矢量代数的基本知识
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运动学
（龚炎芳编）
10
一、质点运动的描述
1.位置矢量 描写质点空间位置的物理量。
在直角坐标系中，可以从原点 O向质点P所在位置画 一矢量 r 来表示质点位置。 z P( x, y, z ) r 称为位置矢量，简称位矢。 位矢可表示为：
r xi yj zk
o
Ax
y
二、矢量的运算法则
1.矢量的加法运算
矢量的加法运算实际上是矢量 的叠加，用的是平行四边形法则或 三角形法则。 C A B
x
B
A
C
B
3
A
2.矢量的减法运算 矢量的减法运算是加法运算的逆运算。 3.矢量的乘法运算
c a b
b
C
(1) 矢量的点乘（标量积）
注意： (a b ) (b a)
( a y bz a b ) i ( a b a b ) j ( a b a b ) k z y z x x z x y y x
5
力学是研究物体机械运动的规律及其应用的科学。 机械运动---物体相对位置或自身各部份的相对位置发 生变化的运动。 运动学： 研究物体在空间的位置随时间的变化规律以及 运动的轨道问题，而并不涉及物体发生机械运动的 变化原因。 动力学： 以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态发 生变化时所遵循规律的学科。
A
Ay
y
2
矢量方向： 可由矢量与三个坐标轴的夹角的余弦表示。 设矢量与x，y，z三轴的夹角为 、 、。
z
A
Ay
C
Ay Ax Az cos , cos A cos , z A A A o
此三个角满足关系：
cos2 cos2 cos2 1
r x i yj zk x x x(t t ) x(t ), y y(t t ) y(t ) z z(t t ) z(t )
强调：位移的大小只能写成：| r | 或 r 。
2 2 2 | r | ( x ) ( y ) ( z ) 位移的大小：
a
A B | A || B | cos 是 A与B的夹角。
A Ax i Ay j Az k , B Bx i By j Bz k A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k )
z
r
P( x, y, z )
在直角坐标系：
r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k x x (t ) 分量式： y y (t )
o
x
y
z z (t )
质点运动时在空间所经历的实际路径叫做轨道或轨 迹，相应的曲线方程称为轨迹方程。 注意： （1）运动方程与位置矢量的区别； （2）轨迹方程与运动方程的区别与联系
z
r
y
y
x i , j, k 表示沿x，y，z轴的单位矢量。 位矢大小（位矢的模）： r | r | x 2 y 2 z 2
位矢方向： 由位矢与三个坐标轴的夹角的余弦表示。
11
x
质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。
r r (t ) 称为运动方程（运动函数）
12
在运动方程中，消去t即得轨迹方程：f(x,y，z)=0。
2.位移
描写质点位置变化的物理量。
z
P(x, y, z)
AB位移： Δr r (t Δt) r (t)
大小为PQ的距离,方向从P指向Q。 在直角坐标系中：
o
r (t )
r
Q
r ( t t )
y
直角坐标系：
是 A与B 的夹角。 et是一个单位矢量。 et的方向：垂直于由 A 、B 所构成的平面，并且跟
et
B
A
a b (a x i a y j a z k ) (bx i by j bz k )
直角坐标系：
Ax Bx Ay By Az Bz 特殊： A B 0 A B
4
(2) 矢量的叉乘（矢量积） A B | A || B | sin et
矢量 A 、 B 形成右手螺旋关系： 伸出右手，使手平面垂直 、 所构成的平 A B 面，然后四指沿着矢量 A 的方向，经过小 于180的角转到矢量 B 的方向，此时姆指 指示的方向，就是矢量 et 的方向。
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质点和刚体 参照系和坐标系
（龚炎芳编）
7
一、质点和刚体
为了简化问题的研究，我们就要突出研究对象的主 要因素而忽略次要因素，建立起相应的理想模型。
1.质点 质点:只有质量而没有没有大小和 形状的理想物体。 2.刚体 刚体：有质量、有大小和形状但不会 发生形变的理想物体， 强调：质点和刚体都是理想的模型，它们都是实际物 体在一定条件下的抽象。
8
二、参照系和坐标 • 物质的运动具有绝对性 • 描述物质运动具有相对性 参考系： 为描述物体的运动而选取的参考物体。 参照系可以根据对象的不同或问题的需要来选择。 注意：参照系不一定是静止的。
坐标系： 用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。
坐标系是固定在参照系上的，物体相对于坐标系 的运动就是相对于参照系的运动。坐标系实际上是参 照系的数学抽象。
矢量代数的基本知识
1
一、标量和矢量
标量只有大小， 例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。
矢量的几种表示方式：
几何表示 ——有指向的线段。 坐标分量表示法
z
Az
直角坐标系 A Ax i Ay j Az k Axo i , j, k表示沿x，y，zBiblioteka Baidu的单位矢量。 x 2 2 2 矢量的模 A | A | Ax Ay Az
运动学
（龚炎芳编）
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一、质点运动的描述
1.位置矢量 描写质点空间位置的物理量。
在直角坐标系中，可以从原点 O向质点P所在位置画 一矢量 r 来表示质点位置。 z P( x, y, z ) r 称为位置矢量，简称位矢。 位矢可表示为：
r xi yj zk
o
Ax
y
