数学物理方程

u ( x, t ) = v( x, t ) + w( x, t ) = xt + w
wtt = a 2 wxx 原定解问题变为： w x =0 = 0, wx x =l = 0 wt =0 = 0, wt t =0 = − x
分离变量后得到本征值和本征函数：
2n + 1) π x ( 2n + 1) π ( λn = , n = 0,1, 2... , X n = sin 2l 2l
工程数学之三
数理方程习题课
YU ZHAOXIAN 2015.01
习题1：长为 l 的两端固定弦，弦中张力T0，在点 x = h 处以横向力 F 拉弦，达到平衡后放手后任其自 由振动，写出初始条件，并表为定解问题。 解：初始条件显然就是放手瞬间弦的位移和速度： F T0 sin α1 + T0 sin α 2 = F u T0 H sin α1 ≈ tan α1 = H h α1 α2 H 0 h l sin α 2 ≈ tan α 2 = l −h h(l − h) F H H H= =F T0 + T0 lT0 h l −h
∞
nπ a − t l
2
nπ x sin l
根据初始条件： u
l
nπ x 2 A bx l x l = sin = ( − ) / t =0 ∑ n l n =1
∞
2 bx(l − x) nπ x An = ∫ sin dx 2 l 0 l l
l l π 2b l n x l nπ x 2 = − 3 ( lx − x ) cos − (l − 2 x) cos dx ∫ l l 0 nπ 0 l nπ
ut − a 2u xx = 0
( hu − kux ) |x=0 = hθ ,
u
t =0
u | x = l = u0
= u0
其中θ为环境温度，h,k 为常数
习题3：将函数 f ( x) = a(1 − x / l ), x ∈ (0, l ) 展开为傅立 叶级数，并使 f (0) = f (l ) = 0 解：根据题目条件，对函数作奇延拓，展开为傅里 叶余弦函数
l =0 ∞
A1 = − E0 , Al = 0 (l > 1)
− l −1 u ( r , θ ) = − E r cos θ + B r 因此有： ∑ l Pl (cos θ ) 0 l =0 ∞
u r = a = − E0 a cos θ + ∑ Bl a l Pl (cos θ ) = 0
2
Tn = e
nπ a 2 β − t l
, n = 1, 2,3...
∞ nπ a 2 β − t l
一般解为： u ( x, t ) = ∑ An e
n =1
nπ x sin l
临界厚度即要求介质中的浓度不随时间的推移无限 增大，所以只要最大的指数增长因子小于零即可：
u |x =0 = 0, u |x =l = 0
u
2 = bx ( l − x ) / l t =0
分离变量后得到本征值和本征函数：
nπ x nπ , n = 1, 2,3... λn = , X n = sin l l
2
一般解为： u ( x, t ) = ∑ An e
n =1
l l l l 2 nπ x nπ x sin = 2ε (1 − 2 x / l ) sin + dx ∫ l 0 nπ 0 l nπ
nπ x 2 l ε 2 cos = − l nπ nπ 0 4lε = 2 2 (1 − cos nπ ) n = 1, 2,... nπ
ut
t =0
=0
u (0, 0) = lε , u (l , 0) = −lε
u ( x, t ) t =0 = lε (1 − 2 x / l )
F
lε 0
lε l
F
分离变量后得到本征值和本征函数：
nπ x nπ λn = , X n = cos , n = 0,1, 2... l l
l
2 2l (2n + 1)π x 2l (2n + 1)π x = − x cos sin l 2l 2l (2n + 1)π (2n + 1)π
2
l
0
2l 2 n +1 = − ( 1) l π + (2 1) n
2
2 16 l Bn = (−1) n +1 (2n + 1)3 π 3
πa β − < 0 l
2
πa l< β
习题7：求解定解问题
utt = a 2u xx , u x = 0 = 0, u x x =l = t , u t = 0 = 0, ut t =0 = 0, 0 < x < l, t > 0 t≥0 0≤ x≤l
解:边界齐次化，取 v( x, t ) = xt
4b u ( x, t ) = ∑ 3 3 (1 − cos nπ )e n =1 n π = 8b
∞ nπ a − t l
2
nπ x sin l l
π
3
∑
n =1
∞
1
( 2k + 1)
3
e
( 2 k +1)π a − t l
2
2k + 1) π x ( sin
∞
1
习题 6 ： 在铀块中，除了中子的扩散运动外，还进行 着中子的增殖过程，每秒钟在单位体积内产生的中子 数正比于该处的中子浓度u，即可表为βu，研究厚度 为 l 的层状铀块，求其临界厚度（铀块厚度超过临界 厚度时，其中子浓度随时间急剧增长以致爆炸）。
ut − a 2u xx = β u
解：定解问题为
附加题：将函数 f ( x) = 1, x ∈ (0, π ) 级数，并使 f (0) = f (l ) = 0
∞
展开为傅立叶
解：奇延拓
An = 2
π
nπ x ∞ = ∑ An sin nx, (l = π ) f ( x) = ∑ An sin l n =1 n =1
π
∫
0
2 f ( x) sin nxdx = ∫ sin nxdx = (1 − cos nπ ) π 0 nπ 4
x
表为定解问题：
utt − a 2u xx = 0
u |x =0 = 0, u |x = a = 0
(l − h) F x, lT 0 u t =0 = hF (l − x), lT0 [0, h] [ h, l ]
ut
t =0
=0
习题2：长为l的均匀杆，初始温度为u0，端点x = l 处保持恒温 u0，而另一端x = 0自由冷却，写出边 界条件，并表为定解问题。 解：定解问题
∞
2
π
1 f ( x) = 1 = ∑ sin(2k + 1) x, 0 < x < π π k = 0 2k + 1
习题4：试用分离变量法求解细杆导热问题，杆长为l， 两端保持为零度，初始温度分布为 u t =0 = bx(l − x) / l 2 解：定解问题为
ut − a 2u xx = 0
2b l nπ x 2 nπ x = 3 − cos (l − 2 x) sin l nπ l nπ l 0 = 4b l 4b − = π (1 cos n ) (1 − cos nπ ) 3 3 3 l nπ nπ
3
2
l
最终解可以表达为：
2
Tn = An
2n + 1) π at ( cos +B 2l
n
2n + 1) π at ( sin 2l
一般解为：
2n + 1) π at 2n + 1) π at ( 2n + 1) π x ( ( w( x, t ) = ∑ An cos + Bn sin sin 2l 2l 2l n =1
nπ x f ( x) = ∑ An sin l n =1
∞
2 nπ x An = ∫ f ( x)sin dx l 0 l
l
2a x nπ x An = dx 1 − sin ∫ l 0 l l
l
2a l =− l nπ
nπ x l nπ x x + 1 − cos sin l l l nπ 0
∞
根据初始条件：
w t =0 = ∑ An
n =1 ∞ ∞
2n + 1) π x ( =0⇒ A sin 2l
n
=0
(2n + 1)π a (2n + 1)π x wt t =0 = ∑ Bn sin = −x 2l 2l n =1
(2n + 1)π a 2 (2n + 1)π x Bn = ∫ (− x) sin dx 2l l 0 2l
l
A0 =
1 ε 2 ε (1 2 / ) ( ) =0 l − x l dx = lx − x ∫ l0 l 0
l
l
最终解可以表达为：
4lε nπ at nπ x u ( x, t ) = ∑ 2 2 (1 − cos nπ ) cos cos l l n =1 n π
∞
2k + 1) π x ( (2k + 1)π at = 2 ∑ cos cos 2 π k =0 ( 2k + 1) l l 8lε