中考数学重难点专题讲座

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第九讲几何图形的归纳,猜想,证明问题

【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。

第一部分真题精讲

【例1】2010，海淀，一模

如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设∆B D C的面积为S，

2111

∆B D C的面积为S，…，∆B D C的面积为S，则S=；S=____（用3222n+1n n n2n

含n的式子表示）．

B1B2B3B4B5

D1D

2

D3D4……

A C

1C2C

3

C4C5

【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是

∆B AC,∆B AC这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先S所代表的三22332

2

3 3 =

2 3

.接下来通过总结

,我们发现所求的

S = 1 n + 1

角形的底边 C D 是三角形 AC D 的底边,而这个三角形和△ AC B 是相似的.所以边长

2

2 2 2

3 3

的比例就是 AC 与 AC 的比值.于是

2

3

2 3

2 2

三角形有一个最大的共性就是高相等,为 3（连接上面所有的 B 点，将阴影部分放在反过来

的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发

现所有的 B,C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出 D 自然是所在边上的 n+1 等分

n

点.例如 D 就是 B C 的一个三等分点.于是 2 2 2

D C = n + 1 - 1 n n ⋅ 2 (n+1-1 是什么意思?为什么要

减 1?)

S

∆B n +1D n C n

=

1 1 2n 3n D C ⋅ 3 = 3 =

2 n n 2 n + 1 n + 1

【例 2】2010，西城，一模

在平面直角坐标系中，我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形 ABCD 的四个顶点坐标分别是 (-8 ，0) ， (0 ，4) ， (8 ，0) ， (0 ，- 4) ，

则菱形 ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形 A B C D 的四个顶点坐

n n

n

n

标分别为 (-2n ，0) ， (0 ，n ) ， (2n ，0) ， (0 ，- n ) （ n 为正整数），则菱形 A B C D 能覆盖的

n n

n

n

单位格点正方形的个数为_________（用含有 n 的式子表示）．

y

4 B

A -8

O

-4 D

C

8 x

【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是 48（笑）。这里笔

3 5 7 9

第一个梯形上底是 1，下底是 3，所以 S 1 = ⋅ 1 + 3)⋅ 2 = 4 .第二个梯形面积 ⋅ 5 + 7 )⋅ 2 = 12 ,第三个是 S = ⋅ 9 + 11)⋅ 2 = 20 ,至此,我们发现本题中梯形面积数值上 2 2

者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所

以只需求出被 X,Y 轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以 4 即可。比如我们来看第二象

限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为

y = 1

2

x + n ,

斜率 1 意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些 RT 三角形一共有 2n/2=n

2

个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是 1 ?而且这些直角三角形都是全等的 ,面积均

2

为两个单位格点正方形的一半△.那么整个的 AOB 的面积自然就是 1 ⋅ 2n ⋅ n ,所有 n 个空白

2

小三角形的面积之和为

n ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅1 ,相减之后自然就是所有格点正方形的面积 n 2 - n ,也就是

2

数量了.所以整个菱形的正方形格点就是 4n 2 - 4n .

【例 3】2010，平谷，一模

如图， ∠AOB = 45︒ ，过OA 上到点 O 的距离分别为1，，，，，11... 的点作 OA 的垂线与

OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为 S ，S ，S ，S ， ．则第一个黑

1

2

3

4

色梯形的面积 S =

；观察图中的规律，第 n ( n 为 正 整 数 ) 个 黑 色 梯 形 的 面 积

1

S =

．

n

B

S 3

S 2

S 4

S 1

0 1 3 5 7 9 11 13 ...

A

【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为

∠AOB = 45︒ ，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到 0 点的距离,而高则是固定的 2。

1 (

2 S =

2 1 ( 1 ( 3

其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上 4。于是第 n 个梯形的上