高中数学 3-5-2简单线性规划精品课件同步导学 新人教B版必修5
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人教新课标版数学高二B必修5课件3.5.2简单线性规划(二)
明目标、知重点
作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图所示.
明目标、知重点
设直线x＋y＝280与y轴的交点为M，则M(0,280)， 把直线l：0.5x＋0.8y＝0向上平移至经过平面区域上的点 M(0,280)时，z的值最小，∵点M的坐标为(0,280)， ∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运 280万吨，向西车站运20万吨时，总运费最少.
∴甲种原料154×10＝28 (g)，乙种原料 3×10＝30 (g)，费用
最省.
明目标、知重点
探究点二 非线性目标函数的最值问题 思考 一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用 数形结合的思想加以解决，例如： ①z＝x2＋y2表示可行域中的点(x，y)与原点(0,0)距离的平方； ②z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域中的点(x，y) 与点(a，b)距
明目标、知重点
1234
y≤1， 4.已知实数 x，y 满足x≤1，
x＋y≥1，
1 则 z＝x2＋y2的最小值为__2__.
解析 实数x，y满足的可行域如图中阴影部
分所示，
则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方， 故 zmin＝ 122＝12.
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是 在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可 能规范.
明目标、知重点
解 设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨
煤，那么总运费z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(300－y)万元，
即z＝780－0.5x－0.8y，
x≥0 y≥0 其中 x，y 应满足230000－ －xy≥ ≥00 x＋y≤280 200－x＋300－y≤360
作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图所示.
明目标、知重点
设直线x＋y＝280与y轴的交点为M，则M(0,280)， 把直线l：0.5x＋0.8y＝0向上平移至经过平面区域上的点 M(0,280)时，z的值最小，∵点M的坐标为(0,280)， ∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运 280万吨，向西车站运20万吨时，总运费最少.
∴甲种原料154×10＝28 (g)，乙种原料 3×10＝30 (g)，费用
最省.
明目标、知重点
探究点二 非线性目标函数的最值问题 思考 一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用 数形结合的思想加以解决，例如： ①z＝x2＋y2表示可行域中的点(x，y)与原点(0,0)距离的平方； ②z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域中的点(x，y) 与点(a，b)距
明目标、知重点
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y≤1， 4.已知实数 x，y 满足x≤1，
x＋y≥1，
1 则 z＝x2＋y2的最小值为__2__.
解析 实数x，y满足的可行域如图中阴影部
分所示，
则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方， 故 zmin＝ 122＝12.
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是 在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可 能规范.
明目标、知重点
解 设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨
煤，那么总运费z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(300－y)万元，
即z＝780－0.5x－0.8y，
x≥0 y≥0 其中 x，y 应满足230000－ －xy≥ ≥00 x＋y≤280 200－x＋300－y≤360
数学人教B版必修5课件：3.5.2 简单线性规划2
，U＝2x－3y 取值的符号判断如下：
由 y＝23x－U3 .当 U＝0 时，过点 A(3,2)，往下平移．经过可行域 内的点－U3 ＜0，∴U＞0，即 2x＞3y.往上平移不经过可行域内 的点．故选 A.
【答案】A
变式训练 1：某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知 1 个 单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；1 个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需 要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质 和 54 个单位的维生素 C.如果 1 个单位的午餐、晚餐的费用分别 是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少， 应当为该儿童分别预订多个单位的午餐和晚餐？
A．－7
B．－4
C．1
D．2
【解析】本题考查线性规划与最优解．
由 x、y 满足的约束条件3x－x＋y－y－26≤≥00 y－3≤0
，画出可行域如图，
容易求出 A(2,0)、B(5,3)、C(1,3)， 可知 z＝y－2x 过点 B(5,3)时， z 最小值为 3－2×5＝－7.
