2016海淀期末高三数学(理科)
北京市海淀区2016届高三上学期期末考试数学(理)试题【含答案】
EA BCD输出输入开始结束北京市海淀区2015-2016学年度第一学期高三期末理科数学2016．1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知()()11bi i i b R +=-+∈，则b 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i - 2．抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ） A ．10,2⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()0,1-C ．()0,2-D ．()0,4- 3．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE =+λμ，则-λμ的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．3-4．某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输出的a 值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．已知数列12345:,,,,A a a a a a ，其中{}1,0,1,1,2,3,4,5i a i ∈-=， 则满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有（ ）A ．15个B ．25个C ．30个D ．356．已知圆()22:24C x y -+=，直线1:l y =，2:1l y kx =-若12l l ，被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为（ ） A B．1 C ．12D7．若x y ，满足+20400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2||z y x =-的最大值为（ ）A ．8-B ．4-C ．1D ．28．已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线'AB AD AA 、、所成角都相等的直线条数为m ，过点A 与三个平面．．''AB AC AD 、、所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是（ ） A ．11m n ==， B ．41m n ==， C ．34m n ==， D ．44m n ==，主视图左视图俯视图二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2016届高三海淀一模理科数学试卷·与答案解析-无水印
11．在三个数
1 1 ， 2 2 ， log 3 2 中，最小的数是_______． 2
12．已知双曲线 C ：
π x2 y 2 2 1 的一条渐近线 l 的倾斜角为 ，且 C 的一个焦点到 l 的距离 2 3 a b
为 3 ，则 C 的方程为_______．
13．如图，在三角形三条边上的 6 个不同的圆内分别填入数字 1，2，3 中的一个．
【解 解析】因为 f x 为偶函数 数，则 f 2 π f 2 π ， 即 cos 2 π b sin n 2 π a ，
π s a ， 则 cos b sin a cos 2
即b a 则a
π 3π 2kπ k Z 或 b a 2kπ k Z ， 2 2
3 2 sin 60
① ②
又 C 的一个焦点到 的 到 l 的距离为 3 ，如图知 知c 由①② ②及 a 2 b2 c 2 知 a 1 ， b 3 ， y2 1. 故双曲 曲线 C 的方程 程为 x 2 3
渐渐渐
A O c F
13. 4,6 【解 解析】⑴因为 为每条边上的 的三个数字之和 和为 4，这三 三个数只能从 从 1，2，3 中 中取 ∴这 这三个数只可 可能为 1，1，2 则不 不同的填法有 有
π π ， b 满足 满 . 6 3
8．B 【解 解析】理论上 上 5 台机器各自 自效益最大时 时，效益总值 值达到最大 17+23+14+11 但由于 1 1+15=80，但 甲、乙 乙、戊之间最 最大效益的工 工作安排会相互 互冲突，所以 以 5 台机器 器无法达到最 最大值 80.这样 17+2 22+14+11+15=79. 样最大值最大 大可取 79， 并且 且我们给出唯 唯一一个 79 的构造： 此时， ，答案选 B 9. 3
北京市海淀区2016届高三二模数学(理科)试题及答案
北京市海淀区高三年级二模数学（理科）2016.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知全集=U R ，{|1},{|2},M x x P x x =≤=≥ 则()U M P = ðA.{|12}x x <<B.{|1}x x ≥C.{|2}x x ≤D.{|12}x x x ≤≥或 2.在数列{}n a 中，12a =，且1(1)n n n a na ++=，则3a 的值为 A.5 B.6 C.7 D.83. 若点(2,4)P 在直线1,:3x t l y at =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）上，则a 的值为A.3B.2C.1D.1-4.在ABC ∆中，34cos ,cos ,55A B == 则sin()A B -=A.725-B.725C.925-D.9255.在5()x a +(其中0a ≠)的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为 A.2- B.1- C. 1 D.26.函数()ln 1f x x x =-+的零点个数是A.1个B.2个C.3个D.4个 7. 如图，在等腰梯形ABCD 中，8,4,4AB BC CD ===. 点P 在线段AD 上运动，则||PA PB +的取值范围是A.[6,4+B.C. D.[6,12] 8.直线1:10l ax y a+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论： ① 11,2AOB a S ∆∀≥=； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥<则所有正确结论的序号是DCABPA.①②B.②③C.①③D.①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2016年北京市海淀区高三一模理科数学试卷含答案
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为（ ）A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为（ ）A ．－1B ．1C ．－ID ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（ ）A ．52B ．3C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝（ ）A ．1 BCD ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A ．,44a b ππ==- B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==r r ，若a b r rP ，则t ＝ _______．10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______．11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝_______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-=（Ⅰ）求函数 f (x)的最小值； （Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g(x)的切线。
2016-2017年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)
