高等代数课件北大三版第八章欧氏空间.ppt
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第八讲 欧氏空间
高等代数选讲
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.5
等价. 然后对 D1 ( ) 重复上述讨论.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含
1 的方幂是按逆升幂次排列为止.
再依次对 2 , , r 作同样处理. 最后便得到与 D ( ) 等价的对角阵 D ( ).
结论2、两个同级数字矩阵相似
它们有相同的初等因子.
可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
三、初等因子的求法
1、(引理1)若多项式 f 1 ( ), f 2 ( ) 都与 g 1 ( ), g 2 ( ) 互素，则
f 1 ( ) g 1 ( ),
2
2, 1, 1
得A的不变因子为：
d 3 ( x ) ( 1) ( 2),
2
d 2 ( x ) d 1 ( x ) 1.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，
则它们就有相同的初等因子； 反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有 相同的不变因子.
d 1 ( x ) ( 1 ) d 2 ( x ) ( 1 )
k 11
( 2 )
k 12
( r )
k1 r
, , .
k 21
( 2 )
k 22
( r )
k2 r
d n ( x ) ( 1 )
kn1
( 2 )
f ( ) | f 2 ( ) g 2 ( ),
高等代数 第8章线性变换 8.6 欧式空间的正交变换和对称变换
存在一个角ψ使
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
高等代数课件 第八章
由此得 | | , x12 x22 xn2 （5）
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
高等代数教案第 章欧氏空间
（线性双射），其次，它保持向量的内积不变. 因而欧氏空间的同构映射保持向量的长度不变，保持
第 4 页 共 21 页
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
向量的夹角不变，故它保持几何形状不变. 容易证明，同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性和传递性，因而它是欧氏空间的等.
价关系. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 所以，任意一个 n 维欧氏空 间都与 Rn 同构.
α
cosθ
为向量α
在向量 β
上的投影，称向量 (α , β )
β2
β
是向量α
在向量 β
上的投影向量.
注意，α
在向量 β 上的投影可表示为
α
cosθ
=
(α, β
β
)
=
α
,
β β
，
向量α 在向量 β 上的投影向量亦可以表示为
第 2 页 共 21 页
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
(α, β
（1）σ (α + β ) = σ (α ) + σ (β ) ， （2）σ (kα ) = kσ (α ) ，
（3）(σ (α ),σ (β )) = (α, β ) ，
这里α, β ∈V , k ∈ R ，则称欧氏空间V 与V ′ 同构，称σ 是V 到V ′ 的一个同构映射. 注 两个欧氏空间V 到V ′ 的“同构映射”是指：首先，把V 和V ′ 看成线性空间时它是同构映射
Ⅲ.重点与难点 重点: 内积、欧氏空间的概念，向量的正交性，正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化； 难点: 正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化.
Ⅳ.教学内容
§8.1 欧氏空间的概念
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
向量的夹角不变，故它保持几何形状不变. 容易证明，同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性和传递性，因而它是欧氏空间的等.
价关系. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 所以，任意一个 n 维欧氏空 间都与 Rn 同构.
α
cosθ
为向量α
在向量 β
上的投影，称向量 (α , β )
β2
β
是向量α
在向量 β
上的投影向量.
注意，α
在向量 β 上的投影可表示为
α
cosθ
=
(α, β
β
)
=
α
,
β β
，
向量α 在向量 β 上的投影向量亦可以表示为
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
(α, β
（1）σ (α + β ) = σ (α ) + σ (β ) ， （2）σ (kα ) = kσ (α ) ，
（3）(σ (α ),σ (β )) = (α, β ) ，
这里α, β ∈V , k ∈ R ，则称欧氏空间V 与V ′ 同构，称σ 是V 到V ′ 的一个同构映射. 注 两个欧氏空间V 到V ′ 的“同构映射”是指：首先，把V 和V ′ 看成线性空间时它是同构映射
Ⅲ.重点与难点 重点: 内积、欧氏空间的概念，向量的正交性，正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化； 难点: 正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化.