【答案】A
例 1：4 个茶杯和 5 包茶叶的价格之和小于 22 元，而 6 个茶
杯与 3 包茶叶的价格之和大于 24 元，则 2 个茶杯和 3 包茶叶
的价格比较( )
A．2 个茶杯贵
B．3 包设茶杯每个 x 元，茶叶每包 y 元，
则46xx＋＋53yy＜＞2224 x，y∈N
0≤x≤2 变式训练 2：在条件0≤y≤2
x－y≥1
下，z＝(x－1)2＋(y－1)2 的取值
范围是________．
高中数学 3.5.2 简单线性规划课件 新人教B版必修5
求z＝4x－
[思路探索] 属于求线性目标函数的最值．
课堂讲练互动
解
7x－5y－23≤0 不等式组x＋7y－11≤0
4x＋y＋10≥0
所表示的可行域如图所示：
其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，作一族与4x－3y＝0平
行的直线l：4x－3y－z＝0，
当l过点C时，z值最小；当l过B点时，z值最大，
函数，求出目标函数的最值．
课堂讲练互动
注意：(1)最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多个，还 有可能不存在．
(2)在可行域中，如果存在使ax＋by达到最大值或最小值的点， 那么该点一般在该区域的顶点或边界上．
(3)解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽 可能精确，图上操作尽可能规范．但考虑到作图必然会有误 差，假如图上的最优解并不明显易辨时，不妨将几个有可能 是最优解的点的坐标都求出来，然后逐一检验，以确定最优 解．
课堂讲练互动
最优解
可行解 可行域
使目标函数达到 最大值或最小值的点的 坐标 ， 称为问题的最优解 满足线性约束条件的 解 ，叫做可行解
由所有 可行解 组成的集合叫做可行域
试一试：线性目标函数的最值与y的系数有何关系？
提示 一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b>0，则纵截距与z 同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b<0，则纵截距与z 异号，因此，纵截距最大时，z反而最小．
课堂讲练互动
(2)由23xx＋ －yy－ －23＝ ＝00， ， 得yx＝＝01.， 即A点坐标为(1,0)．同理，
距，当直线截距最大时，z的值最大．当然直线要与可行域相
交，即在满足约束条件时目标函数z＝2x＋y取得最大值；当直线
-高中数学人教B版必修5第三章352简单线性规划二课件
∵－32<－54<－14，
本 课
∴当直线z＝5x＋4y经过点A 95，2130 时，z取到最大值，且zmax＝
时 栏 目
5×95＋4×2130＝1815.
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
问题2
x＋4y≤11，
当变量x，y满足
3x＋2y≤10， x>0，y>0，
x∈Z，y∈Z
时，求z＝5x＋4y的最大
本 值及最优解．
课 时
解 若不考虑x∈Z，y∈Z，则当直线经过点A95，2130时，z＝1815，
栏 目
∵x∈Z，y∈Z，∴z∈Z.令z＝18，则5x＋4y＝18.
开 关
∵4y为偶数，18为偶数，∴5x为偶数，∴x为偶数．
结合可行域可知x＝2，从而y＝2.
经检验(2,2)在可行域内．
般的最优解后，再在可行域内适当调整，从而确定最优整数
解即可.
填一填·知识要点、记下疑难点
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
本
约束条件
由变量x，y组成的__不_等__式_或__方__程______
课 时 栏 目
由x，y的__一_次___不等式(或方程)组成的不 线性约束条件
等式组
开 关
目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y
时 栏
元，出售一个书橱可获利润 120 元．
目 (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
开 关
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
研一研·问题探究、课堂更高效
解 由题意可画表格如下：
方木料 五合板 利润
(m3)
数学：3.5.2《简单线性规划》课件(新人教B版必修5)
x - y 0 Zmin=2x+y=2x(-1)+(-1)=-3 (1)已知 x y - 1 0 y 1 0
求z=2x+y的最大值和最小值。
x+2y4, （2）在约束条件 x–y 1, 下 x+20 求目标函数z=3x–y的最小值和最大值 zmin=3(–2)–3= –9.
m ax
m in
11
求：
因此当x＝9，y＝8时，zmin＝－3×9＋2×8＝－11. 5 5 当x＝－2，y＝2时，zmax＝－3×(－2)＋2×2＝11.