2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．32．（5分）在极坐标系中，点（1，）与点（1，）的距离为（）A．1 B．C．D．3．（5分）如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．94．（5分）已知向量，满足，（）=2，则=（）A．﹣ B．C．﹣2 D．25．（5分）已知直线l经过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l的方程可以是（）A．y=﹣B．y=C．y=2x﹣D．y=﹣2x+6．（5分）设x，y满足，则（x+1）2+y2的最小值为（）A．1 B．C．5 D．97．（5分）在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（）A．14 B．16 C．18 D．208．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A．[0，1]B．[，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知复数z（1+i）=2，则z=．10．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是．（用数字作答）11．（5分）若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．（5分）已知圆C：x2﹣2x+y2=0，则圆心坐标为；若直线l过点（﹣1，0）且与圆C相切，则直线l的方程为．13．（5分）已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．①若f（0）=1，则φ=；②若∃x∈R，使f（x+2）﹣f（x）=4成立，则ω的最小值是．14．（5分）已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，给出下列命题：①f（x）的最大值为2；②f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0；③f（x）的任何一个极大值都大于1．其中，所有正确命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为．（1）求b的值；（2）求tanA的值．16．（13分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（14分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O 是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得∠A，OB=120°，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线．（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．18．（13分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：上的两点．（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直径的圆经过点A，求直线l的方程．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．20．（13分）对于无穷数列{a n}，{b n}，若b i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a1，a2，…，a k}（k=1，2，3，…），则称{b n}是{a n}的“收缩数列”，其中max{a1，a2，…，a k}，min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大数和最小数．已知{a n}为无穷数列，其前n项和为S n，数列{b n}是{a n}的“收缩数列”．（1）若a n=2n+1，求{b n}的前n项和；（2）证明：{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n=（n=1，2，3，…），求所有满足该条件的{a n}．2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1．故选：B．2．（5分）在极坐标系中，点（1，）与点（1，）的距离为（）A．1 B．C．D．【解答】解：点（1，）与点（1，）的距离，即点（，）与点（﹣，）的距离为，故选：B．3．（5分）如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24﹣16=8，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16﹣8=8，不满足条件a≠b，输出a的值为8．故选：C．4．（5分）已知向量，满足，（）=2，则=（）A．﹣ B．C．﹣2 D．2【解答】解：向量，满足+2=，即++=，∴+=﹣，又（）=2，∴﹣•=2，∴=﹣2．故选：C．5．（5分）已知直线l经过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l的方程可以是（）A．y=﹣B．y=C．y=2x﹣D．y=﹣2x+【解答】解：直线l经过双曲线的焦点（，0），渐近线方程为：y=，选项C、D错误；焦点坐标代入选项A正确，选项B错误．故选：A．6．（5分）设x，y满足，则（x+1）2+y2的最小值为（）A．1 B．C．5 D．9【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（x+1）2+y2的几何意义是区域内的点到定点A（﹣1，0）的距离的平方，由图象知A到直线x+y﹣2=0的距离最小，此时距离d==，则距离的平方d2=（）2=，故选：B．7．（5分）在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（）A．14 B．16 C．18 D．20【解答】解：红色用1次，有6种方法，红色用2次，有10种方法，红色用3次，有4种方法，共20种，故选D．8．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A．[0，1]B．[，]C．[1，2]D．[，2]【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知复数z（1+i）=2，则z=1﹣i．【解答】解：由（1+i）z=2，得，故答案为：1﹣i．10．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是15．（用数字作答）【解答】解：设通项公式为，整理得C6r x12﹣3r，因为是常数项，所以12﹣3r=0，所以r=4，故常数项是c64=15故答案为15．11．（5分）若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体，正方体的体积为：2×2×2=8，四棱锥的体积为：×2×2×2=，故组合体的体积V=8﹣=，故答案为：12．（5分）已知圆C：x2﹣2x+y2=0，则圆心坐标为（1，0）；若直线l过点（﹣1，0）且与圆C相切，则直线l的方程为y=±（x+1）．【解答】解：圆C：x2﹣2x+y2=0，可化为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），设直线l的方程为y﹣0=k（x+1），即kx﹣y+k=0，圆心到直线的距离d==1，∴k=±，∴直线l的方程为y=±（x+1），故答案为（1，0），y=±（x+1）13．（5分）已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．①若f（0）=1，则φ=；②若∃x∈R，使f（x+2）﹣f（x）=4成立，则ω的最小值是．【解答】解：①∵由已知可得2sinφ=1，可得：sinφ=，∴可得：φ=2kπ+，或φ=2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=．②∵∃x∈R，使2sin[ω（x+2）+φ]﹣2sin（ωx+φ）=4成立，即：sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）=2，∴∃x∈R，使ωx+2ω+φ=2k1π+，ωx+φ=2k2π+，k∈Z，∴解得：ω=k1π﹣k2π﹣，k1，k2∈Z，又∵ω＞0，|∴ω的最小值是．故答案为：，．14．（5分）已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，给出下列命题：①f（x）的最大值为2；②f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0；③f（x）的任何一个极大值都大于1．其中，所有正确命题的序号是①②③．【解答】解：由→0，故当x=0时，f（x）的最大值为2，故①正确；函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；其零点关于原点对称，故f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0，故②正确；当cosπx取极大值1时，函数f（x）=e﹣|x|+cosπx取极大值，但均大于1，故③正确；故答案为：①②③三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为．