函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳、基础知1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f (x)?，那么函数f(x) 是偶函都有f(－x)＝－f(x)?，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y 轴对称关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：f －x(1) f(－x)＝f(x)? f(－x)－f(x)＝0? f x＝1?f(x)为偶函数；fx2．函数的周期性(1) 周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有T)＝f (x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使 f (x＋T) ＝f(x)为恒等式，即自变量x 每增加一个T后，就会重复出现一次．(2) 最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．二、常用结论(2)f(－x)＝－f(x)? f(－x)＋f(x)＝0? ＝－1? f(x)为奇函数．f(x＋函数值f(x)fx1．函数奇偶性常用结论(1) 如果函数 f(x)是奇函数且在 x ＝0 处有定义，则一定有 f(0) ＝0；如果函数 f(x)是偶函 数，那么 f(x)＝ f(|x|)．(2) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性．(3) 在公共定义域内有： 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶， 奇×奇＝偶， 偶×偶＝偶， 奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对 f(x) 定义域内任一自变量 x ：(1) 若 f(x ＋a)＝－ f(x)，则 T ＝2a(a>0)．1(2) 若 f(x ＋ a)＝ ，则 T ＝ 2a(a>0)． fx1 (3)若 f(x ＋a)＝－ f x ，则 T ＝2a(a>0)．fx3．函数图象的对称性(1) 若函数 y ＝ f(x ＋ a)是偶函数，即 f(a －x)＝f(a ＋x)，则函数 y ＝f( x)的图象关于直线 x ＝ a 对称．(2) 若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a －x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a ＋x)，则 y ＝f(x)的图象关于直 线 x ＝ a 对称．(3) 若函数 y ＝f(x ＋b)是奇函数，即 f(－x ＋b)＋f(x ＋b)＝0，则函数 y ＝f(x)关于点 (b,0)中 心对称．考点一 函数奇偶性的判断［典例 ］ 判断下列函数的奇偶性： 36－x 2(1) f(x)＝|x ＋3－|－3；(2) f(x)＝ 1－x 2＋ x 2－ 1； log 2 1－ x 2 (3)f(x)＝ |x －22－|－2 ；义域为 (－6,0)∪ (0,6］，定义域不关于原点对称，故 f(x)为非奇非偶函数．(4)f(x)＝x 2＋x ，x<0，x 2－x ，x>0.［解］ (1) 由 f(x)＝36－x 2≥0，|x ＋ 3|－－ 6 ≤ x ≤ 6，故函数 f( x)的定x ≠0且x ≠－6，|x ＋3|－31－x 2≥ 0，(2) 由 ? x 2＝1? x ＝±1，故函数 f(x)的定义域为 { － 1,1} ，关于原点对称， 且x 2－1≥0f(x)＝0，所以 f(－x)＝f(x)＝－ f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．1－ x 2>0 ， (3)由 ? －1<x<0 或 0<x<1，|x － 2|－ 2≠0定义域关于原点对称．2 2 2 log 2 1－ x log 2 1－x log 2 1－ x此时 f(x)＝ 2＝ 2＝－ 2x ， |x －2|－2 2－ x －2 x22log 2[1 － － x ] log 2 1－ x＝－ f(x) ，－x所以函数 f(x)为奇函数．(4) 法一：图象法故 f(－x)＝x 2－x ＝f(x)，故原函数是偶函数．法三： f(x)还可以写成 f(x)＝ x 2－ |x|(x ≠0)，故 f(x)为偶函数．[题组训练 ]1． (2018 福·建期末 )下列函数为偶函数的是 ( )πA ． y ＝ tan x ＋4 B ．y ＝x 2＋e |x|C ．y ＝xcos xD ． y ＝ ln|x|－ sin x解析：选 B 对于选项 πA ，易知 y ＝tan x ＋ 4 为非奇非偶函数；对于选项B ，设 f(x) ＝＋e |x|，则 f(－x)＝(－x)2＋e |－x|＝ x 2＋ e |x|＝ f (x)，所以 y ＝ x 2＋ e |x|为偶函数；对于选项 C ，设 f(x)＝xcos x ，则 f(－x)＝－ xcos(－x)＝－xcos x ＝－ f (x)，所以 y ＝ xcos x 为奇函数； 对于故有 f(－ x)＝－ 画出函数 f(x)＝x 2＋x ， x<0，故 f(x)为偶函数．法二：定义法x 2－x ， x>0的图象如图所示， 图象关于 y 轴对称，易知函数 f(x)的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋ ∞ )，关于原点对称，当 x>0 时， f(x)＝ x 2－ x ， 则当 x<0 时，－ x>0，故 f(－x)＝x 2＋x ＝ f(x)； 当x<0 时， f(x) ＝ x 2＋ x ，则当 x>0 时，－ x<0，选项D，设 f(x)＝ln|x|－sin x ，则 f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2 ≠ f(2)，所以 y＝ln|x|－sin x 为非奇非偶函数，故选 B.e x － e－xf(x)＝ 2 ，则下列结论错误的是A ．|f(x)|是偶函数B ．－ f(x)是奇函数C ．f(x)|f(x)|是奇函数D ．f(|x|)f(x)是偶函数∴f(x)是奇函数． ∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴ f(|x|)f(x)是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用［典例］ (1)(2019 福·建三明模拟 )函数 y ＝f(x)是 R 上的奇函数，当 x<0时， f(x)＝2x，则 当 x>0 时， f(x)＝ ( )A ．－ 2xB ．2－xC ．－ 2－xD ．2x(2)(2018 贵·阳摸底考试 )已知函数 f(x)＝a －e x ＋21(a ∈ R)是奇函数，则函数 f(x)的值域为()A ．(－1,1)B ． (－ 2,2)C ．(－3,3)D ． (－ 4,4)［解析］ (1)当 x>0 时，－ x<0，∵x<0时，f(x)＝2x ，∴当x>0 时，f(－x)＝2－x .∵f(x)是 R上的奇函数，∴当 x>0 时， f (x)＝－ f(－ x)＝－ 2－x2．设函数 解析： 选 D ∵f(x)＝e x－e－x则 f(－ x)＝e －x －e x＝－ f(x)．(2)法一： 由 f(x)是奇函数知 f(－x)＝－ f(x)，所以 a －2e－x＋1＝－ a ＋2e x ＋1，2得 2a ＝e x ＋ 12 1 e x 2 1 ＋－x，所以a＝x＋x＝1，所以f(x)＝1－x .因为 e ＋1>1，所以0< x<1，e－x＋1 e x＋1 e x＋1 e x＋ 1 e x＋1－1<1 －x2 <1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．e＋1法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所2 1 2以f(x)＝1－x .因为e x＋1>1，所以0< x <1，－1<1－x <1，所以函数f(x)的值域为e x＋1e x＋ 1 e x＋1(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3) 求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x) ±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组) ，进而得出参数的值．(4) 画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019 ·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝()A．2B．4C．－2 D ．－4解析：选C根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－ 2.2．已知函数f(x)为奇函数，当x>0 时，f(x)＝x2－x，则当x<0 时，函数 f (x)的最大值为解析：法一：当x<0 时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)1 1 1＝－f(－x)＝－x2－x＝－x＋22＋4，所以当x<0 时，函数f(x)的最大值为4.1 1 1法二：当x>0 时，f(x) ＝x2－x＝x－22－4，最小值为－4，因为函数f(x)为奇函数，所1以当x<0 时，函数f(x) 的最大值为4.答案：143．(2018 合·肥八中模拟)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝__ .解析：∵f(x)＝xln( x＋a＋x2)为偶函数，∴f (－x)＝f(x)，即－xln( a＋x2－x) ＝xln( x＋a＋x2)，从而ln［( a＋x2) 2－x2］＝0，即ln a＝0，故a＝ 1.答案：1考点三函数的周期性［典例］ (1)(2018 开·封期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2］时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝( )1A ． 5 B.2C．2 D ．－2(2)(2018 江·苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2］上，f(x) ＝πxcos2，0<x≤2，2则f(f(15)) 的值为_____________________ ．1x＋2，－2<x≤0，［解析］ (1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为 4 的周期函数，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－ 2.(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，11所以f(15)＝f(－1)＝－1＋2＝2，所以f(f(15))＝ f 21＝cos4π＝22.［答案］ (1)D (2) 22[ 题组训练 ]1 1．(2019 山·西八校联考 )已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x ＋2)＝－f x ，当2≤x ≤3 fx11时， f(x)＝x ，则 f － 2 ＝ _____ .1解析： ∵f(x ＋2)＝－ f x ，∴f(x ＋4)＝f(x)， fx55 － 1152 ＝ 2，∴f －2 ＝ 2.答案 ：522．(2019 哈·尔滨六中期中 )设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3的函数，当 x ∈[－2,1)时，f(x)4x 2－ 2，－ 2≤x ≤0，21 则f f 241 ＝ __________ .解析：21 3 3 3 1 1 1由题意可得 f 241 ＝f 6－34 ＝f －34 ＝ 4×－34 2－2＝1，f 1 ＝1. 答案： 14[课时跟踪检测 ]A 级1．下列函数为奇函数的是 ()31－ xA ． f(x)＝ x 3＋ 1B ．f(x)＝ln1＋xC ．f(x)＝e xD ． f(x)＝ xsin x解析： 选 B 对于 A ，f(－x)＝－x 3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于 B ，f(－ x)＝1 ＋ x 1－ x ln ＝－ ln ＝－ f(x)，所以其是奇函数；对于 C ，f(－ x)＝ e －x ≠ －f(x)，所以其不是奇函 1－ x1＋ x数；对于 D ，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x ＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.9x＋12． (2019 ·南昌联考 )函数 f(x)＝ 3x 的图象 ( )112f 25 ，又 2≤x ≤3 时，f(x)＝x ，1 4A ．403B ．405111又当 0≤ x ≤1 时， f(x)＝x 2－x ，所以 f 2 ＝ 2 2－ 2＝6．(2019 ·益阳、 湘潭调研 )定义在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x ＋ 5)＝f(x)，当 x ∈(－3,0］时， f(x)＝－x －1，当 x ∈(0,2］时，f(x)＝log 2x ，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋⋯＋f(2 019)的值等于 ()A ．关于 x 轴对称 C ．关于坐标原点对称 B ．关于 y 轴对称 D ．关于直线 y ＝ x 对称解析： 选 B 因为 f(x)＝93＋x 1＝ 3x ＋ 3－x ，易知 f(x)为偶函数，所以函数 f(x)的图象关于y 轴对称．log 2 x ＋1 ，x ≥ 0，3．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)＝则 f(－ 7)＝( )gx ，x <0，A ．3B ．－ 3C ．2D ．－ 2解析： 选 B 因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，log 2 x ＋ 1 ，x ≥0， 且 f(x) ＝g x ， x <0，所以 f(－7)＝－ f(7)＝－log 2(7＋1)＝－ 3.4．若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝e x ，则 g(x)＝( )－1－A ．e x － e －xB.21(e x ＋e －x )1 － 1－C.21(e －x －e x )D.21(e x － e －x )解析： 选 D 因为 f(x)＋ g(x)＝e x ，所以 f(－ x)＋ g(－x)＝f(x)－ g(x)＝e －x ，1所以 g(x)＝2(e x － e －x )．5．设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当 50≤x ≤1 时， f(x)＝x 2－x ，则 f －2 ＝ ()A ．B ．C.14D.2解析： 选 C 因为 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，所以52＝1 2.15 14，则 f－2 14.解析：选 B 定义在R 上的函数f(x) ，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为 5.又当x ∈(0,2］时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0］时，f(x) ＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－ 1.故f(1) ＋f(2)＋ f (3)＋⋯＋f(2 019)＝403×［f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)］＋f(2 016) ＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2) ＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.17．已知函数f(x)是偶函数，当x> 0时，f(x)＝ln x，则 f f e2 的值为_____ ．11解析：由已知可得 f e2 ＝ln e12＝－2，1所以 f f e2 ＝f(－2)．又因为f(x)是偶函数，1所以 f f e2 ＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.答案：ln 218．(2019 惠·州调研)已知函数f(x)＝x＋x－1，f(a)＝2，则f(－a)＝__ .x1解析：法一：因为f(x)＋1＝x＋x1，x设g(x)＝f(x)＋1＝x＋x1，1易判断g(x)＝x＋x为奇函数，11故g(x)＋g(－x)＝x＋x－x－x＝0，即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－ 2.所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－ 4.1法二：由已知得f(a)＝a＋1－1＝2，a1 1 1即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－a＋－1＝－3－1＝－ 4.a a a答案：－49．(2019 ·陕西一测)若函数f(x)＝ax＋b，x∈［a－4，a］的图象关于原点对称，则函数g(x)a＝bx ＋x ，x ∈［－4，－ 1］的值域为．x解析： 由函数 f(x)的图象关于原点对称，可得 a － 4＋a ＝0，即 a ＝2，则函数 f(x)＝2x ＋2b ，其定义域为 ［－2,2］，所以 f(0)＝0，所以 b ＝ 0，所以 g(x)＝x ，易知 g(x)在［－ 4，－ 1］上单1 调递减，故值域为 ［g(－1)，g(－4)］，即 －2，－ 2 .1答案 ： － 2，－ 1210．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 若当 x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x ，则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 ____ ．