泰勒公式的证明及其应用
泰勒公式的证明及其应用课题意义怎么写
泰勒公式的证明及其应用课题意义怎么写泰勒公式是数学中一个重要的公式,可以用来展开一个函数在某一点处的函数值,从而得到该点处的函数表达式。
证明泰勒公式及其应用是一个复杂的数学问题,下面将给出一些介绍:一、泰勒公式的证明设$f(x)$在点$x_0$处具有$n$阶导数$f'(x_0)$,则在该点附近可以表示为:$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + cdots + frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$其中$R_n(x)$为余项,它只与前$n-1$个项有关。
余项$R_n(x)$可以表示为:$$R_n(x) = frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} - frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$其中$c$是$x$和$x_0$之间的某个数。
泰勒公式的证明思路可以看作是将$f(x)$展开成一个多项式,并根据多项式的阶数和系数确定余项$R_n(x)$。
二、泰勒公式的应用泰勒公式在许多领域都有广泛的应用,包括:1. 数值计算:泰勒公式可以用来将一个复杂的函数逼近一个数值值,从而进行数值计算。
2. 数学分析:泰勒公式可以用来证明函数的连续性,并在微积分中应用。
3. 物理学:泰勒公式可以用来描述函数在时间和空间上的分布,从而研究物理系统的运动状态。
4. 统计学:泰勒公式可以用来估计一个函数的自变量取值范围,从而进行统计学推断。
泰勒公式是一个数学工具,它的证明和应用具有很高的实用价值。
【精品】泰勒公式的证明及其应用
泰勒公式的证明及其应用数学与应用数学专业胡心愿［摘要］泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础.本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析,在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点,判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述。
［关键词］泰勒公式;不等式；应用；ProofofTaylor'sFormulaandItsApplicationMathematicsandApplicedMathematicsMajorHUXin-yuanAbstract：ThetheoryaboutTaylor'sFormulaisthebasiccontentofApproximationTheory。
WhatthispaperexploresissomemethodsthatprooftheTaylor'sFormula，andthepaperanalyseandcomparethem。
Onthatbasis,thepaperdiscusstheapplicationofTaylor’sFormulainsomerespects，suchasInequalityproof,functionallimit，approximatevalue，determinantvalue,convexity—concavityoffunction，thedecisionofinflectionpoint，divergenceoftheseries。
ThepaperexplorethederivationofTaylor'sFormulaofthefunctionofmanyvariablesan ditsapplication。
Keywords：Taylor'sFormula；inequality;application目录1泰勒公式。
泰勒公式证明及应用
泰勒公式及其应用佟梅(渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国)摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。
泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。
首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。
其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。
关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。
Taylor’s formula and its applicationTong Mei(Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated.Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.前言对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值，因此我们希望用多项式来近似表达函数，本文将介绍近似计算理论分析的一个重要内容——泰勒公式，并重点研究它的广泛应用。
泰勒展开的公式
泰勒展开的公式摘要：1.泰勒公式的定义2.泰勒公式的用途3.泰勒公式的证明方法4.泰勒公式的实际应用正文：1.泰勒公式的定义泰勒公式，又称泰勒级数，是由英国数学家布鲁克·泰勒在18 世纪初提出的一种数学公式。
泰勒公式可以将一个可微函数在某一点附近的值表示为该点的函数值、导数值和高阶导数值的有限和。
具体来说，设函数f(x) 在点a 附近可微，则泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等分别表示函数f(x) 在点a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n! 表示n 的阶乘，Rn(x) 表示泰勒公式的余项。
2.泰勒公式的用途泰勒公式在数学和实际应用中有着广泛的用途，主要包括以下几点：（1）求函数的近似值：通过泰勒公式，可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。
（2）证明其他数学定理：泰勒公式可以作为证明其他数学定理的工具，例如证明函数的凹凸性、极限等。
（3）数值计算：在数值计算中，泰勒公式可以用于求解微分方程、插值和逼近等问题。
3.泰勒公式的证明方法泰勒公式的证明方法有多种，其中较为常见的是利用洛必达法则进行证明。
具体证明过程较为繁琐，这里不再赘述。
4.泰勒公式的实际应用泰勒公式在实际应用中有很多例子，下面举一个简单的例子来说明。
例如，我们要求函数f(x) = sin(x) 在点x=π/2 附近的值。
首先，我们知道sin(x) 在x=π/2 处的值为1，其次，我们可以求出sin(x) 在x=π/2 处的一阶导数为cos(π/2)=0，二阶导数为-sin(π/2)=-1，以此类推。
有关泰勒公式的证明及其推广应用研究
有关泰勒公式的证明及其推广应用研究摘要：对于泰勒公式而言，由于其淋漓尽致地体现了逼近法的精髓，因而在各个领域中的各个方面均有着十分重要的应用。
本文重点就泰勒公式的几种证明形式进行了分析，并就其在不等式、函数极限等方面的推广及应用情况进行了研究。
关键词：泰勒公式；证明；应用中图分类号：o172 文献标识码：a 文章编号：1674-7712 （2013）04-0166-01泰勒公式是数学分析过程中的重要公式之一，因而在数学中占有极为重要的地位。
通常而言，一般性的数学分析教材中均采用的是柯西中值定理来对泰勒公式进行证明，此种方法也广为人知，但是，其实泰勒公式还可以采用其他多种证明形式进行证明。
鉴于此，本文采用多种形式对泰勒公式进行了证明，并就其在多个领域中的应用推广进行了研究。
（一）采用完全归纳法对泰勒公式进行证明定理：对于任何函数f（x）而言，只要其在a点处存在着直到n 阶为止的导数，则a点附近的f（x）就可采用如下公式进行表达：（二）采用积分法对泰勒公式进行证明采用积分法不仅可以巧妙地证明泰勒公式，还可以得出几个结论，其定理如下所示：定理：假设[a，b]区间内函数f（x）具有直到n阶的连续导数，而在（a，b）内也存在着n+1阶的导数，此时，对于任意一个给定的x而言，x0∈（a，b），则f（x）可以表示为一个余项所得结论如下：其他的余项中只知ξ∈（a，b），此时有xn→x0（n→+∞）；由公式（1）可知，重积分型余项可推出皮亚诺型余项，因此，也可推出其他各类余项公式的形式。
以上所述两种方法主要是以不同角度对泰勒公式进行了证明，虽然其形式发生了改变，但是总体内涵保持不变，因而体现了变化中求思想精髓的基本证明思路，因而较容易被理解。
二、泰勒公式的应用推广（一）采用带有皮亚诺型余项的泰勒公式可进行函数极限的求取（二）采用泰勒公式可对积分等式进行证明除此以外，对于判断级数的收敛性、近似值的求解、行列式的求解等等多个方面均需要借助于泰勒公式进行计算和求解，由此可见，泰勒公式具有十分广泛的应用，本文重点就上述几个常见领域的应用及推广进行了分析，由于泰勒公式多个领域均有应用，这里就不再进行一一叙述了。
考研泰勒公式大全
考研泰勒公式大全考研泰勒公式是考研数学中的一个重要知识点，也是数学分析中的经典内容。
它是基于函数的无数阶导数和函数值之间的关系，可以用来近似计算函数的值。
由于涉及到较多的公式推导和应用场景，下面将详细介绍泰勒公式的推导过程和一些常见的应用。
1.雅可比泰勒公式泰勒公式的最基本形式是雅可比泰勒公式，它可以通过有限次的求导得到。
假设函数f(x)在x=a处具有无限次可导，那么在x=a处，f(x)的泰勒展开式可以写作：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)（1）其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a 处的二阶导数，f^n(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数，(x-a)^n表示(x-a)的n次幂，n!表示n的阶乘。
公式（1）中的最后一项Rn(x)表示余项，用来衡量泰勒展开式与原函数之间的误差。
当n趋向于无穷大时，如果余项Rn(x)趋于0，则泰勒展开式可以无限逼近原函数f(x)，也就是可以用泰勒展开式来近似计算f(x)的值。
2.泰勒公式的推导泰勒公式的推导步骤可以通过数学归纳法来进行证明。
首先，我们有泰勒公式的一阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R1(x)其中，R1(x)为余项，我们将其化简为：R1(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)然后，我们对R1(x)进行第一次求导：R1'(x)=f'(x)-f'(a)接着，将R1(x)和R1'(x)带入泰勒公式的形式中，我们可以得到泰勒公式的二阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+R2(x)其中，R2(x)为二阶导数形式的余项，其化简步骤为：R2(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)^2/2!通过类似的推导方式，我们可以继续得到更高阶导数形式的泰勒公式，即得到公式（1）的形式。
泰勒公式在计算及证明中的应用
泰勒公式在计算及证明中的应用
泰勒公式是微积分中重要的概念，在计算及证明中有着重要的应用。
该公式可用于求解复杂问题，有助于精准估算复杂函数的数值，使科学家可以把精力集中在推到一个有用的结论上面。
要利用泰勒公式进行计算，首先要弄清楚相关知识点，包括洛必达法则、泰勒展开形式、多项式函数和复杂函数的局部性原理等。
在理解基本的过程之后，就可以开始愉快的使用泰勒公式。
例如，当我们需要证明一个复杂函数的拐点是一个最小值时，可以使用泰勒公式。
首先明确该复杂函数应当属于什么形式，然后将该函数用它的二阶泰勒展开形式表示，再利用洛必达法则求出该函数的拐点，最后由有限域的初等函数的固有性质，可以得出该函数的拐点是一个最小值的最终结论。
泰勒公式是常加以使用的一种数学方法，它的应用广泛，无论是在做实际的运算，还是在证明复杂的数学问题，均有着重要作用。
在帮助人们更快更有效地做出准确的判断、可靠的结论，尤其是在计算和证明复杂函数时，泰勒公式都发挥着重要作用。
