新数学竞赛讲座(第三讲)级数
三年级下册数学竞赛试题：第三讲 算式谜-全国通用
第三讲算式谜3.1填运算符号[同步巩固演练]1、从+、-、×、÷中选出合适的符号，添入下列各算式的合适的地方，使结果等于已知数。
（1）1 2 3 4 5=1（2）5 5 5 5 5=6（3）9 9 9 9 9=11（4）9 9 9 9 9=122、从+、-、×、÷（）中挑选出合适的符号，添入下列算式的合适的地方，使结果等于已知数。
（1）4 4 4 4 4=1（2）5 5 5 5 5=2（3）6 6 6 6 6=3（4）7 7 7 7 7=4（5）9 9 9 9 9=19（6）9 9 9 9 9=203、在下面的数字之间添上运算符号及括号，使等式成立。
（1）1 2 3=1（2）1 2 3 4=1（3）1 2 3 4 5=1（4）1 2 3 4 5 6=14、（首届华罗庚金杯少年数学邀请赛试题）将+、-、×、÷分别填在适当的圈中，每种运算符号只能用一次，并在方框中填上适当的整数，可以使下面的两个等式成立，这时方框中是几？9○13○7=100 14○2○5=□5、在下面○里填上适当的运算符号（+、-、×、÷都要用到，每一种只能用一次），使运算结果等于右边的数。
3○3○3○3○=36、在下列算式中□中，添入加号和减号，使等式成立。
（1）1□23□4□5□6□78□9=100（2）12□3□4□5□6□7□89=1007、在下列算式中合适的地方添上+、—号，使等式成立。
（1）9 8 7 6 5 4 3 2 1=21（2）9 8 7 6 5 4 3 2 1=238、在下面的式子里加上（）和[ ]，使它们成为正确的等式。
（1）217—49×8+112÷4—2=89（2）217—49×8+112÷4—2=1370（3）217—49×8+112÷4—2=728[能力拓展平台]1、从+、—、×、÷（）中，挑选出台适的符号，添入下列各算式的合适地方，使结果等于1998（1）5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 =1998（2）6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 =1998（3）7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 =19982、只添一些加号和减号于下列各式的合适地方，使算式的结果等于已知数。
数学竞赛精讲精练专题—调整与操作问题
n (0,0)(0,0)→a b b a (,)(,)b a (,)a b (,)(1,1)a b i i (,)<b b k n <a a k m ≥k n m ,≤b b m i ≤a a n i m n i a b k k (,)a b (,)22a b (,)11(0,0)<b d <a c c d (,)a b (,)a i b i =+b a i i 1b n {}+a k 22a i b i =+b a i i 2b n {}a 2+a k 22a 2a 1+k 22=n k =n 1a a a n ,,,242-a a a n ,,,1321n a a a n ,,,122n 2n n 2例1． 朱丽叶和约翰玩一个含有张卡片的游戏．每张卡片上都有一个正整数，将这些卡片排成一排，且每张卡片上的数字都可以看到．两人轮流以下面的方式取卡片：每一轮，每个人要么取走最左面的卡片，要么取走最右面的卡片．每个人最后总分为他在这轮后所取的所有卡片上的数字之和．证明：若约翰先取卡片，他总能使其最后总分不少于朱丽叶的最后总分．（2008荷兰国家队选拔考试）解：设从左至右的张卡片分别为．对用数学归纳法证明：约翰若是想拿到“”和“”其中之一，这件事总能做到． （1）时，命题显然成立．（2）假设时，命题成立．考虑张卡片．若约翰想得到奇数号卡片，则他先拿，此时朱丽叶只能拿或．○1 若朱丽叶拿的是，则经过这两次取卡片后，对应一个新序列，．由假设可知，约翰可拿走奇数位的，故它可取走全部奇数位的．② 若朱丽叶拿的是，则经过这两次取卡片后，对应一个新序列，．由假设可知，约翰可拿走偶数位的，故它可取走全部奇数位的． 同理可证约翰想得到偶数号卡片的情况． 进而命题得证．由于每张卡片上的数字事先都可以看到，故约翰可事先计算奇数位和偶数位上的数字之和，依据结果取卡片，从而保证他最后总分不少于朱丽叶最后总分．例2． 甲、乙两人玩下面的游戏．甲先开始．规定：他们轮流写非负整数对，使得对于任意前面写过的数对，要么，要么．若谁被迫写，则谁输．（1）证明：游戏在有限次操作后结束；（2）问：谁有获胜策略？ （2009白俄罗斯）解（1）假设可以进行无限次操作．设写出的数对分别为，，，，， 则对于所有的，存在正整数、，使得，．对于任意，则有或，矛盾．因此，只有有限个满足条件．（2）甲获胜．第一次操作甲选．若乙选数对，则甲选．注意到甲每次操作后，由于对应着变换，于是可能的数对构成的集合没有改变，而乙每次操作后，可能的数对构成的集合改变了，因此，甲总能不取．例3． 在平面直角坐标系中，最初在点处有一只跳蚤．随后他进行了次跳跃，在国内外各级数学竞赛中，常常有调整和操作变换问题，调整是组合构造的一种常 用手段，我们所构造的对象，常常需要同时满足多个条件，此时可先构造一个初胚，使之满足部分条件，进而对其中一些元素进行适当调整，使之逐步满足题设的所有条件。
数学竞赛难点之无穷级数
第四章 无穷级数4.1.基本概念与内容提要级数11n n n n a ca ∞∞==∑∑与收敛性相同。
若级数11n n n n a b ∞∞==∑∑与都收敛，则级数1()n n n a b ∞=±∑也收敛，且111()n n n n n n n a b a b ∞∞∞===±=±∑∑∑。
若级数11n n n n a b ∞∞==∑∑与都发散，则级数1()n n n a b ∞=±∑不一定发散。
若级数11n n n n a b ∞∞==∑∑收敛，发散，则级数1()n n n a b ∞=±∑必发散。
由级数1()n n n a b ∞=+∑收敛不能得到级数11n n n n a b ∞∞==∑∑与收敛。
11111,1;11n n n n qq q q q∞∞--==<=≥-∑∑等比级数当时收敛且当时发散。
P 级数11p n n ∞=∑，当p>1时收敛，当01p <≤发散。
其中调和级数11n n ∞=∑发散。
级数11n n k ∞=+∑发散，其中k 为正常数。
