第六章 平面向量与复数

第六章 平面向量与复数, 第32课 向量的概念与线性运算激活思维1. (必修4P 67练习4改编)化简：AB →＋CD →＋DA →＋BC →＝________．2. (必修4P 62习题5改编)判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a|＝|b |，则a ＝b ；③若|a|>|b|，则a>b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的个数是________．3. (必修4P 57习题2改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”成立的________条件．(第4题)4. (必修4P 60例1改编)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝________． 5. (必修4P 68习题10改编)在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 的形状是________．知识梳理1. 向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的________(或模)． 2. 几个特殊的向量(1) 零向量：____________，记作____，其方向是任意的． (2) 单位向量：________________________．(3) 平行向量：________________________，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线．(4) 相等向量：________________________． (5) 相反向量：________________________． 3. 向量的加法(1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是____________的对角线所对应的向量．(2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以____________为起点，即由第一个向量的起点指向____________的向量为和向量．4. 向量的减法将两个已知向量平移到公共起点，差向量是________的终点指向________的终点的向量．注意方向指向被减向量．5. 向量的数乘实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下： (1) |λa |＝________．(2) 当λ>0时，λa 的方向与a 的方向________； 当λ<0时，λa 的方向与a 的方向________； 当λ＝0时，λa ＝______．注：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算． 6. 两个向量共线定理向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .课堂导学向量的线性运算如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是对角线AC 上的点，且AN →＝3NC →，设AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 分别表示AM →，MN →.(例1)(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，若以向量AB →与AC →为基底，则EB →＝________．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x)AC →，则x 的取值范围是________．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1) 设PG →＝λPQ →，试将OG →用λ，OP →，OQ →表示出来；(2) 设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，求证：1x ＋1y为定值．(例2)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ→＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m＝________．(变式)向量的平行和共线问题已知非零向量a 和b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2) 若k a ＋b 和a ＋k b 共线，求实数k 的值．已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k的值为________．已知点C 在△OAB 的边AB 所在的直线上，OC →＝mOA →＋nOB →，求证：m ＋n ＝1.课堂评价1. 下列命题中为真命题的是________．(填序号)①对任意的两个向量a ，b ，向量a －b 与b －a 是相反向量； ②在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；③在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ④在△ABC 中，AB →－AC →＝BC →.2. 已知在△ABC 中，点D ，E 分别为AC ，AB 上的点，且DA ＝2CD ，EB ＝2AE ，若BC →＝a ，CA →＝b ，则以a ，b 为基底表示DE →＝________．3. 已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列各式：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的是________．(填序号)4. 已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________．5. 如图，在△OCB 中，已知A 是BC 的中点，D 是OB 上一点，且OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1) 用a 和b 分别表示向量OC →，DC →； (2) 若OE →＝λOA →，求实数λ的值．(第5题), 第33课 平面向量的基本定理及坐标运算激活思维1. (必修4P 76习题4改编)如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ∈R ，则下列说法中正确的有________．(填序号)①若λ，μ满足λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0；②对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe 1＋μe 2成立的实数λ，μ有无数对；③线性组合λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量；④当λ，μ取不同的值时，向量λe 1＋μe 2可能表示同一向量．2. (必修4P 82习题6改编)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．