高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列；

（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式．

2.（本小题满分12分）

等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式.

2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前项和.

3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S

4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．

5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．

（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；

（2）求{a n}的通项公式．

1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14

3

n n a a -=

． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．

所以{}n a 是首项为1，公比为4

3

的等比数列． 7分

（2）解：因为14

()3

n n a -=，

由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114

()3

n n n b b -+-=． 9分

由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

＝1)34(33

41)34(1211

-=--+--n n ，

（2≥n ），

当n=1时也满足，所以1)3

4

(31-=-n n b ．

2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32

34

9a a =所以21

9

q =。有条件可知a>0,故13

q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以113

a =。故数列{a n }的通项式为a n =1

3n 。

（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++

(12...)

(1)

2

n n n =-++++=-

故

12112()(1)1

n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311

n n b b b n n n +++=--+-++-=-++

所以数列1

{}n

b 的前n 项和为21n n -+

3.解：

（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，

111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+

+-+

21233(222)2n n --=++

++

2(1)12n +-=。 而 12,a =

所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。 （Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知

35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+

+⋅ ①

从而

23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅ ②

①-②得

2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=+++

+-⋅ 。 即 211

[(31)22]9

n n S n +=-+

4.解：（1）设{a n }的公差为d ，

由已知得

解得a 1=3，d=﹣1 故a n =3+（n ﹣1）（﹣1）=4﹣n ；

（2）由（1）的解答得，b n =n•q n ﹣

1，于是

S n =1•q 0+2•q 1+3•q 2+…+（n ﹣1）•q n ﹣

1+n•q n ． 若q ≠1，将上式两边同乘以q ，得

qS n =1•q 1+2•q 2+3•q 3+…+（n ﹣1）•q n +n•q n+1． 将上面两式相减得到

（q ﹣1）S n =nq n ﹣（1+q+q 2+…+q n ﹣

1）

=nq n﹣

于是S n=

若q=1，则S n=1+2+3+…+n=

所以，S n=

5.解：（1）证b1=a2﹣a1=1，

当n≥2时，

所以{b n}是以1为首项，为公比的等比数列．

（2）解由（1）知，

当n≥2时，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（a n﹣a n﹣1）=1+1+（﹣）+…+ ===，当n=1时，．

所以．