大学物理上,质点运动学1-3坐标系运用
大 学 物 理 质点运动学
dr
dx
i
dy
j 3i 8tj (m/s)
dt dt dt
（3）由加速度的定义得
a
d
8 j (m/s2 )
dt
x
22
例2: 一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长 s按s＝t＋2t2的规律变化。问它在2 s末的速率、法向 加速度和切向加速度各是多少？
解 （1）由速率定义，有 ds 1 4t dt
小球的切向加速度量值 a，法向加速度量值an和轨道
的曲率半径 。
解：由图可知
a
g sin
gy
a g
gt
2 0
g 2t 2
g2t
02 g2t 2
an θ
x= 0
θ
a
y=gt
an
g cos
gx
g
an
g0 02 g2t 2
2
2 x
2 y
(02
g 2t 2 )3 / 2
an
an
g0
21
§1.4 运动学中的两类问题
r
Ｃ
Ｂ
r
r2
Ｏ
位置矢量的增量 ◆位矢增量的模 ◆位矢模的增量
r r2 r1 | r|| r2 r1 | r | r2 | | r1 |
位移在直角坐标系中的表示式
r
xi
yj
zk
9
路程 s t 时间内质点在空间内实际运行的路径距离。
注意
• s与 r的区别
s为标量, r为矢量
s r
d
s
dr
将t ＝2代入上式，得2 s末的速率为
＝1＋4×2＝9 (m·s-1)
（2）法向加速度的大小 （3）切向加速度的大小
大学物理 第1-3章 经典力学部分归纳总结
运用
分
和
dv dv dx dv a= = ⋅ =v dt dx dt dx
3
知识点回顾
第二章 质点动力学
2、牛顿三定律？ 、牛顿三定律？
r ∑Fi = ma
i →
—— 为什么动？ 为什么动？ 力？
功是能量交换或转换的一种度量
v v 2、变力作功 、 元功： 元功： dW = F ⋅ dr = Fds cosθ b b v v b W = ∫ F cosθ ds = ∫ F ⋅ dr = ∫ (Fxdx + Fy dy + Fz dz)
a( L) a( L) a( L)
3、功率 、
v v dW F ⋅ dr v v P= = = F ⋅ v = Fv cosθ dt dt
隔离木块a在水平方向绳子张力t和木块b施于的摩擦力?根据牛顿第二定律列出木块a的运动方程?同样隔离木块b分析它在水平方向受力情况列出它的运动方程为17一个质量为m的梯形物体块置于水平面上另一质量为m的小物块自斜面顶端由静止开始下滑接触面间的摩擦系数均忽略不计图中hh均为已知试求m与m分离时m相对水平面的速度及此时m相对于m的速度
15
•解：以地面为参考系。隔离木块A，在水平方向 解 以地面为参考系。隔离木块 ， 绳子张力T 和木块B施于的摩擦力 绳子张力 和木块 施于的摩擦力
v t2 v v v v v 动量定理： 动量定理： I = ∫ ∑ F dt = ∑ p2 − ∑ p1 = ∑ mv2 − ∑ mv1
t1
v v v v 角动量定理： 角动量定理： M ⋅ dt = dL = d ( r × mv )
大学物理第1章质点运动学的描述
t0
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体B的 速率为多少？ 解 建立坐标系如图, 物体A 的速度
1. 5 arctan 56.3 1
（2） 运动方程
x(t ) (1m s )t 2m
y(t ) ( m s )t 2m
1 4 2 2
1
由运动方程消去参数
1 -1 2 y ( m ) x x 3m 4
轨迹图
t 4s
6
t 可得轨迹方程为
y/m
三、位置变化的快慢——速度
速度是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。
速率是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是标量。 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
B
y
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二、位置矢量、运动方程、位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
y
y j
r xi yj zk
j k 式中 i 、 、 分别为x、y、z
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移.
