2021年高三第二次模拟数学(理科)试题

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2021年高三上学期第二次模拟数学试卷(理科)含解析

2021年高三上学期第二次模拟数学试卷（理科）含解析一、选择题（每题5分，满分50分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}则A∩B=（）A．（2，3）B．（2，3] C．（﹣3，﹣2）D．[﹣3，﹣2）2．若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x）＜0B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x）≤0C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠04．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，则tanα（）A．B．C．D．5．设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥06．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g （x）图象的一个对称中心可以是（）A．B．C．D．7．设函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，下列结论正确的是（）A．f（2x）min=f（0） B．f（2x）max=f（0）C．f（2x）在（﹣∞，+∞）上递减，无极值D．f（2x）在（﹣∞，+∞）上递增，无极值8．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．89．若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2]D．[0，2]10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f （x）在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0二、填空题（每题5分，满分25分）11．已知函数的定义域是，则实数a的值为．12．直线y=m（m＞0）与函数y=|log2x|的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2），下列结论正确的是（填序号）①0＜x1＜1＜x2；②x1x2=1；③2+2＜4；④2+2＞4．13．设，则=．14．若对任意的x∈[0，1]，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，则a的最小值为，b的最大值为．15．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＜1，当x∈[0，2π]时，不等式f （2cosx）＜2cos2﹣的解集为．三、解答题（本题满分75分）16．已知是函数图象的一条对称轴．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象简图（列表，画图）．17．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）将函数y=sin2x﹣cos2x的图象做怎样的平移变换可以得到函数f（x）的图象；（3）若方程上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．18．设函数f（x）=cos2x﹣asinx+2，若对于任意的实数x，都有f（x）≤5，求实数a的范围．19．设函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x（a＜0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=﹣1时，函数y=f（x）与g（x）=x3+x2+m的图象有三个不同的交点，求实数m 的范围．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x（1）求函数f（x）的单调递减区间：（2）若对于任意的x＞0，不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．21．设函数f（x）=x2﹣2x+alnx（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2（x1＜x2），①求实数a的范围；②证明：＞﹣﹣ln2．xx学年山东师大附中高三（上）第二次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，满分50分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}则A∩B=（）A．（2，3）B．（2，3]C．（﹣3，﹣2）D．[﹣3，﹣2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A，B中x的范围确定出A，B，再求出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A=[﹣1，3]，由log2（x2﹣x）＞1，得到x2﹣x﹣2＞0，即x＜﹣1或x＞2，∴B=（﹣∞，﹣1）∩（2，+∞），由B中则A∩B=（2，3]，故选：B．2．若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若f（x）的图象关于x=对称，则2×+θ=+kπ，解得θ=﹣+kπ，k∈Z，此时θ=﹣不一定成立，反之成立，即“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，故选：B3．已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0【考点】全称命题；特称命题．【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p，q的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（0）=e0﹣0=1﹣0=1＞0，∴∀x∈R，f（x）＞0成立，即p是真命题．g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，则：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题．则￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0，综上只有C成立，故选：C4．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，则tanα（）A． B． C． D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求得3tan2α+20tanα﹣7=0，解方程求得tanα的值．【解答】解：若，且，则cos2α﹣sin2α=（cos2α+sin2α），∴cos2α﹣sin2α﹣2sinαcosα=0，即3tan2α+20tanα﹣7=0．求得tanα=，或tanα=﹣7（舍去），故选：B．5．设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥0【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行判断即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则C（2，3），B（2，5），则x≥3，y≥4不成立，作出直线x+2y﹣8=0，和2x﹣y+1=0，由图象可知2x﹣y+1≥0不成立，恒成立的是x+2y﹣8≥0，故选：C．6．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=sin（x+），由x+=kπ，k∈z，可得对称中心的横坐标，从而得出结论．【解答】解：∵，∴由，∴，令．故选：C．7．设函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，下列结论正确的是（）A．f（2x）min=f（0） B．f（2x）max=f（0）C．f（2x）在（﹣∞，+∞）上递减，无极值D．f（2x）在（﹣∞，+∞）上递增，无极值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，判断导函数的符号，推出函数的单调性，推出结果即可．【解答】解：，f（x）在（﹣∞，+∞）上递增，无极值．故选：D．8．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．【解答】解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D9．若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2]D．[0，2]【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得2+a≥a2，又a≥0，从而解得a的范围．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x++a≥2+a；（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）；故当x=1时取得最小值2+a，∵f（0）是函数f（x）的最小值，∴当x≤0时，f（x）=（x﹣a）2单调递减，故a≥0，此时的最小值为f（0）=a2，故2+a≥a2，解得，﹣21≤a≤2．又a≥0，可得0≤a≤2．故选：D．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f （x）在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】令x∈，利用已知表达式及函数的奇偶性知f（x）=﹣log2x，从而可得答案．【解答】解：设x∈，则x﹣1∈，根据题意，f（x）=f（﹣x+1）=﹣f（x﹣1）=﹣log2（x﹣1+1）=﹣log2x，故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分）11．已知函数的定义域是，则实数a的值为．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据函数的定义域，得出x＞时，1﹣＞0；由此求出函数的自变量x＞log2a；令log2a=，即可求出a的值．【解答】解：∵函数的定义域是，∴当x＞时，1﹣＞0；即＜1，∴a＜2x，∴x＞log2a；令log2a=，得a==；∴实数a的值为．故答案为：．12．直线y=m（m＞0）与函数y=|log2x|的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2），下列结论正确的是①②④（填序号）①0＜x1＜1＜x2；②x1x2=1；③2+2＜4；④2+2＞4．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】分别画出两函数的图象，根据图象的性质和基本不等式解题．【解答】解：画出f（x）的图象，该函数先减后增，在x=1处取得最小值0，再画出直线y=m，两图象交于A，B，如右图（A在B左边），此时，A（x1，y1），B（x2，y2），由图可知，0＜x1＜1＜x2，因为y1=y2，所以，﹣log2x1=log2x2，解得x1x2=1，所以x1+x2≥2，根据基本不等式：≥2≥2=4，且x1≠x2，所以，＞4，综合以上分析：①正确；②正确；③错误，④正确；故填：①②④13．设，则=．【考点】微积分基本定理．【分析】由于函数f（x）为分段函数，则=，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．【解答】解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．14．若对任意的x∈[0，1]，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，则a的最小值为，b的最大值为1﹣．【考点】其他不等式的解法．【分析】分类讨论，并构造函数，f（x）=1﹣，证明f（x）在（0，1]为减函数，问题得以解决．【解答】解：对任意的x∈[0，1]，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，当x=0时，不等式显然成立，设f（x）=1﹣，当x∈（0，1]时，等价于恒成立，显然f（x）在（0，1]上为增函数，∵f（x）=（1﹣）==•=，∴f（x）在（0，1]为减函数，∴1﹣≤f（x）＜，∴a≥，且b≤1﹣∴a的最小值为，b的最大值为1﹣，故答案为：，1﹣15．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＜1，当x∈[0，2π]时，不等式f （2cosx）＜2cos2﹣的解集为．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设g（x）=f（x）﹣x，可得g（x）在R上递减，求出g（1），运用二倍角余弦公式，将原不等式化为f（2cosx）﹣cosx＜，即g（2cosx）＜g（1），由单调性可得2cosx＜1，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：设，，不等式，可化为，由于，当x∈[0，2π]时，∴．故答案为：．三、解答题（本题满分75分）16．已知是函数图象的一条对称轴．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象简图（列表，画图）．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的对称性建立方程关系进行求解即可．（2）化简函数f（x），求出a的值，得出f（x）的解析式，从而求出f（x）的单调增区间；（3）利用列表、描点、连线，画出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象即可．【解答】解：（1）=asinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x，则函数的最大值为，若是函数图象的一条对称轴，则|f（）|=，即|sin+cos|=|×+×|=||=，平方得=++，|整理得a2﹣2a+3=0，即（a﹣）2=0，解得a=．（或者∵x=是函数f（x）图象的一条对称轴，∴f（0）=f（），即=sin2（）+cos2（），解得a=）（2）∵a=，∴f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）列表如下，x 0 π2x+π2πf（x） 1 0 ﹣1 0画出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象如图所示．17．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）将函数y=sin2x﹣cos2x的图象做怎样的平移变换可以得到函数f（x）的图象；（3）若方程上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）根据图象得到振幅和A=2，ω=2，从而得到f（x）=2sin（2x+φ），然后，将点（，2）代入得到φ=．（2）由条件利用两角差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．（3）通过正弦函数的图象和性质，数形结合可得，要有两个不相等的实根，即可求出m的取值范围得到表达式．【解答】解：（1）根据图象得到：A=2，由=﹣=，可得T=π，∴由=π，可得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），将点（，2）代入得到2sin（+φ）=2，|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）∵y=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）=2sin[2（x﹣）]，f（x）=2sin（2x+）=2sin[2（x+）]=2sin[2（x﹣+）]，∴将函数y=sin2x﹣cos2x的图象沿x轴向左平移可以得到函数f（x）的图象．（3）∵f（x）=2sin（2x+）．∵x∈[﹣，0]，可得：2x+∈[﹣，]，方程f（x）=m在区间∈[﹣，0]内有两个不相等的实数根x1，x2，如图：结合正弦函数的图象和性质，∴要有两个不相等的实根，m∈（﹣2，﹣]．18．设函数f（x）=cos2x﹣asinx+2，若对于任意的实数x，都有f（x）≤5，求实数a的范围．【考点】三角函数的最值．【分析】令sinx=t，问题转化为t2+at+2≥0对于任意的t∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论由二次函数区间的最值可得．【解答】解：由题意可得cos2x﹣asinx+2≤5对于任意的实数x恒成立，∴1﹣sin2x﹣asinx+2≤5对于任意的实数x恒成立，∴sin2x+asinx+2≥0对于任意的实数x恒成立，令sinx=t，则t∈[﹣1，1]，∴t2+at+2≥0对于任意的t∈[﹣1，1]恒成立，当﹣≤﹣1即a≥2时，（﹣1）2+a（﹣1）+2≥0，解得a≤3，综合可得2≤a≤3；当﹣≥1即a≤﹣2时，（1）2+a（1）+2≥0，解得a≥﹣3，综合可得﹣3≤a≤﹣2；当﹣1＜﹣＜1即﹣2＜a＜2时，（﹣）2+a（﹣）+2≥0，解得﹣2≤a≤2，综合可得﹣2＜a＜2；综上可得实数a的范围为[﹣3，3]19．设函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x（a＜0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=﹣1时，函数y=f（x）与g（x）=x3+x2+m的图象有三个不同的交点，求实数m 的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求导f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=ax（x+）e x，从而分类讨论以确定函数的单调性；（2）当a=﹣1时，m=（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x3+x2），再令h（x）=（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x3+x2），从而求导可得．【解答】解：（1）∵f（x）=（ax2+x﹣1）e x，∴f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=（ax2+（2a+1）x）e x=ax（x+）e x，当a=时，f′（x）≤0恒成立，故函数f（x）在R上单调递减；当a＜时，x＜﹣时，f′（x）＜0；﹣＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0；故函数f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；当＜a＜0时，x＜0时，f′（x）＜0；0＜x＜﹣时，f′（x）＞0；当x＞﹣时，f′（x）＜0；故函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减；（2）当a=﹣1时，f（x）﹣g（x）=（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x3+x2+m），故m=（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x3+x2），令h（x）=（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x3+x2），则h′（x）=﹣（x2+x）e x﹣（x2+x）=﹣x（x+1）（e x+1），故当x＜﹣1时，h′（x）＜0；当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0；h（﹣1）=﹣﹣，h（0）=﹣1，故﹣﹣＜m＜﹣1．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x（1）求函数f（x）的单调递减区间：（2）若对于任意的x＞0，不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）f′（x）=﹣2x+1，（x＞0）．令f′（x）＜0，即﹣2x+1＜0，解出即可得出；（2）x＞0，不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1化为：a＞=g（x），可得：对于任意的x＞0，不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，⇔a＞g（x）max，x＞0．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=﹣2x+1，（x＞0）．令f′（x）＜0，即﹣2x+1＜0，解得1＜x．∴函数f（x）的单调递减区间是[1，+∞）．（2）∵x＞0，不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1化为：a＞=g（x），∴对于任意的x＞0，不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，⇔a＞g（x）max，x＞0．g′（x）=，令g′（x）＞0，解得0＜x＜e，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得e＜x，此时函数g（x）单调递减．∴当x=e时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（e）==．∴a．∴整数a的最小值为1．21．设函数f（x）=x2﹣2x+alnx（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2（x1＜x2），①求实数a的范围；②证明：＞﹣﹣ln2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）①已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx+1有两个极值点x1，x2可化为f′（x）==0有两个不同的正根x1，x2，从而解得a的范围；②由根与系数的关系可得，x1+x2=1，x1x2=a，从而a=2x2（1﹣x2），代入化简可得f（x1）=（x1﹣1）2+alnx1﹣1=x22+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣1（＜x2＜1），=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣（＜x2＜1）令h（t）=t+2（1﹣t）ln（1﹣t）﹣，（＜t＜1），求导判断函数的单调性，从而证明上式成立．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣2x+2lnx的导数为f′（x）=2x﹣2+，f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，﹣1），即有f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=2（x﹣1），即为2x﹣y﹣3=0；（2）①函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，∵函数f（x）=x2﹣2x+alnx+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．∴f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，∴，解得，0＜a＜；②证明：由（1）知，x1+x2=1，x1x2=a，则a=2x2（1﹣x2），因此，f（x1）=（x1﹣1）2+alnx1﹣1=x22+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣1（＜x2＜1），=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣（＜x2＜1），令h（t）=t+2（1﹣t）ln（1﹣t）﹣，（＜t＜1），则h′（t）=1+2[﹣ln（1﹣t）﹣1]+ =﹣2ln（1﹣t），∵＜t＜1，∴1﹣t2＞0，ln（1﹣t）＜0，∴h′（t）＞0，即h（t）在（，1）上单调递增，则h（t）＞h（）=﹣﹣ln2，即有＞﹣﹣ln2．xx年1月4日=29029 7165 煥20184 4ED8 付35280 89D0 觐KZ20268 4F2C 伬-25457 6371 捱24287 5EDF 廟31708 7BDC 篜Q/N。

