重庆八中高2021级高三阶段性检测数学答案
2021届重庆市第八中学高三上学期高考适应性月考卷数学试题及答案 (2)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. (1)(1)i i +-B. 2(1)i -C. (1)i i -D. 2(1)i i -2.命题“[0,1],tan x x x ∃∈≤”的否定是（ ） A. [0,1],tan x x x ∀∈≤ B. [0,1],tan x x x ∀∈> C. [0,1],tan x x x ∃∈>D. [0,1],tan x x x ∃∉>3.已知,a b R ∈，0a b >>且1a ≠，1b ≠，则（ ）A. a b +≥B.110a b-> C. ln()0a b ->D. log 1b a >4.“孙子定理”是中国古代求解整除问题的方法，是数论中一个重要定理，又称“中国剩余定理”．现有如下一个整除问题：将1至2021这2021个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列共有（ ） A.133项 B.134项 C.135项 D.136项5.在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为圆心且与直线10mx y m ---=（m R ∈）相切的所有圆中，半径最大的圆的面积为（ ）A. πB.C. 2πD. 3π6.五个人排一个五天的值日表，每一天由一个人值日，每人可以值日多天或不值日，但相邻两天不能是同一个人，且第一天和最后一天是同一个人，那么值日表的排法有（ ） A.120B.160C.240D.2607.已知函数()tan()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图1所示，且()1f π=-，则()6f π=（ ）A.B. C. 2 D. 28.已知定义域为R 的函数()f x 在(1,)+∞上为增函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，若3(log 2)m f =，6(log 9)n f =， 1.3(2)p f -=，则m ，n ，p 的大小关系为（ ）A. m n p >>B. n p m >>C.p m n >>D.n m p >>二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.在新冠疫情期间，世界卫生组织认为该疫情在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续5天，每天新增疑似病例不超过8人”．根据过去5天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）A.甲地：平均数为3，中位数为3B.乙地：平均数为2，众数为3C.丙地：中位数为3，众数为1D.丁地：平均数为3，方差为210.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，12(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数），则下列结论中正确的是（ ） A.数列{}n a 为等比数列 B.当1p =时，531S =C.当12p =时，*(,)m n m n a a a m n N +⋅=∈ D. 2n n S a p =-11.如图2，已知在平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，60BAD ︒∠=，为AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成PDE △，若PDE △为PC 的中点，则ADE △在翻折过程中（点P ∉平面ABCD ），以下命题正确的是（ ）A. //BM PDE 平面B. BM =C.存在某个位置，使MB DE ⊥D.当三棱锥P CDE -体积最大时，其外接球的表面积为12.在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6c =．记S 为ABC △的面积，下列命题正确的是（ ）A.若3C π=，则S 有最大值 B.若6A π=，a =S 有最小值33C.若2a b =，则cos C 有最小值0D.若10a b +=，则sin C 有最大值2425三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13.单位向量a ，b ，满足：222||||||a b a b -=+，若2c a b =+，则cos ,b c 〈〉=___________．14.某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元，旅行团中每人的飞机票价按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在35人或35人以下，每张机票收费900元；若旅行团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，每张机票减少20元，但旅行的人数最多不超过60人，则当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数为___________．15.在2(1)(12)nx x x +-+的展开式中x 的系数为-11，x 的奇次项的系数和为___________．16.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H .且l 与双曲线的右支相交于点P ，若12F H HP =，且2||5PF =.则12PF F △的面积为___________． 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知数列{}n a ，12a =，132n n a a +=+，*n N ∈．（1）求数列{}1n a +为等比数列，求n a ；（2）若12(1)n n n n b a a a +⋅⋅=+且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：3182n S ≤<． 18.（本小题满分12分） 设1ω>，函数2()sin()cos()cos()sin()3333f x x x x x ππππωω=++-+-的最小正周期为π． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若存在x R ∈，使得00(,())x f x 关于直线8x π=的称点在曲线22tan 1tan xy x=-上，求0cos 2x ． 19.（本小题满分12分）如图3，在四棱锥P ABCD -中，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，PC =222AD DC CB ===，E 为PD 上一点．（1）若E 为PD 的中点，证明：//CE PAB 平面；（2）若直线CE 与底面ABCD P AB E --的正弦值． 20.（本小题满分12分）已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，斜率为k 的直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为00(,)M x y ．（1）证明：0ky 为定值，并求出该定值；（2）以AB 为直径作圆M ，设圆M 与y 轴交于点P ，Q ，求PMQ ∠的取值范围． 21.（本小题满分12分）已知函数()cos 2ln(1)f x x x x =-++．（1）求()f x 在[0,)+∞上的最大值； （2）判断()f x 的零点个数，并说明理由． 22.（本小题满分12分）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12，被感染的白鼠数用随机变量X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立．（1）若(3)(97)P X P X ===，求数学期望()E X ； （2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p 与参数(01)θθ<<的取值有关．团队A 提出函数模型为2ln(1)3p θθ=+-，团队B 提出函数模型为1(1)2p e θ-=-．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量(1,2,,10)i X i =表示第i 组被感染的白鼠数，现将随机变量(1,2,,10)i X i =的实验结果(1,2,,10)i x i =绘制成频数分布图，如图4所示．假设每组白鼠是否被感染之间相互独立．①试写出事件“11221010,,,X x X x X x ===”发生的概率表达式感染只数（用p 表示，组合数不必计算）；②在统计学中，若参数0θθ=时使得概率11221010(,,,)P X x X x X x ===最大，称0θ是θ的最大似然估计．根据这一原理和团队A ，B 提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出估计值． 参考数据：3ln0.40652≈．重庆市第八中学2021届高考适应性月考卷（四）数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）【解析】1．由于(1)(1)2i i +-=，2(1)2i i -=-，(1)1i i i -=+，2(1)1i i i -=-+，故选B ． 2．根据含全称量词命题的否定可知，故选B ． 3．根据不等式可知，故选A ．4．能被3除余1且被5除余1的数就只能是被15除余1的数，故1514n a n =-，由12021n a ≤≤，得1135n ≤≤，又n N +∈，故此数列共有135项，故选C ．5．因为直线10()mx y m m R ---=∈恒过点(1,1)-，所以当点(1,1)-为切点时，半径最大，此时半径r =2π，故选C ．6．分类讨论：当第三天与第一天和最后一天是同一个人时，一共有11154480C C C =种方法；当第三天与第一天和最后一天不是是同一个人时，一共有11115433180C C C C =种方法；故一共有260种方法，故选D ． 7．由图知，函数()y f x =的周期为2π，所以12ω=，1()tan()2f x A x ϕ=+，由()02f π=，得tan()04πϕ+=，所以()4k k Z πϕπ=-+∈，11()tan()tan()2424f x A x k A x πππ=-+=-．由()1f π=-，得tan14A π=-，所以1A =-，故1()tan()24f x x π=--，从而()tan()66f ππ=--=，故选A ．8．由于(1)f x +为偶函数，则()f x 关于1x =对称，于是()f x 在(,1)-∞上单调递减，666(log 9)(2log 9)(log 4)f f f =-=，又 1.31 22-<，31log 212<<，又6311log 42log 22>=>>，故 1.336(2)(log 2)(log 4)f f f ->>，故p m n >>，故选C ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）【解析】9．若数据为9，3，3，0，0，则平均数为3，中位数为3，不符合该标志，排除A ；若有一个数据大于等于9，但平均数为2，则其它四个数据和为1，与众数为3矛盾，故B 正确；若数据为9，4，3，1，1，中位数为3，众数为1，排除C ；若有一个数据大于等于9，但平均数为3，则方差大于365，与方差为2矛盾，故D 正确，故选BD ．10．由12(2)n n S S p n --=≥，得22a p =．当3n ≥时，122n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又212a a =，数列{}n a 是首项为p ，公比为2的等比数列，故A 正确；由A 可得1p =时，54123112S -==-，故B 正确；由A可得m n m n a a a +⋅=等价为22122m n m n p p +-+-⋅=⋅，可得2p =，故C 错误；1112()n n n n n S S S S S p ----=--=，则1n n a S p --=，1n n a S p +-=且数列{}n a 是首项为p ，公比为2的等比数列，则2n n a S p -=，故选项D 正确，故选ABD ．11．如图1，取CD 的中点N ，连接MN ，BN ，M E ，分别为PC ，AB 的中点，//MN PD ∴，//BN DE ，MN BN N ⋂=，PD DE D ⋂=，且MN ，BN BMN ⊂平面，PD ，DE PDE ⊂平面，//BMN PDE ∴平面平面．又BM BMN ⊂平面，//BM PDE ∴平面，即A 正确；由A 可知，111222MN PD AD ===，1BN DE AD ===，60MNB PDE ADE ︒∴∠=∠=∠=，在BMN △中，由余弦定理知，22232cos 4BM MN BN MN BN MNB =+-⋅⋅∠=，2BM ∴=，是定值，即B 正确；取PD 的中点G ，则BMGE 为平行四边形，若存在某个位置，使MB DE ⊥，则EG DE ⊥与条件矛盾，故C 错误；当三棱锥P CDE -的体积最大时，平面PDE CDE ⊥平面，又CE DE ⊥，1CE A DE ∴⊥平面，设三棱锥1C A DE -的外接球的球心为O ，则外接球的半径OE ==∴外接球的表面积21343S ππ=⨯=，故D 正确，故选ABD.12．A 选项：当3C π=，则由余弦定理可知，22362cos 3a b ab π=+-，22362a b ab ab +=-≥，则36ab ≤，所以1sin 2S ab C =≤6a b ==时取最大值，故A 对；B 选项：当6A π=，a =余弦定理可知，2123626cos6b b π=+-⨯⨯，即2240b -+=，解得b =或b =，则min11622S =⨯⨯=B 对；C 选项：当2a b =，222223653659cos 244a b b C ab b b +--===-，又由三角形的性质可得26b <<，所以当25b <<时，cos 0C <，故C 错；D 选项：当10a b +=，则由余弦定理可知，22236()23632cos 122a b a b ab C ab ab ab +-+--===-，又10a b +=≥，则25ab ≤，7cos 25C ≥，24sin 25C ≤，当且仅当5a b ==时取最大值，故D 对，故选ABD ． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．法一：222||||||a b a b -=+，0a b ∴⋅=．令(1,0)a =，(0,1)b =，则(2,1)c =，||5c =，cos ,5||||5b c b c b c ⋅〈〉===⋅．法二：由2c a b =+，得221b c a b b ⋅=⋅+=，222||(2)445c a b a a b b =+=+⋅+=，cos ,5||||5b c b c b c ⋅∴〈〉===⋅．