（1）求b的值；（2）求tanA的值．【解答】（本题满分为13分）解：（1）∵c=2a，B=120°，△ABC面积为=acsinB=．∴解得：a=1，c=2，∴由余弦定理可得：b===．（2）∵a=1，c=2，b=，∴cosA==，∴tanA==．16．（13分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．【解答】解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：=×=91%．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）=，∴X的分布列为：EX==2．（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，后继一周都有提升．17．（14分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O 是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得∠A，OB=120°，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线．（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】解：（1）∵DC∥OB，DC⊄平面A1OB，OB⊂平面A1OB∴DC∥平面A1OB，∵m为平面A1DC与平面A1OB的交线，∴DC∥m；（2）由题意，A1D在平面A1OB中的射影为A1O，∴OG⊥A1O，∴A1G=2A1O=4；（3）△A1OB中，A1B==2，∵A 1D=DB=2，∴==，设O到平面A1DB的距离为h，则，∴h=，∵A1O=2，∴直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值=．18．（13分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：上的两点．（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直径的圆经过点A，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆G过A（0，2），B（3，1），∴，解得，则=，∴椭圆G的离心率e==；（2）由（1）得，椭圆G的方程是，①当直线的斜率不存在时，则直线BC的方程是x=3，代入椭圆G的方程得，C（3，﹣1），不符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为k，C（x1，y1），则直线BC的方程为y=k（x﹣3）+1，由得，（3k2+1）x2﹣6k（3k﹣1）x+27k2﹣18k﹣3=0，∴3+x1=，3x1=，则x1=，∵以BC为直径圆经过点A，∴AB⊥AC，则，即（3，﹣1）•（x1，y1﹣2）=0，∴3x1﹣y1+2=0，即3x1﹣[k（x1﹣3）+1]=0，∴（3﹣k）x1+3k+1=0，（3﹣k）•+3k+1=0，化简得，18k2﹣7k﹣1=0，解得k=或k=，∴直线BC的方程为y=（x﹣3）+1或y=（x﹣3）+1，即直线BC的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0，综上得，直线l的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣﹣1得：f′（x）=，（x＞0），由已知曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）=﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a=0存在大于0的实数根，∵y=x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）=，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）=及题设得：g′（x）==，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）=﹣a﹣1＜0，取x=e，显然e＞1，f（e）=﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）=0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）=0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．20．（13分）对于无穷数列{a n}，{b n}，若b i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a1，a2，…，a k}（k=1，2，3，…），则称{b n}是{a n}的“收缩数列”，其中max{a1，a2，…，a k}，min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大数和最小数．已知{a n}为无穷数列，其前n项和为S n，数列{b n}是{a n}的“收缩数列”．（1）若a n=2n+1，求{b n}的前n项和；（2）证明：{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n=（n=1，2，3，…），求所有满足该条件的{a n}．【解答】解：（1）由a n=2n+1可得{ a n}为递增数列，所以b n=max{ a1，a2，…，a n}﹣min{ a1，a2，…，a n}=a n﹣a1=2n+1﹣3=2n﹣2，故{ b n}的前n项和为（2n﹣2）n=n（n﹣1）（2）因为max{ a1，a2，…，a n}≤max{ a1，a2，…，a n+1}，因为min{ a1，a2，…，a n}≥min{ a1，a2，…，a n+1}，所以max{ a1，a2，…，a n+1}﹣min{ a1，a2，…，a n+1}≥max{ a1，a2，…，a n}﹣min{ a1，a2，…，a n}，所以b n+1≥b n，又因为b n=a1﹣a1=0，所以max{ b1，b2，…，b n}﹣min{ b1，b2，…，b n}=b n﹣b1=b n，所以{ b n}的“收缩数列”仍是{ b n}，（3）由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*），若a1＜a3＜a2，则b3=a2﹣a1，所以由（*）可得a3=a2与a3＜a2矛盾，若a3＜a1≤a2，则b3=a2﹣a3，所以由（*）可得a3﹣a2=3（a1﹣a3），所以a3﹣a2与a1﹣a3同号，这与a3＜a1≤a2矛盾；若a3≥a2，则b3=a3﹣a2，由（*）可得a3=a2，猜想：满足S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1的数列{ a n}是，a n=，a2≥a1，经验证：左式=S1+S2+…+S n=na1+[1+2+…+（n﹣1）]=na1+n（n﹣1）a2，右式=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1=n（n+1）a1+n（n﹣1）（a2﹣na1）=na1+n （n﹣1）a2下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述n≤3的情况可知，n≤3，a n=，a2≥a1是成立的，假设a k=是首次不符合a n=，a2≥a1的项，则a1≤a2=a3=…=a k﹣1≠a k 由题设条件可得（k2﹣k﹣2）a2+a k=k（k﹣1）a1+k（k﹣1）b k（*），若a1＜a k＜a2，则由（*）可得a k=a2与a k＜a2矛盾，若a k＜a1≤a2，则b k=a2﹣a k，所以由（*）可得a k﹣a2=k（k﹣1）（a1﹣a k），所以a k﹣a2与a1﹣a k同号，这与a k＜a1≤a2矛盾；所以a k≥a2，则b k=a k﹣a1，所以由（*）化简可得a k=a2，这与假设a k≠a2相矛盾，所以不存在数列不满足a n=，a2≥a1的{a n}符合题设条件。
2016届北京市海淀区高三下学期期末考试(二模)数学(理科)
