组合数学 12集合的排列与组合-课件·PPT
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组合数学中的排列与组合计数法
组合数学中的排列与组合计数法在我们的日常生活和各种科学领域中，排列与组合计数法是一个非常重要的概念。
它帮助我们解决许多与数量计算、可能性分析相关的问题。
想象一下，在安排座位、挑选礼物、组织比赛等场景中，我们都在不知不觉地运用着排列与组合的知识。
首先，让我们来理解一下什么是排列。
简单来说，排列就是从给定的元素集合中选取一定数量的元素，并按照一定的顺序进行排列。
举个例子，如果我们有三个字母A、B、C，那么从中选取两个进行排列，就有 AB、BA、AC、CA、BC、CB 这六种情况。
这里的顺序是重要的，AB 和 BA 被视为不同的排列。
计算排列的数量可以使用排列数公式。
如果从 n 个不同元素中取出m 个元素进行排列，排列数记作 A(n, m) ，其计算公式为：A(n, m) ＝n! ／（n m)！。
这里的“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
接下来，我们看看组合。
组合与排列不同的是，组合只关注选取的元素，而不考虑它们的顺序。
比如还是从 A、B、C 三个字母中选取两个字母的组合，就只有 AB、AC、BC 这三种情况。
因为在组合中，AB 和 BA 被视为同一种情况。
组合数记作 C(n, m) ，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！。
排列和组合在实际问题中的应用非常广泛。
比如在抽奖活动中，如果有 100 个人参加，要从中抽取 5 个获奖者，这就是一个组合问题，因为获奖者的顺序并不重要。
但如果要给这 5 个获奖者分别颁发一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖和鼓励奖，那么这就变成了一个排列问题，因为奖项的顺序是有区别的。
再比如，在密码学中，排列和组合也发挥着重要作用。
假设我们要设置一个 8 位数字的密码，每位数字可以是 0 到 9 中的任意一个，那么总共可能的密码数量就是一个排列问题。
因为密码的每一位数字的顺序都是至关重要的。
高中数学 1.2.2 组合1课件 新人教A版必修1
Anm
Cnm Am m
C
m n
Anm Amm
形成结论
公式
C n m
A n m A m m
n (n1 )(n2 ) (nm1 ) m !
( m，n∈N*，m≤n) 叫做组合数公式，
这个公式如何用阶乘形式表示？
Cnm
n! m!(n m)!
典例讲评
例1 一位教练的足球队共有17名初级学 员，他们中以前没有一人参加过比赛，按 照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上 场队员是11人，问： （1）这位教练从这17名学员中可以形成多
m
时n ，计算
2
C比nn计m算 较方C 便nm .
课堂小结
2.利用组合数性质
Cn m1 Cn m，可C 以n m对1组合数进行合成
与分解，对于组合数的求和问题，要结 合数列的思想方法求解.
作业： P25练习：6. P27习题1.2A组：9，10，11，12.