例2.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1 kg要用煤9 t，电力4 KW，劳动力(按工作日计算)3个；制造乙产品1 kg 要用煤4 t，电力5 KW，劳动力10个．又知制成甲产品1 kg 可获利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现在此工厂只 有煤360 t，电力200 KW，劳动力300个，在这种条件下应生 产甲、乙两种产品各多少千克获得最大经济效益？ 解：设此工厂应分别生产甲、乙产品x kg、y kg，利润z万元，则依 题意可得约束条件：
y
x=1
C
x-4y=-3
A
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 3x+5y≤25 ， x≥1
y x=1
C x-4y=-3
Ａ
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 3x+5y≤25， x≥1
x－y－2＝0， 3 2 2 71 3 (2)求z＝x ∴t＝ 远．联立 ， ＋y 的最值．∴t＝，2 得C 24， 2 2y－3＝0，
人教新课标版数学高二B必修5课件 3.5.2 简单线性规划(一)
每袋体积(单 每袋质量(单位： 每袋利润(单位：
货物
位：m3)
百千克)
百元)
甲
5
1
20
乙
4
2.5
10
问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋(不一定都 是整袋)时，可获得最大利润？
解 设托运甲种货物x袋，乙种货物y袋，获得利润z百元， 则z＝20x＋10y.
5x＋4y≤24 依题意，可得关于 x，y 的约束条件2x＋5y≥13
小结 (1)在上述问题中，我们把要求最大值或最小值的函 数f＝30x＋40y叫做目标函数，目标函数中的变量所要满足 的不等式组称为约束条件. (2)如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标 函数，如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)， 则称为线性约束条件.
(3)在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问 题，称为线性规划问题.使目标函数达到最大值或最小值的 点的坐标，称为问题的最优解. (4)一般地，满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由 所有可行解组成的集合叫做可行域.
1234
x＋y≥3， 2.设变量 x，y 满足约束条件x－y≥－1，
2x－y≤3，
则目标函数 z
＝2x＋3y 的最小值为( )
A.6
B.7
C.8
D.23
解析 作出可行域如图所示.
1234
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最 小值为7. 答案 B
1234
3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴
呈重点、现规律
1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： (1)寻找线性约束条件，线性目标函数； (2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和 目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l； (3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点 的位置；
高中数学备课精选 3.5.2《简单线性规划》学案 新人教B版必修5
高中数学备课精选 3.5.2《简单线性规划》学案 新人教B版必修5【预习达标】1．对于变量x 、y 的约束条件，都是关于的一次不等式，称其为 ；z=f(x,y)是欲达到的最值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫 。
当z=f(x,y)是关于x 、y 的一次函数解析式时，z=f(x,y)叫做 。
2．试说明可行解、可行域、最优解的关系。
【课前达标】1．在直角坐标系xOy 中，△AOB 三边所在直线方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB 的内部和边上的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数为（ ）A ．95B ．91C ．88D ．752．变量x 、y 满足下列条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=+≥+≥+0,024323692122y x y x y x y x ，则使y=3x+2y 的值最小的最优点坐标为（ ）A ．（4.5，3）B ．（3，6）C ．（9，2）D ．（6，4）【典例解析】例⒈已知函数f(x)=ax 2－c ，满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的最大值与最小值，并求出相应的a 、c 的值。
例⒉家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序。
已知木工平均4小时做一把椅子，8个小时做一张书桌；该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均2小时漆一把椅子，1小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时。
又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？例3．某工厂要制造Ⅰ型高科技装置45台，Ⅱ型高科技装置55台，需用薄合金板给每台装置配置一个外壳。
已知薄板的面积有两种规格：甲种薄板每张面积2m 2，可以做Ⅰ、Ⅱ的外壳分别为3个和5个；乙种薄板，每张面积3m 2，可以做Ⅰ、Ⅱ的外壳各6个，求两种薄板各用多少张，才能使总的用料面积最小？【双基达标】一．选择题：1．在△ABC 中，三个顶点A （2，4），B （－1，2），C （1，0），点P （x ，y ）在△ABC 内部及边界运动，则z=x －y 最大值为（ ）Ａ．1 Ｂ．－３ Ｃ．－1 Ｄ．32．已知x 、y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥≥≤+320152y x y x y x ，则x y 的最值是（ ） Ａ．最大值2，最小值1 Ｂ．最大值1，最小值0Ｃ．最大值2，最小值0 Ｄ．有最大值，无最小值3．设x 、y ∈R ，则满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≤--≥+04240530222y x y x y x y x 的点P(x,y)所在的平面区域面积为（ ）Ａ．π89 Ｂ．π2 Ｃ．π3 Ｄ．π827二．填空题： 4．变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤≤8342y x y x ，则使得z=3x-2y 的值最大的（x ，y ）为__________．5．给出下面的线性规划问题：求z=3x+5y 的最大值和最小值，使x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+3511535y x x y y x ．如果想使题目中的目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中的一个不等式，那么新的约束条件是 。
高中数学 3.5.2 简单线性规划课件 新人教B版必修51
自
课
主 导
有利于突出重点、解决难点；也有利于发挥学生的创造性．(3)
时 作
学
业
体现“等价转化”、“数形结合”的思想方法．这样可发挥
课 堂 互 动 探 究
学生的主观能动性，有利于提高学生的各种能力．本节的学 法指导：观察分析、联想转化、动手实验、练习巩固．
教 师 备 课 资 源
菜单
教
学
教
法
●教学流程
直线经过 B(－3,2)时，z 的值为－8，
时 作
学
直线经过 C(3，－4)时，z 的值为 10.