解析： 当 x>0 时， lg x>0 ，所以 x>1，当 x<0 时，由奇函数的对称性得－ 1<x<0 ， 故填(－1,0)∪(1，＋ ∞)． 答案 ：(－1,0)∪(1，＋∞ )11．f(x)为 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－2x 2＋3x ＋1，求 f(x)的解析式．解：当 x<0 时，－ x>0，则 f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－ 2x 2－3x ＋1. 由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－ f(－x)， 所以当 x<0 时， f(x)＝2x 2＋ 3x －1. 因为 f(x)为 R 上的奇函数，故 f(0)＝ 0.－2x 2＋ 3x ＋1，x>0， 综上可得 f(x)的解析式为 f(x)＝0， x ＝ 0，2x 2＋3x － 1， x<0.(1)证明 y ＝ f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若 f(1)＝ 2，求 f(2)＋ f(3)的值． 33解： (1)证明：由 f 2＋ x ＝－ f 2－x ，且 f(－x)＝－ f(x)，知 f(3＋x)＝f 23＋ 23＋x所以 y ＝f(x)是周期函数，且 T ＝3 是其一个周期．(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝ 0，且 f(－1)＝－f(1)＝－2，又 T ＝3 是 y ＝f(x)的一个周期，所以 f(2)＋f(3)＝f(－1)＋12．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数x 有f 23＋x ＝－f 23－x成立．＝－f 23－ 32＋x ＝－ f(－x)＝f(x)，f(0)＝ －2＋0＝－ 2.B 级1．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时， f(x)＝ x 3－ x ，则函数 y ＝f(x)的图象在区间 ［0,6］上与 x 轴的交点的个数为 ( )A ． 6B ．7C ．8D ． 9解析： 选 B 因为 f( x)是最小正周期为 2 的周期函数，且 0≤ x<2 时，f(x)＝x 3－x ＝x(x － 1)(x ＋1)，所以当 0≤x<2 时，f(x)＝0 有两个根，即 x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当 2≤x<4 时， f(x)＝0 有两个根，即 x 3＝ 2， x 4＝ 3；当4≤x ≤6 时， f(x)＝0 有三个根，即 x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故 f(x)的图象在区间 ［0,6］上与 x 轴的交点个 数为 7.2．(2019 洛·阳统考 )若函数 f( x) ＝ ln(e x＋ 1)＋ ax 为偶函数，则实数 a ＝ .解析： 法一： (定义法 )∵函数 f(x)＝ ln(e x ＋ 1)＋ ax 为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)，即 ln(e －x ＋ 1)－ax ＝ln(e x ＋1)＋ ax ，－xxe －x＋ 1 1∴2ax ＝ln(e －x ＋1)－ln(e x ＋1)＝ln e x ＋1 ＝ ln e x ＝－ x ，1∴ 2a ＝－ 1，解得 a ＝－ 12.法二： (特殊值法 )由题意知函数 f(x)的定义域为 R ，由 f(x)为偶函数得 f(－ 1)＝f(1)，－ 11 －1 1 e 1 ＋ 11 ∴ ln(e －1＋ 1)－a ＝ ln(e 1＋ 1)＋a ，∴ 2a ＝ln(e －1＋ 1)－ ln(e 1＋1) ＝ln e ＋1 ＝ln e ＝－ 1， e ＋ 1 e∴a ＝－ 1.21答案 ：－12－x 2＋2x ，x>0，3．已知函数 f(x) ＝0， x ＝0， x 2＋mx ， x<0是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数f(x)在区间［－1，a－2］上单调递增，求实数 a 的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f( x)，于是x<0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在［－1，a－2］上单调递增，a －2>－ 1 ，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1< a≤3，a－2≤1，故实数 a 的取值范围是(1,3］．。
高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性
高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性知识要点：一、函数的奇偶性1.定义：关于函数f(x)，假如关于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数;关于函数f(x)，假如关于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f (x)为偶函数;2.性质：(1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数;(2) f(x),g(x)的定义域为D;(3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于原点对称;(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f(x)在原点处有定义，则有f(0)=0;(5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总能够表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数，h(x) =-[f(x)-f(-x)]为奇函数;(6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。
3.判定方法：(1)定义法(2)等价形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)为奇函数;f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。
4.拓展延伸：(1)一样地，关于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2 b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称;(2)一样地，关于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a -x)，则它的图象关于x=a成轴对称。
二、周期性：1.定义：关于函数y=f(x)，假如存在一个非零常数T，使得当自变量x 取定义域内的每一个值时，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就称函数y=f(x)为周期函数。
2.图象特点：将函数y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位，所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合。
专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上；②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <；③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有) ()(f x f x --=，那么函数()f x 就叫做奇函数关于原点对称判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数()y f x a =＋为偶函数，则函数()y f x =关于x a =对称．(2)若函数()y f x a =＋为奇函数，则函数()y f x =关于点(0)a ，对称．(3)若()()2f x f a x =-，则函数()f x 关于x a =对称．(4)若2(2)()f x f a x b -=＋，则函数()f x 关于点()a b ，对称．4.函数的周期性（1）周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有(()f x T f x +=），那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期.【方法技巧与总结】1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x 为增函数，1()f x 为减函数；④若()0f x >且()f x 为减函数，1()f x 为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()(01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知()f x =奇函数+M 题型十：函数的对称性与周期性题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性题型十三：函数性质的综合【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数a ，b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()315f x f x ->+的解集为（）．A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞例3．（2022·全国·高三专题练习）()252f x x x =-的单调增区间为（）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxf x =-.（1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y =）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-例8．（2022·全国·高三专题练习）函数2231()(2x x f x --=的单调递减区间是（）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．(3,)+∞D ．(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数；2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =()21x f x x =+；③()e e e ex xx x f x ---=+；④()11e x f x -=+．例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-．（1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0)2axf x a x =≠-.（1）判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若()33f =，求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知a b <，函数()f x 的定义域为I ，若存在[,]a b I ⊆，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（）①()21f x x =-+；②2()f x x =；③()2f x =+；④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是增函数，在区间[)b c ，上是减函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最大值()f b ．2．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是减函数，在区间[)b c ，上是增函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最小值()f b ．3．若函数()y f x =在[]a b ，上是严格单调函数，则函数()y f x =在[]a b ，上一定有最大、最小值．4．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a ．5．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b ．题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数()()e 4,0,2log 1,10,x m m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀，2x ∈R ，()()12120f x f x x x ->-，且()()2g x f x x =--仅有1个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =0a >且1a ≠）在区间[)1,3上单调递增，则实数a 的取值不可能是（）A ．13B ．12C ．23D ．56例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈，则θ的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解．1.若()a f x >在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ，上的最大值．2.若()a f x <在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ，上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在()1,3上单调递减的是（）A ．24y x x =-B ．12x y -=C ．y =D ．cos 1y x =+例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -=B ．3y x =C ．ln y x=D ．y x=例23．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是奇函数，且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 7b f =，()30.8c f =-，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a<<D ． a c b<<例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()ln 3a f =，()5log 2b f =-，c f =（e 为自然对数的底数），则（）．A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a c b>>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x=--C ．3y x x=--D ．3=-+y x x例27．（2022·广东·二模）存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（）A ．()sin g x x=B ．()22g x x x=+C ．()3g x x x=-D ．()()x xg x e e-=+例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )（2）f (x )＝(x ＋（3）f (x ).（4）f (x )＝2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在()0,+∞上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a （）A ．-1B ．0C ．1D ．±1例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22x x af x a +=-为奇函数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．±1例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数，则m 的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()22330x xa a a f x -+=-⋅≠为奇函数，则=a ______．例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数，则=a ______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数，则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设()f x 为奇函数，且0x >时，()e ln xf x x =+，则()1f -=___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时，()232f x x x m =-+，则()f x 在[]1,2上的最大值为()A ．1B ．8C ．5-D ．16-例40．（2022·江西·模拟预测（理））(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ，则下列说法错误的是（）A ．(0)1g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x x ---B ．