C
2 10
45
A120 90
典例讲评
例3 在100件产品中有98件合格品， 2 件次品，从这100件产品中任意抽取3件. （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰有1件是次品的抽法 有多少种？ （3）抽出的3件至少有1件是次品的抽法 有多少种？
(1)C1300 161700(2)C2 1 C9 28 9506
C 2 2 0
(2 ) C n 32
2 C n 22
C n 1 2 . C
3 n
典例讲评
例5 证明：
C n 1 2 C n 2 3 C n 3 C n 0 C n 1 C n 2
n C n n C n n1Leabharlann C n 21课堂小结
高二数学人选修课件时组合与组合数公式
02 03
案例二
假设有一个边长为1的正方形区域，任意投掷一个点，求 该点落在正方形内切圆内的概率。根据二维几何概型的计 算方法，内切圆的面积为π/4，正方形的面积为1，因此该 事件的概率为π/4。
案例三
假设有一个半径为1的球体，任意投掷一个点，求该点落 在球体内接正方体内的概率。根据三维几何概型的计算方 法，内接正方体的体积为2/√3，球体的体积为4π/3，因 此该事件的概率为(2/√3) / (4π/3) = √3/(2π)。
互斥事件的概率加法公式
若事件A与事件B互斥，则$P(A cup B)=P(A)+P(B)$。
对立事件的概率
若事件A与事件B对立，则$P(A)=1-P(B)$，$P(B)=1-P(A)$。
案例分析
案例一
掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的 点数。求事件A（出现偶数点）的概 率。
案例三
某射手进行射击训练，每次射击命中 目标的概率为0.8，现连续射击5次， 求事件C（至少命中4次）的概率。
A
计算机科学
在算法设计和分析中，组合数学提供了许多有 用的工具和方法，如动态规划、分治法等。
物理学
在量子力学和统计力学中，组合数学用于 描述微观粒子的状态和相互作用。
B
C
化学
在化学中，组合数学可用于计算分子的可能 构型和化学键的组合方式。
生物学
在遗传学和生物信息学中，组合数学用于分 析基因序列的组合和变异情况。
常见问题类型
01
求组合数
直接利用组合数公式进行计算。
02
验证组合数性质Leabharlann 如验证C(n,m) = C(n,n-m)，C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2^n等。
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
21
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
离散数学：认识集合、排列和组合的概念和应用
排列和组合都涉及到从n个元素中取出r个元素的问题，但它们的取法、计算方法和应用场景有所 不同
离散数学在计算机科学中的应用
离散数学在数据结构中的应用：集合论用于描述数据结构的集合性质，图论用于 描述数据结构的图性质。
离散数学在算法设计中的应用：集合论中的计数原理和排列组合原理用于设计算 法，图论中的最短路径算法用于优化算法。
集合是由确定的、不同的元 素所组成的总体。
集合中的元素是有序的，即 集合中的元素有顺序性。
集合可以通过列举法或描述 法进行定义。
列举法：通过一一列举出集合中的元素来表示集合 描述法：通过描述集合中元素的共同特征来表示集合 符号法：使用大括号{}来表示集合，并在大括号内列出集合中的元素
区间法：使用数轴上的区间来表示集合，包括开区间、闭区间和半开半闭区间等
离散数学在现实生活中的应用
离散概率论：离散概率论是离散数学在统计学中的应用，它为统计学提供了理论基础。
离散概率分布：离散概率分布是描述随机事件发生的可能性，例如二项分布、泊松分布等。
离散统计推断：离散统计推断是利用样本数据对总体参数进行估计和推断的方法，例如参数估计、 假设检验等。
离散数据模型：离散数据模型是描述离散数据的数学模型，例如概率图模型、贝叶斯网络等。
排列的应用：在离散数学中，排列的概念被广泛应用于组合数学、图论、逻辑推理等领域。
排列的性质：排列具有可交换性、可结合性和有界性。
排列的定义：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算方法：排列数用符号A(n,m)表示，计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中 "!"表示阶乘。
离散概率论：离散随机事件的数学描述，如掷骰子、抽签等 概率空间：离散随机试验所有可能结果的集合，以及每个结果的概率 离散概率分布：描述离散随机变量取各个可能值的概率 条件概率和独立性：在离散概率论中，条件概率和随机事件的独立性有明确的定义和性质
离散数学在计算机科学中的应用
离散数学在数据结构中的应用：集合论用于描述数据结构的集合性质，图论用于 描述数据结构的图性质。
离散数学在算法设计中的应用：集合论中的计数原理和排列组合原理用于设计算 法，图论中的最短路径算法用于优化算法。
集合是由确定的、不同的元 素所组成的总体。
集合中的元素是有序的，即 集合中的元素有顺序性。
集合可以通过列举法或描述 法进行定义。
列举法：通过一一列举出集合中的元素来表示集合 描述法：通过描述集合中元素的共同特征来表示集合 符号法：使用大括号{}来表示集合，并在大括号内列出集合中的元素
区间法：使用数轴上的区间来表示集合，包括开区间、闭区间和半开半闭区间等
离散数学在现实生活中的应用
离散概率论：离散概率论是离散数学在统计学中的应用，它为统计学提供了理论基础。
