第一章 复变函数和解析函数解析
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数是数学中的一个重要概念，它涉及到复数的运算和函数的性质。
解析函数则是复变函数中的一种特殊情况，具有更加丰富的性质和应用。
本文将介绍复变函数和解析函数的概念、性质以及它们在数学和科学领域的应用。
一、复变函数的概念与性质复变函数是将复数集合映射到自身的函数，即函数的自变量和因变量都是复数。
通常用f(z)表示复变函数，其中z为复数。
复变函数可以通过实部和虚部进行表示，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部，而x和y分别为实部和虚部的变量。
复变函数的性质与实数函数类似，包括函数的连续性、可导性、积分等。
然而，复变函数有些独特的性质，比如解析性。
二、解析函数的概念与性质解析函数是复变函数的一种特殊情况，它在其定义域内处处可导，即在定义域内的任意一点，函数都存在导数。
解析函数的导数可以通过常规的求导法则得到，与实数函数类似。
解析函数具有一系列重要的性质，包括解析函数的导数仍然是解析函数，解析函数的导数序列收敛于该函数在某一点的幂级数展开式，以及柯西—黎曼方程等。
这些性质为解析函数的研究和应用提供了坚实的数学基础。
三、复变函数与解析函数的应用复变函数和解析函数在数学和科学领域有广泛的应用。
首先，它们在复数的运算和分析中起着重要的作用，比如复数的加减乘除、复数的共轭和模等运算。
复变函数和解析函数还可以用于解决一些实变函数无法解决的问题，比如研究复变函数的奇点和留数等。
此外，复变函数和解析函数在物理学、工程学和金融学等领域也有广泛的应用。
在物理学中，它们可以用于描述电磁场、量子力学和热力学等现象。
在工程学中，它们可以应用于信号处理、电路分析和控制系统等。
在金融学中，它们可以用于描述金融市场的变动和风险评估等。
总结起来，复变函数和解析函数是数学中的重要概念，具有丰富的性质和应用。
它们不仅仅是理论研究的基础，还在实际问题的解决中发挥着关键作用。
复变函数解析函数例子
复变函数解析函数例子1. 什么是复变函数复变函数，即复数域上的函数，它将一个复数映射到另一个复数。
复变函数是数学中重要的概念，它在物理、工程等领域都有广泛的应用。
复变函数的解析函数是其中一个重要的概念，在本文中将详细介绍解析函数的例子及其应用。
2. 解析函数的定义解析函数，也称为全纯函数或可导函数，是指在某个区域内可导的复变函数。
具体而言，如果一个复变函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内是解析的。
解析函数具有一些重要的性质，主要包括：连续性、解析性、无奇点、全局可导等。
这些性质使得解析函数在许多领域都有广泛的应用。
3. 解析函数的例子3.1. 多项式函数多项式函数是最简单的解析函数之一。
对于一个具有形如f(z)=a n z n+a n−1z n−1+...+a1z+a0的多项式函数，它在整个复平面上都是解析的。
多项式函数的导数可以通过逐项求导得到，因此它是解析函数。
多项式函数的例子包括：f(z)=z2+2z+1、f(z)=z3−3iz2+z−i等。
这些函数在整个复平面上都是连续且解析的。
3.2. 指数函数指数函数是另一个常见的解析函数。
对于形如f(z)=e z的指数函数，它在整个复平面上都是解析的。
指数函数具有许多重要的性质，比如e z1+z2=e z1e z2和e iθ= cos(θ)+isin(θ)。
指数函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，比如在电路分析、量子力学等方面。
它可以表示增长速度、周期性等问题。
3.3. 三角函数三角函数也是常见的解析函数。
对于形如f(z)=sin(z)和f(z)=cos(z)的三角函数，它们在整个复平面上都是解析的。
三角函数具有许多重要的性质，比如sin(z)=12i (e iz−e−iz)和cos(z)=1 2(e iz+e−iz)。
它们在数学、物理、工程等领域中广泛应用，比如在波动、振动等问题中。
4. 解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，下面列举其中一些常见的应用：4.1. 数学领域在数学领域中，解析函数被广泛应用于复分析、调和分析等方面。
复变函数第一章
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
复变函数、解析函数
（2） f ( z ) x y ixy
解 f ( z)在 z 1 i 处 可 导 ， 在 复 平 面 上 处
处不 解 析.
（ 3 ） f ( z ) x 2 iy
1 解 f ( z )在 直 线 x 上可 导 ， 在 复 平 面 上 处 处 2 不 解 析.
例5 证明：如果w u ( x, y ) iv( x, y )为解析函数，
1 2 1 2 f ( z ) u iv x y xy i (2 xy y x C ) 2 2 i 2 i 2 2 (令x z , y 0) z z Ci (1 ) z Ci, 2 2 1 i 2 i f (i ) 1 i, c f ( z ) (1 ) z 2 2 2
复变函数、解析函数
复数域与复数的表示法
复数集： C z x iy x, y R x Re z, y Im z , i
复 数 z x iy 有 序 数 组 ( x, y ) 注 意 ： 复 数 不 能 比 较 小
1
复数的表示法：
1. z x iy 2. 复平面上的点P ( x, y )或向量OP 3. z r (cos i sin ) (三角表示法） 4. z rei （指数表示法）
一个复变函数 例如：
二个二元实函数
w f ( z ) z 2 ( x iy) 2 x 2 y 2 2ixy, u ( x, y ) x 2 y 2 , v( x, y ) 2 xy
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变 函数的极限，连续。
极限 lim f ( z ) w0 ( w0 u0 iv0 )
复变函数的基本概念及运算
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
lim
z 0
w z
lim
0
u(
, )
iv(
,) ( )e i
u(,)
iv( , )
lim
u(
x0
,)
u(,)
数学一大纲更新解析复变函数与积分变换内容概述
数学一大纲更新解析复变函数与积分变换内容概述近年来，数学一考试大纲进行了一次重要的更新。
其中，复变函数与积分变换成为了考试的重要内容。
本文将对这一部分内容进行深入解析，为考生提供全面的了解和学习指导。
一、复变函数的基本概念与性质复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
相比于实变函数，复变函数的研究更加复杂和丰富。
在数学一大纲的更新中，复变函数的基本概念与性质成为了重要的考点。
（这里可以逐步介绍复变函数的定义、极限、连续性、导数等基本概念，以及相关的性质和定理。
可以用例题来帮助解释，加深理解。
）二、复变函数的解析复变函数的解析是复变函数理论的核心内容之一。
全纯函数的概念及其性质是解析理论的重要内容。
（这里可以逐步介绍全纯函数的定义、Cauchy-Riemann方程等相关概念和定理。
可以用例题来帮助解释，加深理解。
）三、积分变换的基本概念与性质积分变换是数学中一种重要的工具。
通过积分变换，我们可以将函数从一个域转化到另一个域，从而简化问题的求解过程。
在数学一大纲的更新中，积分变换成为了重要的考点。
（这里可以逐步介绍积分变换的基本概念、拉普拉斯变换、傅里叶变换等常见的积分变换方法以及它们的性质和定理。
可以用例题来帮助解释，加深理解。
）四、复变函数的应用复变函数在科学和工程领域中具有广泛的应用。
它既是求解数学问题的有力工具，也是研究现实问题的重要手段。
（这里可以逐步介绍复变函数在电路分析、流体力学、信号处理等领域中的应用。
可以用例题或实际问题来展示其应用价值。
）总结：通过本文的解析，我们了解到复变函数与积分变换作为数学一大纲更新的重要内容，对数学一考试具有重要的意义。
同时，我们也了解到复变函数与积分变换的基本概念、性质和应用领域，为考生提供了全面的学习指导。
通过深入研究和理解复变函数与积分变换的知识，考生可以更好地应对数学一考试中与此相关的题目和问题。
希望本文能够对大家的学习和备考提供帮助。
祝各位考生取得优异的成绩！。
复变函数-解析函数
7
定理1 函数的解析点一定是它的可导 点．反之不真；点 z0为函数 的解析点的 充分必要条件是点 为z0其可导点所构成 的集合的内点。
推论2 复变函数不会只在有限个点或者一 条曲线上解析，它的全体解析点的集合 一定是开集。
如果f(z)再z0不解析，那么称z0为的奇点
定 理 3 在区域D内解析的两个函数的和，差，积，商(除 分母为零的点)在D内解析；解析函数的复合函数仍然是解 析函数。
则称 f (z) 在 z0 处解析. 如果函数 f (z)在 区域 D内每一点解析，则称
f (z) 在 区域 D内解析
如果G 是一个区域，若闭区域D G, 且函 数 f (z) 在 区域 G 内解析，则称f (z) 在闭区域 D 上 的 解 析 函 数.