2016届北京市海淀区高三下学期期末考试（二模）数学（理科）一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知全集，，，则A. B.C. D. 或2. 在数列中，，且，则的值为A. B. C. D.3. 若点在直线为参数上，则的值为A. B. C. D.4. 在中，，，则A. B. C. D.5. 在其中的展开式中，的系数与的系数相同，则的值为A. B. C. D.6. 函数的零点个数是A. B. C. D.7. 如图，在等腰梯形中，，，，点在线段上运动，则的取值范围是A. B. C. D.8. 直线与，轴的交点分别为，，直线与圆的交点为，，给出下面三个结论：，；，；，．其中，所有正确结论的序号是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 巳知，其中为虚数单位，，则 ______．10. 某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成频率分布直方图（如图），这名学生中参加实践活动时间在小时内的人数为______．11. 如图，、、是上的三点，点是劣弧的中点，过点的切线交弦的延长线于点，若，则 ______．12. 若点在不等式组所表示的平面区域内，则原点到直线的距离的取值范围是______．13. 已知点，，，若这三个点中有且仅有两个点在函数的图象上，则正数的最小值为．14. 正方体的棱长为，点、、分别是棱，，的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高 ______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数（1）比较，的大小；（2）求函数的最大值．16. 某空调专卖店试销、、三种新型空调，销售情况如下表所示：<br>\（\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline&第一周&第二周&第三周&第四周&第五周\\\hlineA型数量\left（台\right）&11&10&15&A_4&A_5\\\hlineB型数量\left（台\right）&10&12&13&B_4&B_5\\\hlineC型数量\left（台\right）&15&8&12&C_4&C_5\\\hline\end{array}\]\）<br>（1）求型空调前三周的平均周销售量；（2）根据型空调前三周的销售情况，预估型空调五周的平均周销售量为台，当型空调销售量的方差最小时，求，的值；（注：方差，其中为，，，的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中型空调台数的分布列及数学期望．17. 如图，等腰梯形中，，于，于，且，．将和分别沿，折起，使，两点重合，记为点，得到一个四棱锥，点，，分别是，，的中点．（1）求证： 平面；（2）求证：；（3）求直线与平面所成的角的大小．18. 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围；（只需直接写出结果）19. 已知点，，是曲线上的两点，，两点在轴上的射影分别为点，，且．（1）当点坐标为时，求直线的斜率；（2）记的面积为，梯形的面积为，求证：．20. 已知集合，其中，，称为的第一个个坐标分量，若，且满足如下两条性质：中元素个数不少于个；，，，存在，使得，，的第个坐标分量是；则称为的一个好子集．（1）为的一个好子集，且，，写出，；（2）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过；（3）若为的一个好子集，且中恰有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．答案第一部分1. A2. B3. D4. B5. C6. A7. C8. C第二部分9.10.11.12.13.14.第三部分15. （1）因为，所以，，因为，所以．（2）因为令，，所以，因为对称轴，根据二次函数性质知，当时，函数取得最大值．16. （1）型空调前三周的平均销售量台．（2）因为型空调平均周销售量为台，所以．又，化简得到因为，所以当或时，取得最小值，所以当或时，取得最小值．（3）依题意，随机变量的可能取值为，，，，随机变量的分布列为<br>\（\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hlineX&0&1&2\\\hlineP&\dfrac{5}{12}&\dfrac{11}{24}&\dfrac{1}{8}\\\hline\end{array}\]\）<br>随机变量的期望．17. （1）连接，．在中，因为，分别是所在边的中点，所以且，又且，所以且．所以是平行四边形，所以，又平面，平面，所以 平面．（2）在平面内，过点作的平行线，因为，，，所以平面，所以平面，所以．又在中，因为，所以．以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，所以，，，，所以，，所以，所以．（3）因为，所以，即，又，所以平面，所以就是平面的法向量．又，设与平面所成的角为，则有．所以与平面所成的角为．18. （1）函数的定义域为．当时，．当变化时，，的变化情况如下表：<br>\（\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&\left（-\infty，-2\right）&-2&\left（-2，-1\right）&-1&\left（-1，+\infty\right）\\\hline f'\left（x\right）&+&0&-&0&+\\\hlinef\left（x\right）&↗&极大值&↘&极小值&↗\\\hline\end{array}\]\）<br>函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为 .（2）因为在区间上有解，所以在区间上的最小值小于等于，当时，显然，而成立，因为，令，得，，当时，对成立，所以在上单调递增，此时在上的最小值为，所以有，解得，所以．综上， .（3）的取值范围是 .19. （1）因为，所以代入，得到，又，所以，所以，代入，得到，所以．（2）设直线的方程为 . 设直线与轴交于点．则，由，得，所以又，又注意到，所以，．所以，因为，所以，所以 .20. （1）；（2）对于，考虑元素，显然，，，，对于任意的，，，不可能都为，可得，不可能都在好子集中，又因为取定，则一定存在且唯一，而且，且由的定义知道，，，，这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素个数为，所以中元素个数不超过．（3），定义元素，的乘积为：，显然 . 我们证明：“对任意的，，都有.”假设存在，使得，则由知，此时，对于任意的，不可能同时为，矛盾，所以．因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为．下面再证明的唯一性：若还有，即中所有元素的坐标分量都为，所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾.所以结论成立．。
北京市海淀区2016届高三数学下学期期末练习(二模)试题-理
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知全集=U R ，{|1},{|2},M x x P x x =≤=≥ 则()UM P =A.{|12}x x <<B.{|1}x x ≥C.{|2}x x ≤D.{|12}x x x ≤≥或 2.在数列{}n a 中，12a =，且1(1)n n n a na ++=，则3a 的值为 A.5 B.6 C.7 D.83. 若点(2,4)P 在直线1,:3x t l y at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）上，则a 的值为A.3B.2C.1D.1-4.在ABC ∆中，34cos ,cos ,55A B == 则sin()A B -=A.725-B.725C.925-D.9255.在5()x a +(其中0a ≠)的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为 A.2- B.1- C. 1 D.26.函数()ln 1f x x x =-+的零点个数是A.1个B.2个C.3个D.4个 7. 如图，在等腰梯形ABCD 中，8,4,4AB BC CD ===. 点P 在 线段AD 上运动，则||PA PB +的取值范围是A.[6,43]+B.[42,8]C.[43,8]D.[6,12] 8.直线1:10l ax y a+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论： ① 11,2AOB a S ∆∀≥=； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥<则所有正确结论的序号是 A.①② B.②③DCABPC.①③D.①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2016届高三(一模)数学 理