21x x -++C ．121x ----D ．121x --++例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当()0,1x ∈时，()241xxf x =+.(1)求()1f 和()1f -的值；(2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式.【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式.题型九：已知()f x =奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =++（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数()()113e sin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（）．A ．2B ．1C ．6D ．3例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．4例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数()()22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则（1）()()2f x f x M -+=（2）max min ()()2f x f x M +=题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心，研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心，求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A ．2022B ．4043C ．4044D ．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+，且()1f x +是奇函数，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线12x =对称C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称，且()12022f =，则()2021f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则下面结论正确的是（）A ．()()()3ln 3e e f f f <<-B ．()()()3e ln 3ef f f -<<C ．()()()3e e ln 3f f f <-<D ．()()()3ln 3e ef f f <-<例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f =则(45)f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（）A ．4B ．4-C ．0D ．6-例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（）A ．2-B ．4C ．4-D ．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数()()()222f x x x x ax b =+++满足：对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的最小值为（）A ．-20B ．-16C ．-15D ．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数()f x 满足()()f x f x -=--，且函数()f x 与()cos 2g x x x =≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则()41i ii x y =+=∑（）A ．－4πB ．－2πC ．2πD ．4π【方法技巧与总结】（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是()A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩，其中R a ∈，给出以下关于函数()f x 的结论：①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时，函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时，若()22xf x a +≤恒成立，则1a ≥-）A ．1B ．2C ．3D ．4【方法技巧与总结】1.类周期函数若()y f x =满足：()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-，则()y f x =横坐标每增加m 个单位，则函数值扩大k 倍．此函数称为周期为m 的类周期函数．xx类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()(xf x kf m=，则()y f x =横坐标每扩大m 倍，则函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．注意当m k =时，构成一系列平行的分段函数，222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n ng x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩，，，，，，，，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞-- D ．()(),31,-∞-⋃+∞例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b<<例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（）A ．8B ．7C ．6D ．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1，1)，都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++)；②当x ∈(－1，0)时，有f (x )>0．求证：21111()()()()511312f f f f n n +++>++ ．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若()()()f x y f x f y +=+，则()(1)f x xf =(正比例函数)(2)若()()()f x y f x f y +=，则()[(1)]x f x f =(指数函数)(3)若()()()f xy f x f y =+，则()log b f x x =(对数函数)(4)若()()()f xy f x f y =，则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++，则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B．(-C ．()0,1D．(例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤，则a 的最小值是（）A ．32B ．1C ．12D ．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数31()224e e x xf x x x =-++-，其中e 是自然对数的底数，若()2(6)8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(3,2)-C ．(,3)-∞-D ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3112e 33ex x f x x x =-+-+，其中e是自然对数的底数，若()2(23)6f a f a -+≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．(,3]-∞-C ．[1,)+∞D ．[]3,1-例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[]2x a a ∈+，，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞B．)+∞C ．()1-∞，D．⎡⎣例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数221e e ()312x x xf x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]e,0-B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121xx f x -=+，若()()e 0x f f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),e -∞-C ．[]e,0-D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数)，若()()21f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[1，+∞)C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x =--C ．3y x x =--D ．3=-+y x x2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0x >，0y >，且2e e sin 2sin x y x y ->-，则（）A ．2x y<B ．2x y>C ．x y>D ．x y<3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞ D ．()2,1-4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++，且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解，则实数m 的最大值为（）A ．23B ．2C ．53D ．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅+在区间[5,5]-的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +的值等于()A ．0B ．10C ．4πD ．2π6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x-=+，则曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A ．240x y ++=B ．240x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y ++=7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1⋃(1,)+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义域上单调递减D ．点(2,2)是()f x 图象的对称中心10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数())lg f x x =，()212xg x =+，()()()F x f x g x =+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,1对称B ．()g x 的图象没有对称中心C ．对任意的[](),0x a a a ∈->，()F x 的最大值与最小值之和为4D ．若()3311F x x x -+-<-，则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13．（2022·山东临沂·二模）已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数，则m =__________．14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1，则a 的值为________.15．（2022·广东佛山·三模）已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称，若3(21)2f x ->，则x 的取值范围为________．16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列①()1f x x=，②()=f x ，③()1212xxf x -=+，④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）四、解答题17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a ∈R ，函数2()21x x af x +=+；(1)求a 的值，使得f （x ）为奇函数；(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围．18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解不等式()()10f x f x -+<．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈，()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =，判断并证明()f x 的单调性；(3)若3a =，使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立，求出λ的范围.20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=．(1)求函数()f x 与()g x 的解析式；(2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥；(3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．21．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x ，对任意12,x x R ∈，满足下列条件：①1212()()()2f x x f x f x +=+-②(2)4f =（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由.（2）证明：()()2g x f x =-为奇函数；22．（2022·上海·二模）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.。
函数的单调性奇偶性与周期性知识点与试题
函数的性质知识要点一、 函数的奇偶性1．定义：如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=－fx,则称fx 为奇函数；如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=fx,则称fx 为偶函数;如果函数fx 不具有上述性质,则fx 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则fx 既是奇函数,又是偶函数;注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则－x 也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称; 2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定f －x 与fx 的关系；3 作出相应结论：若f －x = fx 或 f －x －fx = 0,则fx 是偶函数；若f －x =－fx 或 f －x ＋fx = 0,)0)((1)()(0)()()()(≠±=-⇔=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f 则fx 是奇函数; 3．简单性质：1图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；2设fx,gx 的定义域分别是D1,D2那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇3任意一个定义域关于原点对称的函数()f x 均可写成一个奇函数()g x 与一个 偶函数()h x 和的形式,则()()()()(),()22f x f x f x f xg xh x --+-==;4． 奇偶函数图象的对称性1若)(x a f y +=是偶函数,则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；2若)(x b f y +=是奇函数,则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；5．一些重要类型的奇偶函数：1 函数()x x f x a a -=+ 是偶函数,函数()x x f x a a -=- 是奇函数；2函数221()(01x x x x xx a a a f x a a a a ----==>++ 且1)a ≠是奇函数； 3函数1()log 1axf x x-=+ (0a > 且1)a ≠是奇函数； 4函数()log (a f x x =+ (0a > 且1)a ≠是奇函数;二、函数的单调性1．