不等式的性质和证明
不等式的性质与不等式证明
经济中的不等式问题
总结词
经济中的不等式问题涉及到资源的分配和优化，需要运用不等式性质和数学模型来解决。
详细描述
在经济中，不等式问题经常出现在生产计划、资源配置、市场分析等领域。例如，在生产计划中，比较不同生产 方案的成本和效益；在资源配置中，比较不同投资项目的回报率和风险；在市场分析中，比较不同产品的市场份 额和销售量。解决这类问题需要运用不等式性质和数学模型，如线性规划、整数规划等。
物理中的不等式问题
总结词
物理中的不等式问题涉及到物理量的比较和推理，需要运用物理原理和不等式性质来解 决。
详细描述
在物理中，不等式问题经常出现在力学、热学、电磁学等领域。例如，在力学中，比较 不同物体的速度、加速度和力的大小；在热学中，比较不同温度、压力和热量的大小； 在电磁学中，比较不同电场、磁场和电流的大小。解决这类问题需要运用物理原理和不
01
02
03
代数恒等式
利用代数恒等式进行证明， 如平方差公式、完全平方 公式等。
代数不等式
通过代数运算和变换，将 不等式转化为更易于证明 的形式。
放缩法
通过放缩不等式的两边， 使不等式更容易证明。
几何证明方法
面积法
利用几何图形的面积关系 证明不等式，如三角形面 积与边长关系。
体积法
利用几何体的体积关系证 明不等式，如球体体积与 半径关系。
函数图像法
利用函数图像的性质和变 化趋势证明不等式。
反证法
Hale Waihona Puke 反证法的定义通过假设所要证明的不等式不成立， 然后推导出矛盾，从而证明不等式成 立。
反证法的步骤
反证法的应用
在难以直接证明不等式时，可以考虑 使用反证法。
不等式的性质与证明方法总结
不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。
不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。
本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。
这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。
2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。
这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。
3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。
这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。
4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。
这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。
二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。
2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。
均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。
3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。
不等式的性质和应用
不等式的性质和应用不等式作为数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理等领域，它不仅有着严密的证明方法，而且还具有许多重要的性质和应用。
在本文中，我将就不等式的性质和应用进行一些讨论和探究。
一、不等式的性质1.传递性：不等式是具有传递性的。
也就是说，如果a<b，b<c，那么就可以得到a<c。
例如：2<3，3<4，因此2<4。
2.加减性：不等式也有加减性质。
也就是说，如果a<b，则a+c<b+c；如果a>b，则a-c>b-c。
例如：2<4，那么2+1<4+1，即3<5。
3.乘性：不等式也有乘性质。
如果a<b且c>0，则ac<bc；如果a<b且c<0，则ac>bc。
例如：2<4，2×3<4×3，即6<12。
二、不等式的应用1.解不等式：在数学中，我们常常需要解决不等式问题，例如x+5>3。
这时我们可以先把等式左右移位，得到x>-2。
也就是说，x的取值范围是大于-2的所有实数。
2.证明不等式：在数学证明中，我们也经常需要利用不等式的性质证明某些结论。
例如，在证明柯西不等式时，我们可以利用平方和的不等式，证明其正确性。
3.优化问题：不等式还可以用于解决一些优化问题。
例如，在求一个函数的最大值或最小值时，我们可以从不等式的角度出发，利用其性质进行推导和求解。
总之，不等式在数学中起着非常重要的作用，不仅有着严密的证明方法，而且还具有许多重要的性质和应用。
因此，我们在学习数学的过程中，一定要加强对不等式的学习和理解，掌握其性质和应用。
3不等式的性质证明和基本不等式
3.分析法: 由结论到条件，注意格式规范→步
步可逆即充要
x Ex：已知：
y 0 ，比较：
x y x y
与
x x
2 2
y y
2 2
的大小.
Ex：比较
x
2
与 2 x 的大小。
1 a b 1 b c 1 a c
ab 2
Ex：已知 a
b c ，求证：
Ex:已知 a , b
R , a b , 求证： a b b ( a b ) a
( Ex:已知 a , b R , 求证：
a
2
1
)2 (
b
2
1
1
1
)2 a 2 b 2
b
a
Ex：已知
求证： lg
2
a,b,c R ,
lg b c 2
且不全相等
a c 2 lg a lg b lg c
2
且可推广：
a,b,c R ,
a b c 3
3
abc 仅 当 a b c 0时 取 等 号
n
且进一步：
ai R ,
a1 a 2 a n n
a1 a n
称作：n个正数的算术平均数不小于它的几何平均数 且变形为：
1 a,b
二、不等式的基本性质
（1）传递性：a
b,b c a c
a （2）加法单调性：
a （3）乘法单调性：
b a c b c
b, c 0 ac bc b, c d a c b d b 0, c d 0 ac bd
不等式的性质证明
不等式的性质证明不等式是数学中常见的概念，它描述了两个数、两个算式或两个函数之间的大小关系。
在数学研究和实际问题中，不等式的性质具有重要的意义。
本文将深入探讨不等式的基本性质，并进行相应的证明。
一、不等式的基本性质1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。
即如果一个数小于另一个数，而另一个数又小于另一个数，那么第一个数一定小于第三个数。
证明：设a < b，b < c，用反证法。
假设a ≥ c，那么由于a < b，根据传递性得知b ≥ c，与b < c矛盾。
故假设不成立，得证。
2. 加法性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，则有a + c < b + c。
即两个不等式的同侧同时加上一个相同的数，不等号的方向不变。
证明：设a < b，用反证法。
假设a + c ≥ b + c，那么由于a < b，根据传递性得知a + c < b + c，与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
3. 乘法性：对于任意的实数a、b和正数c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。
即两个不等式的同侧同时乘上一个正数，不等号的方向不变；若c < 0，则有ac > bc，即两个不等式的同侧同时乘上一个负数，不等号的方向反向。
证明：设a < b，用反证法。
假设ac ≥ bc，若c > 0，则由于a < b，根据乘法性得知ac < bc，与假设矛盾；若c < 0，则有ac > bc，同样与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
二、不等式中的常见定理及证明1. 加法定理：对于任意的实数a，b和c，若a < b，则有a + c < b + c。
证明：设a < b，令d = b - a，根据传递性得知0 < d。
由于c > 0，根据乘法性可得0 < c × d。
不等式的基本性质和证明的基本方法
通过构造平方和并利用非负性进行证明。
应用领域
在线性代数、函数分析和概率论中有广泛应用，如证明某些函数的可 积性等。
切比雪夫不等式
定义
对于任意两个实数序列，序列和的乘积小于或等于序列各项乘积 的和。
证明方法
通过排序后应用算术-几何平均不等式进行证明。
应用领域
在数论、概率论和统计学中有应用，如证明某些概率分布的性质等。
06
