高三数学立体几何,解析几何复习建议

高三数学《立体几何》、《解析几何》的复习建议
仙居中学赵娅芳
《立体几何》
一、2009年浙江（文科）考题分析
紧张又期待的2009年新高考已过去，为迎接不久到来的2010年高考，我们又得时刻准备着，整装待发……大家都十分关注新高考考什么？怎么考？非常疑惑高三复习教什么？怎么教？我想：2009年的浙江省高考试题为我们所有高三数学老师的复习起了一定的导向作用．2009年的浙江文科数学试题仍保持“1+1+1”的题型，即一道选择题，一道填空题和一道解答题组成，分值23分，占全卷的15.3%．从考查内容来看：线线、线面、面面的平行与垂直关系是立体几何的主干知识，还是今年新高考考查的重点．如浙江文（4）、文（19）第（Ⅰ）题；求角的问题主要考了直线与平面所成的角（应该是重点考查对象），如浙江文（19）第（Ⅱ）题；值得我们眼睛一亮和重视的是填空题第12题对新增内容——三视图的考查．从考查要求看：试题均可用常规常法和通性通法来解决，淡化特殊技巧，但是考生要完整准确地解答，则需要有扎实的双基和良好的数学素养．方法能力上：在考查空间想象能力的同时，又考查了推理论证能力、运算能力和分析问题、解决问题的能力．
二、几点复习建议
1. 重视对《考试说明》的研究，并结合对2009年高考题的认真分析，深化对新课程高考题的认识．
《考试说明》是高考命题的指挥棒，它规定了考试的性质、考试的要求、考试的内容、考试形式及试卷结构等各方面的要求，而且对考查不同的知识提出了明确的层次要求．因此认真研究《考试说明》，并以此为复习备考的依据，也为复习的指南，做到复习既不超纲，又能有针对性、有重点地进行复习，切实提高复习的效率．
（1）细心推敲对考试内容三个不同层次的要求．准确掌握哪些内容是了解，哪些是理解，哪些是掌握．这样既明了知识系统的全貌，又知晓了知识体系的主干及重点内容．如2009年《考试说明》（文科）对求角的的问题指出：了解两条异面直线所成角及二面角的概念，理解并会求直线与平面所成角．因此复习时就没有必要在求两条异面直线所成角及二面角的问题上进行过于复杂的探讨，应重点放在求直线与平面所成角的问题上．今年文科第19题的第（Ⅱ）题就
考了求直线与平面所成角的问题。

在2010年《考试说明》没有发下来之前，我们就参考2009年《考试说明》（文科），待发下来后，有必要把这两年的《考试说明》作一比较，发现有变化的地方就是我们该高度重视的地方．
（2）仔细剖析对能力的要求和考查的数学思想与教学方法有哪些？有什么要求？明确一般的数学方法，普遍的数学思想及一般的逻辑方法（即通性通法）.
再结合近年新课程新高考的省份试卷.特别是今年我们浙江省高考试题的分析研究和学习领会教育部考试中心对试题的分析报告，作出相应的复习方法和策略．
2. 重视课本，狠抓基础，构建良好的知识网络．
立体几何试题难度不大，得分较为容易，对立体几何的复习首要的事情就是强化基础知识的训练，确实掌握基本概念、性质、定理、公理、推论等，让学生建立起完整的知识网络，同时掌握这些定理在不同题目中的用法，理解它们的个性和通性．譬如对线线、线面、面面平行与垂直的证明问题，让学生牢固树立以下的思维脉络：证线面平行（垂直）转化为证线线平行（垂直）；证面面垂直（平行）转化为证线面垂直（平行）或证线线垂直（平行）．在此基础上突出知识的主干，强调中心问题，做到全面细致，找到解各种题目的突破口，提高解题能力．
其中一项重要的能力是“画图”．高考卷中立体几何的小题一般都不给图，而大题中所给的图又往往需要添加辅助元素，所以从某种意义上说，作出一个好图等于题目解决了一半！训练中要做到：①会画——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线（面），作出的图形要直观、虚实分明；②会看——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会用——对图形进行必要的分解、组合，或对其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割补等．
例：（2009 浙江文(4)）设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是
A ．若,,l ααβ⊥⊥则l β⊂
B ．若//,//,l ααβ则l β⊂
C ．若,//,l ααβ⊥则l β⊥
D ．若//,,l ααβ⊥则l β⊥
分析：本题涉及空间中平行（垂直）关系的考查，要求学生对空间中线线、线面、面面之间平行（垂直）的相关命题有全面的认识和把握（即有完整的知识网络），并能在一定条件下熟练地转化和迁移，显然“画图”是最好的一种解题方法．
3．强化训练，使学生表述清楚，书写规范。

立体几何试题尽管难度不大，得分也较容易，但对我们文科生来说，必须有一定量的过手训练，才能让学生掌握知识，形成相应的能力．从考试情况来看，部分文科生得分仍不理想的原因大致有以下三个方面：一是基础知识不牢固，知识网络不严密；二是没有立体感知和空间概念，空间想象能力欠缺；三是表述不规范。