14．设旅行团的人数为x 人，每张机票收费为m 元，旅行社获得的机票利润为y ， 当135x ≤≤且x N ∈时，900m =，max 900351600015500y =⨯-=； 当3560x <≤且x N ∈时，90020(35)160020m x x =--=-，则22(160020)160002016001600020(40)16000y x x x x x =--=-+-=--+， 故40x =时，max 16000y =．故当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数为40人．15．因为2(12)nx x -+展开式中的常数项为1，x 的系数为12n C -，则2(1)(12)nx x x +-+的展开式中x 的系数为112n C -，则11211n C -=-，解得6n =．又2(1)(12)nx x x +-+的展开式中x 的奇次项的系数和是2(12)n x x -+展开式中所有项的系数和，令1x =，得2(12)n x x -+展开式中所有项的系数和为0，则x 的奇次项的系数和为0．16．易得1||F H b =，||OH a =，如图2，过2F 向1F P 作垂线，垂足为Q ，则OH 为12QF F △的中位线，则2||2F Q a =，||HQ b =，||PQ b =．在2QPF △中，22425b a +=，又12||||2352PF PF a b a -=⇒-=，则3b =，2a =，c =，121sin sin aPF F HFO c∠=∠=， 121121211||||sin 3231822PF F aS F P F F PF F b c ab c=⋅⋅∠=⨯⨯⨯==△．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解：（1）12a =，113(1)n n a a ++=+，则数列{}1n a +是首项为113a +=，公比为3的等比数列，………………………………………………………（2分）13n n a ∴+=，即31n n a =-． ………………………………………………………（5分）（2）12(1)n n n n b a a a +⋅⋅=+，1112(1)2311(31)(31)3131n n n n n n n n n a b a a ++++⋅∴===-----． ………………………………………………………（6分）12312231111111313131313131n n n n S b b b b +∴=++++=-+-++------- 11112312n +=-<-． ………………………………………………………（8分）111231n n S +=--为递增数列，则n S 的最小值为121132318S =-=-， 3182n S ∴≤<． ………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）由条件，2()sin()cos()cos()sin()3333f x x x x x ππππωω=++-+- sin()cos()cos()sin()3333x x x x ππππωω=++-++sin[()()]33x x ππω=+-+ sin(1)x ω=-．因为()f x 的最小正周期为π，所以21ππω=-，3ω=． ………………………………………………………（3分）从而()sin 2f x x =． 令22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，得44k x k ππππ-≤≤+，故()f x 的单调递增区间为[,]44k k ππππ-+，k Z ∈． ………………………………………………………（6分） （2）00(,())x f x 关于直线8x π=的对称点为00(,sin 2)4x x π-， 因为2222tan 2sin cos sin 21tan cos sin cos 2x x x x x x x x==--， 所以00020002tan()sin 2()cos 244sin 21tan ()cos 2()44x x x x x x ππππ--==---． 由条件，00202tan()4sin 21tan ()4x x x ππ-=--，得200sin 2cos 2x x =． …………………………………………………………（9分） 200cos 2cos 210x x +-=，所以01cos 22x =． ………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：取PA 的中点M ，连接BM ，EM ， E 为PD 的中点，//EM AD ∴，12EM AD BC ==， ∴四边形BCEM 为平行四边形，//CE BM ∴． CE PAB ⊂/平面，BM PAB ⊂平面，//CE PAB ∴平面．………………………………………………………（4分）（2）解：由PC =，222AD DC CB ===，由勾股定理可知CD PD ⊥，又CD AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以CD ⊥平面ADP ，取AD 的中点O ， 则BO ⊥平面PAD ，PO AD ⊥．以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建系，则(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,1)P ．设(0,,1)E y y -，设平面ABCD 法向量(0,0,1)n =，由直线CE 与底面ABCD所成角的正弦值为11，可得23y =，21(0,,)33E ． 设平面PAB 的法向量为1n ，平面ABE 的法向量为2n ，110,0,n PA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2200n EA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取1(1,1,1)n =-，2(1,1,5)n =-，二面角P AB E --的余弦值7cos 9θ=，正弦值sin 9θ=． ………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：设直线l 的方程为()2p y k x =-，由题意0k ≠． 联立直线与抛物线22, (),2y px p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 得222221(2)04k x p k x k p -++=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则2122(2)p k x x k ++=，2124p x x =． ………………………………………………………（3分）（1）证明：则202(2)2p k x k +=，00()2p p y k x k=-=，则0ky p =，即直线l 的斜率与0y 的乘积为定值．………………………………………………………（5分）（2）2122(22)||p k AB x x p k +=++=，则圆M 的半径22||(1)2AB p k r k +==， ………………………………………………………（7分）过圆M 作MN PQ ⊥，垂足为N ，则在Rt PMN △中，222||2111cos (,1)||222222M x MN k PMN MP r k k +∠====+∈++， ………………………………………………………（11分） 则22(0,)3PMQ PMN π∠=∠∈． ………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）1()sin 21f x x x '=--++， 当[0,)x ∈+∞时，()1210f x '<-+=，()f x ∴在[0,)+∞上单调递减，()f x ∴在[0,)+∞上的最大值为(0)1f =．………………………………………………………（３分）（2）由（1）知，当[0,)x ∈+∞时，()f x 在[0,)+∞上单调递减， 而(0)1f =，()ln(1)022f πππ=-++<，∴由零点存在定理知，()f x 在[0,)+∞上有唯一零点；当(1,0)x ∈-时，21()cos 0(1)f x x x ''=--<+， ()f x ∴'在(1,0)-上单调递减． 又11()sin()22022f '-=---+>，(0)10f '=-<，故存在01(,0)2x ∈-，使得0()0f x '=， 且0(1,)x x ∈-时，()0f x '>，0(,0)x x ∈时，()0f x '<， ()f x ∴在0(1,)x -上单调递增，在0(,0)x 上单调递减．又0()(0)1f x f >=，3333311112(1)cos(1)2(1)3cos(1)10f e e e e e -=----=---<， ()f x ∴在0(1,)x -上有一个零点，在0(,0)x 上无零点，综上，()f x 有两个零点．………………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）由题知，随机变量X 服从二项分布，1~(,)2X B n ， 由(3)(97)P X P X ===，得100n =，()50E X =．……………………………………………………（3分）（2）①11221010,,","A X x X x X x ====，193228333724466641010101010()((1))((1))((1))((1))((1))P A C p p C p p C p p C p p C p p =-----， 13233242257510101010()()()()()(1)P A C C C C p p =-．……………………………………………………（5分）②记1323324210101010()ln()()()()25ln 75ln(1)g p C C C C p p =++-， 则257525100()1(1)p g p p p p p -'=-=--， 当104p <<时，()0g p '>，()g p 单增； 当114p <<时，()0g p '<，()g p 单减． 当14p =时，()g p 取得最大值，即P 取得最大值．在团体A 提出的函数模型2ln(1)3p θθ=+-中， 记函数12()ln(1)3f x x x =+-，11212()133(1)x f x x x -'=-=++， 当102x <<时，1()0f x '>，1()f x 单增； 当112x <<时，1()0f x '<，1()f x 单减． 当12x =时，()f x 取得最大值311ln 234-<，则θ不可以估计． 在团体B 提出的函数模型1(1)2p e θ-=-中， 记函数21()(1)2x f x e -=-，2()f x 单调递增， 令21()4f x =，解得ln 2x =， 则ln 2θ=是θ的最大似然估计．…………………………………………………（12分）。
重庆市第八中学校2021学年下学期高三数学周测(二)(解析版)
重庆八中高2021级高三（下）周测（二）数 学 试 题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题:2p x <，2:2320q x x --<，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2.已知复数11z i =+，复数2z 满足123z z i =-，则2z 的虚部为A.2iB.2i -C. 2D. 2-3.已知α是第二象限的角，4sin 5α=，则tan2α= A.247-B.247 C. 2425- D. 24254.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，23S =，415S =，则5a =A.16B.12C. 8D. 45．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁、戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有A.8种B.12种C. 20种D. 24种 6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦．弦者，葛之长”．意思是：今有2丈长的圆木，其横截面周长3尺，葛藤从圆木底端绕圆木7周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：1丈＝10尺）A.29尺B.27尺C. 23尺D. 21尺 7.已知平行四边形ABCD 中，2EC DE =，2FC BF =，2FG GE =，则AG =A ．2839AB AD + B ．1334AB AD +C ．5799AB AD + D ．4193AB AD +8.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，作AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ，若4MF =，||NF =，则AB = A.103B.4C. 5D. 163二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市第八中学2021届高三上学期12月阶段性检测(6)数学试题
