大学物理上,质点运动学1-3坐标系运用
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1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
1.3 坐标系的运用
1
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
一、自然坐标系
S为弧坐标。
在已知运动轨道上任取一参照点 O，由质点 与参考点之间轨迹的长度 s 来表示质点的位置。
速度方向为切向坐标方向；指向曲率中心的 方向为法向坐标方向（与速度的方向垂直）。
ˆ ——切向单位矢量
O•
ρ 为曲率半径。
ds d
方向： nˆ （沿法向）
总加速度： a aˆ annˆ
d ˆ 2 dt
nˆ
6
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
加速度：
a aˆ annˆ
d ˆ 2 dt
nˆ
大小： a a2 an2
方向： tan 1 an
nˆ ——法向单位矢量
运动方程：s = s (t)
速率： ds
dt
速度： ds ˆ ˆ
dt
.s P ˆ
O
nˆ
轨迹上各点处，自然 坐标轴的方位不断变化。
2
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
例：一质点作匀速率圆周运动，半径为 r ，角速度
为 。求：质点的运动学方程。
a
P
an•
aτ
a
说明：
1）一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心；
2）在曲线运动中，加速度的方向总是指向曲线 凹的一侧。
7
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
讨论
a
aˆ
a
nnˆ
d ˆ 2 dt
nˆ
1）质点运动时，如果同时有切向加速度和 法向加速度，这就是一般的曲线运动；
切向单位矢量的时间变化率：
dˆ lim ˆ d nˆ
dt t0 t dt
τˆ τˆ(t t) τˆ(t)
当 t 0 时
第1章 质点运动学
P τ(t)
•
QBaidu Nhomakorabea
L n(t ) θ • τ(t t)
O •n(t t)
τˆ(t )
θ
τˆ(t t)
求：汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。
解： 在自然坐标系中， ds 20 0.4t
dt
d
aτ dt 0.4,
an
2
R
(20 0.4t)2 R
a
aτ2 an2
0.42
(20
0.4t R
)2
2
t = 1 s 时： (1) 19.6 m/s, a(1) 1.44 m/s 2 10
τˆ
dτˆ // nˆ,
dτˆ τˆ dθ dθ
dτˆ dθ nˆ 5
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
法向加速度：
an
dˆ
dt
d
dt
nˆ
d ds nˆ 2 nˆ ds dt
大小：
an
2
P (t)
•
Q
L
θ • (t t)
a
a
d5
2(m / s2
10 j(m /
)
s
2
)
25 (15 10t)2
dt
5 1 (3 2t)2
an a2 at2
5 2(m / s2)
a
d
dt
10(3 2t) 1 (3 2t)2
v2 1(m)
an
11
i + r sinωt
j
s 2） 用自然坐标表示为： rt 3
1.3 坐标系的运用
速度：υ = ds τˆ = υτˆ dt
一般曲线运动的加速度
a d d ˆ dˆ
dt dt
dt
加速度由两项组成，分别反映 了速度大小变化和方向变化。
第一项，叫切向加速度，
写成：
2
nˆ
大小： a
d
dt
大小： a 2 n
方向：沿轨道切线方向。 方向：沿半径指向圆心。
总加速度的大小： a an2 a 2
方向： tan 1 an
a
9
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
例：一汽车在半径 R = 200 m 的圆弧形公路上行 驶，其运动学方程为 s = 20 t - 0.2 t 2 (SI)。
12
1.3 坐标系的运用
角量与线量的关系：
Δs rΔθ
v lim s r lim r d
t0 t
t0 t
dt
第1章 质点运动学
y
Bs
r A
aτ
d
dt
ˆ
大小： a
d
dt
d 2s dt 2
第1章 质点运动学
A 曲率圆 •
• B
P (t)
•
Q
L
• (t t)
方向： τˆ （沿切向） 4
1.3 坐标系的运用
a
d
d
ˆ
dˆ
dt dt
dt
第二项，叫法向加速度，
写成：
an
dˆ
dt
2）如果只有切向加速度，没有法向加速度， 则质点作变速率直线运动；
3）如果只有法向加速度，没有切向加速度， 则质点作匀速率曲线运动。
8
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
曲线运动的 加速度小结：
a aˆ annˆ
d ˆ
dt
2
nˆ
切向加速度：a
d ˆ
dt
法向加速度：an
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
二 圆周运动 (Circular Motion） 的角量描述
1、 角坐标与角位移
角坐标： θ
运动方程： θ θ(t)
（约定：逆时针为正）
角位移： Δθ
2、 角速度 (Angular Velocity )
y
B
r A
o
x
角速度 ω lim Δθ dθ Δt0 Δt dt
1）用直角坐标、位矢表示；2）用自然坐标表示。
解： 以圆心O 为原点。建立直角
y
坐标系Oxy ，O 点为初始位置，
设 t 时刻质点位于 P（x , y）， 质点的运动学方程为：
1） x r cos t, y r sin t
y
•
r •
ωt
P
•
(x, y)
sx
O x O'
用r=位x矢i表+ 示y j为=：r cos ωt
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
例：已r 知5质ti点 (在15水t 平5面t 2内) j 运，(m动) ，求运：动t方=程1s为时：的
切向加速度、法向加速度和轨道曲率半径。
解：r
d5rti5(i15(t15
5t 2
10
)j
t) j
dt
t = 1s 时
第1章 质点运动学
1.3 坐标系的运用
1