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分 析
误
3．当直线 2x－y－z＝0 经过平面区域时，z 的最大值是
辨 析
教 学
多少？最小值呢？
当
方
堂
案
设
【提示】 z 的最大值为 10，最小值为－8.
作 业
课 应用价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心．
堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学
当
方
堂
案 设
●重点难点
双 基
计
达
重点：理解和用好图解法；
标
课
前
自
难点：如何用图解法寻找线性规划的最优解.
课
主
时
导
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精选ppt
【解析】
x－4y≤－3 不等式组3x＋5y≤25
x≥1
，所表示的平面区
域如图所示(阴影部分)
精选ppt
当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距最大，即 z 最大， 解方程组x3－x＋4y5＝y＝－235 ，得 A 的坐标为(5,2)． 所以 zmax＝2×5＋2＝12. 当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最小． 解方程组xx－ ＝41y＝－3 ，得 B 的坐标为(1,1)． 所以 zmin＝2x＋y＝2×1＋1＝3.
精选ppt
• 解决简单线性规划的方法为图解法，就是 用一组平行直线与某平面区域相交，研究 直线在y轴上截距的最大值或最小值，从而 求某些函数的最值．
精选ppt
2x＋y≤40 1.若变量 x，y 满足xx＋≥20y≤50
y≥0
，则 z＝3x＋2y 的最大
值是( ) A．90 C．70
B．80 D．40
解方程组x4－x－2y3＋y－7＝ 120＝，0， 得到 A 点的坐标为(9,8)， 代入 z＝x2＋y2，得 zmax＝x2＋y2＝81＋64＝145.
精选ppt
• 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－ 2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在 点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为 ________．
的最大值．
• 【解析】 作出直线x－2y＋7＝0,4x－3y－12 ＝0，x＋2y－3＝0，根据不等式组确定可行域 如图阴影部分．把z＝x2＋y2看作点(x，y)到原 点(0,0)的距离的平方．
精选ppt
由图象可知可行域内的 A 点到原点(0,0)的距离最大，A 点为直线 x－2y＋7＝0 与 4x－3y－12＝0 的交点．
(2)对形如 z＝acxy＋＋db(ac≠0)型的目标函数，可先变形为 z ＝ac·yx－－－－badc的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与
(－dc，－ba)连线斜率的ac倍的范围、最值等．
精选ppt
x－2y＋7≥0， 2.已知 x，y 满足条件4x－3y－12≤0
x＋2y－3≥0.
，求 z＝x2＋y2
• 【思路点拨】 画出可行域，根据题意，结合 图形找出目标函数斜率与边界斜率间的关系．
精选ppt
• 【解析】 由约束条件画出可行域(如图)．
• 点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax 时使直线在y轴上的截距最大．
• ∴－a＜kCD，即－a＜－1，∴a＞1. • 【答案】 a＞1
精选ppt
精选ppt
MN＝
|01－＋5－＋12| 2＝
3 ＝3 2
2 2.