重庆八中高2021级高三（上）阶段性检测（6）数 学 试 题一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.1．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知{3A =-，0，1}，{4B =-，3-，1}，则A B 的真子集的个数为 A ．3B ．7C ．15D ．313．已知点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)4．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为A ．12B ．16C ．20D ．245．十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[01]，均分为三段，去掉中间的区间段12()33，，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0]3，，2[1]3，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；⋯如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：20.3010lg =，30.4771lg =）A ．4B ．5C ．6D ．76．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为θ，则tan()4πθ-=A ．75B ．17C ．7-D ．10-7．已知0,0,a b >>直线12:(4)10,:220,l x a y l bx y +-+=+-=且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为A ．2B ．4C ．23D ．45二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5份，部分选对得3分，选错不得分.8．若11122b a⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，c ∈，则下列关系式中一定成立的是A ．11a b> B ．33a b >C ．()()22ln 1ln 1a b >++D ．22c a c b <9．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长是2，右焦点与抛物线22:8C y x =的焦点F 重合，双曲线1C 与抛物线2C 交于,A B 两点，则下列结论正确的是 A ．双曲线1C 的离心率为23 B ．抛物线2C 的准线方程是2x =-C ．双曲线1C 的渐近线方程为3y x =±D ．203AF BF +=10．函数()cos()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，已知函数()f x 在区间[0,]m 有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2B ．点9(,0)4-为函数()f x 的一个对称中心C ．函数()f x 的图象向左平移32个单位后得到sin()y A x ωϕ=+的图象 D ．函数()f x 在区间3[,0]25m -上是增函数 11．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，*111312ln (),0n n n n b a b n N a b n++=++∈+>，给出下列四个命题，其中的真命题是 A ．数列{}n n a b -单调递增B ．数列{}n n a b +单调递增C ．数列{}n a 从某项以后单调递增D ．数列{}n b 从某项以后单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共40分.12．若圆锥轴截面面积为23，母线与底面所成角为60︒，则体积为 ．13．已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当()0,1x ∈时，函数()3x f x =，则13(log 4)f ＝ ．14．某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为 ．15．已知点1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点0(M x ，00)(0)y x <4345-1为C 的渐近线与圆222x y a +=的一个交点，O 为坐标原点，若直线1F M 与C 的右支交于点N ，且22||||||MN NF OF =+，则双曲线C 的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，满分75分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（15分） 如图，在梯形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，M 为AD 上一点，22AM MD ==，60BMC ∠=︒．（1）若60AMB ∠=︒，求BC ；（2）设DCM θ∠=，若4MB MC =，求tan θ．17．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，123,2AB A A ==，,,D E F 分别为线段11,,AC A A C B 的中点．（1）证明：EF ABC ∥平面；（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值．18．（12分）某单位招考工作人员，须参加初试和复试，共5000人参加初试，初试通过后组织考生参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．（1）通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布2(,)N μσ，其中64μ=，2169σ=，试估计初试成绩不低于90分的人数；BB 1C 1DF E A 1C A（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为32，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=． 19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，122n n S +=-，数列{}n b 满足：1322,6b b b =-=，数列{}n b n为等差数列．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设(1)1n n n nc a b -=+，数列{}n c 的前n 项和为n T ．若对于任意*n N ∈均有k n T T ，求正整数k 的值．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，且经过点3(1,)．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ y ⊥轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线:1l y =-于点C ，N 为线段BC 的中点，若四边形MOBN 的面积为2，求直线AM 的方程．21．（12分）已知函数()2()x f x xe ax alnx a R =--∈． （1）若2a e =，求函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．重庆八中高2021级高三（上）阶段性检测（6）参考答案一．单项选择题1-7 ACAACBD 二、多项选择题8.AC 9.BC 10.BCD 11。
2021届重庆市第八中学高三上学期阶段性测试数学试题(解析版)
2021届重庆市第八中学高三上学期阶段性测试数学试题一、单选题1．与角2021︒终边相同的角是（ ） A ．221° B ．2021-︒C ．221-︒D ．139︒【答案】A【解析】根据终边相同的角相差360的整数倍，逐个判断即可. 【详解】2021360=5︒÷余221，故A 正确，B 、 C 、 D 中的角均不与角2021︒终边相同.故选：A . 【点睛】本题考查了终边相同角的概念，考查了简单的计算，属于概念题，本题属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，若21m ii++是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．2C ．﹣2D ．12-【答案】C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解． 【详解】 解：2(2)(1)221(1)(1)22m i m i i m mi i i i ++-+-==+++-是纯虚数， ∴202202m m +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，即2m =-．故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．3．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：10lg II η=（其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度），则60dB 的声音强度1I 是50dB 的声音强度2I 的（ ）A ．76倍 B ．7610倍C ．10倍D ．7ln 6倍【答案】C【解析】由题设中的定义，将音量值代入010Ilg I η=，计算出声音强度1I 与声音强度2I 的值，再计算出即可求出倍数 【详解】解：由题意，令106010I lgI =，解得，61010I I =⨯，令25010I lg I =，解得，52010I I =⨯， 所以1210I I = 故选：C ． 【点睛】本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键，属于基础题.4．小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】B【解析】首先将小涛与小江、小玉捆绑在一起，其中小涛在小江与小玉之间，再与其他两个人全排列，按照分步乘法计算原理计算可得； 【详解】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得323212A A ⋅=故选：B 【点睛】本题考查捆绑法解决排列组合问题，属于基础题.5．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()π2f f e f <<B ．()()()2πf f e f '''<<C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<【答案】D【解析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项. 【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型. 6．函数())2ln1f x x kx =+的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】假设函数为奇函数和偶函数时，分别根据图象求得k 的值，即可得答案； 【详解】因为A 、B 选项中，图像关于原点对称， 所以()f x 为奇函数，()()0f x f x +-=， 即))22ln1ln10,x kx x kx +++=()()22222ln 1ln1,10x k x k x+-=-=，所以1k =±．当()1,k f x =的图像为选项A ；当()1,k f x =-的图像为选项B ．而C 、D 选项中，图像关于y 轴对称， 所以()f x 为偶函数，()()f x f x =-， 即))22ln1ln1,0x kx x kx kx +=+=，所以0k =．当()0,0k f x =≥，故()f x 的图像为选项D ，故()f x 的图像不可能为C ． 故选：C ． 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.7．已知函数()3ln f x x m x =+在区间[]2,3上不是单调函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(),81-∞- B ．()24,-+∞C ．()81,24--D ．()81,-+∞【答案】C【解析】求得()()32330m x mf x x x x x+'=+=>，然后分0m ≥,0m <两种情况讨论，得到()f x 的单调性，然后可建立不等式求解. 【详解】由()3ln f x x m x =+可得()()32330m x mf x x x x x+'=+=>，当0m ≥时，()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，不满足题意；当0m <时，由()0f x '>得x >，由()0f x '<得0x <<所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 要使得函数()3ln f x x m x =+在区间[]2,3上不是单调函数，则有23<<，解得：8124m -<<-. 故选：C【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想.8．已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f ++=，()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，则()20201f +=（ ） A ．0 B ．2-C ．1-D ．1【答案】D【解析】由()1y f x =-的图象关于点()1,0对称有()f x 关于点(0,0)对称：()f x 是奇函数；函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f ++=，即(0)0f =且(2)0f =可证()f x 是周期函数，进而利用奇函数、周期性即可求()20201f +的值【详解】()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，知：()f x 关于点(0,0)对称即()f x 在x ∈R 上是奇函数，故有()()f x f x -=-且(0)0f = ∴由()()()422f x f x f ++=，有：(0)(4)2(2)(4)(0)2(2)f f f f f f +-=⎧⎨+=⎩可得(2)0f =∴(4)()((4)4)(4)()f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+= ∴()(8)f x f x =+，即()f x 是周期为8的函数 而(2020)(82524)(4)f f f =⨯+=，又(4)0f = ∴()202011f += 故选：D 【点睛】本题考查了判断抽象函数的奇偶性、周期性，利用奇偶性和周期性求函数值，注意()1y f x =-的图象关于点()1,0对称即是()f x 关于点(0,0)对称，奇函数()f x 在x ∈R 上都有意义即有(0)0f =等奇函数的性质应用9．已知log x a y =，log y b x =，y c x =，x d y =，其中x 、y 为正数且1x ≠，1y ≠，则（ ）A ．对任意的x 和y ，都有c d ≠B ．存在x 和y ，使得a b =C ．a ，b ，c ，d 中大于1的数有奇数个D ．存在x 和y ，使得a b c d <<< 【答案】B【解析】应用特殊值法：2x y ==有c d =、a b =且a ，b ，c ，d 中大于1的数有偶数个；2,3x y ==有b a c d <<<，3,2x y ==有a b d c <<<，由此即可判断选项正误 【详解】由x 、y 为正数且1x ≠，1y ≠，若令2x y ==，则1a b ==，4c d == ∴根据选项中描述，知：A 、C 错误，B 正确 当x y ≠时，分类讨论如下若x y <：2,3x y ==，有322839c d ==<==，而32log 21log 32b a =<<=<，即b a c d <<<若x y >：3,2x y ==，同理有a b d c <<<，故D 错误 故选：B 【点睛】本题考查了对数、指数比较大小，利用特殊值法排除错误选项即可二、多选题10．下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上增函数的有（ ） A ．||2x y -= B ．23y x =C ．21y x =-D ．