(完整版)大学物理笔记
1. 参考系：为描述物体的运动而选的标准物2. 坐标系3. 质点：在一定条件下，可用物体上任一点的运动代表整个物体的运动，即可把整个物体当做一个有质量的点，这样的点称为质点（理想模型）4. 位置矢量（位矢）：从坐标原点指向质点所在的位置5. 位移：在t ∆时间间隔内位矢的增量6. 速度 速率7. 平均加速度8. 角量和线量的关系9. 运动方程10. 运动的叠加原理位矢：k t z j t y i t x t r r ϖϖϖϖϖ)()()()(++==位移：k z j y i x t r t t r r ϖϖϖϖϖϖ∆+∆+∆=-∆+=∆)()(一般情况，r r ∆≠∆ϖ速度：k z j y i x k dt dz j dtdy i dt dx dt r d t r t ϖϖϖϖϖϖϖϖϖ•••→∆++=++==∆∆=0lim υ 加速度：k z j y i x k dtz d j dt y d i dt x d dtr d dt d t a t ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ••••••→∆++=++===∆∆=222222220lim υυ 圆周运动 角速度：•==θθωdtd 角加速度：••===θθωα22dtd dt d （或用β表示角加速度） 线加速度：t n a a a ϖϖϖ+= 法向加速度：22ωυR R a n ==指向圆心 切向加速度：αυR dtd a t == 沿切线方向 线速率：ωυR =弧长：θR s =1.牛顿运动定律：牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体作用的力迫使它改变这种状态牛顿第二定律：当质点受到外力的作用时，质点动量p的时间变化率大小与合外力成正比，其方向与合外力的方向相同牛顿第三定律：物体间的作用时相互的，一个物体对另一个物体有作用力，则另一个物体对这个物体必有反作用力。
作用力和反作用力分别作用于不同的物体上，它们总是同时存在，大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。
大学物理第一章 质点运动学-习题及答案
第一章 质点运动学1-1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j i r 22bt at += （其中b a ,为常量） 则该质点作（A ）匀速直线运动 （B ）变速直线运动（C ）抛物线运动 （D ）一般曲线运动 [B]解：由j i rv bt at t 22d d +==知 v 随t 变化，质点作变速运动。
又由x aby bt y at x =⎪⎭⎪⎬⎫==22 知质点轨迹为一直线。
故该质点作变速直线运动。
1-2 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程，t a 表示切向加速度，下列表达式中，① a t v =d ② v t r =d ③ v t s =d d ④ t a t =d d v （A ）只有（1）、（4）是对的。
（B ）只有（2）、（4）是对的。
（C ）只有（2）是对的。
（D ）只有（3）是对的。
[D]解：由定义：t vt a d d d d ≠=v ； t r t s t v d d d d d d ≠==r ； t t v a d d d d v ≠=τ只有③正确。
1-3 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以21s m -⋅的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向。
今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x ，y 方向单位矢用j i ,表示），那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以1s m -⋅为单位）为（A ）j i 22+ （B ）j i 22+-（C ）j i 22-- （D ）j i 22- [B]解：由i v 2=对地A ，j v 2=对地B 可得 A B A B 地对对地对v v v +=⎰对地对地A B v v -=i j 22-=j i 22+-= （1s m -⋅）1-4 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间变化关系为)SI (23t a +=如果初始时质点的速度0v 为51s m -⋅，则当t 为3s 时，质点的速度1s m 23-⋅=v解：⎰+=tta v v 00d13s m 23d )23(5-⋅=++=⎰tt1-5 一质点的运动方程为SI)(62t t x -=，则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 8m ，在t 由0到4s 的时间间隔内质点走过的路程为 10m 。
