第六章 平面向量与复数

第六章 平面向量与复数

, 第32课 向量的概念与线性运算

激活思维

1. (必修4P 67练习4改编)化简：AB →＋CD →＋DA →＋BC →

＝________．

2. (必修4P 62习题5改编)判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a|＝|b |，则a ＝b ；③若|a|>|b|，则a>b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的个数是________．

3. (必修4P 57习题2改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”成立的________条件．

(第4题)

4. (必修4P 60例1改编)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →

＝________． 5. (必修4P 68习题10改编)在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →

|，则△ABC 的形状是________．

知识梳理

1. 向量的有关概念

向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的________(或模)． 2. 几个特殊的向量

(1) 零向量：____________，记作____，其方向是任意的． (2) 单位向量：________________________．

(3) 平行向量：________________________，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线．

(4) 相等向量：________________________． (5) 相反向量：________________________． 3. 向量的加法

(1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是____________的对角线所对应的向量．

(2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以____________为起点，即由第一个向量的起点指向____________的向量为和向量．

4. 向量的减法

将两个已知向量平移到公共起点，差向量是________的终点指向________的终点的向量．注意方向指向被减向量．

5. 向量的数乘

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下： (1) |λa |＝________．

(2) 当λ>0时，λa 的方向与a 的方向________； 当λ<0时，λa 的方向与a 的方向________； 当λ＝0时，λa ＝______．

注：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算． 6. 两个向量共线定理

向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .

课堂导学

向量的线性运算

如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是对角线AC 上的点，且AN →

＝

3NC →，设AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 分别表示AM →，MN →.

(例1)

(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，若以向

量AB →与AC →为基底，则EB →

＝________．

在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →

，点O 在线段CD 上(与点

C ，

D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x)AC →

，则x 的取值范围是________．

如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共

线．

(1) 设PG →＝λPQ →，试将OG →用λ，OP →，OQ →

表示出来；

(2) 设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →

，求证：1x ＋1y

为定值．

(例2)

如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ

→

＝nOB →

，m ，n ∈R ，则1n ＋1m

＝________．

(变式)

向量的平行和共线问题

已知非零向量a 和b 不共线．

(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2) 若k a ＋b 和a ＋k b 共线，求实数k 的值．

已知e 1，e 2是夹角为2

3

π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k

的值为________．

已知点C 在△OAB 的边AB 所在的直线上，OC →＝mOA →＋nOB →

，求证：m ＋n ＝1.

课堂评价

1. 下列命题中为真命题的是________．(填序号)

①对任意的两个向量a ，b ，向量a －b 与b －a 是相反向量； ②在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →

＝0；

③在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →

)＝0； ④在△ABC 中，AB →－AC →＝BC →

.

2. 已知在△ABC 中，点D ，E 分别为AC ，AB 上的点，且DA ＝2CD ，EB ＝2AE ，若BC →

＝a ，CA →＝b ，则以a ，b 为基底表示DE →

＝________．

3. 已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →

＝b ，给出下列各式：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →

＝0.其中正确的是

________．(填序号)

4. 已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________．

5. 如图，在△OCB 中，已知A 是BC 的中点，D 是OB 上一点，且OD →＝2DB →

，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →

＝b .

(1) 用a 和b 分别表示向量OC →，DC →

； (2) 若OE →＝λOA →

，求实数λ的值．

(第5题)