∴∠PME=30°∵ME=1，在Rt△PME中，PM=，PE=，在Rt△PDN中，PN=PM﹣1=﹣1，∴PD=2PN=﹣2，∴DE=PE﹣PD=2﹣，∴EA=5+2﹣（2﹣）=5+．∴3t+2t=5+．∴t=1+．如图5所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=120°，∴∠PDN=∠ADB=30°．∵BD、AD是⊙M的切线，∴∠PME=30°．∵ME=1，在Rt△PME中，PM=，PE=，在Rt△PDN中，PN=PM+1=+1，∴PD=2PN=+2，∴DE=PD﹣PE=2+，∴EA=5+2+（2﹣）=9﹣．∴3t+2t=9﹣．∴t=+．综上所述当t=1+或t=+时，⊙M与AC相切．。
江苏省无锡市2018中考数学试题及答案WORD版
2018无锡中考试卷) D 3 0 C AB D D D D D EE E E E B E E个 6 A C.2 A.O B.1 D.3 4 a C ) B ) a2 则这5天中，A 产品平均每件的售价为（ C ）A.100 元B.95 元C.98 元D.97.5 元 8. 如图，矩形ABCD 中, G 是BC 中点，过A 、D G 三点的圆O 与边AB CD 分别交于点E 、点F ,给出下列说法: （1）AC 与BD 的交点是圆O 的圆心；（2）AF 与DE 的交点是圆O 的圆心；BC 与圆O 相切。
其中正确的说法的个 数是（C ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分 共30分） 1.下列等式正确的是（A ）A.圍=3B. 3C. v'3^=3D.(-阴2=—3 2.函数讨二2X 中自变量x 的取值范围是（ 4 —X A. X 一 ： 一4 B. x=4 C. X 弍一4 D. 3.下列运算正确的是（5.下列图形中的五边形 ABCDE 都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（ D ） x 乞4 .235A. a a aB.5 =a C. A.1 个 B.2 个 C.3m+n<0 B.m+n>0 C.m<n D.m>n3 -a a D. a4 a 3 = a 4.下面每个图形都是由 6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（D.4 个 已知点P （a ，m ）、Q （b , n ）都在反比例函数y 的图像上, x 且a<0<b,则下列结论一定成立的是（D ） 售价x （元/件） 90 95 100 105 110 销量y （件） 110 100 80 60 50 7.某商场为了解产品 A 的销售情况，在上个月的销售记录中， 随机抽取了 5天A 产品的销售记录，其售价x （元 /件）与对应的销售量 y （件）的全部数据如下表：。
无锡市中考数学试卷及答案(Word解析版)
无锡市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分．在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1．2-的值等于（ ▲ ） A ．2B ．-2C ．2±D ．2答案：A解析：负数的绝对值是它的相反数，所以｜－2｜＝2，选A 。
2．函数y=1-x ＋3中自变量x 的取值范围是（ ▲ ）A ．x ＞1B ．x ≥1C ．x ≤1D ．1≠x 答案：B解析：由二次根式的意义，得：x －1≥0，所以，x ≥1，选B 。
3.方程0321=--xx 的解为 （ ▲）A ．2=xB ．2-=xC ．3=xD ．3-=x答案：C解析：去分母，得：x －3（x －2）＝0，即x －3x ＋6＝0，解得：x ＝3，经检验x ＝3是原方程的解，选C ＞4.已知一组数据：15,13,15,16,17,16,14,15，则这组数据的极差与众数分别是（ ▲）A ．4,15B ．3,15C ．4,16D ．3,16答案：A解析：极差为：17－13＝4；数据15出现的次数最多，故众数为15，选A 。
5.下列说法中正确的是 （ ▲）A ．两直线被第三条直线所截得的同位角相等B ．两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补C ．两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直D ．两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直 答案：D解析：A 、B 都漏掉关键词“平行”，应该是“两条平行直线”，故错；两平行直线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相平行，不垂直，故C 错；由两直线平行，同旁内角互补，及角平分线的性质，可得D 是正确的。
6．已知圆柱的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则圆柱的侧面积是 （ ） A ．30cm 2 B ．30πcm 2 C ．15cm 2 D ．15πcm 2 答案：B解析：圆柱侧面展开图为长方形，长为圆柱的底面圆周长：6π，因此，侧面积为S ＝6π⨯5＝30πcm 27．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且∠ABC =70°，则∠AOC 的度数是 （ ） A ．35° B ．140° C ．70° D ．70°或140° 答案：B解析：同弧所对圆周角是它所对圆周角的一半，所以，∠AOC ＝2∠ABC ＝140°，选B 。
江苏省无锡市滨湖区2018-2019学年八年级上学期期中考试数学试题含参考答案
2018-2019学年江苏省无锡市滨湖区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．以下图形中对称轴的数量小于3的是（）A．B．C．D．2．下列各式中，正确的是（）A．（﹣）2＝9B．＝﹣2C．±＝±3D．＝﹣33．在实数：﹣3.14，，π，4.3333，中，无理数的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．把0.356按四舍五入法精确到0.01的近似值是（）A．0.3B．0.36C．0.35D．0.3505．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．AAS6．下列数组作为三角形的三条边，其中不能构成直角三角形的是（）A．1、、4B．1.5、2、2.5C．、、5D．、、7．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，EC＝5，△ABC的周长为26，则△BDC 的周长为（）A．14B．16C．18D．198．如图，在2×3的正方形网络中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点A的一条直线AE折叠Rt△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．45°10．如图，已知AB＝2，BF＝8，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，则△CDF与四边形ABDE的面积比值是（）A．1：1B．2：1C．1：2D．2：3二、填空题（每小题2分，共16分）11．﹣27的立方根是．12．若一个直角三角形的两直角边长分别为12、5，则其斜边长为．13．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝．14．如图，点D是BC上的一点，若△ABC≌△ADE，且∠B＝65°，则∠EAC＝°．15．如图，已知AD∥BC，DE、CE分别平分∠ADC、∠DCB，AB过点E，且AB⊥AD，若AB＝8，则点E到CD的距离为．16．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为厘米/秒．17．如图，在△ABC和△ADC中，已知AB＝8，∠ACB＝105°，∠B＝45°，且∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠D，则线段CD的长是．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是．三、解答题（共74分）19．（10分）计算：（1）；（2）（2018﹣π）0﹣（）﹣1++|﹣2|20．（10分）求下列各式中x的值：（1）9x2﹣4＝0；（2）（3x﹣1）3+64＝0．21．（6分）已知某正数的平方根是2a﹣7和a+4，b﹣12的立方根为﹣2．（1）求a、b的值；（2）求a+b的平方根．22．（6分）如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D．23．（6分）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△A1B1C1；（不写画法）（2）请你判断△ABC的形状，并求出AC边上的高．24．（8分）在等腰△ABC中，已知AB＝AC，BD⊥AC于D．（1）若∠A＝48°，求∠CBD的度数；（2）若BC＝15，BD＝12，求AB的长．25．（8分）已知两个等腰直角△ABC和△CDE，它们的两个直角顶点B、D在直线MN上，过点A、E分别作AG⊥MN，EF⊥MN，垂足分别为G、F．（1）如图1，当△ABC和△CDE在△BCD的外部时，请你探索线段EF、DB、AG之间的数量关系，其数量关系为．（2）如图2，将图1中的△ABC沿BC翻折，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请探索它们的数量关系，并说明理由．26．（10分）画图计算：（1）已知△ABC，请用尺规在图1中△ABC内确定一个点P，使得点P到AB和BC的距离相等，且满足P 到点B和点C的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图2，如果点P是（1）中求作的点，点E、F分别在边AB、BC上，且PE＝PF．①若∠ABC＝60°，求∠EPF的度数；②若BE＝2，BF＝8，EP＝5，求BP的长．（3）如图3，如果点P是△ABC内一点，且点P到点B的距离是7，若∠ABC＝45°，请分别在AB、BC上求作两个点M、N，使得△PMN的周长最小（不写作法，保留作图痕迹），则△PMN的最小值为27．（10分）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．以下图形中对称轴的数量小于3的是（）A．B．C．D．【分析】根据对称轴的概念求解．【解答】解：A、有4条对称轴；B、有6条对称轴；C、有4条对称轴；D、有2条对称轴．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．下列各式中，正确的是（）A．（﹣）2＝9B．＝﹣2C．±＝±3D．＝﹣3【分析】根据二次根式的性质：和，以及立方根的概念，即可得到结论．【解答】解：A．（﹣）2＝3，故本选项错误；B.＝＝2，故本选项错误；C．±＝±3，故本选项正确；D.＝﹣3，故本选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查了立方根，平方根以及算术平方根的概念，解题时注意：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．3．在实数：﹣3.14，，π，4.3333，中，无理数的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的定义即可判定选择项．【解答】解：在所列实数中，无理数只有π这1个数，故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．4．把0.356按四舍五入法精确到0.01的近似值是（）A．0.3B．0.36C．0.35D．0.350【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：0.356≈0.36（精确到0.01）．故选：B．【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．5．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．AAS【分析】已知∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，且公共边AB＝AB，故△ABC与△ABD全等【解答】解：在Rt△ABC与Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是注意AB是两个三角形的公共边，本题属于基础题型．6．下列数组作为三角形的三条边，其中不能构成直角三角形的是（）A．1、、4B．1.5、2、2.5C．、、5D．、、【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+（）2＝4，能构成直角三角形，故选项错误；B、（1.5）2+22＝52，能构成直角三角形，故选项错误；C、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，故选项错误；D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故选项正确；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，即若三角形的三边符合a2+b2＝c2，则此三角形是直角三角形．7．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，EC＝5，△ABC的周长为26，则△BDC 的周长为（）A．14B．16C．18D．19【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2EC＝10，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2EC＝10，∵△ABC的周长为26，∴AB+AC+BC＝26，∴AB+BC＝16，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝BD+AD+BC＝AB+BC＝16，故选：B．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．如图，在2×3的正方形网络中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】因为对称图形是全等的，所以面积相等，据此连接矩形的对角线，观察得到的三角形即可解答．【解答】解：如图，与△ABE成轴对称的格点三角形有△ABF、△AEF、△EBC共3个，故选：C．【点评】此题考查利用轴对称设计图案，要做到全部找到不漏掉还是不容易的，解题的关键是仔细观察．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点A的一条直线AE折叠Rt△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．45°【分析】由折叠的性质可得出：∠CAE＝∠DAE，∠ADE＝∠C＝90°，结合点D为线段AB的中点，利用等腰三角形的三线合一可得出AE＝BE，进而可得出∠B＝∠DAE，再利用三角形内角和定理，即可求出∠B 的度数．【解答】解：由折叠，可知：∠CAE＝∠DAE，∠ADE＝∠C＝90°，∴ED⊥AB．∵点D为线段AB的中点，ED⊥AB，∴AE＝BE，∴∠B＝∠DAE．又∵∠CAE+∠DAE+∠B+∠C＝180°，∴3∠B＝9°，∴∠B＝30°．故选：B．【点评】本题考查了翻折变换、等腰三角形的性质以及三角形内角和定义，根据折叠的性质及等腰三角形的性质找出∠B＝∠DAE＝∠CAE是解题的关键．10．如图，已知AB＝2，BF＝8，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，则△CDF与四边形ABDE的面积比值是（）A．1：1B．