不同余项型泰勒公式的证明与应用
不同余项型泰勒公式的证明与应用一、不同余项型泰勒公式的证明$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$其中$f(x)$是需要展开的函数，$f'(x)$是$f(x)$的一阶导数，$f''(x)$是$f(x)$的二阶导数，$f^{(n)}(x)$是$f(x)$的$n$阶导数，$R_n(x)$是余项。
证明不同余项型泰勒公式的关键是对余项$R_n(x)$的估计。
根据拉格朗日中值定理，存在$x$在$x$和$a$之间，使得$f(x)$的$n$阶导数$f^{(n)}(x)$等于$f^{(n)}(a)$和$f^{(n)}(x)$之间的差值。
即存在一个$\xi$满足$a < \xi < x$，使得$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$这里用到了泰勒公式的剩余项的拉格朗日型余项。
二、不同余项型泰勒公式的应用1.近似计算函数值不同余项型泰勒公式可以用于近似计算复杂函数在其中一点处的函数值。
通过泰勒展开，我们可以用函数的高阶导数来逐步逼近函数的真实值，使得计算更加简化。
尤其是在计算机数值计算中，利用不同余项型泰勒公式进行近似计算可以大大提高计算效率和精度。
例如，在计算$\sin(x)$时，我们可以通过泰勒展开将其逼近为一系列多项式函数的和，计算复杂度大幅减少。
2.证明其他重要结论不同余项型泰勒公式也可以用于证明其他数学中的重要结论。
例如，在证明函数的极限或导数存在时，我们可以通过利用泰勒展开，并将余项$R_n(x)$进行估计，从而得到极限或导数的正确表达式。
这在实分析学中经常应用，可以大大简化证明的步骤。
另外，不同余项型泰勒公式也可以用于证明函数的逼近性质。
泰勒公式的证明及推广应用
泰勒公式的证明及推广应用泰勒公式是一种用于近似计算函数的工具，它将函数表示为无穷级数的形式。
这个公式是由英国数学家布鲁诺·泰勒（Brook Taylor）在18世纪提出的。
在本文中，我们将简要介绍泰勒公式的证明，并探讨一些关于泰勒公式的推广应用。
证明泰勒公式的一种常用方法是使用数学归纳法。
我们可以根据函数的导数逐次展开来得到一般形式的泰勒公式。
假设函数f(x)的n次导数在区间[a,b]内连续，以及f(x)的(n+1)次导数在区间[a,b]内存在。
我们可以得到以下泰勒公式的一般形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rⁿ(x)其中，Rⁿ(x)是余项，它可以表示为(fⁿ⁺¹(z)(x-a)ⁿ⁺¹)/(n+1)!，其中a<z<x。
余项Rⁿ(x)可以用于估计泰勒级数的误差，并在实际应用中对所得近似值进行修正。
泰勒公式可以应用于各种数学和物理问题中。
下面是一些泰勒公式的推广应用的例子：1.近似计算：泰勒公式可以用于近似计算复杂函数的值。
通过截断级数，我们可以得到一个有限项的泰勒多项式，用于计算函数在其中一点的近似值。
2.数值积分：通过将函数展开为泰勒级数，并对级数进行求和，我们可以将函数的积分转化为级数的求和。
这种方法广泛应用于数值积分的算法中。
3.近似求解微分方程：很多微分方程难以找到解析解，但可以使用泰勒公式来近似求解。
通过将微分方程转化为泰勒级数，并截断级数至有限项，我们可以得到一个逼近解。
4.反函数的泰勒展开：泰勒公式不仅适用于函数的展开，也适用于反函数的展开。
通过将函数和它的逆函数展开为泰勒级数，并对级数进行求和，我们可以得到函数的反函数的泰勒展开。
在实际应用中，泰勒公式的推广应用不仅局限于以上几个领域。
它可以使用在各种数学和物理问题中，包括信号处理、金融工程、计算机图形学等。
泰勒(taylor)公式在不等式证明中的应用
泰勒(taylor)公式在不等式证明中的应用
礼节介绍
1、泰勒公式是由美国数学家乔治·布莱尔·泰勒于1815年发明的，它是一种用来分析函数在某一点处的切线和曲线抛物线的数学工具，从而可以估计函数类型和特征。
2、泰勒公式可以用于函数无穷小展开式的应用，它可以解决许多函数的不等式证明、微积分和科学计算等问题。
3、泰勒公式的主要用在不等式证明中，它可以帮助数学家分析函数的某个特定点处的变化情况，从而推导出函数的不等式，有效地证明这个不等式。
4、使用泰勒公式证明不等式的步骤是:
(1)通过求解函数的导数来理解函数某点处的变化情况；
(2)求解函数在某处的切线；
(3)使用抛物线来拟合函数；
(4)使用推到出的抛物线上的不等式来表述函数中的不等式；
(5)最后，需要对不等式进行证明。
5、由于泰勒公式对函数分析和验证都有极大的帮助，它广泛应用于统计学、总体估计、微分方程、函数优化等多个领域中。
此外，它也可以为有效管理和校验一些数值问题提供有力的帮手，也是数学科学领域中数值分析的有力工具。
泰勒公式证明过程
泰勒公式证明过程泰勒公式是微积分中的一项重要工具，它能够将一个函数在某一点的局部信息转化为全局信息。
本文将通过推导泰勒公式的过程，来讲解其原理和应用。
一、泰勒公式的定义泰勒公式是一个函数的多项式展开式，它可以将一个函数在某一点的局部信息转化为全局信息。
泰勒公式的一般形式如下：$$f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ 其中，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在点$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
二、泰勒公式的推导过程为了推导泰勒公式，我们先从泰勒公式的一阶形式开始推导。
1. 一阶泰勒公式首先，我们将函数$f(x)$在点$a$处进行一阶泰勒展开，即：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_1(x)$$其中，$f'(a)$表示$f(x)$在点$a$处的一阶导数，$R_1(x)$表示余项。
接下来，我们将余项$R_1(x)$进行化简：$$R_1(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)$$将$f(x)$在$a$处进行泰勒展开，即：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+cdots$$ 将上式代入余项$R_1(x)$中：$$R_1(x)=frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+cdots$$由于余项$R_1(x)$中的每一项都包含$(x-a)^2$及以上的次数，因此当$x$趋向于$a$时，余项$R_1(x)$趋向于0，即：$$lim_{xto a}R_1(x)=0$$因此，我们可以得到一阶泰勒公式：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o((x-a)^2)$$其中，$o((x-a)^2)$表示当$x$趋向于$a$时，余项$R_1(x)$的阶数高于$(x-a)^2$。
泰勒公式的证明及应用(1)word资料14页
一．摘要 (3)前言 (3)二、泰勒公式极其极其证明........................ (3)（一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3)（二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4)（三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5)（四）积分型泰勒公式 (6)（五）二元函数的泰勒公式 (7)三、泰勒公式的若干应用 (8)（一）利用泰勒公式求极限 (8)（二）利用泰勒公式求高阶导数 (9)（三）利用泰勒公式判断敛散性 (10)（四）利用泰勒公式证明中值定理 (12)（五）利用泰勒公式证明不等式 (13)（六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15)（七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16)四、我对泰勒公式的认识 (16)参考文献 (17)英文翻译 (17)Taylor公式的证明及应用【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。
在现代数学中Taylor公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。
在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。
并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数1、常见Taylor 公式定义及其证明我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。
定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。
1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式：若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即"'200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+⋯()00()()!n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式，"()'20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+⋯+- （3）称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数()0()!k f x k (1,2,,)k n =⋯称为Taylor 系数。
泰勒公式的证明及应用
泰勒公式的证明及应用work Information Technology Company.2020YEAR摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。
它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。
本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。
关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用绪论随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。
泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。
泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。
泰勒公式的几种证明法及其应用-毕业论文
泰勒公式的⼏种证明法及其应⽤-毕业论⽂泰勒公式的⼏种证明法及其应⽤ -毕业论⽂【标题】泰勒公式的⼏种证明法及其应⽤【作者】张廷兵【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应⽤【指导⽼师】陈波涛【专业】数学与应⽤数学【正⽂】1引⾔泰勒公式在分析和研究数学问题⽅⾯有着重要的应⽤。
但是它的证明⼤多数是重复运⽤柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有⼀定的困难。
为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供⽅便。
本⽂研究不同的证明⽅法，给学习者提供了选择的余地。
归根结底，使学习者更好运⽤泰勒公式，为此就对泰勒公式的应⽤及技巧的总结。
2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明⽅法在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很⽅便。
如果将⼀类复杂的函数⽤多项式来近似表⽰出来，其误差⼜能满⾜⼀定的要求。
那么，我们就可以表⽰出此函数。