MN2＝3 2 22＝29，故 z 的最小值为92. (2)z＝2·yx－－－－121表示可行域内点(x，y)与定点 Q(－1，－
12)连线斜率的 2 倍，
∵kQA＝74，kQB＝83，故 z 的范围是[34，72]．
精选ppt
(1)对形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 型的目标函数均可化为求 可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的最值问题．
的点的坐标 ，
线性规 划问 题
在线性约束条件下，求线性目标函数的
最大或最小值
问题，称为线性规划问题
可行解 满足线性约束条件的 (x，y) 叫做可行解
可行域 由所有 可行解 组成的集合叫做可行域
精选ppt
精选ppt
• 1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？ • 【提示】 不一定，最优解可能有一个，
也可能有多个，甚至可以有无数多个．
• 3.5.2 简单线性规划
精选ppt
精选ppt
• 1．在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋ y－1＝0分成三类：即点在直线上，点在直线 的 下方 区域，点在直线的 上方 区域．
• 2．二元一次不等式组表示的平面区域是其中 的每个二元一次不等式表示的平面区域的 公共部分 ．
精选ppt
精选ppt
• ＝【7答0. 案】 C
精选ppt
x－y＋2≥0 已知x＋y－4≥0
2x－y－5≤0
，求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(2)z＝2xy＋＋11的范围．
【思路点拨】 先画出可行域，再明确目标函数的几何 意义，利用解析几何知识进行求解．
精选ppt
【解析】 作出可行域，如图， A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)． (1)z＝x2＋ (y－5)2 表示可行域内任一点 (x，y)到达点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作 AC 的垂线，易知垂足在 AC 上，故
• 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类 问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行 域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方 法求解，同时，要注意边界直线斜率与目标函 数斜率关系．
精选ppt
x＋2y－3≤0 3.已知变量 x，y 满足约束条件x＋3y－3≥0
• 线性规划中的基本概念
名称
定义
目标函 数
求
最大值或最小值
的函数，叫做目标Biblioteka 数约束条 件目标函数中的变量所要满足的
线性目 标函 数
如果目标函数是 性目标函数
不等式组 关于变量的一次函数
则称为线
线性约 束条 件
如果约束条件是 关于变量的一次不等式组 为线性约束条件
，则称
精选ppt
名称
定义
最优解
使目标函数达到 最大值或最小值 称为问题的最优解
精选ppt
• 2．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的 最大、最小值与截距的对应关系是怎样的？
• 【提示】 z的最大值对应于截距的最小值，z 的最小值对应于截距的最大值．
精选ppt
x－4y≤－3 设 z＝2x＋y，其中 x，y 满足约束条件3x＋5y≤25， 求
x≥1 z 的最大值和最小值． 【思路点拨】 作出可行域 D，平移直线 y＝－2x＋z， 找到目标函数取得最大值和最小值的点．
精选ppt
• 【解析】 由题意，满足二元一次不等式 组的解的可行域如图所示．
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由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.要求 z 的最大值，可求2z的 最大值，即求斜率为－32的直线在可行域内在 y 轴上截距的 最大值．
如上图，显然直线过 A 点时，在 y 轴上截距最大． 联立2x＋x＋2yy＝＝4500 ，得xy＝ ＝1200 ， ∴A(10,20)，∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20
【解析】
x－4y≤－3 不等式组3x＋5y≤25
x≥1
，所表示的平面区
域如图所示(阴影部分)
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当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距最大，即 z 最大， 解方程组x3－x＋4y5＝y＝－235 ，得 A 的坐标为(5,2)． 所以 zmax＝2×5＋2＝12. 当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最小． 解方程组xx－ ＝41y＝－3 ，得 B 的坐标为(1,1)． 所以 zmin＝2x＋y＝2×1＋1＝3.
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• 解决简单线性规划的方法为图解法，就是 用一组平行直线与某平面区域相交，研究 直线在y轴上截距的最大值或最小值，从而 求某些函数的最值．
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2x＋y≤40 1.若变量 x，y 满足xx＋≥20y≤50
y≥0
，则 z＝3x＋2y 的最大
值是( ) A．90 C．70
B．80 D．40
解方程组x4－x－2y3＋y－7＝ 120＝，0， 得到 A 点的坐标为(9,8)， 代入 z＝x2＋y2，得 zmax＝x2＋y2＝81＋64＝145.