2：1C．1：2D．2：3【分析】由题意得AC ＝CB +BA ＝8，可得AC ＝BF ，利用SSS 可证得△AEC ≌△BCF ，从而可得S △AEC ＝S △BCF ，也就得出S △CDF +S △CDB ＝S 四边形ABDE +S △CDB ，这样可求出四边形ABDE 与△CDF 面积的比值． 【解答】解：由题意得AC ＝CB +BA ＝8， ∴AC ＝BF ，在△AEC 和△BCF 中，∴△AEC ≌△BCF （SSS ）， ∴S △AEC ＝S △BCF ，故可得S △CDF +S △CDB ＝S ABDE +S △CDB ⇒S 四边形ABDE ＝S △CDF ， ∴四边形ABDE 与△CDF 面积的比值是1：1． 故选：A ．【点评】本题考查了面积及等积变换的知识，难度一般，根据题意证明△AEC ≌△BCF 是解答本题的关键，另外要注意等量代换在解答数学题目中的运用． 二、填空题（每小题2分，共16分） 11．﹣27的立方根是 ﹣3 ． 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴＝﹣3故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 12．若一个直角三角形的两直角边长分别为12、5，则其斜边长为 13 ． 【分析】由两个直角边的长度，利用勾股定理可求出斜边的长度，此题得解．【解答】解：＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了勾股定理，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．13．已知a 、b 为两个连续的整数，且，则a +b ＝ 11 ．【分析】先求出，得出a ＝5，b ＝6，代入求出即可．【解答】解：∵∴∵a＜b，且a、b为两个连续的整数∴a＝5，b＝6∴a+b＝5+6＝11，故答案为11．【点评】本题考查了估计无理数的大小的应用，解此题的关键是确定的范围，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．14．如图，点D是BC上的一点，若△ABC≌△ADE，且∠B＝65°，则∠EAC＝50°．【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝AD，∠EAD＝∠CAB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠EAD＝∠CAB，∴∠ADB＝∠B＝65°，∠EAD﹣∠CAD＝∠CAB﹣∠CAD，∴∠EAC＝∠BAD＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．15．如图，已知AD∥BC，DE、CE分别平分∠ADC、∠DCB，AB过点E，且AB⊥AD，若AB＝8，则点E到CD的距离为4．【分析】过点E作EF⊥CD于F，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠B＝90°，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE＝EF＝BE，从而得解．【解答】解：如图，过点E作EF⊥CD于F，∵AD∥BC，AB⊥AD，∴∠A＝∠B＝180°﹣90°＝90°，∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴AE＝EF＝BE，∵AB＝8，∴EF＝×8＝4，即点E到CD的距离为4．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线构造出角平分线的性质的应用条件是解题的关键．16．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为2或3厘米/秒．【分析】分两种情形讨论①当BD＝CM＝4，BM＝CN时，△DBM≌△MCN，②当BD＝CN，BM＝CM时，△DBM≌△NCM，再根据路程、时间、速度之间的关系求出点N的速度．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当BD＝CM＝6厘米，BM＝CN时，△DBM≌△MCN，∴BM＝CN＝2厘米，t＝＝1，∴点N运动的速度为2厘米/秒．②当BD＝CN，BM＝CM时，△DBM≌△NCM，∴BM＝CM＝4厘米，t＝＝2，CN＝BD＝6厘米，∴点N的速度为：＝3厘米/秒．故点N的速度为2或3厘米/秒．故答案为：2或3．【点评】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，用分类讨论是正确解题的关键．17．如图，在△ABC和△ADC中，已知AB＝8，∠ACB＝105°，∠B＝45°，且∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠D，则线段CD的长是8．【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，锐角三角函数可以求得CD的长，本题得以解决．【解答】解：作CE⊥AB于点E，作AF⊥CD于点F，则∠CED＝∠CEB＝90°，∠AFD＝∠AFC＝90°，∵在△ABC和△ADC中，AB＝8，∠ACB＝105°，∠B＝45°，且∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠D，∴∠BCE＝45°，∠D＝45°，∠BAD＝105°，∴∠ECA＝60°，∴∠CAE＝30°，∴∠DAC＝75°，∴∠DCA＝60°，设BE＝a，则CE＝a，AE＝8﹣a，∵∠CAE＝30°，∠CEA＝90°，∴＝tan30°，解得，a＝4（﹣1），∴AC＝2a＝8（﹣1），∵∠AFC＝90°，∠ACF＝60°，∴CF＝4（﹣1），AF＝12﹣4，∵∠AFD＝90°，∠D＝45°，∴DF＝AF＝12﹣4，∴CD＝DF+CF＝12﹣4+4（﹣1）＝8，故答案为：8．【点评】本题考查勾股定理、含30°角的直角三角形、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是．【分析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP⊥AC 时，QC的值最小；【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠CBE＝60°，∵BE＝AE，∴CE＝BE＝AE，∴△BCE是等边三角形，∴BC＝BE，∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，∴∠QBC＝∠PBE，∵QB＝PB，CB＝EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC＝PE，∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE＝，∠A＝30°，∴PE＝AE＝，∴CQ的最小值为．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．三、解答题（共74分）19．（10分）计算：（1）；（2）（2018﹣π）0﹣（）﹣1++|﹣2|【分析】（1）直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简得出答案；（2）利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝4+2﹣1＝5；（2）原式＝1﹣2+3+2﹣＝4﹣．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（10分）求下列各式中x的值：（1）9x2﹣4＝0；（2）（3x﹣1）3+64＝0．【分析】（1）先移项，然后开方即可得出x的值．（2）先移项，然后开立方可得出3x﹣1的值，进而可得出x的值．【解答】解：（1）原方程可化为：x2＝，∴x＝±；（2）原方程可化为：（3x﹣1）3＝﹣64，∴3x﹣1＝﹣4，解得：x＝﹣1．【点评】本题考查了平方根和立方根的知识点．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．21．（6分）已知某正数的平方根是2a﹣7和a+4，b﹣12的立方根为﹣2．（1）求a、b的值；（2）求a+b的平方根．【分析】利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值，根据立方根的定义求出b的值，根据算术平方根的定义求出a+b的算术平方根．【解答】解：（1）由题意得，2a﹣7+a+4＝0，解得：a＝1，b﹣12＝﹣8，解得：b＝4；（2）a+b＝5，a+b的平方根为．【点评】本题考查的是平方根、立方根和算术平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数；正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有平方根．22．（6分）如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D．【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定可以判断△ABC≌△DCE，然后根据全等三角形的性质即可证明结论成立．【解答】证明：∵BC∥DE，∴∠BCA＝∠CED，在△ABC和△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．23．（6分）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△A1B1C1；（不写画法）（2）请你判断△ABC的形状，并求出AC边上的高．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可；【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．（2）∵AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝，∴AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．设AC边上的高为h，则有：＝•h，∴h＝．∴AC边上的高为．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（8分）在等腰△ABC中，已知AB＝AC，BD⊥AC于D．（1）若∠A＝48°，求∠CBD的度数；（2）若BC＝15，BD＝12，求AB的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得∠CBD的度数；（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB的长．【解答】解：（1）∵在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∴∠ABC＝∠C，∠ADB＝90°，∵∠A＝48°，∴∠ABC＝∠C＝66°，∠ABD＝42°，∴∠CBD＝24°；（2）∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵BC＝15，BD＝12，∴CD＝9，设AB＝x，则AD＝x﹣9，∵∠ADB＝90°，BD＝12，∴122+（x﹣9）2＝x2，解得，x＝，即AB＝．【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．25．（8分）已知两个等腰直角△ABC和△CDE，它们的两个直角顶点B、D在直线MN上，过点A、E分别作AG⊥MN，EF⊥MN，垂足分别为G、F．（1）如图1，当△ABC和△CDE在△BCD的外部时，请你探索线段EF、DB、AG之间的数量关系，其数量关系为BD＝EF+AG．．（2）如图2，将图1中的△ABC沿BC翻折，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请探索它们的数量关系，并说明理由．【分析】（1）结论：BD＝EF+AG．只要证明△FDE≌△HCD（AAS），可得EF＝DH，同理可证：△BHC≌△AGB，可得AG＝BH，即可解决问题；（2）结论不变，证明方法类似；【解答】解：（1）结论：BD＝EF+AG．理由：如图1中，作CH⊥MN于H．∵EF⊥MN，AG⊥MN，∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，∴∠EDF＝∠DCH，∵DE＝DC，∴△FDE≌△HCD（AAS），∴EF＝DH，同理可证：△BHC≌△AGB，∴AG＝BH，∴BD＝EF+AG．故答案为BD＝EF+AG．（2）结论不变．理由：如图2中，作CH⊥MN于H．∵EF⊥MN，AG⊥MN，∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，∴∠EDF＝∠DCH，∵DE＝DC，∴△FDE≌△HCD（AAS），∴EF＝DH，同理可证：△BHC≌△AGB，∴AG＝BH，∴BD＝EF+AG．故答案为BD＝EF+AG．【点评】本题考查翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）画图计算：（1）已知△ABC，请用尺规在图1中△ABC内确定一个点P，使得点P到AB和BC的距离相等，且满足P 到点B和点C的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图2，如果点P是（1）中求作的点，点E、F分别在边AB、BC上，且PE＝PF．①若∠ABC＝60°，求∠EPF的度数；②若BE＝2，BF＝8，EP＝5，求BP的长．（3）如图3，如果点P是△ABC内一点，且点P到点B的距离是7，若∠ABC＝45°，请分别在AB、BC上求作两个点M、N，使得△PMN的周长最小（不写作法，保留作图痕迹），则△PMN的最小值为7【分析】（1）作∠ABC的平分线BM，线段BC的垂直平分线EF，直线EF交射线BM于点P，点P即为所求；（2）①由Rt△PME≌Rt△PNF（HL），推出∠EPM＝∠FPN，推出∠EPF＝∠MPN，即可解决问题；②由Rt△PMB≌Rt△PNB（HL），推出BM＝BN，由Rt△PME≌Rt△PNF（HL），推出EM＝FN，推出BE+BF＝BM﹣EM+BN+NF＝2BN＝10，推出BN＝NM＝5，再利用勾股定理即可解决问题；（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN．则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值；【解答】解：（1）如图，点P即为所求；（2）①连接BP，作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．∵BP平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，∴PM＝PN，∵PE＝PF，∠PME＝∠PNF＝90°，∴Rt△PME≌Rt△PNF（HL），∴∠EPM＝∠FPN，∴∠EPF＝∠MPN，∵∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠EPF＝120°．②∵PB＝PB，PM＝PN，∠PMB＝∠PFB＝90°∴Rt△PMB≌Rt△PNB（HL），∴BM＝BN，∵Rt△PME≌Rt△PNF（HL），∴EM＝FN，∴BE+BF＝BM﹣EM+BN+NF＝2BN＝10，∴BN＝NM＝5，∵BE ＝2，PE ＝5，∴EM ＝3，PM ＝＝4，∴BP ＝＝．（3）分别作点P 关于边AB 、BC 的对称点E 、F ，连接EF ，分别与边AB 、BC 交于点M 、N ，连接PM 、PN ．则线段EF 的长度即为△PMN 的周长的最小值．∵点E 与点P 关于AB 对称，点F 与点P 关于BC 对称， ∴∠EBA ＝∠PBA ，∠FBC ＝∠PBC ，BE ＝BF ＝BP ＝7．∴EF ＝BE ＝7∴△PMN 周长的最小值为7．故答案为7．