西安电子科技大学《电磁场与电磁波基础》全套课件16

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∂ , ∫ dt , ∇, ∂t
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麦克斯韦方程组的复数形式
∂ (r )e jωt ]} jωt jωt × H (r )e ] Re[ J (r )e ] + Re{ [ D Re[∇ = ∂t (r )]e jωt } jωt Re[∇ × H = (r )e ] Re{[ J (r ) + jω D
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x y 0
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正旋电磁场的复数表示


例2 将下列场矢量的复数形式写为瞬时值形式 =a ˆ z E0 sin(k x x) sin(k y y )e − jkz z (1) E =a ˆ x j 2 E0 sin θ cos(k x cos θ )e − jk z z sin θ (2) E jωt ] a ˆ z E0 sin(k x x) sin(k y y ) cos(ωt − k z z ) = E = Ee (1) Re[ [解 ] jωt ] (2) E = Re[ Ee
∇ × A= F ⇔ (∇t × An + ∇ n × At )t + (∇t × At ) n = Ft + Fn
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jφx ( x , y , z ) ( x, y , z ) = E x ( x, y , z , t ) ↔ E E x y z e ( , , ) xm xm
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电磁场与电磁波基础
主讲：徐乐
2011年6月10日星期五
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Review

ˆ ⋅ ( B2 − B1 ) = n 0 ˆ × ( E2 − E1 ) = n 0 ∂ρ S ∇t ⋅ J S + ( J 2 n − J1n ) =− ∂t n ˆ ⋅ ( D2 − D1 ) = ˆ × ( H 2 − H1 ) = ρS n JS
正旋电磁场

时变电磁场，场量和场源既是时间的函数也是空间的函数 时变电磁场理论适用于任何时变场 正旋电磁场——时谐(time harmonic)电磁场


任意点的场矢量的每一坐标分量随时间以相同的频率作正旋 或余旋变化 在正旋稳态条件下，单频正旋场源在麦克斯韦方程组的约束 下激励的场强矢量各个坐标分量仍是同频的正旋时间函数 工程中激发电磁场的源多为正旋激励方式 通过傅里叶变换理论，任何时变电磁场都可以表示成为各个 单频正旋电磁磁场分量的叠加或积分
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= Re[ Exm e jφx e jωt ] e jωt ] = Re[ E
xm
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Ex ( x, y, z , t ) = Re[ Exm ( x, y, z )e j[ωt +φx ( x , y , z )] ]
(r )]e jωt } = 0 Re{[∇ × H (r ) − J (r ) − jω D
对于任源自文库时刻t上式都成立
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(r ) ∇ × H= (r ) J (r ) + jω D

场量和场源的瞬时值换成对应复数形式； 对于微分方程，将时间求导运算换成jω； 麦克斯韦方程组由四变量函数转换成三变量函数； 麦克斯韦方程组的微分形式由偏微分方程转换成了代数 方程；

为书写方便，复振幅上的小点以后略去不标。
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四维函数←→三维函数
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正旋电磁场的复数表示

例1 将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或 作相反的变换 =a ˆx E (1) E 0 =a ˆ x jE0 e − jkz (2) E ˆˆ = (3) E a x E0 cos(ωt − kz ) + a y E0 sin(ωt − kz ) jϕ x jωt ˆˆ E x y z t a E e e ] ax E0 cos(ωt + ϕ x ) = = (1) ( , , , ) Re[ x 0 [解 ] π j ( − kz ) π jωt 2 ˆˆ = = e ] ax E0 cos(ωt − kz + ) (2) E ( x , y, z , t ) Re[a x E0 e 2 π j (ωt − kz + ) j (ωt − kz ) 2 ˆˆ = − a y E0 e (3) E ( x, y, z , t ) Re[a ] x E0 e lexu@mail.xidian.edu.cn 9 ( x, y ˆˆ − a j ) E e − jkz ] E t ) (a , z ,=
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j
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ˆ x Re[e 2 2 E0 sin θ cos(k x cos θ )e − jkz z sin θ e jωt ] =a ˆ x 2 E0 sin θ cos(k x cos θ ) cos(ωt − k z z sin θ + ) a 2 ˆ x 210 = −a E0 sin θ cos(k x cos θ ) sin(ωt − k z z sin θ )
Exm ( x, y, z ) co [s ωt + φx ( x, y, z )] Ezm ( x, y, z ) co [s ωt + φz ( x, y, z )]
时变电磁场的任一坐标分量随时间作正弦变化时，其振 幅和初相也都是空间坐标的函数。 在直角坐标系中，电场强度表示为
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复数形式的全电流定理
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麦克斯韦方程组的复数形式