定义：一般地,设函数y =fx 的定义域为I, 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有fx 1<fx 2fx 1>fx 2,那么就说fx 在区间D 上是增函数减函数； 注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质； 2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1,x2；当x1<x2时,总有fx1<fx2 3函数单调性的两个等价形式：1212()()0(0)()f x f x f x x x >><⇔-在给定区间上单调递增递减；[]1212()()()0(0)()x x f x f x f x ->><⇔在给定区间上单调递增递减;2．如果函数y=fx 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=fx 在这一区间具有严格的单调性,区间D 叫做y=fx 的单调区间;3．设复合函数y= fgx,其中u=gx , A 是y= fgx 定义域的某个区间,B 是映射g : x→u=gx 的象集：①若u=gx 在 A 上是增或减函数,y= fu 在B 上也是增或减函数,则函数y= fgx 在A 上是增函数；②若u=gx 在A 上是增或减函数,而y= fu 在B 上是减或增函数,则函数y= fgx 在A 上是减函数,简称“同增异减”; 4．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数fx 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：1 任取x1,x2∈D,且x1<x2；2作差fx1－fx2；3变形通常是因式分解和配方； 4定号即判断差fx1－fx2的正负；5 下结论指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性; 5．简单性质1奇函数在其对称区间上的单调性相同； 2偶函数在其对称区间上的单调性相反；3在公共定义域内：增函数fx+增函数gx 是增函数；减函数fx+减函数gx 是减函数；增函数fx-减函数gx 是增函数；减函数fx-增函数gx 是减函数; 三、函数的最值1．定义：最大值：一般地,设函数y=fx 的定义域为I,如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I,都有fx≤M ；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最大值;最小值：一般地,设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I,都有fx≥M；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最小值;注意：1函数最大小首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得fx0 = M；2函数最大小应该是所有函数值中最大小的,即对于任意的x∈I,都有fx≤Mfx≥M;2．利用函数单调性的判断函数的最大小值的方法：1利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值；2利用图象求函数的最大小值；3 利用函数单调性的判断函数的最大小值：如果函数y=fx在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=fx在x=b处有最大值fb; 如果函数y=fx在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=fx 在x=b处有最小值fb；函数的单调性A组1．下列函数fx中,满足“对任意x1,x2∈0,＋∞,当x1<x2时,都有fx1>fx2”的是________．①fx＝错误!②fx＝x－12③fx＝e x④fx＝ln x＋12．函数fxx∈R的图象如右图所示,则函数gx＝f log a x0<a<1的单调减区间是________．3．函数y＝错误!＋错误!的值域是________．4．已知函数fx＝|e x＋错误!|a∈R在区间0,1上单调递增,则实数a的取值范围是________．5．如果对于函数fx定义域内任意的x,都有fx≥MM为常数,称M为fx的下界,下界M中的最大值叫做fx的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________．①fx＝sin x；②fx＝lg x；③fx＝e x；④fx＝错误!6．已知函数fx＝x2,gx＝x－1.1若存在x∈R使fx<b·gx,求实数b的取值范围；2设Fx＝fx－mgx＋1－m－m2,且|Fx|在0,1上单调递增,求实数m的取值范围.B组1．下列函数中,单调增区间是－∞,0的是________．①y＝－错误!②y＝－x－1③y＝x2－2④y＝－|x|2．若函数fx＝log2x2－ax＋3a在区间2,＋∞上是增函数,则实数a的取值范围是________．3．若函数fx＝x＋错误!a>0在错误!,＋∞上是单调增函数,则实数a的取值范围是________．4．定义在R上的偶函数fx,对任意x1,x2∈0,＋∞x1≠x2,有错误!<0,则下列结论正确的是________．①f3<f－2<f1②f1<f－2<f3 ③f－2<f1<f3④f3<f1<f－25．已知函数fx＝错误!满足对任意x1≠x2,都有错误!<0成立,则a的取值范围是________．6．函数fx的图象是如下图所示的折线段OAB,点A的坐标为1,2,点B的坐标为3,0,定义函数gx＝fx·x－1,则函数gx的最大值为________．7．已知定义域在－1,1上的函数y＝fx的值域为－2,0,则函数y＝f cos错误!的值域是________．8．已知fx＝log3x＋2,x∈1,9,则函数y＝fx2＋fx2的最大值是________．9．若函数fx＝log a2x2＋xa>0,a≠1在区间0,错误!内恒有fx>0,则fx的单调递增区间为__________．10．试讨论函数y＝2log错误!x2－2log错误!x＋1的单调性．11．已知定义在区间0,＋∞上的函数fx满足f错误!＝fx1－fx2,且当x>1时,fx<0.1求f1的值；2判断fx的单调性；3若f3＝－1,解不等式f|x|<－2.12．已知：fx＝log3错误!,x∈0,＋∞,是否存在实数a,b,使fx同时满足下列三个条件：1在0,1上是减函数,2在1,＋∞上是增函数,3fx的最小值是1.若存在,求出a、b；若不存在,说明理由．函数的性质A组1．设偶函数fx＝log a|x－b|在－∞,0上单调递增,则fa＋1与fb＋2的大小关系为________．2．定义在R上的函数fx既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f1＋f4＋f7等于________．3．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数,则f－25、f11、f80的大小关系为________．4．已知偶函数fx在区间0,＋∞上单调增加,则满足f2x－1<f错误!的x取值范围是________．5．已知定义在R上的函数fx是偶函数,对x∈R,f2＋x＝f2－x,当f－3＝－2时,f2011的值为________．6．已知函数y＝fx是定义在R上的周期函数,周期T＝5,函数y＝fx－1≤x≤1是奇函数,又知y＝fx在0,1上是一次函数,在1,4上是二次函数,且在x＝2时函数取得最小值－5.1证明：f1＋f4＝0；2求y＝fx,x∈1,4的解析式；3求y＝fx在4,9上的解析式．B组1．函数fx的定义域为R,若fx＋1与fx－1都是奇函数,则下列结论正确的是________．①fx是偶函数②fx是奇函数③fx＝fx＋2 ④fx＋3是奇函数2．已知定义在R上的函数fx满足fx＝－fx＋错误!,且f－2＝f－1＝－1,f0＝2,f1＋f2＋…＋f2009＋f2010＝________.3．已知fx是定义在R上的奇函数,且f1＝1,若将fx的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f1＋f2＋f3＋…＋f2010＝________.4．已知函数fx是R上的偶函数,且在0,＋∞上有f′x>0,若f－1＝0,那么关于x的不等式xfx<0的解集是________．5．已知函数fx是－∞,＋∞上的偶函数,若对于x≥0,都有fx＋2＝fx,且当x∈0,2时,fx＝log2x＋1,则f－2009＋f2010的值为________．6．已知函数fx是偶函数,并且对于定义域内任意的x,满足fx＋2＝－错误!,若当2<x<3时,fx＝x,则f＝________.7．定义在R上的函数fx在－∞,a上是增函数,函数y＝fx＋a是偶函数,当x1<a,x2>a,且|x1－a|<|x2－a|时,则f2a －x1与fx2的大小关系为________．8．已知函数fx为R上的奇函数,当x≥0时,fx＝xx＋1．若fa＝－2,则实数a＝________.9．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数．若方程fx＝mm＞0在区间－8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1＋x2＋x3＋x4＝________.10．已知fx是R上的奇函数,且当x∈－∞,0时,fx＝－x lg2－x,求fx的解析式．11．已知函数fx,当x,y∈R时,恒有fx＋y＝fx＋fy．1求证：fx是奇函数；2如果x∈R＋,fx<0,并且f1＝－错误!,试求fx在区间－2,6上的最值．12．已知函数fx 的定义域为R,且满足fx ＋2＝－fx ．1求证：fx 是周期函数；2若fx 为奇函数,且当0≤x ≤1时,fx ＝错误!x ,求使fx ＝－错误!在0,2010上的所有x 的个数．例题1、函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是______________．例题2、1函数()142-+=x x x x f 是A 、是偶函数但不是奇函数B 、是奇函数但不是偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、既不是奇函数也不是偶函数2.设(32()log f x x x =+,则对任意实数,a b ,0a b +≥是()()0f a f b +≥的A 、充分必要条件B 、充分而不必要条件C 、必要而不充分条件D 、既不充分也不必要条件3已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩,则x y +=_____．4已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-x ∈R,且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有A 、2个B 、3个C 、4个D 、无数个例题3、2004复旦若存在M,使任意t D ∈D 为函数()f x 的定义域,都有()f x M ≤,则称函数()f x 有界.问函数11()sin f x x x=在1(0,)2x ∈上是否有界例题4、设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=,其中0>a 且1≠a ．若在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立,求a 的取值范围．课后精练1． 已知)13(log 21)(3+-=x abx x f 为偶函数,x x ba x g 22)(++=为奇函数,其中b a ,为复数, 则∑=+10001)(k k k b a 的值是______1-________.2． 函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于21e+;解：)|4sin(|2|cos sin |2sin 2sin )(π+++=+=x x x e x ex x f ,从而当4π=x 时取最大值21e +,当4π-=x 时取最小值0,从而最大值与最小值之差等于21e +3．函数[)。
函数的奇偶性和周期性(含解析)
函数奇偶性和周期性一、必备知识：1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数:一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数． (2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件． 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ； (2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ . 7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a ，0)，B (b ，0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b ，0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |. 自查自纠：1．(1)f (－x )＝f (x ) (2)f (－x )＝－f (x ) 2．Y 轴 原点3．原点对称 原点对称 必要不充分4．(1)非零常数 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小 5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6．奇 偶 偶 偶 奇二、题型训练题组一 1．函数()2lg 1()22x f x x -=--是_____________函数。
初中数学知识归纳函数的奇偶性与周期性
初中数学知识归纳函数的奇偶性与周期性函数是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的关系。
在初中数学中，我们学习了函数的奇偶性与周期性的概念。
本文将对这两个概念进行归纳总结，并提供相关的例子，以帮助大家更好地理解和应用这些知识。
一、函数的奇偶性1. 定义一个函数f(x)，若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
2. 性质（1）偶函数的图像关于y轴对称，即关于原点中心对称；奇函数的图像关于坐标原点对称。
（2）偶函数的奇点（f(x) = 0的点）关于y轴对称，奇函数的奇点关于原点对称。
（3）偶函数与偶函数的和、差、积仍为偶函数；奇函数与奇函数的和、差为偶函数，积为奇函数。
（4）若函数可以表示为偶函数与奇函数的和，那么该函数为任意函数。
3. 举例（1）常见的偶函数：f(x) = x^2、f(x) = cos(x)等。
（2）常见的奇函数：f(x) = x、f(x) = sin(x)等。
二、函数的周期性1. 定义一个函数f(x)，若存在正数T，对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)，则称该函数为周期函数，T称为函数的周期。
2. 性质（1）周期函数的图像在每一个周期内完全重复。
（2）一个函数的周期不唯一，只要存在一个T使得f(x+T) = f(x)，那么T的所有倍数也是f(x)的周期。
（3）若f(x)和g(x)都是周期为T的周期函数，那么f(x) ± g(x)、f(x) × g(x)也是周期为T的周期函数。
3. 举例（1）常见的周期函数：f(x) = sin(x)、f(x) = cos(x)等。
（2）常见的非周期函数：f(x) = x^2、f(x) = e^x等。
三、奇偶性与周期性的关系1. 性质（1）对于一个函数f(x)，若它既是奇函数又是周期函数，那么它的周期必须是2π的整数倍。
（2）对于一个函数f(x)，若它既是偶函数又是周期函数，那么它的周期必须是2π的整数倍且f(0)为其最小正周期。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳
函数奇偶性知识梳理1.奇函数、偶函数的定义（ 1）奇函数：设函数y f ( x) 的定义域为D，若是对D内的任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，则这个函数叫奇函数 .（ 2）偶函数：设函数y f ( x) 的定义域为D，若是对D内的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ，则这个函数叫做偶函数 .（3）奇偶性：若是函数 f ( x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f ( x)拥有奇偶性 .（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数 .注意：（ 1）奇函数若在 x 0 时有定义，则 f (0)0 ．（ 2）若f ( x)0 且 f ( x) 的定义域关于原点对称，则 f (x) 既是奇函数又是偶函数．2．奇 ( 偶 ) 函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3.判断函数奇偶性的方法（ 1）图像法（ 2）定义法○1第一确定函数的定义域，并判断其定义域可否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若 f(－ x) = f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－ x) = －f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数．例题精讲2【例 1】若函数 f ( x)ax bx 是偶函数，求b的值.∴f(－x)＝ f(x)．∴ ax2＋bx= ax2-bx.∴2bx=0. ∴ b＝ 0.【例 3】已知函数 f (x)12在y轴左边的图象以以下列图所示，画出它右边的图象. x题型一判断函数的奇偶性【例 4】判断以下函数的奇偶性. （ 1）f ( x)| x |( x21) ；（ 2）f ( x)x 1 ；x（ 3） f ( x) | x 1| | x 1| ； （ 4） f (x) x 22 x ；（ 5） f ( x) 1 x 2x 2 1（ 6） f ( x)x 2 x , x0 xx 2 , x解：（ 1） f ( x) | x | ( x 2 1) 的定义域为 R ，关于原点对称．∵ f ( x) | x |[( x)2 1] | x | ( x 2 1) f ( x)∴ f ( x)f (x) ，即 f ( x) 是偶函数． （2） f ( x)x1的定义域为 { x | x 0}x由于定义域关于原点不对称故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数．（3） f ( x)| x 1| | x 1| 的定义域为 R ，关于原点对称．∵ f(－ x)＝|－ x ＋1|－ |－x －1|＝|x － 1|－ |x ＋1|＝－ (|x ＋1|－|x －1|)＝－ f(x)，∴ f(x)＝ |x ＋ 1|－|x －1|是奇函数．（4） f ( x)x 22 x 的定义域为 {2} ，由于定义域关于原点不对称， 故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数．（5） f ( x)1 x 2x 2 1 的定义域为 {1 ，－ 1} ，由 f (1) 0 且 f ( 1) 0 ，所以 f ( x) 0所以 f ( x) 图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称故 f (x) 既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当 x>0 时，－ x<0，f(－x)＝x 2－x ＝－ (x －x 2)；当 x<0 时，－ x>0，f(－x)＝－ x － x 2＝－ (x 2＋x)．即 f ( x)( x 2 x) , x 0 ( x x 2 ) , x 0即 f ( x)f ( x)∴ f ( x) 为奇函数．题型二 利用函数的奇偶性求函数值【例 2】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(3)＝ 2，求 f(－ 3)和 f(0)的值 .解：∵ f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴ f (－3)＝－ f(3)＝－ 2，f(0)＝0.【例 5】已知 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，且 f(－ 1)＋g(1)＝ 2，f(1)＋ g(－1)＝4，求 g(1).解：由 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数得 f ( x)f (x) ， g( x) g( x)所以 － f(1)＋ g(1)＝2 ①f(1)＋ g(1)＝4 ②由①②消掉 f(1)，得 g(1)＝3.题型三 利用函数的奇偶性求函数剖析式【例 6】已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当x ≤0时， f(x)＝x 3－x 2，当 x>0 时，求 f(x)的剖析式 .解：当 x 0 时，有 x所以 f ( x) ( x)3 ( x)2 x 3 x 2又由于 f (x) 在 R 上为偶函数所以 f ( x)f ( x)x 3 x 2所以当 x 0 时， f ( x)x 3 x 2 .【例 7】若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 和奇函数 g( x) 满足 f ( x) g( x) e x ，求 g ( x) .解：由于 f (x) 为偶函数， g( x) 为奇函数所以 f ( x)f ( x) ，g ( x)g(x)由于 f ( x) g( x) e x①所以 f ( x) g ( x) e x所以 f ( x)g (x)e x②由①②式消去 f (x) ，得 g( x)e x e x.2课堂练习仔细读题，必然要选择最正确答案哟！1. 函数 f (x)x 11 x 是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C.既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数2. 已知函数 f (x) 为奇函数，且当 x0 时， f ( x) x21，则 f ( 1) （）x3. f(x)为偶函数，且当 x ≥0 时， f(x) ≥2，则当 x ≤0时，有（ ）A ．f(x) ≤ 2B ．f(x) ≥ 2C ．f(x) ≤－2D.f(x) ∈R4. 已知函数 y=f （x ）是偶函数， y=f （x －2）在［ 0，2］上是单调减函数，则（）（0）＜ f （－ 1）＜ f （ 2） （－ 1）＜ f （ 0）＜ f （ 2）（－ 1）＜ f （2）＜ f （0） （2）＜ f （－ 1）＜ f （0）5. 已知函数 f （ x ） =ax 2＋ bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么 g （x ）=ax 3＋ bx 2＋ cx 是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数6. 定义在 R 上的奇函数 f （x ）在（ 0， +∞）上是增函数，又 f （－ 3）=0，则不等式 xf （x ）＜0 的解集为（）A.（－ 3，0）∪（0，3）B.（－ ∞，－ 3）∪（3，+∞）C.（－ 3，0）∪（3，+∞）D.（－ ∞，－ 3）∪（ 0， 3）7. 若 f(x) 在[ －5,5] 上是奇函数，且f(3)<f(1) ，则以下各式中必然成立的是()A ．f( － 1)<f( － 3)B ． f(0)>f(1)C ．f(2)>f(3)D ． f( －3)<f(5)8. 设 f(x) 在[ －2，－ 1] 上为减函数，最小值为 3，且 f(x)为偶函数，则 f(x) 在[1,2] 上( )A ．为减函数，最大值为 3B ．为减函数，最小值为－ 3C ．为增函数，最大值为－ 3D ．为增函数，最小值为 39. 以下四个函数中，既是偶函数又在 (0 ，＋ ∞)上为增函数的是 ()A ．y ＝x^3B ．y ＝－ x^2 ＋ 1C ．y ＝|x| ＋1D ．y ＝2－|x|10. 若函数 f(x) ＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，则 a ＝( )A ．1B ．－ 1C ．0D ．不存在11. 偶函数 y ＝ f(x)的图象与 x 轴有三个交点，则方程 f(x)＝ 0 的所有根之和为 ．12. 如图，给出了偶函数 y = f (x) 的局部图象，试比较 f (1) 与 f (3)的大小 .y13. 已知函数 f ( x) xp2m( p 0) 是奇函数，求 m 的值 .x14. 已知 f(x) 是偶函数， g(x) 是奇函数，且 f(x) ＋g(x)＝ x 2＋x －2，求 f(x) ，g(x)的表达式．–3–1x215. 定义在 ( －1,1) 上的奇函数 f(x)是减函数，且 f(1 －a)＋ f(1－ a )<0 ，求实O 数 a 的取值范围．1216. 函数 f(x)＝ 1＋ x 2 是定义在 (－ 1,1)上的奇函数，且 f 2 ＝5，求函数 f(x)的剖析式ax ＋b17. 判断函数 f (x)(1 x)1x的奇偶性.1 x。
冲刺高考文科数学必看题型归纳
冲刺高考文科数学必看题型归纳随着高中阶段的学习即将结束，文科同学们的高考备战也进入冲刺阶段。
作为高考的一大考试科目，数学在文科生的备考中显得尤其重要。
为此，本篇文章将对文科数学的必看题型进行归纳，帮助同学们在时间紧迫、压力巨大的备考过程中更好地掌握知识点，备战高考。
一、函数1. 函数的奇偶性：（1）$f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数；（2）$f(-x)=f(x)$，则函数为偶函数；（3）$f(x)\ne f(-x)$，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
2. 函数的周期性：（1）对于任意一个实数$x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则函数是以$T$（$T>0$）为周期的周期函数，$T$ 称为函数的周期；（2）当$T$ 为最小正周期时，函数是最简周期函数。
3. 函数的单调性：（1）若对于函数$y=f(x)$，当$x_1<x_2$ 时有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数$f(x)$ 在区间$(x_1,x_2)$ 内是严格单调递增的；（2）若对于函数$y=f(x)$，当$x_1<x_2$ 时有$f(x_1)>f(x_2)$，则函数$f(x)$ 在区间$(x_1,x_2)$ 内是严格单调递减的。
4. 函数极值问题：（1）极大值：若存在$x_0\in D_f$，使得$f(x)\le f(x_0)$，则称$f(x_0)$ 为函数$f(x)$ 在定义域$D_f$ 上的极大值；（2）极小值：若存在$x_0\in D_f$，使得$f(x)\ge f(x_0)$，则称$f(x_0)$ 为函数$f(x)$ 在定义域$D_f$ 上的极小值；（3）极值：极大值和极小值统称为极值。
二、解析几何1. 点、向量的基本概念：（1）点：在xoy 坐标系中，设坐标轴OX、OY 的交点为坐标原点O，则任意一点$P(x,y)$ 都可表示为向量$\overrightarrow{OP}(x,y)$。
（2）向量：向量是具有大小和方向的几何量，用向量符号$\overrightarrow{a}$ 表示。
专题——函数的奇偶性,周期性,对称性
专题1函数的奇偶性，周期性，对称性知识梳理【题型解读】【知识储备】一．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称二.关于函数对称性的结论扩充1.若函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔对定义域内任意x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )⇔对定义域内任意x 都有f (x )＝f (2a －x )⇔y ＝f (x ＋a )是偶函数。
2．函数y ＝f (x )的图象关于点(a,0)对称⇔对定义域内任意x 都有f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔y ＝f (x ＋a )是奇函数。
3．若函数y ＝f (x )对定义域内任意x 都有f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象的对称轴是x ＝a ＋b2。
4．若函数y ＝f (x )对定义域内任意x 都有f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数f (x )的图象的对称中心为22a b c+（，）。
5．函数y ＝f (|x －a |)的图象关于x ＝a 对称。
三．关于函数周期性的结论扩充1.若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)。
2．若满足f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝1f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)。
3．若函数满足f (x ＋a )＝－1f (x )，同理可得2a 是函数的一个周期(a ≠0)。
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：1.函数的奇偶性奇偶性定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个偶函数x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数。
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个奇函数x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
2.函数的周期性1) 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。
2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
重要结论：1.函数奇偶性的四个重要结论1) 如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2) 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)。
3) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。
4) 奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。
5) 运算性质：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“XXX”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇。
2.函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；2) 若f(x＋a)＝f(x)，则T＝2a；3) 若f(x＋a)＝－1/f(x)，则T＝2a.(a>0)3.函数对称性的三个常用结论1) 若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；2) 若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；3) 若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称。
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题
函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：1．函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．重要结论：1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。
(5)运算性质①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．2．函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(a>0)3．函数对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y ＝f(x)关于点(b,0)中心对称．经典选题一、判断题：判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、选择题：1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是()A．－13 B.13 C.12D．－12答案：B2．下列函数为奇函数的是()A．y＝2x－12x B．y＝x3sin xC．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x答案：A3．下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x答案：D4．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－ln|x |D ．y ＝2x答案：C5．(高考全国Ⅰ卷)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案：C6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )，当0＜x ＜12时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝( )A ．－ 2B ．－22C ．－1 D.22 答案：A7． 已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54 C.54 D ．3 答案：A8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：C9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，且在(0,1)上f (x )＝3x ，则f (log 354)＝( )A.32B.23 C ．－32 D ．－23 答案：C10．已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝－x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝( )A ．－94B ．－14 C.14 D.94 答案：D11． (理科)(2015·高考新课标卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案：A12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：A13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B14．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11) 答案：D三、填空题1． (2017·高考全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ ________ . 答案：122．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是 ________ .答案：(－1,0)∪(1，＋∞)3． (2015·高考全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ ________ .答案：14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝ ________ .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <05．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是 __________ .答案： {a |a ≥2或a ≤－2}。
初中数学知识归纳函数的奇偶性与函数的周期性
初中数学知识归纳函数的奇偶性与函数的周期性初中数学知识归纳：函数的奇偶性与函数的周期性函数是初中数学中的重要概念之一，它描述了数学关系中的变化规律。