经典不等式介绍及其证明
算术-几何平均不等式
定义
对于所有非负实数，算术平均数永远大于或等于 几何平均数。
证明方法
通过数学归纳法或拉格朗日乘数法进行证明。
应用领域
在概率论、信息论和统计学中广泛应用，如证明 熵的最大值等。
柯西-施瓦茨不等式
定义
对于任意两个向量，它们的内积的绝对值小于或等于它们的模的乘 积。
数列的单调性
利用不等式的性质，可以判断数列的单调性，即数列是递增还是 递减。
数列的有界性
通过不等式的性质，可以证明数列的有界性，即数列的每一项都落 在某个区间内。
数学归纳法中的不等式证明
在数学归纳法中，经常需要利用不等式的性质进行证明，如证明某 个不等式对所有的自然数都成立。
05
证明不等式的基本策略
不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，研究不等式有 助于解决实际问题。
不等式的基本性质概述
01
传递性
02
可加性
03 可乘性
04
特殊性
对称性
05
如果a>b且b>c，则a>c。 如果a>b，则a+c>b+c。 如果a>b且c>0，则ac>bc。 任何数都大于负数，小于正数。 如果a=b，则b=a。
不等式基本性质和证明
第一讲 不等式的基本性质与证明一、 知识点分析不等式概念：我们把含有不等号的式子叫做不等式。
不等式的基本性质：（1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a ±>±⇒>（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向相加性） （5）bc ac c b a >⇒>>0,.，bc ac c b a <⇒<>0,（6）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向相乘性） （7）a ﹥b ，ab ﹥0，a 1⇒﹤b1(倒数变向性) （8）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则），)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）注：1、无同向相减性和同向相除性，且同向相乘性须正数2、性质（8）中，若n 为正奇数，则无须b a ,都大于零两个实数大小的比较：作差法 b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0作商法 若b a ,﹥0，则b a ﹥1a ⇔﹥b ；b a ﹤1a ⇔﹤b ；ba=1a ⇔=b不等式的证明方法： ①作差法②作商法③综合法：由因到果 ④分析法：执果索因 ⑤放缩法：常见类型有⑴nn n n n n n n n111)1(11)1(11112--=-<<+=+- （放缩程度较大）;⑵)1111(2111122+--=-<n n n n （放缩程度较小）;⑶1(212221--=-+<=n n n n nn⑥数学归纳法：常用于数列类的不等式 ⑦利用函数单调性法二、 例题精选例1.⑴比较a 与b 的大小：a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3⑵设21x x <，比较1211x x -+与2221x x -+的大小⑶设0,0>>b a ，试比较a b b a b a b a 与的大小 例2．⑴已知y x x yx y x y x ---≤≤≤≤5,,2,51,322求的取值范围 ⑵已知y x y x y -≤-≤≤+≤2,51,3x 2求的取值范围例3. 判断下列命题A 是命题B 的什么条件 ⑴ A ：x >3 B:x 1<31 ⑵ A ：x <3 B ：x 1>31 ⑶ A ：x >y B ：yx 11< ⑷ A ：32>>y x 且 B:65>>+xy y x 且例4. 甲乙两人从A 地同时出发沿同一条路线步行到B 地，甲在前一半时间行走的速度为x ，后一半时间行走的速度为y ，乙用速度x 走完前半段路程，用速度y 走完后半段路程，若x ≠y ，试指出谁先到达B 地，并说明理由。
不等式的性质与证明
要点重温之不等式的性质与证明江苏 郑邦锁1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ⇔a n >b n ； 当a<0,b<0时，a>b ⇔a 2<b 2；a 2>b 2⇔|a|>|b|。
在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0<x<21（别漏了“0<x ”）等。
[举例]若)(x f =x 2,则)(31)(x f x g -=的值域为 ；3)(11)(++=x f x h 的值域为 。
解析：此题可以“逆求”：分别用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。
以下用“取倒数”求：3-f(x)<3，分两段取倒数即0<3-f(x)<3得)(31x f ->31或3-f(x)<0得)(31x f -<0, ∴g(x )∈(-∞,0)∪(31,+∞)；f(x)+3>3⇒0<3)(1+x f <31⇒1<h(x)<34。
[巩固1] 若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+ba ab 中，正确的不等式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [巩固2] 下列命题：①若a>b,则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2,则a>b ；③若a>b,c>d 则a -d>b -c ； ④若a>b,则a 3>b 3；⑤若a>b,则),1lg()1lg(22+>+b a ⑥若a<b<0,则a 2>ab>b 2； ⑦若a<b<0,则|a|>|b|；⑧若a<b<0,则b a a b >；⑨若a>b 且b a 11>,则a>0,b<0； ⑩若c>a>b>0,则bc b a c a ->-；其中正确的命题是 。
不等式的性质与证明方法
不等式的性质与证明方法不等式是数学中常见的一种数对关系，描述了数值之间的大小关系。
在不等式中，我们关注的是不同数值之间的相对大小，而不是它们的具体数值。
本文将介绍不等式的一些基本性质以及一些常用的证明方法。
一、不等式的性质1. 传递性在不等式中，如果a>b，且b>c，那么有a>c。
这个性质叫做不等式的传递性。
传递性是不等式证明中常用到的性质，可以通过多次使用传递性来推导出一些复杂的不等式。
2. 反身性在不等式中，对于任何一个数a，都有a≥a。
这个性质叫做不等式的反身性。
即一个数总是大于等于自身。
3. 反对称性在不等式中，如果a≥b且b≥a，那么有a=b。
这个性质叫做不等式的反对称性。
反对称性表示如果两个数既大于等于彼此又小于等于彼此，则这两个数应该相等。
4. 加法性和减法性在不等式中，如果a≥b，那么有a+c≥b+c；如果a≥b，那么有a-c≥b-c。
这个性质叫做不等式的加法性和减法性。
加法性和减法性表示在不等式两边同时加或减一个常数，原不等式的大小关系仍然成立。
5. 乘法性和除法性在不等式中，如果a≥b且c>0，那么有ac≥bc；如果a≥b且c<0，那么有ac≤bc。
这个性质叫做不等式的乘法性和除法性。
乘法性和除法性表示在不等式两边同时乘或除一个正数（或负数），原不等式的大小关系仍然成立，但需要注意，当乘或除一个负数时，不等号的方向会颠倒。
二、证明方法1. 直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，也是最简单的一种方法。
这种方法通过对不等式进行一系列的推导和化简，最终直接得出结论。
例如，对于不等式a+b≥2√(ab)，可以利用乘法性、加法性和反身性进行证明。
2. 对偶证明法对偶证明法是一种证明方法，通过将不等式中的符号进行翻转，然后利用已知的性质或定理进行证明。
例如，对于不等式a+b≥2√(ab)，可以对偶后得到4ab≥(a+b)²，然后再利用乘法性和加法性进行证明。
2.1 不等式的性质与证明
1 3
0
2 5
1 3
．
图 2 －2
新知识应用
2.1.1 不等式与实数的大小
例题1 比较下列各组中两个实数的大小：
3 4 （1 ） - , - ; 5 7
2 3 æ 4ö 4 3 4 ´5- 7´ 3 1 =- <0 , 解：（1）因为 - - ç- ÷ = - = 5 è 7ø 7 5 35 35
分析：> ，因为 a > 0 > b，所以
1 a 0, 1 b 0 ，所以
1 1 > ； a b
新知识应用
2.1.2 不等式的性质
●（3）设 x > y，则 x( x - y ) _______ y ( x - y ) .
●分析：> ，因为 x > y ，所以 x - y > 0，根据不等式的
性质3得 x( x - y ) > y( x - y) .