3y x =【答案】BC【解析】根据偶函数的定义，f （﹣x ）＝f （x ）进行判断，再根据解析式判断单调性； 【详解】A 、令||()2x y f x -==，则f （﹣x ）＝||2x --＝||2x -＝f （x ），为偶函数，但在（0，+∞）上，2xy -=是减函数，故错误；B 、令23()y f x x ==，f （﹣x ）＝2233()x x =-，是偶函数，且在区间(0,)+∞上是增函数，故B 正确；C 、令2()1y f x x ==-，f （﹣x ）＝（﹣x ）2+1＝x 2+1＝f （x ），且在区间(0,)+∞上是增函数，故C 正确；D 、令3()y f x x ==，f （﹣x ）＝3()x -＝﹣x 3＝﹣f （x ），是奇函数，故D 错误； 故选BC ． 【点睛】此题主要考查函数的奇偶性，偶函数的性质，关键是对基本初等函数的性质要熟悉，是基础题；11．若()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，则下列结论中正确的是（ ） A ．01a =B ．123452a a a a a ++++=C ．50123453a a a a a a -+-+-=D ．0123451a a a a a a【答案】ACD【解析】根据赋值法，分别令0x =，1x =，1x =-，可判断ABC ；根据二项展开式的通项公式，判断出对应项系数的正负，即可判断D 选项. 【详解】因为()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，令0x =，则5011a ==，故A 正确；令1x =代入()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，得0123451a a a a a a =+++++-，所以12345012a a a a a a ++++=--=-，故B 错； 令1x =-代入()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，得01253453a a a a a a =-+-+-，故C 正确；因为二项式()512x -的展开式的第1r +项为15(2)r r rr T C x +=-， 所以当r 为奇数时，5(2)r rC -为负数；即0i a <（其中i 为奇数），所以0123450123451a a a a a a a a a a a a -+-+-=+++++=-；故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理，灵活运用赋值法求解即可，属于常考题型.12．若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中正确的是（ ）A ．若13t <<，则C 为椭圆B ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t << C ．若C 为双曲线，则3t >或1t <D ．若C 是双曲线，则其离心率有1e <<【答案】CD【解析】根据选项逐个分析可得答案，选项A 中2t =时，曲线C 为圆；选项B 可得23t <<；选项C 可得3t >或1t <；选项D 可得1e <<【详解】对于选项A ，当2t =时，曲线C 化为221x y +=，此时C 为圆，故A 不正确； 对于选项B ，若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则130t t ->->，解得23t <<，故B 不正确；对于选项C ，若C 为双曲线，则()()310t t --<，解得3t >或1t <，故C 正确；对于选项D ，若C 是双曲线，则3t >或1t <，当3t >时， ()224221,211t e t t -==-∈--，此时离心率1e <<当1t <时， ()242221,233t e t t -==+∈--，此时离心率1e <<故D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的识别，明确各类曲线方程的特点是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、填空题13．已知()π,2πα∈，3tan 4α=-，则cos α=______． 【答案】45. 【解析】根据同角三角函数的关系，直接计算即可. 【详解】由()π,2πα∈，且3tan 4α=-， 可知α在第四象限，可取在终边上一点为(4,3)-， 由任意角三角函数公式4cos 5x r α==， 故答案为：45. 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系以及计算，在计算正余弦和正切函数互化时，可以利用任意角三角函数终边上的点进行计算，属于简单题.14．已知一个扇形的周长为8cm ，则当该扇形的半径r =__________cm 时，面积最大. 【答案】2【解析】首先设出扇形的半径和弧长，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可. 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，则28rl ，扇形的面积为()2118222rl r r r =-=-24(2)4r r +=--+， 所以当2r时，面积最大为4.故答案为2 【点睛】该题考查的是有关扇形的面积的最值的问题，涉及到的知识点有扇形的周长，扇形的面积，二次函数的最值，属于简单题目.15．已知点P 是抛物线24y x =上动点，且点P 在第一象限，F 是抛物线的焦点，点A的坐标为()1,0-，当PFPA取最小值时，直线AP 的方程为______．【答案】10x y -+=【解析】由()1,0A -在准线上，过抛物线上点P 作PD 垂直与准线，得到cos PDPAF PA=∠，得出 PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切，设出切线方程为(1)y k x =+，结合判别式，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的方程24y x =可得焦点(1,0)F ，()1,0A -在准线上，过抛物线上的点P 作PD 垂直与准线交于D 点， 由抛物线的定义，可得PF PD =，在PAD △中，cos cos PDDPA PAF PA=∠=∠， 所以PDPA最小时，则cos PAF ∠最小，此时PAF ∠最大， 而PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切， 设过()1,0A -与抛物线相切的直线方程为(1)y k x =+，联立方程组2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，整理得2440y y k -+=，则24()440k∆=--⨯=，解得1k =±， 又由点P 在第一象限，所以1k =，所以直线AP 的方程为1y x =+，即10x y -+=.故答案为：10x y-+=.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．函数()f x对于任意x∈R，均满足()()2f x f x=-，()3,0132,0x xf xx x⎧≤≤=⎨+<⎩，若存在实数a，b，c，()d a b c d<<<满足()()()()f a f b f c f d===，则()()2b ac d--+的取值范围是______．【答案】8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先得到函数的对称性，从而求出函数解析式、画出函数图象，根据对称性可得b a d c-=-，令t b a d c=-=-，则24,33t⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：由函数()f x对于任意x∈R，均满足()(2)f x f x=-，可知()f x的对称轴方程为1x=．因为()3,0132,0x xf xx x⎧≤≤=⎨+<⎩，所以()()33,0132,02,1283,2x xx xf xx xx x⎧≤≤⎪+<⎪=⎨-≤≤⎪⎪->⎩函数图象如图所示：因为存在实数a ，b ，c ，()d a b c d <<<, 满足()()()()01f a f b f c f d ≤===<,332(01)a b b +=≤<,所以b a d c -=-，令t b a d c =-=-， 则3212,10,[0,1)33t b a b b t b b =-=-++'=-+≥∈恒成立， 所以24,33t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 所以()()()()282211,19b a c d t t t ⎡⎤--+=-+=--+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查函数方程的综合应用，函数的对称性的应用，属于中档题.四、解答题17．已知tan 3α=，求值： （1）cos sin cos sin αααα-+（2）23π2sin 3sin sin 2ααα⎛⎫+-⎪⎝⎭． 【答案】（1）12-；（2）910【解析】（1）分子、分母同除cos α，将弦化切，再代入计算可得；（2）由诱导公式及22sin cos 1αα+=，将弦化切，再代入计算可得； 【详解】解：（1）因为tan 3α= 所以cos sin 1tan 131cos sin 1tan 132αααααα---===-+++（2）23π2sin 3sin sin 2ααα⎛⎫+-⎪⎝⎭22sin 3sin cos ααα=-2222sin 3sin cos sin cos ααααα-=+ 222tan 3tan 1tan ααα-=+ 22233391103⨯-⨯==+ 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题. 18．已知函数()xf x e ax =-，a R ∈，e 是自然对数的底数．（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的单调区间： （2）记函数()f x 在区间0,1上的最小值为()h a ，求()h a ．【答案】（1）函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）()()[)(]ln ,1,,,1,,1a a a a e h a e a a e a ⎧-∈⎪=-∈+∞⎨⎪∈-∞⎩【解析】（1）先求出导函数()'f x ，再利用()20f '=即可求出a 的值，从而求出()f x 的单调区间．（2）求出导函数()'f x ，通过讨论a 的范围，求出函数()f x 的单调区间，从而求出函数()f x 的最小值即可． 【详解】解：（1）函数()xf x e ax =-，x ∈R ，()x f x e a '∴=-，函数()f x 在1x =处取得极值，()10f '∴=，a e ∴=，()x f x e e '∴=-，当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，综上可得，函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）()xf x e a '=-，①当0a 时，()0f x '>恒成立，即函数()f x 在[0，1]上单调递增，∴函数()f x 在[0，1]上的最小值为()(0)1f h a ==，②当0a >时，令()0f x '=得到ln x a =，若ln 0a ，即01a <时，在[0，1]上，()0f x '>，函数()f x 在[0，1]上单调递增，∴函数()f x 在[0，1]上的最小值为()(0)1f h a ==，若ln 1a ，即a e 时，在[0，1]上，()0f x '<，函数()f x 在[0，1]上单调递减，∴函数()f x 在[0，1]上的最小值为()()1e a h a f ==-，若0ln 1a <<，即1a e <<时，在[0，ln )a 上，()0f x '<，在(ln a ，1]上，()0f x '>，即函数()f x 在[0，ln )a 上单调递减，在(ln a ，1]上单调递增，∴函数()f x 在[0，1]上的最小值为()()ln ln h a f a a a a ==-，综上所述，()()[)(]ln ,1,,,1,,1a a a a e h a e a a e a ⎧-∈⎪=-∈+∞⎨⎪∈-∞⎩【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．19．如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且BAD ∠=60°，1114CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点.（1）求证：1AA BD ⊥；（2）求直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6735. 【解析】（1）由1C C ⊥底面ABCD ，得1C C BD ⊥，再由底面ABCD 是菱形，得BD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定可得BD ⊥平面1AC C ，进一步得到1BD AA ⊥；（2）设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11AC OC =，得到1A O ⊥底面ABCD ．以O 为原点，OA 、OB 、1OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．求出平面11EA C 的一个法向量与1AA 的坐标，再由两向量所成角的余弦值求解直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值． 【详解】（1）因为1CC ⊥底面ABCD ，所以1CC BD ⊥ 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥ 又1ACCC C =，所以BD ⊥平面1AC C又由四棱台1111ABCD A B C D -知，1A ，A ，1C ，C 四点共面 所以1BD AA ⊥（2）如图，设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11AC OC =， 11//AO CC ∴，且11AO CC =， 又由已知1CC ⊥底面ABCD ，得1A O ⊥底面ABCD ．