2021年高三上学期第二次模拟数学(理)试题含答案

2021年高三上学期第二次模拟数学（理）试题含答案一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合，集合，则=（）A ．B ．C ．D ．2.．等差数列的前项和为，若，则的值是（）A ．45B ．65C ．80D ．1303. △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若，则△ABC 的面积为（）A ．B ．C ．D ．4．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数 y ＝(2a －1)x 在[1，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，23B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎝⎛⎦⎤12，23D.⎝⎛⎭⎫12，1 5．函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π47．设“成等差数列”，“成等比数列”，则是的（）A ．B 充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9. 若f(x)＝－12＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()2xA．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)10．在数列中，，若平面上的三个不共线的非零向量满足，三点A，B，C共线且该直线不过O 点，则等于（）A．1005 B．1006 C．xx D．xx11. 在△ABC中，a2 tan B＝b2 tan A，则△ABC是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形12．已知向量满足：，则在上的投影长度的取值范围是（）A．B． C. D.第II卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022年高三第二次模拟试题理科数学(解析版)

2021年高三第二次模拟试题理科数学（解析版）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．若纯虚数满足，（是虚数单位，是实数），则（A ）8 （B ）（C ）（D ）【答案】B【解析】因为是纯虚数，所以设，则，即，根据复数相等，得，所以，选B.2．设，，若，则实数的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】A【解析】集合，而，因为，所以，选A.3．设函数为定义在R 上的奇函数，当时，（为常数），则（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】C【解析】因为韩函数为定义在R 上的奇函数，所以，即，所以，所以函数，所以，选C.4．二项式的展开式中的常数项为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】展开式的通项为r r r r rr rr r r r rr x C x x C x x C T ------+⋅-=⋅-=-=366226666612)1(2)1()1()2(，令，得，所以常数项为，选D.5．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积是，则该几何体的俯视图可以是【答案】C【解析】若俯视图为A,则几何体为边长为1的正方体，所以体积为1，不满足条件；若为B,则该几何体为底面直径为1，高为1的圆柱，此时体积为，不满足条件；若为D, 几何体为底面半径为1，高为1的圆柱的部分，此时体积为，不满足条件，若为C ，该几何体为底面是直角三角形且两直角边为1，高为1的三棱柱，所以体积为，满足条件，所以选C.6．执行如图的程序框图，如果输入，则输出的（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】C【解析】根据程序框图可知，本程序是计算，所以128127)21(1211])21(1[212121217772=-=--=+++= S ，选C 7．在中，已知是边上的一点，若，，则（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】B【解析】因为,所以,又3231)(3232+=-+=+=+=,所以。

2021年高三第二次高考模拟数学理试题含答案

2021年高三第二次高考模拟数学理试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案的序号填在答题卡相应的位置上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回。

第一部分选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，集合A={x|x2+x≥0}，则集合C u A= （）A．[-1,0] B．（-1,0）C．（-∞，-1] [0,+）D．[0,1]2．曲线y= x3－2x2在点（1，-1）处的切线方程为（）A．y= x－2 B．y= -3x+2 C．y=2x－3 D．y=-x3．已知数列{a n}是等差数列，a2=2，a5=8，则公差d的值为（）A．B．C．2 D．-24．某几何体的正视图和侧视图均如左图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）5．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．47, 45, 56 B．46, 45, 53C．46, 45, 56 D．45, 47, 536．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+ 3y的最小值为A．6 B．7 C．8 D．237、两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5海里，灯塔A在观察站C的北偏东20o，灯塔B在观察站C的南偏东40o，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．5海里B．10海里C．5海里D．5海里8．已知点A（1，0），若曲线G上存在四个点B，C，D，E．使△ABC与△ADE都是正三角形，则称曲线G为“双正曲线”．给定下列四条曲线：①4x+3y2=0；②4x2+4y2=1；③x2+2y2=2；④x2－3y2=3其中，“双正曲线”的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3第二部分非选择题（共1 1 0分）二、填空题（本大题分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。

2021年高三第二次高考模拟考试数学(理)试题含答案

齐齐哈尔市xx届高三第二次高考模拟考试数学（理）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.其中第II卷第（22）-（24）题为选考题，其它题为必考题.全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 作图可先使用2B铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.参考公式：锥体体积公式: （其中S为底面面积，为高）2021年高三第二次高考模拟考试数学（理）试题含答案一. 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合,，则（）A．B．C．D．2.若复数（）对应的点在虚轴上，则的值是（）A．B．C．D．153.废品率和每吨生铁成本(元)之间的回归直线方程为，这表明（）A．与的相关系数为2B．与的关系是函数关系的充要条件是相关系数为1C．废品率每增加1%，生铁成本增加258元D．废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加2元4.已知等差数列中,则前10项和（）A．420 B．380 C．210 D．1405.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A．B．C．D．6.设，则与轴正方向的夹角为（）A．B．C．D．7.袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）A．B．C．D．8.设是定义在正整数集上的函数,且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么，下列命题总成立的是（）A．若成立，则成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则成立D．若成立，则当时，均有成立9.在的展开式中，含项的系数是，若，则（）A．1 B．0 C．D．10.定义在上的函数，则（）A．1 B．2 C．D．11.已知分别为双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，为双曲线左支上的任意一点，若存在最小值为12a，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～（24）题为选考题，考生根据要求做答.二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．某几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为4的正三角形，则此几何体的表面积为．正视图侧视图俯视图214.在四面体中，AB，AC，AD两两垂直，AB=,AD=2,AC=，则该四面体外接球的表面积为．15．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．16．已知实数x，y满足且不等式axy恒成立，则实数a的最小值是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2021届高三数学第二次模拟试题理(含解析)

