高一数学命题与四种命题练习题

高一数学命题与四种命题练习题
题型一：判断命题的真假
【例1】 判断下列语句是否是命题：
⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；
【例2】 判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.
（1）矩形难道不是平行四边形吗？
（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.
（4）5>x
（5）人类在2020年登上火星.
【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π()3
p ，并判断它是不是真命题；
【例4】 判断下列命题的真假．
⑴空间中两条不平行的直线一定相交；
⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直；
⑶每一个周期函数都有最小正周期；
⑷两个无理数的乘积一定是无理数；
⑸若A B ，则A B B ≠；
⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根．
⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+；
⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．
【例5】 下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；
③212x x +=的解可表示为{}11，
．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
典例分析
【例6】 命题p ：奇函数一定有(0)0f =；
命题q ：函数1y x x
=+的单调递减区间是[10)(01]，，-．
则下列四个判断中正确的是（ ） A ．p 真q 真 B ． p 真q 假 C ． p 假q 真 D ． p 假q 假
【例7】 给出下列三个命题：
①若1≥a b >-，则11≥a b a b
++；
②若正整数m 和n 满足≤m n 2
n ； ③设11()，P x y 为圆221:9O x y +=上任一点，圆2O 以()，Q a b 为圆心且半径为1．当
2211()()1a x b y -+-=时，圆1O 与圆2O 相切；
其中假命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【例8】 已知三个不等式：000，，c d ab bc ad a b
>->->（其中，，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【例9】 已知m n ，是两条不同直线，αβγ，
，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥
B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥
C ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥
D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥
【例10】 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：
①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥． 其中真命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【例11】 已知三个不等式：0,0,0c d ab bc ad a b
>->->（其中,,,a b c d 均为实数）.用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是 （）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【例12】 下面有五个命题：
①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π．
②终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧
⎫=∈⎨⎬⎩⎭
Z ，． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点．
④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移π6得到3sin 2y x =的图象． ⑤函数πsin 2y x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭在()0π，上是减函数． 其中真命题的序号是 ．
【例13】 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；
②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；
③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
【例14】 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；
③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；
④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）
【例15】 若[]2,5x ∈和{}
|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是___________.
【例16】 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若映射
:f V V →满足：对所有，a b V ∈及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为
平面M 上的线性变换．现有下列命题：
①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =；
②对a V ∈，设()2f a a =，则f 是平面M 上的线性变换；w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m ③若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；
④设f 是平面M 上的线性变换，，
a b V ∈，若，a b 共线，则()()，f a f b 也共线． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
【例17】 设有两个命题：:p 不等式|||1|x x a ++>的解集为R ，命题:q ()(73)x
f x a =--在R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围
是 .
【例18】 关于x 的方程()2
22110x x k ---+=，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假．
命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【例19】 对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”：
1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=；
②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222
AC CB AB +=；
③在ABC ∆中，AC CB AB +>．
其中真命题的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【例20】 设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：
A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
题型二：四种命题之间的关系
【例21】 命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假
【例22】 写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真
假.
【例23】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
⑴“负数的平方是正数”；
⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”；
⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”；
⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；
【例24】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．
⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”；
⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”；
⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．
⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”；
⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．
【例25】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ①
如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ②
如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③
如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④
命题②、③、④与命题①有何关系？
【例26】 下列命题中正确的是（ ）
①“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题
②“正多边形都相似”的逆命题
③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题
④“若x x 是无理数”的逆否命题
A ．①②③④
B ．①③④
C ．②③④
D ．①④
【例27】 命题：“若220()，
a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠
B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠
C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠
D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠
【例28】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）
A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x -
B ．若11x -<<，则21x <
C ．若1x >或1x <-，则21x >
D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x
【例29】 已知命题“如果1≤a ，那么关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅”．它的逆
命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ）
A ．0个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【例30】 有下列四个命题：
①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例31】 下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若
,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{
}1,1.其中真命题的个数为（）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【例32】 有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相
等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为 （ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④
【例33】 原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真
命题共有（ ）个．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
【例34】 给出以下四个命题：
①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．
其中真命题是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④
【例35】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）
A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤
B ．若11x -<<，则21x <
C ．若1x >或1x <-，则21x >
D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥
【例36】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则，x y 互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④
【例37】 命题“若ABC ∆不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 ．
【例38】 下列命题中_________为真命题．
①“A B A =”成立的必要条件是“A B ”；
②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
【例39】 “在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为 ；
【例40】 有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角
形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．
【例41】 命题“若,x y 是奇数，则x y +是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题.
【例42】 写出命题“若0m >，则方程2
0x x m +-=有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明.
【例43】 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．
⑴若m S ，2m S +，1m S +成等差数列，证明m a ，2m a +，1m a +成等差数列；
⑵写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．
【例44】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线x y 22
=相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →
--⋅OB ＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．。