离散概率分布：离散概率分布是描述随机事件发生的可能性，例如二项分布、泊松分布等。
离散统计推断：离散统计推断是利用样本数据对总体参数进行估计和推断的方法，例如参数估计、 假设检验等。
离散数据模型：离散数据模型是描述离散数据的数学模型，例如概率图模型、贝叶斯网络等。
排列的应用：在离散数学中，排列的概念被广泛应用于组合数学、图论、逻辑推理等领域。
排列的性质：排列具有可交换性、可结合性和有界性。
排列的定义：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算方法：排列数用符号A(n,m)表示，计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中 "!"表示阶乘。
离散概率论：离散随机事件的数学描述，如掷骰子、抽签等 概率空间：离散随机试验所有可能结果的集合，以及每个结果的概率 离散概率分布：描述离散随机变量取各个可能值的概率 条件概率和独立性：在离散概率论中，条件概率和随机事件的独立性有明确的定义和性质
高中数学 课件：1.2排列与组合1.2.2组合课件
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 组合的概念及其简单应用
【例1】 判断下列问题是排列问题,还是组合问题. (1)从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三 位数共有多少个? (2)从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,然后把这3个数字相加得到 一个和,这样的和共有多少个? (3)从a,b,c,d这4名学生中选2名学生,去完成同一件工作有多少种 不同的选法? (4)规定每两人相互通话一次,5人共通了多少次电话? (5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信? 分析观察取出的元素与顺序有关还是无关,确定是排列问题,还 是组合问题.,是排列问题的有.(填序号)
解析:①无顺序,是组合问题;②2名学生完成两件不同的工作是排
列问题;③单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺
序,是组合问题;④争夺冠亚军是有顺序的,是排列问题.
答案:①③ ②④
123
(2)组合数公式:C������������
=
A������������ A������������
123
【做一做 3】 计算:(1)C2108=
;
(2)C939 + C929=
.
解析:(1)C2108
=
C220
=
A220 A22
=
20×2 19=190.
(2)C939
+
C929
=
C1300
=
A1300 A33
=
1003××929××198=161
700.
答案:(1)190 (2)161 700
A.504 B.729 C.84 D.27 解析:只需从 9 名学生中选出 3 名即可,从而有C93 = AA9333=84 种选法. 答案:C
组合数学课件--第一章第二节 允许重复的组合与不相邻的组合
11
一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置 例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
12
一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置， 剩下的是1的位置。
9
一、序数法
推论 从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
14
一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置 例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
12
一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置， 剩下的是1的位置。
9
一、序数法
推论 从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
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一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
1.2排列与组合PPT课件
C
4 7
⑵
C
7 10
CA (3 )已 知3 2,求 n．
n
n
(4)求 C33n8-n+C231n+n的值.
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方； （2)列出所有冠亚军的可能情况.
解：(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
A 第 二 步 ，3（ 6 ） 个 ； 3
A C A 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 3 4
3 3
4 3 .
A 从 而 3 C A C 4
3
C43 34 3
P3 4
P3 3
如何计算:
m n
-
34
概念讲解 组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
从0到9这十个数字中任取三个数字的排列
A3 10
其中以0为排头的排列数为
A
2 9
.