Ⅳ.教学内容
§8.1 欧氏空间的概念
高等代数 第八章 空间问题.ppt
( gz
q),
(f)
yz zx xy 0
由（d） w (1 )(1 2 ) g (z q )2 B
(g)
2E(1 )
g
为了确定常数B，必须利用位移边界条件。假定半空间体
在距边界为h处没有位移，则由位移边界条件
(w)zh 0 代入
B (1 )(1 2 ) g (h q )2
2E(1 )
g
(h)
w (1 )(1 2 ) [q(h z) g (h2 z2 )]
E(1 )
2
例题 半空间体受重力及均布压力
应力分量和位移分量都已经完全确定，并且所有一切条 件都满足。从而得到的结果是正确解答。
分力
dF 1 d dy
ba
例题
代入半空间体的沉陷公式，对ξ 和y进行积分。
= 2 y2 1/ 2
设k点在矩形之外，则沉陷为：
1 2 xa/ 2 b/ 2
ki
E xa/2 b/2
1 d dy 2 y2
ki
1 2 Ea
考虑其平衡条件
Fz 0, z zz 2 rdr+F=0。
(c)
0
由于轴对称，其余平衡条件自动满足。
例题
半空间体在边界上受法向集中力
布希内斯克解答如下：
ur
1 F
2 ER
rz R2
1
R
2 r
z
uz
1 F
2 ER
2 1
z 轴对称问题
y
z
球对称问题
§8-1 概 述
高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.2
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
一、λ－矩阵的初等变换
定义：
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c；
③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的( )倍， ( )是一个多项式.
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
定义：
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的
矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵.
注： ① 全部初等矩阵有三类：
1
O
P(i, j)
1
0L 1
i行
M 1L 0
j行
1
O 1
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
1
O
1
LL
LL
L L
L L
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
r() L L
[1,i ]
L a11 L
L
(
L
)
L L L
L L L
B( ).
B( ) 的左上角元素 r( )符合引理的要求，
故 B( ) 为所求的矩阵.
ii) 在A( )的第一行中有一个元素 a1i ( )不能被a11( )
对 A( ) 作下述初等行变换:
a11( ) L
A(
)
L
ai1(
L
)
L L
L
a1 j ( ) L
L L
aij ( )
一、λ－矩阵的初等变换
定义：
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c；
③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的( )倍， ( )是一个多项式.
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定义：
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的
矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵.
注： ① 全部初等矩阵有三类：
1
O
P(i, j)
1
0L 1
i行
M 1L 0
j行
1
O 1
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
1
O
1
LL
LL
L L
L L
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
r() L L
[1,i ]
L a11 L
L
(
L
)
L L L
L L L
B( ).
B( ) 的左上角元素 r( )符合引理的要求，
故 B( ) 为所求的矩阵.
ii) 在A( )的第一行中有一个元素 a1i ( )不能被a11( )
对 A( ) 作下述初等行变换:
a11( ) L
A(
)
L
ai1(
L
)
L L
L
a1 j ( ) L
L L
aij ( )
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
高等代数欧氏空间的定义与基本性质
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足 右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)；
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. .. . . ..
欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
定义 √
非负实数 (α, α) 称为向量 α 的长度，（或称范数，或称模）记 为 |α|.
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样 定义的长度符合熟知的性质：
|kα| = |k||α|,
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
欧氏空间的度量
这里，k ∈ αR, α ∈ V. 事实上，
√
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
高等代数欧氏空间的同构
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
(σ(α), σ(β)) = X′Y = (α, β)
定理 两个有限维欧氏空间同构当且仅当它们有相同的维数.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构的性质
σ(α + β) = (X + Y)′ = X′ + Y′ = σ(α) + σ(β); σ(kα) = (kX)′ = kX′ = kσ(α);
(σ(α), σ(β)) = X′Y = (α, β)
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构的性质
σ(α + β) = (X + Y)′ = X′ + Y′ = σ(α) + σ(β); σ(kα) = (kX)′ = kX′ = kσ(α);
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
1 σ(α + β) = σ(α) + σ(β)； 2 σ(kα) = kσ(α)； 3 (σ(α), σ(β)) = (α, β).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
《高等代数》第八章 欧氏空间
ai 1 () = a11() () . 对 A() 作下述初等行变换：
a11()
A(
)
ai1
(
)
a1 j ()
aij ()
a11()
0
a1 j ()
aij () a1 j () ()
的多项式，且
di() | di+1() ( i = 1, 2, … , r-1 ) .