若函数是n次多项式令 .于是对任意⼀个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出⼀个相应的多项式称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a的邻域上有什么联系呢,下⾯的定理回答了这个问题(定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项.2.1⽅法⼀证明:将上式改为，有分⼦是函数 ,分母是函数 .应⽤n-1次柯西中值定理[2]其中其中其中 (⾄此已应⽤了n-1次柯西定理)当根据右导数定义,有同法可证:于是 , 表⽰余项是佩亚诺型. 证毕.2.2⽅法⼆证明在的⼀个邻域内有⼀阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与⽆穷⼩量的关系有:( 是⽆穷⼩量),⼜则 (2—1) 从(2—1)式推出:⽐较⽆穷⼩量与== (因为⼆阶可导) ⼜由极限与⽆穷⼩量的关系有:将上边代⼊(2—1)式:设 .则在处有阶导数,且设当时仍有:+ (2—2)从(2—2)中推出⽐较与 :=则: 即将上述代⼊(2—2)得:即当时, 仍可表⽰的阶多项式与之和，故对⼀切⾃然数n均有:2.3⽅法三证:设 [3]现在只要证显然可知,并易知因为存在,所以在点a的某领域内存在n=1阶导函数 . 于是，当且时,允许接连使⽤洛⽐达法则n-1次,得到=0证毕 .3带拉格朗⽇型余项的泰勒公式的证明⽅法定理1只是给出余项的定性描述,还不能进⾏定量的估计,下⾯定理解决了定性的估计.定理2[1] 若函数在闭区间[ a , b ] 上有连续的n 阶导数,在开区间( a , b) 内存在n + 1 阶导数则对任何x ?( a , b) ,则存在 ,使得3.1⽅法四在《⾼等数学》中，泰勒公式⼀般都是⽤柯西定理证明的，然⽽拉格朗⽇定理作为泰勒公式的特殊情况，担当对泰勒公式的证明，似乎更在情理之中。
泰勒公式的几种证明及应用
泰勒公式的几种证明及应用摘要：泰勒公式是高等数学中的重要公式，它在理论上和使用上都有很重要的作用.本文将运用分析法或数学归纳法对带有佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项这三种带有不同型余项的泰勒公式进行简单易懂的证明，从而能更好地理解泰勒公式的内容及性质.在深刻理解的基础上，对泰勒公式在高等数学中有关近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题、证明等式或不等式和关于界的估计等方面的应用给予一定的介绍，然后分别给出例题.关键词：泰勒公式 佩亚诺型余项 拉格朗日型余项 积分型余项 应用Several Proofs and Applications of Taylor FormulaAbstract: Taylor formula is an important formula in higher mathematics, it plays a very important role intheoretical and methodological. In order to better understand the content and nature of Taylor formula, this article will use the method of analysis or mathematical induction to prove three different kinds of Taylor formula with remainder terms: Peano remainder term, Lagrange remainder term, and Integral remainder term. On the basis of deep understanding, then the article gives some introductions about the applications of Taylor formula in these aspects: approximate calculation and error estimation, work out limit, research problem of function’s extreme value, the proving of equality or inequality, and about boundary estimate, also supported by examples.Keywords: Taylor formula; Peano remainder term; Lagrange remainder term; Integral remainder term;application1. 引言大家都知道，多项式函数是各类函数中结构较简单、计算较方便的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.可以看到用00()()()f x f x x x '+-这个)(0x x -的一次多项式近似代替)(x f 且求其在0x 附近的函数值是很方便的，但是它的精确度往往并不能满足我们的实际需求，这就要求我们能够找到一个关于)(0x x -的n 次多项式.由此，著名数学家泰勒在1912年7月给其老师梅钦的信中提出了著名的定理——泰勒定理，用泰勒公式可以很好地解决用多项式近似代替某些较复杂函数这类复杂的问题.2.泰勒公式的证明泰勒公式有几种不同的形式，在这里我们将对三种带有不同型余项的泰勒公式给予逻辑严谨、简单易懂的证明. 2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式定理1[1] 若函数f 在点o x 存在直至n 阶导数，则有()()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-证：设()()()()()()()()200000002!!n n n f x f x T f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-（1） ()()n n R f x T x =- ()0()nn Q x x x =-现在只要证 ()()0lim0n x x nR x Q x →=由关系式（1）可知()()()()0000n n n n R x R x R x '====并易知()()()()10000,n n n n Q x Q x Q x -'==== ()()0!n n Q x n =因为()()0n f x 存在，所以在点o x 的某邻域()0U x 内f 存在1n -阶导函数.于是，当()0x U x ︒∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1-n 次，得 到 ()()()()()()()()0011lim lim lim n n n n n x x x x x x n nn R x R x R x Q x Q x Q x --→→→'===' ()()()()()()()()()110000lim12n n n x x f x f x f x x x n n x x --→---=--()()()()()()0110001lim !n n n x x f x f x f x n x x --→⎡⎤-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦0= 所以有()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-则此式得证.2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式定理2[2] 设函数f 在某个包含0x 的开区间),(b a 中有1到n +1阶的各阶导数，则(),x a b ∀∈，有()()()()()()()()()200000002!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-()()()()1101!n n f x x n ξ+++-+ （2）其中ξ是介于0x 与x 之间的某个点，当0x 固定之后，ξ只与x 有关. 证：(2)式可以改写成()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ⎡⎤'''-+-+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()1101!n n f x x n ξ++=-+ 或者()()()()(1)101!n n n R x f n x x ξ++=+-. （3） 为了证明（3）式，我们对于（3）式左端连续运用柯西中值定理（已推出()()()()0000n n n n R x R x R x '====）： ()()()()()()()()011100101n n nn n nR x R x R x R x x x x n x ξξ++'-==--+-()()()()()()()1021102011nn nnn R R x R n xn n x ξξξξ-''''-==+-+-()()()()201201nn n R R x n n x ξξ-''''-==+-()()()()0231n n n n R n n x ξξ=⋅+-()()()()()()00231n n n n n n R R x n n x ξξ-=⋅+-()()()11!n n R n ξ+=+ （4）在此推导过程中，1ξ是介于0x 与x 之间的某个点；2ξ是介于0x 与1ξ之间的某个点，，ξ是介于0x 与n ξ之间的点.因而，ξ介于0x 与x 之间. 又注意到 ()()()()11n n n R f ξξ++= ，所以（4）式就可以得到（3）式 ，进而推出（2）式. 即定理得证.在这里定理1和定理2我们都是用分析法来证明的，实际上，我们还可以用递推法或数学归纳法来进行证明，下面的定理3我们就是用数学归纳法来证明的. 2.3带有积分型余项的泰勒公式定理3[3] 设函数()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内有n +1阶连续导函数，则()()()()()()()()()200000002!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-()()()011!x nn x f t x t dt n ++-⎰ ，0[,].t x x ∈ （5） 证：从已知条件可知()1,,,n f f f +'在0[,]x x 上是连续的.那么我们有()()()00x x f x f x f t dt '-=⎰ （6） 在（6）中令(),()u f t v x t '==-- 则(),du f t dt dv dt ''==.利用分部积分公式 我们就有()()()()()0||xxx xx x x x x x f t dt uv vdu f t x t x t f t dt ''''=-=--+-⎰⎰⎰（7）结合（6）式和（7）式得到()()()()()()0000x x x t f f x f d x x t x f x t '''=---+⎰这就是1n =时的情形，符合公式（5）.我们同理可容易看出2n =时也成立. 假设1n -（此时指的是2n ≥的情形）时仍然可以得到（5）式是成立的， 即是有()()()()()()()()()()1200000002!1!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n -'''-=-+-++--()()()()0111!x n n x x t f t dt n -+--⎰ （8） 在（8）式中令()()(),!n n x t u ft v n -==- 则()()()()11,1!n n x t du f t dt dv dt n -+-==-. 利用推广分部积分公式我们就有()()()()011!n xn x x t f t dt n ---⎰()()()()()()01!!xn n nxn x x x t x t f d n t f n t t +--=-+⎰()()()()()()0100!!nxn nn x x t x f x x n dt n f t +--=+⎰（9） 将（9）式代入（8）式得到（5）式，即在n 的情形下（5）式仍然成立. 故证得此泰勒公式成立.