随机过程——泊松过程仿真
随机过程第三章-泊松过程
N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则
随机过程——泊松过程(习题讲解)
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
通过编程实现poisson过程的模拟
《应用随机过程》实验报告实验序号：1-4 日期：2013年5月30 日 姓名梁光佐 学号 201005050110 实验题目 应用随机过程综合实验实验所用软件及版本 MATLAB 20081、 实验目的（1）通过编程实现poisson 过程的模拟，运用matlab 画图这样更直观的了解poisson 过程，（2）运用计算机通过编程来辅助解题，这样解决了解题的繁琐， 使解题的效力提高了，也节约了时间。
2、实验内容实验一实验问题1.编制程序产生并输出100个二项分布的随机数，6.0,10==p n .2.进行三次Poisson 过程的模拟，3=λ,200,100,50===n n n 作图：(在同一直角坐标系下，作出‘)(,n n t N t ’的关系图实验二一、泊松过程的模拟1．基本原理根据服务系统接受服务顾客数服从泊松分布这一模型可知，{X(n),t }是一个计数过程，{，n 是对应的时间间隔序列，若(n)（n=1,2,...）是独立同分布的均值为的指数分布，则{X(n),t}是具有参数为λ的泊松。
2．具休实现过程实现步骤如下：(1).由函数random(‘exponential’,lamda)构造服从指数分布的序列。
(2).根据服务系统模型，=+。
(3).对任意t（，），X(t)=n,由此得到泊松过程的模拟。
3．过程模拟验证(1)设定t=0时刻，计数为0，满足X(0)=0这一条件。
(2) 是由random(‘exponential’,lamda)生成，间相互独立。
二、泊松过程的检验1．检验方法Kolmogorov-Smirnov检验（柯尔莫哥洛夫-斯摩洛夫），亦称拟合优度检验法，用来检用来检验模拟所得的数据的分布是不是符合一个理论的已知分布。
检验步骤及过程：(1)条件设定：H1:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布服从泊松分布。
H0:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布不服从泊松分布。
(2)检验准备：对于H1，已经假定所产生模拟泊松过程数据()X n服从泊松分布，而强度λ未知，利用函数poissfit(x,alpha)估算出模拟泊松过程的强度λ，再利用函数poisscdf(x,lamda)得到泊松分布的累积分布函数P。
随机过程第三章 泊松过程
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
随机过程 第3章 泊松过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
话音业务建模 泊松过程
话音业务建模泊松过程话音业务是指通过语音通信的方式进行信息传递和交流的业务。
在进行话音业务建模时，我们可以使用泊松过程来描述话音业务的到达过程和处理过程。
泊松过程是一种随机过程，其特点是事件之间的到达时间服从泊松分布，而且事件之间相互独立。
在话音业务中，我们可以将话音呼叫看作是一个个事件，通过泊松过程来模拟呼叫的到达和处理过程。
在话音业务中，用户的呼叫到达是一个随机过程，不能事先确定用户呼叫的时间和数量。
泊松过程可以很好地描述呼叫的到达过程。
泊松过程的到达率λ表示单位时间内平均到达的呼叫数量。
假设λ为1，则表示平均每秒钟有一个呼叫到达。
根据泊松分布的特性，计算出任意时间段内到达的呼叫数量的概率。
在话音业务中，处理呼叫的过程也可以使用泊松过程来建模。
假设处理呼叫的速率为μ，表示单位时间内平均可以处理的呼叫数量。
根据泊松分布的特性，计算出任意时间段内处理的呼叫数量的概率。
当呼叫的到达率和处理的速率相等时，系统达到稳定状态，呼叫不会积压或丢失。
在实际的话音业务中，泊松过程可以用来评估系统的性能和容量。
通过对话音呼叫的到达率和处理速率进行分析，可以确定系统的繁忙程度和资源需求。
如果系统的处理速率小于呼叫的到达率，就会出现呼叫积压的情况，导致用户无法正常通话。
如果系统的处理速率大于呼叫的到达率，就会出现资源浪费的情况，导致系统效率低下。
为了提高话音业务的效率和质量，可以采取一些策略来优化系统。
例如，提高处理呼叫的速率，增加系统的容量，优化呼叫的路由策略等。
通过对泊松过程的建模和分析，可以帮助我们了解系统的性能瓶颈和改进方向，从而提升话音业务的用户体验。
除了建模和分析话音业务的泊松过程外，还可以通过其他方法来优化系统的性能。
例如，引入排队论的理论，通过队列模型来评估系统的排队时间和服务水平。
还可以使用统计学方法，对话音呼叫的变化规律进行分析，从而预测未来的呼叫量和趋势。
以泊松过程为基础的话音业务建模可以帮助我们理解和优化话音业务系统的性能。
