西安电子科技大学16-17年高等代数考研真题
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案
试 题 二 （考试时间：120分钟）一、填空（每小题4分，共32分） 1．若矩阵A 相似于矩阵{}2,1,1−diag ，则31−A= 。
2．设33)(×=ij a A 是实正交矩阵且111=a ，Tb )0,0,1(=，则方程组A X =b 的解为 3．设n 阶方阵A 满足2340A A E −+=，则1)4(−+E A = 。
4．设A 为4×3阶矩阵，且R (A )=2，又⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=301020204B ，则R (A B)- R (A )=5．若二次型31212322213212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定的，则t 满足 。
6．已知三阶方阵A 的特征值为2，3，4，则A 2= 。
7．已知五阶实对称方阵A 的特征值为0，1，2，3，4，则R (A )= 。
8．设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1201A 则=kA 。
（k 为正整数）。
二、（10分）计算行列式：11223000000000000011111n n a a a a a D a a −−−=−L L L M M M O M M L L 三、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+−+=+−+=+−+32343242432143214321x x x x x x x x x x x x λ讨论λ为何值时，方程组无解，有解？在有解的情况下，求出全部解。
四、（10分）已知二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=（1）把二次型f 写成Ax x x x x f T=)(321，，的形式； （2）求矩阵A 的特征值和特征向量；（3）求正交阵Q，使f 通过正交变换X QY =化为标准形。
五、（10分）已知向量组T)2,0,4,1(1=α，T)3,1,7,2(2=α，T a ),1,1,0(3−=α，Tb )4,,10,3(=β，试讨论（1）a,b 取何值时，β不能由331,,ααα线性表出；（2）a,b 取何值时，β可以由331,,ααα线性表出。
2016年-2017年西安电子科技大学811信号与系统、电路考研真题试题试卷
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目 录
2016 年西安电子科技大学 811 信号与系统、电路考研真题试题试卷····························2 2017 年西安电子科技大学 811 信号与系统、电路考研真题试题试卷·························· 10第 16 页，共 16 页
高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案3
α1 = (1,1, 0 ) ,
T
α 2 = ( 0, 0,1)
T
同理，当 λ2 = 0 时，得线性无关的特征向量为 α 3 = ( −1,1, 0 ) ．
T
将 α1 , α 2 , α 3 单位化得
η1 =
1 1 T T T (1,1, 0 ) ，η2 = ( 0, 0,1) ，η3 = ( −1,1, 0 ) 2 2
n
0 0
L
0 0
L L
n −1 1− n
L
三、 （12 分）问 a, b 为何值时，线性方程组
⎧ x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1; ⎪ x + 3 x + 6 x + x = 3; ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪3 x1 − x2 − ax3 + 15 x4 = 3; ⎪ ⎩ x1 − 5 x2 − 10 x3 + 12 x4 = b.
故 λ1 = −1 为 A 的三重特征值．
⎛ −3 1 −2 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 (λ1 E − A) X = 0 ．因 − E − A = −5 2 −3 → 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
得其基础解系中只含一个解向量 α = (−1, −1,1) ，从而属于 λ1 = −1 的线性无关的特征向
⎛1 ⎜ 0 初等行 三 解： A ⎯⎯⎯ →⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
( −1) 或
2
n −1
( n + 1)! ）
1 2 3 −1 1 2 0 2−a 2 0 0 3
1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ = A1 4 ⎟ ⎟ b+5 ⎟ ⎠
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案1
{
x1 + x2 + x3 = 0, 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0, xi ∈ R} ，则 dim V =
3．已知向量组 α1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 线性无关，而向量组 β 1 = 4α 1 + α 2 ， β 2 = α 2 + α 3 ，
β 3 = α 3 + α 4 ， β 4 = α 4 + 2λα 1 线性相关，则 λ =
经正交变换化为标准形
2
2
2
f ( y1 , y 2 , y3 ) = 2 y1 + 5 y 2 + 5 y3
2
2
2
， 求参数 a ，b 及用的正交变换。
⎛2 ⎜ ⎜1 六、 （6 分） 已知四阶方阵 A ，X 满足关系式 AXA − 2 A = XA ， 且A=⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
2
5 3 0 0
0 0 4 7
（1） a ≠ −2 且 a ≠ 1 时，有唯一解 （2） a = −2 时，因为： R ( A) ≠ R( B) ，所以方程组无解。 （3） a = 1 时，因为： R ( A) = R( B) =1<3，所以方程组有无穷多解。
⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 其通解为 ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + k1 ⎜ 1 ⎟ + k 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
3n + 1 3 L 3 3 3n + 1 3 L 3 3 c1 + c 2 3n + 1 4 L 3 3 r2 − r1 0 1 L 0 0 c1 + c3 L L L L L r3 − r1 L L L L L = 3n + 1 二 解： Dn 3n + 1 3 L 4 3 0 0 L 1 0 M M 0 L 0 1 c1 + c n 3n + 1 3 L 3 4 rn − r1 0
2016年电子科技大学835线性代数真题
1 2 22 四(20分) 设 A , 规定2阶实矩阵线性空间 R 上的线性变换 A 为: 3 4
A : R 22 R 22 , B AB BA, B R 22 .