证明 经过行列调动之后，可以使得 A() 的
左上角元素 a11() 0，如果 a11() 不能除尽 A()
的全部元素， 由引理 设可以- 矩找阵到A与(A)(的)左等上价角的元素
B1() ，它的并左且上角A(元)素中b至1(少)有 0一，个并元且素次不数能比被它除
们的乘积是 1 可以推知，它们都是零次多项式， 也就是非零的数 .
证毕
二、举例
例 1 求下列 - 矩阵的秩
2 1
(1) 1
2
1 2 2 1 2 3 2
2 1
1 ;
2
1
(2) 2
1
1
引理 设 - 矩阵A() 的左上角元素 a11() 0
并且 A() 中至少有一个元素不能被它除尽，那么 一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B() ，它的 左上角元素也不为零, 但是次数比 a11() 的次数低.
证明 根据 A() 中不能被 a11() 除尽的元素
所在的位置，分三种情况来讨论：
如此下去，A() 最后就化成了所要求的形式.
a11()
A(
)
ai1
(
)
a1 j ()
aij ()
a11()
0
a1 j ()
aij () a1 j () ()
的多项式，且
di() | di+1() ( i = 1, 2, … , r-1 ) .
证明 经过行列调动之后，可以使得 A() 的
左上角元素 a11() 0，如果 a11() 不能除尽 A()
的全部元素， 由引理 设可以- 矩找阵到A与(A)(的)左等上价角的元素
B1() ，它的并左且上角A(元)素中b至1(少)有 0一，个并元且素次不数能比被它除
们的乘积是 1 可以推知，它们都是零次多项式， 也就是非零的数 .
证毕
二、举例
例 1 求下列 - 矩阵的秩
2 1
(1) 1
2
1 2 2 1 2 3 2
2 1
1 ;
2
1
(2) 2
1
1
引理 设 - 矩阵A() 的左上角元素 a11() 0
并且 A() 中至少有一个元素不能被它除尽，那么 一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B() ，它的 左上角元素也不为零, 但是次数比 a11() 的次数低.
证明 根据 A() 中不能被 a11() 除尽的元素
所在的位置，分三种情况来讨论：
如此下去，A() 最后就化成了所要求的形式.
高等代数课件
变, 即对任意, V，有 (), ()＝, .
18
例1 在欧氏空间V2
中， 是把V2 中任意向量
都沿逆时针方向旋转θ
角的变换，则是正交变换.
19
例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个
平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射，则
是正交变换.
20
定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变
高等代数课件
2008
1
第八章 欧氏空间
8.1 欧氏空间的定义及基本性 质
8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换
8.4 子空间与正交性
8.5 对称矩阵的标准形
2
8.1 欧氏空间的定义及性质
一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离
| |, x 1 2 x 2 2 x n 2
d ( ,) | | ( x 1 y 1 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) 2
12
三. 正交化方法
定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么 可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表 示, k=1,2,…,m.
设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则
n
,i xjj,i xi
j1
因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i
基向量的内积. , x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
18
例1 在欧氏空间V2
中， 是把V2 中任意向量
都沿逆时针方向旋转θ
角的变换，则是正交变换.
19
例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个
平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射，则
是正交变换.
20
定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变
高等代数课件
2008
1
第八章 欧氏空间
8.1 欧氏空间的定义及基本性 质
8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换
8.4 子空间与正交性
8.5 对称矩阵的标准形
2
8.1 欧氏空间的定义及性质
一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离
| |, x 1 2 x 2 2 x n 2
d ( ,) | | ( x 1 y 1 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) 2
12
三. 正交化方法
定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么 可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表 示, k=1,2,…,m.
设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则
n
,i xjj,i xi
j1
因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i
基向量的内积. , x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
欧氏空间的定义与基本性质-PPT
a
a
a
证：在 C(a,b) 中， f ( x)与 g( x) 的内积定义为
b
( f ( x), g( x)) a f ( x)g( x)dx
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有 ( f ( x), g( x)) f ( x) g( x)
从而得证.