∴
所求的三位数的个数是
A A 3 10
2 9
1 0 9 8 - 9 8
有约束条件的排列问题
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？
一般地，求从 n个不同元素中取出 m个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 n个不同元素中取出 m个元素
的组合数 C
m n
．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数
A
m n
．
根据分步计数原理，得到： AnmCnmAm m
因此：C n mA A m n m mnn 1 n2 m !nm 1
排列组合ppt课件
排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
组合数学课件--第一章：排列与组合
1.3：排列与组合
1、排列的定义：设A={a1,a2,…,an}是n个不 同的元素的集合，任取A中r个元素按顺序排成一 列，称为从A中取r个的一个排列，r满足0≤r≤n。
(1) (2) (3) (…) (r)
从n个不同的球中取一个球放在第一个盒子中， 从余下的n-1个球中取一个球放在第二个盒子中， ………………………………… 从余下的n-(r-1)个球中取一个放在第r个盒子中。 根据乘法法则： 19 P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
p2
2 a2
... pm
2 am
C (2a1 1,1) C (2a2 1,1) ... C (2am 1,1)
34
练习题
1.13、有n个不同的整数，从中取出两组来， 要求第1组的最小数大于另一组的最大数。 设取的第一组数有a个,第二组有b个,
要求第一组数中最小数大于第二组中最大的， 即只要取出一组m个数(设m=a+b),从大到小 取a个作为第一组,剩余的为第二组。 此时方案数为C(n,m)。 从m个数中取第一组数共有m-1中取法。 (m-1)C(n,m)
17
1.2 一一对应 1 2 5 任给一个序列B{b1,b2,b3,…,bn-2} 1、从A找到最小的不属于B的元素,设为a1,与b1连 接，从A中去掉a1，从B中去掉b1. 2、重复以上过程只到B为空，A中剩余两个 3、连接剩余的两个顶点。
*
18
树的顶点集合为12345
3 4
这棵树对应序列（2，3，2）
****
2
(4)哪些最优？
选用教材
组合数学
(第四版) 卢开澄 卢华明 著
清华大学出版社
组合与组合数公式课件
关系
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
2021学年高中数学1.2排列与组合1.2.2第1课时组合一课件人教A版选修2_3.ppt
命题方向 2
组合数公式
典例 2 (1)计算：①3C38－2C25＋C88；②C91800＋C129090． (2)证明：mCmn ＝nCmn－－11．
[思路分析] (1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化 简，再利用组合数公式展开计算．(2)式子中涉及字母，可 以用阶乘式证明．
[解析] (1)①3C38－2C25＋C88＝3×83× ×72× ×61－2×52× ×41＋1＝149． ②C19080＋C129090＝C2100＋C1200＝1020××199＋200＝5 150． (2)证明：∵左边＝m·m！nn！ －m！＝m－n1·n！－n1－！m！＝n·m－1n－ ！1n－！m！ ＝nCmn－－11＝右边， ∴mCmn ＝nCmn－－11．
(5)是排列问题，因为 3 个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为 A310＝ 720．
『规律总结』 1.组合的特点是只选不排，即组合只是 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．
2．只要两个组合的元素完全相同，不管顺序如何，这两 个组合就是相同的组合．
3．判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序 有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
B．14 D．14 或 2
[解析]
由题意知2x＝x－24x－≤41，4，或x2＝x－144－ ≤124x，－4，
x≤14
x≤14，
解得 x＝4 或 6．
(C )互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向 1
组合概念的理解与应用
典例 1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并 求出相应的排列数或组合数．
新课标导学
数学
选修2-3 ·人教A版
第一章
计数原理 1.2 排列与组合
排列与组合的概念
排列和组合是数学中常用的两个概念，它们都是研究元素的组合方式的问题，但是在具体的问题中，它们的应用有所不同。
排列是指从给定的元素集合中取出一定数量的元素进行排序，并考虑元素之间的相对顺序。
例如，从A、B、C 中取出两个元素的所有排列为AB、AC、BA、BC、CA、CB。
排列通常用于研究问题中元素之间的顺序关系。
组合是指从给定的元素集合中取出一定数量的元素，不考虑元素之间的相对顺序。
例如，从A、B、C 中取出两个元素的所有组合为AB、AC、BC。
组合通常用于研究问题中元素之间的组合关系。
需要注意的是，在排列和组合中，元素的选择是有顺序的。
排列考虑的是元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
排列和组合是组合数学中的两个基本概念，它们在概率论、统计学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
高中数学理科基础知识讲解《112排列与组合》教学课件
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考点3
对点训练3(1)(2019河北邢台模拟,6)某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1,2,3的三个实验室实习,若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号,则不同的分配方案的种数为( )A.280 B.455 C.355 D.350(2)(2019湖北郧阳中学、恩施高中、随州二中三校联考,8)学校将5位同学分别推荐到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学参加自主招生考试,则每所大学至少推荐一人的不同推荐的方法种数为( )A.240 B.180 C.150 D.540
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考点3
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考点3
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考点3
1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑:(1)以元素为主,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;(2)以位置为主,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;(3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减不符合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧.(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混合问题要先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价转化.3.不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组.注意各种分组类型中,不同分组方法的求法.