1 0 0 1 0 0 0 0 (1) 试计算线性变换 A 在 R 22 的标准基 , , , 下的矩阵. 0 0 0 0 1 0 0 1
T T
用写求解过程).
(2) 设非零向量 , R n . 证明: 存在正交矩阵 A 使得 A 当且仅当 T T 0 .
八(20 分). 设 A 是 3 阶实对称矩阵, 各行元素之和均为 0, 且 R 2 I A 2 , A 3I 不可逆.
电子科技大学 2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：835 线性代数
注意事项：所有答案必须写在答卷纸上，否则答案无效。 符号说明: I 表示单位矩阵, A* 表示伴随矩阵, R 表示实数域.
一(15 分) 已知 3 阶矩阵 A 1 , 2 , 1 , B 2 , 1 , 2 , 其中 1 , 2 , 1 , 2 都是 3 维列向量. 若 A 4, B 5 , 求 3 A 2 B . 二(20 分) 是否存在满足如下条件的矩阵? 如果有, 请写出一个或一对这样的矩阵(不必说明 理由). 如果没有, 请说明理由. (1) 两个秩为 2 的矩阵 A43 与 B34 使得 AB O . (2) 3 阶矩阵 C 使得 C 3 O , 但是 C 4 O . (3) 2 阶正交矩阵 F 和 G 使得 F G 也是正交矩阵. (4) 2 阶矩阵 U, W 使得 UW WU I . 三(20 分) 设 2 阶矩阵 A, B 满足 AB 3 A 2 B . (1) 证明: AB BA .
高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m(x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
西安电子科技大学高等代数机算与应用作业题参考答案
高等代数机算与应用作业题学号：姓名：成绩：一、机算题1．利用函数rand和函数round构造一个5×5的随机正整数矩阵A和B。
>> a=round(rand(5))a =0 0 1 1 11 1 0 1 01 0 1 0 10 1 1 0 00 0 1 0 1>> b=round(rand(5))b =0 0 0 0 00 1 1 0 10 1 1 1 01 1 0 1 00 1 1 1 0(1)计算A＋B，A－B和6A>> a+bans =0 0 1 1 11 2 1 1 11 12 1 11 2 1 1 00 1 2 1 1>> a-bans =0 0 1 1 11 0 -1 1 -1 1 -1 0 -1 1 -1 0 1 -1 0 0 -1 0 -1 1 >> 6*a ans =0 0 6 6 6 6 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 6 0 0 0 0 6 0 6 (2)计算()TAB ，TTB A 和()100AB>> (a*b)' ans =1 1 0 0 0 32 2 2 2 2 1 2 2 23 1 2 1 2 0 1 0 1 0 >> b'*a' ans =1 1 0 0 0 32 2 2 2 2 1 2 2 23 1 2 1 2 0 1 0 1 0 >> (a*b)^100 ans = 1.0e+078 *1.4732 7.6495 6.1764 5.52252.1271 1.0117 5.2535 4.24183.7927 1.4608 0.92294.7921 3.8692 3.4596 1.3325 0.9229 4.7921 3.8692 3.4596 1.3325 0.9229 4.7921 3.8692 3.4596 1.3325 (3)计算行列式A ，B 和AB >> det(a) ans =1 >> det(b) ans = 0 >> det(a*b) ans = 0(4)若矩阵A 和B 可逆，计算1A -和1B - >> inv(a) ans =0 0 1.0000 0 -1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 0.0000 2.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 -2.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000 3.0000 b 不存在逆矩阵(5)计算矩阵A 和矩阵B 的秩。
2016年电子科技大学601数学分析真题
y z a （ a 0 ）上任意一点的切平面在各坐标轴上
八 、（ 15 分 ） 计 算 三 重 积 分 I
x2 y2 z 2 dxdydz ， 其 中 为 球 体
5
{( x, y, z ) | x y z 2 z} .