3. (必修4P 87习题1改编)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，那么|2a ＋3b |＝________．4. (必修4P 73习题6改编)已知点A(1，－3)和向量a ＝(3，4)，若AB →＝2a ，则点B 的坐标为__________．5. (必修4P 79练习4改编)已知平行四边形ABCD 的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，那么顶点D 的坐标为________．知识梳理1. 平面向量的基本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使得______________________，其中不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．2. 平面向量的坐标形式在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对平面内任意一个向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝__________(向量的分量表示)，记作a ＝(x ，y )(向量的坐标表示)，其中x 叫作a 的横坐标，y 叫作a 的纵坐标．3. 平面向量的坐标运算(1) 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________，a －b ＝____________，λa ＝____________．(2) 若A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么AB →的坐标为____________．课堂导学_平面向量基本定理的应用问题提出：平面向量的基本定理是研究向量的基础，也是高考常考的知识点，如何运用平面向量基本定理解决有关问题是向量复习的重点．(典型示例)● 典型示例如图，在△ABC 中，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，且AE 与CD 交于点P.已知存在实数λ和μ使AP →＝λAE →，PD →＝μCD →，AB →＝a ，BC →＝b .(1) 求λ和μ的值； (2) 试用向量a ，b 表示BP →.【思维导图】【规范解答】(1) 因为AB →＝a ，BC →＝b ，所以AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b ，所以AP →＝λAE →＝λ⎝⎛⎭⎫a ＋23b ，DP →＝μDC →＝μ⎝⎛⎭⎫13a ＋b . 又AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →，所以23a ＋μ⎝⎛⎭⎫13a ＋b ＝λ⎝⎛⎭⎫a ＋23b ， 所以⎩⎨⎧λ＝23＋13μ，μ＝23λ， 解得⎩⎨⎧λ＝67，μ＝47.(2) 由题图知BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b . ● 总结归纳(1) 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算；(2) 特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．● 题组强化1. 在△ABC 中，BD →＝2DC →，若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2的值为________．2. (2017·连云港三校联考)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．3. 如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC→(λ∈R )，则λ的值为________．(第3题)4. 如图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y＝________．(第4题)5. 若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →.(1) 求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2) 若点N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值．平面向量的坐标运算已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1) 求3a ＋b －3c ；(2) 求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值； (3) 求点M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．已知AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1) 求线段BD 的中点M 的坐标；(2) 若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值．, __利用平面向量的坐标表示解综合问题)在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，求5λ＋3μ的最大值．(2018·南京学情调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为________．如图，给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.点C 在以O 为圆心的AB︵上移动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．(变式2)课堂评价1. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 为线段DC 的中点，AM 交BD 于点Q ，若AQ →＝λAD →＋μAC →，则λ＋μ＝________．(第1题)2. 设D ，E 分别为△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1＋λ2的值为________．3. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点，F 为边AB 上的点，且AB →＝3AF →，若AD →＝xAF →＋yAE →，x ，y ∈R ，则x ＋y 的值为________．(第3题)4. 已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(5，－3)，OC →＝(4－m ，m ＋2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足条件________．5. 在平面直角坐标系中，给定△ABC ，M 为BC 的中点，点N 满足AN →＝2NC →，点P 满足AP →＝λAM →，BP →＝μBN →.(1) 求λ与μ的值；(2) 若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－2)，(5，2)，(－3，0)，求点P 的坐标．