（完整版）基于MATLAB的泊松分布的仿真
（完整版）基于MATLAB的泊松分布的仿真泊松过程样本轨道的MATLAB 仿真⼀、 Poisson Process 定义若有⼀个随机过程{:0}t N N t =≥是参数为λ>0的Poisson 过程，它满⾜下列条件： 1、0N = 0；2、对任意的时间指标0s t ≤<，增量()()t s N N t s ω-ωλ(-)服从参数为泊松分布。
3、对任意的⾃然数n ≥2和任意的时间指标0120n t t t t =<<12110,,n n t t t t t t N N N N N N --?,--是相互独⽴的随机变量。
⼆、从泊松过程的定义可知1、泊松过程具有平稳独⽴增量性。
2、时间指标集合为[ 0 , +∞],状态空间为*S=N 。
3、泊松过程是⼀个连续时间离散状态的随机过程。
三、MATLAB 仿真泊松过程的思想1、若定义i T 为泊松过程的到达时间，1,n n n T T n τ=+-∈N 为到达时间间隔。
那么泊松过程N 的到达时间间隔{:}n n N τ∈是相互独⽴且同服从于参数为λ的指数分布。
2、若U 是服从于[0，1]的均匀分布，则1()E Ln U =-λ服从于参数为λ的指数分布。
利⽤随机变量分布函数的定义很容易证明这条性质。
3、由于1、和2、中的条件成⽴，现在我们考虑11[()]n n n T T Ln U n τ=+=--λ那么就可以推出11[()]n n T T Ln U n +=-λ在MATLAB 中我们可以⽤rand(1,K)产⽣⼀个具有K 个值的随机序列，它们在[0,1]上服从于均匀分布，利⽤上式计算出 n T ，在每⼀个到达时间 n T 处，N 的值从n-1变成n 。
⽤plot 函数就可以将样本轨道画出了。
四、MATLAB 程序1、⾸先我们建⽴⼀个poisson 函数，即poisson.m:function poisson(m)%This function can help us to simulate poisson processes. %If you give m a integer like 1 2 3 and so on ,then you will get %a figure to illustrate the m sample traces of the process. %rand('state',0); %复位伪随机序列发⽣器为0状态 K=10; %设置计数值为10%m=6; %设置样本个数color=char('r+','b+','g+','m+','y+','c+'); %不同的轨道采⽤不同的颜⾊表⽰lambda=1; %设置到达速率为1for n=1:mu=rand(1,K); %产⽣服从均匀分布的序列T=zeros(1,K+1); %长⽣K+1维随机时间全零向量k=zeros(1,K+1); %产⽣K+1维随机变量全零向量for j=1:Kk(j+1)=j;T(j+1)=T(j)-log(u(j))/lambda; %计算到达时间endfor i=1:Kplot([T(i):0.001:T(i+1)],[k(i):k(i)],color(n,[1,2])); hold on;endend2、下⾯我们在命令窗⼝键⼊以下命令：clear；poisson(1);就可以得到⼀条样本轨道，如下所⽰：键⼊poisson(2)，得到的图如下：键⼊poisson(3),得到的图如下：键⼊poisson(4),仿真结果：键⼊poisson(5)，仿真结果：键⼊poisson1(6),仿真结果：。
随机过程Ch3泊松过程ppt课件
et Pn1(t)
2020/6/14
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(3) 当 n 1时 ，
d dt
et P1 (t )
et P0 (t )
etet
P1 (t ) ( t C )et
由 于 P（1 0） P N (0) 1 0
所 以 C 0， P1 (t ) tet
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(4)用数学归纳法证明
注意 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[N(t)]t 并称
速率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
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说明
要确定计数过程是Poisson过程，必须证明 它满足三个条件。（条件3很难验证）
为此给出一个与Poisson过程等价的定义
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程，
若ts,则BX(s,t)t,从 而
BX(s,t)misn,t()
泊松过程的特征函数为
gX (u) E eiuX(t) eiunP X(t) n
n0
eiunet (t)n et (teiu)n
n0
n!
n0 n!