2 2 2
f ( x, y)dxdy 先对 x
.
x 2 n 1 的和函数及定义域. n 1 2n 1 三、计算题（每小题 8 分, 共 16 分）
2. 求幂级数
1. 计算
x
0
1
7
x a dx ，其中 a 为常数；
2. 计算第二类曲线积分 I
2
e
L
x
sin y b( x y ) dx e x cos y ax dy ， 其中 a, b 为正常数，
电子科技大学 2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目: 601 数学分析
注： 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、 填空题(每小题 5 分, 共 25 分) 1. 极限 lim 2 x
x1
2
tan
x
2
， 切点坐标为
. . . .
2. 若直线 y x 与曲线 y log a x 相切， 则a 4. 设函数 z f ( x, y) 由方程 xe x y z x y 2 z 所确定， 则
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(a, b) ，使得
f (a)
f (b)
g (a) g (b)
(b a)
f (a)
f ' ( )
西安电子科技大学高等代数机算与应用作业题参考答案
1
成绩：
1 0 -1 1 -1 1 -1 0 -1 1 -1 0 1 -1 0 0 -1 60606 06600 00606
(2)计算 ABT ， BT AT 和 AB100
>> (a*b)' ans =
11000 32222 21222 31212 01010 >> b'*a' ans = 11000 32222 21222 31212 01010 >> (a*b)^100 ans = 1.0e+078 *
2x1 9x2 21x3 7x4 10
>> a=[2,1,2,4;-14,17,-12,7;7,7,6,6;-2,-9,21,-7]
a=
2124
-14 17 -12 7
7766
-2 -9 21 -7
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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2016年西安电子科技大学高等代数考研真题一 选择题（每题4分，共28分）1 设矩阵A,B 等价，A 有一个k 阶子式不等于0，则（）A kB R >)( B k B R =)(C k B R ≥)(D k B R ≤)( 2 设A,B 均为非零矩阵，且AB=0，则下面结论正确的是（）A A 的列向量线性相关，B 的行向量线性相关 B A 的列向量线性相关，B 的列向量线性相关C A 的行向量线性相关，B 的行向量线性相关D A 的行向量线性相关，B 的列向量线性相关3 设二次型3221232221321442)(x x x x ax x x x x x f --++=，若该二次型经过正交线性替换X=CY 化为标准形23222132152)(by y y x x x f ++=，则（）迹A 1,3==b aB 1,3-==b aC 1,3=-=b aD 1,3-=-=b a 4 在实数域R 上，下列矩阵中与矩阵}3,2,1{diag A =合同的是（）A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛13031-2021 B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛004010401 C ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110122022 D ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛211121111 5 设γβα,,是线性空间V 的三个线性无关的向量，记)(1αL V =，)(2βL V =，)(3γβ+=L V ，则子空间 321)(V V V ⋂+=（）A ),(γβα+LB )(γβ+LC )(βLD 零空间 6 齐次线性方程组AX=0与BX=0同解的充要条件为（）A )()(B R A R = B A,B 等价C A,B 的行向量组等价D A,B 的列向量组等价 7 设βαααα,,,,321均为4维列向量，矩阵),,,(321αααα=A ，),,,(321βααα=B ，且2,3==B A ，则 =-B A 52（）A -4B 1298C -1202D 108 二 填空题（每题4分，共32分）1 设n 阶方阵A 满足E A A T=，E 为n 阶单位矩阵，且0<A ，则=+E A 。
2 三次整系数多项式c bx ax x x f +++=23)(没有整数根是)(x f 在有理数域Q 上不可约的 条件。
3 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯01...00...............00...1000...0110...00nn A 的不变因子是 。
4 设4元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ为其三个解向量，且T )8,4,6,2(21=+ξξ，T )4,3,2,1(32=+ξξ，则该方程组的通解为 。
5 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000323232313231A ，则=2015A。
6 设n ααα,...,,21为n 个不全为0的实数，方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nna a a a a a a a a A ............... (222)111的秩为 ，特征值为 。
7 设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,2321===λλλ，对应于1λ的特征向量为T )1,1,1(1=ξ，则A= 。
8 设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式=132213321x x x x x x x x x 。
三 （10分）向量β可由s ααα,...,,21线性表出，但不能由121,...,,-s ααα线性表出，证明s ααα,...,,21与βααα,,...,,121-s 等价。
四 （10分）设多项式)(x f 除以12-x ，32+x 的余式分别为72+x ，12-x ，求多项式)(x f 除以)3)(1(22+-x x 的余式。