以O 为原点，OA 、OB 、1OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11=AC OC ，所以11=AO CC 则()23,0,0A =，()10,0,4A =，()123,0,4C =-，()0,2,0B =， 由1112A B AB =，得()13,1,4B - 因为E 是棱1BB 中点，所以33,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以133,222EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1123,0,0AC=-，()123,0,4AA =- 设(),,n x y z =为平面11EA C 的法向量则111230332022n AC x n EA x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3z =，得()0,4,3n = 设直线1AA 与平面11A EC 所成线面角为θ，则1167sin AA n AA nθ⋅==⋅所以直线1AA 与平面11A EC 67【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查利用空间向量求解空间角，是中档题．20．某市2017年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2018年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2018年2月后该市新建住宅销售均价的数据：（1）研究发现，3月至7月的各月均价y （百元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，求y （百元价格/平方米）关于月份x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）用ˆi y表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值ˆi y与实际相应月份销售均价i y 差的绝对值记为i ξ，即ˆi i i yy ξ=-，1,2,3,4,5i =．现从5个数据1ξ，2ξ，3ξ，4ξ，5ξ中任取2个，记取到的2个数据和为η，求η的分布列和数学期望E η．注意几点：①可供选择的数据511984iii yx ==∑，521135i i x ==∑；②参考公式：回归方程系数公式1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-； 【答案】（1）ˆ 1.688yx =-+（2）见解析 【解析】（1）由表格中的数据，求得5x =80y =，根据公式求得ˆ 1.6b=-，进而得到ˆ88a=，即可求得y 关于x 的回归方程． （2）利用（1）中的回归方程，求得12346ˆˆˆˆˆ83.2,81.6,8078.4,768,.yy y y y =====，得到随机变量i ξ的值，进而求得η的可能取值为0.2,0.4,0.6,0.8，求出相应的概率，列出分布列，利用公式，即可求解数学期望． 【详解】（1）由表格中的数据，可得3456755x ++++==8382807877805y ++++==，所以2198455801.613555ˆb-⨯⨯==--⨯，则80 1.588ˆ6a=+⨯=， 所以y 关于x 的回归方程ˆ 1.688yx =-+． （2）利用（1）中的回归方程ˆ 1.688yx =-+，可得1122334456ˆˆˆˆˆ3,83.2,4,81.6,5,806,78.4,7,76,.8x yx y x y x y x y ==========，所以123450.2,0.4,0,0.4,0.2ξξξξξ=====， 所以η的可能取值为0.2,0.4,0.6,0.8， 则2521(0.2)5P C η===，2533(0.4)10P C η===， 2542(0.6)5P C η===，2511(0.8)10P C η===， 所以随机变量η的分布列为：期望1321120.20.40.60.851051025E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中认真审题，求得随机变量的取值，准确计算相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．21．在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，P 是坐标平面内的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积等于14-.设点P 的轨迹为C . （1）求轨迹C 的方程；（2）某同学对轨迹C 的性质进行探究后发现：若过点()1,0且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，则直线AM ，BN 的交点Q 在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.【答案】（1）()22104x y y +=≠；（2）正确，证明见解析，直线4x =. 【解析】（1）设点P 的坐标为(),x y ，利用直接法，列方程即可求解.（2）根据题意，可设直线MN 的方程为：1x my =+，将直线与椭圆方程联立，整理可得()224230m y my ++-=，利用韦达定理可得12224my y m +=-+，12234y y m =-+，直线AM 的方程与直线BN 的方程，直线AM ，BN 的交点()00,Q x y 的坐标满足：()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--，整理可得04x =，即证.【详解】（1）设点P 的坐标为(),x y ，由1224y y x x ⋅=-+-，得2244y x =-，即()22104x y y +=≠. 故轨迹C 的方程为：()22104x y y +=≠（2）根据题意，可设直线MN 的方程为：1x my =+，由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()224230m y my ++-= 其中，()222412416480m m m ∆=++=+>. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+. 因直线l 的倾斜角不为0，故1x ，2x 不等于2±（1y ，2y 不为0）， 从而可设直线AM 的方程为()1122y y x x =++①， 直线BN 的方程为()2222y y x x =--②， 所以，直线AM ，BN 的交点()00,Q x y 的坐标满足：()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--而()()()()2121122121212123321y x y my my y y y x y my my y y +++==---()()2122121123239344433344m m y m m y m m m m m y y m -⎛⎫+-- ⎪--+++⎝⎭===---+-+， 因此，04x =，即点Q 在直线4x =上. 所以，探究发现的结论是正确的. 【点睛】本题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法，属于中档题.22．已知()()2121ln 1f x x x k x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭，其中k ∈R ，()()1f xg x x =-． （1）当1k =时，求()g x 的单调区间，并证明：()0f x ≥；（2）若对任意的0x >且1x ≠时，()0f x <恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1) 增区间为()0,1和()1,+∞，无减区间，证明见解析；(2) (],1-∞-. 【解析】(1)代入1k =，求出()12ln g x x x x=+-，通过导数即可求出单调区间.由单调性求()g x 的取值范围，分()0,1x ∈，1x =，()1,x ∈+∞三种情况求()f x 的取值范围，即可证明.(2) 令()212ln x h x x k x-=+⋅，令()22x kx x k ϕ=++，通过讨论1k ≤-，0k ≥，10k -<<三种情况，结合二次函数的性质，求出函数的单调性，从而判断不等式是否能恒成立. 【详解】(1)当1k =时，()()2112ln x f x x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+，则()()12ln ,01f x g x x x x x x=+-=>-且1x ≠，则()22110g x x x '=++>，所以()g x 在()0,1和()1,+∞上单调递增，即增区间为()0,1和()1,+∞. 当1x =时，2ln1110+-=，当()0,1x ∈时，()0g x <，当()1,x ∈+∞时，()0g x >，第 1 页 共 6 页 由()()()1f x x g x =-，则当()0,1x ∈时，()0f x >，当()1,x ∈+∞时，()0f x >， 当1x =时，()0f x =，综上所述，()0f x ≥.(2) ()()2112ln x f x x x k x ⎛⎫-=-+⋅ ⎪⎝⎭，令()212ln x h x x k x -=+⋅， 可知()10h =，()222,0kx x k h x x x++'=>，令()22x kx x k ϕ=++， 当1k ≤-时，由二次函数的性质可得()0h x '≤，()h x 单调递减，又()10h =， 所以当()0,1x ∈时，()0h x >，当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可知此时()0f x <成立；当0k ≥时，由二次函数的性质可得()0h x '>，则()h x 单调递增，又()10h =， 所以当()0,1x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >，可知此时()0f x ≤不恒成立；当10k -<<时，由()10,ϕ>()22x kx x k ϕ=++对称轴11x a=->， 那么()x ϕ在区间11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上大于0，即()0h x '>在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立， 所以()h x 在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，此时()()10h x h >=，则()0f x >不符合题意. 综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞-.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查了运用导数解决恒成立问题.本题第一问的关键是对()g x 进行化简整理.。
2021届重庆市重庆八中高三上学期9月份适应性月考数学试题(解析版)
2021届重庆市重庆八中高三上学期9月份适应性月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =-->，则A =R（ ）A ．{}{}|1|3x x x x <-⋃>B ．{}{}|1|3x x x x ≤-⋃≥C ．{}|13x x -≤≤D ．{}|13x x -<<【答案】C【解析】解不等式2230x x --≤即可. 【详解】因为{}2|230A x x x =-->，所以{}2230RA x x x =--≤解不等式2230x x --≤，得13x -≤≤，故{}13RA x x =-≤≤.故选:C 【点睛】此题考查二次不等式的解法及补集的概念，属于基础题. 2．若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（ ） A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】B【解析】由纯虚数的定义可得m ＝0，故11z i=，化简可得． 【详解】复数z ＝m （m +1）+（m +1）i 是纯虚数，故m （m +1）＝0且（m +1）≠0， 解得m ＝0，故z ＝i ，故111i z i i i⋅===-⋅i ． 故选B ． 【点睛】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．3．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ） A ．98B ．158C ．198D ．278【答案】C【解析】利用3=-n n S a n 得出1231n n a a -=+，先求出1a ，再利用递推式求出3a 即可.【详解】解：当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231nn a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=， 21323112a a ∴=+=+，得254a =， 321523114a a ∴=+=+，得3198a =，故选：C . 【点睛】本题考查数列递推式的应用，是基础题.4．设0,0a b >>，若双曲线22122:1x y C a b -=的离心率为2，则双曲线22222:1-=-x y C a b的离心率为（ ）A ．2BC D【答案】B【解析】2=，由此可求得22b a，进而求出222a b b +的值，由此即可求出结果. 【详解】2=，所以2224a b a +=，即223b a =； 所以22214133a b b+=+=， 又双曲线22222:1-=-x y C a b ，即22221y x b a -=，所以双曲线22222:1-=-x y C a b=故答案为：B. 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，属于基础题. 5．已知函数22()1log log (4)=+--f x x x ，则（ ） A ．()y f x =的图像关于直线2x =对称 B ．()y f x =的图像关于点(2,1)对称 C ．()f x 在(0,4)单调递减 D ．()f x 在(0,4)上不单调【答案】B【解析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明. 【详解】解：040x x >⎧⎨->⎩，得函数定义域为(0,4)，222(1)1log log (41)1l 13og f =+--=-， 222(3)1log log (43)1l 33og f =+--=+，所以(1)(3)f f ≠，排除A ；(1)(3)f f <，排除C ；2log x 在定义域内单调递增，2log (4)x -在定义域内单调递减，故22()1log log (4)=+--f x x x 在定义域内单调递增，故排除D ； 现在证明B 的正确性：2222()(4)1log log (4)1log (4)log 2f x f x x x x x +-=+--++--=，所以()y f x =的图像关于点(2,1)对称， 故选：B . 【点睛】本题考查函数的基本性质，定义域、单调性、对称性，是中档题.6．已知向量(3,1),(1,3),(,2)a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a b +与向量c 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D【解析】根据()//a c b -，求出2k =，再分别求出(2,2)c =-，(4,4)a b +=，利用数量积得出结论.