级数11()n n n a a ∞+=-∑收敛lim n n a →∞⇔存在。
如果级数1n n a ∞=∑收敛，则lim 0n n a →∞=。
如果lim 0n n a →∞≠，则级数1n n a ∞=∑必发散。
改变一个级数的任意有限项，不改变其敛散性，但在收敛时原级数的和改变。
收敛级数加括号后仍收敛于原级数和。
若加括号后所得级数发散，则原级数也发散。
正项级数审敛法：()n 1n 11111.S 2.lim 0,n n nn n n n n n n n na Ma l lb a a b b ∞=∞∞∞∞→∞====⇔≤=>⇒⇒∑∑∑∑∑正项级数的收敛准则：收敛正项级数比较判别法：大收小必收，小散大必散。
若则收敛收敛；发散发散。
n n 1111111lim 0,lim ,13.0111n nn n n n n n n n n n n n p n n n n a a b a b a b b a p a n ρρρρρ∞∞∞∞→∞→∞====∞∞∞====⇒=+∞⇒=≤<>=∑∑∑∑∑∑∑若则收敛收敛。
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第三讲韦达定理及其应用(含答案)
第三讲韦达定理及其应用趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣：常利用业余时间钻研数学.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代生之父”历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提岀了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得岀一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）•消息传开，数学界为之震惊.同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达左理，你能利用韦达泄理解决下而的问题吗？已知：①0+2“一1=0,②夕一2沪一1=0日1 一c/HO.求（严a 的值。
解析由①知1 + 2丄一丄=0・a cr即（丄尸+2丄一1 = 0,③a a由②知（护）2一2沪一1=0,④由韦达泄理，得丄+ Z/=2丄，=一1 ,a a...严=［（* +町+ 乡「（2-1 严62为一元二次方程2 -21-1 =0的两根。
点评本题的关键是构造一元二次方程X2-2A-1=0,利用韦达立理求解，难点是将①变形成③，易错点是忽视条件1 一ab2 #0,而把“，一夕看作方程/+加一1 =0的两根来求解.知识延伸】例1已知关于x的二次方程2x2+av-2z/+l= 0的两个实根的平方和为7丄，求“的值. 4解析设方程的两实根为小，也，根据韦达泄理，有一2“ +1于是，Xj24-A22=（X14-X2）2-2.¥I%2=—G?+8a_4) 4依题设，得丄(0+&』一4) = 7丄，解得t/=-ll 或3 •注意到小畑 为方程的两个实数根，则△$()，4 4但 “=一11 时，△= (-11) 2+16X (-11) -8=-63<0： “=3 时，Z\ = 32—4X2X (-6+1) =49 >0,故“=3・点评 韦达左理应用的前提是方程有解，即判别式△=(),本题容易忽视的就是求岀“的值后，没有 考虑“的值满足△$()这一前提条件。
小升初第三讲――专题训练之数论问题.(优选)
小升初专项训练---数论数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。
翻开任何一本数学辅导书，数论的内容都占据了不少的版面。
在小升初择校考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的12%左右，小学阶段的数论知识点主要有：1、质数与合数、因数与倍数、分解质因数2、数的整除特征及整除性质3、余数的性质、同余问题4、位值原理5、最值问题知识点一：质数与合数、因数与倍数、分解质因数1.质数与合数突破要点——质数合数分清楚，2是唯一偶质数(1)质数：一个数除了1和它本身以外，没有其他的因数，这样的数统称质数。
(2)合数：一个数除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数统称合数。
例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。
在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数2约数与倍数公因数短除法到一个不能除为止，公倍数除到海枯石烂为止，因数有限个，倍数无穷多。
如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
自然数a1，a2，…，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，an）表示，例如，（6，9，15）=3。
3．质因数与分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。
（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。
其中2、3、7叫做42的质因数。
又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。
4、要注意以下几条：（1）1既不是质数，也不是合数。
级数知识点总结竞赛
级数知识点总结竞赛1. 级数的概念级数是一种特殊的数列，它由无穷个项的和组成。
级数的一般形式如下所示：\[ a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots \]其中\(a_1, a_2, a_3, \cdots\)为级数的各项。
级数的前n项和为\(S_n\)，表示为：\[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n \]级数之和为级数的全体项之和，当级数的和存在并有限时，称级数收敛；当级数的和不存在或为无穷大时，称级数发散。
