近世代数课件-2-1_半群
大学数学《近世代数》课件
3.推移律：
a bb a
a a,不管a是A的哪一个元。
a b, b c a c
定义：若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而 且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。
定理1：集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系。
定理2：集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类。
III.
，方程 和
在G中都有解。
例1 G＝{g}，乘法规定gg=g， 则G是一个群。
例2 G＝{全体整数}；G中运算为普通加法，则G是一个群。
例3 G＝{所有非整数}，G对于普通乘法不作成一个群。
定义1 同态：S , 与 T , 为两个代数系
统, ：S T 为同态映射，若对 a ，b S
有:a b＝ab
S , 定义2 同态满射： 与 为两个代数系统 ，
该映射为同态满射， ，
：S T
T , 为同态映射，且为满射，则 同态
S , T ,
定理1 假定，对于代数运算 和 来说， S与T 同态则：
二元代数运算“
”适合结合律和交换律
则 ai S,i 1,2,n, n个元素
a , a ,, a 1 2
n 的乘积仅与这n个元素
有关而与它们的次序无关。
例 仅满足结合律而不满足交换律：
1）矩阵乘法 2）映射的复合运算 3）字符串的复合运算 同时满足结合律与交换律：
1）普通乘法 2）集合的并、交 3）逻辑与、逻辑或 两者均不满足：
[本章主要内容]
1）群、子群及相关性质； 2）置换群、循环群； 3）子群的陪集、正规子群； 4）群的同态；
2.1半群与群的概念
定义1 设“
”时非空集合S上的一个二元
半群与群
第九章半群与群（Semigroups and Groups）本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。
群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。
群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。
2－1 半群与含幺半群定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=<S,*>称为半群。
例2－1.1 <N,+>,<N,×>,<2I+,+>和<2I+,×>都是半群。
例2－1.2 <Nm ,+m>和<Nm,×m>都是半群。
例2－1.3 <M2(I),+>和<M2(I),·>都是半群。
定义2－1.2含幺元e的半群U=<S,*>称为含幺半群，常记作U=<S,*,e>。
在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I+,+>和<2I+,×>外都是含幺半群。
例2－1.4 设S是任意非空集合，则<p(S),∪>和<p(S),∩>都是含幺半群。
例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。
字母表中字符的n重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m 的字符串。
长度为0的字符串称为空串，用来表示。
如对V={a,b}, =aa 和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab和δ=bab都是长度为3的字符串。
我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。
设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然<V+,*>是半群，<V+,*, >是含幺半群。
定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。
近世代数课件2
代数系统(S,⊙)是否 做成半群的判断方法就是检验代数 运算⊙在集合S上是否适合结合律.
设(S , o)是一个半群, Φ ≠ T ⊆ S , 则称(T , o)是(S , o)的一个 子半群 ⇔ ∀a, b ∈ T , 有a o b ∈ T .
26
设 是 个 空 合若 S 一 非 集 , 1)在 上 在 个 数 算 ” S 存 一 代 运 “ ; 2)代 运 “ ” 集 S上 合 合 数 算 在 合 适 结 律 (也 ∀ ,b,c∈S,有 a b) c =a (b c).) 即a ( 则 集 S关 代 运 做 一 半 , 称 合 于 数 算 成 个 群 记 半 (S，. 作 群 )
37
M n(R)(实数域R上全体n阶矩阵组成 的集合)关于矩阵的乘法、加法能否做成M n(R) 上的半群、交换半群吗？若把M n(R)换为On(R), 其中 n(R) = {A∈ M n(R) AA′ = A′A = I}, 结果如 O 何?若把M n(R)换为GLn(R), 其中 ( GLn(R) = {A∈ M n(R) A ≠ 0} 另一表示形式: GL n, R)),结果如何?若把M n(R)换为SLn(R), （ ),结 其中SLn(R) = {A∈ M n(R) A = 1},结果如何?
16
GLn( R) = {A ∈ M n( R) A ≠ 0} 关于矩阵的乘法、加法能否做成 ?(另 GLn( R)上的代数系统?(另一表 示形式:GL n, R)) （
17
有理数集合关于规定 ⊕:Q × Q → Q, ∀a, b ∈ Q, 有a ⊕ b = a + b + ab 能否做成有理数集合Q上 的代数系统？
29
在半群(S, o)中, 任取n n ≥ 3)个元a1, a2,L, an, ( 只要不改变元素次序,则 a1 o a2 oLo an的任一计算方法 所得结果均相同.