, 第34课 平面向量的平行与垂直激活思维1. (必修4P 82习题8改编)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)．若a ∥b ，则实数λ＝__________．2. (必修4P 81练习2改编)已知向量a ＝(5，12)，b ＝(sin α，cos α)，若a ∥b ，则tan α＝________．3. (必修4P 99本章测试改编)设x ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(3，－2)，若a ⊥b ，则x ＝________．4. (必修4P 97复习题改编)已知向量a ＝(－3，4)，向量b ∥a ，且|b |＝1，那么b ＝________．5. (必修4P 97复习题10改编)已知向量a ＝(－3，1)，b ＝(1，－2)，若(－2a ＋b )⊥(k a ＋b )，则实数k ＝________．知识梳理1. 向量的夹角已知两个非零向量a 与b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则________叫作向量a 与b 的夹角，夹角θ的取值范围为________．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；当θ＝90°时，则称向量a 与b ________．2. (1) 两个向量平行的充要条件：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0，则a ∥b ⇔______________．(2) 两个非零向量垂直的充要条件：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔____________________．课堂导学向量的平行(共线)问题平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)． (1) 求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(2) 若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．向量的垂直问题已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1) 计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2) 当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?(2018·北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.(1) 求证：a ⊥b ；(2) 若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )．与向量平行、垂直有关的综合问题已知向量a ＝(sin α，－2)，b ＝(1，cos α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1) 问：向量a ，b 能平行吗？请说明理由； (2) 若a ⊥b ，求sin α和cos α的值； (3) 在(2)的条件下，若cos β＝1010，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求α＋β的值．(2018·苏州暑假测试)在平面直角坐标系中，设向量m ＝(3cos A ，sin A )，n ＝(cos B ，－3sin B )，其中A ，B 为△ABC 的两个内角．(1) 若m ⊥n ，求证：C 为直角； (2) 若m ∥n ，求证：B 为锐角．课堂评价1. (2017·南京学情调研)设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b .若a ∥c ，则实数x 的值是________．2. 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，－2)，若(a －2b )⊥c ，则实数k ＝________．3. 已知向量a ＝(2x －1，－1)，b ＝(2，x ＋1)，a ⊥b ，则实数x ＝________．4. (2017·新海中学)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________．5. (2018·姜堰、泗洪联合调研)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，3，b ＝(1，4cos α)，α∈(0，π)． (1) 若a ⊥b ，求tan α的值； (2) 若a ∥b ，求α的值．, 第35课 平面向量的数量积激活思维1. (必修4P 81习题2改编)已知向量a 与向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，那么向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________．2. (必修4P 88练习4改编)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则实数x ＝________．3. (必修4P 89习题2改编)已知向量a ，b 的夹角为120°，||a ＝1，||b ＝3，那么||5a －b ＝________．4. (必修4P 88练习4改编)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，且a·b ＝10，则|a －b |＝________．5. (必修4P 81习题13改编)若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为__________．知识梳理1. 两个向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中|b |·cos θ称为______________．规定：零向量与任一向量的数量积为0.2. 两个向量的数量积的性质设a 与b 是非零向量，θ是a 与b 的夹角．(1) 若a 与b 同向，则a ·b ＝|a ||b |；若a 与b 反向，则a ·b ＝________．特别地，a ·a ＝|a |2. (2) a ·b ＝0 ⇔________． (3) cos θ＝________． 3. 数量积的运算律 (1) 交换律：a ·b ＝b ·a .(2) 数乘结合律：(λa )·b ＝a ·(λb )． (3) 分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 4. 向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝________，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．5. 求向量模的公式设a ＝(x ，y )，则|a |2＝a 2＝a ·a ＝x 2＋y 2或|a |＝________． 6. 两点间距离公式设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝________． 7. 