大学物理第一章 质点运动学-习题及答案
第一章 质点运动学1-1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j i r 22bt at += （其中b a ,为常量） 则该质点作（A ）匀速直线运动 （B ）变速直线运动（C ）抛物线运动 （D ）一般曲线运动 [B]解：由j i rv bt at t 22d d +==知 v 随t 变化，质点作变速运动。
又由x aby bt y at x =⎪⎭⎪⎬⎫==22 知质点轨迹为一直线。
故该质点作变速直线运动。
1-2 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程，t a 表示切向加速度，下列表达式中，① a t v =d ② v t r =d ③ v t s =d d ④ t a t =d d v （A ）只有（1）、（4）是对的。
（B ）只有（2）、（4）是对的。
（C ）只有（2）是对的。
（D ）只有（3）是对的。
[D]解：由定义：t vt a d d d d ≠=v ； t r t s t v d d d d d d ≠==r ； t t v a d d d d v ≠=τ只有③正确。
1-3 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以21s m -⋅的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向。
今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x ，y 方向单位矢用j i ,表示），那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以1s m -⋅为单位）为（A ）j i 22+ （B ）j i 22+-（C ）j i 22-- （D ）j i 22- [B]解：由i v 2=对地A ，j v 2=对地B 可得 A B A B 地对对地对v v v +=⎰对地对地A B v v -=i j 22-=j i 22+-= （1s m -⋅）1-4 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间变化关系为)SI (23t a +=如果初始时质点的速度0v 为51s m -⋅，则当t 为3s 时，质点的速度1s m 23-⋅=v解：⎰+=tta v v 00d13s m 23d )23(5-⋅=++=⎰tt1-5 一质点的运动方程为SI)(62t t x -=，则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 8m ，在t 由0到4s 的时间间隔内质点走过的路程为 10m 。
第一章质点运动学1大学物理教程北京邮电大版
质点运动的方法。
x
1
gt2
2
1.2.1 位置矢量 运动方程
1 位置矢量 确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位
r 置矢量, 简称位矢 。
r
xi
yj
zk
y
y
r
*P
k j
式中 i、j 、k 分别为x、y、z
方向的单位矢量。
z ox
i
x
例如： r 2i 3 j 5k z
r 位矢 的大小为： r r x2 y2 z2
x
dx dt
r dr r2 h2 dt
按题意
0
dr dt
由此得船速
x 0
r r2 h2
0
x2 h2 x
v = vxi = -v0
x2 h2 i x
上式中的负号表示船的速度v沿X轴的负方向。
加速度：
ax
dvx dt
0
h2 x2 h2
dx dt
v02h2 x3
a
v02h 2 x3
i
负号表示加速度a的方向与X轴的正方向相反。 由于a与v同向，所以小船是加速靠岸的。
在直角坐标系中分解：
r xi yj zk
在直角坐标系中分 解：
rA xAi yA j zAk rB xBi yB j zB k
则在直角坐标系 Oxyz 中其位移为
r (xB xA)i ( yB yA) j (zB zA)k
xi yj zk
y
yB A r
r y A A
z = z(t)
该r运动2方ti程矢(8量式t：2 )
j
方程组消去t就得到质点的轨迹方程。 例运动学方程为x=2t, y=8-t2,轨迹方程为
大学物理之质点运动学
矢量性：注意矢量和标量的区别。 相对性：对不同参照系有不同的描述。
3．运动学方程是运动学的核心，包含了运动的全部信息。
运动学的两类问题 运动方程是运动学问题的核心 1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度 以及加速度