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考点3
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考点3
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考点3
思考求解分组、分配问题的一般思路是什么?解题心得分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配.(1)分组问题属于“组合”问题.①对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以组数的阶乘;②对于部分均分,即若有m组元素个数相同,则分组时应除以m!;③对于不等分组,只需先分组,后排列.(2)分配问题属于“排列”问题.①相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“挡板法”;②不同元素的“分配”问题,利用分步乘法计数原理,分两步完成,第一步是分组,第二步是发放;③限制条件的分配问题常采用分类法求解.
考点3
对点训练3(1)(2019河北邢台模拟,6)某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1,2,3的三个实验室实习,若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号,则不同的分配方案的种数为( )A.280 B.455 C.355 D.350(2)(2019湖北郧阳中学、恩施高中、随州二中三校联考,8)学校将5位同学分别推荐到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学参加自主招生考试,则每所大学至少推荐一人的不同推荐的方法种数为( )A.240 B.180 C.150 D.540
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考点3
1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑:(1)以元素为主,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;(2)以位置为主,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;(3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减不符合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧.(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混合问题要先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价转化.3.不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组.注意各种分组类型中,不同分组方法的求法.
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考点3
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考点3
思考求解分组、分配问题的一般思路是什么?解题心得分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配.(1)分组问题属于“组合”问题.①对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以组数的阶乘;②对于部分均分,即若有m组元素个数相同,则分组时应除以m!;③对于不等分组,只需先分组,后排列.(2)分配问题属于“排列”问题.①相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“挡板法”;②不同元素的“分配”问题,利用分步乘法计数原理,分两步完成,第一步是分组,第二步是发放;③限制条件的分配问题常采用分类法求解.
组合数学_12组合设计
+运算
运算封闭性 结合律 交换律 零元
* 运算
运算封闭性 结合律 交换律 单位元
加减乘除 畅通无阻！
负元
逆元
*对+ 分配律
域的例子：
1、 有理数域 2、 实数域 3、 有限域 ： Zp Galois（伽罗华）指出：有限域的元素个数必为 p n 。 因此，有限域又称伽罗华域，记为 GF( p n ) 例12 例13 GF(5) = Z5 , 在模5下可以定义四则运算。 GF(2) = Z2 , 在模2下可以定义四则运算。 加法就是减法 乘法就是除法 0+0=0；0+1=1，1+0=1，1+1=0 （异或运算） 0*0=0；0*1=0，1*0=0，1*1=1 （与运算） 加法零元：0， -0 = 0；-1=1 乘法单位元：1， 1-1 =1；0 无逆元
比如：（1）27 mod 5=2 （2）36 mod 12=0
（4）-7 mod 10 = 3
（3）-18 mod 14 =10 （余数为-4，-4+14=10） （余数为-7，-7+10=3）
模运算保证了有 限集上四则运算 的封闭性!
