2020年长春市高三数学(理)高考三模试卷附答案解析

19.(12 分) 四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为直角梯形,BC//AD,AD⊥DC,BC=CD=1,AD=2,PA=PD,E 为 PC 中点, 平面 PAD⊥平面 ABCD，F 为 AD 上一点,PA//平面 BEF.
(1)求证:平面 BEF⊥平面 PAD; (II)若 PC 与底面 ABCD 所成的角为 60°.求二面角 E-BF-A 的余弦值.
16.现有一批大小不同的球体原材料,某工厂要加工出一个四棱锥零件,要求零件底面 ABCD 为正 方形,AB=2,侧面△PAD 为等边三角形,线段 BC 的中点为 E,若 PE=1.则所需球体原材料的最小体积为 ____.
三､解答题:共 70 分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第 17~21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答｡第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答｡
(二)选考题:共 10 分,请考生在 22-23 题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4 坐标系与参数方程](10 分)
以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为
2
12 3 sin2
(
[0,
2
])
,直线
1
的参数方程为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
4
21.(12 分)
已知函数 f (x) m ln x, g(x) x 1 (x 0) . x
(1)讨论函数 F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上的单调性; (II)是否存在正实数 m,使 y=f(x)与 y=g(x)的图象有唯一一条公切线,若存在,求出 m 的值,若不存在, 请说明理由.
A.110
B.220
C.440
D.880
12.设椭圆的左右焦点为 F1, F2 , 焦距为 2c,过点 F1 的直线与椭圆 C 交于点 P,Q,若 | PF2 | 2c, 且
|
PF1
|
4 3
|
QF1
|
,则椭圆
C
的离心率为
A. 1 2
B. 3 4
C. 5 7
D. 2 3
2
二､填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分｡
13.一名信息员维护甲､乙两公司的 5G 网络,一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的概率分别 为 0.4 和 0.3,则至少有一个公司不需要维护的概率为___.
14.等差数列{an}中, a1 1, 公差 d∈[1,2],且 a3 a9 a15 15, 则实数λ的最大值为___.
15.若 x1, x2 是函数 f (x) x2 7x 4lnx 的两个极值点,则 x1x2 __； f (x1) f (x2 ) ___.(本题第一空 2 分,第二空 3 分)
(1)当 x∈R 时,有 f(x)≤g(x),求实数 m 的取值范围; (II)若不等式 f(x)≥0 的解集为[1,3],正数 a,b 满足 ab-2a-b=3m-1,求 a+b 的最小值.
5
6
7
8
9
10
11
①若 m⊥α,m//β,则α⊥β;
②若 m⊥α,m//n,n β,则α⊥β;
③若 n⊥α,n⊥β,m⊥α,则 m⊥β;
④若 m⊥α,m⊥n,则 n//α.
其中真命题的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
8.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一,风雨桥由桥､塔､亭组成,其塔俯视图通常是正方形､正六边
1
形和正八边形.右下图是风雨桥中塔的俯视图｡该塔共 5 层,若 B0B1 B1B2 B2B3 B3B4 0.5m, A0B0 8m. 这五层正六边形的周长总和为
D. {2, 1, 0,1}
2.已知复数 z=(a+i)(1-2i)(a∈R)的实部为 3,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的虚部为
A.-1
B.-i
C.1
D.i
3.已知向量
a
=(1,-2),
b
=(3,-3),
c
=(1,t),若向量
a
与向量
b
c
共线,则实数
t=
A.5
B.-5
C.1
D.-1
4.已知函数 f (x) cos x 3 sin x 的图象为 C,为了得到关于原点对称的图象,只要把 C 上所有的点
其中 x 为改进工艺前质量标准值 x 的平均值,改进工艺后,每张正牌和副牌宣纸的利润都下降 2 元, 请判断该公司是否应该购买这种机器,并说明理由.
3
18.(12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=4ccosB. (1)求证:sinBcosC=3sinCcosB; (II)求 B-C 的最大值.