新知识应用
2.1.2 不等式的性质
例题5 选择题 （1）已知 a > b, c > d，那么（ ）;
A. a - c > b - d
不等号的方向不变．
（2） 性质1、性质2中的大于号改为小于号，性质仍旧 成立．
新知识学习
2.1.2 不等式的性质
例如：（1）如果 x > y ，则 x + 3 > y + 3, x - 5 > y - 5.
（2）如果 x < y ，则 x + 3 < y + 3, x - 5 < y - 5 . 性质3（乘法法则） 如果 a 如果 a
c ( a b ) (b c )
不等式性质证明复习
不等式的性质和证明1. 不等式的性质是证明不等式和解不等式的依据.样 由不等式性质定理4的推论2和定理5可得: 如果a 、b ∈ R +, 那么a > b ⇔ a n > b n (n ∈N), 在比较分数指数幂或根式的值的大小时常用.2. 比较法是证明不等式最基本的方法. 比较法的主要步骤是: 作差、变形、判断符号. 变形中常用到因式分解和配方, 其目的是便于判断正负. 比较某些分式、指数式或绝对值等的大小有时用作商比较方便一些.3. 分析法与综合法是证明命题(包括不等式、恒等式、定理等)时常用的两种方法, 主要由证明的思路和表述方式来区分.(1) 分析法是从求证的结论J 出发, 逐步分析能使结论成立的充分条件, 直到所需条件可由题设T 判明正确时, 就可断定原结论正确, 即: J ⇐ …… ⇐ T ，∵T 为真，∴J 成立. 用分析法证题时要特别注意不能省略反映逻辑推理过程的连结字或符号. 如果每一步都是使结论成立的充要条件, 就可用符号“⇔”表述(参看教材22页例3).(2) 综合法是由已知条件T 出发, 利用定义、公理、定理(如基本不等式)等，推出要证明的结论J ，即：T ⇒ ……… ⇒ J.(3) 具体证题时常采用“分析法找(思)路, 综合法表述”的论证方式.4. 熟记三个重要不等式及其中字母的取值范围, 在证明其它不等式时若能直接引用则可简化论证过程. 特别要重视“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的灵活运用.5. 同向不等式两边分别相加或相乘是用综合法证明不等式的常用手段, 经常与应用重要不等式结合使用. 注意相乘时需要两边都是正数.6. 证明不等式的常用技巧有: 变量代换(例如三角代换), 同向放缩等.7. 证明不等式还可用数学归纳法、反证法等其它方法.8. 求函数f (x) 的最值的基本步骤是: (1) 论证f (x) ≥ m (或f (x) ≤ m );(2) 说明当x 取定义域内的某些值时相等能够成立. 9. 第10页例1中的结论是求最值的常用工具:(1) 如果两个正变量的和为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的积取最大值; (2) 如果两个正变量的积为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的和取最小值.例1 已知a > b 且ab ≠ 0, 比较a 1和b1的大小.解 ∵a 1 - b1 = ab a b -, 且a > b ⇔ b - a < 0,∴ 当ab > 0时ab a b -< 0, a 1 < b1;当ab < 0时ab a b -> 0, a 1 > b 1(也可由a > 0 > b 得a 1 > 0 > b1 ).综上所述, 当a > b > 0或b < a < 0时a 1 < b 1, 当a > 0且b < 0时a 1 > b1. 例2. 已知a ≠ b, a 、b 、m 、n ∈ R + 且m + n = 1, 试比较nb ma + 与a m + b n 的大小.解 设P =nb ma +, Q =a m + b n .∵a 、b 、m 、n ∈ R +, ∴ P > 0, Q > 0.∵m + n = 1, ∴P 2 = ma + nb = (ma + nb)(m + n),P 2 - Q 2 = (ma + nb)(m + n) - (a m + b n )2 = mn(a - b )2 ,∵ a ≠ b, ∴P 2 - Q 2 > 0, P > Q,nb ma + > a m + b n .例3. 若 a > 2, 证明 log a (a - 1) < log a+1 a .证明 设c = log a (a - 1) - log a+1 a = log a (a - 1) -)1(log 1+a a =)1(log 1)1(log )1(log +-+-a a a a a a ,∵a >2, log a (a + 1) > 0, log a (a - 1) > 0,log a (a - 1) log a (a + 1) = ()1(log )1(log +-a a a a )2 < (21( log a (a - 1) + log a(a + 1)))2= (21log a (a 2 - 1))2 < (21log aa 2 )2 (同向放缩) = 1,∴ c < 0, log a (a - 1) < log a+1 a . 也可用作商比较法.例4. 设a 、 b 、c ∈ R +, 且a + b + c = 1, 证明a +b +c ≤3 .证明 ∵a 、 b 、c ∈ R +, 且a + b + c = 1,要证a +b +c ≤ 3,只需证 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3, 即证 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2(a + b + c),∴只需证 (a -b )2 + (b -c )2 + (c -a )2 ≥ 0 ①, ∵不等式①成立, ∴a +b +c ≤ 3.例5. 1. 已知x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, 求 x1 + y 1 的最小值. 请指出下面两种解法中哪一种是错误的, 为什么?解法一 由1 = x + 2y ≥ 2xy 2得xy 1 ≥ 22, ∴ x 1 + y 1 ≥xy2 ≥ 42,∴x1 + y 1的最小值是42.解法二 ∵x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, ∴ x 1 + y 1= (x + 2y)(x1 + y 1) = 3 + x y2 + y x ≥3 + 22, 当且仅当xy 2 = y x即x =2 - 1, y = 1 -22 时相等成立, ∴ x1 + y 1 的最小值是3 + 22.例6. 设lg x + lg y = 1, 求2x + 5y 的最小值.例6. 由题设知x > 0, y > 0且xy = 10, ∴2x + 5y ≥ 2xy 10 = 20, 当且仅当2x = 5y 时相等成立, 此时x ∙52x = 10, x = 5, y = 2. 高考题精选1.（03京春）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A.a +c >b +d B.a －c >b －d C.ac >bdD.cbd a > 2.（01京春）若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（ ） A.18 B.6 C.23 D.243 6.（01上海春）若a 、b 为实数，则a >b >0是a 2>b 2的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 3.（00全国）若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ⋅，Q ＝21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则（ ） A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q4.（94上海）若0＜a ＜1，则下列不等式中正确的是（ ） A.（1－a ）31＞（1－a ）21 B.log 1－a （1＋a ）＞0 C.（1－a ）3＞（1＋a ）2D.（1－a ）)1(a +＞15.(04湖北) 若011<<ba ，则下列不等式: ①ab b a <+； ②|;|||b a > ③b a <； ④2>+baa b 中，正确的不等式有 （ ）BA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(05重庆) 若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是 （ ）CA ．3B ．27 C ．4 D ．297. 设a = sin 15º + cos 15º, b = sin 16º + cos 16º, 下面各式中正确的一个是 ( )(A) a <222b a +< b (B) a < b < 222b a + (C) b < a <222b a + (D) b <222b a +< a .1.A ∵a >b ，c >d ，∴a +c >b +d .2.B 3a +3b ≥2b a b a +=⋅3233=6，当且仅当a =b =1时取等号.故3a +3b 的最小值是6.3.B ∵lg a ＞lg b ＞0，∴21（lg a ＋lg b ）＞b a lg lg ⋅，即Q ＞P ，又∵a ＞b ＞1，∴ab b a >+2，∴21lg )2lg(=<+ab b a （lg a ＋lg b ），即R ＞Q ，∴有P ＜Q ＜R ， 4. A. 因为0＜a ＜1，所以0＜1－a ＜1，而指数函数y =m x （m ＞0，m ≠1）在0＜m ＜1时，是减函数，则（1－a ）31＞（1－a ）21，故选A.1. 已知a 、 b 、c 是不全相等的正数, 求证：ab +bc +ca < a + b + c . 证明 ∵a 、 b 、c ∈ R +, ∴ab ≤ 2b a + ①,bc ≤ 2c b + ②,ca ≤ 2a c + ③ .又∵a 、 b 、c 不全相等, ①、②、③中的等号不能同时成立, ∴ab +bc +ca < a + b + c .。
