1平面点集与多元函数

第十六章 多元函数的极限与连续
§ 1 平面点集与多元函数
(一) 教学目的：
了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，了解2R 的完备性，掌握二元及多元函数的定义．
(二) 教学内容：
平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义；2R 的完备性；二元及多元函数的定义．
(1) 基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及2R 的完
备性，掌握二元及多元函数的定义．
(2) 较高要求：掌握2
R 的完备性定理．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生清楚地了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关2R 的概念，
可布置适量习题．
(2) 有关2R 的完备性定理的证明可对较好学生提出要求．
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平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件P}.
余集E R E c \2
=.
1. 常见平面点集:
全平面: },|),({2+∞<<∞-+∞<<∞-=y x y x R
半平面 }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,
}|),{(b ax y y x +≥等.
矩形域: ],[],[d c b a ⨯, }1||||),{(≤+y x y x }.
圆域: }|),({222r y x y x C <+=和}sin 2|),{(θθa r r ≤.
邻域: 圆邻域和方邻域
圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.
空心邻域
}||||0|),{(2020δ<-+-<y y x x y x
}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.
一. 点集拓扑的基本概念:
内点：若存在点P 的某邻域)(P U 使得E P U ⊂)(，则称P 是集合E 的内点。

外点：：若存在点P 的某邻域)(P U ，使得Φ=E P U )(，则称P 是集合E 的外点。

界点：若P 的任何邻域内既有属于E 的点，又有不属于E 的点，则称点P 是
E 的界点
集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定.
边界表示为E ∂.
例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界.
例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数. 确定集E 的内点、外点和界点集 .
定义（聚点）若P 的任何空心邻域内都含有E 中的的点，则称点P 是E 的聚点。

定义（孤立点）: 若存在0>δ，使得Φ=E A U ),(0δ，则称点A 是E 的孤立点。

孤立点必为界点.
例3 |),( {y x E =} 1sin x
y =. 确定集E
解 E 的聚点集]
1 , 1 [-⋃=E .
开集：若E 的每一个点都是E 的内点，即 E int E =时，称E 为开集。

闭集:若E 的聚点集E ⊂，称E 为闭集。

比如例1是开集，矩形域 ],[],[d c b a ⨯ 和 |),{(x y x
存在非开非闭集，比如圆环 } 2)2()1(1|),( {2
2<++-≤=y x y x E ；此外环约定2R 和空集φ为既开又闭的点集.
开区域：若非空开集E 具有连通性，即E 中任何两点都可以用一条完全含于E 的有限折线链接起来，则称E 为开区域。

闭区域：开域连同其边界所构成的点集称为闭域。

区域：开域、闭域，或者开域连同其部分边界所构成的点集，统称区域。

例如 }
1)2()
1(0|),( {2
2<++-<=y x y x E 是开域；],[],[d c b a ⨯是闭域；2R 既是开域又是闭域。

} 0|),( {>=xy y x E （即Ⅰ，Ⅲ 象限）
虽然是开集，但不具有连通性，所以不是开域，也不是区域。

有界集: 对于平面点集E ，若存在某一正数 0>r ，使得 );(r O U E ⊂
则称E 是有界点集，否则称为无界点集。

例如
均为无界集。

x
两点的距离：=
) , (21P P ρ221221)()(y y x x -+- 点集的直径),(sup )(21,21P P E d E P P ρ∈=
三角不等式： ) , () , () , (2121P P P P P P ρρρ+≤
二 2R 中的完备性定理:
定理16.1 （Cauchy 准则）平面点列}{n P 收敛的充要条件是：对任意0>ε，存在N n N >, 时，对一切正整数p,都有
ερ<+),(p n n P P
先证{) , (n n y x }为Cauchy 列⇔} {n x 和} {n y 均为Cauchy 列.
定理16.2 (闭域套定理) 设}{n D 是2R 中的闭域列，满足：
i) ,2,1,
1=⊃+n D D n n ; ii) 0)(lim =∞→n n D d
则存在唯一点 ,2,1,
0=∈n D P n
定理16.3（聚点原理）设 2R E ⊂ 为有界无限点集，则E 在2
R 中至少有一个聚点。

推论： 有界无限点列 2}{R P n ⊂，必存在收敛子；子列}{nk P 。

定理16.4（有限复盖定理）设 2
R E ⊂ 为有界闭域，}{α∆为开域族，它们覆盖E （即α∆⊂ E ），则在}{α∆中必存在有限个开域 n ∆∆∆,,,21 ，它们同样覆盖E （即
i n
i E ∆⊂=1 ）。

三 二元函数:
1.二元函数的定义、记法、图象：
例 马鞍面 xy z =
球面 22y x z +±=
定义域：
例4 求定义域：
i) ),(y x f 1
9222
2-+--=y x y x ; ii) ),(y x f )1ln(ln 2+-=x y y
.
例5 求二元函数
的定义域
解 2
22)
3arcsin(),(y x y x y x f ---=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--013222y x y x
⇒
y
函数的定义域为
二元函数求值: 例6 ),(y x f 232y x -=, 求 ) , 1 ( , ) 1 , 1 (x y f f -. 例7 ),(y x f )1ln(22y x ++=, 求)sin , cos (θρθρf . ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≤22242y
x y x }.
,42|),{(222y x y x y x D >≤+≤=。