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．27．（10分）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC 中，∠A ＝36°，∠C ＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC 是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】（1）在△ABC 中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值 84°或103.5°或124°或117°或126° ；（2）在△ABC 中，∠C ＝27°，AD 和DE 分别是△ABC 的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AB 边上，且AD ＝DC ，BE ＝DE ，请你根据题意画出示意图，并求∠B 的度数．【分析】【定义】如图①，如图②所示，根据题意画出图形即可；【应用】（1）①如图③当∠B＝42°，AD为“好线”，②如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，③如图⑤当∠ABC＝42°时，BD为“好线”，④如图⑥，当∠B＝42°时，CD为“好线”，⑤如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1（a），②当AD＝AE时，如图1（b），③当EA＝DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】解：【定义】如图①，如图②所示，【应用】（1）①如图③当∠B＝42°，AD为“好线”，则AD＝AD＝BD，故这个三角形最大内角是∠C＝84°；②如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°；③如图⑤当∠ABC＝42°时，BD为“好线”，则AD＝BD，CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠C＝124°，④如图⑥，当∠B＝42°时，CD为“好线”，则AD＝CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°，⑤如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”，则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°，综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是84°或103.5°或124°或117°或126°，故答案为：84°或103.5°或124°或117°或126°；（2）设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1（a），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠DAE＝2x°，∴27×2+2x+x＝180，∴x＝42，∴∠B＝42°；②当AD＝AE时，如图1（b），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠ADE＝2x°，∴2x+x＝27+27，∴x＝18，∴∠B＝18°．③当EA＝DE时，∵90﹣x+27+27+x＝180，∴x不存在，应舍去．综合上述：满足条件的x＝42°或18°．【点评】本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解．。
2024年4月无锡省锡中初三数学期中试卷(含答案)
初三数学适应性练习试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．．．．．．．．．．．．．） 1.16的算术平方根等于 （ ▲ ） A ．±4 B ．一4 C ．4 D ．16± 2.下列计算正确的是（ ▲ ）A .()b a ab 33= B.1-=+--ba ba C. 326a a a =÷ D.222)(b a b a +=+3．若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是 （ ▲ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 4.两圆的半径分别为3和7，圆心距为4，则两圆的位置关系是 （ ▲ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离5.等腰三角形的一边长为4，另一边长为3，则它的周长为 （ ▲ ）A ．11B ．10C ．10或11D ．以上都不对6．矩形具有而菱形不肯定具有的性质是 ( ▲ ) A ．对角线相互垂直 B ．对角线相等 C ．对角线相互平分 D ．对角互补 7.一组数据2，7，6，3，4, 7的众数和中位数分别是 ( ▲ ) A. 7和4.5 B. 4和6 C. 7和4 D. 7和5 8.抛物线223y x x =-++的顶点坐标是 ( ▲ ) A ．(-1，4) B ．(1，3) C ．(-1，3) D ．(1，4) 9. 一次函数y kx b =+的图象如图所示，则不等式：0kx b -+>的解集为 ( ▲ ) A ．1x >- B ．1x <- C ．1x > D ．1x <10.如图，在斜边为3的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3…依次作下去，则第2024个正方形A 2024B 2014C 2024D 2024的边长是( ▲ ) A ．201213B ．201313C ．201413 D ．201513(第10题图)(第9题图)二、填空题（本大题共8小题， 每小题2分，共16分，不需写出解答过程，只需把答案干脆填写在答题卡上相应的位置）11.分解因式：29a b b -＝ ▲ ．12.已知太阳的半径约为696000000m ，这个数用科学记数法可表示为 ▲ ． 13.函数3y x =-中自变量x 的取值范围是 ▲ ．14.请写出一个大于3且小于4的无理数： ▲ ． 15.如图所示中的∠A 的正切值为 ▲ ．16．一几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图是两个全等的等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体的侧面积为 ▲ ．17.如图，直角三角形ABO 放置在平面直角坐标系中，已知斜边OA 在x 轴正半轴上，且OA ＝4，AB ＝2，将该三角形围着点O 逆时针旋转120°后点B 的对应点恰好落在一反比例函数图像上，则该反比例函数的解析式为 ▲ ．18.如右图，正六边形ABCDEF 的边长为2，两顶点A 、B 分 别在x 轴和y 轴上运动，则顶点D 到原点O 的距离的最 大值和最小值的乘积为 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19.(本题满分8分)（1）计算：()113231230cos 12-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-︒⋅-(第15题图)(第16题图) (第17题图)（2）化简：21211a a ---20.(本题满分8分)（1）解方程：16233x x x --=--- （2）求不等式组1312215(1)6x x ⎧+<⎪⎨⎪-+≤⎩的解集21．（本题满分8分）如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ， AB ＝CD ，延长线段CB 到E ，使BE ＝AD ，连接AE 、AC ．（1）求证：△ABE ≌△CDA ； （2）若∠DAC ＝40°，求∠EAC 的度数．22.（本题满分7分）2014年3月28日是全国中小学平安教化日，为了让学生了解平安学问，增加平安意识，我校实行了一次“平安学问竞赛”．为了了解这次竞赛的成果状况，从中抽取了部分学生的成果为样本，绘制了下列统计图(说明：A 级：90分——100分；B 级：75分——89分；C 级：60分——74分；D 级：60分以下)．请结合图中供应的信息，解答下列问题：(1)扇形统计图中C 级所在的扇形的圆心角度数是 ▲ ． (2)请把条形统计图补充完整；(3)若该校共有2000名学生，请你用此样本估计平安学问竞赛中A 级和B 级的学生共约有多少人？OByC xA23．（本题满分8分）甲、乙两个袋中均装有三张除标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为－7，－1，3，乙袋中的三张卡片所标的数值为－2，1，6，先从甲袋中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出卡片上的数值．把x 、y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标．(1)用列表或画树形图的方法写出点A （x ，y ）的全部状况； (2)求点A 落在直线y ＝2x 上的概率．24．（本题满分7分）海上有一小岛，为了测量小岛两端A 、B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B 点是CD 的中点，E 是BA 延长线上的一点，测得AE ＝10海里，DE ＝30海里，且DE ⊥EC ，cos ∠D ＝35. （1）求小岛两端A 、B 的距离；（2）过点C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ， 求sin ∠BCF 的值.25.（本题满分8分）如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，点A 坐标为（0,6），点C 坐标为（3,0），BC37，一抛物线过点A 、B 、 C ．(1)填空：点B 的坐标为 ▲ ；(2)求该抛物线的解析式；(3)作平行于x 轴的直线与x 轴上方的抛物线交于点E 、F ，以EF 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的半径．AB F26.（本题满分10分）为了提高服务质量，某宾馆确定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，假如提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？（2）假如须要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？（3）在（2）的条件下，依据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会变更，每套甲种套房提升费用将会提高a万元（a>0），市政府如何确定方案才能使费用最少？27.（本题满分10分）如图①，将□ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0,4），直线MN：364y x=-沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被□ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图②所示．（1）填空：点C的坐标为▲；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？▲；（填“B”或“D”）（2）点B的坐标为▲，n＝▲，a＝▲；（3）求图②中线段EF的解析式；（4）t为何值时，该直线平分□ABCD的面积？图①图②图1 图228.（本题满分10分）数学课上，张老师出示图1和下面的条件：如图1，两块都含有30°角的直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同始终线L 上，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，AB ＝1，DE ＝2.将直线EB 绕点E 逆时针旋转30°，交直线AD 于点M .将图中的三角板ABC 沿直线L 向右平移.请你和小明同学一起尝摸索究下列问题：（1）当点C 与点F 重合时，如图2所示，AM 与DM 是否相等? ▲ ；（填”是”或”否”）；（2）小明同学将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转90°，将直线EB 绕点E 逆时针旋转30°，交直线AD 于点M ，如图3所示，过点B 作EB 的垂线交直线EM 于G ，连结AG ，①求证：△ABG ∽△CBE ；②求AG 的长.（3）小明同学又将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，0＜m ≤90，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，设CE ＝x ，计算AMDM的值（用含x 的代数式表示）．LMFED C BA图3 图4初三数学适应性练习答题卷 2024.41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [D][D][D][D][D][D][D][D][D][D]一、选择题（每题3分，共30分）二、填空题（每空2分，共16分）11． ；12． ； 13． ；14． ； 15． ；16． ； 17． ；18． . 三、解答题（10小题，共84分） 19.（本题满分8分）（1）计算：()113231230cos 12-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-︒⋅- （2）化简：21211a a ---20．（本题满分8分）（1）解方程：16233x x x --=--- （2）求不等式组1312215(1)6x x ⎧+<⎪⎨⎪-+≤⎩的解集21.（本题满分8分）(1)扇形统计图中C级所在的扇形的圆心角度数是___________．(2)请把条形统计图补充完整；(3)23.（本题满分8分）24．（本题满分7分）CEABFDLM FE D C BA 图3 图4图1 图228.(本题满分10分)（1）当点C 与点F 重合时，如图2所示，AM 与DM 是否相等? ___________；（填”是”或”否”）； （2）（3）2024年初三数学学科模拟卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）二、填空题：（本大题8个小题，每题2分，共16分）11．(31)(31)b a a +- 12．86.9610⨯ 13. 3x ≥ 14. 比3大、比4小的无理数都可15．3416. 65π17.y = 18. 12三、解答题（本大题共10小题，共计84分．请在指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（8分）(1) 计算（4分）：原式=3-6+2+1 ……3分=0 ……4分 （2）化简：原式=12(1)(1)(1)(1)a a a a a +--+-+ ……………… 2分=1(1)(1)a a a --+ ……………… 3分=11a + ……………………………… 4分 20、（8分）（1）解得：x=-1 ………………………………… 3分经检验：x=-1为原方程的解 …………………… 4分(2)解不等式(1)得：x<1； ………………………………1分 解不等式(2)得 : 2x ≥- …………………………… 3分 所以不等式组的解集为12-<≤x …………………………… 4分 21. （本题满分8分）证明：△ABE ≌△CDA ，…………………………… 5分 ∠EAC=100°……………………………8分 22. （本题满分7分）⑴36° ………………… 2分 (2) …4分.