整数集 Z 模n后得到 集合 Zn = { 0, 1, 2, 3, … , n-1}
+运算
运算封闭性 结合律 交换律 单位元(零元） 逆元（负元） *对+ 分配律
定义
* 运算
运算封闭性 结合律 交换律*
不能进行 “除法”运 算
Hale Waihona Puke Z10 上的（+, *）运算构成交换环 R = Z10, +,
3、域 ( field )
定义 设G为一非空集合, G上定义了两种二元运算 +： 构成 加法交换群 ： 构成乘法交换群 而且 * 对+ 有分配律 则称代数系统 F= G, +, 为一个域。
运算封闭性 结合律 交换律 零元
* 运算
运算封闭性 结合律 交换律 单位元
加减乘除 畅通无阻！
负元
逆元
*对+ 分配律
域的例子：
1、 有理数域 2、 实数域 3、 有限域 ： Zp Galois（伽罗华）指出：有限域的元素个数必为 p n 。 因此，有限域又称伽罗华域，记为 GF( p n ) 例12 例13 GF(5) = Z5 , 在模5下可以定义四则运算。 GF(2) = Z2 , 在模2下可以定义四则运算。 加法就是减法 乘法就是除法 0+0=0；0+1=1，1+0=1，1+1=0 （异或运算） 0*0=0；0*1=0，1*0=0，1*1=1 （与运算） 加法零元：0， -0 = 0；-1=1 乘法单位元：1， 1-1 =1；0 无逆元
比如：（1）27 mod 5=2 （2）36 mod 12=0
（4）-7 mod 10 = 3
（3）-18 mod 14 =10 （余数为-4，-4+14=10） （余数为-7，-7+10=3）
模运算保证了有 限集上四则运算 的封闭性!
整数集 Z 模n后得到 集合 Zn = { 0, 1, 2, 3, … , n-1}
+运算
运算封闭性 结合律 交换律 单位元(零元） 逆元（负元） *对+ 分配律
定义
* 运算
运算封闭性 结合律 交换律*
不能进行 “除法”运 算
Hale Waihona Puke Z10 上的（+, *）运算构成交换环 R = Z10, +,
3、域 ( field )
定义 设G为一非空集合, G上定义了两种二元运算 +： 构成 加法交换群 ： 构成乘法交换群 而且 * 对+ 有分配律 则称代数系统 F= G, +, 为一个域。
高中组合问题ppt课件
统计学中的组合问题
概率论中的组合问题
在概率论中，组合问题涉及到随机事件的排列和组合。例如，在概率计算中，事件的排列数和组合数 对于计算概率至关重要。
统计学中的组合问题
在统计学中，组合问题常常出现在样本设计和数据分析中。例如，在分层抽样中，需要计算每一层中 应抽取的样本数，这涉及到组合计数的问题。
物理学中的组合问题
组合数学的应用领域
总结词
组合数学在多个领域都有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学、信息理论等领域都有重要的应用。 例如，在计算机科学中，组合数学可用于设计和分析算法，解决诸如搜索、排 序和数据结构等问题。
学习组合数学的意义
总结词
学习组合数学有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
组合恒等式问题
总结词
组合恒等式问题是组合问题中的一类重要问题，主要研究组 合数之间的相互关系和性质。
详细描述
组合恒等式问题涉及到组合数的基本性质和恒等式，如二项 式定理、组合恒等式等，以及这些性质和恒等式的应用。
组合计数问题
总结词
组合计数问题是组合问题中的一类常 见问题，主要研究从n个不同元素中 取出m个元素的不同的取法。
组合数公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]
组合问题与排列问题的区别
排列问题考虑取出元素的顺序，而组合问题不考虑取出元素的顺序 。
组合问题的分类
简单组合问题
有序组合问题
从n个不同元素中取出m个元素，不考虑其 他限制条件。
在取出元素后，需要考虑元素的顺序，如 从4个字母中取出2个字母组成一个单词， 需要考虑单词的拼写顺序。
05
组合问题的求解技巧
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