由定义可得：复变函数在一点处的解析与可导
不等价，但在区域内解析与在该区域内可导是等
解 (1) w =| z |,
此时 u = x2 + y2 , v = 0,
u x , u y , v 0, v 0.
x x2 + y2 y x2 + y2 x
y
不满足Cauchy-Riemann方程,
故 w =|z|在复平面内处处不可导, 处处不解析.
15
(2) f (z) ex (cos y i sin y)
27
从而，可知 (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. (2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为
f'(z) = u'x + iv'x = x / ( x2 + y2 ) - iy / ( x2 + y2 )
x - yi 1
= x2 + y2
数学物理方法-复变函数与解析函数
2
数学物理方法 课程说明
数学物理方法为2013学年第二学期理工学院12级光信息专业所 开设， 72学时。 本课程在高等数学(一元和多元微积分、幂级数和Fourier级数、 微分方程、线性代数和概率论)和普通物理(力学、热学、电学和 光学)的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当 介绍近年来的新发展，为光信息专业后继的基础课程和专业课 程研究有关的数学物理问题作准备，也为今后工作学习中遇到 的数学物理问题的求解提供基础。
R 0 0 0
第一章 复变函数和解析函数
21
y
(z )
z1
z2
o
x
第一章 复变函数和解析函数
22
第一章 复变函数和解析函数
23
例1：用复数方程表示: (1)过两点 z j = x j + i y j (j = 1 , 2 )的直线； (2)中心在点( 0 , - 1 ) 点的表示：z = x + i y <=> 复平面上的点 P ( x , y )
第一章 复变函数和解析函数
19
向量表示法
第一章 复变函数和解析函数
20
计算 arg z (z ≠ 0) 的公式
y arctan x 0, y x π x 0, y argz 2 y arctan π x 0, y x π x 0, y
2
G : w 4, 0 argw π
函数 w = z2(D) 的几何表示
第一章 复变函数和解析函数
34
常见的复变函数
w = z 2 ； u = x 2- y 2， v = 2 x y
第一章 复变函数和解析函数
第一章 复变函数解析
lim lim f (z)
f (z z) f (z)
z0 z
z0
z
df 或f ' (z)
dz
由于复变函数中导数定义与实变函数的导数定
义相同,故实变函数中导数公式可应用到复变函数
情况.例如: d z n nz n1 , d e z e z ,
dz
dz
d sin z cos z, d cos z sin z
dz
dz
复合函数 d F () dF d
dz
d dz
1.复变函数可导的充要条件：
当f(z)满足(ⅰ).函数f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)的
偏导数
u , u , v , v x y x y
存在且连续.
(ⅱ)满足C-R 条件
u v x y u v (1) y x
(1)式为直角坐标形式. 极坐标形式：
由上式可看出加法满足交换律与结合律.
当定义了 –z 时,减法也自然有了.
(b)乘法 :z1z2=(x1x2-y1y2)+i( x1y2+x2y1) (4)
(c)除法:
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
z2
x22
y
2 2
对乘除法用指数形式运算方便.
z1z2=ρ1ρ
2e
n z n e n
其中k=0,1,2…..n-1
共有n个根,为z*=x-iy=ρe –iφ .. zz*= ρ2
(三)无限远点: 对复变数z=x+iy, 当ρ→∞时就是z趋于无 穷运点.引入复数球,使复数球的s极与复数平面的原点 相切,这时对于复数平面上的任意一点A,它与复数球的 N极以直线相联与复数球面交于面上一点A′ ,这样就建 立了复数平面上的点与复数球面上点之间的一一对应 关系.当A不管以什么方式趋于无穷大时,其对应的A′都 趋于N极,因此可把平面上无限远看成一点.
大学物理-复变函数的导数与解析性
又
得微分公式
(微分与导数的关系)
二、柯西——黎曼条件 (C–R 条件)
要解决的问题：给定一函数 w = f (z) = u(x , y) + i v(x, y)，
如何判断 f (z) 在点 z 是否可导？
导数存在的必要条件：
f (z) 在点 z 可导的必要条件是
存在，且
满足 C – R 条件：
证明：由函数导数的定义，z 以任何方式趋于零时,极限
z0 z
故 f (z) 在 z = 0 点不可导。
四、复变函数导数的几何意义 设 w = f (z) 在 z0 可导，即有
复变函数的几何意义：当 z 在 Z 平面沿曲线 L 变动时，w 在 W 平面沿曲线 L' 变动。z, w, f ' (z0) 的表示式：
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由导数的定义式可得：
导数的几何意义： 1. 导数的模 f ' (z0) 表示通过点 z0 的无穷小线段 z，映射 为 W 平面的 w 时，长度的放大系数。 2.导数的辐角 arg f ' (z0) 表示曲线 L 上点 z0 的切线与曲线 L' 上的点 w0 的切线的夹角，即从 Z 平面到 W 平面映射 前后切线的转动角。
同理 f 'y 存在且等于 B，故
(全微分与偏导数及自变量 微分间的关系)
对一元函数，可微与可导是同一回事，而对多元函数，
偏导数存在不一定可微，但在一定条件下，偏导数与可微
性之间密切联系。以下定理说明了这种联系：
定理：若 f 'x (x ,y) 及 f 'y (x ,y) 在点 (x ,y) 及某一邻域内存在， 且在该点它们都连续，则函数 u = f (x,y) 在该点可微。
大学复变函数的解析函数
大学复变函数的解析函数复变函数是数学中的一门重要课程，它研究了在复平面上定义的函数。
其中，解析函数是复变函数中的一类特殊函数，具有很多重要的性质和应用。
本文将介绍关于大学复变函数中解析函数的定义、性质以及实际应用等方面的内容。
1. 解析函数的定义解析函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。
具体地，如果函数f(z)在区域D内对复平面上的任意一点z定义了导数，则称f(z)是D上的解析函数。
2. 解析函数的性质解析函数具有以下几个重要的性质：2.1. 可微性：解析函数在其定义域内处处可导，并且导数在定义域内也是解析函数。
2.2. 全纯性：解析函数无奇点，即在其定义域内处处解析。
2.3. 可积性：解析函数可以在其定义域上进行积分，并且积分与路径无关。
2.4. 唯一性：由于解析函数的可微性，其导数也是唯一确定的。
2.5. 极值点：解析函数没有极值点，即在其定义域内不存在局部极大值或极小值点。
3. 常见的解析函数复变函数中有许多常见的解析函数，包括：3.1. 幂函数：f(z) = z^n，其中n为整数。
3.2. 指数函数：f(z) = e^z。
3.3. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.4. 对数函数：f(z) = ln(z)。
4. 解析函数的实际应用解析函数在科学、工程和数学领域中有广泛的应用，例如：4.1. 工程设计中的电路分析和控制系统设计需要用到解析函数，如电容、电感和电阻等元件的阻抗计算。
4.2. 物理学中的波动现象研究需要用到解析函数，如光学中的折射和衍射等现象。
4.3. 金融学中的统计模型和风险管理需要用到解析函数，如利率模型和期权定价等。
4.4. 数学领域中的傅里叶分析和调和函数研究需要用到解析函数，如信号处理和信号重构等。
综上所述，解析函数是复变函数中非常重要的一类函数，具有许多重要的性质和应用。
了解和掌握解析函数的定义、性质以及实际应用对于深入理解和应用复变函数具有重要意义。
复变函数理论与解析函数的性质
复变函数理论与解析函数的性质复变函数理论是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复变量的函数。
复变函数与实变函数有着明显的区别，它们的性质和行为也有很大的不同。
本文将探讨复变函数理论的一些基本概念和解析函数的性质。
一、复变函数的定义和基本性质复变函数是指定义在复数域上的函数。
复数可以表示为实部与虚部的和，即z = x + iy，其中x和y分别是实数部分和虚数部分。
一个复变函数可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v分别是实部和虚部的函数。
复变函数的定义域是复平面上的一个开集。
复变函数的基本性质包括解析性、连续性和可微性。
解析性是指函数在其定义域内处处可导，即函数的导数存在。
连续性是指函数在其定义域内连续。
可微性是指函数在某一点处可导。
对于复变函数来说，解析性和可微性是等价的，即函数在某一点处可导当且仅当函数在该点处解析。
二、解析函数的性质解析函数是复变函数中的一类特殊函数，它具有许多重要的性质。
首先，解析函数是无穷可微的，即它的导数、二阶导数、三阶导数等都存在。
这个性质使得解析函数在数学和物理中有广泛的应用，例如在电磁场的分析和量子力学中的波函数描述等。
其次，解析函数满足柯西-黎曼方程，即它的实部和虚部满足柯西-黎曼方程的偏导数条件。