2. 级数的性质级数具有一些重要的性质，包括线性性质、级数和的比较性质、级数的绝对收敛性等。
(1) 线性性质：级数之和和级数之差仍然是级数，级数的和等于各项和的和。
(2) 级数和的比较性质：如果级数a和级数b满足某种关系，则它们的和也满足相同的关系。
(3) 级数的绝对收敛性：如果级数的各项的绝对值组成的级数收敛，那么级数原来的级数也收敛。
3. 级数收敛性的判定方法级数收敛性的判定方法有很多种，主要包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法和审敛变换等。
接下来我们分别介绍这些方法。
(1) 比较判别法：比较判别法是通过比较级数的每一项与已知级数的每一项大小关系来判断级数的收敛性。
如果级数的每一项小于已知级数的对应项，并且已知级数收敛，则原级数也收敛。
如果级数的每一项大于已知级数的对应项，并且已知级数发散，则原级数也发散。
(2) 比值判别法：比值判别法是通过求级数的各项之比的极限来判定级数的收敛性。
具体判定条件为：如果级数\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)的极限存在并小于1，则级数收敛；如果\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)的极限存在且大于1或无穷大，则级数发散。
(3) 根值判别法：根值判别法是通过求级数的各项绝对值的n次方根的极限来判定级数的收敛性。
具体判定条件为：如果级数\((a_n)^\frac{1}{n}\)的极限存在并小于1，则级数收敛；如果\((a_n)^\frac{1}{n}\)的极限存在且大于1或无穷大，则级数发散。
数学竞赛无穷级数(习题)
58. 设 f .x/ 是以 2 为周期的连续函数，其傅立叶系数为 an、bn（n D 0; 1; 2; : : :）. 又
设
1 ∫ xCh
gh.x/ D 2h
f .t/ dt :
xh
试证明：(1) gh.x/ 也是以 2 为周期的周期函数，并且 gh.x/ 具有连续的导数；
(2) 求 gh.x/ 的以 2 为周期的傅立叶级数并说明此傅立叶级数在 . 1; C1/ 上收敛于
44.
设
p
D
X 1
nD0
.4n
4n
，q C 1/Š
D
X 1
nD0
.4n
4n
，计算 C 3/Š
p q
.
45. 计算 lim .1 x/3 P1 n2xn .
x!1
nD1
ˇˇf
46. .x0/
f设.x00f/ˇˇ.x6/
满足 kjx0
条 件 ： 对 于 任 意 x0 与 x00j. 对于给定的 x0，定义
51. 设 f .x/ D arcsin.sin x/，求 f .x/ 的以 2 为周期的傅立叶级数，并写出此傅立叶级 数的收敛和。
52. 设 f .x/ D x2， 6 x 6 . 试将 f .x/ 展开成以 2 为周期的傅立叶级数，并写出 它的收敛和。
53. 设 f .x/ D x2，0 6 x 6 2 . 试将 f .x/ 展开成以 2 为周期的傅立叶级数，并写出 它的收敛和。
.
X 1 .2n 1/ŠŠ 1 Án
7. 1 C
.2n/ŠŠ 2 D
.
nD1
(
8.
设 f .x/ D
x C 1; 0;
当 当
数学竞赛无穷级数(一)
n!1an 1
an 1
1
lim
ˇˇf .x/ˇˇ dx D 0. 记 un
f .x/ dx. 则无穷级数 P un 的敛散性
n!1 an
an
nD1
b
与瑕积分 f .x/ dx 的敛散性相同。
f .x/ dx 的敛散性相同。
nDa
a
3. 广义积分与无穷级数的收敛性的联系
定理 5 设 a 为一整数，函数 f .x/ > 0 在 Œa; C1/ 上单调减少，un
1
C1
f .n/. 则无穷级数 P un 的敛散性与广义积分
f .x/ dx 的敛散性相同。
nDa
a
例4
当实数
p
取何值时，级数
1
P
D
lim
n!1
anC1 .n C 1/Š.an nŠ
.n C 1/nC1
nn
D
lim
n!1
ann .n C 1/n
a
a
D lim
n!1
1
C
1 n
nD e:
所以当 a < e 时，原级数收敛；当 a > e 时，发散。
例1
设
a
>
0
为常数，试判断级数
1
P
nD1
an nŠ nn
的敛散性。
解 注意到
D
lim
n!1
anC1 .n C 1/Š.an nŠ
.n C 1/nC1
nn
D
lim
n!1
ann .n C 1/n
a
a
D lim
n!1
1
C
1 n
nD e:
高三数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式学案 大纲人教版
第三讲柯西不等式与排序不等式学习目标：1、认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义，掌握它们之间的关系．2、认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.3、了解排序不等式，会利用排序不等式证明有关的问题并掌握一些简单应用．重点：柯西不等式及排序不等式的应用.难点：利用柯西不等式求最值和排序不等式证明不等式学习策略：这部分内容是新增内容，是数学竞赛中的热点考点，随着数学素养的提高，高考可能会涉及。
学习时掌握好二维形式的柯西不等式的数组特点，理解好有序的数组的构造方法。
知识要点梳理一：柯西不等式1.二维形式的柯西不等式：（1）向量形式：设是两个向量，则（当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立）。
（2）代数形式：①若a、b、c、d都是实数，则（当且仅当ad=bc时，等号成立）②若a、b、c、d都是正实数，则（当且仅当ad=bc时，等号成立）③若a、b、c、d都是实数，则（当且仅当ad=bc时，等号成立）注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式：设，则。
2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。
3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。
