矢量代数的基本知识
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矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl)，记为
或
，故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度：若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 ， 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向，它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
为
或
。
说明：
① 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，
不存在旋转强弱的意义；
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在M 点的量 本身有关；
③ 旋度场： 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
第24页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率，即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场：数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
第25页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
第26页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式：
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面，求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明
大学物理矢量代数
大学物理矢量代数在大学物理的学习中，矢量代数是一个非常重要的基础知识领域。
它不仅在理论物理中有着广泛的应用，还在工程技术、计算机科学等众多领域发挥着关键作用。
首先，让我们来明确一下什么是矢量。
矢量是一种既有大小又有方向的量。
与只有大小的标量不同，矢量的方向对于其描述和运算有着至关重要的影响。
比如，力、速度、位移等都是常见的矢量。
在大学物理中，矢量的表示方法有多种。
常见的是用箭头来直观地表示矢量的方向，箭头的长度表示矢量的大小。
同时，也可以用坐标分量的形式来表示矢量。
矢量的运算包括加法、减法、乘法等。
矢量的加法遵循平行四边形法则或者三角形法则。
假设我们有两个矢量 A 和 B，要将它们相加，我们可以以 A 和 B 为邻边作平行四边形，其对角线就是 A ＋ B 的结果；或者将 B 的起点移动到 A 的终点，从 A 的起点到 B 的终点的矢量就是A ＋ B。
矢量的减法可以看作是加上一个相反的矢量。
例如，A B 就等于 A ＋（B)。
而矢量的乘法有两种，一种是点乘（也称为数量积或内积），另一种是叉乘（也称为矢量积或外积）。
点乘的结果是一个标量。
其定义为 A·B ＝｜A| ｜B| cosθ，其中θ是 A 和 B 之间的夹角。
点乘在计算功、计算矢量在某一方向上的投影等方面有着广泛的应用。
叉乘的结果是一个矢量。
其大小为｜A×B| ＝｜A| ｜B| sinθ，方向遵循右手定则。
在计算磁场对电流的作用力、计算角动量等方面，叉乘发挥着重要作用。
在解决物理问题时，熟练运用矢量代数可以使问题变得清晰和简洁。
例如，在研究物体的运动时，速度和加速度都是矢量。
如果只考虑大小而忽略方向，就无法准确描述物体的运动状态。
再比如，在电场和磁场的研究中，电场强度和磁感应强度都是矢量。
通过矢量的运算，可以得到电场力和洛伦兹力等重要的物理量。
学习矢量代数需要我们具备较强的空间想象力和逻辑思维能力。
通过大量的练习和实际应用，我们能够更好地掌握这一工具。
第1章 - 1 矢量坐标系梯度
12
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .1 正交坐标系
任意矢量A：
A A
Au21 Au22 Au23
任意矢量B：
（1-22） （1-23） （1-24）
（1-25） （1-26）
13
第一章 矢 量 分 析
e e e u1
u2
u3
A B Au1 Au2 Au3
B B B u1
u2
u3
（1-27）
d , d, dz
拉梅系数：
r
h1 1, h2 , h3 1 （1-58）
位置矢量为： r = e + ez z
线元微分元为： dr = d (e + ez z)
e d de ezdz zdez e d e de ezdz
（1-59） （1-60）
26
第一章 矢 量 分 析
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .3 圆柱坐标系
ez
e
e
(u1，u2，u3 ) (,, z)
（1-48）
ez P(ρ0 ,φ0 , z0 )
e e
0 0 2
z
e e ez
e ez e
（1-49）
图 1 -6 柱坐标系
ez e e
21
第一章 矢 量 分 析
ez ez
ex e cos e sin ， ey e sin e cos ， ez ez
（1-51-2）
22