2021届高三数学第二次模拟试题理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解.【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-，由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题.2.若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =（）A. {0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {0,1,2,4}D. {1,2,4}【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =，(1,3)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（） A. 23t <B. 32>t C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】【分析】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，230a b t =-+<，得23t <. 向量()2,a t =，()1,3b =-共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b =-. 所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（）25B.45C.2545【答案】A 【解析】【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214x y -=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12y x =±.双曲线221 4xy-=的顶点到渐近线的距离等于255114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.5603B. 200C.5803D. 240【答案】B【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7.下列函数中，最小正周期为π，且图象最新直线3x π=对称的函数是（）A. )32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x yC. 2sin()23x y π=+D. 2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期为4，故排除C ；将3x π=分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为0,2,3，而函数()sin y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值，故选B ．考点：三角函数的周期性、对称性．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A. 20i <，1S S i=-，i i 2= B. 20i ≤，1S S i=-，i i 2=C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9.已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（） A.45B. 237-C. 724-D. 249-【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（） A.2513 B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=，那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=. 则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥ ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确.故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（） A. (,]e -∞ B. (,)e -∞C. (,)2e-∞ D. (,]2e -∞ 【答案】D 【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可. 【详解】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立，构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'20xg x e ax =-≥恒成立，即2xe a x≤恒成立，令()()02xe h x x x =>，则()()21'2x e x h x x-=，当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减；当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增；则()h x 的最小值为()11212e eh ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 32sin a c A =，7c =ABC ∆33，a b +的值为__________．【答案】5 【解析】【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】由32sin a c A=，结合正弦定理可得332sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=. 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1333sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=，解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2=AC ，13=BC ，29SB =SC 与AB 所成角的余弦值为__________．17【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()()130,17,0,0,0,23,2,,01717B S C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,故132,,231717SC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝,()0,17,0AB =.于是,所求夹角的余弦值为1717SC AB SC AB⋅=. 故答案为：1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为(n)f ，则()f n =__________．【答案】7,2n-1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n -1，故答案为：7；2n -1．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是5)A ，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】29π【解析】【分析】3,1,5. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体3,1,53153++=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-.【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%；（i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）（ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=）【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 58. 【解析】【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ，根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭.由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i iiP Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ；（2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点，∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ，又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ， ∴()2,0,2PB t =-，()0,1,1MN =. ∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010， ∴由1010PB MN PB MN⋅=得2t =. 设(),,m x y z =为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-，()0,1,1MN =.由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()1,1,1m =-，3m =，∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角，则3cos 3AP m AP mθ⋅==，∴sin θ=【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y 2222(22)(22)6x y x y -+++=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知(22,0)D ，直线l ：22y kx k =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DB λ=且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）7k >7k <【解析】【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解. 【详解】（1）解：M 点的轨迹是以()22,0，()22,0-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由2y kx k =-得22y kx k+=代入2219x y +=整理()22219420k yky k ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立，由根与系数的关系得1224219ky y k+=-+……③12219y y k =-+……④ 由①③得()142119k y k λλ=-+，()242119ky k λ=-+()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k 的取值范围是7k >7k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()xf x e x m =-+，其中1m ≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性；（2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，（i ）求参数m 的取值范围；（ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-.【答案】（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间；（2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x ex e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+，若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意，此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数，所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减；当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增（2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+，记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0x f x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减；当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x ex e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022ef e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-..所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->，所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可；（2）设3C 极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=--2cos 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ；（2）已知+∈Rc b a ,,，且1abc111a b c a b c≤++.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由111a b c a b c a b ca b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可；（2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭11112222ab ac bc ⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为精品 Word 可修改欢迎下载 111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++111b c a c a b a a b b c c =++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥，当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立. （2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭11112222ab ac bc ⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，又因为1abc ，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111c b a a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。

2021年高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题含解析

2021年高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A考点：集合的运算.2.若复数满足是虚数单位），则的共轭复数所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】试题分析：，，对应的点在第四象限.考点：1.复数的概念与几何意义；2.复数的运算.3.已知为不共线的三点，则“”是“是钝角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由得到,即,即，可以得到为钝角，即是钝角三角形；但是钝角三角形时，角可能是钝角或锐角，不一定得到；所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件. 考点：四种条件的判定.4.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为 A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图，可得3,4121)311[(21421311;2,31311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⨯+⨯===⨯=i S i S ； 5536)111101211(21]1119110181)5131(4121311[21,=--+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⋅⋅S ,，结束循环，输出结果为.考点：1.程序框图；2.裂项抵消法. 5.不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析：由绝对值的几何意义，得表示数轴上的点到点的距离之和，易知，当或时，；所以的解集为.考点：1.绝对值的几何意义；2.绝对值不等式.6.设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的图象向右平移后的表达式为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域与目标函数基准线，由线性规划知识，可得当直线过点时，取得最大值，即，解得；则的图像向右平移个单位后得到的解析式为.考点：1.简单的线性规划；2.三角函数图像的变换. 7.为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为A.增函数B.周期函数C.奇函数D.偶函数【答案】B 【解析】试题分析：对于任意整数，都有[][][])()()(x f x x k x k x k x k x k x f =-=+-+=+-+=+，所以是周期函数. 考点：函数的性质.8.已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析:当正方体如图1放置时，其正视图是侧面,其面积为；当正方体如图2放置时，其正视图为对角面，其面积为，则无论如何放置，其正视图的面积在和，所以选A.图1 图2考点：几何体的三视图.9.已知点是双曲线的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角，则该双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为,所以；则,即，即，即，解得.考点：双曲线的几何性质.10.已知函数，若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，不等式化为，即，而，即；当，不等式化为，即，令，则；令，则；当时，，即在为减函数，且，所以，即在为减函数，即无限接近0，则；所以的取值范围是.考点：1.分段函数；2.分类讨论思想.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11.已知的取值如下表：从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则实数的值为 .【答案】【解析】试题分析：由所给数据，得，，将代入到回归方程，得，解得.考点：回归直线过样本点的中心.12.若在内任取一个实数，则使与圆无公共点的概率为 .【答案】考点：1.直线与圆的位置关系；2.几何概型.13.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 . 【答案】180【解析】试题分析：因为二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项，即；则的展开式通项为，令，即，即展开式常数项为.考点：1.二项式系数的性质；2.二项式定理.14.设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．【答案】【解析】试题分析：由题意，得，则，即2121222222≤++⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=x y x y xy y x x x，所以的最大值为. 考点：1.平面向量的模长；2.二次函数的最值.15.设抛物线的焦点为，直线过与交于两点，若，则的方程为．【答案】【解析】试题分析：由题意，得抛物线的焦点，设，；则由得，即；联立，得，则，解得，又，即，，即直线的方程为.考点：1.抛物线的焦半径公式；2.直线与抛物线的位置关系.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）中所对的边分别为,且. （Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若求的面积并判断的形状. 【答案】（1）；（2），等边三角形.考点：1.平面向量的数量积；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.三角形的面积公式.17.（本小题满分12分）盒子里装有大小相同的个球，其中个号球，个号球，个号球.（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出个球，记取到球的号码和为随机变量，求的分布列及期望.【答案】（1）；（2）分布列略；.【解析】试题分析：（1)利用互斥事件有一个发生的概率公式和互相独立事件同时发生的概率公式进行求解；（2）写出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式求出概率，列表得到分布列，利用期望公式求其期望.试题解析：（Ⅰ）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是”为事件，……… 1分则……… 4分（Ⅱ）可能取的值是，……… 5分, ……… 6分, ……… 7分，… 8分 . ……… 9分∴的分布列为：10分399311051523456.2828281428284EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 故所求的数学期望为. ……… 12分考点：1.独立事件同时发生的概率；2.离散型随机变量的分布列和数学期望. 18.（本小题满分12分）已知数列是各项均为正数的等差数列，首项，其前项和为，数列是等比数列，首项，且. （Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）令，其中，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）设出的公差为，的公比为利用等差数列、等比数列的通项及求和公式得到关于的方程组，解得即可求解；（2）利用分组求和法和错位相减法进行求解. 试题解析：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则，依题意有， ………2分解得：或（舍去）， ……… 4分，. ……… 6分（Ⅱ）)()2()(212243121112n n n n nb a a b a a b a a c T ++++++++++=-+， ……… 7分令nn n n nb b b M 22322223221⨯++⨯+⨯+=+++= ①14322232222+⨯++⨯+⨯+=∴n n n M ②①-②得：22)1(22122222211112--=⨯---=⨯-+++=-++++n n n n nn n n n M……… 9分， ……… 10分1212122)1(4322)1(41+++-++=+-++=∴n n n n n n n T . ……… 12分考点：1.等差数列；2.等比数列；3.分组求和法；4.错位相减法. 19.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，，,是上的动点，且,是的中点. （Ⅰ）若，求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，试求的值.【答案】（1）证明略；（2）. 【解析】试题分析：（1）：取中点，连结，得到平行四边形和线线平行，利用线面垂直的性质和等边三角形的三线合一证得线线垂直，进而得到线面垂直和面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量进行求解.试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连结，则有与平行且相等. ∴四边形为平行四边形， ……1分∵面,∴,又为等边三角形，平面平面,…………3分又平面,∴平面平面.……………4分（Ⅱ）以为轴，轴，在面内以过点且垂直于的射线为轴建系如图，)2,0,(),2,0,1()1,23,21(),0,0,1(1λλM B N B ，)1,23,21(),0,0,1()21,2321(==--=，，λλ ……6分ACBA 1C 1B 1MN设是平面的一个法向量，则∴，令∴…………8分设与面所成角为则431)21(43)21()12(2323,cos sin 221=+-++--+=><=λλλθn ………10分 ,化简得或由题意知， ∴ . …………………12分考点：1.空间中线面关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用. 20．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点. （Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线的方程为.是经过椭圆左焦点的任一弦，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.试探索之间有怎样的关系式？给出证明过程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）由抛物线的方程得到其焦点坐标，即值，代入点即可求解；（2）联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，用坐标表示出，再进行求解. 试题解析：(Ⅰ）设方程为，因为抛物线的准线， …………1分由点在椭圆上， ………3分 ∴椭圆C 的方程为. …………4分(Ⅱ)由题意知，直线斜率存在.设直线的方程为，代入，得， ……5分设由韦达定理得. ……6分由题意知121231233331222,,11142y y k k k k k x x --+====+++-+ ………8分，代人得1212121212231132()22112()1x x k k k k x x x x x x ++∴+=-+=-+++++ ……10分 2222222886343221412843243k k k k k k k k k -+++=-=+--+++ ………12分 ………13分考点：1.椭圆的标准方程；2.抛物线的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.21．（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）设，求的单调区间；（Ⅱ）若对，总有成立.（1）求的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数，不等式恒成立.【答案】（1）当时，的增区间为，的减区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；（2）；证明略.【解析】试题分析：（1）求导，确定出导函数的三个零点，讨论与0,1的大小关系确定其单调区间；（2）作差构造函数，利用导数证明函数的最大值非负即可；利用恒成立，将合理放缩：，再利用裂项抵消法进行证明.试题解析：（Ⅰ）x a x a x x g x f x h )1(ln 21)()()(2+-+=-=，定义域为， xa x x x a x a x a x x a x h ))(1()1()1()(2'--=++-=+-+=， …… 1分（1）当时，令，，，令，；（2）当时，令，则或，令，； …… 3分（3）当时，恒成立；（4）当时，令，则或，令，； …… 4分综上：当时，的增区间为，的减区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为和，的减区间为. ……5分（Ⅱ）（1）由题意，对任意，恒成立，即恒成立，只需. ……6分由第（Ⅰ）知：，显然当时，，此时对任意，不能恒成立；（或者分逐个讨论） …… 8分当时，，；综上：的取值范围为. …… 9分（2）证明：由（1）知：当时，，……10分即，当且仅当时等号成立.当时，可以变换为， …… 12分在上面的不等式中，令，则有))(1(1)2)(1(1)1(1n m n m m m m m +-+++++++> )111()2111()111(nm n m m m m m +--++++-+++-= 不等式恒成立. …… 14分考点：1.函数的单调性；2.不等式恒成立问题；3.放缩法；4.裂项抵消法.30206 75FE 痾25656 6438 搸25209 6279 批F*c23955 5D93 嶓26549 67B5 枵TD22700 58AC 墬31907 7CA3 粣.26995 6973 楳。