定理3运用分部积分法的推广公式结合数学归纳法来证明的，但实际上定理3也是可以用分析法来证明的.经过三个定理的证明我们可以清楚地看到这几种带不同型余项的泰勒公式是可以相互转化的，例如：在定理3中存在),(0x x ∈ξ有由推广的积分第一中值定理得到=)(x R ()()()011!x nn x f x t dt n ξ+-⎰=10)1())(()!1(1++-+n n x x f n ξ.这就转化成了定理2中的余项形式，这就是说带有积分型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式是可以相互转化的，经过实际演算我们还可以很容易地得到其它几种型余项的泰勒公式之间的相互转化.那么也可以说只需要知道其中一种余项的泰勒公式的证明，我们就可以轻松证明出其它型余项的泰勒公式，当然这其中也包括很重要的带有柯西型余项的泰勒公式.3.泰勒公式的应用泰勒公式是解决高等数学问题的很重要的工具，但是很多同学仅仅对泰勒公式的展开式比较熟悉，而对泰勒公式的其它应用方法没有深入的了解.实际上，泰勒公式在近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题等问题的解决过程中也有很重要的应用.下面举几个例子进行阐述. 3.1近似计算及误差估计例1.=3273=，所以可以设()f x = 先求027x =处()f x 的三阶泰勒公式：因 ()2313f x x -'=，()5329f x x -''=-，()831027f x x -'''=. 所以得(27)3f = ， 31(27)3f '= ， 72(27)3f ''=- ， 1110(27)3f '''= 及 11(4)3480()3fx x -=- ，故23411371243115803(27)(27)(27)(27).3334!3[27(27)]x x x x x θ=+---+---⋅+-其中()0,1θ∈， 又30x =， 于是43114380||(3027)4!3[27(27)]R x θ=-⋅+-454111280103 1.88104!333-<⋅=≈⨯⋅⋅2591153333≈+-+30.1111110.0041150.000254≈+-+ 3.10725=计算时，分数化小数取六位小数，合起来误差不超过50.310,-⨯再加上余项误差，总误差不超过52.210.-⨯用多项式逼近函数进行近似计算是泰勒公式的重要应用，且应用高阶导数可以进一步精确地求出近似值，减小误差.本题用已知函数的泰勒公式的值（其项数可根据实际需要取），作为已知函数的近似值，用来进行近似计算，且用泰勒公式的余项来估计所产生的误差.一般如果对我们已经确定的n ，我们先令M x f n ≤+|)(|)1(，则有估计误差110)1()!1()()!1()(||+++-+≤-+=n n n n x x n Mx x n f R ξ.3.2求极限例2：求()2220112lim cos sin x x x x e x→+-- 的极限值.解： 在这里由于22~sin x x ，把其它各项分别展开成带有佩亚诺型余项的泰勒公式，则有)(8121114422x o x x x +-+=+，那么分子变为244111()28x x o x +=+， 分子式4=n ,则分母中可以将括号里展开成2=n 的情形，即有)(211cos 32x o x x +-= ， )(1222x o x e x ++= ， 则有 )(23cos 222x o x e x x +-=-，所以此求极限的式子可以简化为244220022211()1182lim lim 312(cos )sin ()2x x x x o x x x e x x o x x →→++==-⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦. 故所求极限值是121-. 对于求0型的极限问题，常可以用洛必达法则，但对于像此例这种要连求几次导数，运算非常麻烦的情形我们可以考虑用带有佩亚诺型余项的泰勒公式加以解决.由此例可以看出泰勒公式是进行无穷小量分析比较的一个非常精细的工具.有些求极限的问题并非0型的，我们仍然需要用到泰勒公式去求极限，如下例：例3：求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 2 的极限值.解：因为⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+221121111ln x o x x x ，)(∞→x ，所以得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 22211lim 12x o x x →∞⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦12=得到极限值是12.3.3研究函数的极值问题在研究函数的极值问题时我们往往也可以应用泰勒公式达到化整为零、快速解题的效果.例4：设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导数，在0x 处n 阶可导，且0)(0)(=x f k)1,,2,1(-=n k ，0)(0)(≠x fn ，证明:若n 为偶数，则0x 是)(x f 的极值点；若n 为奇数，则)(x f 在0x 处不取极值.证:由定理1我们知道f 在点0x 处的n 阶泰勒公式即为()()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-又由题目条件可以看到0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ，则上式可以简化成))(())((!1)()(000)(0n n n x x o x x x f n x f x f -+-+=，因此有n n x x o x f n x f x f )()1()(!1)()(00)(0-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=- （10）又因为0)(≠n f，故存在正数δδ'≤，当);(0δ'∈x U x 时，)(!10)(x f n n 与)1()(!10)(o x f n n +同号.所以， 若n 为偶数，则当0)(0)(<x f n 时（10）式取负号，从而对任意);(0δ'∈x U x 有)()(0x f x f <，则此时f 在0x 处取得极大值；同理0)(0)(>x fn 时f 在0x 处取得极小值. 故若n 为偶数，0x 是)(x f 的极值点.若n 为奇数，则任取),(001δ'+∈x x x ，),(002x x x δ'-∈，且0)(01>-n x x ，0)(02<-n x x 当0)(0)(<x f n 时，有)()()(201x f x f x f << ，在0x 处取不到极值；同理当0)(0)(<x f n 时也在0x 处取不到极值.故若n 为奇数，)(x f 在0x 处不取极值.题目中提到了几阶导数的问题，而我们有时感觉到无从下手，此时我们就应该想到应用泰勒公式，常常能达到意料不到的效果，事半功倍. 3.4证明等式或不等式证明等式或不等式的方法有很多种，但是在含有一阶以上的导数时一般可运用泰勒公式进行证明.3.4.1证明等式问题例5：证明：若()f x 在[,]a b 上有n 阶导数存在，且()()()()()()10n f a f b f b f b f b -'''======，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()0n f ξ=.证：由于()f x 在[,]a b 上有n 阶导数，故可在x b =处展成1-n 阶泰勒公式()()()()()()1112()()()()()().2!(1)!!n n n n f b f f b f x f b f b x b x b x b x b n n ξ--'''=+-+-++-+-- 其中1ξ在x 与b 之间. 又因为()()()()()10,n f b f b f b f b -'''=====故由上式可得()()()()11!nn f x f x b n ξ=-. 当x a =时，有()()()()()1,!nn f a f a b a b n ξξ=-<<.又()()0,0,nf a a b =-≠故知在(),a b 内必有一点,ξ使得()()0.nf ξ=3.4.2证明不等式问题例6：证明：若函数()f x 在[,]a b 上存在二阶导数，且()()0f a f b ''==，则在(),a b 内存在一点c ，使()()()()24||||f c f b f a b a ''≥--.证：将2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭分别在点a 和点b 展成泰勒公式，并注意()()0f a f b ''==，有()()211,22!22f a b b a a b f f a a ξξ''+-+⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()()222,22!22f a b b a a b f f b b ξξ''+-+⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令 ()()()12||max{||,||}f c f f ξξ''''''=.则 ()()()()||22a b a b f b f a f b f f f a ++⎛⎫⎛⎫-≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22212222f f b a b a ξξ''''--⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2211||||24b a f f ξξ-⎡⎤''''=+⎢⎥⎣⎦ ()()2||4b a fc -''≤即()()()()24||||f c f b f a b a ''≥--.由例4、例5可以看出用泰勒公式证明问题这类题目中往往涉及函数的高阶导数.应用的关键在于如何选择要展开的函数，在哪一点展开，以及展开的次数（一般比最高阶导数低一阶）等，这些都要根据题设的条件进行具体问题具体分析. 3.5关于界的估计泰勒公式在有关界的估计方面的应用也是非常巧妙的.例7：设函数f 在(,)-∞+∞上有三阶导数，如果()f x 与()f x '''有界，试证()f x '与()f x ''也有界.证： 设 ()0||,f x M ≤ ()3||,()f x M x '''≤-∞<<+∞， 其中03,M M 都是常数.将f 在任意一点x 处展开成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒公式 即有()()()()()()()()()()111,26111,26f x f x f x f x f f x f x f x f x f ξη''''''+-=++''''''--=-+-其中()(),1,1,x x x x ξη∈+∈-.以上两式加减分别得到 ()()()112f x f x f x ++--()()()1[],6f x f f ξη''''''''=+-()()()()()1112[],6f x f x f x f f ξη'''''''+--=++ 由以上两式分别得到 ()()()()()()1||112[]6f x f x f x f x f f ξη''''''''=++---- 0314,3M M ≤+ ()()()()()1|2|11[]6f x f x f x f f ξη'''''''=+---+ 03123M M ≤+， 即()f x '与()f x ''在(,)-∞+∞上也有界.4.总结从泰勒公式在微积分的重要地位可以看出对泰勒公式进行证明是非常有必要的，进一步加深了我们对泰勒公式的理解及应用.通过上述证明及应用举例，我们能够知道：①泰勒公式是应用高阶导数研究函数性态的工具，凡是已知函数()f x 的高阶导数研究函数()f x 的性态都要应用泰勒公式；②泰勒公式有两种不同类型的余项：一种是定性的，如佩亚诺型余项；一种是定量的，如拉格朗日型余项等.参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2001.134-140页.[2] 韩云端，扈志明. 微积分教程（上）[M].北京：清华大学出版社，1999.188-203页.[3] S.I.Grossmon ，周性伟.微积分及其应用[M].天津：天津科学技术出版社，1988. 51-56页.[4] 蔡光兴，李德宜.微积分（经管类）[M].北京：科学出版社，2004.127页.[5] 王元殿.带不同型余项泰勒公式的证明[J].电大理工，2000，第205期：36-38页.[6] 同济大学数学系.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社，2007.139-145页.[7] 王素芳，陶荣，张永胜.泰勒公式在计算及证明中的应用[N].洛阳工业高等专科学校学报，2003-6-第13卷第2期.[8] 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泰勒公式及其推演