r r t
dr v dt
2 dv d r a 2 dt dt
第一章 质点运动学 §1-1 质点、参考系 、坐标系
一、质点
1. 引入 质点的概念是考虑主要因素而忽略次要因素引入的一个理想 化的力学模型，使研究的问题得到简化。 2. 概念
质点是一个理想化的力学模型，当物体的大小和形状忽略不 计时，可以把物体当做只有质量没有形状和大小的点。 3.说明 一个物体能否当做质点，并不取决于它的实际大小，而是 取决于研究问题的性质。
大小：
方向：
2）相对性： 例如：坐在运动汽车中的人，选车厢为参考系，人位 移为零，但如选择地面为参考系位移不为零。 3）单位：米(m) 2.位移与路程的区别 位移是矢量：是指位置矢量的变化； 路程是标量：是指运动轨迹的长度。
思考：位移的大小什么时候与路程相等？
3. 区分：
三、速度（描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量 ）
速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向
切向加速度：
dv d s a e 2 e h dt dt
2
讨论
de dt
O
Δ
e t t
e e (t t ) - e (t )
当： t 0 , 0 有
e e
s
求：1、任意时刻 t 速度
2、切向加速度的大小
1-2-6 圆周运动及其角量描述
平面极坐标系
0807(st) li1质点运动学(1-3)
y
r r
θ
•P(x,y)
o
x
5、运动方程/ 运动函数(function of motion) 、运动方程
——位矢随时间的变化关系式： 位矢随时间的变化关系式： 位矢随时间的变化关系式
r r r r (t) = x(t)i + y(t) j
(运动学的核心 运动学的核心) 运动学的核心
dω d 2θ && 角加速度： 角加速度：β = = 2 =θ dt dt
∆ t →0
∆t
dt
与线量的关系： ω, β与线量的关系：
ds R.dθ v= = 线速度: 线速度 = Rω dt dt 线加速度: 线加速度 dv = R dω = Rβ
dt dt
θ = θ (t) ——运动方程 运动方程
初始条件： 时 初始条件：t=0时, x=0, v=v0, 则： t v dv a= ⇒ ∫ adt = ∫ dv ⇒ at = v − v0 0 v0 dt
(1)代入 代入(2): x = v0t + at ...(3) 代入
1 2 2
即v = v0 + at..........（） .. 1 t x dx ⇒ ∫ vdt = ∫ dx......(2) 又v = 0 0 dt
常见坐标系： 常见坐标系： 直角坐标系(x, • 直角坐标系 y, z)
y
z
平面极坐标系(r,θ • 平面极坐标系 θ) • 自然坐标系
ro k
r j
r i
• P(x, y, z)
r r
θ O
θ •P(r,θ)
x
——沿已知轨迹建立起来的坐标系 沿已知轨迹建立起来的坐标系
【大学物理】质点运动学2010级
（2）求出t 1s和t 2s时质点的位置矢量。
（3）求出1s末和2s末的速度与加速度。
解：（1）由题知： x 2t, y 2 t 2
y
消去t得：y 2 1 x2
2
4
轨迹为一抛物线：
o
22 x
(2)t
1s时，r1
2i
j
(3)tv2sd时r ， 2r2i42itj 2 j
t
1sd时t ，v1
质点作匀加速直线运动，加速度为正。
质点作匀加速直线运动，加速度为负。 质点作变加速直线运动，加速度为正。
质点作变加速直线运动，加速度为负。
第一类：已知 r（或x，y），求v，a，用微分;
第二类：已知 a及初始条件v0，r0，求v及r，用积分。
微分
微分
r v a 积分 (r0 )
积分
(v0 )
r (t)
说到平均速度一定要明确是哪一段时间或哪一段位移中的平
均速度。
2 瞬时速度
瞬时速度
v
lim
r
dr
t0 t dt
质点在某时刻或某位置的瞬时速度等于在此时刻附近
取t时间，让t 0时平均速度的极限值。
即速度等于位置矢量对时间的一阶导数。
含义：反映质点在某时或某位置的运动状态。
B
速度是一个矢量，方向沿质点轨迹切线方向
对于作直线运动的质点，采用标量形式
dv adt
两端积分可得到速度
v
v0
d
v
0ta d t
v v at
0
根据速度的定义式：
d x v v at
dt
0
两端积分得到运动方程
x
x0
d
大学物理学(上册)第1章 质点运动学
须在参考系上固连某种坐标系,这样,物体在某时刻的位置
即可用一组坐标表示.可见坐标系不仅在性质上具有参考系
的作用,而且还具有数学抽象作用.最常用的坐标系有:直角
坐标、球坐标、极坐标、柱坐标、自然坐标等.对物体运动
的描述决定于参考系而不是坐标系.