(3)1700 ………7分.23. （本题满分8分） 解：（1）用树形图法表示：……3分全部可能的结果（-7，-2）（-7,1）（-7,6）（-1，-2）（-1,1）（-1，6）（3，-2）（3,1）（3,6） ··················································································································· 5分 可见，从计算器和爱护盖中随机取两个，共有9种不同的状况． 其中满意条件的有2种，分别是（-1，-2），（3,6） ················································· 6分2()9P A ∴=在直线上． ·················································································· 8分 (或用列表法表示也可) 解：（1）AB=15海里…………………3分 （2）7sin 25BCF ∠=……………7分25. （本题满分8分） 解：（1）B(4,6)……………………………2分（2）2286y x x =-+…………………5分（3）117r +=…………8分26. （本题满分10分）（1）设甲种套房每套提升费用为x 万元，依题意，得6257003x x =+ 解得：x =25 经检验：x =25符合题意，283=+x答：甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元．…………3分 （2）设甲种套房提升m 套，那么乙种套房提升)48(-m 套，依题意，得⎩⎨⎧≤-⨯+≥-⨯+2096)80(28252090)80(2825m m m m解得：48≤m ≤50即m =48或49或50，所以有三种方案分别是：方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套． 方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31． 套方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套． 设提升两种套房所须要的费用为W .22403)80(2825+-=-⨯+=m m m W所以当50=m 时，费用最少，即第三种方案费用最少. …………7分（3）在（2）的基础上有：22403)80(2825+-=-⨯++=m a m m a W ）（）（ 当a =3时，三种方案的费用一样，都是2240万元. 当a ＞3时，取m =48时费用W 最省.当0＜a ＜3时，取m =50时费用最省. …………10分27. （本题满分10分）解：（1）C(5，0)……1分,点B ……2分, （2）B(-2，0) ……3分，n=4……4分,403a = ……5分 （3）EF ：44453y x =-+ ··············································································· 8分 （4）353t =······························································································· 10分 28. （本题满分10分） 解：（1）是………………1分（2）①证明………………4分 ②AG=2………………6分（3）AM x DM =………………10分。
江苏省无锡市省锡中实验学校2020-2021学年九年级下学期第一次适应性练习(一模)数学试卷
无锡省锡中2020~2021学年度初三中考一模数学试卷2021．3一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内） 1．在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是A ．﹣4B ．2C ．﹣1D ．3 2．下列计算正确的是A ．326a a a +=B ．235a a a +=C ．624a a a ÷=D ．235()a a = 3．下列四个图形中，是中心对称图形的是4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是5．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1＝25°，则∠2的大小是 A ．25° B ．45° C ．75° D ．65°6．甲、则这四人中发挥最稳定的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为 A ．50° B ．80° C ．100° D ．130° 8．如图，直线y ＝x ﹣2与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，与反比例函数ky x=(k ≠0)的图像在第一象限交于点A ，连接OA ，若S △AOB ：S △BOC ＝1：2，则k 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．69．如图，矩形OABC，B(﹣4，3)，点M为△ABC的内心，将矩形绕点C顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为A．(2，3) B．(6，﹣1) C．(1，1) D．(﹣1，6)10．已知关于n的函数2s an bn=+(n为自然数)，当n＝8时，s＞0；当n＝9时，s＜0．则当s的值最大时，n的值为A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11．研究人员制造出观测极限为0.000 000 05米的光学显微镜，其中0.000 000 05米用科学记数法表示为米．12．分解因式：282x-＝．13．函数y=x的取值范围是．14．已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，则圆锥的底面半径长是cm．15．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanC＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD⊥AC，DE＝2BE，AE＝CD ＝．18．已知线段AB和直线l，给出如下定义：若在直线l上存在点P，使得△PAB是以AB为腰的等腰三角形，那么称点P为线段AB关于直线l的等腰点．如图，A(2，1)、B(4，2)，直线l：12y x b=+，如果线段AB关于直线l的等腰点有4个，则b的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算：（1）0112cos45(1)()2π-︒-++；（2）化简：212(1)11a a a -+÷+-．20．（本题满分8分）（1）解方程：2220x x --=；（2）不等式组：4(1)710853x x x x +≤+⎧⎪-⎨-<⎪⎩．21．（本题满分8分）如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，点E 、F 分别在直线AD 的两侧，且AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，AB ＝DC ．（1）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（2）若AD ＝10，DC ＝3，∠EBD ＝60°，当四边形BFCE 是菱形时，求BE 的值．22．（本题满分8分）小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4张牌分别对应价值5，10，15，20（单位：元）的4件奖品．（1）如果随机翻1张牌，那么抽中20元奖品的概率为 ；（2）如果随机翻2张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于30元的概率为多少？（请用“画树状图”或“列表”法写出分析的过程）为了掌握某市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：第一组85~100；第二组100~115；第三组115~130；第四组130~145；第五组145~160，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）本次调查共随机抽取了该年级名学生，并将频数分布直方图补充完整；（2）扇形统计图中，第二组的圆心角为°；（3）若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D”，100~130分评为“C”，130~145分评为“B”，145~160分评为“A”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“C”的学生大约有多少名?24．（本题满分6分）如图1，在10×10的网格中（每一个小正方形的边长为1），△ABC的顶点A、B、C 均在格点上，用无刻度的直尺，按以下要求画图．（1）在图1中，在AC上画一点M，使得S△ABM＝37S△ABC；（2）在图2中，画一个与△ABC相似且面积为7的格点△DEF．如图，CE是⊙O的直径，直线BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交直线BD 于点A．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AE＝3，tan∠DEO AO的长．26．（本题满分10分）骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车去年3月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年3月份与去年月份卖出的A型车数量相同，则今年3月份A型车销售总额将比去年3月份销售总额增加25%．A、B两种型号车的进货和销售价格表：（1）求今年3月份A型车每辆销售价多少元？（2）该车行计划4月份进一批A型车和B型车共50辆，A型车的进货数量不少于B型车进货数量的23，B型车的进货数量不少于10辆．（由于销售前景广阔，这批车辆可以销售一空）．①设A型车进货x辆，销售这批车所获得的总利润为y元，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②该车行决定举办促销活动：每一辆B型车降价a元(50≤a≤200)，如果要使所获得的最大利润为46200元，求a的值．（1）操作发现：如图1，四边形ABCD、CEGF都是矩形，点G在AC上，且CG1AG2=，AB＝9，AD＝12．小红将矩形CEGF绕点C顺时针转α°(0≤α≤360)，如图2所示．①她发现AGBE的值始终不变，你能帮她求出AGBE的值吗?②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，AG的长度是多少?（2）类比探究：如图3，△ABC中，AB＝AC＝BAC＝α°，tan∠ABC＝12，G为BC中点，D为平面内一个动点，且DG，将线段BD绕点D逆时针旋转α°，得到DB'，则四边形BACB′面积的最大值为．28．（本题满分10分）抛物线C1：2y x bx=-+的对称轴为直线x＝1，将C1沿x轴向右平移m个单位(m＞0)得到抛物线C2，C2分别与x、y轴交于点A、B和C（A在B的左侧），它的对称轴为直线l．（1）b＝，C2的对称轴l为（用含m的代数式表示）；（2）当m＝1时，点D为C2上一点，它的横坐标为a(a≥2)，射线OD与直线l相交于点G，若点F的坐标为(0，)，射线GF平分射线OD与直线l的夹角，求a的值；（3）点P为C2上一点，以CP为直径的圆与x轴相切于点B，求m的值．。
九年级下第一次月考数学试卷含答案解析
2018-2019学年江苏省无锡市江阴市马镇九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．﹣的绝对值是（）A．﹣3 B．C．﹣D．32．计算﹣a2+3a2的结果为（）A．2a2B．﹣2a2C．4a2D．﹣4a23．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤34．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（）A．8，10 B．10，9 C．8，9 D．9，105．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形6．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．27．由五个小正方体搭成的一个几何体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．8．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2 9．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3）、（﹣，4）B．（）、（﹣）C．（）、（﹣）D．（）、（﹣）10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共18分．）11．因式分解：x2﹣3x=．12．已知方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值等于．13．命题“对顶角相等”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．14．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是．15．若圆锥底面的直径为6cm，母线长为5cm，则它的侧面积为cm2（结果保留π）．16．若把代数式x2+2bx+4化为（x﹣m）2+k的形式，其中m、k为常数，则k﹣m=，k﹣m的最大值是．17．如图，正方形ABCD的边长等于3，点E是AB延长线上一点，且AE=5，以AE为直径的半圆交BC于点F，则BF=．18．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于．三、简答题（本大题共10小题，共82分．）19．（1）计算：（3﹣π）0﹣3﹣2﹣+|﹣|+2tan60°（2）（1﹣）÷．20．（1）解方程：=；（2）解不等式组：．21．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．22．某公司为了解员工对“六五”普法知识的知晓情况，从本公司随机选取40名员工进行普法知识考查，对考查成绩进行统计（成绩均为整数，满分100分），并依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计表．解答下列问题：组别分数段/分频数/人数频率1 50.5～60.52 a2 60.5～70.5 6 0.153 70.5～80.5 b c4 80.5～90.5 12 0.305 90.5～100.56 0.15合计40 1.00（1）表中a=，b=，c=；（2）请补全频数分布直方图；（3）该公司共有员工3000人，若考查成绩80分以上（不含80分）为优秀，试估计该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数．23．盒子中有4个球，每个球上写有1～4中的一个数字，不同的球上数字不同．（1）若从盒中取三个球，以球上所标数字为线段的长，则能构成三角形的概率是多少？（2）若小明从盒中取出一个球，放回后再取出一个球，然后让小华猜两球上的数字之和，你认为小华猜和为多少时，猜中的可能性大．请说明理由．24．甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为45m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=．（1）求索道AB的长；（2）若乙游客在C处等了甲游客3分钟，求乙步行的速度．25．