泰勒公式及其推演泰勒公式是微积分中非常重要的一种数学工具，它可以将一个可微函数表示成无数个多项式的和，进而用多项式来近似表示原函数。
泰勒公式的推导过程并不难，我们可以通过几个简单的步骤来理解其数学原理和应用方法。
一、泰勒公式的定义泰勒公式是指，若函数$f(x)$在点$x=a$处有$n$阶连续导数，则在$x=a$的某邻域内，有以下公式成立：$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x)$$其中，$f^{(k)}(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的$k$阶导数，$R_n(x)$为剩余项，即$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$其中，$c$是介于$x$和$a$之间的某个数。
泰勒公式的本质是将一个函数用多项式逼近。
这种逼近方式十分简便，不仅可以用于函数求导的计算中，还可以用于数值计算、微积分定理证明等方面。
二、泰勒公式的推导过程泰勒公式的推导过程可以分为以下几个步骤：1、设函数$f(x)$在$x=a$处可微，$x$在$a$的某邻域内。
则$f(x)$在$a$处的一阶导数为：$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$可进一步展开为$$\begin{aligned}f(a+h)&=f(a)+f'(a)h+\frac{f''(a)}{2}h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{ n!}h^n+o(h^n) \\&= \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n)\end{aligned}$$其中，$o(h^n)$表示当$h\rightarrow 0$时，$o(h^n)$与$h^n$同阶或低阶。
2、将上式两边同时除以$h^n$，得到$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h^n}= \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^{k-n}+o(1)$$3、对上式两边进行积分，得到$$f(a+h)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^{k}+\int_a^{a+h}\fra c{f^{(n+1)}(t)}{n!}(h-t)^n\,\mathrm{d}t$$其中，用到了牛顿-莱布尼茨定理。
泰勒公式的几种证明及应用
泰勒公式的几种证明及应用泰勒公式是微积分中一个重要的定理，它允许我们通过多项式的Taylor级数来近似复杂函数的值。
本文将介绍泰勒公式的几种证明及应用。
1.麦克劳林级数证明：泰勒公式的一种常见证明方法是通过麦克劳林级数展开。
麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式，即当参数a=0时的泰勒级数展开。
假设函数f(x)存在无限阶的导数，将f(x)在x=a处展开为幂级数，则有：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...通过截取级数的前几项，我们就可以用一个多项式来近似原函数的值。
2.极限证明：另一种证明泰勒公式的方法是使用极限。
考虑函数f(x)在x=a处的n阶导数f^(n)(a)，则可以证明当x趋向于a时：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)其中o((x-a)^n)表示当x趋向于a时，高于(x-a)^n的项的阶数。
这个证明方法其实是利用了极限的定义，将函数值的误差与展开式中的余项进行比较。
3.应用：泰勒公式是微积分中非常重要的一个工具，它可以应用于众多的数学和物理问题中。
以下是几个泰勒公式的应用案例：-函数近似：通过泰勒公式，我们可以将复杂的非线性函数近似为多项式的形式，从而简化计算。
这在数值计算、数据分析以及物理模型的建立中非常常见。
-数值积分：泰勒公式可以用于数值积分的方法之一，即将被积函数在其中一点处展开成泰勒级数，并对多项式项进行数值积分。
这种方法可以提高计算的精度和效率。
-数值解微分方程：在数值解微分方程的过程中，泰勒公式可以用于将微分方程转化为一组代数方程，从而实现数值迭代解法。
-物理模型建立：在物理学中，泰勒公式可以用于建立物理模型，例如近似计算质点的运动轨迹、估算电路中的电流大小等。
考研数学-专题7 泰勒公式及其应用
专题7 泰勒公式及其应用(一) 泰勒公式定理1（皮亚诺型余项泰勒公式） 如果)(x f 在点0x 有直至n 阶的导数，则有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +−++−′′+−′+=L常称))(()(0nn x x o x R −=为皮亚诺型余项. 若00=x ，则得麦克劳林公式：).(!)0(!2)0()0()0()()(2n nn x o x n f x f x f f x f +++′′+′+=L定理2（拉格朗日型余项泰勒公式）设函数)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数，则当),(b a x ∈时有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +−++−′′+−′+=L其中10)1()(1)()(++−)!+(=n n n x x n f x R ξ，这里ξ介于0x 与x 之间，称为拉格朗日型余项. 几个常用的泰勒公式 (拉格朗日型余项)12)!1(!!21)1(+++++++=n x nxx n e n x x x e θL121213)!12(cos )1()!12()1(!3sin )2(+−−+−+−−++−=n nn n x n x n x x x x θL 22122)!22(cos )1()!2()1(!21cos )3(+++−+−++−=n n n n x n x n x x x θL1112)1)(1()1()1(2)1ln()4(++−++−+−++−=+n n nnn x n x n x x x x θL n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1()5(2+−−++−++=+αααααααL L11)1()!1())(1()1(+−−++−+−−+n n x x n n n αθααααL(二) 泰勒公式本质及两个泰勒公式的异同点1. 本质（相同点）1）用多项式逼近函数 2) 用已知点信息表示未知点 3) 建立函数与高阶导数的关系2. 不同点1）条件不同皮亚诺型余项： )(x f 在点0x 有直至n 阶的导数拉格朗日型余项：)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数2）余项不同皮亚诺型余项： ))(()(0nn x x o x R −=； 定性；局部.拉格朗日型余项：10)1()(1)()(++−)!+(=n n n x x n f x R ξ；定量；整体. 【注】通常称皮亚诺型余项泰勒公式为局部泰勒公式，主要用来研究函数的局部性态（如：极限，极值）；而称拉格朗日型余项泰勒公式为整体泰勒公式，主要用来研究函数的整体性态（如：最值，不等式）.(三) 泰勒公式的应用1.利用高阶导数研究函数性态【例1】若,0)()()(0)1(00===′′=′−x f x f x f n L )2(0)(0)(≥≠n x f n ，则当n 为偶数时)(x f 在0x 处有极值.其中0)(0)(>x fn 时极小，0)(0)(<x f n 时极大；当n 为奇数时)(x f 在0x 处无极值.【例2】设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且,1)(,0)0(,1)0(≤′′=′=x f f f 试证：)(x f 在]1,0[上的最大值不超过.232.计算函数近似值【例1】计算e 的近似值，使误差不超过.106−【解】 )(!!212x R n xx x e n nx+++++=L11)!1()!1()(+++<+=n xn n x n e x n e x R ξ取1=x ，得 !1!2111n e ++++≈L 其误差 )!1(3)!1(+<+=n n e R n当10=n 时，误差不超过.106−得.718282.2≈e3.求极限【例1】 ._________cos 11lim 0=−−−−+→xx xe x x ]3[−【解】【例2】设)(x f 在0=x 的某邻域内二阶可导，且0)(3sin lim 230=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→x x f xx x ,则 (A) 0)(3lim 220=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→x x f x x (B)3)0(=f(C)3)0(=′f (C)9)0(=′′f (D)【例3】(2001年1)设)(x f y =在)1,1(−内具有二阶连续导数,且0)(≠′′x f ，试证： （1）对于)1,1(−内的任一0≠x ，存在唯一的)1,0()(∈x θ，使))(()0()(x x f x f x f θ′+=成立；（2）21)(lim 0=→x x θ. 【证】（1）任给非零)1,1(−∈x ，由拉格朗日中值定理得).1)(0())(()0()(<<′+=x x x f x f x f θθ因为)(x f ′′在)1,1(−内连续,且0)(≠′′x f ，所以)(x f ′′在)1,1(−内不变号，不妨设0)(>′′x f ，则)(x f ′在)1,1(−内严格单增，故)(x θ唯一.（2）由泰勒公式得2)(21)0()0()(x f x f f x f ξ′′+′+=， ξ在0与x 之间.所以 2)(21)0()0()())((x f x f f x f x x f x ξθ′′+′=−=′，从而 ).(21)()0())(()(ξθθθf x x f x x f x ′′=′−′由于)0()()0())((limf xx f x x f x ′′=′−′→θθ，)0()(lim 0f f x ′′=′′→ξ，故 21)(lim 0=→x x θ. 4.求高阶导数【例1】(2015年2) 函数xx x f 2)(2=在0=x 处的n 阶导数.________)0()(=n f])2)(ln 1([2−−n n n【解1】 【解2】【例2】设),()()(x a x x f nϕ−=其中)(x ϕ在a x =处n 阶可导,若m 为不超过n 的正整数,则)()()(=+a fm n(A)!)()(n a m ϕ (B)!)()(m a n ϕ(C))(!)!()(a m m n m ϕ+ (D))()!(!)(a m n n n ϕ+ (C)【解1】【解2】【解3】5.证明不等式或等式【例1】设1)(lim,0)(30)4(=>→xx f x f x ，试证：)0()(3≠>x x x f .【例2】（1996年1,2）设)(x f 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件a x f ≤|)(|,b x f ≤′′|)(|,其中b a ,都是非负常数,c 是(0,1)内任一点.