y
A
K
y
O
x
z
z
x 直角坐标系
K
r θ
A
O
x
极坐标系
O
y
o法向 sz
r x22 y22 z22 x12 y12 z12
讨论 （1）位移与位置矢量
位移表示某段时间内质点位置的变 化,是个过程量;位置矢量表示某个时
y
s' s p1 r
p2
刻质点的位置,是个状态量. （2）位移与路程
r(t1) r (t2 )
P1P2 两点间的路程 s是不唯一的,可 O
2）轨道方程表示为 x2 y2 r 2
1.2.2 位移与路程
y
A r B
rA
rB
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
1.位移 经过时间间隔 t 后,质点位置矢量发生变化,由始
点A指向终点B 的有向线段AB称为点A到B 的位移矢量 r.位
因为 v(t) v(t dt)
所以 dv 0 dt
而 a a 0 所以
v(t)
O
dv
v(t dt)
a dv dt
例 设质点的运动方程为
r t xti y t j
大学物理-1-3-速度-加速度
1-3 速度 加速度
第一章 质点运动学
2 瞬时加速度：
当 t 0 时，求得平均加速度的极限，表示质点
通过A 点的瞬时加速度，简称加速度。表示为
d d d r d2 r
a lim ( ) t0 t d t d t d t d t2
加速度等于速度对时间的一阶导数,或位矢对时间的二阶导数。
方向：总是指向位置曲线凹的一侧。
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1-3 速度 加速度
2 平均速率（标量）
第一章 质点运动学
质点在 t 内所经过的路程 s 与所用时间的比值，即
y
s
t
平均速率是标量，数值上等于质点
A r (t)
s
B
r
r(t t)
在单位时间内所通过的路程。
o
x
国际单位制中，速度和速率的单位都是 m s1
平均速度和平均速率都是粗略描述质点的运动情况。
1-3 速度 加速度
第一章 质点运动学
一、平均速度矢量
1 平均速度矢量
时刻
t : A, r(t)
时刻 t t : B, r (t t) 质点在 t 内的位移为 r
y
A r (t)
s
B
r
r(t t)
定义：
v r
o
x
表示在
t
t
时间内，质点位置矢量
r(t)
的平均变化率
v 平均速度是矢量，平均速度
与 r 同方向。
矢量和加速度矢量。
解 由于 x 10 为常量， 所以质点在 x 轴上距原点10cm
处的 Oyz 平面上运动。运动方程为
x 10
y
15t
z
5t 2
大学物理课后答案第1章质点运动学习题解答
第1章质点运动学习题解答1-1如图所示,质点自A 点沿曲线运动到B 点A 点与B 点的矢径分别为°与g的头3s 内质点的位移、平均速度、平均加速度与所通过的路程 解：y 5 24t 2t 3,v 24 6t 2,a 12ty y(3) y(0) 18(m ) v - 6(m/s)3v(3) v(0)2、a18(m/ s )3t 2s 时,v 0,质点作反向运动s y(2)y(0) |y(3)y(2) | 46(m)1-3 一质点沿x 轴作直线运动，图示为其v t 曲 线图。
设t 0时,x 5m 。
试根据v t 图画出:(1) 质点的a t 曲线图;(2)质点的x t 曲线图。
试在图中标出位移 r 与路程s,同时对| r |与r 的意义及它们与矢径的关系进1-2 一质点沿y 轴作直线运动，其运动方程为y 5 24t 2t 3(SI)。
求在计时开始20 20t 解: 15 2.5t75 7.5t(0(2(6t 2)6)10)(1)20 20t 15 2.5t 75 7.5t(0(2(62)6)10)质点的a t曲线图如右图所示⑵v dxdt Xdxtvdt，可求得:t 2时,xdx 5 t0(20 20t)dt, 10t 2 20tt 6时,xdx 5 20(20 20t )dtt2(152.5t)dt ,5t215t 30410时,xdx20(20 20t)dt62(15 2.5t)dtt6(75 7.5t)dt , 75t 210210t 20t 5 (0 t 2)5t215t4%2 75t 4 门気105)30 (2 t 6)开口制上的覚皙變210 (6 t 10)质点的x t曲线图如右图所示。
1-4如图所示,路灯距地面的高度为H,在与路灯水平距离为s处,有一气球由离t 1 0 时,x(0) 0, y(0) 19,v x (0) 2—(0) 0地面h 处开始以匀速率v o 上升(h H )。
大学物理质点运动描述
y(t
)
ˆj
z(t
)kˆ
Chapter 1. 质点运动学
编§写1.：1 杨质茂点田运动的描述
P. 27 / 40 .
r r(t)
v
dr dt
v
dr vdt
a
dv dt
a
dv adt
vx vy
vx (t) vy (t)
（D）
dt
注意
y
的端点处，其
y
dr o dt
r(t)