2021-2022年高三第二次模拟数学(理)试题含答案

2021年高三第二次模拟数学（理）试题含答案理科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)第I卷（非选择题共90分）1．若集合，，则等于A．B．C．D．2. 已知复数，，则在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出n=A．4 B. 5 C.9 D. 104. 已知数列是公差不为0的等差数列，是其前n项和，且是和的等比中项，若，则正整数k=A.20B.21C. 191D.1905.已知的展开式中常数项为a，则=A. 1B.-2C.D.6．已知圆：，在圆周上随机取一点P，则P到直线的距离大于的概率为A. B. C. D.7. 函数的图像向右平移单位长度，再向下平移3个单位长度，得到函数，若存在，使得成立，则的最小值是A. 3B.1C.D.28. 已知分别为双曲线的上下焦点，动点在双曲线的上支，则最小值为A．12 B．18 C．20 D．249．设直线[)()cos sin 2cos 00,x y θθθθπ-+=∈与关于的不等式组22020220x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域有公共点，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．10．菱形ABCD 的对角线相交于点O ，其中，P 是内（包括边界）一动点，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．11.函数定义在有序正整数对的集合上,且满足下列性质: （1）；（2）; （3）()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+则的值是.A ．24B ．48C ． 64D ．96 12.=，若至少存在一个∈[1，e]，使成立，则实数的范围为．A ．[1，+∞)B ．(0，+∞)C ．[0，+∞)D ．(1，+∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.)13. 为了了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某机构进行了随机抽样调查，得到如下数据：男性接受挑战的有24人，不接受挑战的有31人；女性接受挑战的有8人，不接受挑战的的有26人．在犯错误的概率不超过（用百分数作答）的前提下，认为冰桶挑战赛与受邀者的性别（填有关或无关）。

2021年高三第二次模拟考试理科数学含解析

2021年高三第二次模拟考试理科数学含解析本试卷共4页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若﹁p∨q是假命题，则A. p∧q是假命题B. p∨q是假命题C. p是假命题D. ﹁q是假命题【答案】A若﹁p∨q是假命题，则，都为为假命题，所以为真命题，为为假命题，所以p∧q 是假命题，选A.2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是A. B. C. D.【答案】CA,为非奇非偶函数.B在定义域上不单调。

D为非奇非偶函数。

所以选C.3.如图，是⊙O上的四个点，过点B的切线与的延长线交于点E.若，则A. B. C. D.【答案】B因为A，B，C，D是⊙O上的四个点，所以∠A+∠BCD=180°，因为∠BCD=110°，所以∠A=70°．因为BE 与⊙O相切于点B，所以∠DBE=∠A=70°．故选B．4.设平面向量，若//，则等于A. B. C. D.【答案】D因为//，所以，解得。

所以，即。

所以，选D.5.已知是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则的最大值是A. B. C. D.【答案】 B作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），,D （1，2），因为M、N是区域内的两个不同的点，所以运动点M、N，可得当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远，因此|MN|的最大值是|,选 B.6.已知数列的前项和为,,,则A. B. C. D.【答案】C由得，所以，即。

所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，选C.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为336俯视图侧（左）视图正（主视图）A． B. C. D.【答案】A视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长分别为，其中斜侧面的高为。

2021年高三下学期二模考试数学(理)试题含解析

2021年高三下学期二模考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21{|log,1},{|,2}U y y x x P y y xx==>==>，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由题意，，则，选C.考点：集合的运算.2.下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】C考点：函数的奇偶性与单调性.3.已知复数满足 (其中i为虚数单位)，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：由题意，，虚部为.考点：复数的概念与运算.4.等比数列的前n项和为，已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：，所以，即，所以.考点：等比数列的性质.5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最小值7.考点：线性规划.6.投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：投掷两枚骰子，点数形成的事件空间有种，其中点数和为8的事件有共5种，因此所求概率为.考点：古典概型.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个三棱柱截去了一块，如图，它可以看作是一个三棱柱与四棱锥组合而成，.NM FEDA考点：三视图，几何体的体积.8.执行下方的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（）A． B．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，每次循环中，参数的值依次为，，，，这里结束循环，输出结果为B. 考点：程序框图.9.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，，所以，所以323sin(2)sin[2(2)]sin 1281232k ππππαπ-=+-==. 考点：三角函数的定义与求值.10.在四面体S-ABC 中，平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====，则该四面体的外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：设的外心为，222222cos 12212cos120BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒，，则，该四面体外接球半径为，由于平面，则有2222212740(2)(2)2()33R SA O A =+=+=，所以.考点：球与多面体，球的表面积.11.已知F 是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的点，若，则的值是（） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】试题分析：设，由消去得，则①，②，又，，由已知③，由②③得，代入①得（在第一象限）. 考点：直线和抛物线位置关系. 12.设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记，则下列结论正确的是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B考点：函数的单调性，比较大小．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量，且与共线，则x 的值为【答案】【解析】试题分析：，由与共线得，解得．考点：向量的共线．14.已知8280128(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则【答案】8 【解析】试题分析：，. 考点：二项式定理.15.设点P 、Q 分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为【答案】【解析】试题分析：，令，即，，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离.16.在平面直角坐标系中有一点列对，点在函数的图象上，又点构成等腰三角形，且若对，以为边长能构成一个三角形，则的取值范围是【答案】【解析】试题分析：由题意点构成以为顶点的等腰三角形，则，，以为边长能构成一个三角形，因为，则有，，所以.考点：等腰三角形的性质，解一元二次不等式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且满足（1）求角B 的大小；（2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）题设已知条件是边角的关系，要求的是角，因此利用正弦定理把边化为角，得（同时用诱导公式化简），整理得，在三角形中有，因此得，；（2）由面积公式有，从而得，再结合余弦定理可得.试题解析：（1）…………………………1分…………………………3分∴…………………………5分∴…………………………6分(2) 由得a c＝4…………………………8分.由余弦定理得b2＝a2＋c2+ac…………………10分∴ a＋c …………………………12分考点：正弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理.18.（本小题满分12分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）【答案】（1）见解析，与性别有关；（2）分布列为X 0 1 2 3P期望为，方差为【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图,读书迷占比为40%，非读书迷占比为60%，再由表格中的两个数字可填全表格，根据计算公式得，因此有99%的把握认为“读书迷”与性别有关；（2）题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3），可得X的分布列，由公式可得期望与方差. 试题解析：（1）完成下面的列联表如下非读书迷读书迷合计男40 15 55女20 25 45合计60 40 100……………… 3分≈8.2498.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.……………..6分（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为. 由题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3）………………8分从而分布列为X 0 1 2 3P.……………… 10分E(x)=np= (或0.6)，D(x)=np(1-p）= (或0.72) ……………… 12分考点：（1）频率分布直方图，独立性检验，随机变量的分布列，数学期望与方差.19.（本小题满分12分）已知平面,,,4,1ABCD CD AD BA AD CD AD AP AB ⊥⊥====. （1）求证：平面；（2）M 为线段CP 上的点，当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】试题分析：（1）证线面垂直，就是要证线线垂直，已有，寻找题设条件还有平面，从而有，因此可以证得线面垂直；（2）要求二面角的大小，由于图形中有三直线两两垂直，因此可以以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角，建立如图所示的坐标系后，关键是要求出点的坐标（因为其它点的坐标都易得），设，利用与共线，及就能求出点的坐标，然后求出平面平面的法向量，由法向量夹角求得相应的二面角. 试题解析：（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，PA 平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面ABCD. …………………………………………2分又因为平面ADP ∩平面ABCD=AD ，CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ADP. ……………………………………………………4分（2）AD ，AP ，AB 两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A （0，0，0），B （0，0，1），C （4，0，4），P （0，4，0），则，，，.………………………………6分zxy设M（x, y , z), ，则.所以，，，.因为BM⊥AC，所以，，解得，法2：在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分，因为AP⊥平面ABCD，所以HM⊥平面ABCD.又因为AC平面ABCD，所以HM⊥AC.又BH∩HM=H, BH平面BHM，HM平面BHM，所以AC⊥平面BHM.所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分在直角中，AH=，又AC=，所以.又HM∥AP，所以在中，.在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在中， .因为AB∥CD，所以MN∥BA.连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP.所以AB⊥AD，AB⊥AN.所以∠DAN为二面角C—AB—M的平面角.………………………10分在中，过点N 作NS ∥PA 交DA 于S ，则，所以AS=，，所以NA=.所以.所以二面角C —AB —M 的余弦值为. …………………………………………12分考点：线面垂直，二面角.20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交y 轴于点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）本题求椭圆的标准方程比较简单，只要把坐标代入椭圆方程，再由离心率及联立方程组可解得；（2）本题属于直线与椭圆相交问题，主要考查学生的运算能力，及分析问题解决问题的能力，这类问题的一般方法都是设直线方程为为，设交点为，把直线方程与椭圆方程联立消去得则有，，同时有；从而有12121222()214t y y kx t kx t k x x t k +=+++=++=+ ，目的是为了表示出中点坐标，设的中点为，则，，因为直线于直线垂直，所以得，结合，由条件可得，，其中，为点到直线的距离，由引可求得，.试题解析：（1）由1题意得，解得，．所以椭圆的方程是． ……………………… 4分（2）设直线的方程设为，设，联立消去得则有，，由；12121222()214t y y kx t kx t k x x t k+=+++=++=+ …………… 6分设的中点为，则，因为直线于直线垂直，所以得 ………… 8分因为所以,所以，由点到直线距离公式和弦长公式可得，AB == ………10分由2ABPD == ，直线的方程为或. ………… 12分解法二（2）设直线的斜率为，设，的中点为，所以，，由题意，式式得()()()()1212121204x x x x y y y y -++-+=⇒又因为直线与直线垂直，所以由14131ykxykx⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得…………… 6分因为所以,所以，………8分PD===设直线的方程设为，联立消去得()2222284141(14)44099k k kk x x+⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭，，由AB==………10分，解得，满足.由得直线的方程为或. ……… 12分考点：椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）已知函数是自然对数的底数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若为整数，，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.故在上存在唯一的零点. .............................8分设此零点为，则.当时，；当时，；所以，在上的最小值为.由可得 ........10分所以，由于①式等价于.故整数的最大值为2. ....................................12分考点：导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图：的直径的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为上一点，交于点F.（1）求证：四点共圆；（2）求证：.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（1）证四点共圆，可证明四边形的对角互补或外角等于内对角等，本题中，由于，因此有，从而得证四点共圆；（2）有了（1）中的四点共圆，由割线定理得，又在圆中有，故结论成立.试题解析：（1）连接，，因为，所以，.................2分又因为，则，所以四点共圆.………………5分（2）因为和是的两条割线，所以，……………7分因为四点共圆,所以，又因为，则∽，所以，即则.………………10分考点：四点共圆，切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：.（1）直线的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线的曲线交点的极坐标（）【答案】（1）；（2），【解析】试题分析：（1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式可把直角坐标方程化为极坐标方程；（2）可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标.试题解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为普通方程，……………………2分将代入得.…………4分（2）方法一：的普通方程为.………………6分由解得：或………………8分所以与交点的极坐标分别为：，.………………10分方法二：由，……………6分得：，又因为………………8分所以或所以与交点的极坐标分别为：，.………………10分考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与圆交点.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()()221(0),2f x x a x a g x x =-++>=+.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）不等式为，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式恒成立，同样不等式为，转化为，令，因为,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩，只要求出最小值，然后解不等式得所求范围. 试题解析：（1）当时，，无解，，………………………3分综上，不等式的解集为.………………5分（2），转化为，令，因为a>0,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩， ………………8分在a>0下易得,令得………………10分考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.40115 9CB3 鲳23063 5A17 娗24402 5F52 归36458 8E6A 蹪30653 77BD 瞽0tY36543 8EBF 躿> 40561 9E71 鹱27081 69C9 槉bX。