在数学中，函数的奇偶性和周期性是函数性质的两个重要方面。
下面将对函数的奇偶性和周期性进行归纳和讲解。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于坐标轴的对称性。
考察一个函数关于原点对称，可以分成以下两种情况：1. 偶函数：若对于函数 f(x) 成立 f(-x) = f(x)，则称函数 f(x) 为偶函数。
也就是说，如果把函数的自变量取相反数，函数的值不发生改变。
常见的偶函数有：幂函数 x^n (n 为偶数)、三角函数 cos(x)、指数函数 e^x 和常数函数等。
举例说明：考虑函数 f(x) = x^2，我们可以验证 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。
所以函数 f(x) 是一个偶函数。
2. 奇函数：若对于函数 f(x) 成立 f(-x) = -f(x)，则称函数 f(x) 为奇函数。
也就是说，如果把函数的自变量取相反数，函数的值相反数乘以-1。
常见的奇函数有：幂函数 x^n (n 为奇数)、三角函数 sin(x)、反比例函数 1/x 等。
举例说明：考虑函数 f(x) = x^3，我们可以验证 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
所以函数 f(x) 是一个奇函数。
函数的奇偶性可以通过以下方法进行验证：- 将函数关于原点对称，若图像可以完全重合，则函数是偶函数；- 将函数关于原点对称，若图像可以对称映射，但不重合，则函数是奇函数；- 通过函数的表达式进行推导与验证。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数图像在水平方向上的重复性。
一个函数称为周期函数，如果在定义域内存在一个正数 T，对于任意的 x，函数满足f(x+T) = f(x)。
常见的周期函数有：正弦函数 sin(x)、余弦函数 cos(x)、正切函数tan(x) 等。
高一上学期函数的单调性-奇偶性及周期性知识点和题型
高一上学期函数的单调性-奇偶性及周期性知识点和题型（一）函数的单调性1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的增函数，D 叫f(x)单调递增区间．当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间． 2．函数单调性的判断方法：（1）从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数，若图象是下降的，则此函数是减函数。
（2）一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ．如果对于属于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，且21x x<，则021<-x x（1）()()则0-21<x f x f ()()()1212120f x f x x x x x -⇔>≠-)(x f 即在区间A 上是增函数；（2）()()则21x f x f >()()()1212120f x f x x x x x-⇔<≠-)(x f 即在区间A 上是减函数． 如果函数)(x f y =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做)(x f y =的单调区间．单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数（3）复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈若内外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递减．（同增异减） 3．常见结论若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数)(1x f 在其定义域内为减函数．【题型一、单调性的判断】例、写出下列函数的单调区间（1）,b kx y += （2）xk y =， （3）cbx ax y ++=2．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上， 它是增函数还是减函数？【题型二、用定义法证明单调性】例、定义法证明函数y=2x+3在),(+∞-∞的单调性.例、判断函数f （x ）＝x x 1+在（0,1）上的单调性．【变式训练1】证明函数12)(++=x x x f 在),1(+∞-上是增函数．【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。
高三数学奇偶性及周期性知识点整理
高三数学奇偶性及周期性知识点整理高三数学函数的奇偶性、周期性知识点一函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：偶函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f-x=fx，则称函数fx为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f-x=-fx，那么函数fx是奇函数。
函数的周期性：1定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使fx+T=fx恒成立，则fx叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
2若T是周期，则k·Tk≠0，k∈Z也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数fx=C。
奇函数与偶函数性质：1奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
3在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数fx为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数fx为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.2、函数的周期性令a,b均不为零，若：1函数y=fx存在fx=fx+a==>函数最小正周期T=|a|2函数y=fx存在fa+x=fb+x==>函数最小正周期T=|b-a|3函数y=fx存在fx=-fx+a==>函数最小正周期T=|2a|4函数y=fx存在fx+a===>函数最小正周期T=|2a|5函数y=fx存在fx+a===>函数最小正周期T=|4a|高三数学函数的奇偶性、周期性知识点二一、函数的奇偶性二、周期性1、周期函数对于函数y=fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fx+T=fx，那么就称函数y=fx为周期函数，称T为这个函数的周期.2、最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx 的最小正周期.三、奇、偶函数的有关性质：1定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件;2奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反之亦然;3若奇函数fx在x=0处有定义，则f0=0;4利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反.5若函数满足fx+T=fx，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期;应注意nTn∈Z 且n≠0也是函数的周期.四、利用定义判断函数奇偶性的方法1首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件;2如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f-x=-fx或f-x=fx是否对定义域内的每一个x恒成立恒成立要给予证明，否则要举出反例.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f-x与fx的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.【特别提醒】函数奇偶性的应用1已知函数的奇偶性求函数的解析式.利用奇偶性构造关于fx的方程，从而可得fx的解析式.2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.常常采用待定系数法：利用fx±f-x=0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.3奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高考数学复习第2章 函数的奇偶性与周期性
反”)．
(2)在公共定义域内
(ⅰ)两个奇函数的和函数是⑨________,两个奇函数的积函数是⑩
奇函数
________.
偶函数
偶函数
(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是⑪________.
奇函数
(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是⑫________.
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有意义,则f(0)＝⑬________.
称．定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(－x)
＝－f(x)或f(－x)＝f(x),而不能说存在x0 使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝
f(x0)．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
2
∴a＝－3.
考点一 函数的奇偶性[分层深化型]
考向一：判断函数的奇偶性
1．[2021·成都市高三阶段考试]已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数,
则下列函数中为奇函数的是(
)
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),由f(|
－x|)＝f(|x|),知①是偶函数；由f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x),知②是奇函
数；由y＝f(x)是定义在R上的奇函数,且y＝x是定义在R上的奇函数,奇
×奇＝偶,知③是偶函数；由f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x],知④是奇函
C．y＝|ln x|
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
函数的基本性质知识点归纳与题型总结0＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．4)因为f(x)有意义，则x＞0，所以f(x)的定义域不关于原点对称。
所以f(x)为非奇非偶函数．二、知识归纳1．函数的单调性1)单调递增对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递增函数．2)单调递减对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递减函数．3)严格单调性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格单调函数．4)单调性判定设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则①当f'(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上单调递增；②当f'(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上单调递减；③当f'(x)＝0时，函数f(x)在x处取极值．2．函数的极值1)极值定义设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果对于x0的任何一个邻域内的x值，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)，而x0就称为函数f(x)的一个极值点．2)判别极值的方法①一阶导数法设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)＝0，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．②二阶导数法设函数f(x)在点x0处二阶可导，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．3．函数的凹凸性1)凹函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≤λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凹函数．2)凸函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≥λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凸函数．3)严格凹凸性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)λf(x1)+(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格凹函数或严格凸函数．4)凹凸性判定设函数f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，则①当f''(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上是凹函数；②当f''(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上是凸函数；③当f''(x)＝0时，函数f(x)在x处可能是拐点．解题提醒：①判定函数的单调性时，要注意定义域的连续性和可导性．②判定函数的极值和拐点时，要注意函数的可导性和二阶导数的符号．题型二函数单调性、极值和凹凸性的判定典型例题：求函数f(x)＝x3－3x2＋3的单调性、极值和凹凸性．解：(1)单调性f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2。
函数的奇偶性与周期性-知识梳理与典型题(非常全面)
函数的奇偶性与周期性1．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )关于原点对称就叫做奇函数2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，非零常数T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（）A ．(][),13,-∞-+∞B ．(][],11,3-∞-C ．[][]1,01,3- D ．[][)1,03,-+∞ 2．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．1-B ．0C ．1D ．23．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()11f =，()22f =，则()()124f f --等于（）A ．-2B ．2C ．-1D ．14．（2021·江苏南通市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()22f =，且对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()11f x f x +≤+，若()()1g x f x x =+-，则()2020g =（）A ．2020B ．3C ．2D ．15．（2021·河南高三其他模拟（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]5,16-=-，[]3π=.已知函数()21xf x x =+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1D ．{}0,16．（2021·全国高三其他模拟）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A ．y ＝||2x e xB ．y ＝2(1)||xx e x +C ．y ＝|2|xe x D ．y ＝22xe x 7．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（）A ．11(,)(,)22-∞-+∞ B ．11(,)22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(2,2)-8．（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））已知函数()2xxf x e ex -=--，若不等式()()2120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(]0,e B ．[]0,e C ．(]0,1D ．[]0,19．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中（理））已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数x 有()()55f x f x +=-+，若函数()1f x -的图象关于直线1x =对称，()12f -=，则()2021f =（）A ．5B ．-2C ．1D ．210．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．211．