五（10分）已知T )1,1,1,10,7(1-=α，T )1,3,2,8,6(2--=α，T )1,5,5,6,5(3--=α，T )0,2,3,2,1(4--=α都是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++033450622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （*）的解向量，试问方程组（*）的解是否都能用4321,,,αααα线性表出？求出方程组（*）的一组包含4321,,,αααα的一组极大无关组的基础解系。
六（20分）设m m n n B A ⨯⨯,为复矩阵，证明 矩阵方程AX-XB=0只有零解的充要条件为A,B 无公共的特征值。
七（15分）设n m m n B A ⨯⨯,，k E 为k 阶单位矩阵；（1）证明 BA E AB E m n -=-；（2）计算行列式nn n n nnn x a x a x a x a x a x a x a x a x a D ++++++++++++=1..................1 (1212)21212111。
八（10分）已知二次型323121232221321222)(x bx x x x ax x x x x x x f +++++=经过正交变换化为标准型23222y y f +=，求参数a,b 及所用的正交变换。
九（15分）设η是欧式空间中一个单位向量，定义ηαηαατ),(2)(-=；证明 （1）τ是第二类正交变换，这样的正交变换称为镜面反射；（2）如果n 维欧氏空间中，正交变换σ以1作为一个特征值，且属于特征值1 的特征子空间为n-1 维，那么σ是镜面反射。
西安电子科技大学2017年一、选择题（每小题4分，共20分）1 设A 为n m ⨯矩阵，下面结论正确的是（）A 若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解B 若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷解C 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 只有零解D 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 有非零解2 设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，且E AB =，则（）A m A R =)(B m A R <)(C n A R =)(D )(A R 不确定3 设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表出，而2β不能由321,,ααα线性表出，则对于任意常数k ，必有（）A 21321,,,ββααα+k 线性相关 B21321,,,ββααα+k 线性无关C 21321,,,ββαααk +线性无关D 21321,,,ββαααk +线性相关4 设T 是3R 上的线性变换，),,(),,(133221321x x x x x x x x x T +++=，则T 在自然基)0,1,0(),0,0,1(21==εε， )1,0,0(3=ε下的矩阵为（）A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101110011D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010111105 在三维线性空间2][x R 中的线性变换定义为：)(')2()())((x f x x f x f T ++=，则T 的特征值为（） A 321，， B 432，， C 101，，- D 012，，-- 二 填空题（每小题5分，共30分）1 设),,,(432γγγα=A ，),,,(432γγγβ=B ，其中432,,,,γγγβα为4维列向量，已知4=A ，1=B ，则 =+B A 。
2 设T a a ),0,...,0,(=β，0<a ，E 为n 阶单位阵，矩阵)(T E A ββ-=，)(1TaE B ββ+=，且矩阵A 的逆矩阵是B ，则=a 。
3 如果1|)1(242++-bx ax x ，则=a ，=b 。
4 设A 为n 阶矩阵，0≠A ，若A 有特征值λ，则E A +2*)(必有特征值 。
5 二次型213232221)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 。
6 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-1211...00...............0 (10)0...010...00n n a a a a A 的最小多项式为 。
三 （15分）设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=11101111a a a a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2210a b ，且方程组b Ax =无解，（1）求a 的值；（2）求线性方程组b Ax =的最小二乘解。
四（10分）设D C B A ,,,均为n 阶矩阵，且BA AB =，证明CB DA DC B A -=。
五（10分）设A 为m 阶正定矩阵，B 为n m ⨯实矩阵，证明 矩阵AB B T 正定的充要条件为B 是列满秩的，即n B R =)(。
六（10分）若)]()()()([|15453522513234x f x xf x f x x f x x x x x +++++++，其中)4~1)((=i x f i 为实系数多项式，证明 0)1(=i f 。
七（15分）设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1... (1)...1b b b b b b A ，（1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P ，使得AP P T为对角矩阵。
八（15分）设A 为6阶矩阵，A 的特征多项式为)3()2()1()(23+-+=λλλλf ，A 的最小多项式为)3)(2()1()(2+-+=λλλλm ，（1）求A 的所有不变因子；（2）写出A 的Jordan 标准形。
九（15分）设21,V V 是齐次线性方程组0...21=+++n x x x 与n x x x ===...21的解空间，证明 21V V P n⊕=，P 表示数域。
十（10分）设σ是欧氏空间V 上的线性变换，τ是V 上的一个变换，且对于任意V y x ∈,都有))(,()),((y x y x τσ=，证明 （1）τ是V 上的线性变换；（2）τ的值域τIm 等于σ的核σKer 的正交补。