二：排序不等式（又称排序原理）设为两组实数，是的任一排列，称为这两个实数组的顺序积之和简称顺序和；称为这两个实数组的反序积之和简称反序和或逆序和；称为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和；则≤≤即：反序和≤乱序和≤顺序和．当且仅当时，反序和等于顺序和。
注意：学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列．方法指导（1）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。
全国大学生数学竞赛培训讲义
第一讲O.Stolz公式一、序列的情况：例1：例2：求极限解：例3：提示：只需证明，由O.Stolz定理知从而故，()()22111112112 2.n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a ++++++−=−+==+=+→例4：二、函数极限的情况：例1：例2：例3：补充：用定义证明问题，例1：例2：证明：第二讲极限若干问题一、数列极限1、利用单调有界数列必有极限准则例1：，例2：例3：2、利用放缩法例1：例2：1、利用等价代换例1：例2：例3：例4：2、利用定积分例1：例3：求极限。
提示：例4：求极限提示：例5：求极限提示：3、利用中值定理例3：求下列极限：例4：4、其他1、例1：2、对数指数求极限法例1：由O.Stolz公式得，知，原式值为1/2。
例2：例3：3、等价无穷小量替换法例1：例2：求下列极限：（1）（2）解：第三讲函数相关问题1、函数的连续性例：2、函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
例：3、函数的最值定理例：4、函数的介值定理定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这区间必有最大最小函数值：f(min)=A,f(max)=B,且A≠B。
那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b)。
例：5、根的存在定理又称为零值点定理，即：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且：f(a)f(b)<0,那么在开区间(a,b)上，至少存在一点x0,使得：f(x0)=0.例：第四讲连续性例4：例5：第五讲导数例1：证明：例3：例4：例5：数。
例6：已知(sin )(1cos )x a t t y a t =−=−｛，第六讲积分1、不定积分2、定积分例1：例2：第七讲级数例1：例2：例3：例4：第八讲多元函数的积分大纲：矢量及其运算和空间解析几何，多元函数的微分及其性质和应用。
2024年高等数学竞赛讲义3第三部分中值定理与泰勒公式
第一节中值定理中值定理是微积分中的重要定理，它揭示了函数在一些区间上的平均变化率与其在该区间上一些点的瞬时变化率之间的关系。
中值定理一般有以下几种形式：1.罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是，如果一条曲线在两个端点处的斜率相等，那么在这之间必然存在一点，其切线的斜率为0。
2.拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理的几何意义是，如果一条曲线在两个端点处的斜率相差不大于整个区间的平均变化率，那么在这之间必然存在一点，其切线的斜率等于整个区间的平均变化率。
3.柯西中值定理：若函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=[f'(c)/g'(c)]。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它使得两个函数在一些点上的变化率可以完全不一样。
4.罗尔中值定理（三角函数形式）：若函数f(x)在(0,π/2)上连续，在(0,π/2)内可导，并且f(0)=f(π/2)=0，则在(0,π/2)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
这个定理的几何意义是，如果一条曲线在两个端点处的斜率都为0，则在这之间必然存在一个点，其切线的斜率也为0。
中值定理在微积分中具有非常广泛的应用，它可以用来证明一些重要的定理，例如费马定理和柯西-施瓦茨不等式等。
第二节泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要工具，它通过将函数在一些点处展开成无限项的幂级数，来近似表示函数在附近的取值。
一般来说，对于任意可导的函数f(x)，在一些点a处，可以将f(x)在a的一些邻域内展开成泰勒级数的形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。
高中数学竞赛 平面几何讲座第3讲 点共线、线共点
第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
1.点共线的证明点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零等。
n(n≥4点共线可转化为三点共线。
例1如图,设线段AB的中点为C,以AC和CB为对角线作平行四边形AECD,BFCG。
又作平行四边形CFHD,CGKE。
求证:H,C,K三点共线。
证连AK,DG,HB。
由题意,AD EC KG,知四边形AKGD是平行四边形,于是AK DG。
同样可证AK HB。
四边形AHBK是平行四边形,其对角线AB,KH互相平分。
而C是AB 中点,线段KH过C点,故K,C,H三点共线。
例2如图所示,菱形ABCD中,∠A=120为△ABC外接圆,M为其上一点,连接MC交AB于E,AM交CB延长线于F。
求证:D,E,F三点共线。
证如图,连AC,DF,DE。
因为M在上,则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB有△AMC∽△ACF,得CDCFCA CF MA MC==。
又因为∠AMC=BAC,所以△AMC∽△EAC,得AEADAE AC MA MC==。
所以AEADCD CF=,又∠BAD=∠BCD=120°,知△CFD∽△ADE。
所以∠ADE=∠DFB。