et expteiu expt(eiu 1)
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等待时间Wn与时间间隔Tn均为随机变量
T1
T2 T3
0 W1 W2 W3
Tn t
Wn-1 Wn
时间间隔Tn的分布
设{X(t), t0}是参数为的泊松过程，
{Tn,n1}是相应第n次事件A发生的时间 间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布
的均值为1/的指数分布
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证 (1)n=1
令Pn (t) P N (t) n P N (t) N (0) n,则
应用随机过程实验2-泊松过程
应用随机过程实验2—泊松过程一.准备知识1.泊松过程2.非齐次泊松过程3. 复合泊松过程二.作业1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程，（1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图；（2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图；（3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。
2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)iN μσ，1,2,3,i = ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ，（1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差；（2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。
3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数，（1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图；（2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。
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随机过程 计算与应用 泊松过程3
E[Nt ]= kP(Nt =k) k 0
=
[m(t )]k k
e[m(t )]
k 0
k!
=m(t)e[m(t)] [m(t)]k1
k1 (k 1)!
=m(t)
例4.2.5 设非齐次泊松过程N {Nt ,t 0}的均值函数m(t)满足 m() : lim m(t) ,定义函数m(t)的时间逆函数为
复合泊松过程也可以由随机游动和泊松过程的表示.
例4.3.1 设随机变量Yn(n=1,2,…)存在数学期望 EYn和方差 2 DYn，
试计算复合泊松过程的均值函数、方差函数
和相关函数.
Nt
解 mX (t) E[Xt ] E[ Yn ] n1 Nt E[E( Yn Nt )] n1
Yn与Nt独立
则N {M (t) , t 0}是强度为(t)的非齐次泊松过程.
例4.3.3 设随机变量列{k ,k=1,2,L }独立同服从0-1分布， 且 P(k 1) p 0, P(k 0) 1 p,
参数为的泊松分布N与上述0-1随机序列独立.现对t 0,
定义
Mt SNt Lt Nt Mt
注意到随机变量族{Mu ,Lu:u s}由{Nu：u s,1,L ,Ns }决定，
因此， A与{Mu ,Lu:u s}独立.
( ) E[eT ], 0
已经证明：当 a E[1] 时，保险公司最终会破产. 盈余过程的样本轨道
非齐次泊松过程 定义4.2.1 设计数过程N= {Nt,t≥0} 是一个独立增量 过程，(t)是[0,+) [0,+)的函数，如果
P(Nt
- Ns
k) [m(t) m(s)]k k!
盈余。则
保险公司在t>0的盈余为 Xt x at SNt
基于MATLAB的泊松分布的仿真
泊松过程样本轨道的MATLAB 仿真一、 Poisson Process 定义若有一个随机过程{:0}t N N t =≥是参数为λ>0的Poisson 过程，它满足下列条件： 1、0N = 0；2、对任意的时间指标0s t ≤<，增量()()t s N N t s ω-ωλ(-)服从参数为泊松分布。
3、对任意的自然数n ≥2和任意的时间指标0120n t t t t =<<<⋯<<⋯，n 个增量12110,,n n t t t t t t N N N N N N --⋯,--是相互独立的随机变量。
二、从泊松过程的定义可知1、泊松过程具有平稳独立增量性。
2、时间指标集合为[ 0 , +∞],状态空间为*S=N 。
3、泊松过程是一个连续时间离散状态的随机过程。
三、MATLAB 仿真泊松过程的思想1、若定义i T 为泊松过程的到达时间，1,n n n T T n τ=+-∈N 为到达时间间隔。
那么泊松过程N 的到达时间间隔{:}n n N τ∈是相互独立且同服从于参数为λ的指数分布。
2、若U 是服从于[0，1]的均匀分布，则1()E Ln U =-λ服从于参数为λ的指数分布。
利用随机变量分布函数的定义很容易证明这条性质。
3、由于1、和2、中的条件成立，现在我们考虑11[()]n n n T T Ln U n τ=+=--λ那么就可以推出11[()]n n T T Ln U n +=-λ在MATLAB 中我们可以用rand(1,K)产生一个具有K 个值的随机序列，它们在[0,1]上服从于均匀分布，利用上式计算出 n T ，在每一个到达时间 n T 处，N 的值从n-1变成n 。
用plot 函数就可以将样本轨道画出了。
四、MATLAB 程序1、首先我们建立一个poisson 函数，即poisson.m:function poisson(m)%This function can help us to simulate poisson processes. %If you give m a integer like 1 2 3 and so on ,then you will get %a figure to illustrate the m sample traces of the process. %rand('state',0); %复位伪随机序列发生器为0状态 K=10; %设置计数值为10%m=6; %设置样本个数color=char('r+','b+','g+','m+','y+','c+'); %不同的轨道采用不同的颜色表示lambda=1; %设置到达速率为1for n=1:mu=rand(1,K); %产生服从均匀分布的序列T=zeros(1,K+1); %长生K+1维随机时间全零向量k=zeros(1,K+1); %产生K+1维随机变量全零向量for j=1:Kk(j+1)=j;T(j+1)=T(j)-log(u(j))/lambda; %计算到达时间endfor i=1:Kplot([T(i):0.001:T(i+1)],[k(i):k(i)],color(n,[1,2]));hold on;endend2、下面我们在命令窗口键入以下命令：clear；poisson(1);就可以得到一条样本轨道，如下所示：键入poisson(2)，得到的图如下：键入poisson(3),得到的图如下：键入poisson(4),仿真结果：键入poisson(5)，仿真结果：键入poisson1(6),仿真结果：。
精品文档-随机过程——计算与应用(研究生)(冯海林)-泊松过程1
m!