x
x
(dx)2 (dy )2
dt
dt
dr dr
dt dt
四、加速度
Chapter 1. 质点运动学
a
编§写1.：1 杨质茂点田运动的描述
P. 18 / 40 .
描述质点速度改变的快慢（m/s2)
1.平均加速度： 2.(瞬时)加速度：
vA A
y
2
1
v1 x
o 1 2 3 4
1
r
4.48(m / s)
2
方向:
2
arctg (
4 2
)
632548
(解毕)
v2
Chapter 1. 质点运动学
编§写1.：1 杨质茂点田运动的描述
P. 17 / 40 .
讨论
一运动质点在某瞬时位于位矢
速度大小为
r (x, y)
（A）
dr
（B）
dt
（C）
dr
( SI )，
2
r 2ti (2 t ) j 求质点：1）轨迹方程；2）在t =1s至t=2s内的位移及平
均速度；3）在t =1s和t =2s时的速度。
大学物理 第一章 质点运动学
是否等于瞬时速率？ t 时刻位矢
瞬时速度的大小是否
r
等于瞬时速率？
A
r
r1
B t 时间内位移
x
t +t 时刻位矢
平面直角坐标系中的瞬时速度（简称速度）
v lim r dr
t0 t
dt
r(t) x(t)i y(t) j
v d r
dx
i
d
y
j
y
vy
v
dt dt dt
vx
vxi vy j
力 学
§1-1 参照系 &坐标系 质点 §1-2 位移、速度和加速度 §1-3 圆周运动 §1-5 牛顿运动定律 §1-6 牛顿运动定律的应用举例
1. 运动的绝对性 绝对静止的物体是没有的
地球自转 太阳表面的运动
太阳随银河系运动
为了确定一个物体的位置和描述一个物体的机
械运动，必须另选一个物体或内部无相对运动的物
3. 坐标系 为了定量地描述物体相对于参考系的 运动情况，要在参考系上选择一个固定的坐标系
坐标系选定后，运动物体A 中任一点 P 的位置
就可以用它在此坐标系中的坐标来描述
运动物体
运动参考系
y
A P(x,y,z)
运动物体
O
z 参考系
x
地面参考系
常用坐标系： 平面直角坐标系和自然坐标系
一、质点 一般情况下，运动物体的形状和大小都可能变化
y
y z koj
r
i
x
*P
x
方向的单位矢量.
z
位矢r 的值为
r
xi
yj
zk
r r x2 y2 z2
位矢 r 的方向余弦
大学物理课件复习资料坐标系的运用
例1：一质点作匀速率圆周运动，半径为 r ，角速度 ：一质点作匀速率圆周运动， 质点的运动学方程。 为 ω 。求：质点的运动学方程。 1）用直角坐标、位矢表示；2）用自然坐标表示。 ）用直角坐标、位矢表示； ）用自然坐标表示。 以圆心O 为原点。 解： 以圆心 为原点。建立直角 坐标系Oxy ，O ′点为初始位置， 点为初始位置， 坐标系 设 t 时刻质点位于 P（x , y）， （ ）， 质点的运动学方程为： 质点的运动学方程为： 1） x = r cosω t , y = r sinω t ） 用位矢表示为： 用位矢表示为：
∆s
θ
x
υ = rω
dθ
O
ds
r
x
角速度矢量
方向： 方向：角速度矢量 ω 的方向垂直于质点运动 的平面，其指向由右手螺旋定则确定。 右手螺旋定则确定 的平面，其指向由右手螺旋定则确定。 可以得出， 可以得出，质点的线 ω 速度 等于角速度 υ 等于角速度 与质 r 的矢量积： 矢量积： 点位矢
ω
r
ω − kθ
2 0
2
例8：已知运动方程 x = ut y = − gt 2 / 2 ： u , g 为常量，求： at , an 为常量， 解： 这显然是平抛运动（依据迭加原理） 这显然是平抛运动（依据迭加原理） 方程在直角坐标系中给出， 方程在直角坐标系中给出，在自然坐标系中求解
θ
a
1）一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心； ）一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心； 2）在曲线运动中，加速度的方向总是指向曲线 ）在曲线运动中， 凹的一侧。 凹的一侧。
讨论
dυ υ ˆ ˆ ˆ a = aττ + ann = n τˆ + dt ρ
大学_大学物理教程上册(范仰才著)课后答案