2021年高三第二次模拟测试数学理试题含答案

2021年高三第二次模拟测试数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：１．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.３．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.４．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.５．考生必须保持答题卡的整洁.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．“”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为A．B．C．1 D．23. 若集合，，则集合不可能是A． B． C． D．4．A． B． C． D．5．若函数，常数，则A．存在使是奇函数 B．存在使是偶函数C．在上是增函数 D．在上是减函数6. 动点在函数的图象上移动，动点满足，则动点的轨迹方程为A． B．C． D．Array 7．执行如图所示的程序框图，输出的值是A．8 B. 7 C. 6 D. 58. 设函数，则的图象A．在第一象限内B．在第四象限内C．与轴正半轴有公共点D．一部分在第四象限内，其余部分在第一象限内第II卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 右图中阴影部分区域的面积 .10. 若命题“，”的否定为真命题，则实数的取值范围是 .11. 如右图，在四边形中，，为的中点，且，则 .12．在中，，则 .13．已知函数满足：①对任意，恒有；②当时，.则；方程的最小正数解为 .选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）. 14．（几何证明选讲选做题）如图，已知点在圆直径的延长线上，过作圆的切线,切点为若,则圆的面积为 .15．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)；以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题共12分）（1）若，，求；（2）已知，,求与夹角的值.17．（本小题满分13分）已知函数的部分图象如下图，其中分别是的角所对的边. （1）求的解析式；（2）若，求的面积.18． (本题满分13分)已知向量，向量，． (1) 若,且,求的值；（2）若，设，求函数的单调增区间. 19.（本小题共14分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中常数, 且 (1) 求的值；（2）设函数①求证：是偶函数； ②求函数的值域.20．（本题满分14分）设函数，其中为自然对数的底数.(1) 已知，求证：；（2）是否存在与函数，的图象均相切的直线？若存在，则求出所有这样的直线的方程；若不存在，则说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数，其中常数.(1) 求的单调增区间与单调减区间；（2）若存在极值且有唯一零点，求的取值范围及不超过的最大整数.参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9． 10． 11. 12． 13. ，14. 15.,或三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题共12分）（1）若，，求；（2）已知，,求与夹角的值.解：（1），，……………………………………………………………………2分则，……………………………………………4分，…………………………………………………………6分另解：（1），，………………………3分则，……………………………………………4分c====，……………………6分（2）a b +===……8分又,,,. .………………………………………10分 ,.………………………………………………………………………12分另解：（2）假设与方向相同，那么，这与矛盾；假设与方向相反，那么这与矛盾.故与不共线. .……………………………………………………………8分如图,在中,,, 则,. 从而在中,,.……………………………………………10分由,知故2ππ5π.366AOB AOC BOC θ=∠=∠+∠=+=……………………………12分 17．（本小题满分13分）已知函数的部分图象如下图，其中分别是的角所对的边. （1）求的解析式；（2）若，求的面积. max ()1,f x a b =-=解：（1）由图象可知：得，…………………………………………………………2分函数的最小正周期，得…………………3分由得…………………4分，……………………………………………………………5分故 …………………………………………………6分（2）由得，，……7分即 ……………………………………………………………8分又，得…………………………10分由得，，……………………………………………………11分故……………………………………………………………13分 18． (本题满分13分) 已知向量，向量，． (1) 若,且,求的值；（2）若，设，求函数的单调增区间. 解：（1）,且， ………………………2分即 ……………………………………………………………3分……………………………………5分（2），，得, …………7分即π()1cos 222sin(2) 1.6y f x x x x ==+=++………………………9分，.（没考虑这点不扣分）由得，………11分即. …………………………………………………12分故的单调增区间为.………………………………13分另解：（2），，得, ………7分即π()1cos 222sin(2) 1.6y f x x x x ==+=++………………………9分，.（没考虑这点不扣分）函数的单调增区间为,……………10分且函数是增函数, 由，得. …………………………………………………12分故的单调增区间为.………………………………13分 19.（本小题共14分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中常数, 且 (1) 求的值；（2）设函数①求证：是偶函数； ②求函数的值域.(1)解：， ……………………………………………………1分由函数的周期为，得3311()(2)()2()102222f f f =-=-=-+=……3分，……………………………………………………………4分 (2) ①证明：对，有且()()(())()()()g x f x f x f x f x g x -=-+--=-+=，是偶函数. …………………………………………………6分 ②解：由①知函数的值域与函数在上的值域相等(1)(1)(1)(1)(12)2(1)2,g f f f f f =+-=+-+==-…………………………………………………8分当时, ,()()()(2)(2)g x f x f x f x f x =+-=-+-+4(2)26()2(2)127(2)13x g x x x x x --+=-++=---+-,………………………10分,在内是增函数, …………………………11分得,即…………………13分综上知,函数的值域为…………14分 20．（本题满分14分）设函数，其中为自然对数的底数.(1) 已知，求证：；（2）是否存在与函数，的图象均相切的直线？若存在，则求出所有这样的直线的方程；若不存在，则说明理由. (1)证明:…………………………………5分 ……………………………………………6分(2) 设直线与函数的图象相切,切点为,则直线的方程为即……………………9分直线与函数的图象相切的充要条件是关于的方程即有两个相等的实数根, ………10分即……………………………………………11分设,则,且,在上递增, 只有一个零点……………………………………13分所以存在唯一一条直线与函函数与的图象均相切,其方程为……………………………………………………………………………14分 21．(本小题满分14分)已知函数，其中常数.(1) 求的单调增区间与单调减区间；（2）若存在极值且有唯一零点，求的取值范围及不超过的最大整数. 解:（1）……………………………………1分①当时，1()20f x x k k k x '=+-≥=-≥，函数为增函数. …………………………………………………………………3分②当时，，其中…………………………………4分的取值变化情况如下表：………………………………………………………………………………………6分综合①②知当时，的增区间为，无减区间；当时，的增区间为与，减区间为…………………7分（2）由(1)知当时，无极值；…………………………………………………8分当时，知的极大值，的极小值，故在上无零点. ………………………………………………………………10分，又，故函数有唯一零点，且.………………………………………11分又，记，则，从而，…………………………………………13分故的取值范围是不超过的最大整数………………………14分U{L29185 7201 爁27483 6B5B 歛 19977 4E09 三- R24804 60E4 惤25613 640D 損37137 9111 鄑S。