这个方程表明解析函数的实部和虚部是相互独立的，它们的变化是相互约束的。
柯西-黎曼方程的满足使得解析函数具有一定的几何性质，例如保角性和共形映射等。
此外，解析函数还具有唯一性定理和辐角原理等重要性质。
唯一性定理指出，如果两个解析函数在某个区域内的实部和虚部都相等，那么它们在该区域内是相等的。
辐角原理是指解析函数的辐角的变化是连续的，且在某个区域内的辐角变化总和为零。
三、解析函数的应用解析函数在数学和物理中有广泛的应用。
在数学中，解析函数常用于复积分、级数和变换等问题的求解。
在物理学中，解析函数常用于电磁场的分析、流体力学中的势函数描述等。
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数专业：工程力学 姓名：李小龙 学号：10110756在此仅对基础知识加以总结归纳。
一、 基本概念1、 复数 指数表示：cos sin ,i i e i z re r z Argzθθθθθ=+===宗量：一个函数的自变量是一个复杂的对象，这是通常称为宗量。
若θ是z 的辐角，则2n θπ+也是其辐角，其中,n Z Z ∈是整数集合，若限制2θπ≤<，所得的单值分支称为主值分支，记作argz 。
做球面与复平面相切于原点O ，过O 点作直线OZ 垂直于复平面，与球面交于N ，即球的北极。
设z 是任意复数，连接Nz ，与复球面交于P ，z 与P 一一对应，故复数也可用球面上的点P 表示，该球面称为复球面。
当,z P N →∞→，作为N 的对应点，我们把复平面上无穷远点当做一点，记作∞，包括∞的复平面称为扩充复平面。
2、 复变函数领域：由等式0z z ε-<所确定的点集，称为0z 的ε领域，记作0(,)N z ε，即以0z 为中心，ε为半径的开圆（不包括圆周）。
区域：非空点集D 若满足：一、D 是开集，二、D 是连通的，即D 中任意两点均可以用全属于D 的折线连接。
则我们称D 为区域。
单通与复通区域：在区域D 内画任意简单闭曲线，若其内部全含于D,则D 称为单通区域，否则称为复通区域。
复变函数：以复数为自变量的函数。
记 ,z x iy w u iv =+=+ 则：()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+所以一个复变函数等价于两个二元实变函数。
它给出了z 平面到w 平面的映射或变换。
复变函数的连续性： 如果00lim ()()z z f z f z →=则称()f z 在0z 处连续。
3、 解析函数复变函数的导数：复变函数()w f z =定义在区域D 上，0z D ∈，如果极限0000()()limlim z z f z z f z wz z ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在且有限，则称()w f z =在0z 处可导或可微（differentiable ），且该极限称为()w f z =在0z 处的导数或微商（derivative ），记作：00'00000()()()lim lim z z z zz z f z z f z dw df wf z dz dz z z==∆→∆→+∆-∆====∆∆ 解析函数：若函数f(z)在区域D 内可导，则称为区域D 内的解析函数，也称全纯函数。
复变函数第1章
第一章 复变函数与解析函数§1.1 复 数 §1.2 平 面 点 集 §1.3 连续函数 §1.4 解析函数§1.5 函数可导的充要条件 §1.6 初等解析函数复变函数与积分变换及应用背景M.Kline {Morris Kline (1908-1992) , 纽约大学Courant 数学研究所的教授. 他的著作包括《数学: 确定性的丧失》等.}(《古今数学思想》(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)的作者, 美国数学史家) 指出: 从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一. (1) 代数方程210x +=在实数围无解.为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数的概念, 从而建立了复变函数理论.Gauss {(Carl Friedrich Gauss(1777.4.30-1855.2.23))伟大的德国数学家、天文学家和物理学家. 幼时家境贫困, 但聪敏异常, 曾被誉为数学神童.1795～1798年在哥廷根大学学习,1796年发现正十七边形的尺规作图法, 解决了Euclid 以来悬而未决的问题. 1799年证明了代数基本定理获得博士学位. Guass 是近代数学奠基者之一, 有“数学王子”之称. 从1807年起担任哥廷根大学教授兼哥廷根天文台台长, 直至逝世. Guass 的数学研究几乎遍及所有领域, 在很多方面都做出了开创性的贡献. 他还把数学应用于天文学、测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法. Guass 曾说: “数学是科学之王.”}应用复变函数理论证明了代数基本定理. {复系数n 次代数方程1110n n n n z a z a z a --++++=在复数域必有n 个根. }(2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分.J. Hadamard {(1865.12.8-1963.10.17)法国数学家. 他在1896年应用复变函数理论证明了当 x =1时, Riemann ζ函数()0,z ζ≠从而证明了素数定理.他曾于1936年来华在清华大学讲学. Riemann ζ函数11()nn z z ζ∞==∑}说: 实域中两个真理之间的最短路程是通过复域. (3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等. 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算, 从而研究机翼的造型问题.(5) 应用于计算渗流问题. 例如: 大坝、钻井的浸润曲线.(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如: 热炉中温度的计算.(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域.(9) Fourier {Joseph Fourier (1768.3.21-1830.5.16)法国数学家和物理学家.他致力于研究固体的热传导问题, 1822年出版名著《热的分析理论》, 形成了一种在数学物理问题中有普遍意义的方法, 它开辟了Fourier分析这样一个近代数学的重要分支. Fourier分析在物理、数学和工程技术上都有广泛的应用. 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.} 变换应用于频谱分析和信号处理等. 频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析. 随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.(10) Laplace {Pierre Simon de Laplace(1749.3.23-1827.3.5)法国数学家和天文学家.曾经短期担任过Napoleon的政部长.凡是有助于解释世界的任何事情, 他都感兴趣.最著名的著作有《天体力学》(1799-1825, 5卷本)和《概率的分析理论》(1812). 提出了太阳系生成的星云假说. 以他的名字命名的Laplace变换和Laplace方程有广泛的应用. 我们知道的, 是很微小的; 我们不知道的, 是无限的.}变换应用于控制问题. 在控制问题中, 传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比.(11) Z变换应用于离散控制系统.(12) 小波分析的应用领域十分广泛, 如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等等.(13) 复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件MATLAB{MATLAB 是一个为科学和工程计算而专门设计的高级交互式软件包, 是一种高性能的编程软件, 具有通用科技计算、图形交互系统和程序设计语言, 并且语法规则简单, 容易掌握和调试方便. 在Windows系统中, 点击MATLAB图标启动程序, 进入MATLAB界面.}主要容本章首先引入复数的概念及其运算、平面点集的概念.然后讨论复变函数的连续性，重点研究解析函数.最后介绍几个基本的初等解析函数.§1.1 复数1 复数的概念2 复数的四则运算3 复数的表示方法4 乘幂与方根 1.1.1 复数的概念由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如, 简单的代数方程210x +=在实数围无解. 为了建立代数方程的普遍理论，引入等式21i =-由该等式所定义的数称为虚数单位i =称形如x iy +或x yi +的表达式为复数，其中x 和y 是任意两个实数. 把这里的x 和y 分别称为复数x iy +(或x yi +)的实部和虚部, 并记做Re x z =, Im y z =当复数的虚部为零、实部不为零( 即0y =, 0x ≠)时，复数x iy +等于0x i +为实数x , 而虚部不为零(即0y ≠)的复数称为虚数. 