泰勒公式的证明及其应用

泰勒公式的证明及其应用

数学与应用数学专业胡心愿

[摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述.

[关键词]泰勒公式；不等式；应用；

Proof of Taylor's Formula and Its Application

Mathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application.

Key words:Taylor's Formula;inequality;application

目录

1 泰勒公式 (1)

1.1 泰勒定理的证明过程 (1)

2 余项估计 (2)

2.1 泰勒中值定理 (2)

2.2 拉格朗日余项 (3)

2.3 柯西余项 (6)

2.4 积分余项 (7)

3 泰勒公式的应用 (9)

3.1 利用泰勒公式证明不等式 (9)

3.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用 (9)

3.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用 (10)

3.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限 (11)

3.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点 (12)

3.4 判断级数的敛散性 (14)

3.5 利用泰勒公式求行列式的值 (15)

4 多元函数的泰勒公式 (16)

4.1 二元函数泰勒公式的证明 (17)

4.2 二元函数泰勒公式的应用 (18)

结束语 (19)

参考文献 (19)

致谢 (20)

泰勒公式是数学分析的一个重要内容，它将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，分析比较它的各种证明方法和归纳其各种应用是本文的主要内容.关于泰勒公式的证明主要是讨论泰勒余项.

1 泰勒定理

若函数()x f 在0x 处存在n 阶导数，则()0x U x ∈∀，有

()()()[]

n

n x x x T x f 0-+=ο ()1

其中()()()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T 002

00000!

!2-++-''+

-'+= ， ()()

[

]n

n x x x R 0-=ο()0x x →，即()x R n 是比()n

x x 0-的高阶无穷小.()1式称为()x f 在0

x

（展开）的泰勒公式.

1.1 泰勒定理的证明过程

由高阶无穷小的定义知，若要证明()[]

n

n x x x R 0-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛ο，只需要证明 ()

()

()()

()

0lim

lim

000

=-T -=-→→n

n x x n

n x x x x x x f x x x R

因为这是0

的待定型，可以应用1-n 次的洛必达法则来证明.

()()()=T -=x x f x R n n

()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-''+-'+-n n x x n x f x x x f x x x f x f x f 002

00000!!2!1 ()()()()()()()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--++-''+'-'='-100000!1!1n n n

x x n x f x x x f x f x f x R ()()()()()

()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--++-'''+''-''=''-⎪⎭

⎫ ⎝⎛20000

0!2!1n n n x x n x f x x x f x f x f x R ()()

()()()()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+-=---⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-0010111!1x x x f x f x f x R n n n n n