如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图1，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，sinC=，点P从O点出发，沿边OA、AB、BC匀速运动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿边CO匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图2中曲线段OE、线段EF与曲线段FG给出．（1）则点P的运动速度为cm/s，点B、C的坐标分别为，；（2）求曲线FG段的函数解析式；（3）当t为何值时，△CPQ的面积是四边形OABC的面积的？27．如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？28．（1）数学爱好者小森偶然阅读到这样一道竞赛题：一个圆内接六边形ABCDEF，各边长度依次为3，3，3，5，5，5，求六边形ABCDEF的面积．小森利用“同圆中相等的弦所对的圆心角相等”这一数学原理，将六边形进行分割重组，得到图③．可以求出六边形ABCDEF的面积等于．（2）类比探究：一个圆内接八边形，各边长度依次为2，2，2，2，3，3，3，3．求这个八边形的面积．请你仿照小森的思考方式，求出这个八边形的面积．2015-2016学年江苏省无锡市江阴市马镇九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．﹣的绝对值是（）A．﹣3 B．C．﹣D．3【考点】绝对值．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．【解答】解：﹣的绝对值是，故选B【点评】考查了绝对值，计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．2．计算﹣a2+3a2的结果为（）A．2a2B．﹣2a2C．4a2D．﹣4a2【考点】合并同类项．【分析】运用合并同类项的方法计算．【解答】解：﹣a2+3a2=2a2．故选：A．【点评】本题考查了合并同类项法则，解题的关键是掌握相关运算的法则．3．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣3≥0，解得a≥3．故选B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．4．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（）A．8，10 B．10，9 C．8，9 D．9，10【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，10，10，10，最中间的数是9，则中位数是9；10出现了3次，出现的次数最多，则众数是10；故选：D．【点评】此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．5．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．【解答】解：设这个多边形是n边形，则（n﹣2）180°=900°，解得：n=7，即这个多边形为七边形．故本题选C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．6．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．2【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【分析】设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C，根据三角函数的定义即可求解．【解答】解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．则OC=2，BC=1，则tanα==．故选C．【点评】本题考查了三角函数的定义，理解正切函数的定义是关键．7．由五个小正方体搭成的一个几何体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】俯视图是从上往下看立体图形得到的平面图，据此选择正确答案．【解答】解：俯视图是从上往下看物体的形状，该图的俯视图是4个小正方形排成一排组成．故选D．【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，解答本题的关键是要掌握俯视图是从上往下看物体的形状，此基础题．8．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2【考点】一元一次不等式的整数解．【分析】表示出已知不等式的解集，根据负整数解只有﹣1，﹣2，确定出b的范围即可．【解答】解：不等式x﹣b＞0，解得：x＞b，∵不等式的负整数解只有两个负整数解，∴﹣3≤b＜﹣2故选D．【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，弄清题意是解本题的关键．9．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3）、（﹣，4）B．（）、（﹣）C．（）、（﹣）D．（）、（﹣）【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．【分析】首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE=CF=4﹣1=3，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴=，即=，∴OE=，即点B（，3），∴AF=OE=，∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）=﹣，∴点C（﹣，4）．故选D．【点评】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出=，可解得DE的长，由AE=AD﹣DE求解即可得出答案．【解答】解：如图1，连接BD、CD，，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD=，∵弦AD平分∠BAC，∴CD=BD=，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，∴△ABD∽△BED，∴=，即=，解得DE=，∴AE=AD﹣DE=5﹣=2.8．故选：B【点评】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED．二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共18分．）11．因式分解：x2﹣3x=x（x﹣3）．【考点】因式分解-提公因式法．【专题】因式分解．【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可．【解答】解：x2﹣3x=x（x﹣3）．故答案为：x（x﹣3）【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．12．已知方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值等于﹣2．【考点】根与系数的关系．【分析】根据两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数作答即可．【解答】解：∵方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，∴x1+x2=﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积等于常数项除二次项系数是解题的关键．13．命题“对顶角相等”的逆命题是假命题（填“真”或“假”）．【考点】命题与定理．【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．14．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是a＞0．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出a的范围即可．【解答】解：∵方程x2+a=0没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为：a＞0【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．15．若圆锥底面的直径为6cm，母线长为5cm，则它的侧面积为15πcm2（结果保留π）．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积=π×6÷2×5=15πcm2．【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．16．若把代数式x2+2bx+4化为（x﹣m）2+k的形式，其中m、k为常数，则k﹣m=﹣b2+b+4，k﹣m的最大值是．【考点】配方法的应用．【分析】首先把代数式x2+2bx+4变为x2+2bx+b2﹣b2+4，再进一步利用完全平方公式，把前三项因式分解化为（x﹣m）2+k的形式，求出m、k的数值，从而求得k﹣m的值，根据k﹣m的顶点式即可求得最大值．【解答】解：x2+2bx+4=x2+2bx+b2﹣b2+4=（x+b）2﹣b2+4；∴m=﹣b，k=﹣b2+4，则k﹣m=﹣b2+b+4，∵﹣b2+b+4=﹣（b﹣）2+．∴当b=时，k﹣m的最大值是．故答案为：．【点评】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形．17．如图，正方形ABCD的边长等于3，点E是AB延长线上一点，且AE=5，以AE为直径的半圆交BC于点F，则BF=．【考点】勾股定理；正方形的性质；圆的认识．【分析】作出AE的中点O，连接OF，在直角△OBF中利用勾股定理即可求得BF的长．【解答】解：作出AE的中点O，连接OF．则OF=OA=AE=，OB=AB﹣OA=3﹣=．在直角△OBF中，BF===．故答案是：．【点评】本题考查了勾股定理，正确作出辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键．18．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于﹣4．【考点】圆的综合题．【分析】作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B==，∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=﹣3﹣1=﹣4，∴PM+PN的最小值为﹣4．故答案为﹣4．【点评】本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征；会利用两点之间线段最短解决线段和的最小值问题；会运用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质．三、简答题（本大题共10小题，共82分．）19．（1）计算：（3﹣π）0﹣3﹣2﹣+|﹣|+2tan60°（2）（1﹣）÷．【考点】分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式=1﹣﹣×4++2=1；（2）原式==．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（1）解方程：=；（2）解不等式组：．【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出解集．【解答】解：（1）方程两边乘2x（x+5），得x+5=6x，解得：x=1，检验：当x=1时，2x（x+5）≠0，则原分式方程的解为x=1；（2），由①得：x＜2，由②得x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x≤2．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．【考点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．【专题】证明题．【分析】由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．【解答】证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO又∵A点与D点重合，∴AO=DO，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形∵点A与点D关于直线EF对称，∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．22．某公司为了解员工对“六五”普法知识的知晓情况，从本公司随机选取40名员工进行普法知识考查，对考查成绩进行统计（成绩均为整数，满分100分），并依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计表．解答下列问题：组别分数段/分频数/人数频率1 50.5～60.52 a2 60.5～70.5 6 0.153 70.5～80.5 b c4 80.5～90.5 12 0.305 90.5～100.56 0.15合计40 1.00（1）表中a=0.05，b=14，c=0.35；（2）请补全频数分布直方图；（3）该公司共有员工3000人，若考查成绩80分以上（不含80分）为优秀，试估计该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【专题】图表型．【分析】（1）根据频率的计算公式：频率=即可求解；（2）利用总数40减去其它各组的频数求得b，即可作出直方图；（3）利用总数3000乘以最后两组的频率的和即可求解．【解答】解：（1）a==0.05，第三组的频数b=40﹣2﹣6﹣12﹣6=14，频率c==0.35；（2）补全频数分布直方图如下：；（3）3000×（0.30+0.15）=1350（人）．答：该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数1350人．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．23．盒子中有4个球，每个球上写有1～4中的一个数字，不同的球上数字不同．（1）若从盒中取三个球，以球上所标数字为线段的长，则能构成三角形的概率是多少？（2）若小明从盒中取出一个球，放回后再取出一个球，然后让小华猜两球上的数字之和，你认为小华猜和为多少时，猜中的可能性大．请说明理由．【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．【分析】（1）将所有等可能的结果列举出来，利用三角形的三边关系进行判断后利用概率公式进行计算即可；（2）确定和为5的概率最大即可得到猜和为多少时猜中的可能性大．【解答】解：（1）从盒中取三个球，共有1、2、3，1、2、4，1、3、4，2、3、4四种情况其中能构成三角形的只有2、3、4这一种情况．故P（构成三角形）=；（2）由题意小华猜和为5时，猜中的可能性大，因为数字5出现的概率最大，为．【点评】本题考查了列表与树状图法求概率及三角形的三边关系的知识，解题的关键是能够确定所有等可能的结果，难度不大．24．甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为45m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=．（1）求索道AB的长；（2）若乙游客在C处等了甲游客3分钟，求乙步行的速度．【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）利用同角三角函数的关系，可求得sinA与sinC，从而得到sinB．再在△ABC 中利用正弦定理加以计算，即可得到索道AB的长；（2）先由正弦定理得=，求得BC=500m，再分别求出甲共用时间与乙索道所用时间，设乙的步行速度为vm/min，依题意，解方程28﹣（2+1+8+）=3即可．