在虚数中, 实部为零(即0x =, 0y ≠)的称为纯虚数. 例如, 303i +=是实数, 45i +, 3i -都是虚数, 而3i -是纯虚数. 共轭复数复数x yi -称为复数x yi +的共轭复数 (其中x ,y 均为实数), 并记做z . 显然, x yi -是x yi +的共轭复数, 即()z z z == 1.1.2 复数的四则运算设111z x iy =+, 222z x iy =+是两个复数, 如果12x x =, 12y y =,则称1z 和2z 相等, 记为12z z =. 注意 复数不能比较大小.复数111z x iy =+和222z x iy =+的加、减、乘、除运算定义如下： (1) 复数的和与差121212()()z z x x i y y ±=±+±(2) 复数的积1212122112()()z z x x y y i x y x y ⋅=-++(3) 复数的商1121221121222222222222z x x y y x y x y z z i z x y x y z z +-⋅=+=++⋅ 复数运算的性质1. 交换律1221z z z z +=+ 1221z z z z ⋅=⋅2. 结合律123123()()z z z z z z ++=++ 123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅3. 分配律1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅4. 1212z z z z ±=± 1212z z z z ⋅=⋅ 1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. z z =6. [][]22Re()Im()z z z z ⋅=+ 7. 2Re(),2Im()z z z z z i z +=-=例1.1 设1234,1,z i z i =-=-+求12z z 与12z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭解:1234(34)(1)1(1)(1)z i i i z i i i ----==-+-+-- (34)(43)71222i i --+-==-+127122z i z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭例 1.21i i =, 21i =-, 32i i i i =⋅=-, 4221i i i =⋅=……41n i =, 41n i i +=, 421n i +=-, 43n i i +=-,441n i +=例1.3 设12,z z 是两个复数, 证明()2121212Re z z z z z z += 证明 因为212112z z z z z z ==所以由运算规律7，有()21222121112Re z z z z z z z z z z +=+=本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明. 1.1.3 复平面与复数的表示法给定一复数z x iy =+, 在坐标平面XOY 上存在惟一的点(,)P x y 与z x iy =+对应. 反之, 对XOY 平面上的点(,)P x y , 存在惟一的复数z x iy =+与它对应. 根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射. 因此可以用XOY 平面上的点表示复数z .这时把XOY 平面平面称为复平面. 有时简称为z 平面.显然, 实数与x 轴上的点一一对应, 而x 轴以外的点都对应一个虚数, 纯虚数()0iy y ≠与y 轴上的点(除原点)对应. 因此, 称x 轴为实轴, y 轴为虚轴.今后把复平面上的点和复数z 不加区别, 即“点z ”和“复数z ”是同一个意思. 有时用C 表示全体复数或复平面复数z 也可以用以原点为起点而以点P 为终点的向量表示(如图). 这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则.用OP 表示复数z 时, 这个向量在x 轴和y 轴上的投影分别为x 和y .把向量OP 的长度r 称为复数z 的模或称为z 的绝对值, 并记做z . 显然z r ==, , z x y x z y z ≤+≤≤.如果点P 不是原点(即0z ≠), 那么把 x 轴的正向与向量OP 的夹角q 称为复数z 的辐角, 记做Argz .对每个0z ≠, 都有无穷多个辐角, 因为用0θ表示复数z 的一个辐角时,()02 0,1,2,k k θθπ=+=±±就是z 的辐角的一般表达式.满足πθπ-<≤的复数z 的辐角称为主辐角(或称辐角的主值), 记做argz , 则:()Arg arg 2 0,1,2,z z k k π=+=±±有时, 在进行说明后, 把主辐角定义为满足02θπ≤<的辐角, 这时上式仍然成立. 当0z =时, Argz 没有意义, 即零向量没有确定的方向角；但当0z =时, 0z =. 当0z ≠时, 有()tan Arg y z x=利用直角坐标与极坐标之间的关系cos x r θ=, sin y r θ=复数z x iy =+可表示为(cos sin )z r i θθ=+称为复数z 的三角表示式. 再利用Euler 公式 cos sin i e i θθθ=+.复数z x iy =+又可表示为 i z re θ=,称为复数的指数表示式, 其中r z =, Argz θ=.当0z ≠时, Arg Arg z z =-当i z re θ=时, i z re θ-=.共轭复数的几何性质一对共轭复数z 和z 在复平面的位置是关于实轴对称的.从几何上看, 复数21z z -所表示的向量, 与以1z 为起点、2z 为终点的向量相等 (方向相同, 模相等). 复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算. 复数和与差的模的性质因为12z z -表示点1z 和2z 之间的距离故1212z z z z -≥-; 1212z z z z +≤+ 1.1.4 乘幂与方根设复数1z 和2z 的三角表示式为1111(cos sin z r i θθ=+）, 2222(cos sin z r i θθ=+） 根据乘法定义和运算法则及两角和公式,12111222(cos sin )(cos sin )z z r i r i θθθθ⋅=+⋅+121212[(cos cos sin sin )r r θθθθ=⋅-1212(sin cos cos sin )]i θθθθ++ 12121212[cos()sin()]z z r r i θθθθ⋅=⋅+++于是121212z z r r z z =⋅=⋅;1212Arg()Arg Arg z z z z =+ 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.应该注意的是1212Arg()Arg Arg z z z z =+中的加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的元素相加构成的集合(){}12121122Arg Arg ,Arg z z z z θθθθ=+∈∈ 两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为1111(cos sin z r i θθ=+）2222(cos sin z r i θθ=+）先将1z 按逆时针方向旋转角度2θ, 再将模变到原来的2r 倍,于是所得的向量z 就表示乘积12z z ⋅利用数学归纳法可以证明：如果()(cos sin ) 1,2,,k k k k z r i k n θθ=+=那么121212[cos()n n n z z z r r r θθθ=+++12sin()]n i θθθ++++特别地, 如果12(cos sin )n z z z r i θθ====+那么(cos sin )n n z r n i n θθ=+如果写成指数形式，即如果 () 1,2,,k i k k z r e k n θ==, i z re θ=那么()121212n i n n z z z rr r e θθθ+++=,n n in z r e θ=.特别地，当1z r ==时, 121212[cos()n n n z z z r r r θθθ=+++12sin()]n i θθθ++++变为()cos sin (cos sin )ni n i n θθθθ+=+.称为DeMovie 公式. 如果定义负整数幂为1nnz z -=, 那么De Movie 公式仍然成立. 设1111(cos sin )z r i θθ=+, 2222(cos sin )z r i θθ=+.当20z ≠(即20r ≠)时,2112211222222211z z z z z z z z r z z z ===112122[cos()sin()]r i r θθθθ=-+- 如果将1z 和2z 写成指数形式111i z r e θ=, 222i z r eθ=, 则12()1122i z r e z r θθ-=于是1122z z z z =,1122Arg Arg Arg z z z z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差对给定的复数z , 方程nw z =的解w 称为z 的n 次方根,或1n z 如果(cos sin )z r i θθ=+, (cos sin )w i ρφφ=+于是, (cos sin )(cos sin )nn i n r i ρϕϕθθ+=+, 当0r ≠时, nr ρ=, cos cos n φθ=, sin sin n ϕθ=.