因为AD∥BC,所以∠ADF=∠DFB=∠ADE,于是F,E,D三点共线。
ACD E FH K G例3四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q。
由Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E,F。
求证:P,E,F三点共线。
证如图。
连接PQ,并在PQ上取一点M,使得B,C,M,P四点共圆,连CM,PF。
设PF与圆的另一交点为E’,并作QG丄PF,垂足为G。
易如QE 2=QM·QP=QC·QB①∠PMC=∠ABC=∠PDQ。
从而C,D,Q,M四点共圆,于是PM·PQ=PC·PD②由①,②得PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB,即PQ 2=QC·QB+PC·PD。
初中数学竞赛讲座——数论部分3(素数与合数)
第三讲素数与合数一、基础知识：对于任意正整数n>1，如果除1和n本身以外，没有其它的因数，那么称n 为素数，否则n称为合数。
这样，我们将正整数分为了三类：1，素数，合数。
例如：2，3，5，7，11，…都是质数。
1既不是质数也不是和数。
1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。
质数p和a互质，必要而且只要p|\a事实上，若p|a，则p和a除±1外还有公因数±p，故二者不互质。
若p|\a，则±p当然就不是p,a的公因数；但除了±p，只有±1才可能是p的因数，所以只有±1才可能是p，a的公因数，即二者互质。
显然任意两个不同的质数互质。
质数的性质性质1．素数中只有一个数是偶数，它是2.性质2．设n为大于1的正整数，p是n的大于1的因数中最小的正整数，则p为素数。
性质3．设a 是任意一个大于1的整数，则a 的除1 外最小正因数q 是一质数，并且当a是合数时，q≤证明：假设q不是质数，则由定义可知q除1及本身以外还有一正因数，设它为b，因而1<b<q。
但q|a，所以b|a，这与q是a的除1外的最小正因数矛盾，因而q是质数。
当a是合数时，则a=c·q且c>1，否则a是质数。
由于q是a的除1外的最小正因数，所以q小于等于c ，2q≤q c=a故q≤说明：此性质表明，一个合数a一定是不大于的某些质数的倍数。
换言之，如果所有不大于的质数都不能整除a，那么a一定是质数（作为性质4如下）。
此性质是我们检验一个数是否为素数的最常用的方法。
例如判断191是不是素数。
因为不大于<14的素数有2,3,5,7,11,13，由于191不能被2,3,5,7,11,13整除，所以191是质数。
这种方法还可以求不大于a的所有素数，例如，求50以内的全体素数。
由于不大于的质数有：2,3,5,7，可以在2,3,4,,50中依次划去2,3,5,7的倍数（保留2,3,5,7）最后余下的数就是50以内的全体质数。
初中数学竞赛讲座——数论部分3(素数与合数)
第三讲素数与合数一、基础知识：对于任意正整数n>1，如果除1和n本身以外，没有其它的因数，那么称n 为素数，否则n称为合数。
这样，我们将正整数分为了三类：1，素数，合数。
例如：2，3，5，7，11，…都是质数。
1既不是质数也不是和数。
1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。
质数p和a互质，必要而且只要p|\a事实上，若p|a，则p和a除±1外还有公因数±p，故二者不互质。
若p|\a，则±p当然就不是p,a的公因数；但除了±p，只有±1才可能是p的因数，所以只有±1才可能是p，a的公因数，即二者互质。
显然任意两个不同的质数互质。
质数的性质性质1．素数中只有一个数是偶数，它是2.性质2．设n为大于1的正整数，p是n的大于1的因数中最小的正整数，则p为素数。
性质3．设a 是任意一个大于1的整数，则a 的除1 外最小正因数q 是一质数，并且当a是合数时，q≤证明：假设q不是质数，则由定义可知q除1及本身以外还有一正因数，设它为b，因而1<b<q。
但q|a，所以b|a，这与q是a的除1外的最小正因数矛盾，因而q是质数。
当a是合数时，则a=c·q且c>1，否则a是质数。
由于q是a的除1外的最小正因数，所以q小于等于c ，2q≤q c=a故q≤说明：此性质表明，一个合数a一定是不大于的某些质数的倍数。
换言之，如果所有不大于的质数都不能整除a，那么a一定是质数（作为性质4如下）。
此性质是我们检验一个数是否为素数的最常用的方法。
例如判断191是不是素数。
因为不大于<14的素数有2,3,5,7,11,13，由于191不能被2,3,5,7,11,13整除，所以191是质数。
这种方法还可以求不大于a的所有素数，例如，求50以内的全体素数。
由于不大于的质数有：2,3,5,7，可以在2,3,4,,50中依次划去2,3,5,7的倍数（保留2,3,5,7）最后余下的数就是50以内的全体质数。
高二数学竞赛班讲义 第三讲 组合极值
高二数学竞赛班二试第三讲 组合极值问题班级 姓名一、知识要点：组合极值问题是各类数学竞赛的热点，它与代数，几何，数论等相比风格迥异。
解组合极值问题往往需要某种技巧，因此，需要解题者具有丰富的解题经验与良好的题感。
二、经典例题1 构造法我们常常通过构造抽屉，映射，表格等解决组合极值问题，有时还需要构造例子说明取到极值。
1.1构造抽屉例1．(2000年中国数学奥林匹克)某次考试有5道选择题，每题都有4个不同答案供选择，每人每题恰好选1个答案。
在2000份答案中发现存在一个 n ，使得任何 n 份答卷中都存在4份，其中每2份的答案都至多3题相同，求 n 的最小可能值。
例1：解：将每道题的4种答案分别记为1 ，2 ，3 ，4 ，每份试卷上的答案记为()k ,j ,i ,h ,g ,其中{}4321,,,k ,j ,i ,h ,g ∈。
令()()()(){}k ,j ,i ,h ,,k ,j ,i ,h ,,k ,j ,i ,h ,,k ,j ,i ,h ,4321,{}4321,,,k ,j ,i ,h ∈,共得256个四元组。
由于2000=256⨯7+208，故由抽屉原理知，有8份试卷上的答案属于同一个四元组。
取出这8份试卷后，余下的1992份试卷中仍有8份试卷属于同一个四元组，再取出这8份试卷，余下的1984份试卷中又有8份属于同一个四元组。