【详解】因为向量(3,1),(1,3),(,2)a b c k ===-， 所以(3,3)a c k -=--， 又因为()//a c b -，3313k --=，所以2k =， (2,2)c =-，(4,4)a b +=， ()24240a b c +⋅=⨯-⨯=，所以向量a b +与向量c 垂直，夹角为2π. 故选：D. 【点睛】本题考查向量平行以及向量垂直的知识点，属于基础题.7．过点(),P x y 作圆221:1C x y +=与圆()()222:211C x y -+-=的切线，切点分别为,A B ，若PA PB =，则22x y +的最小值为（ ）A ．5 B ．54C ．5D ．5【答案】B【解析】通过切线长定理得出P 点在线段C 1C 2的垂直平分线上，求出线段C 1C 2的垂直平分线方程，代入P 点坐标，进一步代入22x y +，利用二次函数的性质求其最小值即可. 【详解】如图所示，由圆的切线性质得2222121,1PA PC PB PC =-=-，又PA PB =，12PC PC =，所以P 点在线段C 1C 2的垂直平分线上，因为线段C 1C 2的垂直平分线为21(1)12y x =--+，即522y x =-+，点(),P x y 在522y x =-+上，所以点(),P x y 满足方程，所以()22222555152244x x y x x ⎛⎫++-+ =-+⎪⎭≥⎝=，所以22x y +的最小值为54， 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆相切的性质，关键是将目标函数转化为一个变量的函数，求函数的最值即可.8．已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将cos y x =图象上所有点（ ） A ．先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．先向右平移12π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 C ．先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D ．先向右平移12π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由题意可知，22T ππ=⨯=，22πωπ==，∵sin[2]06πϕ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，∴3k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，可得：()2cos 236f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴将cos y x =的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到()y f x =的图象，故选A.9．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有（ ）种不同情况. A ．720 B ．240C ．180D ．128【答案】C【解析】根据裁判所说，AB 不是第一，B 不是第六，C 比AB 成绩都好，对C 的名次分类讨论求出结果. 【详解】C 比AB 成绩都好且AB 不是第一，所以C 不可能是第六，第五，当C 是第四名时，B 只能第五，A 只能第六，共336A =种；当C 是第三名时，共11322324C C A =种， 当C 是第二名时，共11333354C C A =种， 当C 是第一名时，共11344396C C A =种，综上：总共6245496180+++=种， 故选：C . 【点睛】本题考查分类计数原理，重点要理清裁判的话，进行分类讨论，是中档题. 10．若函数()cos cos 2=++xf x x a b 在区间[0,]π最大值是M ，最小值是m ，则-M m （ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】设cos2xt =，则01t ≤≤，则2()21g t t at b =++-，结合二次函数的图象和性质，设函数2()21g t t at b =++-在1t 处取的最大值，在2t 处取的最小值，1201,01t t ≤≤≤≤，且12t t ≠，则()()2212122t t M m t t a ∴-=-+-，即可得到答案【详解】解：设cos 2xt =，则01t ≤≤， ∴22()()2cos cos 12122x xf xg t a b t at b ==++-=++-，设函数2()21g t tat b =++-在1t 处取的最大值，在2t 处取的最小值，1201,01t t ≤≤≤≤，且12t t ≠，()()2211122221,21t M g t at b m g t at b t ∴==++-==++-，()()22221122121221212t t M m t at b t at b t t a ∴-=++----+=-+-，∴与a 有关，但与b 无关，故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．11．已知水平地面上有一篮球，球的中心为O '，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O 为原点，设椭圆的方程为22142x y +=，篮球与地面的接触点为H ，则||OH 的长为（ ）A ．6B ．2C ．32D ．10 【答案】B【解析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ，得到一个直角三角形，可得要求的结果． 【详解】解：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，由图()1101809022AB O BA A AB B BA ''''︒︒∠+∠=∠+∠=⨯= 90AO B '︒∴∠=，由O 是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ，在构成的直角三角形中，222OH O H O O ''=+，22422OH a b ∴=-=-=，故选：B ． 【点睛】本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量．12．已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为8，10，12，第四行为14，16，18，20，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j 列的数记为,i j a ，比如3,210=a ，4,216=a ，5,424=a ，若,2020=i j a ，则i j +=（ ）A ．65B ．70C ．71D ．72【答案】C【解析】由题意知正偶数n a 为等差数列，由图找每一行所放的数，及每一行的数字总数与本数列的每一项的关系即可发现规律. 【详解】由图可知，第一行放1个偶数，第二行放2个偶数，第3行放3个偶数.. 又因为,2020=i j a 指图中摆放的第i 行第j 列的数为2020， 所以先求第i 行的最后一个偶数，该偶数小于2020且是最接近的，并且还能成为每一行最后一个数字的， 即(1)202022m m +≤，解得44m ≤， 即应为第44行的最后一偶数是1980，接着可以断定2020应位于45行，且45行最后一列为1982，故i =45， 又第45行的第45个偶数为1982，根据等差数列的任意两项之间关系可知20201982(45)2n =+-⨯，解得26n =， 2020应出现在该行的第26列，故26j =， 所以452671i j +=+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，任意两项之间及项与项数之间的关系，考查学生的观察与分析能力，考查简单的合理推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于难题.二、填空题13．设()00,P x y 为直线1x y +=与圆223x y +=的交点，则00=x y ________. 【答案】-1【解析】将P 坐标代入直线和圆的方程，消去2200x y +可得00x y 的值.【详解】解：因为()00,P x y 为直线1x y +=与圆223x y +=的交点，将()00,P x y 坐标代入直线和圆的方程得，001x y +=①， 22003x y +=②将①2-②得()()200020213x y x y ++-=-，得001x y =-，故答案为：1- 【点睛】本题考查直线和圆的的交点问题，是基础题.14．已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，3()ln =- f x x x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))-- f 处的切线方程为________.【答案】210x y -+=【解析】求出0x <时的函数的解析式，计算(1)f -，'(1)f -的值，求出切线方程即可．【详解】解：∵函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，当0x >时，3()ln =- f x x x ， 不妨设0x <，则0x ->， 故()3()ln () f x xx f x -=---=-，故0x <时，()3()ln f x xx +=-，故'2()31 f x x x=+，故(1)1ln11 f -+=-=-，'(1)312 f-=-=，故切线方程是：2(1)1y x =+-， 整理得：210x y -+=， 故答案为：210x y -+=． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查求函数的切线方程，是一道中档题．15．在边长为1的正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.【答案】3【解析】根据题意，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立坐标系，可得A 、B 、C 、D 的坐标以及直线BD 的方程，进而可得圆C 的方程，据此设P 的坐标为221cos ,1sin 22θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭；由向量的坐标公式可得,,AB AD AP 的坐标，又由向量的坐标计算公式可得221cos ,1sin (1,0)(0,1)22θθλμ⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，进而可得,λμ的表达式，相加后分析可得答案． 【详解】解：根据题意，如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立坐标系： 则(0,0),(1,0)A B ，C(1,1),D(0,1) 则BD 的方程为x ＋y ＝1，点C 为圆心且与BD 相切的圆C ，其半径222r d ===， 则圆C 的方程为221(1)(1)2x y -+-=；P 在圆C 上，设P的坐标为221cos ,1sin 22θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，则22(1,0),(0,1),1cos ,1sin 22AB AD AP θθ⎛⎫===++ ⎪ ⎪⎝⎭，若AP AB AD λμ=+，则221cos ,1sin (1,0)(0,1)22θθλμ⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 则有221cos ,1sin 22λθμθ=+=+； 22(cos sin )2sin 324πλμθθθ⎛⎫+=++=++≤ ⎪⎝⎭， 即λμ+的最大值为3； 故答案为：3． 【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P 的坐标与,λμ的关系，是中档题．16．在ABC 中，D 是BC 边上一点，60︒∠=∠=BAD DAC ，14BC =，且ABD △与ADC 面积之比为53，则AD =________. 【答案】154【解析】根据题意画出图形，结合图形求得ABAC的值，再利用余弦定理求得AC 、AB 的值，最后利用三角形的面积公式求得AD 的值． 【详解】解：ABC 中，∠BAD ＝∠DAC ＝60°，如图所示；1sin 605213sin 602ABD ACDAB AD S AB SAC AC AD ︒︒⋅⋅∴===⋅⋅； 由余弦定理得，2222cos120AB AC A B AC C B ︒=+-⋅⋅，2222551493AC AC AC AC ∴++⋅=，解得AC ＝6， ∴AB ＝10；11sin12010622ABCSAB AC ︒∴=⋅⋅=⨯⨯=11sin 60102261010ABDSAB AD AD ︒∴=⋅⋅=⨯⨯=⨯+， 解得154AD =． 故答案为：154．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos -=a c bA B. （1）求A ；（2）若1a =，求 ABC 面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）4【解析】(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cos A 的值，即可确定出角A 的大小；(2)由,cos a A 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc 的最大值，即可确定出三角形ABC 面积的最大值． 【详解】 解：（1）由2cos cos -=a c bA B可得：cos 2cos cos =-a B c A b A ， 由正弦定理可得：sin cos 2cos sin cos sin =-A B A C A B ∴sin()2cos sin sin 2cos sin +=⇒=A B A C C A C ， ∵sin 0C ≠， ∴1cos 2A =， ∵(0,)A π∈，∴3A π=；（2）由（1）知3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即221b c bc =+-∵222b c bc +≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==时取等号）∴1sin 24=≤ABCSbc A ， 所以ABC【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，749=S .