不等式的性质与证明
∴ B＞D
综上：C＞A＞B＞D
本题我们采用了赋值法（特
殊值法），先行猜想，使问题得
以简化、明朗．注意赋值法是解
选择题、开放题等常用的方法，
它可将复杂问题简单化，是我们
常用的数学思想．
例2．设 分析：
，且
，试比较
与
的大小．
比较两个数的大小，可用“作差比较法”、“作商比较法”．
前者依靠 A－B 与 0 的关系判断 A，B 大小，而后者则靠
∴a＜2b＜0这个结论不一定成立， 因此，只有（B）中两个结论均不成立． ∴选（B）
5．（01－上海春）
设 a，b为实数，则 a＞b＞0 是 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 （ ）
D．不充分也不必要条件
分析：
有条件a＞b＞0，可推出 但从 ， ．
不一定能推出a＞b＞0，只能是 的充分不必要条件．
1．不等式的定义：
若 2．不等式的性质：
（1） （2） （3）
；
；
．
（对称性） （传递性） （加法不变性）
推论：若a＞b，且c＞d，则a+c>b+d（同向，可加性）
（4）
； （乘法单调性） 推论1：若a＞b＞0，且c＞d＞0，则ac＞bd 推论2：若a＞b＞0，则 推论3：若a＞b＞0，则 （ （ ，且 n＞1） ，且 n＞1）
∴条件a＞b＞0只能定
∴选（A）
1．注意不等式的性质中左侧表示实数的运 性 质 ， 右 式 反 映 的 是 实 数 的 大 小 顺 序 ， 起 来 即 为 实 数 运 算 性 质 与 大 小 顺 序 之 间 关系．这是不等式一章的理论基础，是不 式性质的证明，证明不等式和解不等式的 要依据．
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1
>
������ ������2+1
,
故正确;对于选项
D,当 c=0 时不正确.
答案:C
【做一做2-2】 下列命题中正确的有
.
①若a>b,则ac2>bc2;
②若
������ ������2
>
������ ������2
,
则a>b;
③若
a>b,ab≠0,则
1 ������
<
1 ������
;
④若 a>b,c>d,则 ac>bd;
C.
������ ������2+1
>
������ ������2+1
D.a|c|>b|c|
解析:对于选项A,还需有ab>0这个前提条件;对于选项B,当a,b都
为负数时不成立,或一正一负时可能不成立,如2>-3,但22>(-3)2不正
确;对于选项
C,由
1 ������2+1
>
0,a>b,可知
������ ������2+1
(3) 加(减) 如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b⇔a+c>b+c
(4)
乘(除)
如果 a>b,c>0,那么 ac>bc; 如果 a>b,c<0,那么 ac<bc
(5) 乘方 如果 a>b>0,那么 an>bn(n∈N*,且 n≥2)
(6) 开方 如果 a>b>0,那么������ ������ > ������ ������(n∈N*,且 n≥2)
不等式的性质与证明方法
不等式的性质与证明方法不等式是数学中常见的一种数值关系表达方式，它描述了数值之间的大小关系。
在数学的研究中，不等式具有重要的意义，它在许多领域中都得到了广泛的应用。
本文将介绍不等式的性质和证明方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a > b，b > c，那么可以得出 a > c。
这是不等式的一种基本性质，也是比较大小关系的基础。
2. 对称性：如果 a > b，则有 b < a。
不等式的对称性使得我们可以在不改变大小关系的前提下，对不等式进行变换和操作。
3. 相加性：如果 a > b，则对任意的 c，a + c > b + c。
不等式的相加性允许我们在不等式的两边同时加上一个相同的数，不改变大小关系。
4. 相乘性：如果 a > b，且 c > 0，则有 ac > bc。
不等式的相乘性使我们能够在不等式的两边同时乘以一个正数，仍然保持大小关系不变。
二、不等式的常见证明方法1. 直接证明法：通过逐步推导和运算，从已知条件出发，逐步推导出要证明的不等式，直至推导出所要证明的结论。
这是一种简单直接的证明方法，常用于证明不等式的基本性质。
例子：证明对任意正整数 n，都有 n^2 + n > 2n。
证明：对于任意正整数 n，我们有n^2 + n = n(n + 1)。
由于 n 是正整数，所以 n + 1 > 1，因此 n(n + 1) > n。
又因为对于任意正整数 n，n > 2，所以 n > 2n。
因此，n(n + 1) > n > 2n，即 n^2 + n > 2n。
2. 反证法：假设要证明的不等式不成立，即假设不等式的否定成立，然后通过推导得到矛盾，从而推断出假设的不等式成立。
这是一种常用的证明方法，适用于复杂的不等式证明。
例子：证明当 x > 0 时，有 x^2 + 1 > 2x。
高考数学专题讲座 第9讲 不等式的性质与证明
高考数学专题讲座 第9讲不等式的性质与证明一、考点要求1．理解不等式的性质及证明．2．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，并会加以灵活应用．若a ∈b R ，则222b a +≥ab 2．若0>a ，0>b ，则b a +≥ab 2．如果a ，b 都是正数，则ba 112+≤ab ≤2ba +≤222b a +（课本P11习题6.2第3题）．以上各式中当且仅当b a =时等号成立．3．掌握证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法，此外还有反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造法等，这些方法要根据不等式的结构特点，灵活运用．4．不等式常常与函数、数列、三角、解析几何等知识结合起来综合考查，以体现学科内部各知识块间的综合运用． 二、基础过关1．1．(04 某某)设0>a ，0>b ，且3++=b a ab ，则b a +的取值X 围是（ ）． A ．9[，)∞+ B ．6[，)∞+ C ．0(，]9 D ．0(，)62．设)11)(11)(11(---=c b a M ，且c b a ++1=a (，b ，c 都是正数），则M 的取值X 围是（ ）．A ．0[，]81B ．81(，)1C ．1[，]81D ．8[，)∞+3．设b a <<0且1=+b a ，则四个数21，a ，a 2，22b a +中最小的数是（ ）．A ．21B ．aC ．a 2D ．22b a +4．设b a <<0且1=+b a ，下列不等式正确的是（ ）．A ．22222b a b a ab b +<+<<B ．22222b a b a b ab +<+<<C ．22222b a b b a ab +<<+<D ．b b a b a ab <+<+<222225．（2002文）数列}{n x 由下列条件确定：01>=a x ，)(211n n n x ax x +=+，∈n N *．（1）证明：对于n ≥2，总有n x ≥a ； （2）证明：对于n ≥2，总有n x ≥1+n x ．6．已知数列}{n a 的通项为n a ，前n 项的和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列}{n b 中，b 1=1，点n b p (，)1+n b 在直线02=+-y x 上．（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式n a ，n b ；（2）设{}n b 的前n 项和为n B , 试比较nB B B 11121+++ 与2的大小． （3）设n T =nn a b a ba b +++ 2211，若对一切正整数n ，∈<c c T n (Z ）恒成立，求c 的最小值．三、典型例题例1 若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2．求证b a +≤2，ab ≤1．例2 对于在区间m [，]n 上有意义的两个函数)(x f 与)(x g ，如果对任意的∈x m [，]n ，均有|)()(|x g x f -≤1，则称)(x f 与)(x g 在区间m [，]n 上是接近的，否则是非接近的．设)3(log )(1a x x f a -=与0(1log )(2>-=a ax x f a，)1≠a 是区间2[+a ，]3+a 上的两个函数． （1）求a 的取值X 围；（2）讨论)(1x f 与)(2x f 在区间2[+a ，]3+a 上是否是接近的．例3 (2002 某某)己知0>a ，函数2)(bx ax x f -=．