（1）写出)(x f 在点c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； （2）证明 .22|)(|ba c f +≤′ 【证】（1） 2)(!2)())(()()(c x f c x c f c f x f −′′+−′+=ξ （2）在以上泰勒公式中，分别令0=x 和1=x 则有21)0(!2)()0)(()()0(c f c c f c f f −′′+−′+=ξ （1） 22)1(!2)()1)(()()1(c f c c f c f f −′′+−′+=ξ （2）（2）式减（1）式得])()1)(([21)()0()1(2122c f c f c f f f ξξ′′−−′′+′=−]|)(|)1(|)([|21)1()0(|)(|2122c f c f f f c f ξξ′′+−′′++≤′])1[(2222c c b a +−+≤又因为当)1,0(∈c 时，,1)1(22≤+−c c 故.22|)(|b a c f +≤′【例3】（1999年2）设函数)(x f 在闭区间]1,1[−上具有三阶连续导数，且0)1(=−f ，1)1(=f ，0)0(=′f ，证明：在开区间)1,1(−内至少存在一点ξ，使3)(=′′′ξf .【证法1】 由麦克劳林公式得32)(!31)0(!21)0()0()(x f x f x f f x f η′′′+′′+′+=， 其中η介于0与x 之间，]1,1[−∈x . 分别令1−=x 和1=x ，并结合已知条件，得01),(61)0(21)0()1(011<<−′′′−′′+=−=ηηf f f f .10),(61)0(21)0()1(122<<′′′+′′+==ηηf f f f两式相减，可得.6)()(21=′′′+′′′ηηf f因)(x f ′′′连续，)(x f ′′′在闭区间],[21ηη上有最大值和最小值，设其分别为M 和m ，则有.)]()([2121M f f m ≤′′′+′′′≤ηη再由连续函数的介值定理知，至少存在一点)1,1(],[21−⊂∈ηηξ，使.3)]()([21)(21=′′′+′′′=′′′ηηξf f f【证法2】【例4】设)(x f 在[0,1]上二阶可导,2)(max ,0)1()0(10===≤≤x f f f x .试证存在点)1,0(∈ξ使16)(−≤′′ξf .【证法1】设2)(max )(10==≤≤x f c f x ，则10<<c ，且0)(=′c f ，由泰勒公式知2)(!2)())(()()(c x f c x c f c f x f −′′+−′+=ξ 在上式中分别令0=x ，和1=x 得214)(cf −=′′ξ ),0(1c ∈ξ 22)1(4)(c f −−=′′ξ )1,(2c ∈ξ若21≤c ，则16)21(44)(221−=−≤−=′′c f ξ若21>c ，则16)21(4)1(4)(222−=−≤−−=′′c f ξ 故存在点)1,0(∈ξ使16)(−≤′′ξf .【证法2】【例5】设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，且,0)()(==b f a f ,)(max ],[x f M b a x ′′=∈证明：.12)()(3M a b dx x f ba−≤∫【证1】由泰勒公式得21)(!2)())(()()(x a f x a x f x f a f −′′+−′+=ξ (1) 22)(!2)())(()()(x b f x b x f x f b f −′′+−′+=ξ (2)(1)式加(2)式得2221)(!2)()(!2)()2)(()(20x b f x a f x b a x f x f −′′+−′′+−+′+=ξξ 两端从a 到b 积分得 +−++=∫∫baba x df xb a dx x f )()2()(20dx x b f x a f ba])(!2)()(!2)([2221−′′+−′′∫ξξ 又∫∫∫=+−+=−+bababa badx x f dx x f x f x b a x df x b a )(2)(2)()2()()2( 则 =∫ba dx x f )(4dx x b f x a f ba ])(!2)()(!2)([2221−′′+−′′−∫ξξ dx x b M dx x a M dx x f b a b a b a ∫∫∫−+−≤22)(2)(2)(4 333)(3)(6)(6a b Ma b M a b M −=−+−=故.12)()(3M a b dx x f ba−≤∫【证2】∫bax x f d )(∫−=baa x x f )d()(∫−′−−=baba x a x x f x f a x d ))(()()(∫−−′−=bab x a x x f )d())((∫∫−′+−−′′+′−−−=bababa dxb x x f x b x a x x f x f b x a x ))((d ))()(()())(( ∫∫−+−−′′=ba bax df b x x b x a x x f )()(d ))()((∫∫−−−′′=babadx x f x b x a x x f )(d ))()((则 ∫ba x x f d )(∫−−′′=bax b x a x x f d ))()((21∫−−′′=ba xb x a x f d ))((2)(ξ （积分中值定理）∫−−′′=b a a x b x f 2)d()(4)(ξ3)(12)(a b f −′′−=ξ 故 .12)()(3M a b dx x f ba−≤∫思考题： 1.试证 ).0(1812112>+<−+x x x x2.设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内二阶可导，试证存在),(b a ∈ξ，使)(4)()()2(2)(2ξf a b a f b a f b f ′′−=++−. 3.设)(x f 三阶可导,且0)(lim,1)1(,0)1(0===−→xx f f f x ,试证存在)1,1(−∈η,使3)(≥′′′ηf .4. 若)(x f 在]1,0[上二阶可导,且0)1()0(,1)1(,0)0(=′=′==f f f f ,试证: ]1,0[∈ξ,使2)(≥′′ξf .5. 设)(x f 在0x x =的某邻域内1+n 阶可导，且,0)(0)1(≠+x fn).)((!)(!21)()()(0)(20000h h x f n h h x f h x f x f h x f n n θ+++′′+′+=+L 求极限).(lim 0h h θ→答案提示：1.【证】)(!2)121(21211)1(12221x R x x x x +−++=+=+ )(8121122x R x x +−+=其中).10(,)1(!3)221)(121(21)(33212<<+−−=−θθx x x R 由于当0>x 时，,0)(2>x R 则).0(1812112>+<−+x x x x2.【证1】2)2(!2)()2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +−′′++−+′++=ξ 在上式中分别令b x a x ==,得4)(!2)()2)(2()2()(21a b f b a b a f b a f a f −′′+−+′++=ξ4)(!2)()2)(2()2()(22a b f a b b a f b a f b f −′′+−+′++=ξ上式两端相加得8)()]()([)2(2)()(221a b f f b a f b f a f −′′+′′++=+ξξ由)(x f 二阶可导及导函数的介值性知，存在ξ使得).(2)()(21ξξξf f f ′′=′′+′′则)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ′′−++=+【证2】令)()2()(x f ab x f x −−+=ϕ 2)]()2([2)()()2(a b c f a b c f a b c a b a −′−−+′=−′=−+ϕϕϕ 4)()(2a b f −′′=ξ即 4)()()2(2)()(2a b f b a f a f b f −′′=+−+ξ 3.提示：由0)(lim=→xx f x 知，.0)0(,0)0(=′=f f 写出)(x f 在0=x 处拉格朗日余项的二阶泰勒公式，再将1,1=−=x x 代入便可证明.4. 提示：分别写出)(x f 在1,0==x x 处拉格朗日余项的二阶泰勒公式，然后两式相减便可证明.5. 提示：参见：3.求极限中的例3，.11)(lim 0+=→n h h θ。
泰勒公式及应用
泰勒公式及其应用摘要本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。
泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。
本文主要从六个方面对泰勒公式进行综合论述利用泰勒公式求极限、证明中值公式、证明不等式、估计、在方程中的应用、在近似计算的的应用。
关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项泰勒级数一、泰勒公式及其余项1：泰勒公式对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构造一个n 次多项式，n n x x n x f x x x f x x x f x f x Tn )0(!)0()0(!2)0('')0(!1)0(')0()0()(2-++-+-+= 称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式,)(x Tn 的各项系数),,2,1(!)0()(n k k x f k =称为泰勒系数。
2：泰勒余项定理1：若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有))0(()()(nx x n T x f -+= ；即))0(()0(!)0()0(!2)0('')0)(0(')0()()(2n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-+-+= 其中)()()(x Tn x f x Rn -=称为泰勒公式的余项。
形如))0((nx x - 的余项称为佩亚诺型余项。
特殊的当0=x 时;)(!)0(!2)0('')0(')0()()(2n nn x x n f x f x f f x f +++++= 称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式。
定理2：（泰勒定理） 若函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的],[0,b a x x ∈，至少存在一点∈ξ(a,b)使得+-++-+-+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )0(!)0()0(!2)0('')0)(0(')0()()(21)1()0()!1()(++-+n n x x n f ξ其中=-=)()()(x Tn x f x Rn 1)1()0()!1()(++-+n n x x n f ξ, )10(),0(0<<-+=θθξx x x ,称为拉格朗日型余项。
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泰勒公式的证明及其应用数学与应用数学专业胡心愿[摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。