2021年高三数学第二次模拟考试理(含解析)

2021年高三数学第二次模拟考试理（含解析）第I 卷【试卷综析】本卷重点考查基本知识和基本技能，侧重通性通法注重对基本知识和基本技能的考查，重点考查通性通法，避免偏题、怪题，适当控制运算量，加大思考量，主要是在集合、函数、三角、数列等章节出题，在大题中，每个题的难度按照由易到难的梯度设计，学生入口容易，但是又不能无障碍的获得全分；整个大题也是按照这样的梯度设计的，前面的题容易，难度慢慢上升，使学生慢慢适应考题的难度，有利于发挥学生的最大的潜能.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【题文】1.已知集合，，则 ( )A 、{｜0＜＜}B 、{｜＜＜1}C 、{｜0＜＜1}D 、{｜1＜＜2} 【知识点】集合A1【答案解析】 B 解析：解：由题意可求出{}11|01,|2|122M x x N y y M N x x ⎧⎫⎧⎫=<<<<∴⋂=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以B 正确.【思路点拨】分别求出集合的取值，再求交集.【题文】2. 下列有关命题的说法正确的是 ( )．A ．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B ．“” 是“”的必要不充分条件.C ．命题“若，则”的逆否命题为真命题.D ．命题“使得”的否定是：“均有”．【知识点】命题及其关系；充分条件；必要条件；含量词的命题的否定.A2 【答案解析】C 解析：命题“若,则”的否命题为：“若,则”，故A 不正确；因为方程的解是x=-1或x=6所以B 不正确；因为命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题为真命题，所以C 正确；命题“,使得”的否定是：“,均有”,所以D 不正确.【思路点拨】根据命题及其关系，充分、必要条件，含量词的命题的否定，逐个判断各说法的正误.【题文】3．函数的零点所在区间为（） A 、 B 、 C 、 D 、【知识点】函数的零点. B9【答案解析】C 解析：因为，所以选C.【思路点拨】根据函数在某个区间有零点的条件确定结论.【题文】4. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则（） A. 27 B.3 C. 或3 D.1或27 【知识点】等比数列；等差数列.D2,D3 【答案解析】A 解析：根据题意得：或q=3,因为等比数列各项均为正数，所以q=3, 所以，故选 A.【思路点拨】根据等差数列的定义以及等比数列的通项公式确定公比q ，代入所求即可. 【题文】5.函数的定义域为，则函数的定义域为( ) A ． B ． C ． D ．【知识点】函数的定义域.B1【答案解析】D 解析：根据题意得：，解得，故选D.【思路点拨】因为函数的定义域为，而函数是用替换了函数中的x ，所以，解得x 即可. 【题文】6.设，，，则下列关系中正确的是( ) A ． B ． C ． D ．【知识点】数值大小的比较；对数函数的单调性.B3 【答案解析】A 解析：因为，，，而，由对数函数单调性得，所以选A.【思路点拨】把各数化为以2为底的对数，然后利用对数函数的单调性得结论. 【题文】7. 已知,则（） A ． B ． C ． D ．【知识点】两角和与差的三角函数，三角函数的求值.C5 【答案解析】C 解析：因为，所以1333cos cos sin cos sin 2222x x x x x++=+313(cos sin )3cos 226x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故选C. 【思路点拨】根据两角和与差的三角函数，把所求用已知函数值的三角函数式表示即可.【题文】8. 已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是( ) A ． B ． C ． D ．【知识点】导数的应用；构造函数法.B12【答案解析】D 解析：设，则，因为对任意的满足，所以在上恒成立，所以是上的增函数，所以，即.故选D.【思路点拨】根据已知条件，构造函数，利用导数确定函数在上的单调性，从而得到正确选项.【题文】9. 若函数在区间，0)内单调递增，则取值范围是( )A.[，1)B.[，1)C.，D.(1，)【知识点】函数的定义域；利用导数求极值点；复合函数的单调性.B1,B3,B11【答案解析】B 解析：设=得，其图像如下，由得函数的极值点，因为函数在区间，0)内单调递增，由图可知所以答案为B.【思路点拨】利用导数先判断函数的单调性再根据题意求出a的范围.【题文】10. 如图，长方形的长，宽，线段的长度为1，端点在长方形的四边上滑动，当沿长方形的四边滑动一周时，线段的中点所形成的轨迹为，记的周长与围成的面积数值的差为，则函数的图象大致为（）【知识点】函数的图象.B8【答案解析】C 解析：解：解：∵线段MN的长度为1，线段MN的中点P，∴AP=，即P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为的4个圆，以及线段GH，FE，RT，LK，部分．∴G的周长等于四个圆弧长加上线段GH，FE，RT，LK的长，即周长==π+4x﹣2+2x﹣2=6x+π﹣4，面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积为，∴f（x）=6x+π﹣4﹣=，是一个开口向下的抛物线，∴对应的图象为C，故选：C．【思路点拨】根据条件确定点P，对应的轨迹，然后求出相应的周长和面积，求出函数f（x）的表达式，然后根据函数表达式进行判断图象即可．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.【题文】11. 已知数列是等差数列，且，则的值为 .【知识点】等差数列.D2【答案解析】解析：解:由等差数列的性质可知1474442432,233a a a a a aπππ++==∴=∴=，而()354354412tan tan tan3333a a a a aπππ+==∴+===【思路点拨】根据等差中项的性质可得出结果.【题文】12. 若函数在上可导，，则 .【知识点】导数与定积分B13【答案解析】-4 解析：解：由题意可知()()()()()2321,132113f x x f x f f f'''''=+∴=+∴=-，()32432213dx x x|4004f x x x=-=-=-⎰【思路点拨】由题意可求出函数的原函数，再利用积分的概念求出结果.【题文】13. 已知，，那么的值是 _ .【知识点】两角和与差的正切公式.C5【答案解析】 B 解析：解：由题意可得()()21tan tan3454tan2142211tan tan544παββπαββπαββ⎛⎫+---⎪⎛⎫⎝⎭+-+===⎪⎛⎫⎝⎭+⋅++-⎪⎝⎭【思路点拨】利用组合角的方法表示出所求的角，再利用公式求解.【题文】14. 已知映射，其中，，对应法则是，对于实数，在集合中不存在原象，则的取值范围是 .【知识点】映射的概念B1【答案解析】解析：解：在区间上是增函数，，所以A若不存在原象则【思路点拨】根据映射的概念可求解.【题文】15. 已知函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是 . 【知识点】对数函数图象与性质的综合应用B7【答案解析】解析：解解：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有 21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．【思路点拨】由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得 log3（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24．由此求得abcd的范围．三、解答题：本大题共六个大题，满分75分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【题文】16.（本小题12分）已知集合)0}(221|{},510|{≠≤<-∈=≤+<∈=axRxBaxRxA.（1）能否相等？若能，求出实数的值；若不能，试说明理由；（2）若命题，命题，且是充分不必要条件，求实数的取值范围.【知识点】集合的相等；必要条件、充分条件与充要条件的判断A1,A2【答案解析】(1) a=2 (2) a＞2，或a＜﹣8解析：解：（1）若A=B显然a=0时不满足题意当a＞0时∴当a＜0时显然A≠B故A=B时，a=2（2）p⇒q得A⊆B且A≠B0＜ax+1≤5⇒﹣1＜ax≤4当a=0时，A=R不满足．当a＞0时，则解得a＞2当a ＜0时，则综上p 是q 的充分不必要条件，实数a 的取值范围是a ＞2，或a ＜﹣8 【思路点拨】（1）集合相等，转化为元素间的相等关系求解（2）p ⇒q 得A ⊆B 且A≠B，转化为集合的关系求解【题文】17. （本小题12分）（1）已知，且，求的值；（2）已知为第二象限角，且，求的值. 【知识点】三角函数诱导公式C2【答案解析】(1) (2) 解析：解(1)因为，所以，故()()225343sin 1cos ,sin 1cos 147αβαβαα+=-+==-=(2)为第二象限角，且，所以，故()cos 2174cos 2sin 214cos 7παααπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅=---+【思路点拨】根据三角函数的诱导公式可化简求出结果.【题文】18．（本小题12分）设数列是等差数列，数列的前项和满足且（Ⅰ）求数列和的通项公式：（Ⅱ）设为数列的前项和，求．【知识点】通项公式，数列求和.D1,D4【答案解析】(I) (II))963(41)333(23221--=-+⋅⋅⋅++=+n n T n n n 解析：解(I)由()()()()()11113331,122222n n n n n n n n n S b S b n b S S b b n ----=-=-≥∴=-=-≥即，又（Ⅱ），所以数列其前项和，)963(41)333(23221--=-+⋅⋅⋅++=+n n T n n n . （12分）【思路点拨】利用前n 项和与通项的关系可求出通项公式，第二步可利用分组求和法求解. 【题文】19．（本小题12分）已知函数（均为正常数），设函数在处有极值.（1）若对任意的，不等式总成立，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【知识点】导数；函数的单调性.B3,B11 【答案解析】（1）（2）时，解析：∵，∴，由题意，得，解得. 2分（1）不等式等价于对于一切恒成立. 4分记，则)4sin(21cos sin 1)('π+-=--=x x x x g 5分∵，∴，∴，∴，从而在上是减函数. ∴，于是. 6分（2），由，得，即. 7分 ∵函数在区间上单调递增，∴]23,23[)312,31(ππππππk k m m ++-⊆--，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-<-+≤-+-≥-Z k m m k m k m ,31231233122331ππππππππ9分，即，∴时，【思路点拨】根据题意可先求出a 的值，再利用已知条件求导，确定b 的值，再根据函数的单调区间即可求出m 的范围. 【题文】20. （本小题13分）如图，分别过椭圆：左右焦点、的动直线相交于点，与椭圆分别交于不同四点，直线的斜率、、、满足．已知当轴重合时，，．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．【知识点】椭圆的标准方程；直线与双曲线.H5,H8 【答案解析】(1) (2)略解析：解：（1）当与轴重合时，，即， ………2分 ∴ 垂直于轴，得，，（4分）得，， ∴ 椭圆E 的方程为．………5分（2）焦点、坐标分别为(—1，0)、(1，0)．当直线或斜率不存在时，P 点坐标为(—1，0)或(1，0)．………6分当直线、斜率存在时，设斜率分别为，，设，，由得：， ∴ ，．（7分） )2()11(2121122111221121x x x x m x x x x m x y x y k k ++=+++=+=+，同理．………9分∵， ∴，即．由题意知， ∴．设，则，即，………11分由当直线或斜率不存在时，点坐标为(—1，0)或(1，0)也满足此方程， ∴点椭圆上，………12分【思路点拨】根据条件可直接求出椭圆的标准方程，再由直线与曲线相交问题可判定结论. 【题文】21. （本小题14分）A O PDCBxy 1l 2l 1F 2F （第20题）已知函数在处的切线与直线垂直，函数．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．【知识点】导数：函数的单调性.B3,B11 【答案解析】(I) (II) (III) 解析：解：（Ⅰ）∵，∴.-----------------------1分 ∵与直线垂直，∴，∴ .-----------------3分()()()()()221111ln 1,12x b x g x x x b x g x x b x x --+'=+--∴=+--=由题知在上有解，设，则，所以只需故b 的取值范围是.(III)()()()21111x b x g x x b x x--+'=+--=，所以令()()()()221211122211ln 1ln 122g x g x x x b x x x b x ⎡⎤⎡⎤-=+---+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()2211121212222111ln1ln 22x x x x x x b x x x x x x ⎛⎫=+----=-- ⎪⎝⎭所以设，所以在单调递减，()()22121212x 125x 24x x t x x t ++==++≥⋅即()2111501,41740,0,2ln 2448t t t t h t h ⎛⎫<<∴-+≥∴<≤≥=- ⎪⎝⎭，故所求的最小值是【思路点拨】由题意利用导数可求出a 的值，再根据题意可分别求解出b 的取值及最小值. 30473 7709 眉37895 9407 鐇*29858 74A2 璢Y22883 5963 奣26732 686C 桬d40127 9CBF 鲿ku3。