因此在应用几何法证明时，要求学生论证要严谨有力、求解要规范有序，“作”“证”“算”三个环节要求学生表达要严谨、清晰、规范。

不过对文科生来说，必须经过反复训练，不断强化才能达到目的．
总之，重视教材，狠抓基础是根本；立足中低档，降低重心是策略；过程中发展能力，提高素质是核心．
2010年高考，我们认为，立体几何考查的重点依然是空间直线的平行、垂直的判定与证明、空间角（主要是直线与平面所成的角）的量化、求面积与体积等，特别是以多面体为载体的线面关系的论证与计算是热点．还有就是新增内容，它是大纲修订和考试改革的亮点，考试时一定都会有所体现．
《平面解析几何》
一、2009年浙江（文科）考题分析
解析几何一直是高考的重头戏，而圆锥曲线是其中的重中之重，它是高中数学的重点内容和高考命题的热点之一．新高考前的近五年的浙江高考试题基本保持“2+1+1”的题型，即大致是由二道选择题，一道填空题和一道解答题组成．解析几何在每年试卷中所占分值较高且比较平稳，平均30分左右，占全卷的20%．高考对解析几何的考查，总的指导思想是小题考定义和性质，大题考综合、考思想，主要是以知识应用和问题探究为主，重在考查解析几何中的基本知识和基本方法，着重考查解析几何的基本思想，以及利用代数的方法研究几何问题的特点和性质．而2009年的浙江高考试题的题型是“1+1+1”，即一道选择题，一道填空题和一道解答题组成．文6、13、22分别考查了椭圆的离心率、线性规划问题及直线与抛物线的综合性问题，没有考到双曲线．从考查要求看：基本考查解析几何的基础知识并可用通性通法来解决，如文科第22题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．体现新课程理念，它对数学教学如何“摆脱题海”、关注数学本质起到了良好的导向作用．与08年相比少了一道选择题，但解析几何都作为最后的压轴题出现．因为解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一．也是高考作为综合考查学生的重点内容之一．
二、几点复习建议
1. 重视对《考试说明》的研究，并结合对2009年高考题的认真分析，深化对新课程高考题的认识．
《考试说明》是高考命题的指挥棒，它规定了考试的性质、考试的要求、考试的内容、考试形式及试卷结构等各方面的要求，而且对考查不同的知识提出了明确的层次要求．因此认真研究《考试说明》，并以此为复习备考的依据，也为复习的指南，做到复习既不超纲，又能有针对性、有重点地进行复习，切实提高复习的效率．
（1）细心推敲对考试内容三个不同层次的要求．准确掌握哪些内容是了解，哪些是理解，
哪些是掌握．同时留心一下哪些内容删去了，哪些是新增内容。

这样既明了知识系统的全貌，又知晓了知识体系的主干及重点内容．如2009年《考试说明》（文科）增加了“了解斜截式与一次函数的关系”；删去了“两直线的交角和圆的参数方程”；在直线和圆锥曲线的位置关系问题上要求：“能用坐标法解决简单的直线与抛物线的位置关系等问题”．由此可见：三种圆锥曲线的地位均衡性已经被打破，双曲线的地位明显下降，以它作为载体的解析几何大题的可能性已减少，这是我们2010年高考复习应该重点关注的．同时我们也看到09年试题考到的是直线与抛物线问题，双曲线一点都没考到．因此在2010年《考试说明》没有发下来之前，我们就参考2009年《考试说明》（文科），待发下来后，有必要把这两年的《考试说明》作一比较，发现有变化的地方就是我们该高度重视的地方．
（2）仔细剖析对能力的要求和考查的数学思想与教学方法有哪些？有什么要求？明确一般的数学方法，普遍的数学思想及一般的逻辑方法（即通性通法）.
再结合近年新课程新高考的省份试卷.特别是今年我们浙江省高考试题的分析研究和学习领会教育部考试中心对试题的分析报告，作出相应的复习方法和策略．
二、把握考题方向，梳理知识脉络．
解析几何部分知识点多，计算量大，综合性强，其高考试题一般源于教材又高于教材，宗旨就是考查考生对解析几何的基础知识、基本技能、基本数学思想方法的掌握程度，以及运用它们来分析问题和解决问题的能力．纵观2009年各地新课标高考试题，解析几何的考点主要是以下几个方面：
①考查基础知识
例1（2009安徽卷文7）直线l 过点（-1，2）且与直线2x-3y+4=0垂线，则l 的方程是
（A ）3x+2y-1=0 （B ）3x+2y+7=0 （C ）2x-3y+5=0 （D ）. 2x-3y+8=0
例2（2009福建卷文4）若双曲线()22
2213
x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于
C.
32
D. 1 ②考查直线与圆的位置关系
例3（2009辽宁卷文7）已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为
（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++=
(C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=
例4(2009年广东卷文13)以点（2，1-）
为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 . ③直线与圆锥曲线的位置关系
例5 (2009山东卷文10)设斜率为2的直线l 过抛物线2
(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A.24y x =±
B.28y x =±
C. 24y x =
D. 28y x = 例6（2009宁夏海南卷文14）已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 。