近世代数主要知识点PPT课件
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
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代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
近世代数ppt
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
近世代数群的概念课件
反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
05
有限群的结构
有限群的分 类
阿贝尔群和非阿贝尔群
01
根据群中元素的乘法是否满足交换律，可以将有限群分为阿贝
尔群和非阿贝尔群。
循环群和非循环群
02
根据群中是否存在循环子群，可以将有限群分为循环群和非循
环群。
素数阶群和非素数阶群
03
根据群的阶是否为素数，可以将有限群分为素数阶群和非素数
阶群。
有限群的Sylow定理
近世代数群的概念
目 录
• 群的定义与性质 • 群的表示与同态 • 循环群与交换群 • 群的扩张与直积 • 有限群的结构 • 群的应用
contents
01
群的定义与性质
群的定 义
群的定义
一个群是由一个集合和一个 在其上的二元运算所组成， 满足结合律、存在单位元、 存在逆元的代数系统。
结合律
群中的二元运算满足结合律， 即对于任意$a, b, c$在群中， 有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元
群中存在一个元素$e$，使 得对于任意$a$在群中，有 $e cdot a = a cdot e = a$。
逆元
对于任意$a$在群中，存在 一个元素$b$，使得$a cdot b = b cdot a = e$，其中 $e$是单位元。
近世代数课程
定理2. 2.1设G为一个半群.则下列陈述等价:
(1) G是群; (2)G有左单位元 l ,而且 a Байду номын сангаасG关于这个左单位元 l 都
是左可逆 ; i.e.a G,b G, s.t.ba l (3) G有右单位元 r,而且 a G关于这个右单位元 r都
左、右消去律,但不为群.
.
. 定义2.2.3 设 G为群, e是 G的单位元，使得 am e立的最
小正整数 m 称为元素 a 的阶,记作 oa m 或 a m.
若这样的 m不存在,则称 a 是无限阶的,记作 oa
或 a .
. 注: (1) 当 G为加群时,其运算记为加法,单位元为0,则
ma 0的最小正整数 m 为 oa
(2) oe 1
(3) 群的阶和元素的阶不是一回事.
元素的阶有如下常见性质：
(1) oa o a1
(1)
(2)
若o(a) m, 则
(2) (3)
的一个单位元.
注: 单位元一定既为左单位元,又为右单位元.
左单位元是右单位元么？为什么？
定理2.1.1 (1) 若半群 S 有左单位元 l ,又有右单位元 r ,
则 l r ,且为S 的单位元;
(2) 若半群 S 中存在单位元,则单位元必唯一. .
半群中未必有单位元， 若有单位元则称半群为幺半群
定理2.1. 2设 M 为一个幺半群 a M
若 a 既有左逆元 a ',又有右逆元 a'' 则 a' a'' 为 a 的
逆元. 若 a 可逆,则 a 的逆元唯一.
近世代数课件(全)--2-1 群的定义
3.群的乘法适合消去律：
ab ac b c
ba ca b c
ab ac a ab a ac
1
1
eb ec b c
2012-9-19
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中 1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
3.群的乘法适合消去律：
G
G
中有解.
证明： " " 半群
1
作成群 a , b G , ax b , ya b 有解
G
x a b G ; a , b G , ax b , ya b 都在 G 中有解. 取定 b G , yb b 有解，设为e： eb b a G , bx a 有解，设为c： bc a e a ebc ( eb ) c b c a 即有左单位元e 1 a G , ya e 有解，即存在左逆元 a 综上G是群.
对于数的普通乘法
做成交换群，称为正有理数乘群. 例3
G {全体整数}，对于运算
1 2
ab a
1
2
b
2 1 2 2
4
2 1 2 2
2
结合律不成立,不做成群.
2012-9-19
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算； （2）将群的代数运算叫做乘法，简记
ab ac b c
ba ca b c
4.单位元唯一；逆元唯一；
设
1
e, e '
都是单位元 ee ' e e '
由消去律 a
近世代数课件 第3节 群的定义及性质
(1) 证明2: 设 |a| = r，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1a rb b1eb e
可知b1ab的阶为有限. 令|b1ab| = t，从而有t | r.
另一方面，由 (b1ab)t=e可知
(b1ab)t = b1atb1 = e
at = e，从而有 r | t.
近世 代数
群论
主要内容:
群的定义与性质 有限群、子群 变换群 置换群 循环群 子群的陪集、正规子群与商群 群的同态基本定理
1/30
近世 代数
第3节 群的定义与性质
主要内容:
群的定义 群的基本性质 群的实例 群中的术语
2/30
近世 代数
群的三个等价定义
定义0 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足结合 律，则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点.
性质7 G为群，a∈G且 |a| = r. 设k是整数，则 (1) ak = e 当且仅当 r | k . (2 )|a1| = |a|.