第一章 矢 量 分 析
园柱坐标系中矢量：
A e A e A ez Az
直角坐标系中：
A ex Ax ey Ay ez Az
坐标变换矩阵为：
Ax cos
矢量代数的基本知识
M1
数量积的坐标表达式
A Ax i Ay j Az k ,
B B x i B y j Bz k A B ( Ax i Ay j Az k ) ( B x i B y j Bz k ) Ax Bx Ay B y Az Bz
7
矢量的加法满足下面的运算规律：
A Ax i Ay j Az k B B x i B y j Bz k A B C C xi C y j Czk A B ( Ax B x )i ( Ay B y ) j ( Az Bz )k
矢量加法在直角坐标系中的正交分解式
C x Ax B x C y A y B y C z Az Bz
2、矢量的减法运算 矢量的减法运算是加法运算的逆运算，实际上与加 法运算是一回事。 8
矢量的乘法运算 3、数量乘矢量： 实数与矢量a的乘积是一个矢量，记 做 a ,它的
矢量积的坐标表达式
k
j
i
23
a b ( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k ) k a x bx (i i ) a x b y ( i j ) a x bz ( i k ) j k a y b x ( j i ) a y b y ( j j ) a y bz ( j k ) i a z bx (k i ) a z b y (k j ) a z bz ( k k )
a
a
4
1 ei e j ij
(完整版)常用矢量公式
格林公式：
第一公式
第二公式
一般规则
其他规则
一般变换规则证明：
1.
证： 任取常矢量 点乘上式两端
左 用
用混合积公式
2.
证： 左
三． 算符常用公式
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
证：
6． 微分运算
去掉角标。
7．
利用
微分运算
用 代替 ， 代替 ， 代替
矢量运算
同样
§6. 有关矢量场的一些定理
一、关于散度旋度的四个定理
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将 面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 ，我们
用单位体积的通量来描述，则有 ，取极限 称为矢量 的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成 （divergence）。若空间各点处处 ，则称 为无源场。
例题：
1. 求 ，其中
1.标量场的梯度必为无旋场， 即
2.矢量场的旋度必为无散场， 即
3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。
第一公式
第二公式
一般规则
其他规则
一般变换规则证明：
1.
证： 任取常矢量 点乘上式两端
左 用
用混合积公式
2.
证： 左
三． 算符常用公式
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
证：
6． 微分运算
去掉角标。
7．
利用
微分运算
用 代替 ， 代替 ， 代替
矢量运算
同样
§6. 有关矢量场的一些定理
一、关于散度旋度的四个定理
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将 面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 ，我们
用单位体积的通量来描述，则有 ，取极限 称为矢量 的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成 （divergence）。若空间各点处处 ，则称 为无源场。
例题：
1. 求 ，其中
1.标量场的梯度必为无旋场， 即
2.矢量场的旋度必为无散场， 即
3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。
矢量代数的基本知识
含平行四边形法则和三角形法则平行四边形法则 三角形法则B AC ρρρ+= 加法满足：交换律：A B B A +=+结合律：C B A C B A ++=++)()( 零矢量的定义：A A =+0 2. 矢量的数乘⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧<>==反向与同向与方向大小A C A C A C C A 0 0 λλλλ 结合律：A A ) () ( μλμλ= 分配律：B A B A )( λλλ+=+0)1(=⨯-+=-A A A A3. 矢量的分解在一个平面内，若存在两个不共线的矢量1e 和2e ，则平面内的任一矢量可以分解为：2211e A e A A +=。
（1）正交分解：选择21e e ⊥（2）三维空间中应有3个不共面的矢量 4. 矢量的标积（点积、内积）（1）定义 cos θAB B A S =⋅=；其中θ 为A 与B 的夹角。
如果B 为单位矢量，则B A ⋅为矢量A 在B 方向上的投影（分量）。
（2）性质举例说明交换律：A B B A ⋅=⋅分配律：C B A C B A ⋅+⋅=+⋅A ) (βαβα02≥=⋅A A A若0=⋅B A ，则可能是0=A 或0=B或B A ⊥。
5. 矢量的矢积（叉积、外积） （1）定义：C B A =⨯大小：)0( sin πθθ<<=⨯=AB B A C ，平行四边形的面积。