复数形式的麦克斯韦方程组

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复数形式的电流连续性方程 = − jωρ ∇× J
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复(振幅)矢量
( x, y , z ) = a +a E +a E ˆˆˆ E ( x, y , z , t ) ↔ E E x xm y ym z zm
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(r ) ∇ × H= (r ) J (r ) + jω D (r ) ∇ × E (r ) = − jω B (r ) = 0 ∇⋅B (r ) = ρ ∇⋅D
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麦克斯韦方程组的复数形式

瞬时值表示的麦克斯韦方程组可以用复数形式来描述：
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第17讲 时变电磁场(Ⅳ)

正旋电磁场 正旋电磁场的复数表示 麦克斯韦方程组的复数形式 复介质参数 复坡印亭矢量 复坡印亭定理 时变电磁场的唯一性定理 波动方程
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= E e jφ x E xm xm
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正旋电磁场的复数表示

复振幅仅是空间坐标的函数
复振幅包含场量的初相位，亦称相量(phasor) Ex可以由复振幅与时间因子乘积的实部确定； 复振幅与Ex相互对应，也称为Ex的复数形式；
∂Ex ( x, y, z , t ) = − Exm ( x, y, z )ω ⋅ sin ω [ t + φ x ( x, y , z ) ∂t e jωt ] = Re[ jω E xm
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时变电磁场的边界条件
时变电磁场的能量
∂ 1 1 ) ⋅ dS − B ⋅ H + D ⋅ E dV + ∫ J ⋅ EdV ∫ S ( E × H= ∫ V 2 ∂t V 2 ˆˆˆˆˆ (n ⋅ F ) − n × (n × F )= Fn n + Ft tˆ F= n
π
π
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麦克斯韦方程组的复数形式

复数运算中，复数的微分运算以及积分运算可以对实部虚 部分别进行运算 L[ = Z ] L[ x] + iL[ y ]

其中L为实线性算子
对于复数表示的电磁场场量的相应运算亦可利用该性质： ∂D(r , t ) ∇ × H= (r , t ) J (r , t ) + ∂t ∂ (r )e jωt ] jωt jωt ∇ × Re[ = H (r )e ] Re[ J (r )e ] + Re[ D ∂t ∂ (r )e jωt ]} jωt jωt ∇ = × + Re[ H ( r ) e ] Re[ J ( r ) e ] Re{ [ D lexu@mail.xidian.edu.cn 11 ∂t
4 正旋电磁场的研究是一切时变电磁场的基础

正旋电磁场的研究意义

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正旋电磁场的复数表示

正旋电磁场的复数表示

ˆˆˆ E ( x, y , z , t ) = a x E x ( x , y , z , t ) + a y E y ( x , y , z , t ) + a z E z ( x, y , z , t )
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∂E x ( x, y , z, t ) ( x, y , z ) ↔ jωE xm ∂t
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正旋电磁场的复数表示

电场强度矢量的复数表示 jφ y jφx ˆˆˆ = E ( x, y , z , t ) Re[(ax Exm e + a y E ym e + az Ezm e jφz )e jωt ] +a E +a E )e jωt ] ˆˆˆ = Re[a E x xm y ym z zm jωt ] = Re[ Ee
XI N .C U D TY .E SI N 角频率 A ER DI IV I N .X U IL N A IA M D @ XU
E ym ( x, y, z ) co [s ωt + φ y ( x, y, z )]
5 振幅值
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初相角
正旋电磁场的复数表示

利用复数或相量来描述正弦电磁场场量使数学运算简化： 与电路理论中的处理相似 对时间变量t进行降阶(把微积分方程变为代数方程) 减元(消去各项的共同时间因子e jωt)