n!
=P(Ns m)P(Nts Ns =n)
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
定理4.2.1 泊松过程的到达时间间隔 相互独立同服从参数为λ指数分布．
n, n 1, 2,
证明： t 0时，F（ 1 t） P{1 t}=P{T1 t}
1 P{T1 t} 1 P{Nt 0} 1 et
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
对0 t1 t2，以及充分小的i , (i 1, 2),有 P{t1 1 T1 t1 1, t2 2 T2 t2 2}
P{Nt11 0, Nt11 Nt11 1, Nt2 2 Nt11 0, Nt2 2 Nt2 2 1}
f 2
(t2
)，即
1、
独立.
2
类似可以证 1, 2 n , 独立且同服从参数为的指数分布.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例1. 两个独立的泊松过程之和仍然是泊松过程.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例4.1.1 上随机过程的教室A有两入口B和 C.
对时刻t 0,设从B口进入教室的学生人数为NtB , 从C口进入教室的学生人数为NtC ,并假设随机过程
每一种知识都需要努力， 都需要付出，感谢支持！
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
知识就是力量，感谢支持！
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
一一一一谢谢大家！！
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
n
n1
0 P(s - u m1 mi s t u mi Tm u)dP(Tm u)
i 1
如何使用Matlab进行随机过程建模与仿真
如何使用Matlab进行随机过程建模与仿真使用Matlab进行随机过程建模与仿真随机过程是概率论的重要分支，它用于描述随机事件在时间或空间维度上的演变规律。
在工程与科学领域中，随机过程建模与仿真是十分重要的工具，它可以帮助我们预测未来的状态、优化系统设计以及进行风险评估等。
Matlab作为一种功能强大的数值计算和科学数据可视化工具，提供了丰富的函数和工具箱，使得随机过程的建模与仿真变得更加简便高效。
本文将介绍如何使用Matlab进行随机过程建模与仿真，并结合实际案例进行说明。
一、随机过程的基本概念在开始使用Matlab进行随机过程建模与仿真之前，我们首先需要了解随机过程的基本概念。
随机过程可以看作是一组随机变量的集合，它的演变具有一定的随机性。
常见的随机过程包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。
在建模随机过程时，我们通常需要确定其状态集合、状态转移概率和初始状态等。
这些概念的理解对于后续的建模与仿真工作非常重要。
二、随机过程建模在使用Matlab建模随机过程时，我们需要选择合适的模型以及提取合适的参数。
Matlab提供了多种用于随机过程建模的函数和工具箱，例如Stochastic Process Toolbox和Statistics and Machine Learning Toolbox等。
我们可以利用这些工具来创建各种类型的随机过程模型，也可以自定义模型。
这些模型可以用来描述各种实际问题，比如金融市场的波动、传感器数据的变化等。
以布朗运动为例，我们可以使用Matlab创建一个布朗运动模型并进行仿真。
布朗运动是一种连续时间、连续状态的随机过程，其在单位时间内的状态增量是服从正态分布的。
在Matlab中，我们可以使用"brownian"函数来生成布朗运动的仿真数据。
首先，我们需要确定布朗运动的参数，例如时间步长、仿真时长、起始状态等。
然后，通过调用"brownian"函数，可以获得仿真数据，并进行可视化分析。
第二章泊松过程随机过程ppt课件
命题 2.2.1 Xn,n=1,2,,为独立同分布的均值为 1/的指数随机变量。
证明：P{X1>t}= P{ N(t)=0}=et P{ X2>t| X1=s}= P{在(s,s+t]内没有事件| X1=s}=P{在(s,s+t]内没有
事件}(由独立增量)= et (由平稳增量)
所以，从上可得，X2 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 X2