（1）当0>b 时，若对任意∈x R 都有)(x f ≤1，证明：a ≤b 2；（2）当1>b 时，证明：对任意]1,0[∈x ，|)(|x f ≤1的充要条件是1-b ≤a ≤b 2； （3）当b <0≤1时，讨论：对任意]1,0[∈x ，|)(|x f ≤1的充要条件．例4 已知n ∈N ，n ＞1．求证212)1211()511()311(+>-+⋅⋅+⋅+n n ． 四、热身演练1．设a ，b ，c ，∈d R ，且b a >，d c >，则下列结论中正确的是（ ）．A ．d b c a +>+B ．d b c a ->-C ．bd ac >D ．cbd a > 2．设1>x ，1>y ，且03log 2log 2=+-x y y x ，则224y x -的最小值为（ ）．A ．3-B ．4-C ．3-或4-D ．不存在3．设实数x ，y 满足1)1(22=-+y x ，当c y x ++≥0时，c 的取值X 围是（ ）． A ．12[-，)∞+ B ．-∞(，]12- C ．12[+，)∞+ D ．-∞(，]12+4．点P 在直线0102=++y x 上，PA ，PB 与圆422=+y x 分别相切于A ，B 两点，O 为圆的圆心，则四边形PAOB 的面积的最小值为（ ）．A ．24B ．16C ．8D ．45．已知直线l ：01=-+-k y kx 与曲线C ：24y y x --=有公共点，则k 的取值X 围是（ ）．A ．3623[--，]3623+-B ．-∞(，3623[]3623+--- ，)∞+ C ．3623[--，]1 D ．-∞(，1[]3623 --，)∞+ 6．已知函数x x a x x x f (2)(2++=≥)1，当21=a 时，)(x f 的最小值是 （ ）． A ．25 B ．4 C ．22+ D ．277．命题“122<+y x ”是命题“y x xy +>+1”成立的条件． 8．已知a c b a (||-<+，b ，∈c R ）给出下列不等式：①c b a --<；②c b a +->； ③c b a -<；④c b a -<||||；⑤c b a --<||||．其中一定成立的不等式是（注：把成立的不等式的序号都填上）． 9．设集合)3(|1|)3(|),{(++-+==y y y x y x M ，5-≤y ≤}3，若a (，M b ∈)，且对M 中的其它元素c (，)d ，总有c ≥a ，则a =____．10．设等差数列{a n }的首项181=a ，85S S =，则它的前项的和最大？11．(2004年全国卷IV)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ． （1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a ． 12．（2002理）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同．为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？13．已知函数122)(2-+-=x x x x f ．（1）设1||0<<x ，||0t <≤1，求证：|)1(|||||+<-++tx f x t x t ；（2）设x 是正实数，n 是正的自然数，求证：)1()]1([+-+n n x f x f ≥22-n ．第9讲不等式的性质与证明一、考点要求1．理解不等式的性质及证明．2．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，并会加以灵活应用．若a ∈b R ，则222b a +≥ab 2．若0>a ，0>b ，则b a +≥ab 2．如果a ，b 都是正数，则ba 112+≤ab ≤2ba +≤222b a +（课本P11习题6.2第3题）．以上各式中当且仅当b a =时等号成立．3．掌握证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法，此外还有反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造法等，这些方法要根据不等式的结构特点，灵活运用．4．不等式常常与函数、数列、三角、解析几何等知识结合起来综合考查，以体现学科内部各知识块间的综合运用． 二、基础过关1．1．(04 某某)设0>a ，0>b ，且3++=b a ab ，则b a +的取值X 围是（ B ）．解：ab b a =++3≤2)2(b a +，12)(4)(2-+-+b a b a ≥0，解得b a +≥6，b a +≤2-舍， 故选B ．2．设)11)(11)(11(---=cba M ，且cb a ++1=a (，b ，c 都是正数），则M 的取值X 围是（ D ）． A ．0[，]81 B ．81(，)1 C ．1[，]81 D ．8[，)∞+ 解法1 特值法，取31===c b a 得8=M ，故选D ． 解法2 直接法，)11)(11)(11(---=cba M abcc b a )1(1)(1(---=abcb a ac c b ))()((+++=≥8222=⋅⋅abc abca bc ，故选D ．3．设b a <<0且1=+b a ，则四个数21，a ，a 2，22b a +中最小的数是（ ）．A ．21B ．aC ．a 2D ．22b a + 解：选B ．4．设b a <<0且1=+b a ，下列不等式正确的是（ ）．A ．22222b a b a ab b +<+<<B ．22222b a b a b ab +<+<<C ．22222b a b b a ab +<<+<D ．b b a b a ab <+<+<22222 解：选C ．5．（2002文）数列}{n x 由下列条件确定：01>=a x ，)(211nn n x ax x +=+，∈n N *． （1）证明：对于n ≥2，总有n x ≥a ； （2）证明：对于n ≥2，总有n x ≥1+n x ．证明：（1）01>=a x 及)(211n n n x a x x +=+知0>n x ，从而)(211nn n x ax x +=+≥∈=⋅n a x a x n n (N *)， ∴当n ≥2时，n x ≥a 成立．（2）当n ≥2时，n x ≥a 0>，)(211n n n x a x x +=+，∴)(211n nn n x x ax x -=-+n n x x a 221-⋅=≤0，当n ≥2时，n x ≥1+n x 成立．6．已知数列}{n a 的通项为n a ，前n 项的和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列}{n b 中，b 1=1，点n b p (，)1+n b 在直线02=+-y x 上．（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式n a ，n b ；（2）设{}n b 的前n 项和为n B , 试比较nB B B 11121+++ 与2的大小． （3）设n T =nn a b a b a b +++ 2211，若对一切正整数n ，∈<c c T n (Z ）恒成立，求c 的最小值． 分析：本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识． 略解：（1）n n a 2=，12-=n b n ． （2）n B =1+3+5++ (2n -1)=n 2， ∴2222213121111111nB B B n ++++=+++ )111()3121()211(1).1(13212111n n n n --++-+-+=-++⨯+⨯+< 212<-=n， ∴211121<+++nB B B ． （3）n T =n n 22252321122-++++ ， ①143221225232121+-++++=n n T n ， ② ①-②得 1332212222221212121+--+++++=n n n n T ，∴32122132<---=-nn n n T ，又21637272423214324>=+++=T ， ∴满足条件c Tn <的最小整数3=c ．三、典型例题例1 若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2．求证b a +≤2，ab ≤1．分析：由条件a 3+b 3=2及特征的结论b a +≤2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”．本题证法较多 证法1(作差比较法)∵a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，∴332)(-+b a =a 3+b 3+b a 23+3ab 2-8=63322-+ab b a =3[]2)(-+b a ab =)]()([333b a b a ab +-+=3-2))((b a b a -+≤0， 即 3)(b a +≤23．又∵0>+b a ，∴b a +≤2．∵ab 2≤b a +≤2，∴ab ≤1． 证法2(适当配凑，综合法)∵a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，∴2=a 3+b 3=))((22ab b a b a -++≥)2)((ab ab b a -+=)(b a b +，证法3(构造方程)设a ，b 为方程x 2-mx +n =0的两根．