山东省2021届高三下学期第二次模拟考试(数学理)

2021年高考模拟试题理科数学（二）注意事项：1.本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第II 卷3至5页.满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考生号涂写在答题卡上.3.第I 卷共2页.答题时，考生须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.4.第II 卷写在答题卡对应的区域内，严禁在试题卷或草纸上答题.5.考试结束后，只将答题卡交回. 参考公式：如果事件A,B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =⋅.第I 卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数11z i=-+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{}{}2230,,x A x x x B y y e x R A B =--<==∈⋂=，则 A.()03，B.()02，C.()0，1D.()1，23.下列函数中，满足()()()f xy f x f y =的单调递增函数是 A.()3f x x =B.()1f x x -=-C.()2log f x x =D.()2xf x =4.已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面,αβ，有如下命题： ①若,,//,////l m l m ααββαβ⊂⊂，则； ②若,//,//l l m l m αβαβ⊂⋂=，则；③若,//l l αββα⊥⊥，则，其中正确命题的个数是 A.3B.2C.1D.05.函数()1xxa y a x=>的图象的大致形状是6.利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示.在这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的户数为 A.46 B.48 C.50D.527.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A,B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为 A.117-或B.1-C.11-或D.18.将5名同学分成甲，乙，丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同分组方案的种数为 A.180 B.120 C.80 D.60 9.1234,,,a a a a 是各项不为零的等差数列，且公差0d ≠，若删去此数列的某一项，得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则1a d的值为 A.1B.41-或C.4D.41-或10.已知M 是ABC ∆内一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=，若MBC MCA ∆∆，，MAB ∆的面积分别为12，x,y,则14x y+的最小值是 A.16B.18C.19D.20第II 卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.） 11.在ABC ∆中，若54sin ,cos 135A B ==，则cos C =_________.12.已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，那么该双曲线的渐近线方程为_________.13.执行如图所示的程序框图，若输入的1,2T a ==，则输出的T 的值为_________.14.记集合()(){}()222,11,,x A x y x y B x y y xy x ⎧⎧≥⎫⎪⎪⎪=-+≤=≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎭⎩⎩构成的平面区域分别为M,N ，现随机地向M 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N 中的概率为_________.15.已知函数()()3234f x x ax f x =-+，若存在唯一的零点0x ，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，已知,cos 6A a b C π==.（I ）求角C 的大小；（II ）如图，在ABC ∆的外角ACD ∠内取一点P ，使PC=2，过点P 作PM CA ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，设线段PM ，PN 的长分别为,,,62m n PCM x x ππ∠=<<且，求()f x mn =的最大值及相应x 的值.17. （本小题满分12分）如图，某快递公司送货员从公司A 处准备开车送货到某单位B 处，有A →C →D →B ，A →E →F →B 两条路线.若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如A →C →D 算作两个路段；路段AC发生堵车事件的概率为16，路段CD 发生堵车事件的概率为110）. （I ）请你为其选择一条由A 到B 的路线，使得途中发生堵车事件的概率较小；（II ）若记路线A →E →F →B 中遇到堵车路段的个数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ）.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，9022ADC PA PD AD BC ∠=====，3,6CD PB ==Q 是AD 的中点，M 是棱PC 上的点，且PM=3MC.（I ）求证：平面PAD ⊥底面ABCD ；（II ）求二面角M BQ C --的大小.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是(),2n n n S S a n n N *=-∈且. （I ）证明：数列{}1n a +是等比数列；（II ）记11n n n n a b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20. （本小题满分13分）已知函数()12ln ,f x a x x a R x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭. （I ）当1a =时，判断函数()f x 是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（II ）求函数()f x 的单调区间.21. （本小题满分14分）已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，它的长轴长，短轴长分别为2,2a ，右焦点(),0F c ，直线2:0l cx a x -=与轴相交于点,2A OF FA =，过点A 的直线m 与椭圆E 交于P ，Q 两点.（I ）求椭圆E 的方程；（II ）若以线段PQ 为直径的圆过原点O ，求直线m 的方程；（III ）设()1AP AQ λλ=>，过点P 且平行于直线l 的直线与椭圆E 相交于另一点M ，求证：FM FQ λ=-.。

2021年高三上学期第二次模拟考试数学(理科)试题

2021年高三上学期第二次模拟考试数学（理科）试题参考公式：锥体体积公式；柱体体积公式一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．复数＝（）A． B． C． D．2．设集合U={1，2，3，4，5， 6}，M={1，2，4}，则∁M=（）UA．U B．{1，3，5} C．{2，4，6} D． {3，5，6}3.已知条件p：，条件q：<1，则q是p成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件4．已知，，且，则( )A．B．C．或D．5．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B.C. D.6.已知直线与两个不同的平面，则下列每题正确的是( )A.若，则B.若则C.若则D.若则7．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（）A．21 B．39 C．81 D．1028. 对、，运算“”、“”定义为：=，=，则下列各式其中不恒成立的是（）⑴⑵ ⑶ ⑷A ．⑴、⑶B ． ⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷ 二、填空题：本题共7小题，作答6小题，每题5分，满分30分.9．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取 _ ；10.已知数列，，则．11的展开式中的系数为 .（用数字作答）12．已知满足约束条件，则最小值为。

13．定义在上的函数满足，则的值为_____.14．在平面直角坐标系中，已知圆（为参数）和直线（为参数），则直线被圆C 所截得弦长为；15．如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O 的半径为______________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 在中,角、、的对边分别为、、,且,.(1) 求的值；(2) 设函数,求的值.17. 根据空气质量指数（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:某市xx 年10月1日—10月30日，对空气质量指数进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中度污染的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个,设为空气质量类别颜色为紫色的天数,求的分布列.（数值）空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色18．（本题满分分）已知数列的前项和是，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求适合方程的正整数的值．19.如图，三棱柱中，侧面底面，，，且，为中点．⑴证明：平面；⑵求直线与平面所成角的正弦值；⑶在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置．20. 已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线与椭圆相交于、两点.(1)求椭圆的方程;(2)若线段中点的横坐标为,求直线的方程;(3) 若线段的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.21. 已知函数．（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．南澳中学xx 学年第一学期第二次高考模拟考试高三理科数学答题卡二、填空题（每题5分，共30分） 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：（共80分） 16．（本题12分）17．（本题12分）学号：班级：姓名：座号：18．（本题14分）19．（本题14分）20．（本题14分）21．（本题14分）南澳中学高三级理科班数学期末考试参考答案三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．1 7. 【解析】：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, -------------1分所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率.---------------------4分（2）随机变量的可能取值为,-----------------------------------------------5分则,-----------------------------------------------------------7分,----------------------------------------------------------9分-------------------------------------------------------11分----------------------------------------------------------------------------------------------------------12分1 9.⑴证明：因为，且为的中点，所以．又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面．⑶设，即，得．所以，得令平面，得，即，得，即存在这样的点，为的中点．（3）由（2）知, 所以的中点为所以222212121212()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++- ……10分直线的方程为, 由,得,则, 所以 …12分所以又因为,所以. 所以.所以的取值范围是 …14分28777 7069 灩k27884 6CEC 泬22610 5852 塒€ X=T27075 69C3 槃31987 7CF3 糳39939 9C03 鰃37707 934B 鍋38515 9673 陳23588 5C24 尤。