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()f x =A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 ABCD5．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 BCD ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ== 8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t == ，若a b，则t ＝ _______．10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。
北京市海淀区2016届高三一模数学(理)试题【含答案】
北京海淀区高三年级2015-2016学年度第二学期期中练习数学试卷（理科）2016.4一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．函数()21x f x =-的定义域为（ ）A ．[)0+∞，B ．[)1+∞，C ．(]0-∞，D ．(]1-∞， 2．某程序的框图如图所示，若输入的z i =（其中i 为虚数单位）， 则输出的S 值为（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．若x y 、满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（ ）A ．52 B ．3 C ．72D ．4 4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ） A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列” 是“n n n N S na *∀∈=，”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在极坐标系中，圆1:2cos C =ρθ与圆2:2sin C =ρθ相交于A B 、两点，则AB =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．27．已知函数()()()sin 0cos 0x a x f x x b x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，，是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A ．44a b ==-，ππB ．236a b ==，ππC ．36a b ==，ππD ．5263a b ==，ππ8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ） A ．甲只能承担第四项工作 B ．乙不能承担第二项工作 C ．丙可以不承担第三项工作 D ．丁可以承担第三项工作二、填空题：共6小题，每小题5分，共30 分．9．已知向量()()1,,9a t b t ==， ，若//a b ，则t =_______． 10．在等比数列{}n a 中，22a =，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数12312log 22-， ， 中，最小的数是_______．12．已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字123， ， 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在00a b >>，，满足：[]x t a t b ∀∈-+，，使得()()2f x f t -≤，则记a b +的最大值为()H t ．（ⅰ）当()2f x x =时，()0=H _______．（ⅱ）当()2f x x =且[]1,2t ∈时，函数()H t 的值域为_______．三、解答题：共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且13AD DB =．记ACD ∠=α，BCD ∠=β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ； （Ⅱ）若1962AB ===，，ππαβ，求BC 的长．16．（本小题满分13分）2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株，记这2株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M N 、分别为线段PB PC 、上的点，MN PB ⊥．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P B 、重合时，M N D A 、、、四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当2PA AB ==，二面角C AN D --的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数()1ln 1f x x x =+-，()1ln x g x x-= （Ⅰ）求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y x =不是曲线()y g x =的切线．19．（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，椭圆C 与y 轴交于A B 、两点，且2AB =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线PA PB 、与直线4x =分别交于N N 、两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于E F 、两点，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．20．（本小题满分13分）给定正整数()3n n ≥，集合{}1,2,,n U n =⋅⋅⋅．若存在集合A B C 、、，同时满足下列条件： ①n U AB C =，且A B B C C A ===∅；②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；③集合A B C 、、中各元素之和分别记为A B C S S S 、、，有A B C S S S ==； 则称集合n U 为可分集合．（Ⅰ）已知8U 为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A B C 、、； （Ⅱ）证明：若n 是3的倍数，则n U 不是可分集合； （Ⅲ）若n U 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案DABC数学（理科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
北京市海淀区2016届高三一模数学理科
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为 A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。
北京市海淀区2016届高三二模数学理科试题
随机变量 X 的分布列为
X
p
0
1
2
5 12
11 24
1 8
随机变量 X 的期望 E ( X ) 0
5 11 1 17 1 2 . 12 24 8 24
…………………13分
2/9
17解: （Ⅰ）证明：连结 NG，NE .
在 MCD 中，因为 N , G 分别是所在边的中点，所以
(2km 4) 2 4k 2 m 2 16 16km 0 4 2km 所以 x1 x2 k2 m2 x x 1 2 k2
…………………7分
| AD | 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 | x1 x2 | 2 1 k 2
1 1 ，所以 0 a . 2 2 1 2
…………………11分
综上， a ( , ] . （Ⅲ） a 的取值范围是 a 2 .
…………………12分 …………………14分
19解：（Ⅰ）因为 B (1,0) ，所以 A(1, y1 ), 代入 y 2 4 x ，得到 y1 2 ， 又 | BC | 2 ，所以 x2 x1 2 ，所以 x2 3 ，
又 DE P CF ，所以 NK P CF ，所以 NKFC 在一个平面中. 因为 EMF 是等边三角形，所以 EM FK , 又 DE EM ，所以 NK EM , 且 NK I FK K ， 所以 EM 平面 NKFC ， 而 CN 平面 NKFC ,
3/9
…………………6分
因为 16 16km 0 ，所以 0 km 1 , 所以 法二：设直线 AD 的方程为 y kx m .