则⎩⎨⎧=+=.,ab n b a m∵a ＞0，b ＞0，∴m ＞0，n ＞0且Δ=m 2-4n ≥0． ① ∴2=a 3+b 3=]3))[(())((222ab b a b a b ab a b a -++=+-+=m [m 2-3n ]， ∴mm n 3232-=． ② 将②代入①得 )323(422m m m --≥0，即mm 383+-≥0，∴83+-m ≥0，即m ≤2， ∴b a +≤2．∵2≥m ，∴4≥m 2，又∵m 2≥4n ，∴4≥4n ，即n ≤1．∴ab ≤1．说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点． 证法4(反证法)假设b a +＞2，则a 3+b 3=]3)9)[())((222ab b a b a b ab a b a -++=+-+＞2(22-3ab )． ∵因为a 3+b 3=2，∴2＞2(4-3ab )，∴因此ab ＞1．①另一方面，2=a 3+b 3=))((22ab b a b a -++≥)2)((ab ab b a -+=ab b a )(+＞2ab ， ∴ab ＜1． ② 于是①与②矛盾，故b a +≤2．(以下略)说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证明方法都是证明不等式的常用方法． 证法5(平均值不等式—综合法)∵a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，∴332b a +=≥332b a ，∴ab ≤1．又∵333311111111⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+b a b a b a ≤236343113113333==++=+++++b a b a ，∴b a +≤2，ab ≤1．说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮．证法6 （利用233b a +≥3)2(b a +进行证明）∵233b a +3)2(b a +-8]2444)[(2222ab b a ab b a b a ----++=8))((32b a b a -+=≥0， ∴对任意的非负实数a ，b 有233b a +≥3)2(b a +．∵0>a ，0>b ，233=+b a ，∴=1233b a +≥3)2(b a +，∴2ba +≤1，即b a +≤2．（以下略）例2 对于在区间m [，]n 上有意义的两个函数)(x f 与)(x g ，如果对任意的∈x m [，]n ，均有|)()(|x g x f -≤1，则称)(x f 与)(x g 在区间m [，]n 上是接近的，否则是非接近的．设)3(log )(1a x x f a -=与0(1log )(2>-=a ax x f a，)1≠a 是区间2[+a ，]3+a 上的两个函数． （1）求a 的取值X 围；（2）讨论)(x f 与)(x f 在区间2[+a ，]3+a 上是否是接近的．[分析] 高考题中常常出现和高中知识有关的新的定义，本题中定义了两个函数在区间上接近的定义，解题时必须先搞懂两个函数在区间上接近的定义．对数的运算是学生的一个薄弱环节，本题涉及到对数的运算．二次函数的最值问题也是重点内容之一． 解：（1）∵0>a 且1≠a ，当∈x 2[+a ，]3+a 时，要使函数)3(log )(1a x x f a -=有意义，∴032>-+a a ，即1<a ． ①要使函数ax x f a-=1log )(2有意义，∴02>-+a a ，即∈a R ． ② 由①和②得10<<a ，即为a 的取值X 围．（2）要判断)(1x f 与)(2x f 在区间2[+a ，]3+a 上是否是接近的，只须检验|)()(|21x f x f -≤1在区间2[+a ，]3+a 上是否恒成立．∵|)()(|21x f x f -|1log )3(log |ax a x aa ---=|))(3(log |a x a x a --=， 设|))(3(log |a x a x a --≤1，则1-≤))(3(log a x a x a --≤1，即1-≤)34(log 22a ax x a +-≤1． ③设2222)2(34)(a a x a ax x x g --=+-=，抛物线)(x g 开口向上，且对称轴为a x 2=． ∵10<<a ，∴32220+<+<<<a a a ， ∴函数)(x g 在区间2[+a ，]3+a 上是增函数． 设2+a ≤1x 2x <≤3+a ，则)()(21x g x g <， ∵10<<a ，∴)(log )(log 21x g x g a a >．设)34(log )(22a ax x x h a +-=，则)(x h 在区间2[+a ，]3+a 上是减函数，∴)44(log )2()]([max a a h x h a -=+=，)69(log )3()]([min a a h x h a -=+=， ∴③式成立的充要条件是：⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-⇔⎩⎨⎧-≥-≤-a a a a a a a a 169,44,1)69(log ,1)44(log ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤<≤<125790,540a a 0(∈⇔a ，]12579-， ∴当0(∈a ，]12579-时，)(1x f 与)(2x f 在区间2[+a ，]3+a 上是接近的； 当12579(-∈a ，)1时，)(1x f 与)(2x f 在区间2[+a ，]3+a 上是非接近的．例3 (2002 某某)己知0>a ，函数2)(bx ax x f -=．（1）当0>b 时，若对任意∈x R 都有)(x f ≤1，证明：a ≤b 2；（2）当1>b 时，证明：对任意]1,0[∈x ，|)(|x f ≤1的充要条件是1-b ≤a ≤b 2； （3）当b <0≤1时，讨论：对任意]1,0[∈x ，|)(|x f ≤1的充要条件．证明：（1）依题意，对任意R x ∈，都有1)(≤x f ．∵b a b a x b x f 4)2()(22+--=，∴ba b a f 4)2(2=≤1．∵0>a 0>b ，∴a ≤b 2．（2）充分性：∵1>b ，a ≥1-b ，对任意0[∈x ，]1，∴2bx ax -≥x x x b --)(2≥x -≥1-，即2bx ax -≥1-． 又∵1>b ，a ≤b 2，对任意0[∈x ，]1， ∴2bx ax -≤22bx x b -≤1)1(12)2(2max 2=⋅-⋅=-bb b b bx x b ，即2bx ax -≤1，∴1-≤)(x f ≤1． 必要性：∵对任意0[∈x ，]1，)(x f ≤1，∴)(x f ≥1-，∴)1(-f ≥1-， 即b a -≥1-，∴a ≥1-b .又∵1>b ，∴110<<b ，∵)(x f ≤1，∴)1(b f ≤1，即1-b a ≤1， ∴a ≤b 2，∴1-≤a ≤b 2．综上，对任意的0[∈x ，]1，|)(|x f ≤1的充要条件是1-≤a ≤b 2．（3）∵0>a ，b <0≤1时，对任意]1,0[∈x ，2)(bx ax x f -=≥b -≥1-，即)(x f ≥1-． 又由)(x f ≤1知)1(f ≤1，即b a -≤1，即a ≤1+b ．而当a ≤1+b 时，2)(bx ax x f -=≤2)1(bx x b -+bb b b x b 4)1()21(22+++--=， ∵b <0≤1，∴121>+bb ，∴在0[，]1上，函数2)1(bx x b y -+=是增函数，∴在1=x 时取最大值1，∴)(x f ≤1，∴0>a ，b <0≤1时，对任意]1,0[∈x ，|)(|x f ≤1的充要条件是a ≤1+b ．例4 已知n ∈N ，n ＞1．求证212)1211()511()311(+>-+⋅⋅+⋅+n n ． 分析:虽然不等式是关于自然数的命题，但观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用放缩法或构造数列的方法进行证明． 证明1：设n n a 12211+>=+=，∴121222+=+⋅>n n n a ，∴1212-+>n n a n n (≥2，∈n N )． ∴)1211()511)(311(-+++n 1212795735-+⋅⋅⋅⋅>n n 1212795735-+⋅⋅⋅⋅=n n 212412312+=+>+=n n n ， ∴212)1211()511)(311(+>-+++n n ． 证明2：设n n a n )(1211()511)(311(-+++= ≥)2，n n b (122+=≥)2，则问题转化为证明：21>n n b a ．∵21451612231122>=+⨯+=b a ，∴只需证明数列}{n n b a 是递增数列即可． 设12)1211()511)(311()(+-+++=n n n f n (≥)2，则)1211()511)(311(121)1(2)1211)(1211()511)(311()()1(-++++⋅++++-+++=+n n n n n n f n f3212)1211(++⋅++=n n n )32)(12()1(2+++=n n n 1)1(4)1(22-++=n n 1)1(4)1(22=++>n n ．即)()1(n f n f >+，∴21)2()(>>f n f ． 