证明： (2) 由 (a1)r = (ar)1 = e1 = e 可知 a1 的阶为有限. 令|a1| = t，从而有t | r. 同时，at = ((a-1)-1)t = (a-1)-t = ((a-1)t)-1 = e-1 = e ， 所以 r | t. 从而证明了r = t，即|a1| = |a| .
22/30
近世 代数
例题
例5 设G是群，a, b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
近世代数教学PPT课件
拟枚举： 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚
举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像 自然数、整数…
描述法:
如果一个集A是由一切具有某一性质的元 素所组成的，那么就用记号
A {x | x具有某一性质
来表示.
第18页/共187页
A {x | 1 x 1, x R } 表示一切大于-1且小于1
第14页/共187页
第一章 基本概念
§1 集 合 §2 映射与变换 §3 代数运算 §4 运算率 §5 同态与同构 §6 等价关系与集合的分类
第15页/共187页
§1 集 合
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集， 如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西 叫这个集合的元素.
我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用 小写拉丁字母a，b，c，…表示元素. 如果a是集合A的
第6页/共187页
阿贝尔
加罗华
被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研 究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽 罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被 公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的 解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何 图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的 问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计 算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运 算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生 了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义 哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
第2节 半群与幺半群
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近世代数
子半群、子幺半群
定义2 设(S,∘)是半群，B是S的一个非空子集. 如果 x, yB，有x∘yB，则称(B,∘)是(S,∘)的一个子半 群，简称B是S的子半群. 定义3 设(S,∘,e)是幺半群，P S. 如果eP 且P是S 的子半群，则称P是S的子幺半群. 定理4 (1) 设(S,∘)是半群，B是S的一个非空子集. B是S的子半群 B∘B B. (2) 设(S,∘,e)是幺半群，P S. P是S的子幺半群 eP且 P∘P P.
性质3 由A生成的的子半群是半群S包含A的最小子 (幺)半群. 由A生成的的子幺半群是幺半群S包含A的最小子幺 半群. 10/13
近世代数
理想
定义5 设A是半群(S,∘)的一个非空子集. 如果r∈S有 rA A(Ar A)，则称A是半群S的左(右)理想. 如果A既是S的左理想，又是S的右理想，则称A是S的 理想.
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近世代数
生成子(幺)半群
定义4 设(S,∘)是半群，A是S的一个非空子集. 由S的 包含A的所有子半群的交集所作成的子半群称为由 A生成的的子半群，记为(A).
设(S,∘,e)是幺半群，A是S的一个非空子集. 由S的包 含A的所有子幺半群的交集所作成的子幺半群称为 由A生成的的子幺半群，记为(A).
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近世代数
子(幺)半群的实例
例2 (Z, ×)是半群，也是幺半群， {0,1}Z，则 ({0,1}, ×)是(Z, ×)是子半群，也是子幺半群. [注意] (1)幺半群的子半群如果有单位元，且和幺半群的单 位元相同，才能被称为子幺半群. 换句话说，也就是幺半群的一个子半群如果有单位 元，但和幺半群的单位元不同，它也不能被称为子 幺半群.（会有这种情况吗？） (2)幺半群有无单位元(不管此单位元是否和幺半群的 单位元相同)的子半群.
近世代数第二章课件
第二章群论 20第二章群论本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．§1 群的定义及基本性质2.1 半群的定义设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素ba,关于“·”运算结果ba∙简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．定义1如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即ba∈c∀)有,S,,ab=，则称S关于它的乘法是一个半群，简称Sac(bc()是一个半群．2关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一例1 偶数集Z个半群．n⨯矩阵作成的集合M n(F)，关于矩阵乘法例2数域F上的所有n是一个半群．例3 A 是一个非空集合，A 的幂集}|{A x x A P ⊆=）（关于∩、∪分别是半群．例4 +Z （正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是+Z 的一个代数运算；Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算，但结合律不成立，故),(-Z 不是一个半群．注 由于一个半群),(⋅S 的乘法适合结合律，故可以在半群),(⋅S 中可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念，规定：, 个n n a aa a =那么，易见半群里有以下指数运算规律：ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =⋅===⋅+当,)(,)(,，这里+∈Z n m ,。
《近世代数》PPT课件
例2 设 A 1 { 东} ， A 2 { 西 南 } ， B { 高} ，低
则 1 :A 1 A 2 B ; ( 西 , 南 ） 高 不是映射.
因为映射要满足每一个元 (a1,a2) 都要有一个像．
而 2 : A 1 A 2 B ; ( 西 , 南 ） 高 ； ( 东 , 南 ） 低 是一个映射． 7
A 1A 2 A n{a1 (,a2, an)ai A i}.