方向：A 至B 右手螺旋方向。
（2）性质) () ()( 0)( B A C C A B C B A A A C A B A C B A AB B A ⋅-⋅=⨯⨯=⨯⨯+⨯=+⨯⨯-=⨯βαβαρρρρ6. 矢量的混合积C A B A C B B A C C B A •⨯-=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯) () () () （几何意义：以A 、B 和C 为棱边的平行六面体的体积。
7. 注意*矢量的非法运算包括：ΛD e C B A,,ln ,1*矢量与标量不能相等！*书写时别忘记加上矢量号（帽子）。
第1章-矢量分析
⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5
电磁场与电磁波第一章矢量分析
(Cf ) C f
有关散度的公式：
(kF ) k F (k为常量)
( f F ) f F F f
(F G) F G
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
26
4. 散度定理（高斯公式）
矢量场对于空间任意 闭合曲面的通量，等于矢 量场的散度在该闭合曲面 所包围体积中的体积分。
4. 各坐标系单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
ey
sin cos
0
ez 0 0
1
直角坐标与 球坐标系
er
ex
sin cos
e cosθ cos
e sin
ey
ez
sin sin cos
cos sin sin
cos
0
15
zy e
eeyz
eer
度规系数 hr 1, h r, h r sin
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
14
面元矢量
dSr
er dl dl
er r 2sin dd
dS
e dlrdl
ez
rsin
drd
dS
e dlr dl
e rdrd
球坐标系中的线元、面元和体积元
体积元
dV r2sindrdd
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
如果表示“场”的物理量是标量，则称为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。 如果表示“场”的物理量是矢量，则称为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，“场”是定义在空间区域上的函数：
矢量代数第1讲
27
由于微分dA是导矢A'(t)与增量Dt的乘积, 所 以它是一个矢量, 而且和导矢A'(t)一样, 也在 点M处与A(t)的矢端曲线l相切. 但其指向: 当 dt>0时, 与A'(t)的方向一致; 而当dt<0时, 则 与A'(t)的方向相反.
28
dA(dt<0)
M
dA(dt>0) A'(t) O
dA DA A(t Dt ) - A(t ) A(t ) lim lim . d t Dt 0 Dt Dt 0 Dt (2.2)
21
若A(t)由坐标式给出: A(t)=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k, 且Ax(t),Ay(t),Az(t)在点t可导, 则有 dA DA lim d t Dt 0 Dt DAy DAx DAz lim i lim j lim k Dt 0 Dt Dt 0 Dt Dt 0 Dt d Ay d Ax d Az i j k, d t d t d t 即 A'(t)=A'x(t)i+A'y(t)j+A'z(t)k. (2.3)
dr dx dy dz . dt dt dt dt 由于 ds 和 dt 有相同的符号, 故有
2
2
2
36
d s (d x) (d y ) (d z ) 2 dt (d t )
2 2 2 2
2
dr dx dy dz . dt dt dt dt 由此可知:矢端曲线的切向单位矢量
19
M
A'(t) N
DA Dt
矢量代数
( S1 )
(S2 )
(S)
n
把V分割成很多的块： A Ai
i 1
当 V 0 时:
A dSi
(Si )
Vi
Ai
vv
v
Ò Ai A dSi ( A)i Vi
(Si )
v vn
n
v
A Ò A dS=Ai ( A)i Vi
(S)
i1
i1
A AdV A dS
(V )
i
j
k
x y z
标量场的梯度为矢量，例：电场中电势U为标量场
电场强度：
E gradU
直角坐标式：
U
U
i
U
j
U
k
x y z
三、矢量场的通量和散度 高斯定理
v
A
（1）散度定义
r
通量： A A dS A dS cos
(S)
(S)
A A dS （闭合曲面r外法线方向）
(S)
A B ABcos AxBx AyBy Az Bz
性质： 1) 2) 3)
4)
AB B A A(B C) AB AC
AB 0 A B
A A A2
3、矢量的矢积 S AB
大小：S ABsin（以两个矢量为边组成的平行四边形的面积）
方向： S A ，S B （满足右手螺旋定则）
C
② 和 位置对调
B
A (B C) B (C A) C (A B)
(A B) C (B C) A (C A) B
(B A) C (C B) A (AC) B
A (C B) B (A C) C (B A)
2、三重矢积 A(BC)
矢量代数第二节数量场的方向导数和梯度
u d u .