大学物理教程上册(范仰才著)课后答案大学物理教程上册(范仰才著)内容提要绪论第一篇力学第1章质点运动学1.1 参考系和坐标系质点1.2 质点运动的描述1.3 自然坐标系中的速度和加速度1.4 不同参考系中速度和加速度的变换关系思考题习题第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律2.2 惯性系与非惯性系2.3 力的空间积累效应2.4 保守力的功势能机械能守恒定律2.5 力的时间积累效应动量守恒定律__2.6 质心质心运动定理阅读材料(1)混沌及其特征思考题习题第3章刚体的定轴转动3.1 刚体及刚体定轴转动的描述3.2 刚体定轴转动定律3.3 定轴转动的功和能3.4 角动量定理和角动量守恒定律__3.5 进动阅读材料(2)对称性与守恒律思考题习题第二篇热学第4章气体动理论4.1 平衡态态参量理想气体物态方程 4.2 理想气体的压强公式4.3 理想气体的`温度公式4.4 能量按自由度均分理想气体的内能 4.5 麦克斯韦速率分布律__4.6 玻耳兹曼分布律4.7 分子的平均碰撞频率和平均自由程__4.8 气体内的输运过程__4.9 范德瓦尔斯方程真实气体阅读材料(3)低温与超导思考题习题第5章热力学基础5.1 准静态过程功热量和内能5.2 热力学第一定律及其在理想气体等值过程的应用 5.3 绝热过程多方过程5.4 循环过程卡诺循环5.5 热力学第二定律5.6 热力学第二定律的统计意义熵阅读材料(4)热学熵与信息熵思考题习题第三篇振动和波动第6章振动学基础6.1 简谐振动的运动学旋转矢量表示法6.2 简谐振动的动力学特征6.3 简谐振动的能量6.4 简谐振动的合成6.5 阻尼振动受迫振动共振思考题习题第7章波动学基础7.1 机械波的形成和传播7.2 平简谐波的波函数7.3 波的能量声波大学物理教程上册(范仰才著)目录《21世纪高等学校规划教材:大学物理教程(上)》可作为本科院校理工科各专业的大学物理教材，也可作为各类普通高等学校非物理类专业、各类成人高校物理课程的教材或教学参考书。
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切向单位矢量的时间变化率：
dˆ lim ˆ d nˆ
dt t0 t dt
τˆ τˆ(t t) τˆ(t)
当 t 0 时
第1章 质点运动学
P τ(t)
•
Q
L n(t ) θ • τ(t t)
O •n(t t)
τˆ(t )
θ
τˆ(t t)
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
1.3 坐标系的运用
1
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
一、自然坐标系
S为弧坐标。
在已知运动轨道上任取一参照点 O，由质点 与参考点之间轨迹的长度 s 来表示质点的位置。
速度方向为切向坐标方向；指向曲率中心的 方向为法向坐标方向（与速度的方向垂直）。
ˆ ——切向单位矢量
2）如果只有切向加速度，没有法向加速度， 则质点作变速率直线运动；
3）如果只有法向加速度，没有切向加速度， 则质点作匀速率曲线运动。
8
1.3 坐标系的运用
第1章 aˆ annˆ
d ˆ
dt
2
nˆ
切向加速度：a
d ˆ
dt
法向加速度：an
1）用直角坐标、位矢表示；2）用自然坐标表示。
解： 以圆心O 为原点。建立直角
y
坐标系Oxy ，O 点为初始位置，
设 t 时刻质点位于 P（x , y）， 质点的运动学方程为：
1） x r cos t, y r sin t
y
•
r •
ωt
P
•
(x, y)
sx
O x O'
用r=位x矢i表+ 示y j为=：r cos ωt
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
二 圆周运动 (Circular Motion） 的角量描述
1、 角坐标与角位移
角坐标： θ
运动方程： θ θ(t)
（约定：逆时针为正）
角位移： Δθ
2、 角速度 (Angular Velocity )
y
B
r A
o
x
角速度 ω lim Δθ dθ Δt0 Δt dt