即由一切从 A1,A2, ,An 里顺序取出元素组成的元素 组 (a1,a2, an)，ai Ai 组成的集合．
例 A={1,2,3}， B={4,5}, 则
AB={(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}，
A称为 的定义域，B称为 的值域.
注: (1) 映射定义中 “b”的唯一性：映射不能“一对多”，
但可以“多对一”．
(2) 记法： ：A B ;ab (a )，aA ．
(3) 一般情形，将A换成集合 A 1A 2.. .A n 的积，则
对 ( a 1 ,a 2 ,.a n .) .A ,1 A 2 . .A .n有 : A 1 A 2 . . . A n B ; ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) b ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) . 6
2. 元素（或元）: 组成一个集合的事物.
如果a是集合A中的元素，记作a A ； 如果a不是集合A的元 素，记作 a A 或a A .
2
3．空集：没有元素的集合，记作 .
4．子集：设A,B是集合，则
B A (B是A的子集)是指 b B b A . 真子集：B是A的真子集是指 B A 且 aA，但aB .
近世代数课件(全)--2-1 群的定义
近世代数课件(全)--2-1 群的定义1. 引言在近代代数中，群是一种基础的对象。
它的定义极其简单，但却具有广泛的应用和深刻的理论结构。
本章我们将介绍群的定义及其基本性质。
2. 群的定义群是一种代数结构，具有以下三个性质：(1) 封闭性：对于群G中的任意两个元素a和b，a*b也在G中。
(3) 存在单位元：存在一个称为单位元的元素e，使得对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a。
3. 群的注记通常我们称一个群为(G,*)，其中G称为群的集合，*称为群的运算，单位元用1或者e 表示，逆元用(a)^-1或者-a表示。
如果G是一个有限集合，那么称(G,*)为有限群，否则称其为无限群。
4. 群的例子(1) 整数的加法群(Z,+)对于整数集合Z，定义a+b为a加上b，即a+b=a＋b。
易证(Z,+)是一个群，其单位元为0，逆元为相反数。
(2) 非零有理数的乘法群(Q^*,×)(3) 旋转群SO(2)SO(2)表示二维空间中的旋转群，即所有的旋转操作组成的集合。
对于一个旋转操作R，我们可以用一个旋转矩阵表示，即：R = [cos(θ) -sin(θ)][sin(θ) cos(θ)]其中θ表示旋转角度。
易证，SO(2)是一个群，其运算为旋转操作的复合，单位元为不旋转，逆元为逆时针旋转同样的角度。
5. 群的性质(1) 唯一性：对于群G，单位元和逆元是唯一的。
这意味着，G中只能有一个单位元e，且a的逆元也只能是一个元素a^-1。
(2) 消去律：对于群G中的任意三个元素a、b和c，如果a*b=a*c，那么b=c。
这意味着，我们可以把群的运算看做加法，可以用消去律推导出类似乘法运算中的约分。
(3) 结构稳定性：对于群G中的任意两个元素a和b，它们的运算结果a*b仍然在G中。
这意味着，我们可以在群元素之间不断进行运算，而不用担心运算结果会跑到其他集合中去。
6. 小结群是一种基础的代数结构，其定义非常简单，但却具有广泛的应用和深刻的理论结构。
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一. 半群的定义
2020/4/27
一. 半群的定义
2020/4/27
一. 半群的定义
2020/4/27
一. 半群的定义
2020/4/27
பைடு நூலகம்
二. 半群上元素的正整数次幂
注1： 注2：
2020/4/27
三. 半群上元素的零次幂—幺半群
注：
2020/4/27
三. 半群上元素的零次幂—幺半群
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛应 用。
半群是比群更加广泛的一个概念。在本章中，我 们从介绍半群开始。
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2.1 半群
本节教学目的与要求： 记住半群的定义，掌握半群的基本性质，并能熟练判定一个
给定的代数系是否是半群.
一．半群的定义 二．半群上元素的正整数次幂 三．半群上元素的零次幂（幺半群） 四．幺半群上的可逆元—元素的负整数次幂 五．子半群的定义
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一. 半群的定义
注1： 注2： 注3：
四. 幺半群上可逆元—元素的负整数次幂
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五. 子半群的定义
注： 练习1
练习2 2020/4/27
五. 子半群的定义
练习3
作业：P29,习题2.1第3题
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注：
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三. 半群上元素的零次幂—幺半群
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三. 半群上元素的零次幂—幺半群
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三. 半群上元素的零次幂—幺半群
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四. 幺半群上可逆元—元素的负整数次幂
注1： 注2： 注：
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四. 幺半群上可逆元—元素的负整数次幂
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