证明： (1)对 y1 y2 yn，如果(Y1,Y2,, Yn)等于(y1,y2,,yn)的 n!个排 列中的任一个，Y(1),Y(2),, Y(n)将等于(y1,y2,,yn)；(2)当( yi1 , yi2 , , yin )是 (y1,y2,,yn)的一个排列时，Y1,Y2,, Yn 等于( yi1 , yi2 , , yin )的概率密度是
2. 来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival times)
假设已知到时间 t 泊松过程恰发生了一个事件，我们要确定这一事件
发生的时刻的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，看来有理由认为
[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个
2．泊松过程第二个定义 为了确定一个任意的计数过程是一泊松过程，必须证明它满足条件
(1)，(2)及(3)。条件(1)只是说明事件的计数是从时刻 0 开始的。条件(2) 通常可从我们对过程了解的情况去直接验证。然而全然不清楚如何去确 定条件(3) 是否满足。为此泊松过程的一个等价定义将是有用的。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
随机过程Ch3-possion过程
由均值函数知，单位时间内事件A发生的平均数为。 称为过程的速率或强度。
3.2 泊松过程的性质
RX ( s, t ) E[ X ( s ) X (t )] E[ X ( s )( X (t ) X ( s ) X ( s ))] E[ X ( s )( X (t ) X ( s ))] E[( X ( s )) 2 ] E[( X ( s ))] E[( X (t ) X ( s ))] D[ X ( s )] E[ X ( s )]） （
3.2 泊松过程的性质
则
P W k(1) W1( 2 )
D
y
y=x D x
f ( x , y )dxdy
(1) k
f(x, y)为W 与 W1( 2 ) 的联合概率密度 由于X1(t)与X2(t)独立，故
f ( x , y ) fW (1 ) ( x ) fW ( 2 ) ( y )
Wn-2 Wn-1
Wn
FTn (t ) P Tn t 1 P Tn t 1 e t
3.2 泊松过程的性质
•等待时间Wn的分布 定理3.3设{X(t), t 0}是参数为的泊松过程， {Wn, n 1}是相应等待时间序列， 则Wn服从参数为n与的分布， 概率密度为
t (t ) n 1 ,t 0 e fW n ( t ) (n 1)! 0 , t 0
3.2 泊松过程的性质
证 Wn Ti (n 1) ，Ti为时间间隔
i 1
n
T1 0
T2
Tn W2 Wn-1 Wn t
j
Wn t X (t ) n
• 定义3.2：称计数过程{X(t)，t 0 }是泊 松过程，如果X(t)满足 (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程; (3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的 次数服从参数t> 0(参数> 0)的泊松分 布，即对任意s, t 0，有 n t ( t ) P X (t s ) X ( s ) n e , n! n 0,1, 2,
随机过程3.3 泊 松 过 程(一)
(1)
平稳 增量
P0(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0,N(t+h)－N(t)=0｝
= P{N(t)=0} P{ N(t+h) － N(t)=0}
=P0(t)[1－λh+o(h)]
增量 独立
P0
(t
h) h
P0
(t
)
P0
(t
)
o(h) h
电子科技大学
令h 0, 得
§3.3 泊 松 过 程(一)
dP0 (t dt
)
P0 (t )
P0(0) 1, (条件(1) N (0) 0)
解得 p0 (t) et , t 0.
2o 当n≥1, 根据全概率公式有
pn (t h) pn (t) p0 (h) pn1(t) p1(h)
P{N (t ) 2} pk (t ) o(t ),
k2
其中λ＞0.
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§3.3 泊 松 过 程(一)
定义3.3.2 设计数过程{N( t ), t≥0} 满足： (1) N(0)=0; (2) 是平稳独立增量过程； (3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0；
Ti Wi1 Wi
定理3设.3{.2Tn, n≥1}是参数为λ的泊松过程{N(t),
t≥0}的时间间隔序列则，{Tn, n≥1}相互独立同服
从指数分布，
且E{T}=1/λ.