满足以上三式的充分必要条件是1nr ρ=, 2π (0,1,2,)n k k ϕθ=+=±±其中1nr 表示算术根. 于是12π2πcos sin nk k w r i n n θθ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭(0,1,2,)k =±±当取0,1,2,1k n =-时, 对一个取定的θ, 可得n 个相异根如下:10cos sin nw r i n n θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 112π2πcos sin n w r i n n θθ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 112(1)π2(1)πcos sin n n n n w r i n n θθ-+-+-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由三角函数的周期性()()12π2πcos sin nk nk n k n w r i n n θθ+++++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12π2πcos sin n k k k r i w n n θθ++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可见, 除011,,,n w w w -外, 均是重复出现的, 故这n 个复数就是所要求的n 个根. 当0z =时,0w =就是它的n 次方根.在上面的推导过程中, 可取θ为一个定值, 通常取主辐角. 若用指数表示式, 则当i z re θ=时,()()21 0, 1, 2, ,1i k n nk w r ek n θπ+==-例1.4 求方程4160w +=的四个根.解: 因为-16=24e(2k +1)pi, 所以()21442k iw eθ+=. 于是()()121442422 0,1,2,3k i k iw e e k πππ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭⎡⎤===⎣⎦.4022cos sin )44iw ei i πππ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭; 3413322cos sin 1)44i w e i i πππ⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭. 5425522cos sin)44iw ei i πππ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭; 7437722cos sin)44i w e i i πππ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭1234,,,w w w w 恰好是以原点为圆心、半径为2的圆2z =的接正方形的四个顶点(如图).一般情况下1nz =, n 个根就是以原点为中心、半径为1nr 的圆的接正多边形的n 个顶点所表示的复数.1.1.5 复球面与无穷远点复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数. 设∑是与复平面C 切于原点O 的球面. 过原点O 做垂直于平面 C 的直线, 与∑的另一交点为N . 原点O 称为∑的南极(s 极), 点N 称为∑的北极(如图).球面上的点, 除去北极N 外, 与复平面的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面上的点来表示复数.球面上的北极N 不能对应复平面上的定点,当球面上的点离北极 N 越近,它所表示的复数的模越大. 规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作∞. 球面上的北极N 就是复数无穷大的几何表示.不包括无穷远点的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 包括无穷远点的复平面称为扩充复平面. 球面上的点与扩充复平面的点构成了一一对应, 这样的球面称为复球面.对于复数的无穷远点而言, 它的实部、虚部, 辐角等概念均无意义, 规定它的模为正无穷大. 关于∞的四则运算规定如下: (1) 加法()ααα+∞=∞+=∞≠∞; (2) 减法()ααα-∞=∞-=∞≠∞;(3) 乘法(0)ααα⋅∞=∞⋅=∞≠;(4) 除法0,(),(0)0ααααα∞==∞≠∞=∞≠∞§1.2 平面点集1 区域2 Jordan 曲线、连通性 1.2.1 区域 1. 邻域0z 是复平面的定点, 满足不等式0z z δ-<的一切点所组成的集合{}0z z z δ-<称为0z 的δ邻域,简称为0z 的邻域, 其中0δ>. 0z 的邻域实际上是以0z 为中心, δ为半径的圆的部所有点组成的点集, 简记为0(,)B z δ.由满足不等式00z z δ<-<的一切点所组成的集合称为0z 的去心邻域 .满足不等式()0z R R >>的一切点(包括无穷远点)的集合称为无穷远点的邻域. 用R z <<+∞表示无穷远点的去心邻域. 2. 点设E 是复平面上的点集, 0z 是一个定点, 若存在0z 的一个邻域, 使得该邻域的一切点均属于E , 则称0z 是E 的点. 即存在0ρ>, 满足:(){}00, B z z z z E ρρ=-<⊂. 3. 外点设E 是复平面上的点集, 0z 是一个定点, 若存在0z 的一个邻域, 使得在此邻域的一切点均不属于E , 则称0z 是E 的外点. 即存在0ρ>, 满足:(){}10, B z E z z z E ρρ=-<=∅4. 边界点设E 是复平面上的点集, 0z 是一个定点, 若0z 的任何邻域都含有属于E 的点和不属于E 的点, 则称0z 是E 的边界点. 即对任意的0ρ>, 存在()120,,z z B z ρ∈, 满足12, z E z E ∈∉E 的边界点的全体所组成的集合称为E 的边界, 记做E ∂. 显然, E 的点属于E , 而外点不属于E ,但边界点既可能属于E , 也可能不属于E . 5. 开集设G 是复平面上的点集, 如果G 每一点都是它的点,则称G 为开集.例1.5 设0z 是定点, 0r >是常数, 则0z 为中心,以r 为半径的圆的部点, 即满足不等式0z z r -<的一切点z 所组成的点集 (0z 的r 邻域) 是开集.当0r R ≤< (r 和R 均是常数) 时, 满足不等式0r z z R <-<的一切z 所组成的点集也是开集. 但满足不等式0r z z R <-<的一切点所组成的点集不是开集. 因为在圆周0z z R -=上的点属于集合0r z z R <-<, 但这些点不是它的点, 而是边界点.在圆周0z z r -=和圆周|0z z R -=上的点都是点集0r z z R <-<和0r z z R <-≤的边界点. 两个圆周上的点都不属于点集0r z z R <-<, 圆周0z z r -=不属于点集0r z z R <-≤, 外圆周0z z R -=属于点集0r z z R <-≤.6. 区域设D 是复平面上的点集，如果满足以下两个条件:(1) D 是开集；(2) D 的任何两点1z 和2z 都可以用一条完全在D 的折线, 把1z 和2z 连接起来(具有这个性质的点集叫做连通的). 则称D 是复平面上的区域.简单地说, 连通开集称为区域. 基本概念的图示由区域D 和它的边界D ∂所组成的点集，称为闭区域, 记做D如果一个平面点集完全包含在原点的某一个邻域, 那么称它是有界的. 不是有界集的点集叫做无界集.例如, 满足不等式0z z r -<和0r z z R ≤-≤的一切点所组成的点集都是有界的闭区域, 满足不等式z R ≥的一切点所组成的点集是无界的闭区域.例1.6 判断下列区域是否有界? (1) 圆环域: 102r z z r <-< (2) 上半平面: Im 0z > (3) 角形域: 12arg z φφ<< (4) 带形域: Im a z b <<答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界., , ,(1) (2) (3) (4) 1.2.2 Jordan 曲线、连通性 (1) 连续曲线、 Jordan 曲线参数方程()(), ()x x t y y t a t b ==≤≤在XOY 平面上表示一条曲线C . 把XOY 平面视为复平面时, 曲 线C 的参数方程可表示为: ()()()()z z t x t iy t t αβ==+≤≤如果()(), ()x x t y y t a t b ==≤≤为连续函数时, 则称曲线C 为连续曲线.曲线C 在复平面上的参数方程不仅确定了曲线的形状, 实际上还给出了曲线的方向, 也就是说, 曲线是沿着t 增加的方向变化的.复平面上对应于()()()z x iy ααα=+的点称为曲线C 的起点, 对应于()()()z x iy βββ=+的点称为曲线C 的终点.若曲线C 的起点与终点重合, 即()()z z αβ=, 则称C 是闭曲线.例如, ()() cos sin (02)z z t r t i t t π==+≤≤是一条闭曲线, 因为()()02z z r π==.