又取出这8份试卷，三次共取出24份试卷。
在这24份试卷中，任何4份中总有2份的答案属于同一个四元组，当然不满足题目的要求，所以 n ≥ 25 。
下面证明 n 可以取到25。
令()(){}{}432140,,,k ,j ,i ,h ,g ,mod k j i h g |k ,j ,i ,h ,g S ∈≡++++=，则 |S| =256 ，且S 中任何2种答案都至多有3题相同。
从 S 中去掉6个元素，当余下的250种答案中的每种答案都恰有8人选用时，总有4份不相同。
小学数学竞赛教练员辅导讲义
例 2. 一批商品，按 50%的利润定价，销售掉 70%以后，为了尽快售完剩下的商品，决 定按定价打折，这样，全部商品售完后所获得的利润只有 41%，问打了多少折扣？
（一）比赛胜负场次问题
例 1. 甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场。结果甲胜了 丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。问丁胜了几场? （第一届华杯赛初赛第 10
题）
例 2. 10 个队进行循环赛，胜队得 2 分，负队得 1 分，无平局。其中有两队并列第一， 两队并列第三，有两个队并列第五，以后无并列情况。请计算出各队得分. （第八届华杯赛 决赛二试第 5 题）
么？（第五届小数报初赛第 11 题）
思考题：设 n = 21×4244×2K4K4×432 ，那么 n 的末两位数字是什么？（第七届迎春杯第 1991
38 题）
二、化归、递推法
化归是指转化和归结的意思，就是将当前有待解决的问题，经过转化，归结为已经解决 或容易解决的问题。
递推法是指为了解决一个问题，先考虑与它有关的另一个比较简单 的问题，并加以解 决，然后以此为基础，寻求规律，一步一步递推出原题的解答。
例 8. 在电脑中先输入一个数，它会按给定的指令进行如下计算：如果输入的是偶数， 就把它除以 2；如果输入的是奇数，就把它加上 3.同样的运算进行了 3 次，得出结果为 27， 则原来输入的数是多少？（第七届小数报数学竞赛填空第 6 题）
例 9. 有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克，先将甲桶的油倒入乙、丙两桶，使它 们各自增加原有油的一倍，再将乙桶的油倒入甲、丙两桶，使它们各自增加原有油的一倍， 最后，按同样的方法将丙桶倒入甲、乙两桶，这样三桶内的油都是 16 千克，问：甲、乙、 丙三个油桶原有油多少千克？
2022年湖南省长沙市天心区长沙市雅礼外国语学校七年级数学竞赛班专题第三讲：找规律与坐标
第三讲：找规律与坐标1．如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点O 出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（2，﹣2），第4次接着运动到点（4，﹣2），第5次接着运动到点（4，0），第6次接着运动到点（5，）…按这样的运动规律，经过2019次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是．2．如图，弹性小球从点P （0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P 1，第2次碰到矩形的边时的点为P 2，…，第n 次碰到矩形的边时的点为P n ，则点P 3的坐标是 ；点P 2014的坐标是 ．第1题图 第2题图3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，…，根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为____________.4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，……根据这个规律，第2021个点的横坐标为_______．5．如图，把自然数按图的次序排在直角坐标系中，每个自然数都对应着一个坐标．如的对应点是原点，的对应点是，的对应点是，那么的对应点的坐标是____________第3题图 第4题图第5题图6．如图，在一单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7……，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2 （1．﹣1），A 3（0，0），则依图中所示规律，A 2018的坐标为7．如图，电子跳蚤游戏盘为△ABC ，AB ＝8，AC ＝9，BC ＝10，如果电子跳蚤开始时在BC 边上的P 0点，BP 0＝4．第一步跳蚤跳到AC 边上P 1点，且CP 1＝CP 0；第二步跳蚤从P 1跳到AB 边上P 2点，且AP 2＝AP 1；第三步跳蚤从P 2 跳回到BC 边上P 3点，且BP 3＝BP 2；…跳蚤按上述规则跳下去，第n 次落点为P n （n 为正整数），则点B 与P 2012之间的距离为_____________.8．如图，点O （0，0），A （0，1）是正方形OAA 1B 的两个顶点，以OA 1对角线为边作正方形OA 1A 2B 1，再以正方形的对角线OA 2作正方形OA 1A 2B 1，…，依次规律，则点A 8的坐标是 ．()1,0()2,0()2,1()1,1()1,2()2,21()0,03()1,116()1,2-2004第6题图 第7题图 第8题图9．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，点是轴正半轴上的整点，记内部（不包括边界）的整点个数为，当时，点的横坐标的所有可能值是___________；当点的横坐标为（为正整数）时，____________（用含的代数式表示）．10．如图，智能机器猫从平面上的O 点出发，按下列规律走：由O 向东走12cm 到1A ，再由1A 向北走24cm 到2A ，由2A 向西走36cm 到3A ，由3A 向南走48cm 到4A ，由4A 向东走60cm 到5A ，…，问：智能机器猫到达6A 点与O 点的距离是多少？第10题图 第11题图11．如果将点绕定点旋转后与点重合，那么称点与点关于点对称，定点叫做对称中心，此时，点是线段的中点。