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=或11733=+n a n ，1163-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭n n b ；（2）12362n n n T -+=- 【解析】(1)由已知求得公差和首项即可； (2) 2313572112222n n n T --=++++⋯+，①23111352321222222n n nn n T ---=+++⋯++，②利用错位相减法①−②可得n T ． 【详解】解：（1）由()17412177349a d S a a d =⎧⎨==+=⎩，则1613a d =⎧⎪⎨=⎪⎩或112a d =⎧⎨=⎩， 当1613a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时，11733=+n a n ，1163-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭n n b ；当112a d =⎧⎨=⎩时，21n a n =-，12n nb -=；（2）当1d >时，由（1）可得，21n a n =-，12n n b -=，则1212n n n c --=， ∴12135211222n n n T --=+++⋯+ ∴123111352321222222---=++⋯++n n n n n T ， ∴1231122222123132222222n n n nn n T --+=+++⋯+-=-，∴12362n n n T -+=-． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，及错位相减法求和，属于基础题． 19．已知动圆过定点(0,2)A ，且在x 轴上截得的弦长为4. （1）求动圆圆心M 的轨迹方程C ；（2）设不与x 轴垂直的直线l 与轨迹C 交手不同两点()11,P x y ，()22,Q x y .若12112+=x x ，求证：直线l 过定点. 【答案】（1）24x y =（2）证明见解析【解析】（1）设动圆圆心为(,)M x y ，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程；（2）设:l y kx b =+，将其和轨迹C 联立，得到根与系数的关系，代入12112+=x x ，可得,b k 的关系，代入:l y kx b =+，即可找到定点． 【详解】解：（1）设动圆圆心为(,)M x y ，则222(2)4+--=x y y ，化简得24x y =； （2）易知直线l 的斜率存在，设:l y kx b =+，则由24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=， 由韦达定理有：124x x k +=，124x x b =-.从而12121122+=⇒+=x x x x x x， 即48=-k b ，则12=-b k则直线11:22⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭l y kx k k x ，故直线过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线恒过定点问题，考查了学生的运算能力，是中档题．20．已知函数()ln (1)()=--∈R f x x k x k . （1）若()0f x ≤，求k ；（2）确定k 的所有可能取值，使得存在1t >，对任意的(1,)∈x t ，恒有2(1)()2->x f x . 【答案】（1）1k =；（2）k 的取值范围是(,1)-∞【解析】（1）先验证0k ≤不合题意，当0k >，通过导数确定单调性及最值来求得k 的值； （2）分1k，1k <讨论，构造函数2(1)()ln (1)2x G x x k x -=---，利用导数求其单调性及最值，进而可得k 的取值范围. 【详解】解：（1）()ln (1)=--f x x k x ，(0,)x ∈+∞.若0k ≤，由(2)ln 2ln 20=-≥>f k ，得0k ≤不符合题意； 若0k >，11()-'=-=kxf x k x x， 当10,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k 时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x k 时，()0f x '<，()f x 单调递减；则max 111()ln 1ln 10ln 10⎛⎫⎛⎫==--=--+≤⇔-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f k k k k k k k k令()ln 1=-+h k k k ，11()1-'=-=kh k k k，()h k 在(0,1)x ∈单调递增；在(1,)x ∈+∞单调递减；max ()(1)0==h k h ，则1k =.（2）由（1）知，当1k时，对于1x >，ln 1(1)<-≤-x x k x则2(1)()ln (1)02-=--<<x f x x k x ，从而不存在1t >满足题意；当1k <时，22(1)(1)()()ln (1)22--=-=---x x G x f x x k x ，(0,)x ∈+∞， 则有21(1)1()1-+-+'=-+-=x k x G x x k x x. 由()0'=G x 得2()(1)10=-+-+=g x x k x ，(0)10g =>，(1)10=->g k则10=<x （舍），21=>x . 当()21,x x ∈时，()0G x '>，故()G x 在[)21,x 上单调速增.从而当()21,x x ∈时，()(1)0>=G x G ，即()(1)>-f x k x . 综上，k 的取值范围是(,1)-∞. 【点睛】本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、化归与转化思想，是一道难度较大的题目．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线=x 有且只有一个交点，点P 为椭圆C 上任一点，()11,0P -，()21,0P ，若12PP PP ⋅的最小值为2a. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同两点,A B ，点O 为坐标原点，且()12OM OA OB +=，当AOB 的面积S 最大时，求22112=-T MP MP 的取值范围. 【答案】（1）22142x y +=；（2）)3⎡-⎣. 【解析】（1）设点(),P x y，根据题意，得到a =，根据向量数量积的坐标表示，得到22121PP PP y a ⋅=-+-，根据其最小值，求出2,a b ==即可得出椭圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出AOB 的面积S 的最值，得到2221m k =+；得出点M 的轨迹为椭圆()221:102x C y y +=≠，且点12,P P 为椭圆1C 的左、右焦点，记1=t MP ，则)1t ∈，得到22211122T MP t tMP =-=+-，根据导数的方法求出最值. 【详解】（1）设点(),P x y，由题意知a =，222:2+=C x y a ，则22221211PP PP x y y a ⋅=+-=-+-，当y b =±时，12PP PP ⋅取得最小值，即2212--=aa b ，212,22⇒-=⇒==a a a b C 的标准方程为22142x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则由2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得()222214240+++-=k x mkx m 122421⇒+=-+mk x x k ，21222421-=+m x x k ， 则点O 到直线:l y kx m =+的距离d =，1122S d AB =⋅⋅=()222242221m k m k ++-=≤=+S ，当且仅当22242=+-m k m 即2221m k =+，①此时120222221+==-=-+x x mk k x k m ，20021=+=-+=k y kx m m m m，即01=m y ，00022=-=-m x k x y 代入①式整理得()22000102x y y +=≠，即点M 的轨迹为椭圆()221:102x C y y +=≠ ，且点12,P P 为椭圆1C的左、右焦点，即12+=MP MP ， 记1=t MP，则)1t ∈，从而()22221111222T MP t t t t MP =-=-=+-，则322'=-T t ， 令0'≥T 可得1t ≥，即在T在)1,1单调递减，在()1单调递增，且()))131115T TT=-=>=-故T的取值范围为)3⎡-⎣. 【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查求椭圆中的范围问题，熟记椭圆的方程，椭圆的简单性质即可，属于常考题型.22．在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224([0,])43cos =∈-ρθπθ.点P . （1）写出曲线2C 的普通方程和参数方程；（2）曲线1C 交曲线2C 于A ，B 两点，若2||||5⋅=PA PB ，求曲线1C 的普通方程. 【答案】（1）曲线2C 的普通方程为：2214x y +=，参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）曲线1C的普通方程为：y x ==-+y x 【解析】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=，将极坐标方程化为普通方程，进而可化为参数方程；（2）曲线1C 的参数方程代入曲线2C 的普通方程，利用根与系数的关系列方程求出α的值，进而可得曲线1C 的普通方程． 【详解】 解：（1）()22222222443cos 43443cos =⇒-⇒+-=-x y x ρρρθθ所以，曲线2C 的普通方程为：2214x y +=曲线2C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（2）将曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩代入曲线2C 的普通方程为：2214x y +=得：()223sin1cos 10++-=t αα12212||||3sin 15PA PB t t α⋅===+sin 24⇒=⇒=παα或34π所以曲线1C 的普通方程为：y x ==-+y x 【点睛】本题考察极坐标方程和普通方程的互化，普通方程和参数方程的互化，考查了直线参数方程的应用，是基础题． 23．已知()1f x x x=+. （1）求不等式()13f x x+<的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，1,2a b M += (),a b R +∈，求()()22f a f b +的最小值.【答案】（1）{|21x x -<<-或}12x <<；（2）252. 【解析】（1）根据绝对值不等式的性质可得()13f x x +<23x x⇒+<，转化为()()120x x x-⋅-<，由此即可求出结果；（2）根据基本不等式可得2M =，可得1a b +=，又()()22f a f b +=2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21112⎛⎫≥+++ ⎪⎝⎭a b a b ，再根据基本等式即可求出结果. 【详解】 （1）()13f x x +<113x x x⇒++<23x x ⇒+<， ()()12012x x x x-⋅-<⇒<<，不等式()13f x x+<的解集为：{|21x x -<<-或}12x <<； （2）()1f x x x=+=12x x +≥=， 所以，1a b +=，()()22f a f b +=()22222211111112a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21112⎛⎫≥+++ ⎪⎝⎭a b a b ， 21112ab ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2211251222a b ⎛⎫ ⎪⎪≥+= ⎪+⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的性质，以及基本不等式在求最值中的应用，属于基础题.。
重庆八中2021届高三数学第五次月考试题 理(1)
侧 视 图正 视 图重庆八中高2021级高三下学期第五次月考数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部份。
第I卷（选择题），第II卷（非选择题），总分值150分，考试时刻120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必需利用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）1.设向量()(),0,2,1a xb x==-，集合{}{}0,04A x a bB x x=⋅≥=<<，那么A B=A.[)2,4 B.()2,4 C. (),4-∞ D. (],0-∞2.以下说法错误的选项是A.假设命题“p q∧”为真命题，那么“p q∨”为真命题B.命题“若0m>，那么方程20x x m+-=有实根”的逆命题为真命题C.命题“2,20x R x x∃∈-=”的否定是“2,20x R x x∀∈-≠”D. “1x>”是“0x>”的充分没必要要条件3.设等差数列{}na的前n项和为nS，且1222a S-=．那么过点()()2,,1,n nA n aB n a++的直线斜率为A. 4B. 4-C. 2D. 2-俯 视 图4.在二项式42nx x ⎛⎝的展开式中，前三项的系数成等差数列， 那么该二项式展开式中2x -项的系数为A ．1B ．4C ．8D ．165.一个几何体的三视图如右图所示，那么该几何体的体积为 A ．96π- B ．3624π- C ．126π- D ．1212π-心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭，与之6.已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=->的一个对称中相邻的一条对称轴为6x π=-，那么34f π⎛⎫=⎪⎝⎭A.3 B. 1- C. 1 D. 3-7.已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，假设利用如下图的程序框图计算该数列的第10项，那么判定框内的条件应填为 A ．11?n ≤ B ．10?n ≤ C ．9?n ≤ D ．8?n ≤8.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>与抛物线()22:20C y px p =>有相同核心，假设双曲线1C 与抛物线2C 的一个公共点为P ，且点P 到抛物线的准线的距离为p ，那么双曲线的离心率为A 21B 2C ．2D ．229.