S1 km 1 . S2 4 4
2016年北京市海淀区高三一模理科数学试卷含答案
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷〔理科〕2016.4本试卷共4 页,150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题,每小题5 分,共40 分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为〔 〕A ．［0,＋∞〕B ．［1,＋∞〕C ．〔－∞,0］D ．〔－∞,1］2．某程序的框图如图所示,若输入的z ＝i 〔其中i 为虚数单位〕,则输出的S 值为〔 〕 A ．－1B ．1C ．－ID ．i3．若x ,y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则12z x y =+的最大值为〔 〕A ．52B ．3C ．72D ．4 4．某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为〔 〕A ．33B ．32C ．233D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,则"{}n a 为常数列"是"*,n n n N S na ∀∈="的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中,圆C 1:2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A,B 两点,则｜AB ｜＝〔 〕A ．1B ．2C ．3D ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数,则下列结论可能成立的是〔 〕A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则下列叙述正确的是〔 〕 A ．甲只能承担第四项工作 B ．乙不能承担第二项工作 C ．丙可以不承担第三项工作 D ．丁可以承担第三项工作 二、填空题共6 小题,每小题5 分,共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==,若a b ,则t ＝ _______．10．在等比数列{}n a 中,a 2＝2,且131154a a +=,则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中,最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π,且C 的一个焦点到l则C 的方程为_______．13．如图,在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1,2,3 中的一个． 〔ⅰ〕当每条边上的三个数字之和为4 时,不同的填法有_______种； 〔ⅱ〕当同一条边上的三个数字都不同时,不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ,对于实数t ,若存在a ＞0,b ＞0 ,满足：[,]x t a t b ∀∈-+,使得|()()|f x f t -≤2,则记a ＋b 的最大值为H 〔t 〕．〔ⅰ〕当 ()f x ＝2x 时,H 〔0〕＝_______．〔ⅱ〕当()f x 2x =且t [1,2]∈时,函数H 〔t 〕的值域为_______．三、解答题共6 小题,共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．〔本小题满分13 分〕 如图,在△ABC 中,点D 在边 AB 上,且13AD DB =．记∠ACD ＝α,∠BCD ＝β． 〔Ⅰ〕求证：sin 3sin AC BC βα=； 〔Ⅱ〕若,,1962AB ππαβ===,求BC 的长．16．〔本小题满分13 分〕2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日,我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前,国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本,每株提取的青蒿素产量〔单位：克〕如下表所示：〔Ⅰ〕根据样本数据,试估计山下试验田青蒿素的总产量；〔Ⅱ〕记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ,22s ,根据样本数据,试估计21s 与22s 的大小关系〔只需写出结论〕；〔Ⅲ〕从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株,记这2 株的产量总和为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望． 17．〔本小题满分14 分〕如图,在四棱锥P －ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,点M ,N 分别为线段PB,PC 上的点,MN ⊥PB ． 〔Ⅰ〕求证： BC ⊥平面PAB ；〔Ⅱ〕求证：当点M 不与点P ,B 重合时,M ,N ,D , A 四个点在同一个平面内； 〔Ⅲ〕当PA ＝AB ＝2,二面角C －AN －D 的大小为3π时,求PN 的长． 18．〔本小题满分13 分〕 已知函数f <x> ＝ln x ＋1x －1,1()ln x g x x-=〔Ⅰ〕求函数 f <x>的最小值； 〔Ⅱ〕求函数g<x>的单调区间；〔Ⅲ〕求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g<x>的切线. 19．〔本小题满分14 分〕已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>椭圆C 与y 轴交于A , B 两点,且｜AB ｜＝2．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕设点P 是椭圆C 上的一个动点,且点P 在 y 轴的右侧．直线PA,PB 与直线x ＝ 4分别交于M,N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E,F,求点P 横坐标的取值范围与｜EF ｜的最大值． 20．〔本小题满分13 分〕给定正整数n<n ≥3>,集合{}1,2,,n U n =⋅⋅⋅．若存在集合A,B,C,同时满足下列条件： ① U n ＝A ∪B ∪C ,且A ∩B ＝B ∩C ＝A ∩C ＝∅；②集合A 中的元素都为奇数,集合B 中的元素都为偶数,所有能被3 整除的数都在集合C 中〔集合C 中还可以包含其它数〕；③集合A,B,C 中各元素之和分别记为S A ,S B ,S C ,有S A ＝S B ＝S C ；则称集合U n 为可分集合． 〔Ⅰ〕已知U 8为可分集合,写出相应的一组满足条件的集合A,B,C ； 〔Ⅱ〕证明：若n 是3 的倍数,则U n 不是可分集合； 〔Ⅲ〕若U n 为可分集合且n 为奇数,求n 的最小值． 〔考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效〕海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学〔理科〕 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、选择题〔本大题共8小题,每小题5分,共40分〕二、填空题〔本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,DABC共30分〕三、解答题<本大题共6小题,共80分> 15．解：〔Ⅰ〕在ACD ∆中,由正弦定理,有sin sin AC ADADC α=∠ 在BCD ∆中,由正弦定理,有sin sin BC BDBDC β=∠因为πADC BDC ∠+∠=,所以sin sin ADC BDC ∠=∠ 因为13AD DB =, 所以sin 3sin AC BC βα=〔Ⅱ〕因为π6α=,π2β=,由〔Ⅰ〕得πsin32π23sin 6AC BC == 设2,3,0AC k BC k k ==>,由余弦定理, 代入,得到222π1949223cos 3k k k k =+-⋅⋅⋅, 解得1k =,所以3BC =.16解: <I>由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据,得样本平均数 则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为100400S x ==g〔Ⅱ〕比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差21s 和22s ,结果为21s >22s . 