证 (1) 因 {T1>t }={(0, t )内事件A不出现}
P{T1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
泊松过程的随机模拟及参数估计
泊松过程的随机模拟及参数估计第28卷第1期2012年1月齐齐哈尔大学JournalofQiqiharUniversityV o1.28.No.1Jan.,2012泊松过程的随机模拟及参数估计王丙参,李艳颖,魏艳华(1.天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001;2.宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721013)摘要:研究了泊松过程的随机模拟,给出泊松过程的最大后验密度可信区间,借助Matlab软件对此展开探讨并给出了模拟程序.关键词:泊松过程;随机模拟;参数估计;贝叶斯区间估计中图分类号:O211.6文献标志码:A文章编号:1007—984X(2012)01—0079—03泊松过程(P.P)在物理学,地质学,生物学,金融和可靠性理论等领域都有广泛的应用,如经典风险模型中,索赔过程常用一个复合P.P来描述,因此对P.P的模拟及参数估计意义非凡"川.签于此,本文研究了P.P的随机模拟,给出p.p的最大后验密度可信区间,借助Matlab语言对此展开探讨并给出了模拟程序.1泊松过程的随机模拟令>1)表示第,z一1次事件与第胛个事件到达时间的问隔,则{,l}称为到达时间间隔序列.由于P.P具有独立增量,所以某一时刻事件到达的情况与这一时刻以前的情况独立.由于过程有平稳增量,知其分布也与先前那段时问的过程是一样的,具有无记忆性,但从初等概率论中知道,具有无记}乙性的连续分布只有指数分布,这正是本命题的结论.定理计数过程{Ⅳ(f),f0)是强度为的泊松过程§{,力≥1}i.i.d于exp(2).用表示第门个事件出现的时刻,即=+…+,称为直到第,2个事件出现的等待时间,也称到达时间.指数分布是r分布的一种特殊情形(=1),由r分布的可加性易得定理2.定理2…设{Ⅳ(f),f≥0)是参数为的P.P,,≥1为其第,2次到达时刻,则对v[o,+oo)上的可积函数厂,有g,一a,3:1厂())=f(t)dt,s～F(n,).因为P.P有平稳独立增量,事件在[0,f]的任何相同长度的子区间内发生的概率都是相等的,所以在已知【0,f]内发生了次事件的前提下,各次事件发生的时刻S一,(不排序)可看做相互独立的u[o,t].定理3【在N(t)=n的条件下n个事件的到达时间一,s的联合密度等于个独立的u[o,t】随机变量(r.v)的顺序统计量的密度函数(pdfo方法1由定理可知强度为的P.P的点间间距,Ft=l,2,…,i.i.d于exp(2),即对Vt0,P(X..≤f)=l—e,=1,2,…,基于这一事实,有(1)令=0和to=0.(2)对于=1,2,…,生成均匀随机数,令f=一log寻,则知f,为exp(A)随机数.令Si=一l+, 则{,,1,2,…)就是要模拟P.P的一个实现;从而由序列一,"可实现对N(t)过程的模拟, N(t)=max{nl∑;1tt)=max{nl∑:lIn"≤一f>=max{n{U】…exp(-A,t)}.方法2由于个点发生的开寸问,…,S与,2个独立同分布u(o,T】的次序统计量有相同分布,于是有(1)给定T>0,生成P(2T)随机数.收稿El期:201l—lO—lO基金项目:甘肃省『1然科学研究基金计;~tI(096RjZE106);天水师范学院科研基金(TSA0931)作者简介:王丙参(1983一),男,河南南阳人,讲师,硕士,主要从事随机过程和金融数学等方而的研究,************************.齐齐哈尔大学2012年(2)假定x:力,独立生成n个均匀随机数一,,由小到大次序排列得0<";<…<:,令,:,f:l,…,玎,~-则-t.-f=l,-2,…)就是要模拟泊松过程的一个实现.例1某城市火警中心白天8:O016:oo接收报警电话可视为p.P,假如平均每小时有3次报警电话,试模拟该过程.解Matlah程序为c-1];k---inpllt(输入泊松过程记录次数.);d=input(?输入远大于期望次数的数字d=');t=linspace(0.01,8,k);fori=1:kn:0;6=1;forj=l:db=brand(1);ifb>=exp(-3t(i))n=n+1;endendc=fc,nl;endDlot(t,c,'','MarkerSize',5).当k=32,d=lO0时,模拟结果如图1.当k=48,d=lO0时,模拟结果如图2.鬓洳滔巅辩嘿通过上述模拟,可对报警点的报警电话情况有一个了解:在白天的8h内,报警电话数8h内总数一般不超过30个.2泊松过程的参数估计由于强度为的p.p的点问间距,,z=1,2,…,i.i.dZJZexp(),故对p.P的参数估计就可转化为exp(2)的参数估计.