3）
三角 不等式
对欧氏空间中的任意两个向量 、 , 有
设
C
cij
nn
C1,C2 ,
,Cn ,
n
则 i cki k , i 1, 2, , n
k 1
于是
n
n
nn
(i , j ) ( cki k , clj l )
( k , l )ckiclj
k 1
l 1
k1 l 1
nn
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
i 1
j1
m
m
(i ,i ) (i , j )
m
i 1
i j
(i ,i ) 1 2 2 2 m 2
i 1
例3、已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
解： , 22 12 32 22 18 3 2 ( , ) 2 1 1 2 3 2 2 1 0 ,
0 ,
定义2：设 、 为欧氏空间中两个向量，若内积
, 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即
cos , 0
.
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
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8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义
8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角
8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
二、教学目的： 1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的
长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ与
b2
f (x)g(x)dx
(x)dx (x)dx.
a
a
a
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.
（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
惠州学院数学系
例8 设 , 为欧氏空间V 中任意两个
非零向量.证明:
(1) a(a 0)当且仅当 , 的夹角为0; (2) a(a 0)当且仅当 , 的夹角为π;
定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于
V中任意一对向量 , 有一个确定的记作 ,
的实数与它们对应，并且下列条件被满足：
1) , , 2) , , , 3) a , a ,
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
第八章 欧氏空间
8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵
课外学习9：实现正交化过程的新方法
在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国 王设置的捷径。 ---欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265)
惠州学院数学系
8.1 向量的内积
一、内容分布
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
惠州学院数学系
例1 在 Rn 里,对于任意两个向量
(x1, x2,..., xn ), ( y1, y2 ,..., yn )
规定 , x1 y1 x2 y2 ... xn yn
容易验证,关于内积的公理被满足,因而 Rn 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间.
我们规定
b
f , g a f (x)g(x)dx.
根据定积分的基本性质可知,内积的公理
1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间.
例4 令H是一切平方和收敛的实数列
(x1, x2,..., xn ), xn2 n 1
所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标
量与向量的乘法:
η的内积<ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间．
3．掌握 , 2 , , 及其它不等式，并会用它来证明另
一些不等式
三、重点难点： 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;
, 2 , , 的灵活运用.
2.不等式
惠州学院数学系
8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义
惠州学院数学系
8.1.3 向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与 1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r 的任意一个线性组合也正交.
惠州学院数学系
思考题1：设 , 是 n 维欧氏空间V 中
两个不同的向量,且 | || | 1,
(a1b1 anbn )2 (a1 an )2 (b1 bn )2 (7) (7)式称为柯西(Cauchy)不等式.
惠州学院数学系
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
f (x), g(x), 有不等式
f g b
b2
例2 在 Rn 里,对于任意向量
(x1, x2,..., xn ), ( y1, y2 ,..., yn )
规定 , x1 y1 x2 y2 ... xn yn
不难验证, Rn 也作成一个欧氏空间.
惠州学院数学系
例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数
所成的向量空间, f (xa1, a2 ), (b1,b2 ) 为向量空间
中任意两向量,证明: R 2 对
, ma1b1 na2b2
作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0.
惠州学院数学系
8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角
定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数
, 的算术根 ,
惠州学院数学系
设 (x1, x2,...), ( y1, y2,), a R.
规定 (x1 y1, x2 y2 ,...); a (ax1, ax2 ,...)
向量 (x1, x2,...), ( y1, y2,) 的内积由公式
, xn yn n1
给出，那么H是一个欧氏空间.
叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号
表示： ,
定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量
,. 有不等式
, 2 , ,
(6)
当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.
惠州学院数学系
定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义：
cos ,
例5 令 R n 是例1 中的欧氏空间.R n中向量 (x1, x2 ,..., xn ) 的长度是
, x12 x22 ... xn2
由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和
任意实数a,有
惠州学院数学系
a a, a a2 , a
注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的绝对值与ξ的长度的乘积.