〔Ⅲ〕依题意,随机变量ξ可以取7.27.488.28.69.4，，，，，,[23,4]1(7.2)4P ξ==, 1(7.4)8P ξ== 1(8)4P ξ==, 1(8.2)8P ξ== 1(8.6)8P ξ==, 1(9.4)8P ξ==随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的期望111111()7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888E ξ=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯.17解:〔Ⅰ〕证明：在正方形ABCD 中,AB BC ⊥,因为PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD , 所以PA BC ⊥. 因为ABPA A =,且AB ,PA ⊂平面PAB ,所以BC ⊥平面PAB〔Ⅱ〕证明：因为BC ⊥平面PAB ,PB ⊂平面PAB , 所以BC PB ⊥在PBC ∆中,BC PB ⊥,MN PB ⊥, 所以MNBC .在正方形ABCD 中,AD BC , 所以MN AD ,所以 MN AD ，可以确定一个平面,记为α 所以,,,M N D A 四个点在同一个平面α内〔Ⅲ〕因为PA ⊥平面ABCD ,,AB AD ⊂平面ABCD ,所以PA AB ⊥,PA AD ⊥.又AB AD ⊥,如图,以A 为原点,,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -, 所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P .设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =,平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =,设PN PC λ=, [0,1]λ∈,因为(2,2,2)PC =-,所以(2,2,22)AN λλλ=-,又(0,2,0)AD =,所以00AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩,取1z =, 得到1(,0,1)n λλ-=, 因为(0,0,2)AP =,(2,2,0)AC =所以00AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即20220c a b =⎧⎨+=⎩,取1a =得, 到(1,1,0)m =-,因为二面C AN D --大小为3π, 所以π1|cos ,|cos 32m n <>==, 所以1|cos ,|2||||2m n m n m n⋅<>=== 解得12λ=, 所以PN= 18解: 〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞,当x 变化时,'()f x ,()f x 的变化情况如下表：函数()f x 在(,)+∞0上的极小值为1()ln1101f a =+-=,所以()f x 的最小值为0〔Ⅱ〕解：函数()g x 的定义域为(0,1)(1,)+∞,由〔Ⅰ〕得,()0f x ≥,所以'()0g x ≥所以()g x 的单调增区间是(0,1),(1,)+∞,无单调减区间.〔Ⅲ〕证明：假设直线y x =是曲线()g x 的切线.设切点为00(,)x y ,则0'()1g x =,即00201ln 11ln x x x +-=又000001,ln x y y x x -==,则0001ln x x x -=. 所以000011ln 1x x x x -==-, 得0'()0g x =,与 0'()1g x =矛盾 所以假设不成立,直线y x =不是曲线()g x 的切线 19解：〔Ⅰ〕由题意可得,1b =,2c e a ==, 得22134a a -=, 解24a =,椭圆C 的标准方程为2214x y +=. 〔Ⅱ〕设000(,)(02)P x y x <≤,(0,1)A ,(0,1)B -,所以001PA y k x +=,直线PA 的方程为0011y y x x +=-, 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+, 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+, 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-, 线段MN 的中点04(4,)y x , 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-, 令0y =,则222002016(4)(1)4y xx x -+=-,因为220014x y +=,所以 2020114y x -=-, 所以28(4)50x x -+-=, 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解,所以 0850x ->,解得08(,2]5x ∈.设交点坐标12(,0),(,0)x x ,则12||x x -=0825x <≤〕 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法二：〔Ⅱ〕设000(,)(02)P x y x <≤,(0,1)A ,(0,1)B -,所以001PA y k x +=,直线PA 的方程为0011y y x x +=-, 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+, 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+, 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-, 若以MN 为直径的圆与x 轴相交,则004(1)[1]y x -+⨯004(1)[1]0y x +-<, 即2000200016(1)4(1)4(1)10,y y y x x x --+-+-< 即2020016(1)810.y x x -+-< 因为 220014x y +=,所以 2020114y x -=-,代入得到 0850x ->,解得08(,2]5x ∈. 该圆的直径为000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|y y x x x -+---,圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-, 该圆在x轴上截得的弦长为8,(2)5x =<≤； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法三：〔Ⅱ〕设000(,)(02)P x y x <≤,(0,1)A ,(0,1)B -, 所以001PA y k x +=,直线PA 的方程为0011y y x x +=-, 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+, 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+, 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-, 所以000004(1)4(1)8||=|+1(1)|=|2|y y MN x x x -+---, 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-, 若该圆与x 轴相交,则 04|1|x ->004||y x , 即2200044(1)()0y x x -->, 因为 220014x y +=,所以2020114y x -=-,所以0850x ->,解得08(,2]5x ∈ 该圆在x轴上截得的弦长为=≤； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法四： 