本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述.[关键词]泰勒公式；不等式；应用；Proof of Taylor's Formula and Its ApplicationMathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application.Key words:Taylor's Formula;inequality;application目录1 泰勒公式 (1)1.1 泰勒定理的证明过程 (1)2 余项估计 (2)2.1 泰勒中值定理 (2)2.2 拉格朗日余项 (3)2.3 柯西余项 (6)2.4 积分余项 (7)3 泰勒公式的应用 (9)3.1 利用泰勒公式证明不等式 (9)3.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用 (9)3.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用 (10)3.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限 (11)3.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点 (12)3.4 判断级数的敛散性 (14)3.5 利用泰勒公式求行列式的值 (15)4 多元函数的泰勒公式 (16)4.1 二元函数泰勒公式的证明 (17)4.2 二元函数泰勒公式的应用 (18)结束语 (19)参考文献 (19)致谢 (20)泰勒公式是数学分析的一个重要内容，它将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，分析比较它的各种证明方法和归纳其各种应用是本文的主要内容.关于泰勒公式的证明主要是讨论泰勒余项.1 泰勒定理若函数()x f 在0x 处存在n 阶导数，则()0x U x ∈∀，有()()()[]nn x x x T x f 0-+=ο ()1其中()()()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T 00200000!!2-++-''+-'+= ， ()()[]nn x x x R 0-=ο()0x x →，即()x R n 是比()nx x 0-的高阶无穷小.()1式称为()x f 在0x（展开）的泰勒公式.1.1 泰勒定理的证明过程由高阶无穷小的定义知，若要证明()[]nn x x x R 0-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ο，只需要证明 ()()()()()0limlim000=-T -=-→→nn x x nn x x x x x x f x x x R因为这是0的待定型，可以应用1-n 次的洛必达法则来证明.()()()=T -=x x f x R n n()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-''+-'+-n n x x n x f x x x f x x x f x f x f 00200000!!2!1 ()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-''+'-'='-100000!1!1n n nx x n x f x x x f x f x f x R ()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-'''+''-''=''-⎪⎭⎫ ⎝⎛200000!2!1n n n x x n x f x x x f x f x f x R ()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=---⎪⎭⎫⎝⎛-0010111!1x x x f x f x f x R n n n n n因为当0x x →时，()x R n ，⎪⎭⎫ ⎝⎛'x R n ， ，()()x R n n 1-以及()k x x 0-（+N ∈k ）都是无穷小,所以由洛必达法则，有()()()()=--''=-'=--⎪⎭⎫ ⎝⎛→-⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎭⎫ ⎝⎛→201001limlimlimn nx x n nx x nx x x x n n x R x x n x R x x x R n ()()()01!lim 0x x n x Rn nx x -=-→， 将()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=---⎪⎭⎫⎝⎛-0010111!1x x x f x f x f x R n n n n n 带入上式得()()()()()()()()()()()()[]0!1!1lim lim000011000=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=---→→x f x f n x f x x x f x f n x x x R n n n n n x x nn x x ， 因此，可以得到()[]nn x x x R 0-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ο . 2 余项估计泰勒定理中给出的余项()[]nn x x x R 0-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ο称为佩亚诺余项.佩亚诺余项()[]nx x 0-ο只是给出来余项的定性描述，它不能估算余项⎪⎭⎫ ⎝⎛x R n 的数值.还需要进一步的进行定量描述.2.1 泰勒中值定理泰勒中值定理[1]若函数()x f 在()0x U 内存在1+n 阶导数，()0x U x∈∀，函数()t G 在以x 与0x 为端点的闭区间I 连续，在其开区间可导，且()0≠'t G ，则x 与0x 之间至少存在一点ξ，使()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f ()()()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x x n x f n n nn --'+-++0100!! 其中()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x R n n n --'=+01!. 证明 ()x f 的泰勒多项式()()()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x x x f x f x 00200000!!2-++-''+-'+=T . 我们记()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f t F -++-''+-'+=!!22,则 ()()()()()()()()() +-'''+-''--''+'-'='2!2t x t f t x t f t x t f t f t f t F()()()()()()()()()()n n nn n n t x n t f t x n t f t x n t f -=-+---++-!!!1111. 可以看出函数()t F 与()t G 在闭区间I 连续，在其开区间可导，()0≠'t G ， 且可以看出()()x f x F =.应用柯西中值定理有：x 与0x 之间至少存在一点ξ，使 ()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x x n x fn n nn --'+-++0100!!, 其中()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x R n n n --'=+01!. 2.2 拉格朗日余项若函数f 在()0x U 内为存在1+n 阶的连续导数，则()0x U x∈∀有()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00200000!!2 ()2()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ 称为拉格朗日余项，其中ξ在x 与0x 之间，称()2式为()x f 在0x 的带拉格朗日余项的泰勒公式. 当00=x 时，()2式变成()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002 ,()()()()11!1+++=n n n x n f x R ξ,其中ξ在0与x 之间，称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.拉格朗日余项有四种常见的证明方法. (1)利用泰勒中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法. 因为()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x x n x f n n nn --'+-++0100!! 其中()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x R n n n --'=+01!. 函数()t G 在以x 与0x 为端点的闭区间I 连续，在其开区间可导，且()0≠'t G .取()()1+-=n t x t G ，满足定理要求，有()()()01≠-+-='nt x n t G ，()()()100,0+-==n x x x G x G ,将它们代入()x R n 之中，有()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ在x 与0x 之间. （2）利用柯西中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法. 首先记()()()()()∑=-+=nk kk t x k t f t f t F 1!，且()()()()n n t x n t f t F -='+!1. 建立辅助函数()10+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=n x x t x t λ且()()1,00==x x λλ，可得()()()()101+--+-='n nx x t x n t λ. 在区间[]0,x x （不妨设0x x <）运用柯西中值定理得()()()()()()()()()x F x F x x x F x F F x x -=--=''∈∃0000,,λλξλξξ. 将()()ξλξ'',F 代入上式可得()()()()()()()()()x f x F x x x n x n f n nn n ---+-=-++01011!ξξξ, 其中()0x F 即为()x f 在0x 处的n 次泰勒多项式，记为()x T n .故得()()()()()()101!1++-++=n n n x x n f x T x f ξ. (3)利用罗尔定理证明根据罗尔定理我们有如下的证明方法. 对于给定的x ，0x ，不妨设0x x <，并设()()()()()()()()()()H x x x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n 1000200000!!2+-+-++-''+-'+= 并做辅助函数()()()()()() +-''+-'+=2!2u x u f u x u f u f u F ()()()()H u x u x n u f n n n 1!+-+-+. 因为()x f 在()0x U 内具有直到1+n 阶连续导数，故()u F 在[]x x ,0上连续可导，且()()()x f x F x F ==0.由罗尔定理得()x x ,0∈∃ξ，使()0='ξF ，即()()()()()01!1=-+--+H x n f n x nn nξξξ，由此解得()()()()x x n f H n ,,!101∈+=+ξξ，亦即 ()()()()()()x x x x n fx R n n n ,,!10101∈-+=++ξξ.(4)利用积分余项推导根据已知的积分余项我们可以有如下的证明方法.我们已知积分型余项()()()()⎰-=+x x nn n t t x t f n x R 0d !11.由于()()t f n 1+连续，()nt x -在[]x x ,0（或[]0,x x ）上同号,由积分中值定理得()()()()()()()()1011!11!10+++-+=-=⎰n n x x n n n x x f n dt t x fn x R ξξ. 比较分析证明拉格朗日余项的四种方法，可以看出都是利用中值定理（泰勒中值定理、柯西中值定理、罗尔定理、积分中值定理）来进行证明的.前三种的关键都是找到合适的辅助函数，而第四种方法是应用已知道积分余项来推导，主要是依据了推广的积分中值定理.2.3 柯西余项若函数()x f 在()0x U 内存在1+n 阶的连续导数，则()0x U x∈∀有()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00200000!!2 ()3()()()()()01!x x x n f x R n n n --=+ξξ，其中ξ在x 与0x 之间，称()3式为()x f 在0x 带柯西余项的泰勒公式.