(2.3)
l d s
12
l M1 M
M0 图2.9
C
13
证 设曲线C以s为参数的参数方程为 x=x(s),y=y(s),z=z(s),
则沿曲线C, 函数 u=u[x(s),y(s),z(s)].
又由于在点M处, 函数u可微, 曲线C光滑, 按 复合函数求导定理, 即得u对s的全导数
4) grad(uv)=u grad v + v grad u,
5)
grad
u v
1 v2
(vgrad
u
ugrad
v),
6) grad f(u)=f '(u)grad u,
7) grad f (u,v) f grad u f grad v.
u
v
35
例7 设有一温度场u(M), 由于场中各点的温
u | G | . l 因此将G叫做u(M)在给定点处的梯度.
24
(1) 梯度的定义 若在数量场u(M)中的一点M 处, 存在这样一个矢量G, 其方向为函数u(M) 在M点处变化率最大的方向, 其模也正好是 这个最大变化率的数值. 则称矢量G为函数 u(M)在点M处的梯度, 记作grad u, 即
grad u i 3 j 3k. M l l 2 i 2 j 1 k, |l| 3 3 3
u l
M
1
2 3
(3)
2 3
(3)
1 3
1 3
32
例5 求常数a,b,c之值, 使函数 u=axy2+byz+cz2x3在点M(1,2,1)处沿平行于 Oz轴方向上的方向导数取得最大值32. 解 grad u=(ay2+3cz2x2)i+(2axy+bz)j
第1章 矢量分析
体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
o
dy
dx dSx exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第一章 矢量分析
A Axex Ayey Azez
sin cos
0
0 ex
0
e y
1 ez
ex cos
ey
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
1 ez
第一章 矢量分析
2、直角坐标系与球坐标系的关系
er ex sin cos ey sin sin ez cos e cos cos ex cos sin ey sin ez e ex sin ey cos
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
x, y, z,( x, y, z )
ex , ey , ez
r ex x ey y ez z
dl
exdx
ey
dy
ezdz
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
A B AxBx Ay By Az Bz
ex ey ez
A B Ax Ay Az Bx By Bz
ex
Ay By
Az Bz
ey
Ax Bx
矢量代数与位置矢量
则
A±B = ex(Ax ± Bx) + ey(Ay ± By) + ez(Az ± Bz)
（1-5）
A ± B =[ (Ax ± Bx)2 + (Ay ± By) 2 + (Az ± Bz) 2 ]1/2
（1-6）
标量ƒ与矢量A的乘积定义为一新矢量， 用ƒA表示，它是A的ƒ倍。
由
A = exAx + eyAy + ezAz
A·B= 0； A·A=A2。
直角坐标系中的点积运算 A·B = （exAx + eyAy + ezAz)·(exBx + eyBy + ezBz)
由单位矢量的正交性
ex·ex = ey·ey = ez·ez = 1 ex·ey = ey·ez = ez·ex = 0
得
A·B = Ax Bx + AyBy + AzBz
矢量A的图示: A
2、矢量运算
两矢量A和B相加定义为一个新矢量A+B
B A+B A
A+B B
A
( a ) 平行四边形法则
( b ) 首尾相接法则
图1-1两矢量相加
A-B
A和B相减为新矢量A B
A
-B
B
图1-2 两矢量相减
交换律 A±B = B±A
(1-1)
结合律 A±B±C=A±(B±C)=(A±B) ±C
(1-2)
z
直角坐标系中的矢量及运算 A=ex Ax+ey Ay+ez Az
模： A = ( A2x+ A2y + A2z )1/2
(1-3) (1-4)
若已知
1.1矢量及其代数运算公式
uu uv v u v v w u w v
uw 2 v w = [u v w ] ww
u u′ u v ′ u w ′ v u′ v v ′ v w ′ = [u v w ][u′ v ′ w ′] w u′ w v ′ w w ′
u+v = v +u (u + v ) + w = u + (v + w )