设..,是来自指数分布的样本,～p(xl)=1).~.ex-a≤x,.x>.,样本观测值为l'.一,,:227__.显然的矩估计及最大似然估计为X.Fl1于y=2～(2),对于给定置信度l一可得的置信区间为f,1,由蛳f是偏枞眦上述按概称求得韵信区问不是最短的,即不是最优的.令尸(c<】,<)=1一,此H寸的置信区问为(,dj,区间长度为蒙.令篆(c)小叫,求偏导并等于.可得号一卜'景:l+厂():o,从而有厂(c,:厂().求得可信水平为1一的最优区间估计为【壶,dJ,其中八计推断利了先验知识,往往收到较好的效果,尤其对于小样本.若取的先验分布为其共贝叶斯统计推断利用了先验知识,往往收到较好的效果,尤其对于小样本.看取刚无J"仲刀轭分布),由于万():而bo,_Ie所以的后验分布为眦'b+).第1期泊松过程的随机模拟及参数估计?81?又2(b+n2)2(,△y=2(,v7))水平为1一的可信区间长度为,要使可信区间长度最短,即d—c最小,于是,令L=d —c+z(nx七D,/.t[F(d,2+口))一,(,2+口))一1+】,对c,d求偏导并等于0,可得=一1一/af(c,2(n+口))=0,=l+0lcoa/.tf(d,2(n+口))=0,从而有f(c,2(n+口))=f(d,2(n十口)).令厂(,2+口))=0求得极大值点xo=2+口一1),当<Xo时,f(x,2+口))严格单调递增;当>X0时,f(x,2+口))严格单调递减;又因为Iimf(x,2(n+口))=lim厂(,2+口))=0,故对f(c,2+口))=f(d,2(n+口))可唯一解出C=g(d).再由F(d,2(n+))一F(c,2(n+口))=1一可得d:d,从而可得C=5,=^;求得可信水平为l-的最优区间估计为(,a).ZImC+DlZInx+D)例2设从早上8:00开始有无穷多人排队等待服务,只有一名服务员且每人接受服务的时问i.i.d于exp(2),的先验分布是均值为0.2,标准差为1.0的伽玛分布,如今对20位顾客服务进行观测,测得平均服务时问是3.8min,求在可信度为95%最短可信区间,到9:00为止平均多少人已经离去,已有8人接受服务的概率是多少.解由所设条件可知,离去的人数<Ⅳ.,f0}是强度为的泊松过程.设的先验分布为r(a,b),F}1题意可知等:0.2,=1.0,即a=0.04,b=0.2.又因为=3.8,n:20,所以的后验分布为F(20.04,76.2),D'即Y152.42一.(40.08),故求在可信度为95%最短可信区间为,可得d=57.9305,:23.3879,lJ.叶最短可信区问为(0.153463667l89435,0.380121372707641),区间长度为0.226657705518207.Matlab程序为functiony=myfun99(x)y(1)=chi2pdf(x(1),40.08)-chi2pdf(x(2),4O.08);y(2)=chi2edf(x(2),40.o8)一chi2cdf(x(1),40.08)一0.95;formatlong;x=[20,601;x=fsolve('myfun99'x/152.4y=poisspdf(8,60/3.8).利用矩估计可得:1/3.8=0.263157894736842,设8:00为0时刻,则N(60)～P(15.789473684210527),即到9:o0为止平均15.78947368421O527人已经离去,已有8人接受服务的概率是0.013308815775968.参考文献…1魏艳华,王丙参,宋立新.与泊松过程有关的若干分布fJ].内汀师范学院,2010,25(10):31-35.『21王丙参,魏艳华.保费收取次数为负二项随机过程的风险模型fJ】.江西师范大学,2010,34(6):604—608.f31魏艳华.王丙参,宋立新.均匀分布的优良特性及其应用fJ】_四川理工学院:自然科学版,2010,23(4):385—387『41赵国喜,王守印.U(O,1)分布随机变量与蒙特卡罗模拟『J].重庆文理学院:自然科学版,2007,26(6):35—37.f51张波,张景肖.应用随机过程【M1.北京:清华大学出版社:2004:32—48.【61夏乐天,郭宝才.指数分布参数置信区间的最短化研究河海大学:自然科学版,2003,31(3):355-357. StochasticsimulationandparameterestimationofpoissonprocessW ANGBing—can,LIYan—ying,WEIY an—hua(1.SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,GansuTianshui74100 1;2.DepartmentofMathematics.BaojiUniversityofArtsandSciences,ShanxiBaoji721007) Abstract:ItdiscussesstochasticsimulationofPoissonprocess,givesthemaximumposterior densityconfidence.itis continuetoexploresimulationprocessbyusingmatlabsoftware.Keywords:Poissonprocess;stochasticsimulation;parameterestimation;Bayesianinterval estimation。