④圆锥曲线间的关系
例7 (2009年广东卷文19) 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .
(1)求椭圆G 的方程
(2)求21F F A k ∆的面积
(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G?请说明理由.
例8（2009安徽卷文18）已知椭圆22221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的离心率为33，以原点为圆心。

椭圆短半轴长半径的圆与直线y=x+2相切，
（Ⅰ）求a 与b ；
（Ⅱ）设该椭圆的左，右焦点分别为12,F F ，直线1l 过2F 且与x 轴垂直，动直线2l 与y 轴垂直，2l 交1l 与点p..求线段1PF 垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型。

⑤解析几何的综合题
例9 (2009山东卷文22)设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+r ,向量
(,1)b x y =-r ,a b ⊥r r ,动点(,)M x y 的轨迹为E.
（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知4
1=m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知4
1=m ,设直线l 与圆C:222x y R +=(1<R<2)相切于A 1,且l 与轨迹E 只有一个公共点B 1,当R 为何值时,|A 1B 1|取得最大值?并求最大值.
例10（2009天津卷文22）已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的两个焦点分别为)0)(0,(),0,(21>-c c F c F ，过点)0,(2
c
a E 的直线与椭圆相交于点A,B 两点，且||2||,//2121B F A F B F A F =
（Ⅰ求椭圆的离心率
（Ⅱ）直线AB 的斜率；
（Ⅲ）设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线B F 2上有一点H(m,n)(0≠m )在C AF 1∆的外接圆上，求m
n 的值。

从高考对解析几何的考查来看，总的指导思想是小题考定义和性质，大题考综合、考思想，主要是以知识应用和问题探究为主，重在考查解析几何中的基本知识和基本方法，着重考查解析几何的基本思想，以及利用代数的方法研究几何问题的特点和性质．因此复习时以课本为主，重新全面梳理知识，帮助学生娴熟掌握基础知识、基本技能；同时把教材上的概念、性质、公式以及内涵、外延进行整理，理清前后知识结构，突出主干，将整个知识体系初步建立框架，并有意识地强化知识的横纵联系，完善认知结构．
三、重视解题训练，提高解题能力
夯实“三基”与能力培养都离不开解题训练，尤其是对计算量相对偏大的解析几何．因而在复习解析几何的过程中，我们必须做到选题恰当、训练科学、引伸创新、归纳总结．
（1）精选题，练得法
在选题的典型性、目的性、针对性、灵活性等原则指导下，突出重点，锤练“三基”．要善于从不同的角度、不同的方位、不同的层次选编习题．训练的层次由浅入深，题型由客观到主观，由封闭到开放，始终紧扣基础知识，在动态中训练了“三基”，真正使学生做到 “解一题，会一类”．同时应注意针对学生弱点以及易迷惑、易出错的问题，多加训练，在解题实践中，弥补不足，在辨析中，逐步解决“会而不对，对而不全”的老大难问题．
（2）引得当
贴近、源于课本是新课标高考题的一大特点，这就要求我们深入研究每一道例（习）题，充分挖掘其价值，既可以摆脱题海的困扰，又能起到事半功倍的效果．挖掘例（习题）的功能通常包括：①一题多解与多题一解；②此命题的逆命题与否命题是否成立；③加强（削弱）条件时命题的结论能否成立；④变式命题的条件与结论等，达到深化“三基”、培养能力的目的．
例 问题：在椭圆120
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2=+y x 上求一点P,使它与两焦点连线互相垂直. 变式1 椭圆120
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2=+y x 上是否存在P,使它与两焦点连线所成角为ο120？ 变式2 设椭圆22
221x y a b
+=)0(>>b a 的两焦点为21,F F ,若在椭圆上存在一点P,使21PF PF ⊥,求椭圆离心率e 的取值范围.
变式3 在椭圆120
452
2=+y x 上求一点P ，使它与两焦点张角最大，最大值是多少？ 变式4 在椭圆22
221x y a b
+=)0(>>b a 求一点P ，使它与两焦点张角最大？ （3）善总结
多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成一些有益的“思维块”．如运用韦达定理的解题方法是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的核心方法，其解题步骤是“设”（点的坐标，直线、曲线方程）、“联”（联立方程组）、“消”（消去 得到一元二次方程）、“用”（ 运用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式等）、“判”（ 运用判别式检验、求参数的值
或缩小参数的取值范围）．凡是“点差法”能够解决的问题都可以用核心方法加以解决．教学中紧紧围绕核心方法展开，突出知识重点，学生才会真正巩固．。