（2021·新余市第一中学高三其他模拟（理））关于函数()sin xf x x=，()0,x ∈+∞的性质，以下说法正确的是（）A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 在()0,π上有极值C ．函数()f x 在()0,∞+单调递减D ．函数()f x 在()0,∞+内有最小值12．（2021·陕西咸阳市·高三三模（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()26f x f x -=-+，当[]0,4x ∈时，()31,02,164,24,x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<≤⎩则()()()20202021f f f +=（）A ．1-B ．4C ．4-D ．113．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()πcos2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．514．（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x xaf x =+，则f (101)+f (105)的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．015．（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减16．（2019·全国高考真题（理））函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．17．（2010·安徽高考真题（理））若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -=A ．－1B ．1C ．－2D ．218．（2016·四川高考真题（理））已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5((1)2f f -+54-=____________.19．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．20．（2019·北京高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．1．C 【分析】首先将()10xf x -≤转化为()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，根据函数单调性解()10f x -≥和()10f x -≤，进而可以求出结果.【详解】因为()10xf x -≤，所以()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，所以()001310012x x x f x x ≥≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨-≤≤-≤⎩⎩，因为()f x 在R 上为奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()20f -=，因此()001010211x x x f x x ≤≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨⎨-≥-≤-≤-⎩⎩，综上：不等式()10xf x -≤的解集为[][]1,01,3- .故选：C.2．C 【分析】由()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，可得函数的周期为4，再奇函数的性质可得()20log 0f a ==，从而可求出1a =，进而可求得()2021f 的值【详解】解：因为()y f x =为奇函数，即()()f x f x -=-，因为对任意x ∈R ，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，所以()20log 0f a ==，所以1a =，则()()()22021505411log 21=⨯+===f f f .故选：C.3．C 【分析】根据函数的周期性与奇偶性计算可得；【详解】解：∵若()f x 是R 上周期为5的奇函数，∴()()f x f x -=-，(5)()f x f x +=，∴(12)(12)f f -=-(2)2f =-=-，(4)(1)(1)1f f f =-=-=-，∴(12)(4)2(1)1f f --=---=-，故选：C .4．D 【分析】本题由不等式()()33f x f x +≥+和()()11f x f x +≤+，带入()()1g x f x x =+-后得到即()()1g x g x +≤，即()()1g x g x ≤+，可得()()1g x g x +=，可得周期为1，即可得解.【详解】因为对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()1g x f x x =+-，所以()()()33113g x x g x x +++-≥+-+，即()()3g x g x +≥.又对任意的x ∈R ，()()11f x f x +≤+，所以()()()11111g x x g x x +++-≤+-+，即()()1g x g x +≤，所以()()()()321g x g x g x g x ≤+≤+≤+，即()()1g x g x ≤+，所以()()1g x g x +=，从而()g x 是周期为1的周期函数.又()()22121g f =+-=，所以()()202021g g ==.故选：D5．B 【分析】由()21xf x x =+为奇函数，可先分析函数0x >时值域，即可得函数在R 上值域，利用高斯函数的意义求解即可.【详解】因为x ∈R ，()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数.当0x >时，()210122x x f x x x <=≤=+，所以当x ∈R 时，()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，从而()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}1,0-.故选：B 6．C 【分析】通过奇偶性及特殊值分析即可【详解】A 项为奇函数，排除，B 项，当0x >，1||e 2e 2||x xy x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，排除D 项2x =时218e y =<，排除故选：C7．A 【分析】先求出()f x 的定义域，然后利用奇函数的性质求出a 的值，从而得到()f x 的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出()g x 的值域．【详解】因为21()log (1)f x x a=++，所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <--或x a >-，所以()f x 的定义域为{|1x x a <--或}x a >-，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a --=，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11(,(,)22-∞-+∞ ，因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22-∞-+∞ .故选：A .8．D 【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性即可将不等式转化为2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立，根据恒成立问题求解即可.【详解】解：()2xxf x e ex -=-- 的定义域为R 关于原点对称，且()()2xx f x ee xf x --=-+=-，()f x ∴为R 上的奇函数，又()12xx f x e e'=+- ，而12x x e e +≥=，当且仅当1xx e e =，即0x =时等号成立，故()120x x f x e e '=+-≥恒成立，故()f x 为R 上的增函数，不等式()()2120f axf ax +-≥对x R ∀∈恒成立，即()()212f axf ax ≥--对x R ∀∈恒成立，即()()221f ax f ax ≥-对x R ∀∈恒成立，即221ax ax ≥-对x R ∀∈恒成立，即2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立，当0a =时，不等式恒成立，当0a ≠时，则()20240a a a >⎧⎪⎨∆=--≤⎪⎩，解得：01a <≤，综上所述：[]0,1a ∈.故选：D.9．D【分析】先根据对称性分析出()f x 的奇偶性，然后根据()()55f x f x +=-+分析出()f x 为周期函数并求解出一个周期，根据奇偶性和周期性求解出()2021f 的值.【详解】由函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称可知，函数()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，又由()()55f x f x +=-+，得()()()()555555f x f x f x f x ++=-++=--++=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是周期为10的偶函数.所以()()()()2021120210112f f f f =+⨯==-=，故选：D.结论点睛：通过对称性判断函数奇偶性的常见情况：（1）若函数()y f x a =+的图象关于直线x a =-对称，则()f x 为偶函数；（2）若函数()y f x a =+的图象关于点(),0a -成中心对称，则()f x 为奇函数.10．C【分析】根据()f x 为R 上的奇函数可求出a ，又()1f x +为偶函数，可推出()f x 为周期函数，利用周期性即可求解.【详解】解： ()f x 为R 上的奇函数，且当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+∴()00f =，即2log 0a =，1a \=，∴当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，()1f x +为偶函数，()()11f x f x ∴+=-+，()()2f x f x ∴+=-，又 ()f x 为R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，∴()f x 是周期为4的周期函数，∴()()()()22021450511log 111f f f =⨯+==+=，故选：C.【点睛】()数，利用周期性求解.11．D【分析】根据周期性的定义可知，函数()f x 的周期不是2π；再利用导数即可判断函数的单调性，极值和最值．【详解】对于A ，因为()()sin 2sin 222x x f x x x ππππ++==++，当sin 0x ≠时，()()2f x f x π+≠，所以函数()f x 的周期不是2π，A 错误；对于B ，因为()2cos sin x x x f x x-'=，设()cos sin g x x x x =-，()cos sin cos sin g x x x x x x x '=--=-，当()0,πx ∈时，()0g x '<，所以()()00g x g <=，即()0f x '<，故函数()f x 在()0,π上单调递减，B 错误；对于C ，()()20f f ππ==，所以函数()f x 在()0,∞+上不单调，C 错误；对于D ，因为当0sin 1x ≤≤时，()0f x ≥，当1sin 0x -≤<时，()sin 10x f x x x >=≥-，当且仅当()322x k k N ππ=+∈时取等号，而1y x=-在()0,∞+上单调递增，所以当32x π=时，函数()f x 取得最小值，D 正确．故选：D.12．C【分析】由已知可求得函数()f x 的周期为8，再利用函数的解析式代入可得选项．【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =，又()()26f x f x -=-+，所以()()2262f x f x ⎡⎤⎡⎤--=-+-⎣⎦⎣⎦，即()()()444f x f x f x -=-+=--，所以函数()f x 的周期为8，所以()()4164402020f f =-⨯==，()()()202000f f f ==，()()()()20215316434f f f ==-=--⨯=-，故选：C ．【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.13．A【分析】由()()2f x f x +=，可知()f x 是周期2T =的周期函数，结合函数的奇偶性，可作出()f x 的图象.令()0f x x -=，可将函数()y f x x =-的零点问题转化为()y f x =和()g x x =的图象交点个数问题，进而求出交点个数即可.【详解】因为()()2f x f x +=，即函数()f x 是周期2T =的周期函数.又∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且[0,1]x ∈时，()πcos2f x x =，∴当[1,0)x ∈-时，ππ()()cos()cos 22f x f x x x =-=-=，令()0f x x -=，则函数()y f x x =-的零点个数即为函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数，分别作出函数()y f x =和()g x x =的图象，如下图，显然()f x 与()g x 在[1,0)-上有1个交点，在[0,1]上有一个交点，当1x >时，()1g x >，而()1f x ≤，所以1x >或1x <-时，()f x 与()g x 无交点.综上，函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数为2，即函数()y f x x =-的零点个数是2.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查求函数零点个数问题.一般的，求函数()y f x =的零点个数，常用的方法：（1）直接解方程()0f x =，求出方程的解的个数，也就是函数()y f x =的零点个数；（2）作出函数()y f x =的图象，其图象与x 轴交点的个数就是函数()y f x =的零点的个数；（3）化函数零点个数问题为方程()()=g x h x 的解的个数问题，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是函数()y f x =的零点的个数.14．A【分析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)f x f x -=+求得函数f (x )是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)=0，又由x ∈[0，1]时，()22x x a f x =+，则有f (0)=1+a =0，解可得：a =﹣1，则有1()22x xf x =-，又由f (﹣x )=f (2+x )，即f (x +2)=﹣f (x )，则有f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222f f f f ==-===-=，故有f (101)+f (105)=3，故选：A ．【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.15．D根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．17．A【解析】∵f(x)是R 上周期为5的奇函数∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1,f(3)-f(4)=-2+1=-118．-2【详解】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.考点：函数的奇偶性和周期性.19．②③【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．-1;(],0-∞.【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围.【详解】若函数()x x f x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x x f x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.-∞即实数a的取值范围是(],0。
函数的奇偶性与周期性知识点总结
函数的奇偶性与周期性知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在学习函数的过程中，我们会遇到一些特殊的函数类型，包括奇函数、偶函数和周期函数。
本文将对这些函数类型的特点进行总结，并介绍函数的奇偶性和周期性的相关知识点。
一、奇函数和偶函数1. 奇函数：奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数以原点对称，图像在坐标系的左右两侧关于原点对称。
例如，f(x) = x^3 和 f(x) = sin(x) 都是奇函数。
2. 偶函数：偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数以y轴对称，图像在坐标系的左右两侧关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2 和 f(x) = cos(x) 都是偶函数。
二、奇偶性的性质1. 奇函数的性质：（1）奇函数的图像关于原点对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, -y）也在图像上。