对曲线C 的参数方程()()()()z z t x t iy t t αβ==+≤≤, 做变量代换可得()() z z t t βααβ=+-≤≤ 这两个方程所确定的曲线形状相同, 起点和终点互易, 从而方向相反. 用C -表示与C 形状相同、方向相反的曲线.如果12t t ≠, 有()()12z t z t =, 则称()()12z t z t =是曲线()z z t =的重点.如果曲线:()()C z z t t αβ=≤≤除起点与终点外无重点,即除12,t t αβ==之外, 如果12t t ≠有()()12z t z t ≠, 则称曲线C 是简单曲线.连续的简单闭曲线称为Jordan 曲线. 任何Jordan 曲线C 将平面分为两个区域, 即部区域(有界)与外部区域(无界), C 是它们的公共边界.下列曲线是否为简单闭曲线?答案 简单闭 简单不闭 不简单闭 不简单不闭 关于曲线方向的说明:设C 为平面上给定的一条连续曲线,如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正向, 则称C 为有向曲线.如果从A 到B 作为曲线C 的正向, 那么从B 到A 为曲线C 的负向, 就是C -. 除特殊声明外, 正向总是指从起点到终点的方向.Jordan 曲线C 有两个方向, 当点z 沿着C 的一个给定方向变化时, 若C 的部出现在点z 前进方向的左侧, 就规定这个方向是正的; 否则就说是负的.如果没有特别说明, 约定Jordan 曲线的正向为这条曲线的方向.对于圆周曲线可以简单地说, 逆时针方向为曲线的正向, 顺时针方向为曲线的负向.(2) 光滑曲线如果曲线C 参数方程中的()x t 和()y t 都在[,]a b 上存在连续的导函数, 且对任何[,]t a b ∈, 都有()()220x t y t ''+≠⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦称C 是一条光滑曲线.光滑曲线 分段光滑曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线. 能求出长度的曲线称为可求长曲线. 分段光滑曲线是可求长曲线. (3) 单连通区域与多连通区域设D 是复平面上的一个区域, 如果位于D 的任何Jordan 曲线的部区域也都包含于D , 则称D 为单连通区域.若区域D 不是单连通区域, 则称它为多连通区域.单连通域 多连通域练习 1 指出下列不等式所确定的点集, 是否有界? 是否区域? 如果是区域, 单连通的还是多连通的?21(1)Re()1;(2)arg ;(3)3;(4) 114;(5) 11 1.3z z z z z z zπ<<<-++<-+<解 (1) 当z x iy =+时, 222Re()z x y =-, 222Re()11,z x y <⇔-<无界的单连通区域(如图).(2)arg 3z π<. arg arg 333z z πππ<⇔-<<, 是角形域, 无界的单连通域(如图).1(3)3z <. 1133z z <⇔>,是以原点为中心, 半径为13的圆周外部, 无界多连通区域(如图).(4)114z z -++<因为114z z -++=表示到1, –1两点的距离之和为定值 4 的点的轨迹, 和为定值4的点的轨迹, 114z z -++<表示该椭圆的部, 这是有界的单连通区域(如图).(5)111z z -⋅+<, 令cos sin z r ir θθ=+.111z z -⋅+<⇔222222[(cos 1)sin ][(cos 1)sin ]1r r r r θθθθ-+⋅++<,22(2cos 1)(2cos 1)1r r r r θθ++-+<, 222(1)4(cos )1r r θ+-<2 2cos 2r θ⇒<22cos 2r θ=是双叶玫瑰线(也称双纽线). 111z z -⋅+<表示双纽线的部. 这是有界集, 但不是区域.练习 2 满足下列条件的点集是否区域? 如果是区域, 是单连通区域还是多连通区域?(1)Im 3z =这是一条平行于实轴的直线, 不是区域.(2)Re 2z <-这是以为Re 2z =-右边界的半平面, 不包括直线Re 2z =-它是单连通区域.(3)012z i <++<这是以(1)i -+为圆心, 以2为半径的去心圆盘.它是多连通区域. (4)arg()4z i π-=这是以i 为端点, 斜率为1的半射线, 不包括端点i . 它不是区域.§1.3 连续函数1 复变函数的定义2 复变函数的极限3 函数的连续性 1.3.1 复变函数的定义定义1.1 设E 是复平面上的点集, 若对任何z E ∈, 都存在惟一确定的复数w 和z 对应, 称在E 上确定了一个单值复变函数，用()w f z =表示. E 称为该函数的定义域.在上述对应中, 当z E ∈所对应的w 不止一个时, 称在E 上确定了一个多值复变函数. 例如, w z =是以复平面C 为定义域的单值函数, 而Arg arg 2 (0,1,2,)w z z k k π==+=±±是定义在{}\0C 上的多值函数. 以后不特别申明时，所指的复变函数都是单值函数.因为z x iy =+和w 都是复数, 若把w 记为u iv +时, u 与v 也是z 的函数, 因此也是x 和y 的函数. 于是, 可以写成()(,)(,)f z u x y iv x y =+, 其中(,)u x y 和(,)v x y 都是实变量的二元函数.例如: 2w z =是一个复变函数. 令,z x iy w u iv =+=+, 因为222()2x iy x y xyi +=-+于是函数2w z =对应于两个二元实函数22, 2u x y v xy=-=. 反之, 如果22(,)(,)2w u x y iv x y x y xyi =+=-+.令,22z z z z x y i +-==于是22222222z z z z z z z z w i z i i +-+-⎛⎫⎛⎫=-+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭反函数的定义设函数()w f z =的定义域为复平面上的点D , 称复平面上的点集{}(), G w w f z z D ==∈, 为函数()w f z =的值域.对于任意的w G ∈, 必有D 中一个或几个复数与之对应.于是, 确定了G 上一个单值或多值函数()z w ϕ=, 称之为函数()w f z =的反函数. 1.3.2 复变函数的极限定义 1.2 设复变函数()w f z =在0z 的某个去心邻域有定义, A 是复常数. 若对任意给定的0ε>, 存在0δ>, 使得对一切满足00z z δ<-<的z , 都有()f z A ε-<成立, 则称当z 趋于0z 时, ()f z以A 为极限，并记做0lim ()z z f z A →=或0() ()f z A z z →→.注意: 定义中0z z →的方式是任意的. 例1.7 当0z →时, 函数() (0)zf z z z=≠极限不存在. 事实上, 当z 沿直线y kx =趋于零时, 001lim ()lim.1z x y kxx ikx ikf z x ikx ik→→=++==-- 该极限值随k 值的变化而变化,所以极限0lim ()z f z →不存在.1.3.3 函数的连续性定义 1.3 设()f z 在0z 的邻域有定义, 且00lim ()()z z f z f z →=则称()f z 在0z 处连续. 若()f z 在区域D 的每一点都连续，则称()f z 在区域D 上连续.关于函数()f z 在连续曲线C 上的连续性和闭区域D 上的连续性, 只要把上述定义中的z 限制 在C 或D 上即可.定理 1.1 设()(,)(,),f z u x y iv x y =+ 则()f z 在000=+z x iy 处连续的充分必要条件是(,),u x y (,)v x y 都在00(,)x y 点连续. 证明 只须注意, 由等式()0()-f z f z [][]{}12220000(,)(,)(,)(,),=-+-u x y u x y v x y v x y可得不等式000(,)(,)()(),-≤-u x y u x y f z f z 000(,)(,)()().-≤-v x y v x y f z f z又有不等式0()()-f z f z 0000(,)(,)(,)(,).≤-+-u x y u x y v x y v x y利用这些不等式及定义1.3, 结论易证. 这个定理说明复变函数()(,)(,)=+f z u x y iv x y 的连续性等价两个二元实函数(,),(,)u x y v x y 的连续性.例1.8 设复变函数()f z 在点0z 连续，并且0()0f z ≠, 则存在0z 的某个邻域，使()f z 在此邻域恒不为0.证明 由于()f z 在点 0z 连续, (,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续,故()=f z 在00(,)x y 点连续. 因0()0f z ≠, 所以0()0.>f z 由二元函数的连续性, 必存在00(,)x y 的某个邻域, 使得在此邻域, ()0,>f z 即在此邻域0()0f z ≠.定理1.2 设(),()f z g z 都在0=z z 点连续, 则()(),()()±f z g z f z g z 都在0=z z 点连续，而0()0≠g z 时,()()f zg z 也在0=z z 点连续. 定理1.3 设()ϕz 在0z 处连续, 00(),ϕ=z w 而()f w 在0=w w 点连续，则复合函数[()]f g z 在0=z z 点连续.应用定理1.1或仿证明实函数类似结论的方法可以证明上述两个定理.