当00=x 时，()3式变成()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002 ，()()()()111!++-=n n n n x n x f x R θθ，其中10<<θ，称此式为带柯西余项的麦克劳林公式. 柯西余项有两种常见的证明方法. (1) 利用泰勒中值定理证明根据泰勒中值定理我们有如下的证明方法.做辅助函数()t x t G -=，它满足泰勒中值定理的要求，有()()()00,0,01x x x G x G t G -==≠-='将他们代入()x R n ，有()()()()()01!x x x n f x R n n n --=+ξξ，ξ在x 与0x 之间. （2） 利用柯西中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法. 记()()()()()∑=-+=nk kk t x k t f t f t F 1!，且()()()()n n t x n t f t F -='+!1. 做辅助函数()0x x tx t --=λ，且()()()001,0,1x x t x x --='==λλλ,()()t F t ,λ在区间[]0,x x （不妨设0x x <）运用柯西中值定理()()()()()()()()()x F x F x x x F x F F x x -=--=''∈∃0000,,λλξλξξ.把()()ξλξ'',F 代入上式可得()()()()()()x f x F x x x n f n n ---=-+0011!ξξ 其中()0x F 为()x f 在0x 处的n 次泰勒多项式，记为()x T n .故有()()()()()()01!x x x n f x T x f n n n --+=+ξξ 比较分析柯西余项的两种证明方法，容易得知证明方法大致与拉格朗日余项的前两种证明方法类似，依据的是柯西中值定理和泰勒中值定理，关键依然是找到合适的辅助函数.2.4 积分余项若函数()x f 在()0x U 内存在1+n 阶的连续导数，则()0x U x∈∀有()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00200000!!2 ()4()()()()⎰-=+x x nn n t t x t f n x R 0d !11称()4式为()x f 在0x 带积分余项的泰勒公式. 积分型余项有两种常见的证明方法.(1)利用莱布尼茨公式证明根据莱布尼茨公式我们有如下的证明方法.我们有 ()()()()()⎰⎰'-'-='=-x x x x t t x t f t t f x f x f 0d d 0()()()()()()()()()⎰⎰'-''--'=-''+-'-=x x xx xx tt x t f x x x f tt x t f t x t f 0d 21d 200()()()()()()()()()()()()()⎰⎰'-'''⋅--''+-'=-'''+-''--'=x x x x x x t t x t f x x x f x x x f tt x t f t x t f x x x f 00d 32121d 21213200002200()()()()++-''+-'==2000021x x x f x x x f()()()x R x x f n n nn +-⋅0321 ，由上式可得到()()()()⎰-=+x x nn n t t x t f n x R 0d !11（2）利用分部积分法证明根据分部积分法我们有如下的证明方法.因为()x f 在()0x U 内具有直到1+n 阶连续导数 ，令()()()()[]x x t t f t v t x t u n,,,0∈=-=（或[]0,x x t ∈）.由分部积分法有()()()()()()()()()()()()[]xxn nn nn xx t v t ut vt u t v t u t t vt u 01d 11-++'-=-+⎰()()()()t t v t u xx n n d 1011⎰++-+，所以()()()()()()()()()[()]()⎰⎰⋅+++-+-=---+xx x xn n n n xxn n tt f t f n t f t x n t f t x t t f t x 0d 0!d 111()()()()()()()()x R n x x n x f x x x f x f n x f n n n n !!!1!!00000=⎥⎦⎤-++⎢⎣⎡-'+-=()()()()⎰-=+x x nn n t t x t f n x R 0d !11.证明积分型余项的两种方法一种是运用牛顿-莱布尼茨公式，一种是利用推广的分部积分的方法，都是浅显易懂的.3 泰勒公式的应用泰勒公式在近似计算中有着独特的优势，故而有着较为广泛的应用. 在应用中常见的泰勒展式如下，()12!1!!21+++++++=n x n xx n e n x x x e θ ()10<<θ,()()()221253!121!5!3sin ++++-+-+-=n n nx n x x x x x ο ,()()()113211321ln ++++-+-+-=+n n n x n xx x x x ο ,()n n x x x x xο+++++=- 2111. 3.1 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式的关键在于确定在哪一点0x 将函数展开将函数展到第几项为止.3.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用例1 设()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0>''x f ，证明()()()()2d b f a f a b x x f ba+-<⎰.分析因为不等式右边出现了()a f 与()b f ，可以联想到在a x =0，b x =0分别展开由已知条件的()0>''x f ，可以猜想到展开到第二项即可，带拉格朗日余项. 证明 对[]b a x ,0∈∀，()x f 在0x 处的泰勒公式为 ()()()()()()20002x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ 其中ξ在0x 与x 之间. 因为()0>''ξf ,所以()()()()x x x f x f x f -+>00,将a x =0,b x =0分别带入得()()()()x a x f x f a f -'+>,()()()()x b x f x f b f -'+>.将两式相加可得,()()()()()()x f x x f b a x f b f a f '-'++>+22. 再对上式两天同时在[]b a ,求定积分得,()()()[]()()()()x x xf x x f b a x x f b f a f a b bababad 2d d 2⎰⎰⎰-'++>+-.故有,()()()()2d b f a f a b x x f ba+-<⎰.3.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用例 2 设函数()x f 在[]b a ,上二阶可导，且()()0='='b f a f ，试证存在一点[]b a ,∈ξ，使得()()()()a f b f a b f --≥''24ξ.分析由题意()()0='='b f a f ，可见0x 应取a ，b ()x f 在[]b a ,二阶可导，可知至多展到第三项.证明 在a x =0，b x =0处应用泰勒公式得()()()()()()()()()()()()()()b x b x f b x b f b f x f x a a x f a x a f a f x f ,2,2222121∈-''+-'+=∈-''+-'+=ξξξξ若取2ba x +=，且因为()()0='='b f a f ，上式变为 ()()⎪⎭⎫⎝⎛+∈⎪⎭⎫⎝⎛-''-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2,222121b a a b a f b a f a f ξξ， ()()⎪⎭⎫⎝⎛+∈⎪⎭⎫⎝⎛-''-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b b a b a f b a f b f ,2222222ξξ, 从而()()()()()()()()()88212212b a f f b a f f a f b f -''+''≤-''-''=-ξξξξ.取()()(){}()()()ξξξξξξf f f f f f 2,max 2121≤+∴=,且()()b a ,,21⊂∈ξξξ.故有()()()()a f b f a b f --≥''24ξ. 3.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限在求函数值与函数极限的过程中，可以利用泰勒展开式来替换，以简化计算.在求高阶导数时可以利用泰勒公式直接求得.例3 求极限422cos limx ex x x -→-.分析 利用麦克劳林展开式，由所求的式子分母的4x 可见，泰勒展开式应该展到第5项，且带佩亚诺余项，若用洛比达法则求解，要使用四次.解 根据麦克劳林展开式有()4422421cos x xx x ο++-= , ()44222821x x x x eο++-=-.故原式=()12112lim 4440-=+-→x x x x ο.例4 求x exd 21⎰-的近似值，精确到510-.分析 所求的2x e -的在[]1,0定积分是不能直接求出的，可以利用2x e -的麦克劳林展式，得出其近似估计.解 由泰勒公式有 () +-+++-=-!1!212422n xx x e n n x .故逐项积分得() +-+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰-x n xx x x x x x e nn x d !1d !2d d 1d 10210410210102() ++⋅-+-⋅+-=121!1151!21311n n n +-+-+-+-=75600193601132012161421101311.从上式可以看出，等式的右端是一个收敛的交错级数.由其余项n R 的估计式知000015.0756001<≤n R , 已经满足精确到510-. 故有746836.093601132012161421101311d 102≈+-+-+-≈⎰-x e x .例5 求函数()x e x x f 2=在1=x 处的高阶导数()()1100f . 分析 直接求()()x f 100不太现实，这里可以利用泰勒公式.泰勒公式通项中的()nx x 0-的系数正是()()0!1x f n n ，可以直接求得()()0x f n ，不必依次求导. 解 设1+=u x ，则()()()u u e e u e u x f ⋅+=+=+21211，记()()u e e u u g ⋅+=21,故有()()()()01n n g f =.因为ue 在0=u 的泰勒公式为()1001009998!100!99!981u u u u u e uο++++++=，从而 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=10010099982!100!99!98112u u u u u u u e u g ο . 因为()u g 泰勒展开式中含100u的项应该为()()100100!1000u g ，与上式相比较()()100100100!1000!1001!992!981u g u e =⎪⎭⎫ ⎝⎛++. 故有()()()()e g f 1010101100100==.3.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点泰勒公式也可以用来研究函数的凹凸性及拐点.先给出相关的定理及其证明. 定理1 设()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,上具有一阶和二阶导数．若在()b a ,内，()0>''x f ，则()x f 在[]b a ,上的图形是凸的．证明 设d c <为[]b a ,内任意两点，且[]d c ,足够小。