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• 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－ 2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在 点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为 ________．
的最大值．
• 【解析】 作出直线x－2y＋7＝0,4x－3y－12 ＝0，x＋2y－3＝0，根据不等式组确定可行域 如图阴影部分．把z＝x2＋y2看作点(x，y)到原 点(0,0)的距离的平方．
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由图象可知可行域内的 A 点到原点(0,0)的距离最大，A 点为直线 x－2y＋7＝0 与 4x－3y－12＝0 的交点．
(2)对形如 z＝acxy＋＋db(ac≠0)型的目标函数，可先变形为 z ＝ac·yx－－－－badc的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与
(－dc，－ba)连线斜率的ac倍的范围、最值等．
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x－2y＋7≥0， 2.已知 x，y 满足条件4x－3y－12≤0
x＋2y－3≥0.
，求 z＝x2＋y2
• 【思路点拨】 画出可行域，根据题意，结合 图形找出目标函数斜率与边界斜率间的关系．
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• 【解析】 由约束条件画出可行域(如图)．
• 点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax 时使直线在y轴上的截距最大．
• ∴－a＜kCD，即－a＜－1，∴a＞1. • 【答案】 a＞1
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MN＝
|01－＋5－＋12| 2＝
3 ＝3 2
2 2.
MN2＝3 2 22＝29，故 z 的最小值为92. (2)z＝2·yx－－－－121表示可行域内点(x，y)与定点 Q(－1，－
12)连线斜率的 2 倍，
∵kQA＝74，kQB＝83，故 z 的范围是[34，72]．
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(1)对形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 型的目标函数均可化为求 可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的最值问题．
的点的坐标 ，
线性规 划问 题
在线性约束条件下，求线性目标函数的
最大或最小值
问题，称为线性规划问题
可行解 满足线性约束条件的 (x，y) 叫做可行解
可行域 由所有 可行解 组成的集合叫做可行域
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• 1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？ • 【提示】 不一定，最优解可能有一个，
也可能有多个，甚至可以有无数多个．
• 3.5.2 简单线性规划
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• 1．在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋ y－1＝0分成三类：即点在直线上，点在直线 的 下方 区域，点在直线的 上方 区域．
• 2．二元一次不等式组表示的平面区域是其中 的每个二元一次不等式表示的平面区域的 公共部分 ．
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• ＝【7答0. 案】 C
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x－y＋2≥0 已知x＋y－4≥0
2x－y－5≤0
，求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(2)z＝2xy＋＋11的范围．
【思路点拨】 先画出可行域，再明确目标函数的几何 意义，利用解析几何知识进行求解．
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【解析】 作出可行域，如图， A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)． (1)z＝x2＋ (y－5)2 表示可行域内任一点 (x，y)到达点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作 AC 的垂线，易知垂足在 AC 上，故
• 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类 问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行 域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方 法求解，同时，要注意边界直线斜率与目标函 数斜率关系．
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x＋2y－3≤0 3.已知变量 x，y 满足约束条件x＋3y－3≥0
• 线性规划中的基本概念
名称
定义
目标函 数
求
最大值或最小值
的函数，叫做目标Biblioteka 数约束条 件目标函数中的变量所要满足的
线性目 标函 数
如果目标函数是 性目标函数
不等式组 关于变量的一次函数
则称为线
线性约 束条 件
如果约束条件是 关于变量的一次不等式组 为线性约束条件
，则称
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名称
定义
最优解
使目标函数达到 最大值或最小值 称为问题的最优解
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• 2．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的 最大、最小值与截距的对应关系是怎样的？
• 【提示】 z的最大值对应于截距的最小值，z 的最小值对应于截距的最大值．
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x－4y≤－3 设 z＝2x＋y，其中 x，y 满足约束条件3x＋5y≤25， 求
x≥1 z 的最大值和最小值． 【思路点拨】 作出可行域 D，平移直线 y＝－2x＋z， 找到目标函数取得最大值和最小值的点．
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• 【解析】 由题意，满足二元一次不等式 组的解的可行域如图所示．
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由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.要求 z 的最大值，可求2z的 最大值，即求斜率为－32的直线在可行域内在 y 轴上截距的 最大值．
如上图，显然直线过 A 点时，在 y 轴上截距最大． 联立2x＋x＋2yy＝＝4500 ，得xy＝ ＝1200 ， ∴A(10,20)，∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20