由前面的结论可知, 多项式1011()--=++++n n n n P z c z c z c z c 在复平面处处连续. 有理分式:10111011()-+--++++=++++n n n nm m m ma z a z a z a R zb z b z b z b在复平面除分母为零的点之外, 处处连续.(),0, 1, 2,, ,=i i a c i n ()0, 1, 2, , =j b j m 都是复常数. 为了后面的需要, 给出下面一个关于函数有界性的定理.定理 1.4 设()f z 在有界闭区域D (或有限长的连续曲线C )上连续，则()f z 在D ( 或C )上有界, 即存在0M >, 当∈z D 或∈z C 时，有().≤f z M§1.4 解析函数1 复变函数的导数2 解析函数1.4.1 复变函数的导数 (1) 导数的定义定义1.4 设()w f z =是定义在区域D 上的复变函数, 0z 是区域D 的定点. 若极限000()()limz z f z f z z z →--存在，则称()f z 在0=z z 点可导, 并把这个极限值称为()f z 在0=z z 点的导数，记做0().f z ' 定义中的极限式可以写为 000()()lim, z f z z f z z∆→+∆-∆即当()f z 在0=z z 点可导时,000()()()limz z f z f z f z z z →-'=-000()()lim .z f z z f z z∆→+∆-=∆ 注意: 0(0)z z z →∆→的方式是任意的.若()f z 在区域D 每一点都可导, 则称()f z 在区域D 可导. 此时，对D 任意一点z , 有()()()lim.z f z z f z f z z∆→+∆-'=∆也可用d d (),d d w f z z z等表示()f z 在z 点的导数.例1.9 设2(),f z z =则()f z 在复平面处处可导，且()2.f z z '= 解 因为0()()()lim z f z z f z f z z∆→+∆-'=∆220()lim z z z z z ∆→+∆-=∆0lim(2).z z z ∆→=+∆ 所以()22.z z '=例1.10 证明()2f z x yi =+在复面处处连续，但处处不可导.证明 对复平面任意点z , 有()()f z z f z +∆-()2()2x x y y i x yi =+∆++∆--2.x yi =∆+∆ 故0lim[()()]0.z f z z f z ∆→+∆-=这说明()2f z x yi =+在复面处处连续.但是,()()f z z f z z+∆-∆()2()2x x y y i x yi x yi +∆++∆--=∆+∆2.x yix yi ∆+∆=∆+∆设z ∆沿着平行于x 轴的方向趋向于0, 即0, 0.x y ∆→∆=于是0002limlim 1.x x y x yi xx yi x ∆→∆→∆=∆+∆∆==∆+∆∆xyoz=∆y设z ∆沿着平行于y 轴的方向趋向于0, 即0, 0,x y ∆=∆→002limx y x yix yi∆=∆→∆+∆∆+∆02lim 2.y yi yi ∆→∆==∆ 所以()2f z x yi =+的导数不存在.(2) 可导与连续的关系函数()f z 在0z 处可导，则在0z 处一定连续, 但函数()f z 在0z 处连续不一定在0z 处可导. 事实上, 由()f z 在0z 点可导, 必有0000()()lim()0,z f z z f z f z z∆→+∆-'-=∆令000()()()()f z z f z z f z zρ+∆-'∆=-∆.000()()() (),f z z f z f z z z z ρ'+∆-=∆+∆∆再由0lim ()0,z z ρ∆→∆=所以000lim ()()z f z z f z ∆→+∆=即()f z 在0z 处连续.反之, 由例1.10知, ()2f z x yi =+不可导.但是二元实函数(,), (,)2u x y x v x y y ==连续, 于是根据定理1.1知, 函数()2f z x yi =+连续. (3) 求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同. 求导公式与法则:xyoz=∆y 0=∆x(1) ()0,c '=其中c 为复常数. (2) 1(),n n z nz -'=其中n 为正整数. (3) []).()()()(z g z f z g z f '±'='± (4) []).()()()()()(z g z f z g z f z g z f '+'='(5) 2()()()()(),(()0).()()f z f z g z f z g z g z g z g z '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦(6) {}[()]()(),f g z f w g z '''=其中().w g z = (7) 1(),()f z w ϕ'='其中()w f z =与()z w ϕ=是两个互为反函数的单值函数, 且()0.w ϕ'≠ 1.4.2 解析函数定义1.5 设()f z 在区域D 有定义.(1) 设0z D ∈, 若存在0z 的一个邻域，使得()f z 在此邻域处处可导, 则称()f z 在0z 处解析, 也称0z 是()f z 的解析点.(2) 若()f z 在区域D 每一点都解析，则称()f z 在区域D 解析, 或者称()f z 是区域D 的解析函数. (3) 设G 是一个区域，若闭区域,D G ⊂且()f z 在G 解析，则称()f z 在闭区域D 上解析.函数()f z 在0z 处解析和在0z 处可导意义不同，前者指的是在0z 的某一邻域可导, 但后者只要求在0z 处可导.函数()f z 在0z 处解析和在0z 的某一个邻域解析意义相同. 复变函数在区域解析与在该区域可导是等价的. 事实上，复变函数在区域解析显然在该区域可导.反之, 设函数()f z 在区域D 可导, 则对任意,z D ∈ 存在z 的某一个邻域U , 使得,U D ∈由 在D 可导, 可知()f z 在U 可导, 即在z 处解析.由例1.9和例1.10知, 函数2()f z z =是全平面的解析函数，但是函数()2f z x yi =+是处处不解析的连续函数.若函数()f z 在0z 处不解析，则称0z 是()f z 的奇点. 若0z 是()f z 的奇点, 但在0z 的某邻域除0z 外,没有其他的奇点，则称0z 是函数()f z 的孤立奇点.根据求导法则，很容易得到下面的结论.设函数(), ()f z g z 在区域D 解析, 则()(), ()()f z g z f z g z ±也在D 解析. 当00, ()0z D g z ∈≠时, 0z 是()()f zg z 的解析点. 特别地, 多项式()P z 在全平面解析, 有理分式在复平面除分母为零的点之外解析, 分母为零的点是有理分式的孤立奇点.例1.11 证明2()f z z z =在0z =处可导, 但处处不解析.证明 根据导数的定义, 200()(0)lim lim 0.z z f z f z z→→-== 因此()f z 在0z =处可导，且(0)0.f '= 当00z ≠时, 由22000, z zz z z z ==得22000()()f z f z z z z z -=-22220000()().z z z z z z z z =-+- 故2000000()()().f z f z z z z z z z z z z z --=++-- 虽然020000lim()22,z z z z z z z z →+==但是当z 分别从平行于x , y 轴方向趋于0z 时, 00z z z z --分别以1和-1为极限，因此 000lim z z z z z z →--不存在. 又因为00,z ≠ 所以000()()lim z z f z f z z z →--不存在, 即()f z 在0z ≠时不可导, 从而在复平面处处不解析.§1.5 函数可导的充要条件1 函数可微的概念2 函数可导的充要条件1.5.1 函数可微的概念定义1.6 设函数()f z 在0z 的某邻域有定义, 若存在复常数A , 使得00()(),f z z f z A z z α+∆-=⋅∆+⋅∆ 其中0lim 0,z α∆→= 则称()f z 在0z 点可微. 复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？引理 复变函数()f z 在0z 可导的充分必要条件是()f z 在0z 点可微，且0().A f z '=。
复变函数解析函数
面积分公式
总结词
面积分公式是复变函数解析函数的另一个重要性质，它描述了函数在一个平面区域上的 积分与边界路径之间的关系。
详细描述
如果一个复函数在一个平面区域D内有定义，且在区域D的边界周围解析，那么该函数 在区域D内的积分可以通过在区域D的边界上的函数值和边界周围的路径上的积分来表
示。
体积分公式
未来研究还可以进一步探索解 析函数在各个领域中的应用， 例如在人工智能、大数据分析 、量子计算等领域的应用。
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解析函数在其定义域内的任意点都可微，且 其一阶导数不为零。
整体性质
解析函数在其定义域内是单值的，即对于定义域内的 任意两个不同的点z1和z2，f(z1)≠f(z2)。
柯西定理
如果f(z)是单连通域内的解析函数，且z0是域 内任意一点，则对于任意正实数r，有∫(c: z0→z0+r) f'(z) dz = f(z0+r) - f(z0)。