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
例：已r 知5质ti点 (在15水t 平5面t 2内) j 运，(m动) ，求运：动t方=程1s为时：的
切向加速度、法向加速度和轨道曲率半径。
解：r
d5rti5(i15(t15
5t 2
10
)j
t) j
dt
t = 1s 时
i + r sinωt
j
s 2） 用自然坐标表示为： rt 3
1.3 坐标系的运用
速度：υ = ds τˆ = υτˆ dt
一般曲线运动的加速度
a d d ˆ dˆ
dt dt
dt
加速度由两项组成，分别反映 了速度大小变化和方向变化。
第一项，叫切向加速度，
写成：
aτ
d
dt
ˆ
大小： a
d
dt
d 2s dt 2
第1章 质点运动学
A 曲率圆 •
• B
P (t)
•
Q
L
• (t t)
方向： τˆ （沿切向） 4
1.3 坐标系的运用
a
d
d
ˆ
dˆ
dt dt
dt
第二项，叫法向加速度，
写成：
an
dˆ
dt
求：汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。
解： 在自然坐标系中， ds 20 0.4t
dt
d
aτ dt 0.4,
an
2
R
(20 0.4t)2 R
a
aτ2 an2
0.42
(20
0.4t R
)2
2
t = 1 s 时： (1) 19.6 m/s, a(1) 1.44 m/s 2 10
12
1.3 坐标系的运用
角量与线量的关系：
Δs rΔθ
v lim s r lim r d
t0 t
t0 t
dt
第1章 质点运动学
y
Bs
r A
τˆ
dτˆ // nˆ,
dτˆ τˆ dθ dθ
dτˆ dθ nˆ 5
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
法向加速度：
an
dˆ
dt
d
dt
nˆ
d ds nˆ 2 nˆ ds dt
大小：
an
2
P (t)
•
Q
L
θ • (t t)
a
P
an•
aτ
a
说明：
1）一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心；
2）在曲线运动中，加速度的方向总是指向曲线 凹的一侧。
7
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
讨论
a
aˆ
a
nnˆ
d ˆ 2 dt
nˆ
1）质点运动时，如果同时有切向加速度和 法向加速度，这就是一般的曲线运动；
a
a
d5
2(m / s2
10 j(m /
)
s
2
)
25 (15 10t)2
dt
5 1 (3 2t)2
an a2 at2
5 2(m / s2)
a
d
dt
10(3 2t) 1 (3 2t)2
v2 1(m)
an
11
2
nˆ
大小： a
d
dt
大小： a 2 n
方向：沿轨道切线方向。 方向：沿半径指向圆心。
总加速度的大小： a an2 a 2
方向： tan 1 an
a
9
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
例：一汽车在半径 R = 200 m 的圆弧形公路上行 驶，其运动学方程为 s = 20 t - 0.2 t 2 (SI)。
nˆ ——法向单位矢量
运动方程：s = s (t)
速率： ds
dt
速度： ds ˆ ˆ
dt
.s P ˆ
O
nˆ
轨迹上各点处，自然 坐标轴的方位不断变化。
2
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
例：一质点作匀速率圆周运动，半径为 r ，角速度
为 。求：质点的运动学方程。
O•
ρ 为曲率半径。
ds d
方向： nˆ （沿法向）
总加速度： a aˆ annˆ
d ˆ 2 dt
nˆ
6
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
加速度：
a aˆ annˆ
d ˆ 2 dt
nˆ
大小： a a2 an2
方向： tan 1 an