向量的夹角公式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ≠0，b ≠0，a 与b 夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 228. 向量垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________．课堂导学利用向量的数量积求向量的模(2018·南京、盐城、连云港二模)如图，在△ABC 中，已知边BC 的四等分点依次为D ，E ，F.若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为________．(例1)(2018·苏州暑假测试)已知平面向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，若|a ＋b |＝52，则|b |的值是________．在平行四边形ABCD 中，AC →·AD →＝AC →·BD →＝3，则线段AC 的长为________．_利用向量的数量积求向量的夹角(1) (2017·扬州中学)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．(2) 若两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．(1) (2017·苏北四市期末)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________．(2) 已知a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，那么实数λ的取值范围是________．向量数量积的综合应用问题提出：向量的数量积是高考中的C 级要求．江苏高考对平面向量的考查侧重基本概念与基本计算的考查．重点是向量的数量积运算，要关注解题过程中数形结合思想的运用．● 典型示例如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M ，N 分别为线段OP ，OQ 的中点，A 为PQ ︵上任意一点，则AM →·AN →的取值范围是________．(典型示例)【思维导图】【答案】⎣⎡⎦⎤32，52(典型示例(1))【规范解答】方法一：如图(1)，以点O 为坐标原点，OQ 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎫－12，32，N(1，0)，由题意可设点A(2cos θ，2sin θ)，其中0≤θ≤2π3，所以AM →＝⎝⎛⎭⎫－12－2cos θ，32－2sin θ，AN →＝(1－2cos θ，－2sin θ)，所以AM →·AN →＝⎝⎛⎭⎫－12－2cos θ(1－2cos θ)＋⎝⎛⎭⎫32－2sin θ(－2sin θ) ＝72－cos θ－3sin θ＝72－2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3，其中0≤θ≤2π3. 因为0≤θ≤2π3，所以－π3≤θ－π3≤π3，所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤1， －2≤－2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤－1，32≤72－2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤52，即AM →·AN →的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，52.(典型示例(2))方法二：如图(2)，连接OA ，设∠AOQ ＝α，则∠AOP ＝2π3－α，其中0≤α≤2π3，AM →·AN →＝(OM →－OA →)·(ON →－OA →)＝OM →·ON →－OA →·OM →－OA →·ON →＋OA →2＝1×1×cos2π3－2cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α－2cos α＋4＝72－2cos α－2⎝⎛⎭⎫cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α ＝72－cos α－3sin α＝72－2cos ⎝⎛⎭⎫α－π3，其中0≤α≤2π3. 因为0≤α≤2π3，所以－π3≤α－π3≤π3，所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫α－π3≤1，－2≤－2cos ⎝⎛⎭⎫α－π3≤－1， 32≤72－2cos ⎝⎛⎭⎫α－π3≤52，即AM →·AN →的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，52. 【精要点评】对于求平面向量数量积的问题，常规思路一是通过建立平面直角坐标系求解，思路二是利用平面向量内的同一组基底来求解．一般地，对于特殊的图形往往通过前者求解．● 总结归纳解决此类问题的步骤如下：(1) 选择适当的两向量作为基底(基底一般选择长度已知的向量、互相垂直的向量、夹角已知的向量)→利用平面向量基本定理把题中所有向量用基底表示→用向量的数量积公式；(2) 建立平面直角坐标系(图形为矩形、直角三角形、等腰三角形、圆等优先考虑建系)→写出所有点的坐标→代入数量积的坐标公式求解．● 题组强化1. (2017·宿迁中学)已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|＝________．2. 已知O 是△ABC 的外心，AB ＝6，AC ＝10，若AO →＝xAB →＋yAC →，且2x ＋10y ＝5，则cos ∠BAC ＝________．3. (2017·南京三模)在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝5，则四边形ABCD 的面积为________．4. (2018·南通、泰州一调)如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ ＝45°，则AP →·AQ → 的最小值为________．(第4题)5. (2018·常州期末)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，BC ＝3，P 为△ABC 内一点(含边界)，若满足BP →＝14BA →＋λBC →(λ∈R )，则BA →·BP →的取值范围为________．课堂评价1. 若a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·(a ＋b )＝________．2. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．3. 如图，已知在等边三角形ABC 中，AB ＝3，BD ＝1，则AD →·AB →＝________．(第3题)4. 已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________．5. 已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点． (1) 若α－β＝π6，λ＝1，求向量OA →与OB →的夹角；(2) 若|BA →|≥2|OB →|对任意的实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．