（2）奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）奇函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为奇函数。
2. 偶函数的性质：（1）偶函数的图像关于y轴对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, y）也在图像上。
（2）偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）偶函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为偶函数。
三、周期函数周期函数是指在一定范围内，函数值呈现重复的规律性变化。
具体来说，对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)。
T称为函数的周期，一个周期内的函数值是相同的。
例如，f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 都是周期函数。
周期函数的性质：1. 周期函数的图像以某个区间为一个完整的重复单位。
2. 周期函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
3. 周期函数的一个重要性质是：周期函数与周期函数的乘积仍为周期函数。
函数的奇偶性知识点总结及练习
2.4 函数的奇偶性学习目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判定奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．重点难点：函数奇偶性和周期性的应用一、知识要点一、函数奇偶性概念：若是关于函数f(x)概念域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，那么称f(x)为奇函数；若是关于函数f(x)概念域内的任意x都有f(－x)=f(x)，那么称f(x)为偶函数；若是函数f(x)不具有上述性质，那么f(x)既不是奇函数也不是偶函数；若是函数同时具有上述两条性质，那么f(x)既是奇函数，又是偶函数．二、函数奇偶性的判定方式：概念法、图像法（1）利用概念判定函数奇偶性的格式步骤：①第一确信函数的概念域是不是关于原点对称；②确信f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，那么f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，那么f(x)是奇函数．②函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性概念可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，概念域关于原点对称．（2)利用图像判定函数奇偶性的方式：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数．3、函数奇偶性的性质：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．二、例题精讲题型1：函数奇偶性的判定1．判定以下函数的奇偶性：① x x x x f -+-=11)1()(, ②29)(x x f -=,③22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩ ④2211)(x x x f --=变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有概念，以下函数：① y =－|f （x ）|； ②y =xf （x 2）； ③y =－f （－x ）； ④y =f （x ）－f （－x ）．必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）题型2： 函数奇偶性的证明1．已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)．求证：f(x)是奇函数．题型3： 函数奇偶性的应用1．设概念在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，假设f(1-m)<f(m)，求实数m 的取值范围．变式1：已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判定()f x 在(,0)-∞上是增函数仍是减函数变式2：函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，假设()(2)f a f ≤,那么实数a 的取值范围是三、巩固练习1．已知函数y=f(x)是概念在R 上的奇函数，那么以下函数中是奇函数的是 ．①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=x ·f(x); ④y=f(x)+x ．2．设函数假设函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，那么)(x f 的递减区间是 ．3．已知y=f(x)是概念在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，那么在x<0上f(x)的表达式为 ．4．设f (x )=ax 5+bx 3+cx －5(a ,b ,c 是常数)且(7)7f -=,那么f （7）= ．5．假设函数()2f x x b =+的图象关于原点对称，那么实数b 应知足的条件是 ．6．已知函数3()1f x ax bx =++，常数a 、b R ∈，且(4)0f =，那么(4)f -= ．7．()y f x =在(),0-∞内为减函数，又()f x 为偶函数，那么(3)f -与(2.5)f 的大小关系为 ．8．已知函数2()f x ax bx c =++是概念在[]a a -1,2上的偶函数，那么a = ，________b =． 9．已知函数()f x 是概念在R 上的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =-，那么(1)f = ．10．判定以下函数的奇偶性 ①xx y 13+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4；11．已知函数()y f x =是概念在实数集R 上的偶函数，当0x ≥时，2()23f x x x =--．（1）写出函数()y f x =的表达式； （2）作出()y f x =的图象；（3）指出函数的单调区间及单调性． （4）求函数的最值．。
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1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.★备考知考情1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等．2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题．3.多以选择题、填空题的形式出现.一、知识梳理《名师一号》P18注意：研究函数奇偶性必须先求函数的定义域知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．123.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称.知识点二 奇函数、偶函数的性质1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f .3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1奇函数与偶函数的定义域有什么特点？(1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．(补充)1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ．(0)0=f 是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法：1)首先要研究函数的定义域，32)其次要考虑()f x 与()f x -的关系，也可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=（对数型函数用），()1()f x f x =±-（指数型函数用）． 3)分段函数应分段讨论（2）图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断． （3）复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依 若干个函数的奇偶性而定，概括为 “同奇为奇，一偶则偶”．注意：证明函数的奇偶性的方法只有定义法知识点三 函数的周期性 1.周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称非零常数T 为这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 并不是任何周期函数都有最小正周期， 如常量函数)()(R x a x f ∈=；43.几个重要的推论 （1）《名师一号》P19 问题探究 问题3 若函数()f x 恒满足()()f x a f x +=-(0)a ≠， 则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期； 若函数()f x 恒满足1()()f x a f x +=(0)a ≠， 则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；若函数()f x 恒满足1()()f x a f x +=-(0)a ≠， 则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；(补充)若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=+，则()f x 是周期函数，b a -是它的一个周期；（2）(补充)注意区分：若()()f a x f a x -=+（或()(2)f x f a x =-）则函数()f x 关于a x=对称。
若()(2)f x f a x =--则函数()f x 关于点(),0a 对称。
推广：若函数()f x 恒满足)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2ba x +=。
5（3）(补充)已知奇函数()f x 的图象关于直线x a =对称， 则()f x 是周期函数，且4a 为其中的一个周期若偶函数()f x 的图象关于直线x a =对称， 则()f x 是周期函数，且2a 为其中的一个周期二、例题分析：（一）证明（判断）函数的奇偶性 例1. (补充)判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝(2－x )2＋x2－x.(2)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2 x <－10 |x |≤1－x ＋2 x >1.(3)f (x )＝1a x －1＋12(a >0且a ≠1)解析：(1)由2＋x 2－x≥0得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．6(2)x <－1时，－x >1，∴f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )． x >1时，－x <－1，f (－x )＝－x ＋2＝f (x )． －1≤x ≤1时，f (x )＝0，－1≤－x ≤1，f (－x )＝0＝f (x )．∴对定义域内的每个x 都有f (－x )＝f (x )． 因此f (x )是偶函数．(3)∵f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，其定义域关于原点对称，并且有f (－x )＝1a －x －1＋12＝11a x －1＋12＝a x 1－a x ＋12＝－1－a x －11－a x ＋12＝－1＋11－a x ＋12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12＝－f (x )． 即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(4)(补充) 函数|3||4|92-++-=x x x y 的图象关于 （ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0=-y x 对称答案：B注意：(补充)1.如何判断函数奇偶性：第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断．2．分段函数(2)判断奇偶性画图判断更方便直观．(3)验证f(－x)＋f(x)＝0更方便些．温故知新P13知识辨析2（1）（2）(1) (2()logf x x=+既不是奇函数也不是偶函数（）(2) (()1f x x=-是偶函数（）答案：（1）奇函数（2）非奇非偶注意：1、关注定义域2、利用函数奇偶性定义的等价形式：78()()0f x f x ±-=（对数型函数用）， ()1()f x f x =±-（指数型函数用）练习：(补充)判断下列函数的奇偶性．(1) ()2lg 1()22x f x x -=--(2) ()()220()0x xx f x x xx ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩(3) ()f x =(4) 2()2f x x x a =--+(5)21()21x x f x -=+答案：（1）奇 （2）偶 （3）既奇又偶 （4）0a = 偶；0a ≠非奇非偶 ()()f a f a ≠-()()0f a f a +-≠注意：否定函数奇偶性：只须说明在定义域D 中，0x D ∃∈，使()00()f x f x -≠±(5)证明：函数()f x 的定义域为R ，9且212()12121x x xf x -==-++，所以 2222()()(1)(1)2()21212121x x x x f x f x ---+=-+-=-+++++ 2222(21)2()2220212121x x x x x ⋅+=-+=-=-=+++.即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数.（二）函数奇偶性的应用 1、已知函数奇偶性，求值 例1.（1）《名师一号》P19 对点自测 4（2）已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝－2.( )例1.（2）(补充)已知函数1()lg1xf x x-=+， 若1()2f a =，则()f a -等于（ ）A ．12B. 12-C.2D.2-10答案：B注意：(补充)（1） 一般关于()f a 与()f a -的值或关系的问题首先考虑奇偶性。
（2） 已知函数的奇偶性注意利用()f x 与()f x -的关系 温故知新P23 第3题（2013辽宁）已知函数)2()log 31f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=《名师一号》P19 变式思考1（2）221()1x x f x x ++=+，若()23f a =，则()f a -=练习:(补充)已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f _______ 答案：172、已知函数奇偶性，求参数的值或取值范围例1.《名师一号》P19 对点自测 3已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13 B.13 C.12D．－12解析依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝13，则a＋b＝13.例2.《名师一号》P20 特色专题典例（1）若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝___.【规范解答】∵f(－x)＝k－2－x1＋k·2－x＝k·2x－12x＋k，∴f(－x)＋f(x)＝k－2x2x＋k＋k·2x－1·1＋k·2x1＋k·2x2x＋k1112 ＝k 2－122x ＋11＋k ·2x 2x ＋k. 由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1，∴k ＝±1.注意：本例易忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1.注意：1、利用函数奇偶性的定义：()f x 与()f x -的关系， 也可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=（对数型函数用）， ()1()f x f x =±-（指数型函数用） 2、利用特殊值()f a 与()f a -的关系得到关于待求参数的方程（组）求得参数再利用奇偶性的定义证明切记:若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件练习:(补充)1、已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为13[1,2]a a -.则a = ，b =解：函数是偶函数，所以定义域关于原点对称. ∴1123a a a -=-⇒=，0b =2、设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝__分析：∵f (x )为奇函数，定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}， 故对 ∀x ∈R 且x ≠0有f (－x )＝－f (x )， 从而可取某个特殊值(例如x ＝1)求解解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∴a ＝－1.须检验!法二:由定义求解对∀x ∈R 且x ≠0有f (－x )＝－f (x )恒成立答案：－13.定义在)1,1(-上的奇函数2()1x mf x x nx +=++，则常数m =____, n =_____。