中国大学生数学竞赛数学专业类竞赛大纲
中国大学生数学竞赛数学专业类竞赛大纲中国大学生数学竞赛数学专业类竞赛大纲中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.极限与连续1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、Beseel 不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.线性方程组1.高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵线性空间1.线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.欧氏空间1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。
三年级下册数学讲义-竞赛专题：第三讲-间隔问题(含答案解析)人教版
知识概述植树问题：植树问题关键在于段数与棵树的相互转换。
段数=总距离÷棵距一、不封闭路线：（1）在一段距离中,两端都植树, 棵数=段数+1;（2）在一段距离中,两端都不植树, 棵数=段数-1;（3）在一段距离中,一端不植树, 棵数=段数.二、封闭路线：如环湖栽树、游泳池等在封闭曲线上植树,棵数=段数=周长÷棵距爬楼问题：爬楼层数=楼的层数-1（第一层楼不用爬）锯木头问题：锯木头的段数=锯的次数+1 （锯第一次得两段）间隔问题主要包括植物问题、锯木头问题、爬楼问题、敲钟问题等，是一类有多种实际背景的问题，问题的关键是一条线（封闭与不封闭）上分点数与点与点之间的间隔之间的关系，有时还涉及到总长度，间隔数及一个间隔的长度的计算。
植树问题是典型的间隔问题，掌握了植物问题其它类型也就迎刃而解了。
名师点题间隔问题植树节那天，三年级的小朋友打算在30米长的路一边栽树，从一端起，每隔5米栽一棵，(1)两端都要栽。
小鸥说：“一共要栽6棵。
”小雅说：“一共要栽7棵。
”谁说得对呢？(2)如果两端都不栽树，一共要栽几棵？(3)如果一端栽树，另一端不栽树，一共要栽几棵？【解析】每隔5米栽一棵，那也就是说，30米里有几个5米就是栽了几棵树，所以用3056÷=（棵）。
看起来，小鸥的想法是对的，但是不符合实际。
我们画一条直线段表示30米长的路，然后在线段上按照要求画上小树苗，如图所示。
5米5米5米5米5米5米可以看到一共栽了7棵树。
那也就是说，用305÷求到的是有几个间隔，也就是这条路被分成几段，但是因为两端都栽了树，所以棵数应该比间隔数多1。
（1）11=+=÷+棵数段数总距离棵距=30517÷+=（棵）。
因此小雅说得对，一共要栽树7棵。
（2）两端都不栽树，段数-1=6-1=5棵（3）一端栽一端不栽，棵树=段数=6棵600米长的马路一侧装了一排路灯，起点和终点都装了，一共16盏，相邻两盏之间的距离相等，求相邻两盏路灯之间相距多少米？【解析】在马路的一侧装了16盏路灯，16盏路灯减去起点处的一盏，就有16115-=个间距。
不等式讲义.第三讲---均值不等式
高二数学竞赛班二试讲义 第三讲 均值不等式班级 姓名一、知识要点：1．用好不等式11111()()4,()()9(,,)a b a b c a b c R a b a b c+++≥++++≥∈，222a b c ab bc ca ++≥++，2()3()a b c ab bc ca ++≥++等不等式．2．不等式的对称性设12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅是一个n 元函数。
若将12,,,n x x x ⋅⋅⋅中任意的两个变元互相交换位置，得到的f 与原式是恒等的，则称12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅是完全对称的， 如xy yz zx ++，a b c b c c a a b+++++等。
设12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅是一个n 元函数。
若作置换122311,,,,n n n x x x x x x x x -→→⋅⋅⋅→→，得到的f 与原式是恒等的，则称12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅是轮换对称的，如333x y y z z x ++，a b c a b b c c a+++++等。
显然，完全对称的一定是轮换对称的。
二、例题精析例1．设正实数a 、b 、c 满足：abc =1，求证：对于整数2k≥，有32k k k a b c a b b c c a ++≥+++例2．已知,,0a b c >，1a b c ++=，求证：32a bcb cac ab a bc b ca c ab ---++≤+++例3．设正实数,a b 满足1a b +=，正实数125,,,x x x ⋅⋅⋅满足1251x x x ⋅⋅⋅=，求证：125()()()1ax b ax b ax b ++⋅⋅⋅+≥例4．设12,,,n x x x ⋅⋅⋅是正实数，求证：1112123112(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x x x x x x n x x x +++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+≥+⋅⋅⋅三、精选习题1．求出最大的正实数λ，使得对于满足2221x y z ++=的任何实数x 、y 、z 成立不等式：52x y y z λ+≤。
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n2
un发 散
2n1
S2n
k2
(1)k ( 1 1 ) ( 1 1 ) (
k (1)k
32
54
1 2n 1
1 )0 2n
{ S2n1 }
又S2n (
1 4
1 )( 1 26
1 )( 4
{S2n }收 敛 。
1 2n 2
1 ) 1 1 2n 2n 2 2
1 . 2
S2n1
p
1时， ln[1
n1
(
1)n np
]条件收
敛
，
(3)0
p
1
时，
ln[1
2
n1
(1)n np
]发
散。
6
6.
