新数学竞赛讲座(第三讲)级数

p
1时， ln[1
n1
(
1)n np
]条件收
敛
，
(3)0
p
1
时，
ln[1
2
n1
(1)n np
]发
散。
6
6.
判敛散：
n2 sin[
n
]，
,
0
n1
n
解：
n2 sin[
n
]
(1)n sin[(
) ]
n
n
/ 当 1，2，时，sin[n2 n ] 0 n
n2 sin[
n
]发散。
f
(0)
1,
f '(0)
0,
f "(0)
2,证 明
|
f ( 1 ) 1 |收 敛
Байду номын сангаас
n1
n
证明：
f (1) n
f (0)
f '(0) 1 n
1 2
f
"(
)
1 n2
,
(0, 1 )
n
f (0) 1, f "(0) 2, f '(0) 0
|
f ( 1 ) 1 | n
1 2n2
|
f "( ) |
数学竞赛讲座
王进良
无穷级数
判别级数的敛散性
1.
判别
ln( n! )敛散性
n1 n
解： (1)
0时
，ln(n!) n
，
(n
)
发散
(2)0
2时
，ln(n!) n
(n 1)ln2 n
ln 2 n 1
ln 2， n
发散
(3)
2时
，ln(n! n
)
n ln n n
ln n n 1
,
取
1
r
1，nln
n
1
ln n n 1r
2k 1
k1 1
1
1 2k 1
uk
j0
k2
j
j0[k 2
j
k2
2k
] j
k2
k
k2
k
,
又uk1
2k2
j0 (k
1 1)2
j
2k 3 (k 1)2
uk
{uk } ， (1)k uk收敛
k 1
原 级 数 的 部 分 和Sn与
(1)k
uk的
部
分
和T [
的关系：
n]
|
Sn
-
T [
|
n]
2[ [
n] n ]2
1k 1
0(
n
)
(1)[ n1 n
n]
收敛，条件收敛
4
4.
判敛散：
n1
(n
(1)n n2n a)nb(n
b)na
,a,b
0，
n2n
1
1
e(ab)
解：(n a)nb (n b)na
(n a)b( x b)a
[(1
a )(1
b )]n
na b
nn
(1)
b)n
a
0
/ (3)a
b
0时， (n
(1)n n2n a)nb(n
b)na
0
级数发散，
5
5. 判 敛 散 ： ln[1
n1
(
1)n np
]，
p
0
解：
ln[1
(1)n np
]
(1)n np
1 2n2 p
1 o( n2 p
)
(1)
p
1时，
n1
ln[1
(1)n np
]绝对收敛，
(2) 1 2
1 nr
1 nr
, 收敛
2
2.
判别 (
n1
n
)
1 2
ln
n
1敛
散
性
n1
n1
1
解： ( n 1 n)2
1
1
( n 1 n)2
ln n 1 ln(1 2 ) 2
n1
n1 n1
( n1 lim
n
1
n)2
5
ln
n n
1 1
lim
n
(
n1
1
1
n)2
lim
ln
n n
1 1
n n
2
n4
n4
1
an n2an
,
(2)
an
n1 1 an
解：
(1)
1
an n2an
an n2an
1 n2
收敛
(2)若{an }有界，0
an
M , an 1 an
1 1 M
an，
an 发散 n1 1 an
若{an
}无界
，则
1
an an
/
0，否则{an }有界
an 发散
n1 1 an
12
12. 设f ( x)为偶函数，在0点的某邻域内有连续二阶导数，且
(
n1
n
)
1 2
ln
n
1收
敛
n1
n1
3
判别级数的敛散性
3.
判别
(1)[
n]
敛散性
解：当n
n1
k2,
k
2
n
1,,
k
2
2k时
，[
n
]
k
考虑级数 (1)k
k 1
2k j0
1 k2
j
(1)k uk , 为交错级数
k 1
显 然,0
uk
2k 1 k2
0(k
)
下证 : {uk }
注意到,(k 2 j)(k 2 2k j) (k 2 k)2 ,(0 j k)
n1 |
n
sinx |
x p 1 dx
1 np
,级数绝对收敛。
(2)0 p 1,时，an
n1 sinx
1
n
x
p
1
dx
p n
1
n1 n
s
inxdx
2(1)n
(
p n
1)
其
中
，
p n
[n,
n
1]
2
2
2
0
(
p n1
1)
(
p n
1)
{
(
p n
} 1)
0
an条件收敛。 n0
9
9.
判别
1 敛散性
| lim
a
b
1时，
n1
(n
n2n a )n b (n
b)na
收敛，
(2)当0
a
b
1时 ，f
(x)
(x
x2x a)xb ( x
b)xa
[ln
f 0
( x)]' ab
0 ln[ f ( x)] f ( x)
1时，
n1
(n
(1)n n2n a)nb(n
且 b)na
n2n (n a)nb(n 条件收敛，
n1
n2
un发 散
2n1
S2n
k2
(1)k ( 1 1 ) ( 1 1 ) (
k (1)k
32
54
1 2n 1
1 )0 2n
{ S2n1 }
又S2n (
1 4
1 )( 1 26
1 )( 4
{S2n }收 敛 。
1 2n 2
1 ) 1 1 2n 2n 2 2
1 . 2
S2n1
1 1 1 1 1 1 xn1 xn 1 xn 1 xn xn xn1
部分和：Sn
n1 k1 1 xk
n [1 x k 1 k
1 ] 1 xk 1
1 xn1
又xn1
xn
xn2
xn1
xn
1{ 1 } xn
有下界0
11
11. 设an 0, an发散，试判断敛散性
n1
(1)
n1
n1 n (n!)
解：
斯特林公式：n! 2n nn enn /(12n)
1
e
n
12n2
e
n (n!)
(2n)2n n
n
1时，级数收敛； 1时，级数发散。
10
10.
设x1
1, xn1
xn
xn2
,
证明：
n1
1
1 xn
收敛
证明： xn1 xn xn2 xn1 xn (1 xn )
n1
n
当
1，2，时，sin[ n2
n
]
(1)n
sin
n
n
{sin } 0,
n2 sin[
n
]条件收敛
n
n1
n
7
7.
证明：级数
(1)n 条件收敛
n2 n (1)n
解：级数为交错级数，且un
1 0(n ),但不单调。 n (1)n
un
1
,而
n 1 n2
考虑部分和
1 发 散，
S2n
u2 n 2
lim
n
S2n
lim
n
S2n1
{Sn }条 件 收 敛 。
8
8. 解：
设an
n1 n
sinx
xp 1
dx,
n
1,2,..
.n.,
p
0,
证
明
：
(1) p 1, an绝 对 收 敛 ；(2)0 p 1,时 ， an条 件 收 敛 。
n0
n0
(1) p 1时，| an |