记(20)D ，, (40)H ，,设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -,所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+,BP 的直线方程为0011y y x x +=-,令4x =,分别可得004(1)1y m x -=+,004(1)1y n x +=-, 所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-，若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F ,因为EH MN ⊥, 所以2EH HN HM =⋅,因为 220014x y +=,所以2020114y x -=-,代入得到2EH =20020850x x x -=> 所以08(,2]5x ∈,所以22EF EH ==≤= 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法五：设直线 OP 与4x =交于点T因为//MN y 轴,所以有,,AP AO OP BP BO OP PN TN PT PM TM PT==== 所以AO BO TN TM=,所以TN TM =,所以T 是MN 的中点. 又设000(,)(02)P x y x <≤, 所以直线OP 方程为00y y x x =, 令4x =,得004y y x =, 所以004(4)y T x ， 而041r TN x ==- 若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F 则00044||1y d r x x =<=- 所以220016(4)y x <-因为 220014x y +=,所以2020114y x -=-,代入得到 所以200580x x ->,所以085x >或00x < 因为点002x <≤,所以0825x <≤而EF ==所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.20解：〔I 〕依照题意,可以取{}5,7A =,{}4,8B =,{}1,2,3,6C =〔II 〕假设存在n 是3的倍数且n U 是可分集合.设3n k =,则依照题意{3,6,,3}k C ⋅⋅⋅⊆, 故C S ≥2333632k k k +++⋅⋅⋅+=, 而这n 个数的和为(1)2n n +,故21(1)3322C n n k k S ++=⋅=2332k k +<, 矛盾, 所以n 是3的倍数时,n U 一定不是可分集合<Ⅲ>n =35. 因为所有元素和为(1)2n n +,又B S 中元素是偶数,所以(1)32B n n S +==6m <m 为正整数> 所以(1)12n n m +=,因为,1n n +为连续整数,故这两个数一个为奇数,另一个为偶数 由〔Ⅱ〕知道,n 不是3的倍数,所以一定有1n +是3的倍数.当n 为奇数时,1n +为偶数,而(1)12n n m +=,所以一定有1n +既是3的倍数,又是4的倍数,所以112n k +=,所以*121,n k k =-∈N .定义集合{1,5,7,11,...}D =,即集合D 由集合n U 中所有不是3的倍数的奇数组成,定义集合{2,4,8,10,...}E =,即集合E 由集合n U 中所有不是3的倍数的偶数组成,根据集合,,A B C 的性质知道,集合,A D B E ⊆⊆, 此时集合,D E 中的元素之和都是224k ,而21(1)24232A B C n n S S S k k +====-, 此时n U 中所有3的倍数的和为2(3123)(41)2462k k k k +--=-,2224(242)2k k k k --=,22(242)(246)4k k k k k ---=显然必须从集合,D E 中各取出一些元素,这些元素的和都是2k ,所以从集合{1,5,7,11,...}D =中必须取偶数个元素放到集合C 中,所以26k ≥, 所以3k ≥,此时35n ≥而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =,集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =,集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C =,检验可知,此时35U 是可分集合, 所以n 的最小值为35.。
2016年秋高三(上)期末测试卷(理科数学)试题和参考答案
2016年秋高三(上)期末测试卷(理科数学)试题和参考答案2016年秋高三(上)期末测试卷理科数学一、选择题1.已知$a+2i$，其中$i$是虚数单位，则$ab=b+i$，其中$a$，$b$是实数。
(C)2.已知某品种的幼苗每株成活率为$p$，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为$p^2(1-p)$。
(D)3.已知集合$A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{xy=2x,y\in A\}$，则$A\cap B=\{2\}$。
(A)4.命题$p$：甲的数学成绩不低于100分，命题$q$：乙的数学成绩低于100分，则$p\lor(\neg q)$表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分。
(D)5.在平面直角坐标系$xOy$中，不等式组$\begin{cases}-1\leq x\leq 3\\ x+y-1\geq x-y-1\end{cases}$表示的平面区域的面积为$12$。
(C)6.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣$120$人。
(D)7.执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值得集合为$\{1,3\}$。
(D)8.设曲线$x=2y-y^2$上的点到直线$x-y-2=0$的距离的最大值为$a$，最小值为$b$，则$a-b$的值为$2$。
(B)9.函数$y=\sin x-\frac{1}{2}$的图像大致是$\begin{cases}y=\sin x-\frac{1}{2},-\pi\leq x\leq \pi\\ y=-\frac{1}{2}\end{cases}$。
(A)10.已知$\triangle ABC$的外接圆半径为$2$，$D$为该圆上一点，且$AB+AC=AD$，则$\triangle ABC$的面积的最大值为$4\sqrt{3}$。
(D)A）设定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(2-x)=f(x)，x1+x22>2，x1<x2，则（）B）f(x1)=f(x2)C）f(x1)>f(x2)D）f(x1)与f(x2)的大小不能确定答案：（C）改写后：设在定义在实数集上的函数f(x)的导数为f'(x)，且满足f(2-x)=f(x)，当x1+x22>2，x1f(x2)。
2016年北京市海淀区高三一模理科数学试卷含答案
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为（ ）A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为（ ）A ．－1B ．1C ．－ID ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（ ）A ．52B ．3C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A ．,44a b ππ==- B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______．10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154aa +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝_______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-=（Ⅰ）求函数 f (x)的最小值； （Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g(x)的切线。