例 6 考虑例 1 的欧式空间 由不等Rn 式(6)推出,对于任意实数 a1, a2 ,an , b1, b2 ,, bn 有不等式
证明: , 1.
思考题2：在欧氏空间 R n 中,设
i (ai1, ai2 ,, ain )(i 1,2,, n)
两两正交,且 i 的长度
| i | i, A (aij )nn
求 A 的行列式 | A | 的值.
惠州学院数学系
8.2 正交基
一、内容分布
8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念
8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角
8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
二、教学目的： 1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的
长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ与
b2
f (x)g(x)dx
(x)dx (x)dx.
a
a
a
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.
（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
惠州学院数学系
例8 设 , 为欧氏空间V 中任意两个
非零向量.证明:
(1) a(a 0)当且仅当 , 的夹角为0; (2) a(a 0)当且仅当 , 的夹角为π;
定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于
V中任意一对向量 , 有一个确定的记作 ,
的实数与它们对应，并且下列条件被满足：
1) , , 2) , , , 3) a , a ,
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
第八章 欧氏空间
8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵
课外学习9：实现正交化过程的新方法
在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国 王设置的捷径。 ---欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265)
惠州学院数学系
8.1 向量的内积
一、内容分布
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
惠州学院数学系
例1 在 Rn 里,对于任意两个向量
(x1, x2,..., xn ), ( y1, y2 ,..., yn )
规定 , x1 y1 x2 y2 ... xn yn
容易验证,关于内积的公理被满足,因而 Rn 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间.
我们规定
b
f , g a f (x)g(x)dx.
根据定积分的基本性质可知,内积的公理
1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间.
例4 令H是一切平方和收敛的实数列
(x1, x2,..., xn ), xn2 n 1
所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标
量与向量的乘法:
η的内积<ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间．
3．掌握 , 2 , , 及其它不等式，并会用它来证明另
一些不等式
三、重点难点： 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;
, 2 , , 的灵活运用.
2.不等式
惠州学院数学系
8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义
惠州学院数学系
8.1.3 向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与 1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r 的任意一个线性组合也正交.
惠州学院数学系
思考题1：设 , 是 n 维欧氏空间V 中
两个不同的向量,且 | || | 1,
(a1b1 anbn )2 (a1 an )2 (b1 bn )2 (7) (7)式称为柯西(Cauchy)不等式.
惠州学院数学系
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
f (x), g(x), 有不等式
f g b
b2
例2 在 Rn 里,对于任意向量
(x1, x2,..., xn ), ( y1, y2 ,..., yn )
规定 , x1 y1 x2 y2 ... xn yn
不难验证, Rn 也作成一个欧氏空间.
惠州学院数学系
例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数
所成的向量空间, f (xa1, a2 ), (b1,b2 ) 为向量空间
中任意两向量,证明: R 2 对
, ma1b1 na2b2
作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0.
惠州学院数学系
8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角
定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数
, 的算术根 ,
惠州学院数学系
设 (x1, x2,...), ( y1, y2,), a R.
规定 (x1 y1, x2 y2 ,...); a (ax1, ax2 ,...)
向量 (x1, x2,...), ( y1, y2,) 的内积由公式
, xn yn n1
给出，那么H是一个欧氏空间.
叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号
表示： ,
定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量
,. 有不等式
, 2 , ,
(6)
当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.
惠州学院数学系
定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义：
cos ,
例5 令 R n 是例1 中的欧氏空间.R n中向量 (x1, x2 ,..., xn ) 的长度是
, x12 x22 ... xn2
由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和
任意实数a,有
惠州学院数学系
a a, a a2 , a
注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的绝对值与ξ的长度的乘积.
例 6 考虑例 1 的欧式空间 由不等Rn 式(6)推出,对于任意实数 a1, a2 ,an , b1, b2 ,, bn 有不等式
证明: , 1.
思考题2：在欧氏空间 R n 中,设
i (ai1, ai2 ,, ain )(i 1,2,, n)
两两正交,且 i 的长度
| i | i, A (aij )nn
求 A 的行列式 | A | 的值.
惠州学院数学系
8.2 正交基
一、内容分布
8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念