说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决．四、热身演练1．设a ，b ，c ，∈d R ，且b a >，d c >，则下列结论中正确的是（ ）．A ．d b c a +>+B ．d b c a ->-C ．bd ac >D ．cbd a > 解：选A ．2．设1>x ，1>y ，且03log 2log 2=+-x y y x ，则224y x -的最小值为（ ）． A ．3- B ．4- C ．3-或4- D ．不存在 解：（换元法）设y t x log =，则0322=+-t t ，即02322=-+t t ，21=t （2-=t 舍），∴21x y =，3．设实数x ，y 满足1)1(22=-+y x ，当c y x ++≥0时，c 的取值X 围是（ ）． A ．12[-，)∞+ B ．-∞(，]12- C ．12[+，)∞+ D ．-∞(，]12+ 解：（三角换元）设αcos =x ，αsin 1+=y ，c ≥y x --1sin cos ---=αα1)4sin(2-+-=πα，∴c ≥12-，故选C ．4．点P 在直线0102=++y x 上，PA ，PB 与圆422=+y x 分别相切于A ，B 两点，O 为圆的圆心，则四边形PAOB 的面积的最小值为（ ）． A ．24 B ．16 C ．8 D ．4解：（数形结合，将问题转化为只须OPA ∆的面积最小）要使四边形PAOB 的面积最小，只须OPA ∆的面积最小，∵2=OA ，只须P 点到O 点距离最小故最小值为52510==d ，故82)52(21222=-⨯⨯=S ，故选C ．5．已知直线l ：01=-+-k y kx 与曲线C ：24y y x --=有公共点，则k 的取值X 围是（ ）． A ．3623[--，]3623+- B ．-∞(，3623[]3623+--- ，)∞+ C ．3623[--，]1 D ．-∞(，1[]3623 --，)∞+ 解：（数形结合，不等式、直线与圆的简单应用，利用图形直接观察，大大减小了计算量，这类方法是解决选择题和填空题的首选方法．）∵直线01=-+-k y kx 可化为)1(1+=+x k y ，∴直线l 恒过定点)1,1(--．曲线C 可变形为2222)2(=-+y x x (≤)0，是以点)2,0(为圆心，2为半径的圆的左半圆．由左图可知应选D ．6．已知函数x x a x x x f (2)(2++=≥)1，当21=a 时，)(x f 的最小值是 （ ）． A ．25 B ．4 C ．22+ D ．27解：（利用函数221)(++=xx x f 在1[，)∞+上是增函数求函数的最值） 当21=a 时，221)(++=x x x f 在1[，)∞+上是增函数，∴当1=x 时，27)(min =x f ，故选D ． 注意下面的解法是错误的，221)(++=x x x f ≥2212+⋅x x 22+=，当且仅当xx 21=，即22=x 时等号成立．但是x ≥1，∴这个最小值是取不到的．xyABPO2-2-4-8-5510xyO7．命题“122<+y x ”是命题“y x xy +>+1”成立的条件．解：0)1)(1()()1(1>--=+-+⇔+>+y x y x xy y x xy ，得不到122<+y x ，但由122<+y x ，可得到1<x ，1<，∴0)1)(1(>--y x ，∴y x xy +>+1，∴命题“122<+y x ”是命题“y x xy +>+1”成立的充分不必要条件．8．已知a c b a (||-<+，b ，∈c R ）给出下列不等式：①c b a --<；②c b a +->； ③c b a -<；④c b a -<||||；⑤c b a --<||||．其中一定成立的不等式是（注：把成立的不等式的序号都填上）． 解：（||||b a -≤||b a +≤||||b a +，（||||b a -≤||b a -≤||||b a +这是绝对值不等式的重要性质，必须熟练地掌握）∵c b a c b c b a c c b a --<<+-⇔-<+<⇔-<+||，∴①②是正确的． ∵||||b a -≤||b a +c -<，∴||a ≤c b -||，∴④正确．令3=a ，1-=b ，4-=c ，满足条件，但4)3(13-=-+-=-<=c b a ，2)3(|1|||3||=----=--<=c b a 不能成立， ∴③，⑤是错误的．9．设集合)3(|1|)3(|),{(++-+==y y y x y x M ，25-≤y ≤}3，若a (，M b ∈)，且对M 中的其它元素c (，)d ，总有c ≥a ，则a =____．分析：读懂并能揭示问题中的实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M 中的其它元素(c ，d )，总有c ≥a ”？M 中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数x =f (y )=(y +3)·|y -1|+(y +3)在25-≤y ≤3时的最小值． （1）当25-≤y ≤1时，425)21(6)3()1)(3(22++-=+--=++-+=y y y y y y x ， 所以当25-=y 时，49min =x ． （2）当1≤y ≤3时，49)23(3)3()1)(3(22-+=+=++-+=y y y y y y x ， 所以当y =1时，min x =4．而494>，因此当25-=y 时，x 有最小值49，即49=a ． 说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的属性，然后结合条件，揭示其本质．即求集合M 中的元素满足关系式“)3(|1|)3(++-+=y y y x ，25-≤y ≤3”的所有点中横坐标最小的a 值． 10．设等差数列{a n }的首项181=a ，85S S =，则它的前项的和最大？ 分析：要求前n 项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，由85S S =得d a d a 2)18(882)15(5511-+=-+，∴61a d -=，∵181=a ，∴3-=d ，∴数列}{n a 是递减数列， ∴存在∈k N ，使k a ≥0，且01<+k a ．∴⎩⎨⎧<-≥--,0318,0)1(318k k ∴k <6≤7，∴数列}{n a 的前6与7项和相等且最大．说明：很多数学问题可归结为解某一不等式(组)．正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到正确结论的关键．11．(2004年全国卷IV)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ． （1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a ． [分析] 本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n 项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．解：（1）由12111-==a S a ，得11=a ．由22221)1(2-+==+a S a a ，得02=a 由333321)1(2-+==++a S a a a ，得23=a ．（2）当2≥n 时，有n n n n n n a a S S a )1(2)(211-⨯+-=-=--，,)1(2211---⨯+=n n n a a ,)1(22221----⨯+=n n n a a……2212-=a a ，∴122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a)]2()2()2[()1(2211-++-+--+=--- n n n n3])2(1[2)1(211------=n nn ])1(2[3212---+=n n ． 经验证1a 也满足上式，所以 ])1(2[3212---+=n n n a ，∈n (N )*．（3）证明：由通项公式得24=a ．当≥3且n 为奇数时，]121121[2311121-++=+--+n n n n a a 12222223213221--++⨯=-----n n n n n322122223---+⨯<n n n )2121(2312--+=n n ． 当m m 且4>为偶数时，ma a a 11154+++ )212121(2321)11()11(14431654--++++<+++++=m m m a a a a a )211(4123214--⋅+=m 878321=+< 当m m 且4>为奇数时，87111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a ，所以对任意整数4>m ，有8711154<+++m a a a ． 12．（2002理）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同．为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为1a ，以后每年末的汽车保有量依次为 ,,32a a ，每年新增汽车x 万辆． 由题意得x a a n n +=+94.01，即)06.0(94.006.01x a x a n n -=-+，06.094.0)06.030(1xx a n n +⋅-=-． 