【解答】解：（1）∵cosA=，cosC=，∴sinA==，sinC==，∴sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，∵=，∴AB=sinC=×=1040m，答：索道AB的长为1040米；（2）∵=，∴BC=sinA=×=500m ．甲共用时间： =28，乙索道所用时间：=8，设乙的步行速度为 vm/min ，由题意得28﹣（2+1+8+）=3，整理得=14，解得v=．答：乙步行的速度为m/min ．【点评】本题给出实际应用问题，求索道的长并研究甲乙二人到达时间的问题．着重考查了同角三角函数的基本关系、正余弦定理解三角形和解三角形的实际应用等知识，属于中档题．25．如图，在△ABC 中，∠BAC=90，BC ∥x 轴，抛物线y=ax 2﹣2ax+3经过△ABC 的三个顶点，并且与x 轴交于点D 、E ，点A 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD ，在抛物线的对称轴上是否存在一点P 使△PCD 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）BC与抛物线的对称轴于F点，先根据抛物线的性质得到对称轴为直线x=1，由于BC∥x轴，根据抛物线的对称性得到B点和C点关于直线x=1对称轴，则AB=AC，于是可判断△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得AF=BF=1，所以可确定A点坐标为（1，4），然后把A点坐标代入y=ax2﹣2ax+3求出a即可得到抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）先根据抛物线与x轴的交点问题得到D点坐标为（﹣1，0），设P点坐标为（1，t），利用两点之间的距离公式得到CD2=32+（2+1）2=18，PC2=12+（t﹣3）2，PD2=22+t2，然后分类讨论：当CD2=PC2+PD2，即18=12+（t﹣3）2+22+t2，解得t1=，t2=，此时P点坐标为（1，），（1，）；当PD2=CD2+PC2，即22+t2=18+12+（t ﹣3）2，解得t=4，此时P点坐标为（1，4），；当PC2=CD2+PD2，即12+（t﹣3）2=18+22+t2，解得t=﹣2，此时P点坐标为（1，﹣2）．【解答】解：（1）BC与抛物线的对称轴于F点，如图，抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∵BC∥x轴，∴B点和C点关于直线x=1对称轴，∴AB=AC，而∠BAC=90，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AF=BF=1，∴A点坐标为（1，4），把A（1，4）代入y=ax2﹣2ax+3得a﹣2a+3=4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴D点坐标为（﹣1，0），设P点坐标为（1，t），∴CD2=32+（2+1）2=18，PC2=12+（t﹣3）2，PD2=22+t2，当CD2=PC2+PD2，即18=12+（t﹣3）2+22+t2，解得t1=，t2=，此时P点坐标为（1，），（1，）；当PD2=CD2+PC2，即22+t2=18+12+（t﹣3）2，解得t=4，此时P点坐标为（1，4），；当PC2=CD2+PD2，即12+（t﹣3）2=18+22+t2，解得t=﹣2，此时P点坐标为（1，﹣2）；∴符合条件的点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，4）或（1，﹣2）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了分类讨论的思想和两点之间的距离公式．26．如图1，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，sinC=，点P从O点出发，沿边OA、AB、BC匀速运动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿边CO 匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图2中曲线段OE、线段EF与曲线段FG给出．（1）则点P的运动速度为2cm/s，点B、C的坐标分别为（5，4），（8，0）；（2）求曲线FG段的函数解析式；（3）当t为何值时，△CPQ的面积是四边形OABC的面积的？【考点】二次函数综合题；动点问题的函数图象．【分析】（1）利用函数图象得出QC=2时S=4，进而得出AO的长，再利用图象变化规律得出CO的长，进而得出B，C点坐标；（2）利用三角形面积公式以及t的不同取值范围进而得出S与t的函数关系式；（3）利用当△CPQ的面积是四边形OABC的面积的，则26×=8，进而代入函数解析式求出t的值．【解答】解：（1）如图1，过点B作BN⊥CO于点N，由图象可得出：当t=2秒时，S=4时，2秒后，图象变为一次函数，则此时P点在线段AB 上移动，∵S△CPQ=×QC×AO=4，QC=2时S=4，∴AO=4，∴点P的运动速度为2cm/s，∵sinC=，AO=4，∴BN=4，则BC=5，∴NC=3，当4.5秒时，图象再次发生变化，则P点在AB上移动了2.5秒，移动距离的为5cm，故AB=5，则B（5，4），CO=8，故C（8，0），故答案为：2，（5，4）（8，0）；（2）当0≤t≤2时，S=CQ×OP=t2，故此时抛物线解析式为：S=t2；如图2，当2≤t≤4.5时，S=PM×QC=4××t=2t，故此时直线解析式为：S=2t；如图3，当4.5≤t≤7时，S=×PM×QC=×QC×PCsinC=t[5﹣（2t﹣9）]×sinC=t[5﹣（2t﹣9）]×，故S=﹣t2+t；=（AB+CO）×AO=×4×（5+8）=26，（3）∵S四边形AOCB当△CPQ的面积是四边形OABC的面积的，则26×=8，∴S△CPQ=8，当2t=8解得：t=4，当8=﹣t2+t，解得：t1=2（不合题意舍去），t2=5，故t=4或t=5时，△CPQ的面积是四边形OABC的面积的．【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形面积求法和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出是解题关键．27．如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）OA=AC首先三角形OAC是个等腰三角形，因为∠AOC=60°，三角形AOC 是个等边三角形，因此∠OAC=60°；（2）如果PC与圆A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度数，有A 点的坐标也就有了AC的长，可根据余弦函数求出PA的长，然后由PO=PA﹣OA得出OP 的值．（3）本题分两种情况：①以O为顶点，OC，OQ为腰．那么可过C作x轴的垂线，交圆于Q，此时三角形OCQ 就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO可在直角三角形OCP中，根据∠COA的度数，和OC即半径的长求出PO．②以Q为顶点，QC，QD为腰，那么可做OC的垂直平分线交圆于Q，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交OC于D的话，可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐标；然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式，得出这条直线与x轴的交点，也就求出了PO的值．【解答】解：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°．（2）∵CP与⊙A相切，∴∠ACP=90°，∴∠APC=90°﹣∠OAC=30°；又∵A（4，0），∴AC=AO=4，∴PA=2AC=8，∴PO=PA﹣OA=8﹣4=4．（3）①过点C作CP1⊥OB，垂足为P1，延长CP1交⊙A于Q1；∵OA是半径，∴，∴OC=OQ1，∴△OCQ1是等腰三角形；又∵△AOC是等边三角形，∴P1O=OA=2；②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q2，CQ2与x轴交于P2；∵A是圆心，∴DQ2是OC的垂直平分线，∴CQ2=OQ2，∴△OCQ2是等腰三角形；过点Q2作Q2E⊥x轴于E，在Rt△AQ2E中，∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°，∴Q2E=AQ2=2，AE=2，∴点Q2的坐标（4+，﹣2）；在Rt△COP1中，∵P1O=2，∠AOC=60°，∴，∴C点坐标（2，）；设直线CQ2的关系式为y=kx+b，则，。
2018年无锡市锡中中考第一次适应性数学试卷(含答案)
一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是正确的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑 )
1．－ 2 的绝对值是
（）
A ．2
B．- 2
C． 12
D． - 12
2．下列运算正确的是
A ．15
B． 12π
C． 15π
（） D． 30π
6．某中学合唱团的 18 名成员的年龄情况如下表：
年龄（单位： 岁）
14 15 16 17 18
人数
3
6
4
4
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是
（）
A ．15， 15
B． 15，15.5
C． 15， 16
D． 16，15
7．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的弦，连结 AC、 AD 、 BD ，若∠ BAC＝ 35°，
则∠ ADC 的度数为
（）
A ．35°
C
B． 65°
D
C
C． 55°
y
D ．70°
y
A
O
B
D （第 7 题）
O
A
E
B
（第 8 题）
D A
OB
Cx
（第 9 题）
A
O
Bx
（第 10 题）
8．如图，在菱形 ABCD 中， AC、 BD 相交于点 O， E 为 AB 的中点，且 DE⊥ AB，
若 AC＝ 6，则 DE 的长为
（）
A ．3
B．3
பைடு நூலகம்
C．2
2018年江苏无锡中考第一次适应性练习数学试卷含答案
A． 5 6
7．已知点
B． 2 3
A（ 3，m）与点 B（2， n）是直线 y
C． 3 13 13
D． 2 13 13
2 x b 上的两点，则 m 与 n 的大小关系是 3
（▲）
A． m n
B． m n
C． m n
D．无法确定
8．如图， 3 个正方形在⊙ O直径的同侧，顶点 B、C、G、H都在⊙ O的直径上，正方形 ABCD的顶点
进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：
A 级：优秀； B 级：良好； C 级：
及格； D 级：不及格） ，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信
息解答下列问题：
⑴ 本次抽样测试的学生人数是
▲
；
⑵ 图 1 中∠ α 的度数是
▲
° ，把图 2 条形统计图补充完整；
⑶ 该区九年级有学生 3500 名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数
▲.
三、解答题（ 10 小题，共 86 分）
19．（ 6 分）先化简，再求值： (m n) 2 2n（m n），其中 m 2 ， n 3 ．
20．（ 8 分）解方程和不等式组
（1） x2 3x x 3
2 x x 2，
（2）
2x 1 x.
3
21．（ 8 分）为了解某区九年级学生身体素质情况，该区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生
3．下列运算正确的是（ ▲ ）
A． 2 3 5 B ． 2 3 6 C ． a 6 a 2 a 3 D ． ( 2) 2 2
4．为参加 2016 年“无锡市初中毕业生升学体育考试” ，小芳同学刻苦训练，在跳绳练习中，测得
5 次跳绳的成绩（单位：个 / 分钟）为： 150， 158，162， 158， 166．这组数据的众数、中位数
江苏省无锡市第三高级中学2024-2025学年高二上学期第一次基础测试(9月)数学试卷(含答案)
无锡市第三高级中学2024-2025学年高二上学期第一次基础测试（9月）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为( )A. B. C. D.2．已知为直线l 的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法：①；②；③；④.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3．已知向量，，向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D.4．，，是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是( )5．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线，所成角的余弦值为( )6．已知实数x，y 满足A. B.()2,1,1A yOz (2,1,1)-(2,1,1)-(2,1,1)-(2,1,1)--v 1n 2n αβαβ12////n n αβ⇔ 12n n αβ⊥⇔⊥ 1////v n l α⇔1//v n l α⊥⇔()0,0,1a =()1,1,1b =- a b + a ()0,0,2()0,0,1()0,0,1-()0,0,2-PA PB PC 60︒PC PAB ABCD ⊥ABEF ABEF ABCD 60DAB ∠=︒AC FB 15y x =-2x ≤≤[)1,3,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. D.7．已知直线l 和平面，且，l 的方向向量为，平面的一个法向量为，A.2B.4C.8．在三棱锥中,PA ,PB ,PC 两两垂直,且.若M 为该三棱锥外接球上的一点,则的最大值为( )A.2B.4C.二、多项选择题9．如图,四棱柱中,M 为的中点,Q 为上靠近点的五等分点,则( )A. B.C. D.10．已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是( )A. B.C.点A 到直线11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M ，N 分别是线段，的中点，Q 是线段上的一个动点（含端点D ，C ），则下列说法正确的是( )(][),13,-∞-+∞ []1,3-α//l α()2,,1l m =α()1,1,n n =- (0,0m n >>P ABC -2PA PB PC ===MB MC ⋅2++1111ABCD A B C D -1CD 1CA 1A 11132AM AB AD AA =++ 122AM AB AD AA =++1133545AQ AB AD AA =++ 154AQ AB AD AA =++ ()1,1,0A -()2,2,1B ()1,1,1C ()0,2,3D AB CD⊥AD =ABC ABCDES SA ⊥ABCD ABCD //DE SA 22SA AB DE ===BC SB DCA.存在点Q ，使得B.存在点Q ，使得异面直线与所成的角为C.三棱锥D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大三、填空题12．已知向量，，且，则________.13．已知三点,,在同一直线上,则实数a 的值是________.四、双空题14．