随机过程-1泊松过程
泊松过程的定义和例
积分得 lnP0(t)=-λt+C 即 P0(t)=ke-λt. 由于P0(0)=P{X(0)}=1, 代入前式得 P0(t)=e-λt. 类似地,对于n≥1,有 Pn(t+h)=P{X(t+h)=n}=P{X(t+h)-X(0)=n} =P{X(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0}+ P{X(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1}+ n j 2 P{X(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j}. 根据定义3.3的(2)与(3),得 Pn(t+h)=Pn(t)P0(h)+Pn-1(t)P1(h)+o(h) =(1-λh)Pn(t)+λhPn-1(t)+o(h) 于是,有
泊松过程的基本性质
BX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t)=λs; 一般地,泊松过程的协方差函数可以表示为 BX(s,t)=λmin(s,t). 泊松过程的特征函数是 iu t ( e 1) iuX(t) gX(t)=E[e ]= e . 2.泊松过程的时间间隔与等待时间的分布 如果以泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数 ,那 么,顾客到来接受服务的时间间隔、顾客等待的排队时 间等分布问题都需要进行研究.以下讨论泊松过程与时 间有关的分布. 设{X(t),t≥0}是泊松过程, 令X(t)表示t时刻事件A发
泊松过程的定义和例
令h→0取极限得 P’n(t)=-λPn(t)+λPn-1(t), 所以 eλt[P’n(t)+λPn(t)]=λeλtPn-1(t), 因此 d [eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t). dt 当n=1时,得 d λt [e P1(t)]=λeλtP0(t)=λeλte-λt=λ, dt P1(t)=(λt+c)e-λt.
实验报告-泊松过程
Poisson 过程的模拟和检验一、 实验目的1、理解掌握Poisson 过程的理论，了解随机过程的模拟实现技术；2、学习并掌握在实际中如何检验给定的随机过程是否为Poisson 过程。
二、 实验内容1、利用C 语言、MATLAB 等工具，结合Poisson 过程等相关结论，模拟Poisson 过程；2、查找资料、学习关于Poisson 过程假设检验的相关知识，检验上述模拟实现的到达过程是否满足Poisson 过程的定义。
三、 作业要求提交实验报告电子版，说明模拟实现的过程，检验原理、步骤等以及实现过程；提交程序源代码。
四、 实验原理1、泊松过程（1）计数过程如果用)(t X 表示[0，t ]内随机事件发生的总数，则随机过程{)(t X ，0≥t }称为一个计数过程。
且满足：1）0)(≥t X ；2）)(t X 是整数值；3）对任意两个时刻210t t <≤，有12()()X t X t ≤；4）对任意两个时刻210t t <≤。
)()(12t X t X -等于在区间],(21t t 中发生的事件的个数。
（2）泊松过程设随机过程{()N t ，0≥t }是一个计数过程，满足1）(0)0N =；2）()N t 是独立增量过程；3）对任一长度为t 的区间中事件的个数，服从均值为t λ（0>λ）的泊松分布，即对一切0,≥t s ，有(){()()},0,1,2,!kt t P N t s N s k e k k λλ-+-===则称()N t 为具有参数λ的Poisson(泊松)过程。
（3）到达时间间隔n T 的分布设{()X t ，0≥t }为泊松过程，()X t 表示到时刻t 为止已发生的事件的总数；,(1,2,3,)n W n =表示第n 次事件发生的时刻；,(1,2,3,)n T n = 表示第n 次与第n-1次事件发生的时间间隔。
显然，121nn n i i W T T T T ==+++=∑定理3.2 设{()X t ，0≥t }是参数为λ（0>λ）的泊松过程，则到达时间间隔序列12T T ，，是相互独立的随机变量序列，且都有相同的均值为λ/1的指数分布。