2015年华侨港澳台联考数学真题

2015年中华人民共和国普通高等学校联合招收

华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试

数 学

满分150分，考试用时120分钟

一、选择题：每个小题选对给5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律给0分。

（1）0

sin 225= （ ） （A ）

2-

（B

）2 （C ） 12- （D ） 1

2

（2）设平面向量(1,2),(3,2)a b =-=-，则2+a b =（ ）

（A ） (1,0) （B ）(1,2) （C ） (2,4) （D ） (2,2) （3）设集合{}1234A ⊆，，，，若A 至少有3个元素，则这样的A 共有（ ） （A ） 2个 （B ）4个 （C ） 5个 （D ） 7个

（4）设()y f x =是212x x

y --=+的反函数，则1

()5

f =（ ） （A ） 4 （B ）2 （C ） 12 （D ） 1

4

（5）设函数212

log (45)y x x =++在区间(,)a +∞是减函数，则a 的最小值为（ ）

（A ） 2 （B ）1 （C ） 1- （D ） 2- （6）不等式24x x ++<的解集为（ ）

（A ） {}1x x < （B ）{}61x x -<< （C ） {}4x x < （D ） {}

0x x < （7）已知函数sin (0)y x ωω=>的图像关于直线3

x π

=

对称，则ω的最小值为（ ）

（A ） 2 （B ）32 （C ） 23 （D ） 1

2

（8）函数cos()23x y π=+的图像按向量(,0)3

a π

=-平移后，所得图像对应的函数为（ ）

（A ）cos

2x y = （B ）cos 2x y =- （C ） sin 2x y = （D ） sin 2

x y =- （9）函数()()sin cos 1sin cos 1y x x x x =+-的最大值为（ ） （A ） 1 （B ）

34 （C ） 3

4

- （D ） 1- （10）直线l 与椭圆22

13618

x y +=相交于A,B 两点，线段AB 的中点为(21)，，则l 的斜率为（ ） （A ）

（B

） （C ） 1 （D ） 1-

（11）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，公比为q ，且1q <，若1

lim

33n n n

S S →∞+=--，

则q = （ ） （A ）23-

（B ）12- （C ） 12 （D ） 2

3

（12）有5本数学书、3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每类都有1

本的概率为（ ） （A ） 311 （B ）411 （C ） 511 （D ） 611

二、填空题：本大题共6小题；每小题5分。

（13）点(31)，-关于直线0x y +=的对称点为_____________ （14）曲线x

y xe =在点(00)，处的切线方程为_____________ （15）复数3(1)

i

z i i +=

+的共轭复数z =_____________

（16）A,B,C 为球O 的球面上三点，AB AC ⊥，若球O 的表面积为64π，O 到AB,AC 的

距离均为3，则O 到平面ABC 的距离为_____________

（17）在空间直角坐标系中，过原点作平面220x z --=的垂线，垂足为_____________

（18）若多项式4

3

2

(),(1)2p x x x ax bx c p =++++=，用2

+1x 除()p x 的余式为2，则

(1)p -=_____________

三、解答题：本大题共4小题；每小题15分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （19）设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，已知=1,sin 2sin ,2a C A B A ==，

求b 和B .

（20）设函数2()2x a

f x x

=

+，当1x =时()f x 取得极值 (Ⅰ) 求a ;

（Ⅱ）求()f x 的单调区间.

（21）已知数列{}n a 的前n 项和2

142

n n n S a -=--

(Ⅰ) 证明：数列{}

2n n a 是等差数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式.

（22）设()11,A x y 和()22,B x y 是抛物线2

:C y x =上的两点，且12+=10x x

(Ⅰ) 若1=1y ，求直线AB 的方程；

（Ⅱ）证明：当点,A B 在C 上运动时，线段AB 的垂直平分线过定点.