定义：设是空间的一组基，若向量，则称实数组为向量在基下的坐标.已知是空间向量的标准正交基，是空间向量的另一组基，若向量在基下的坐标为，则向量在基下的坐标是________，向量的模是________.五、解答题15．已知空间三点,,.设,.(2)求与的夹角;(3)若向量与互相垂直,求实数k 的值.16．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，.求：NQ SB⊥NQ SA 60︒Q AMN -DC QMN (1,2,3)a m n =-+ (3,41,25)b m n =+- //a b m n +=(1,1)A -(,3)B a (4,5)C {}123,,a a a123p xa ya za =++(,,)x y z p{}123,,a a a {},,a b c {},,2a b a b c +- p {},,2a b a b c+- (1,2,3)p {},,a b c p ()4,0,4A -()2,2,4B -()3,2,3C -a AB = b BC =a b ka b + 2ka b -P ABCD -ABCD //AD BC 2AD =90ABC ∠=︒PA ⊥ABCD 1PA AB BC ===(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)点A 到平面的距离.17．如图，在长方体中，，，点E 在棱上移动.(1)当点E 在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值；(2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.18．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M ，N 分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.（1）求的长；（2）a 为何值时，的长最小？（3）当的长最小时求平面与平面夹角的余弦值.19．图①是直角梯形，，，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点C 到达的位置，且PCD PBA PCD 1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =AB AB 1D EC 1DCD AE 1A D 1D EC ABCD ABEF AC BF CM BN CM BN a ==(0a <<MN MN MN MNA MNB ABCD //AB CD 90D ∠=︒ABCE 60BCE ∠=︒BE BCE △1C 1AC =(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点P ，使得点P 到平面与平面所成角的正弦值：若不存在，请说明理由.1BC E ABED 1DC ABC EP 1ABC参考答案1．答案：A解析：在空间直角坐标系中,点关于平面对称点的坐标为．故选：A.2．答案：B解析：因为，不重合，对①，平面，平行等价于平面，的法向量平行，故①正确；对②，平面，垂直等价于平面，的法向量垂直，故②正确；对③，若，故③错误；对④，或，故④错误.故选：B.3．答案：A解析：因为向量，，所以，所以向量在向量上的投影向量为：，故选：A.4．答案：B 解析：解法一：如图，设直线在平面的射影为，作于点G ，于点H ，连接，(2,1,1)A yOz (2,1,1)-αβαβαβαβαβ1//v n l α⇔⊥1//v n l α⊥⇔l α⊂()0,0,1a =()1,1,1b =- ()1,1,2a b +=-a b + a()()()220,0,10,0,21a b a a a+⋅⋅=⋅=PC PAB PD CG PD ⊥CH PA ⊥HG易得，又，平面，则平面，又平面，则，有故.已知，，故解法二：如图所示，把，，放在正方体中，，，的夹角均为.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则令，则，，所以，所以设直线与平面所成角为，所以所以故选B.CG PA ⊥CH CG C = ,CH CG ⊂CHG PA ⊥CHG HG ⊂CHG PA HG ⊥cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠60APC ∠=︒30APD ∠=︒cos cos 60cos cos cos30CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==PA PB PC PA PB PC 60︒(1,0,0)P (0,0,1)C (1,1,1)A (0,1,0)B (1,0,1)PC =- (0,1,1)PA = (1,1,0)PB =-PAB (,,)n x y z = 00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x =1y =1z =-(1,1,1)n =-cos ,PC n PC n PC n⋅===⋅PC PAB θsin cos ,PC n θ==cos θ==5．答案：D解析：取的中点O ，连接，四边形为菱形，，所以，由于平面平面，且两平面交线为，，平面，故平面，又四边形为正方形，故以O 为坐标原点，为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则，，，，故，，则故直线，故选：D.6．答案：A解析：由于点满足关系式，可知在线段上移动，且，设，则，因为点在线段，故选：A.AB OD ABCD 60DAB ∠=︒DO AB ⊥ABCD ⊥ABEF AB DO AB ⊥DO ⊂ABCD DO ⊥ABEF ABEF AB ABEF (0,1,0)A -(0,1,0)B (2,1,0)F -(0,C AC = (2,2,0)BF =-cos ,AC BF AC BF AC BF ⋅===⋅AC (),x y 15y x =23x ≤≤(),M x y AB (2,1)A --(3,0)B ()1,2Q -()()21312QA k --==---201132QB k -==---(),M x y AB [)1,3,2⎤-∞-+∞⎥⎦7．答案：A解析：由得：，因为，，，当且仅当等号成立，故选：A.8．答案：C解析：如图,将三棱锥放置在正方体中,三棱锥的外接球就是正方体的外接球,球心为正方体对角线的交点,,,,,,,设三棱锥外接球的半径为R ,,,,,,,,//l α()()02,,11,1,202l n m n m n m n ⋅=⇒⋅-=-++=⇒+=()11111222n m m n n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0m >n >2m n +≥=()112222n +≥+=1m n ==()0,0,0P ()2,0,0A ()0,2,0B ()0,0,2C ()1,1,1O (),,M x y z 2R ==R =()()MB MC MO OB MO OC ⋅=+⋅+ ()2MO OB OC MO OB OC =++⋅+⋅ 223MO R == ()1,1,1OB =-- ()1,1,1OC =-- ()2,0,0OB OC +=- 1111OB OC ⋅=--=-,所以当时,取得最大值故选:C 9．答案：BD解析：,即,故A 错误、B 正确;,即,故C 错误,D 正确.故选:BD.10．答案：ABD解析：对于选项A:结合题意可得，，因为，所以，故选项A 正确；对于选项B:结合题意可得对于选项C ：结合题意可得取，，所以故选项C错误；对于选项D：结合题意可得，，，设平面的法向量为，()cos ,,OB OC MO OB OC MO OB OC MO OB OC MO +⋅=++=+ 3,12,MB MC OB OC MO OB OC ⋅=++-=++ cos ,1OB OC MO += MB MC ⋅2+()112AM AB CM A BC B CD AD CC =++=+++1111112222AD AA AD A A B A B A AB =+-+=++ 122AM AB AD AA =++()11111111111155A Q A C A AQ AA AA AA D C D C C=+=+=+++ ()11111145555A AD AB AB A A A A D A A =++-=++ 154AQ AB AD AA =++()3,1,1AB = ()1,1,2CD =-3120AB CD ⋅=-++=AB CD ⊥AD ==()1,1,0BC =--()3,1,1a BA ==--- )1,1,0BC u BC ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭2a =u ⋅= BC ==()3,1,1AB = ()2,0,1AC = ()1,1,3AD =ABC (),,n x y z =则，令，则，所以点D到平面的距离为故选：ABD.11．答案：ACD解析：以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，；对于A，假设存在点，使得，则，又，所以，解得，即点Q与D重合时，，A正确；对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，因为，，，B错误；3020n AB x y zn AC x z⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1x=()1,1,2n=--ABC dABADAS()0,0,0A()2,0,0B()2,2,0C()0,2,0D()0,2,1E()0,0,2S()1,0,1N()2,1,0M()(),2,002Q m m≤≤NQ SB⊥()1,2,1NQ m=--()2,0,2SB=-()2120NQ SB m⋅=-+=m=NQ SB⊥()(),2,002Q m m≤≤NQ SA60︒()1,2,1NQ m=--()0,0,2SA=-,NQ SANQ SANQ SA⋅===⋅对于C ，连接，，，设，因为所以当，即点Q 与点D 重合时，取得最大值2；又点N 到平面的距离，所以对于D ，由上分析知：，，若是面的法向量，则，令，则，因为，设直线与平面所成的角为，，所以当点Q 自D 向C 处运动时，m 的值由0到2变大，此时也逐渐增大，因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D 正确.故选：ACD12．答案：解析：向量，，，AQ AM AN ()02DQ m m =≤≤2AMQ ABCD ABM QCM ADQ S S S S S =---= △△△△0m =AMQ S △AMQ 112d SA ==()()max max 1213Q AMN N AMQ V V --==⨯⨯=()1,2,1NQ m =-- ()1,1,1NM =-(),,m x y z = NMQ ()1200m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ()1,2,3m m m =-- ()2,0,0DC = DC QMN θπ0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin DC n DC n θ⋅===⋅ sin θsin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦θ21-(1,2,3)a m n =-+ (3,41,2b m n =+- 412m m +==-7m =-14n =-所以.故答案为：.13．答案：3解析：三点,,在同一直线上,,.故答案为:3.14．答案：解析：因为向量在基，下的坐标为，所以，所以向量在基下的坐标是，又因为是空间向量的标准正交基，，且，故答案为：15．答案：（1）（3）解析：（1）因为,,所以,所以因为,,所以（2）由（1）可知21m n +=-21- (1,1)A -(,3)B a (4,5)C AB AC k k ∴=∴41a =-3=(3,-p {},,2a b a b c +- (1,2,3)()()23236p a b a b c a b c =++-+⨯=-+ p {},,a b c (3,1,6)-{},,a b c 0a b b c c a ⋅=⋅=⋅= ====(3,-k =()4,0,4A -()2,2,4B -()2,2,0a AB == a == ()2,2,4B -()3,2,3C -(1,0,1b BC ==-- =cos ,a b a b a b〈〉===⋅⋅又,所以与（3）由（1）可知,,又向量与互相垂直,所以,所以,即,解得解析：（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，所以，，设平面法向量，则，令，则，，所以，取平面法向量为，与面（2）因为，平面法向量为，所以点A到平面的距离(2)当时，直线与平面[]0,π,a b〈〉∈,a b〈〉=b()21,2,1ka b k k+=--()22,22,2kka kb-=+ka b+2ka b-()()20kaka bb-+⋅=()()21,2,122,2,20k k k k--⋅+=()()22122420k k k-++-=k=AB AD AP (0,0,0)A(1,0,0)B()1,1,0C(0,2,0)D(0,0,1)P(0,2,1)PD=-(1,1,1)PC=-PCD(,,)n x y z=20y zx y z-=⎧⎨+-=⎩2z=1y=1x= (1,1,2)n=PBA(0,1,0)m==(0,2,0)AD=PCD(1,1,2)n=PCD||||AD nnd⋅==2AE=1A D1D EC解析：（1）以D 为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱的中点时，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，所以所以平面与平面（2）设，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，DA DC 1DD AB 1(0,0,1)D (1,1,0)E (0,2,0)C (0,0,0)D (1,0,0)A 1(1,1,1)ED =-- (1,1,0)EC =- (1,0,0)DA = 1D EC (,,)n x y z = 1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ 1x =1y =2z =1D EC (1,1,2)n = 1DCD (1,0,0)DA = ·cos ,DA n DA n DA n===⋅ 1D EC DCD AE m =1(0,0,1)D (1,,0)E m (0,2,0)C (0,0,0)D 1(1,0,1)A 1(1,,1)ED m =-- (1,2,0)EC m =-- (02)m ≤≤1(1,0,1)DA = 1D EC (,,)n x y z = 1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ 1y =2x m =-2z =1D EC (2,1,2)n m =- 1A D 1D EC θ则令，则当时，（2）解析：解析：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，.当（3）由（2）可知，当M ，N 为中点时，最短，11sin n DA n DA θ⋅===⋅ 4[2,4]m t -=∈sin θ====2t =sin θMN =a =()1,0,0A ()0,0,1C ()1,1,0F ()0,1,0E CM BN a == M ∴-N ⎫⎪⎭MN ==MN ==a =MN则，，取的中点G ，连接，，则，，，，，是平面与平面的夹角或其补角.，，平面与平面19．答案：(1)证明过程见解析；(2)存在，直线与平面解析：（1）取的中点F ，连接，，因为四边形是边长为2的菱形，并且，所以，均为等边三角形，故，，且因为，由勾股定理逆定理得：，又因为，是平面内两条相交直线，11,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN AG BG 111,,244G ⎛⎫ ⎪⎝⎭AM AN = BM BN =AG MN ∴⊥BG MN ⊥AGB ∴∠MNA MNB 111,,244GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 111(,,244GB =--- cos ,GA GB GA GB GA GB⋅∴=⋅ ==∴MNA MNB EP ABC BE AF 1C F ABCE 60BCE ∠=︒ABE △1BEC △AF BE ⊥1C F BE ⊥1AF C F ==1AC =22211AF C F AC +=1AF C F ⊥AF BE ABE所以平面，即平面，因为平面，所以平面平面；(2)以F 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，，，故，解得：，，故，设平面的法向量为，则，，，故，令，则，故，其中1CF ⊥ABE 1C F ⊥ABED 1C F ⊂1BEC 1BC E ⊥ABED FA FB 1C F()0,0,0F )A ()0,1,0B (1C ()0,1,0E -3,02D ⎫-⎪⎪⎭(,,)P m n t 1DP DC λ= [0,1]λ∈[]33,,0,122m n t λλ⎛⎫⎛-+=∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝m =32n λ==33,22P λ⎫--⎪⎪⎭1ABC (,,)v x y z = (AB = 1(AC = 100v AB y v AC ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =y =1z =v = 33(,)22AP λ=-则解得：，，设直线与平面所成角为，则，直线与平面d λ=3(4AP =- 14EP = EP 1ABC θsin =cos ,EP v EP v EP vθ⋅==⋅ EP ABC。