规则（ 乘实数a仍是同一空间 规则（3）数乘矢量：矢量u乘实数 仍是同一空间 数乘矢量：矢量 乘实数 的矢量。 的矢量。 分配律： 分配律：
结合律： 结合律：
(a + b )u = au + bu a(u + v ) = au + av a (bu ) = abu
1.1.4
混合积
[u
v w ] = (u × v ) w = u (v × w ) ux = vx wx uy vy wy uz ux vz = u y wz u z vx vy vz wx wy wz
[u
v w ] = [v w u] = [w u v ]
= [v u w ] = [u w v ] = [w v u]
J
∑a u
j =1 j
j
=0
维数：一个矢量空间所包含的最大线性无关矢量的 维数： 数目。 数目。 n维空间中的任一矢量，可用n个线性无关的基矢量 维空间中的任一矢量，可用 个线性无关的基矢量 维空间中的任一矢量 的线性组合来表示。例如： 的线性组合来表示。例如：
v = vx i + v y j + vz k
I
线性相关：矢量组 线性相关， 线性相关：矢量组ui ( i=1，2，…，I )线性相关，若 ， ， ， 线性相关 存在一组不全为零的实数a 存在一组不全为零的实数 i( i=1，2，…，I ) ，使得
第0章—矢量代数与矢量分析_v1
ˆ = (cos a , cos b , cos g ) l
第0章 矢量代数与矢量分析
0-21
证明
S2 ˆ2 n
P x , y, z
S1
P x
x , y y , z z
ˆ1 n
O
V®P
lim
ˆ )dS Ò T (n 蝌
S
V
=
ˆ) 抖 T (x 抖 x
+
ˆ) T (y
y
+
ˆ) T (z
z
第0章 矢量代数与矢量分析
0-22
标量场
0-10
0
第0章 矢量代数与矢量分析
矢量分析
微分：若 D F =
dF D t + O (D t )，则称F 在 t 点是可微的。 dt
在直角坐标系下：
ˆ x+y ˆ dFy + z ˆdFz dF = xdF
如果不以直角坐标系表示，上述微分公式还对吗？
不正确！因为在其它坐标系中单位坐标矢 量也是自变量的函数
a ?b
a x b x + a y b y + a z b z ¹ a b cos (a^ b)
ˆ x ax bx
ˆ y ˆ z
a? b
ay by
az bz
a 垂b
a b sin (a^ b)
第0章 矢量代数与矢量分析
0-7
矢量分析
标量函数：只有大小，没有方向，且随自变量的变化而 变化。
r
O y
l
x
ì ï x = Fx (t ) ï ï 的参数方 ï í y = Fy (t ) ï ï 程： ï z = Fz (t ) ï î
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r x i yj zk x x x(t t ) x(t ), y y(t t ) y(t ) z z(t t ) z(t )
强调：位移的大小只能写成：| r | 或 r 。
2 2 2 | r | ( x ) ( y ) ( z ) 位移的大小：
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二、参照系和坐标 • 物质的运动具有绝对性 • 描述物质运动具有相对性 参考系： 为描述物体的运动而选取的参考物体。 参照系可以根据对象的不同或问题的需要来选择。 注意：参照系不一定是静止的。
坐标系： 用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。
坐标系是固定在参照系上的，物体相对于坐标系 的运动就是相对于参照系的运动。坐标系实际上是参 照系的数学抽象。
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运动学
（龚炎芳编）
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一、质点运动的描述
1.位置矢量 描写质点空间位置的物理量。
在直角坐标系中，可以从原点 O向质点P所在位置画 一矢量 r 来表示质点位置。 z P( x, y, z ) r 称为位置矢量，简称位矢。 位矢可表示为：
r xi yj zk
o
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在运动方程中，消去t即得轨迹方程：f(x,y，z)=0。
2.位移
描写质点位置变化的物理量。
z
P(x, y, z)
AB位移： Δr r (t Δt) r (t)
大小为PQ的距离,方向从P指向Q。 在直角坐标系中：
o
r (t )
r
Q
r ( t t )
y
矢量代数的基本知识