复变函数解析函数
• 引言 • 解析函数的定义与性质 • 解析函数的表示方法 • 解析函数的积分公式 • 解析函数的应用 • 结论
01
引言
复数与复变函数简介
复数
由实数和虚数组成的数，表示为 a+bi， 其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位， 满足 i^2=-1。
复变函数
以复数为自变量的函数，其值也是复 数。
解析函数的重要性
解析函数的性质
在数学分析中，解析函数是一类具有导数的函数，其导数在定义域内连续且具有连续的偏导数。解析函数的性质 包括具有连续的导数、可微性、可积性等。
解析函数的应用
解析函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在解决偏微分方程、积分方程、复变积分等数学问题 时，解析函数可以提供有效的解决方案。此外，在信号处理、控制系统等领域，解析函数也具有实际应用价值。
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9
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u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
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第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
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第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
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第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
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第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
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第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
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第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
在复平面上取极坐标，则
z (cos i sin ) ei（尤拉公式，证明见第三章）
2)实变函数导数：比值的左、右极限存在且相等; 复变函数导数：比值极限应与△z→0的方式无关，或△z沿 一切可能方式→0的极限都存在且相等。
显然复变函数导数存在的条件比实变函数严格的多。
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第一章 复变函数和解析函数
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2 Cauchy-Riemann条件
2.1 C-R条件— f(z)可导的必要条件
无限多值，除0、∞外都有对数.
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第一章 复变函数和解析函数
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复习
1.C-R条件，复变函数f(z)可导的充要条件？
2.实变二元函数v(x,y)全微分？
3.实变函数积分与路径无关的条件？
4.多元函数偏导数的定义？
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第一章 复变函数和解析函数
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1.2导数
f(z)在z单值连续，lim
乘除: 利用 i2 1， z1z2 (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
z z x2 y2 z 2 z2 z2
z1 z2
z1 z2 z2 2
采用指数形式更方便
z1 z 2
e , i(12 ) 12
z1 z2
e 1 i(12 ) 2
乘方开方: z n nein
第一章
复变函数和解析函数
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第一章 复变函数和解析函数
1
简介
基本内容： 基本应用：
复数、复变函数、解析函数、解析 的充要条件、解析函数的几何意义 及物理解释. C-R条件的应用
重
点：
解析函数（是本章的重点，也是 本篇的重点）
难 点： 已知解析函数的实部（或虚部）求 该解析函数（加强训练）
n
z
n
i
e n
n
ei
1 n
(0
2
k
)
(k=0,1,2，…，n-1)是n值函数.
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第一章 复变函数和解析函数
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2 无穷远点
复数球 测地投影：一一对应 无限远是一点： 复平面上的∞与北极N对应 复数0和∞的幅角无意义.
复数列 zn xn iyn
(n=1,2，…)的极限问题
复平面上点列(xn , yn )
12
3)初等函数： 名称、形式与实初等函数相同，但其性质却有不同,如：
ez ezi2 纯虚周期2i
sin z eiz eiz 2i
， cos z eiz eiz 2
sin z , cos z 无界，如 cos z e ziyi y e y
2
ln z ln(ei ) ln i(0 2n ) (0 0 2 )
f (z z) f (z)
存在，
z0
z
则称f(z)在z可导，该极限称为f(z)在z点的导数，记作
df f (z) lim f (z z) f (z)
dz
Z 0
z
1)定义形式与实变函数的导数同
实变函数的求导法则及实初等函数的导数 公式均适用于复变函数的导数,例
(c1 cos z c2 z 2 ) c1 sin z 2c2 z
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第一章 复变函数和解析函数
2
§1.1复数的基本概念
❖ 1 复数及其代数运算 ❖ 2 无穷远点
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第一章 复变函数和解析函数
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i 1
1 复数及其代数运算
❖ 复数z=x+iy
❖ 实部Rez=x 虚部Imz=y
i 1 i2 1
❖ 虚数单位
（或
）
❖ 1.1代数式 z x iy
模 z x2 y2
幅角
arg z arctg y
x
，具有不唯一性
取0(0 0 2 )为 arg z 的主值，则
0 2n
（多值函数的多值性与幅角的不唯一性有密切关系）
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第一章 复变函数和解析函数
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1.4代数运算 加减:实、虚部分别相加减 z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(n=1,2，…)的极限问题.
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第一章 复变函数和解析函数
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§1.2复变函数及其导数 CauchyRiemann条件(P3)
❖ 1 复变函数及其导数
❖ 2 Cauchy-Riemann条件
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第一章 复变函数和解析函数
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1 复变函数及其导数
1.1复变函数 1)区域的概念（P7§1.3）
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第一章 复变函数和解析函数
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2.2 f(z)可导的充要条件 ux , u y , vx , vy 存在、连续且满足C-R条件(证明：详见P6).
z z0
x0
x
u i v x x
z iy,
lim
z0
f z
lim u(x, y y) iv(x,
iy0
y y) u(x, y) iv(x, y) iy
1[u i v ] i y y
二者相等 C-R条件
类似在极坐标系中
沿径向不变z
沿横向不变z
ei iei
二比值极限相等 C-R条件.