A.35m
B.45m
C.210m
D.270m
9.已知圆 E 的圆心在 y 轴上,且与圆 C: x2 y2 2x 0 的公共弦所在直线的方程为 x 3y 0, 则圆 E 的方程为
A. x2 ( y 3)2 2
B. x2 ( y 3)2 2
C. x2 (y 3)2 3
D. x2 ( y 3)2 3
(一)必考题:共 60 分｡
17.(12 分)
笔､墨､纸､砚是中国独有的文书工具,即“文房四宝”.笔､墨､纸､砚之名,起源于南北朝时期,其中的 “纸”指的是宣纸,宣纸“始于唐代,产于泾县”,而唐代泾县隶属于宣州府管辖,故因地而得名“宣纸”,宣纸 按质量等级,可分为正牌和副牌(优等品和合格品),某公司年产宣纸 10000 刀(每刀 100 张),公司按照某 种质量标准值 x 给宣纸确定质量等级,如下表所示:
2020 年长春市高三数学（理）高考三模试卷
一､选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
1.设集合 A {x Z | x2 4} ,B={x|-4<x<2},则 A∩B=
A.{x|-2≤x<2}
B.{x|-4<x≤2}
C.{2, 1, 0,1, 2}
y
2 3
25 5 5t 5
t
(t
为参数).
(1)求曲线 C 的参数方程与直线 l 的普通方程;
(II)设点 P 为曲线 C 上的动点,点 M 和点 N 为直线 l 上的点,且满足△PMN 为等边三角形,求△PMN 边长的取值范围.
23.[选修 4-5 不等式选讲](10 分)
已知函数 f x m x 2 , m R,g x x 3 .
2
2
A.向左平移 个单位 3
B.向左平移 2 个单位 3
C.向右平移 个单位 3
D.向右平移 2 个单位 3
5.函数
f (x)
x3 ex ex
的图象大致为
6.在
(x
1 x2
)5
的展开式中,一定含有
A.常数项
B.x 项
C. x1 项
D. x3 项
7.已知直线 m,n 和平面, , , 有如下四个命题:
x
(48,52] (44,48]∪(52,56] (0,44]∪(56,100]
质量等级 正牌
副牌
废品
公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀(100 张)进行检验,得到频率分布直方图如图所示,已知每 张正牌纸的利润是 10 元，副牌纸的利润是 5 元，废品亏损 10 元.
(1)估计该公司生产宣纸的年利润(单位:万元); (II)该公司预备购买一种售价为 100 万元的机器改进生产工艺,这种机器的使用寿命是一年,只能 提高宣纸的质量,不影响产量,这种机器生产的宣纸的质量标准值 x 的频率,如下表所示:
B.所有主题中,三个学段的总和“图形与几何”条目数最多,占 50%,综合与实践最少,约占 4%
C.第一､二学段“数与代数”条目数最多,第三学段“图形与几何”条目数最多.
D.“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长,而其百分比却一直在减少.“图形与几何”条目数, 百分比都随学段的增长而增长.
11. 已 知 数 列 {an} 的 各 项 均 为 正 数 , 其 前 n 项 和 Sn 满 足 4Sn an2 2an , (n N*) , 设 bn (1)n anan1, Tn 为数列{bn} 的前 n 项和,则 T20
10.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中,列出各个学段每个主题所包含的条目数(如 下表),下右图是将统计表的条目数转化为百分比,按各学段绘制的等高条形图,由图表分析得出以下四 个结论,其中错误的是
A.除了“综合与实践”外,其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加,尤其“图形与几何”在第 三学段增加较多,约是第二学段的 3.5 倍｡
20.(12 分) 已知点 A(0,1),点 B 在 y 轴负半轴上,以 AB 为边做菱形 ABCD,且菱形 ABCD 对角线的交点在 x 轴上,设点 D 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (II)过点 M(m,0),其中 1<m<4,作曲线 E 的切线,设切点为 N,求△AMN 面积的取值范围.