二、矢量的运算法则
1.矢量的加法运算
矢量的加法运算实际上是矢量 的叠加，用的是平行四边形法则或 三角形法则。 C A B
x
B
A
C
B
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A
2.矢量的减法运算 矢量的减法运算是加法运算的逆运算。 3.矢量的乘法运算
c a b
b
C
(1) 矢量的点乘（标量积）
注意： (a b ) (b a)
( a y bz a b ) i ( a b a b ) j ( a b a b ) k z y z x x z x y y x
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力学是研究物体机械运动的规律及其应用的科学。 机械运动---物体相对位置或自身各部份的相对位置发 生变化的运动。 运动学： 研究物体在空间的位置随时间的变化规律以及 运动的轨道问题，而并不涉及物体发生机械运动的 变化原因。 动力学： 以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态发 生变化时所遵循规律的学科。
A
Ay
y
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矢量方向： 可由矢量与三个坐标轴的夹角的余弦表示。 设矢量与x，y，z三轴的夹角为 、 、。
z
A
Ay
C
Ay Ax Az cos , cos A cos , z A A A o
此三个角满足关系：
cos2 cos2 cos2 1
r x i yj zk x x x(t t ) x(t ), y y(t t ) y(t ) z z(t t ) z(t )
强调：位移的大小只能写成：| r | 或 r 。
2 2 2 | r | ( x ) ( y ) ( z ) 位移的大小：
a
A B | A || B | cos 是 A与B的夹角。
A Ax i Ay j Az k , B Bx i By j Bz k A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k )
z
r
P( x, y, z )
在直角坐标系：
r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k x x (t ) 分量式： y y (t )
o
x
y
z z (t )
质点运动时在空间所经历的实际路径叫做轨道或轨 迹，相应的曲线方程称为轨迹方程。 注意： （1）运动方程与位置矢量的区别； （2）轨迹方程与运动方程的区别与联系
z
r
y
y
x i , j, k 表示沿x，y，z轴的单位矢量。 位矢大小（位矢的模）： r | r | x 2 y 2 z 2
位矢方向： 由位矢与三个坐标轴的夹角的余弦表示。
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x
质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。
r r (t ) 称为运动方程（运动函数）
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在运动方程中，消去t即得轨迹方程：f(x,y，z)=0。
2.位移
描写质点位置变化的物理量。
z
P(x, y, z)
AB位移： Δr r (t Δt) r (t)
大小为PQ的距离,方向从P指向Q。 在直角坐标系中：
o
r (t )
r
Q
r ( t t )
y
直角坐标系：
是 A与B 的夹角。 et是一个单位矢量。 et的方向：垂直于由 A 、B 所构成的平面，并且跟
et
B
A
a b (a x i a y j a z k ) (bx i by j bz k )
直角坐标系：
Ax Bx Ay By Az Bz 特殊： A B 0 A B
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(2) 矢量的叉乘（矢量积） A B | A || B | sin et
矢量 A 、 B 形成右手螺旋关系： 伸出右手，使手平面垂直 、 所构成的平 A B 面，然后四指沿着矢量 A 的方向，经过小 于180的角转到矢量 B 的方向，此时姆指 指示的方向，就是矢量 et 的方向。
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质点和刚体 参照系和坐标系
（龚炎芳编）
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一、质点和刚体
为了简化问题的研究，我们就要突出研究对象的主 要因素而忽略次要因素，建立起相应的理想模型。
1.质点 质点:只有质量而没有没有大小和 形状的理想物体。 2.刚体 刚体：有质量、有大小和形状但不会 发生形变的理想物体， 强调：质点和刚体都是理想的模型，它们都是实际物 体在一定条件下的抽象。
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二、参照系和坐标 • 物质的运动具有绝对性 • 描述物质运动具有相对性 参考系： 为描述物体的运动而选取的参考物体。 参照系可以根据对象的不同或问题的需要来选择。 注意：参照系不一定是静止的。
坐标系： 用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。
坐标系是固定在参照系上的，物体相对于坐标系 的运动就是相对于参照系的运动。坐标系实际上是参 照系的数学抽象。
矢量代数的基本知识
1
一、标量和矢量
标量只有大小， 例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。
矢量的几种表示方式：
几何表示 ——有指向的线段。 坐标分量表示法
z
Az
直角坐标系 A Ax i Ay j Az k Axo i , j, k表示沿x，y，zBiblioteka Baidu的单位矢量。 x 2 2 2 矢量的模 A | A | Ax Ay Az