2018年江苏省无锡市中考数学试卷附答案解析(word版)
2 0 1 8 年江苏省无锡市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑) 1．（3分）下列等式正确的是（）A．（）2=3 B．=﹣3 C．=3 D．（﹣）2=﹣32．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≠﹣4 B．x≠4 C．x≤﹣4 D．x≤43．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3=a5B．（a2）3=a5C．a4﹣a3=a D．a4÷a3=a4．（3分）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（3分）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（）A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n7．（3分）某商场为了解产品A的销售情况，在上个月的销售记录中，随机抽取了5天A产品的销售记录，其售价x（元/件）与对应销量y（件）的全部数据如下表：则这5天中，A产品平均每件的售价为（）A．100元B．95元C．98元D．97.5元8．（3分）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O 的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．（3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化10．（3分）如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（）A．4条B．5条C．6条D．7条二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
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省锡中实验学校初三数学第一次适应性练习 2018.3一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑) 1．－2的绝对值是（ ）A ．2B ．−2C ．12D ．− 12 2．下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 3÷a 3＝aC ．4a 3－2a 2＝2aD ．(a 3)2＝a 6 3．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）4．如果一个多边形的内角和等于1440°，那么这个多边形的边数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 5．若圆柱的底面半径为3，母线长为5，则这个圆柱的侧面积为（ ）A ．15B ．12πC ．15πD ．30π6．某中学合唱团的18名成员的年龄情况如下表：年龄（单位：岁） 1415 16 17 18 人数3644 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）A ．15，15B ．15，15.5C ．15，16D ．16，157．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连结AC 、AD 、BD ，若∠BAC ＝35°， 则∠ADC 的度数为 （ ）A ．35°B ．65°C ．55°D ．70°8．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且DE ⊥AB ，OA B xy（第10题）A OBC D xy（第9题）DAOCB E（第8题） OACBD（第7题）A ．B ．C ．D ．若AC ＝6，则DE 的长为 （ ）A ．3B ．3 3C ．2 3D ．49．如图，矩形ABCD 的顶点A 和对称中心均在反比例函数y ＝kx（k ≠0，x ＞0上，若矩形ABCD 的面积为8，则k 的值为（ ）A ．8B ．3 3C ．2 2D ．410．如图，点A 是直线y ＝－x 上的动点，点B 是x 轴上的动点，若AB ＝2，则△AOB 面积的最大值为（ ）A ．2B ．2＋1C ．2－1D ．2 2二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．分解因式：a 3－9a ＝______________．12．据统计，2018年无锡春节黄金周共接待游客约3 020 000人次，数据“3 020 000”用科学记数法可表示为______________．13．函数y ＝x －5中，自变量x 的取值范围是__________．14．方程 2x ＝ 1x －3的解为___________．15．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝25°，DE 是边AC 的垂直平分线，连结AE ，则∠BAE 等于___________º．16．如图，四边形ABCD 是平行四边形，其中边AD 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，若⊙O 的周长是12π，则四边形ABCD 的面积为___________．17．在如图所示的正方形方格纸中，每个小四边形都是相同的正方形，A 、B 、C 、D 都是格点，AB 与CD 相交于M ，则AM ：BM ＝___________．18．在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 、D 四点的坐标依次为（0，0）、（6，2）、（8，8）、（2，6），若一次函数y ＝mx －6m ＋2(m ≠0)的图像将四边形ABCD 的面积分成1：3两部分，则m 的值为___________．三、解答题(本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或验算步骤)ABCDM（第17题）DO（第16题）ABCE D （第15题）19．（本题满分8分）计算：（1）(－1)2018＋||－2－2sin45°； （2）化简：(x －2)2－(x ＋2)(x －2)．20．（本题满分8分）（1）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞2；……①5＋x ≥3(x －1)．……②（2）解方程x 2－2x －1＝0．21．（本题满分8分）已知：如图，AB ∥ED ，AB ＝DE ，点F 、点C 在AD 上，且AF ＝DC ．求证：BC ＝EF ．22．（本题满分8分）省锡中实验学校为了解九年级学生的身体素质测试情况，随机抽取了该校九年级部分学生的身体素质测试成绩作为样本，按A （优秀），B （良好），ABCDEF（第21题）C （合格），D （不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次共调查了多少名学生？（2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中“A ”部分所对应的圆心角的度数为________________º．（3）我校九年级共有1000名学生参加了身体素质测试，估计测试成绩在良好以上（含良好）的人数．23．（本题满分8分）车辆经过某大桥收费站时，共有4个收费通道 A 、B 、C 、D ，可随机选择其中的一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，选择A 通道通过的概率是___________；（2）两辆车经过此收费站时，求它们选择不同通道通过的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）24．（本题满分6分）（1）如图1，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3．若DE ⊥AC ，且DE ＝DB ，求AD 的长；（2）如图2，已知△ABC ．若AB 边上存在一点M ，AC 边上存在一点N ，使得ABCD 40%6 10 20人数 ABCDMB ＝MN ，且△AMN ∽△ABC （其中点M 与点B 对应），请利用没有刻度的直尺和圆规作出符合条件的线段MN ．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）25．（本题满分8分）为全力助推无锡建设，大力发展惠山新城，某公司拟派A ，B 两个工程队共同建设某区域的绿化带．已知A 工程队的2人与B 工程队的3人每天共完成310米绿化带，A 工程队的5人与B 工程队的6人每天共完成700米绿化带．（注：假设同一个工程队的工人的工作效率相同）（1）求A 队每人每天和B 队每人每天各完成多少米绿化带？（2）该公司决定派A 、B 工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带总量不少于1 480米，且B 工程队至少派出2人，则有哪几种人事安排方案？26．（本题满分10分）如图，平面直角坐标系中，直线l ：y ＝12x ＋m 交x 轴于点A ，二次函数y ＝ax 2－3ax ＋c （a ≠0，且a 、c 是常数）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，与直线l 交于点D ．已知CD 与x 轴平行， 且S △ACD ：S △ABD ＝3：5． （1）求点A 的坐标；ABC（图2）A BCD E（图1）（2）求此二次函数的解析式；（3）点P 为直线l 上一动点，将线段AC 绕点P 顺时针旋转αº(0°＜α＜360°)得到线段A ′C ′（点 A 、A ′是对应点，点C 、C ′是对应点）．请问：是否存在这样的点P ，使得旋转后点A ′和点C ′分别落在直线l 和抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 的图像上？若存在，请直接写出点A ′的坐标；若不存在，请说明理由．27．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝3，动点D 从点A 出发，在AB 边上以每秒1个单位的速度向点B 运动，连结CD ，作点A 关于直线CD 的对称点E ，连接DE ，BE ，设点D 运动时间为t （s ）．（1）若△BDE 是以BE 为底的等腰三角形，求t 的值． （2）若△BDE 为直角三角形，求t 的值．O A xyy ＝12x ＋（3）当S △BCE ≤92时，求所有满足条件的t 的取值范围．（参考数据：tan15°＝2－3）28．（本题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A （6，0），点B 在y 轴上，点C 在第三象限角平分线上．动点P 、Q 同时从点O 出发，点P 以每秒1个单位长度的速度沿O →A →B 匀速运动到终点B ；点Q 沿O →C →B →A 运动到终点A ，点Q 在线段OC 、CB 、BA 上分别作匀速运动，速度分别为每秒v 1个单位长度、每秒v 2个单位长度、每秒v 3个单位长度．设点P 运动的时间为t （s ）， △OPQ 的面积为S (平方单位2)，已知S 与t 之间的部分函数关系如图2中的曲线段OE 、曲线段EF 和线段FGACEAC（备用图）AC（备用图）所示．（1）v 1＝_________， v 2＝_________； （2）求曲线段EF 的解析式；（3）补全函数图像(请标注必要的数据)；（4）当点P 、Q 在运动过程中是否存这样的t ，使得直线PQ 把四边形OABC 的面积分成11：13两部分，若存在直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．省锡中实验学校初三第一次适应性练习 参考答案 2018年3月一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ADDCDBCADB11．a(a+3)(a-3) 12．13.14.x=6O ABCxy （图1）OE FG 8 6 2624tS （图2）15.16.72 17. 5:12 18.（对1个不给分）三．解答题：（本大题有10小题，共计84分）19．（1）原式=…………………………………………(3分)= 1 ……………………………………… (4分) （2）原式=x2 -4x+4-x2+4 ………………………………………(3分)=-4x+8 ………………………………………………… (4分)20．解不等式组：由①得: …………………………………… (1分)由②得: ………………………………… (2分)解集为：……………………………… (4分) （2）解方程x1 = , x2 =……………………… (4分)( 若△算对得1分，若配方对得2分)21. 证明：∵AB∥ED，∴∠A=∠D，……………………………（2分）又∵AF=DC，∴AC=DF．…………………………………………（3分）在△ABC与△DEF中，……………（6分）∴△ABC≌△DEF．…………………（7分）∴BC=EF．…………………（8分）22．解：（1）此次共调查学生=50（人），答：此次共调查了50名学生；…………（2分）（2）补全条形图如图：…………………（4 分）A等级对应扇形圆心角度数为：×360°=72°…（6分）（3）估计测试成绩在良好以上（含良好）的人数为：1000×=600（人），答：估计测试成绩在良好以上（含良好）的约有600人．…………………（8 分）23．解：（1）选择A通道通过的概率=，…………………（2 分）（2）设两辆车为甲，乙，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果：…………………（5 分）其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率==．…………………（8 分）24.（1）…………………（3分）（2）作图略……………（6分）25. （1）设A工程队每人每天完成x米，B工程队每人每天完成y米，…………………（2 分）解得…………………（3分）答：A工程队每人每天完成80米，B工程队每人每天完成50米。