, 第36课 复 数激活思维1. (选修22P 110练习1改编)复数⎝⎛⎭⎫1＋i 1－i 2＝________．2. (选修22P 105习题2改编)已知复数z ＝(m 2＋m)＋(m 2－2m －3)i (m ∈R )是一个纯虚数，那么m ＝________．3. (选修22P 108练习5改编)在复平面内，若复数z 满足(z －2)i ＝4＋i ，则复数z 的模为________．4. (选修22P 109练习1改编)复数z ＝3－i3＋i 在复平面内对应的点所在的象限为第________象限．5. (选修22P 110习题1改编)设复数z 满足z(2＋3i )＝6－4i ，则z 的模为________．知识梳理1. 复数的概念形如z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a 称为实部，b 称为虚部．当________时，z 为虚数，当________且________时，z 为纯虚数．2. 两个复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )⇔____________． 3. 复数的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )． (1) 复数的加减法：z 1±z 2＝____________． (2) 复数的乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝__．(3) 复数的除法：若z 2≠0，则z 1÷z 2＝____________________________________． 4. 复数模的几何意义(1) z ＝a ＋b i ⇔点Z(a ，b)⇔向量OZ →； (2) |z|＝a 2＋b 2＝|OZ →|.课堂导学复数的概念及四则运算法则(1) 复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是________．(2) 若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为________．(1) (2018·南通、泰州一调)已知复数z ＝1＋4i1－i，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．(2) (2017·常州期末)已知x ＞0，若(x －i )2是纯虚数，其中i 为虚数单位，则x ＝________．(3) (2018·南京学情调研)若(a ＋b i )(3－4i )＝25(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求（1＋i ）2（3＋4i ）22z 的值．已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)z 为纯虚数．(1) 求复数z ；(2) 若ω＝z2＋i ，求复数ω的模|ω|.,__复数的几何意义)设z∈C，若z2为纯虚数，求z在复平面上对应的点的轨迹方程．(1) 求满足|z－1|＝2的复数z对应的点的轨迹．(2) 求满足等式|z－i|＋|z＋i|＝3的复数z对应的点的轨迹．课堂评价1. (2017·南京、盐城一模)设复数z满足z(1＋i)＝2，其中i为虚数单位，则z的虚部为________．2. (2018·南京、盐城一模)设复数z＝a＋i(a∈R，i为虚数单位)，若(1＋i)·z为纯虚数，则a的值为________．3. (2018·苏北四市期末)已知复数z＝2＋i2－i(i为虚数单位)，则z的模为________．4. 已知z＝2＋i，其中i为虚数单位，则|z2＋z|＝________．5. 若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝2，则z1＝________．用坐标法解决向量问题在△ABC 中，若BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，则sin A sin C的值为________．【思维引导】解与向量数量积有关的问题，通常有两种思路，第一种思路用定义展开，第二种思路是坐标法，把向量用坐标来表示，通过向量数量积的坐标运算，最终转化为三角形的边角关系，然后借助于正弦、余弦定理来求解．(2017·南京学情调研)在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，AD →＝13AB →.若DB →·DC →＝3，则边AC 的长是________．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，若向量AM →＝14AB→＋mAC →，且AM →的终点M 在△ACD 的内部(不含边界)，则AM →·BM →的取值范围是________．(例2)【思维引导】 根据题设条件，本题采用向量的坐标法运算比较简单，因此，首先建立平面直角坐标系．由AM →＝14AB →＋mAC →可得到点M 的坐标，进而由点M 在△ACD 的内部，得到点M 的坐标所满足的条件，根据此条件就可得到AM →·BM →的取值范围．(2017·常州期末)在△ABC中，∠C＝π4，O是△ABC的外心，若OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________．向量的应用，往往与求模、夹角、面积等有关，如果把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体的坐标，则可将问题转化为向量的坐标运算，从而使问题简化．这样可以避免复杂的逻辑推理，降低思维难度，提高解题的速度和准度．需要注意的是，平面直角坐标系建立是否合适将会直接影响到运算的繁简程度．1. 如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________．(第1题)2. 在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的取值范围是________．3. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________．(第3题)4. (2018·兴化楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校联考)在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AE →·BF →＝1，则AB →·AF →的值为________．5. 已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，若BQ →·CP →＝－32，则实数λ＝________．6. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F.若P 为劣弧EF ︵上的动点，则PC →·PD →的最小值为________．(第6题)7. (2017·扬州期末)已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，求|BQ →|的最小值．8. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为CD 的中点，N 为线段BC 上一点(不包括端点)，若AC →＝λAM →＋μAN →，求1λ＋3μ的最小值．(第8题)。