令n a ≤60，解得x ≤06.0)94.013030(1⨯-+-n ． 上式的右边是关于n 的减函数，且+∞→n 时，上式右边趋于6.3，故要对一切自然数n 满足n a ≤60，应有x ≤6.3，即每年新增汽车不应超过6.3万辆．13．已知函数122)(2-+-=x x x x f ．（1）设1||0<<x ，||0t <≤1，求证：|)1(|||||+<-++tx f x t x t ；（2）设x 是正实数，n 是正的自然数，求证：)1()]1([+-+n n x f x f ≥22-n ．分析：本题主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧．基本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质证明（1）．再利用二项展开式及基本不等式的证明（2）．证明：（1）∵11)1()(2-+-=x x x f 11)1(-+-=x x ，∴txtx tx f 1)1(+=+， ∴21211)1(=⋅≥+=+=+txtx tx tx tx tx tx f ，当且仅当1=tx 时，上式取等号． ∵10,10<<<<t x ，∴1≠tx ，∴2)1(>+tx f ． 而222222)(2)(x t x t x t x t s -++=-++=，当||||x t >时，442≤=t s ；当||t ≤||x 时，442<=x s ， ∴||||x t x t -++≤2|)1(|+<tx f ，即|)1(|||||+<-++tx f x t x t （2）1=n 时，等号成立，结论显然成立．当2≥n 时，[])1()1()1()1(n n n n nx x x x x f x f +-+=+-+11221222111111------⋅+⋅++⋅+⋅=n n n n n n n n n n xx C x x C x x C x x C 2141422111------++++=n n nn n n n n n n x C x C x C x C ． 设2141422111------++++=n n n n n n n n n n xC x C x C x C S ， 则2141422111------++++=n n n n n n n n n n x C x C xC x C S ， ∴S 2)1()1()1(221442221-------++++++=n n n n n n n n n n xx C x x C x x C≥)(2121-+++⋅n n n nC C C ， ∴S 121-+++=n n n nC C C 2221210-=-+++++=-n nn n n n n n C C C C C ．。
不等式的性质与不等式的证明
不等式的性质与不等式的证明不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。
在不等式中，我们需要根据已知条件推导出新的不等式，这就需要借助不等式的性质进行证明。
本文将重点介绍不等式的性质以及不等式的证明方法。
1.不等式的性质(1)传递性：如果a<b，b<c，那么可以推出a<c。
这个性质可以简单地通过比较大小关系来理解，如果a比b小，b比c小，那么a当然比c 小。
(2)加法性：如果a<b，那么对于任意的c，有a+c<b+c。
这个性质也比较直观，如果a比b小，那么加上同一个正数c，a+c就会变得小于b+c。
同样地，如果a>b，那么对于任意的c，有a+c>b+c。
(3)乘法性：如果a<b，那么对于任意的正数c，有a×c<b×c。
这个性质也比较直观，正数的乘法会拉大不等式之间的差距。
同样地，如果a>b，那么对于任意的正数c，有a×c>b×c。
需要注意的是，如果c是负数，那么不等号的方向会发生翻转。
(4)反身性：任何数a都满足a=a。
这个性质是显然的，每个数都等于它自己。
2.不等式的证明方法(1)数学归纳法：对于一些给定的自然数n，如果我们可以证明当n=1时不等式成立，且对于任意的n=k时成立，那么我们就可以证明当n=k+1时不等式也成立。
这种方法通常用于证明关于自然数的不等式，其中k为任意自然数。
(2)反证法：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明不等式是正确的。
反证法通常用于证明数学问题中的一些结论。
(3)矛盾法：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的前提，从而证明不等式是正确的。
矛盾法通常用于证明的过程中需要排除一些条件才能得到结论的情况。
(4)代入法：将不等式中的符号用具体的数值代入，通过对具体的数值进行计算来验证不等式的正确性。
代入法相对于其他方法来说，更直观、容易理解。
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不等式的性质和证明
一、基础知识
1．性质
对称性a＞bÛb＜a 传递性a＞b，b＞c Þ a＞c 加法单调性a＞b Þ a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 Þ ac＞bc；a＞b，c＜0 Þ ac＜bc开方法则a＞b＞0 Þ移项法则a+b ＞c Þ a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d Þ a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 Þ ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 Þ a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 Þ
2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法
证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性
3．主要公式及解题思路
公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R）
a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+）
思路：①
②
③
④正数x，y且x+y=1，求证：≥
二、例题解析
1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
（2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（）
A．x2+y2B．x+y C．2xy D．
（3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥
④≥2中恒成立的个数为（）
A．4B．3C．2D．1
（4）下列函数中，y的最小值是4的是（）
A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10
（5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（）
A. a2+b2+c2＞1
B.ab+bc+ca≥
C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥
2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为
（2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为
（3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5
（4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为
（5）已知：x+2y=1，则的最小值为
（6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为
（7）若x＞0，则，若x＜0，则
（8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。
（9）某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为a，第三年比第二年增长的百分率为b，第四年比第三年增长的百分率为c，设年平均增长的百分率为P，且a+b+c 为定值，则P的最大值为
3．求证：a2+b2≥ab+a+b－1
4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥
5．已知：a，b，c∈R+且a+b+c=1，求证：
（1）≥9（2）≥ （3）ab+bc+ca≤
6．实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数。
7．当0＜x＜1时，求下列函数的最大值。
（1）y=x（1－x）（2）y=x（1－x）2 （3）y=x2（1－x）（4）y=x（1－x2）
8．某种汽车购买时费用为10万元，每年的保险、养路、汽车费用共计9千元，汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，问这种汽车最多使用多少年报废最合算？（即使用多少年的年平均费用最小）。