如图，菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=︒，点M 为边CD 中 点，点N 为菱形内任一点（包括边界），那么AM AN ⋅的最大值为 A ．23 B ．6 C ．9 D ．6310.假设函数()f x 的图象上存在不同两点,A B ，设线段AB 的中点为()00,M x y ，使得()f x 在点()(),x f x 处的切线l 与直线AB 平行或重合，那么称切线l 为函数()f x 的“平稳切线”．那么函数()()22ln 12f x a x x x=++-的“平稳切线”的条数为A ．2条或无数条B ．1条或无数条C ．0条或无数条D ．2条或0条 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）M DBNF BCEAHD二、填空题（本大题共6小题，每题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上） 11.设i 为虚数单位，复数z 知足()25i z -⋅=，那么z 的共轭复数z =_______．12.6名学生排成一列，那么学生甲、乙在学生丙不同侧的排位方式种数为_____． 13.在平面直角坐标系，动点(),P x y 在第一象限且点P 到点()1,1的距离等于点P 到两坐标轴距离之和，那么22x y +的最小值为_____．考生注意：14~16题为选做题，请从中任选两题作答，假设三题全做，那么按前两题给分． 14.如图，已知圆1O 与圆2O 交于,A B 两点，圆1O 上的点M 2O ,D E 两点，交直线AB 于点C ．若2,1,CM CD ==且30DBE ∠=︒，那么圆2O 的半径为_______．15.在极坐标系中，点22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭到圆2cos ρθ=的圆心的距离为____ 16.假设不等式221a a x ≥--对(]1,2x ∈恒成立，那么实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.） 17. （此题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）设函数()ln xf x ax x =-，假设曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线斜率为2． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在()1,+∞上的单调区间与极值．18. （此题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）某射击竞赛，开始时在距目标100米处射击，若是命中记3分，且停止射击；假设第一次射击未命中，能够进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；假设第二次仍未命中还能够进行第三次射击，但现在目标已在200米处，假设第三次命中那么记1分，并停止射击；假设三次都未命中，那么记0分．已知射击中目标的概率为21，假设各次手的命中率P 与目标距离x （米）的关系为()P x =2x k，且在100米处射击彼此独立．（Ⅰ）求这名射手在射击竞赛中命中目标的概率；（Ⅱ）求这名射手在竞赛中得分ξ的散布列与数学期望()E ξ．19. （此题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD ，3BF =， H 是CF 的中点． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求二面角H BD C --的大小．20. （此题共12分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问6分）设函数()22sin 24cos 3f x a x x =+-，假设对x R ∈均有()3f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立． （Ⅰ）求实数a 的值及函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 别离为内角,,A B C 所对的边，且()2,1a f A ==，求ABC ∆的内切圆半径r 的最大值．21. （此题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分） 已知椭圆C 的中心在座标原点，右核心为()1,0F ，,A B 是椭圆的左、右极点，P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，且APB ∆面积的最大值为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线AP 与直线2x =交于点D ．试判定以BD 为直径 的圆与直线PF 的位置关系，并证明你的结论．22. （此题共12分，第（Ⅰ）问3分, 第（Ⅱ）问4分，第（Ⅲ）问5分） 关于每项均是正整数的数列12:nA a a a ,,,，概念变换1T ，1T 将数列A 变换成数列()1T A ：12111n n a a a ---,,,,．关于每项均是非负整数的数列12mB b b b :,,,，概念变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，取得数列()2T B ．又概念()2221212()22m mS B b b mb b b b =+++++++．设A 是每项均为正整数的有穷数列，令()()()1210,1,2,k k A T T A k +==．（Ⅰ）若是数列A 为2,6,4,8，写出数列12,A A ；（Ⅱ）关于每项均是正整数的有穷数列A ，证明()()()1S T A S A =；（Ⅲ）证明：关于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，()()1k k S A S A +=．重庆八中高2021级高三下学期第五次月考 数学（理科） 参考答案 一、选择题二、填空题11. 2i - 12. 240 13. 6- 14. 3 15. 16. []1,2-三、解答题17. （Ⅰ）()()()2ln 122ln x f x a f e a a x -''=-⇒=-=⇒=-（Ⅱ）()()()()()()()22222ln ln 12ln 1ln 1ln 120ln ln ln x x x x x f x x x x +--+-'=+==≥x ⇒≥那么函数()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(；极小值f=，无极大值．18.记“第一、二、三次射击命中目标”别离为事件A,B,C,“三次都未击中”为事件D ，那么P(A)= 21 因为 x=100时P(A)= 21因此k=5000⇒()P x = 25000x ()2500021509P B == ， ()2500012008P C ==， ()17749298144P D =⨯⨯=（Ⅰ）()951144P D -=；（Ⅱ）21)3(==ξP 919221)2(=⨯==ξP1447819721)1(=⨯⨯==ξPFB CEAHD OzN xy14449879721)0(=⨯⨯==ξP19. （Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，因此 AC BD ⊥. 因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，因此 ED ⊥平面ABCD ， 又因为 AC ⊂平面ABCD ，因此 ED AC ⊥. 因为 EDBD D =，因此 AC ⊥平面BDEF . （Ⅱ）设ACBD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 别离为,BD EF 的中点，因此//ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，因此 ON ⊥平面ABCD ，由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.因此以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线别离为x 轴，y 轴，z 轴，成立空间直角坐标系.(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)F ，(0,3,0)C ，133(,,)222H .得 333,,222DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 133,,222BH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0DB =.设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，因此0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即1111330,20,x y z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,3,1)=-n .由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则00(3)01(3)1cos ,232ED ED ED⋅⨯+-⨯+⨯-<>===-⨯n n n .由图可知二面角H BD C --为锐角，因此二面角H BD C --的大小为60. 20.（Ⅰ）()()22sin 222cos 112sin 22cos 21f x a x x a x x =+--=+-ξ 0 1 2 3 P49144 7144 1912由题意知3x π=-为函数()f x 的一个最小值点，那么有：()22222212sin 2cos 1333f a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⇒-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22221a =-+3a ⇒=()2322cos 214sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭ 令3222262k x k πππππ+≤+≤+得263k x k ππππ+≤≤+，即函数的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）()54sin 211sin 21266663f A A A A A πππππ⎛⎫⎛⎫=+-=⇒+=⇒+=⇒=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设ABC ∆的面积为S ，那么()12a b c r S++=，即2sin 322S bc A bc r a b c a b c b c ===⋅++++++ 由余弦定理有：()()2222242cos 433b c b c a bc A bc b c bc bc +-+-==⇒+-=⇒=则()()()()2422333222b c b c b c r b c b c b c +-+++-===+-++++ 由()243b c bc +-=可得()22432b c b c +⎛⎫+-≤⋅ ⎪⎝⎭即4b c +≤， 从而()()333242663r b c =⋅+-≤-=，即max 33r =，当且仅当2b c ==时取得．21. （Ⅰ） （Ⅱ） 22.解：（Ⅰ）解：()01012,6,8,4:4,1,5,7,3:7,5,4,3,1A T A A ⇒⇒:，()1112:7,5,4,3,1:5,6,4,3,2,0:6,5,4,3,2A T A A ⇒⇒．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12na a a ，，，，则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -，从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-．又2221212()2(2)n nS A a a na a a a =+++++++，因此1(())()S T A S A -2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12na a a ，，，．当存在1i j n <≤≤，使得i ja a ≤时，互换数列A 的第i 项与第j 项取得数列B ，则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤．当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++====时，假设记数列12ma a a ，，，为C ，则()()S C S A =．因此2(())()S T A S A ≤．从而关于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +==，，，可知11()(())k k S A S T A +≤．又由（Ⅱ）可知1(())()k k S T A S A =，因此1()()k k S A S A +≤．即关于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤．因为()k S A 是大于2的整数，因此通过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++===．即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．。
2021年5月重庆第八高级中学校2021届高三下学期5月高考适应性月考卷(七)数学试卷参考答案
9
10
11
12
答案
AC
ACD
BC
ACD
【解析】
9． ab a b 3≥ 2 ab 3 ，解不等式得 ab ≤ 1 或 ab ≥ 3 ，故 ab ≥ 9 ，等号当且仅当
a
b
3 时取得，故
ab
有最小值
9，则
A
对，B
错；
ab
a
b
3≤
a
2
b
2
，解不等式
得 a b ≤ 2 或 a b ≥ 6 ，又 a 0 ，b 0 ，故 a b ≥ 6 ，当且仅当 a b 3 时取等号，故
y 0 ，所以 x [0， ) 时， y 0 ，函数单调递增，故选 A．
5．结合图象易知 A，B 错误，2020 年 1~2 月出口金额约为 4847.54 (1 1.847) 1702.68 百万
美元，故 C 错；2020 年 1~2 月出口数量约为 2384 (1 1.694) 885 万台，故选 D．
ABC，则 2
0
，故
D
错，故选
BC．
12．设
P
m2 4
，m
(m
0)
，Q
n，n42
(n
0)
， AB
(1，1)
，BA
(1， 1)
， AQ
n
1，n2 4
，
BP
m2 4
，m
1
，
PQ
n
m2 4
，n2 4
m
，
s
n2 4
n 1， t
m2 4
m 1，则
s
t
n2 m2 4n 4m 0 (n m)(n m) 4(n m) 0 n m 或 m n 4 ； AB∥PQ