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
一、自然坐标系
S为弧坐标。
在已知运动轨道上任取一参照点 O，由质点 与参考点之间轨迹的长度 s 来表示质点的位置。
速度方向为切向坐标方向；指向曲率中心的 方向为法向坐标方向（与速度的方向垂直）。
ˆ ——切向单位矢量
O•
ρ 为曲率半径。
ds d
方向： nˆ （沿法向）
总加速度： a aˆ annˆ
d ˆ 2 dt
nˆ
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1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
加速度：
a aˆ annˆ
d ˆ 2 dt
nˆ
大小： a a2 an2
方向： tan 1 an
nˆ ——法向单位矢量
运动方程：s = s (t)
速率： ds
dt
速度： ds ˆ ˆ
dt
.s P ˆ
O
nˆ
轨迹上各点处，自然 坐标轴的方位不断变化。
2
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
例：一质点作匀速率圆周运动，半径为 r ，角速度
为 。求：质点的运动学方程。
a
P
an•
aτ
a
说明：
1）一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心；
2）在曲线运动中，加速度的方向总是指向曲线 凹的一侧。
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1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
讨论
a
aˆ
a
nnˆ
d ˆ 2 dt
nˆ
1）质点运动时，如果同时有切向加速度和 法向加速度，这就是一般的曲线运动；
切向单位矢量的时间变化率：
dˆ lim ˆ d nˆ
dt t0 t dt
τˆ τˆ(t t) τˆ(t)
当 t 0 时
第1章 质点运动学
P τ(t)
•
QBaidu Nhomakorabea
L n(t ) θ • τ(t t)
O •n(t t)
τˆ(t )
θ
τˆ(t t)
求：汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。
解： 在自然坐标系中， ds 20 0.4t
dt
d
aτ dt 0.4,
an
2
R
(20 0.4t)2 R
a
aτ2 an2
0.42
(20
0.4t R
)2
2
t = 1 s 时： (1) 19.6 m/s, a(1) 1.44 m/s 2 10
τˆ
dτˆ // nˆ,
dτˆ τˆ dθ dθ
dτˆ dθ nˆ 5
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
法向加速度：
an
dˆ
dt
d
dt
nˆ
d ds nˆ 2 nˆ ds dt
大小：
an
2
P (t)
•
Q
L
θ • (t t)
a
a
d5
2(m / s2
10 j(m /
)
s
2
)
25 (15 10t)2
dt
5 1 (3 2t)2
an a2 at2
5 2(m / s2)
a
d
dt
10(3 2t) 1 (3 2t)2
v2 1(m)
an
11
i + r sinωt
j
s 2） 用自然坐标表示为： rt 3
1.3 坐标系的运用
速度：υ = ds τˆ = υτˆ dt
一般曲线运动的加速度
a d d ˆ dˆ
dt dt
dt
加速度由两项组成，分别反映 了速度大小变化和方向变化。
第一项，叫切向加速度，
写成：
2
nˆ
大小： a
d
dt
大小： a 2 n
方向：沿轨道切线方向。 方向：沿半径指向圆心。
总加速度的大小： a an2 a 2
方向： tan 1 an
a
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1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
例：一汽车在半径 R = 200 m 的圆弧形公路上行 驶，其运动学方程为 s = 20 t - 0.2 t 2 (SI)。
12
1.3 坐标系的运用
角量与线量的关系：
Δs rΔθ
v lim s r lim r d
t0 t
t0 t
dt
第1章 质点运动学
y
Bs
r A
aτ
d
dt
ˆ
大小： a
d
dt
d 2s dt 2
第1章 质点运动学
A 曲率圆 •
• B
P (t)
•
Q
L
• (t t)
方向： τˆ （沿切向） 4
1.3 坐标系的运用
a
d
d
ˆ
dˆ
dt dt
dt
第二项，叫法向加速度，
写成：
an
dˆ
dt
2）如果只有切向加速度，没有法向加速度， 则质点作变速率直线运动；
3）如果只有法向加速度，没有切向加速度， 则质点作匀速率曲线运动。
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1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
曲线运动的 加速度小结：
a aˆ annˆ
d ˆ
dt
2
nˆ
切向加速度：a
d ˆ
dt
法向加速度：an
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
二 圆周运动 (Circular Motion） 的角量描述
1、 角坐标与角位移
角坐标： θ
运动方程： θ θ(t)
（约定：逆时针为正）
角位移： Δθ
2、 角速度 (Angular Velocity )
y
B
r A
o
x
角速度 ω lim Δθ dθ Δt0 Δt dt
1）用直角坐标、位矢表示；2）用自然坐标表示。
解： 以圆心O 为原点。建立直角
y
坐标系Oxy ，O 点为初始位置，
设 t 时刻质点位于 P（x , y）， 质点的运动学方程为：
1） x r cos t, y r sin t
y
•
r •
ωt
P
•
(x, y)
sx
O x O'
用r=位x矢i表+ 示y j为=：r cos ωt
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
例：已r 知5质ti点 (在15水t 平5面t 2内) j 运，(m动) ，求运：动t方=程1s为时：的
切向加速度、法向加速度和轨道曲率半径。
解：r
d5rti5(i15(t15
5t 2
10
)j
t) j
dt
t = 1s 时