不等式的性质和证明

不等式的性质和证明

一、基础知识

1．性质

对称性a＞bÛb＜a 传递性a＞b，b＞c Þ a＞c 加法单调性a＞b Þ a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 Þ ac＞bc；a＞b，c＜0 Þ ac＜bc开方法则a＞b＞0 Þ移项法则a+b ＞c Þ a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d Þ a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 Þ ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 Þ a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 Þ

2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法

证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性

3．主要公式及解题思路

公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R）

a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+）

思路：①

②

③

④正数x，y且x+y=1，求证：≥

二、例题解析

1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（）

A．B．

C．D．

（2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（）

A．x2+y2B．x+y C．2xy D．

（3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥

④≥2中恒成立的个数为（）

A．4B．3C．2D．1

（4）下列函数中，y的最小值是4的是（）

A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10

（5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（）

A. a2+b2+c2＞1

B.ab+bc+ca≥

C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥

2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为

（2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为

（3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5

（4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为

（5）已知：x+2y=1，则的最小值为

（6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为

（7）若x＞0，则，若x＜0，则

（8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。

（9）某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为a，第三年比第二年增长的百分率为b，第四年比第三年增长的百分率为c，设年平均增长的百分率为P，且a+b+c 为定值，则P的最大值为

3．求证：a2+b2≥ab+a+b－1

4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥

5．已知：a，b，c∈R+且a+b+c=1，求证：

（1）≥9（2）≥ （3）ab+bc+ca≤

6．实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数。

7．当0＜x＜1时，求下列函数的最大值。

（1）y=x（1－x）（2）y=x（1－x）2 （3）y=x2（1－x）（4）y=x（1－x2）

8．某种汽车购买时费用为10万元，每年的保险、养路、汽车费用共计9千元，汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，问这种汽车最多使用多少年报废最合算？（即使用多少年的年平均费用最小）