判敛散：
n2 sin[
n
]，
,
0
n1
n
解：
n2 sin[
n
]
(1)n sin[(
) ]
n
n
/ 当 1，2，时，sin[n2 n ] 0 n
n2 sin[
n
]发散。
b)n
a
0
/ (3)a
b
0时， (n
(1)n n2n a)nb(n
b)na
0
级数发散，
5
5. 判 敛 散 ： ln[1
n1
(
1)n np
]，
p
0
解：
ln[1
(1)n np
]
(1)n np
1 2n2 p
1 o( n2 p
)
(1)
p
1时，
n1
ln[1
(1)an n2an
,
(2)
an
n1 1 an
解：
(1)
1
an n2an
an n2an
1 n2
收敛
(2)若{an }有界，0
an
M , an 1 an
1 1 M
an，
an 发散 n1 1 an
若{an
}无界
，则
1
an an
/
0，否则{an }有界
an 发散
n1 1 an
12
12. 设f ( x)为偶函数，在0点的某邻域内有连续二阶导数，且
2k 1
k1 1
1
1 2k 1
uk
j0
k2
j
j0[k 2
j
k2
2k
] j
k2
k
k2
k
,
又uk1
2k2
j0 (k
1 1)2
j
2k 3 (k 1)2
uk
{uk } ， (1)k uk收敛
k 1
原 级 数 的 部 分 和Sn与
(1)k
uk的
部
分
和T [
的关系：
n]
|
Sn
-
T [
n1 n (n!)
解：
斯特林公式：n! 2n nn enn /(12n)
1
e
n
12n2
e
n (n!)
(2n)2n n
n
1时，级数收敛； 1时，级数发散。
10
10.
设x1
1, xn1
xn
xn2
,
证明：
n1
1
1 xn
收敛
证明： xn1 xn xn2 xn1 xn (1 xn )
| lim
1 1 1 1 1 1 xn1 xn 1 xn 1 xn xn xn1
部分和：Sn
n1 k1 1 xk
n [1 x k 1 k
1 ] 1 xk 1
1 xn1
又xn1
xn
xn2
xn1
xn
1{ 1 } xn
有下界0
11
11. 设an 0, an发散，试判断敛散性
n1
(1)
n1
1 nr
1 nr
, 收敛
2
2.
判别 (
n1
n
)
1 2
ln
n
1敛
散
性
n1
n1
1
解： ( n 1 n)2
1
1
( n 1 n)2
ln n 1 ln(1 2 ) 2
n1
n1 n1
( n1 lim
n
1
n)2
5
ln
n n
1 1
lim
n
(
n1
1
1
n)2
lim
ln
n n
1 1
n n
2
n4
n4
S2n
u2 n 2
lim
n
S2n
lim
n
S2n1
{Sn }条 件 收 敛 。
8
8. 解：
设an
n1 n
sinx
xp 1
dx,
n
1,2,..
.n.,
p
0,
证
明
：
(1) p 1, an绝 对 收 敛 ；(2)0 p 1,时 ， an条 件 收 敛 。
n0
n0
(1) p 1时，| an |
a
b
1时，
n1
(n
n2n a )n b (n
b)na
收敛，
(2)当0
a
b
1时 ，f
(x)
(x
x2x a)xb ( x
b)xa
[ln
f 0
( x)]' ab
0 ln[ f ( x)] f ( x)
1时，
n1
(n
(1)n n2n a)nb(n
且 b)na
n2n (n a)nb(n 条件收敛，
(
n1
n
)
1 2
ln
n
1收
敛
n1
n1
3
判别级数的敛散性
3.
判别
(1)[
n]
敛散性
解：当n
n1
k2,
k
2
n
1,,
k
2
2k时
，[
n
]
k
考虑级数 (1)k
k 1
2k j0
1 k2
j
(1)k uk , 为交错级数
k 1
显 然,0
uk
2k 1 k2
0(k
)
下证 : {uk }
注意到,(k 2 j)(k 2 2k j) (k 2 k)2 ,(0 j k)
n1
n
当
1，2，时，sin[ n2
n
]
(1)n
sin
n
n
{sin } 0,
n2 sin[
n
]条件收敛
n
n1
n
7
7.
证明：级数
(1)n 条件收敛
n2 n (1)n
解：级数为交错级数，且un
1 0(n ),但不单调。 n (1)n
un
1
,而
n 1 n2
考虑部分和
1 发 散，
f
(0)
1,
f '(0)
0,
f "(0)
2,证 明
|
f ( 1 ) 1 |收 敛
n1
n
证明：
f (1) n
f (0)
f '(0) 1 n
1 2
f
"(
)
1 n2
,
(0, 1 )
n
f (0) 1, f "(0) 2, f '(0) 0
|
f ( 1 ) 1 | n
1 2n2
|
f "( ) |
|
n]
2[ [
n] n ]2
1k 1
0(
n
)
(1)[ n1 n
n]
收敛，条件收敛
4
4.
判敛散：
n1
(n
(1)n n2n a)nb(n
b)na
,a,b
0，
n2n
1
1
e(ab)
解：(n a)nb (n b)na
(n a)b( x b)a
[(1
a )(1
b )]n
na b
nn
(1)
数学竞赛讲座
王进良
无穷级数
判别级数的敛散性
1.
判别
ln( n! )敛散性
n1 n
解： (1)
0时
，ln(n!) n
，
(n
)
发散
(2)0
2时
，ln(n!) n
(n 1)ln2 n
ln 2 n 1
ln 2， n
发散
(3)
2时
，ln(n! n
)
n ln n n
ln n n 1
,
取
1
r
1，nln
n
1
ln n n 1r
n1 |
n
sinx |
x p 1 dx
1 np
,级数绝对收敛。
(2)0 p 1,时，an
n1 sinx
1
n
x
p
1
dx
p n
1
n1 n
s
inxdx
2(1)n
(
p n
1)
其
中
，
p n
[n,
n
1]
2
2
2
0
(
p n1
1)