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一、标量和矢量
标量只有大小， 例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。
矢量的几种表示方式：
几何表示 ——有指向的线段。 坐标分量表示法
z
Az
直角坐标系 A Ax i Ay j Az k Axo i , j, k表示沿x，y，z轴的单位矢量。 x 2 2 2 矢量的模 A | A | Ax Ay Az
直角坐标系：
是 A与B 的夹角。 et是一个单位矢量。 et的方向：垂直于由 A 、B 所构成的平面，并且跟
et
B
A
a b (a x i a y j a z k ) (bx i by j bz k )
z
r
y
y
x i , j, k 表示沿x，y，z轴的单位矢量。 位矢大小（位矢的模）： r | r | x 2 y 2 z 2
位矢方向： 由位矢与三个坐标轴的夹角的余弦表示。
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x
质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。
r r (t ) 称为运动方程（运动函数）
A
Ay
y
2
矢量方向： 可由矢量与三个坐标轴的夹角的余弦表示。 设矢量与x，y，z三轴的夹角为 、 、。
z
A
Ay
C
Ay Ax Az cos , cos A cos , z A A A o
此三个角满足关系：
cos2 cos2 cos2 1
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质点和刚体 参照系和坐标系
（龚炎芳编）
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一、质点和刚体
为了简化问题的研究，我们就要突出研究对象的主 要因素而忽略次要因素，建立起相应的理想模型。
1.质点 质点:只有质量而没有没有大小和 形状的理想物体。 2.刚体 刚体：有质量、有大小和形状但不会 发生形变的理想物体， 强调：质点和刚体都是理想的模型，它们都是实际物 体在一定条件下的抽象。
直角坐标系：
Ax Bx Ay By Az Bz 特殊： A B 0 A B
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(2) 矢量的叉乘（矢量积） A B | A || B | sin et
矢量 A 、 B 形成右手螺旋关系： 伸出右手，使手平面垂直 、 所构成的平 A B 面，然后四指沿着矢量 A 的方向，经过小 于180的角转到矢量 B 的方向，此时姆指 指示的方向，就是矢量 et 的方向。
z
r
P( x, y, z )
在直角坐标系：
r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k x x (t ) 分量式： y y (t )
o
x
y
z z (t )
质点运动时在空间所经历的实际路径叫做轨道或轨 迹，相应的曲线方程称为轨迹方程。 注意： （1）运动方程与位置矢量的区别； （2）轨迹方程与运动方程的区别与联系
a
A B | A || B | cos 是 A与B的夹角。
A Ax i Ay j Az k , B Bx i By j Bz k A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k )
Ax
y
二、矢量的运算法则
1.矢量的加法运算
矢量的加法运算实际上是矢量 的叠加，用的是平行四边形法则或 三角形法则。 C A B
x
B
A
C
B
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A
2.矢量的减法运算 矢量的减法运算是加法运算的逆运算。 3.矢量的乘法运算
c a b
b
C
(1) 矢量的点乘（标量积）
注意： (a b ) (b a)
( a y bz a b ) i ( a b a b ) j ( a b a b ) k z y z x x z x y y x
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力学是研究物体机械运动的规律及其应用的科学。 机械运动---物体相对位置或自身各部份的相对位置发 生变化的运动。 运动学： 研究物体在空间的位置随时间的变化规律以及 运动的轨道问题，而并不涉及物体发生机械运动的 变化原因。 动力学： 以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态发 生变化时所遵循规律的学科。