2021年高三第二次模拟考试理数试题含解析

2021年高三第二次模拟考试理数试题含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】试题分析：复数，所以复数为虚数单位）的共轭复数是，其对应的点位于第一象限，故选A.考点：1、复数的运算；2、复平面；3、共轭复数.2.已知集合，，则集合的子集的个数为（）A． B． C． D．【答案】C考点：1、集合的概念；2、子集.3.设变量满足约束条件则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：作出约束条件对应的可行域如下，，其中表示可行域内的点到直线的距离，由上图可知，点到直线的距离最大，最大为，所以的最大值为故选A.123-1-2-3-1-212xyOABC(-2,2)x-y=0x=-2x+3y-4=0x-3y=0考点：线性规划．4.设且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】考点：充分条件与必要条件．5.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：因为，又因为，所以，由于三点共线，所以，从而的值为，故选A.考点：平面向量．6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的（）A． B．C． D．【答案】D【解析】考点：程序框图．7.若函数为奇函数，则的解集为（） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.【思路点晴】本题是一个关于函数的奇偶性、单调性方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据函数是上的奇函数求出的值，进而确定的表达式，其次再确定函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，并从中求得不等式的解集，最终使问题得到解决．8.一个盒子里装有标号为的张标签，随机地选取张标签，则取出的张标签的标号的平均数是的概率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：问题等价于“取出的张标签的标号的和是”，又等价于“选出两张并且和为”，而这样的选法有共种，而所有的取法有，从而所求概率是，故选A. 考点：古典概型．9.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若对满足的，有，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由条件可知，再根据题意可知,由于，所以不妨设1122332,222424x x x x ππππϕϕ=⇒=-=⇒=+，那么，故选D. 考点：三角变换．【思路点晴】本题是一个关于三角函数的变换以及三角函数的最大值、最小值方面的综合性问题，属于中档题，解决本题的基本思路及切入点是：首先应根据三角函数的基本变换原理，由的解析式进而得到的解析式，再根据题目条件得出关于参数的式子，并从中解得参数的值，问题得到解决.10.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离不大于，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B考点：1、抛物线及焦点；2、双曲线及渐近线、离心率.【方法点晴】本题是一个关于抛物线及其焦点、双曲线以及其渐近线、离心率方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先求出抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，根据题意进而得到关于的一个不等式，再结合，即可求得双曲线的离心率的取值范围，并最终使问题得以解决.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11.函数的定义域为______.【答案】【解析】试题分析：要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为，故答案填.考点：1、函数的定义域；2、无理不等式及对数不等式.12.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得回归直线方程为，后来因工作人员不慎将下表中的实验数据丢失.天数（天） 3 4 5 6 7 繁殖个数y（千个） c 3 4 4.5 6则上表中丢失的实验数据的值为______.【答案】考点：回归分析.13.已知不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】试题分析：由于不等式的解集不是空集，所以，而，所以即，故答案填.考点：1、绝对值不等式；2、极端不等式.14.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_____.【答案】【解析】考点：1、三视图；2、棱锥的体积.【思路点晴】本题是一个关于三视图方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先由三视图要正确的作出其对应的立体图形，一般的，如果一个几何体的三视图中，其正视图、左视图、俯视图都是三角形时，那么这个几何体应该是三棱锥.再结合本题三视图中的已知数据，即可求得该几何体的体积.15.已知函数，若存在互不相等的实数满足，则的取值范围是_____.【答案】【解析】考点：1、分段函数；2、函数图象.【方法点晴】本题是一个关于分段函数的图象方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先要根据分段函数在各部分上的解析式，正确的作出其图象，其次再根据，可作出一条水平直线，然后再根据这条水平直线的上下变化区间，即可求得的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）如图，在中，点在边上，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】考点：1、三角形正弦定理；2、三角形面积.17.（本小题满分12分）小王创建了一个由他和甲、乙、丙共人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙人每次抢得红包的概率相同.（Ⅰ）若小王发次红包，求甲恰有次抢得红包的概率；（Ⅱ）若小王发次红包，其中第，次，每次发元的红包，第次发元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为，求的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.【解析】（Ⅱ）记“乙第次抢得红包”为事件，“乙第次没有抢得红包”为事件. 则，.由题意知的所有可能取值为，（5分）由事件的独立性和互斥性，得 .（6分）278)32(312)()5(2321321=⨯⨯=+==B B B B B B P X P .（7分） 9231)32(32)31()()10(22321321=⨯+⨯=+==B B B B B B P X P .（8分）27432)31(2)()15(2321321=⨯⨯=+==B B B B B B P X P .（9分）.（10分）所以的分布列为所以乙抢得所有红包的钱数之和的数学期望3202712027415921027852780)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E .（12分）考点：1、事件的互斥性和独立性；2、随机变量的期望及分布列. 18.（本小题满分12分）如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】因为平面，所以.（6分）在中，，在中，，又因为，所以，所以为等腰直角三角形，所以的面积.设点到平面的距离为，由，得，得.（10分）设直线与平面所成的角为，则.（11分）所以直线与平面所成的角的正弦值为.（12分）考点：1、线线垂直；2、线面角.19.（本小题满分12分）已知数列的前项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】考点：1、通项公式及前项和公式；2、错位相减法及裂项相消法. 20.（本小题满分13分）已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，若直线轴，且与曲线交于另一点，直线与直线交于点. （1）证明：点恒在曲线上；（2）求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）.【解析】（Ⅱ）（1）设，则，且，所以直线，即①.（5分）直线，即.②（6分）联立①②，解得，（7分）所以点的坐标是. 则222222222)52(4936648025)52(3)52(4)85(34--++-=-+--=+m m m m m n m m y x B B 所以点恒在椭圆上.（9分）（2）设直线，，考点：1、椭圆；2、导数在函数（三角形的面积）研究中的应用.【方法点晴】本题是一个关于椭圆的概念以及直线与其位置关系方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件并结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹的方程；（Ⅱ）（1）根据（Ⅰ）的结论设出的坐标，并表示出的坐标，进而表示出直线与直线的交于点的坐标，即可证明点恒在曲线上；（2）根据（Ⅰ）及（Ⅱ）（1）的结论，再结合构造函数以及函数的单调性，即可求得面积的最大值.21.（本小题满分14分）已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，都有成立（其中是函数的导函数），求实数的最小值；（Ⅲ）证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】所以，即当时，满足题设条件.（8分）2）当，即时，设是方程的两个实根，且，由，可知，由题设可知，当且仅当，即，即，即时，对任意有，即在上恒成立，所以在上为增函数，所以.所以时，也满足题设条件.（9分）综上可知，满足题设的的取值范围为，所以实数的最小值为.（10分）考点：1、导数在函数研究中的应用；2、极端不等式的恒成立为题；3、裂项相消法及不等式的放缩.【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求得的值；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）的结论确定函数的解析式，再结合构造函数并对其求导以及分类讨论研究函数的单调性，进而可求得在上恒成立时实数的最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论并结合裂项相消法以及不等式的放缩法即可证得所需结论.922514 57F2 埲36356 8E04 踄\24747 60AB 悫=h31082 796A 祪$33230 81CE 臎h36440 8E58 蹘22237 56DD 囝25362 6312 挒38142 94FE 链。

2021年高三第二次模拟考试数学(理)

2021年高三第二次模拟考试数学（理）xx.04本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在中，“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.集合{}{}13,4A x x B y y x =+≤==≤≤，则下列关系正确的是 A.=R B. C. D.4.已知双曲线的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.5.已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：①若，则；②若；③若；④若.A.①②B.②③C.①④D.②④6.设，则二项式展开式中的项的系数为A. B.20 C. D.1607.已知函数（x ＞），当时，取得最小值.则在直角坐标系中，函数的大致图象为8.有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为A. B.C. D.429.已知＜.若＜恒成立，则的取值范围是A. B.C. D.10.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为A. B. C. D.11.定义在R 上的函数的导函数为,已知是偶函数，＜0.若x 1＜x 2,且＞2，则的大小关系是A.＜B.C.＞D.不确定12.某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额.那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数可表示为A. B.C. D.第II 卷（非选择题共90分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.、二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.如图，在1,3,,60,=ABC O BC AB AC AB AC AO ∆===中，为中点，若则 ________.14.某市为增强市民的节约粮食意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第四组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示若用分层抽样的方法从第3，4，5组中共抽取了12名志愿者参加10月16日的“世界粮食日”宣传活动，则从第4组中抽取的人数为__________.15.在中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若，，则角B=__________.16.如图，椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，上顶点A ，离心率为，点P 为第一象限内椭圆上的一点，若则直线PF 1的斜率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数()22cos cos 22sin cos .44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （I ）求的最小正周期和最大值；（II ）在给出的坐标系中画出函数上的图象，并说明的图象是由的图象怎样变换得到的.18.（本小题满分12分）甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a ，再由乙猜甲写的数字，记为b ，已知，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖.（I ）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；（II ）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X ，求X 的分布列和期望.19.（本小题满分12分）已知正三棱柱，点D 为AC 的中点，点E 在线段AA 1上.（I ）当时，求证；（II ）是否存在点E ，使二面角D —BE —A 等于60°？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）某工厂为扩大大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万年，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.（I ）设第n 年该生产线的维护费用为，求的表达式；（II ）若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线.求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？21.（本小题满分12分）已知定点，B 为x 轴负半轴上的一个动点，动点M 使得，且线段BM 的中点在y 轴上. （I ）求动点M 的轨迹C 的方程；（II ）设EF 为曲线C 的一条动弦（EF 不垂直于x 轴），其垂直平分线与x 轴交于点T （4，0）,当 P=2时，求的最大值.22.（本小题满分14分）已知函数.（I）当的单调区间；（II）若不等式有解，求实数m的取值范围；（III）定义：对于函数在其公共定义域内的任意实数，称的值为两函数在处的差值.证明:当时，函数在其公共定义域内的所有差值都大于2.39214 992E 餮25011 61B3 憳28136 6DE8 淨35365 8A25 訥23671 5C77 屷k25819 64DB 擛39661 9AED 髭A {34387 8653 虓W。

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