将军饮马系列---最值问题解析

下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．
若 A 、B 在河流的异侧，直接连接 AB ， AB 与 l 的交点即为所求．
若 A 、B 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．
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同步课程˙“将军饮马”系列最值问题
M
A
M
A
N
B
C
N
B
C
【例2】已知点 A 在直线 l 外，点 P 为直线 l 上的一个动点，探究是否存在一个定点 B ，当点 P 在直线 l
上运动时，点 P 与 A 、 B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ；若不存在，请说明理 由．
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同步课程˙“将军饮马”系列最值问题
【例3】如图，在公路 a 的同旁有两个仓库 A 、 B ，现需要建一货物中转站，要求到 A 、 B 两仓库的距 离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？
海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线 现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想 轴对称及其性质： 把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图 形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰 ABC 是轴对 称图形．
【例5】如图，在 POQ 内部有 M 点和 N 点，同时能使 MOP NOQ ，这时在直线 OP 上再取 A 点， 使从 A 点到 M 点及 N 点的距离和为最小；在直线 OQ 上也取 B 点，使从 B 点到 M 点和 N 点 的距离和也最小．证明： AM AN BM BN ．
Q
B
N
M
O
A
P
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条 直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
如下图， ABC 与 A'B'C' 关于直线 l 对称，l 叫做对称轴． A 和 A' ， B 和 B' ，C 和 C ' 是对称点．
轴对称的两个图形有如下性质： ①关于某条直线对称的两个图形是全等形； ②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
同步课程˙“将军饮马”系列最值问题
“将军饮马”系列最值问题
知识回顾
1.两点之间，线段最短． 2.点到直线的距离，垂线段最短． 3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边． 4. A、B 分别为同一圆心 O 半径不等的两个圆上的一点， R r AB R r
当且仅当 A、B、O 三点共线时能取等号．
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同步课程˙“将军饮马”系列最值问题
线段垂直平分线： 垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴 对称变换，以“补齐”图形，集中条件。
所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐 标轴），都可以考察“将军饮马”问题。
（3）周长最短
类型一
类型二
类型三
A B
P A'
A'
B A
O C A''
A' M
A B
N B'
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（4）“过河”最短距离 类型一
B N
M
A'
A
（5）线段和最小
E Q
B l1
l2 AP
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类型二
B'
BM
N
A
l
M
N
B''
E l1
B Q
l2
P
A
F
（6）在直角坐标系里的运用
B A
P A'
B B'
A MN
A'
F
A' E
A
B F
B'
A
A' B
E A''
F
B' EF=1
A A' B
MN A''
A' B
P A
E
APE=BPE
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同步练习
同步课程˙“将军饮马”系列最值问题
【例1】尺规作图，作线段 AB 的垂直平分线，作 COD 的角平分线．
【变式练习】已知：如图，ABC 及两点 M 、 N ．求作：点 P ，使得 PM PN ，且 P 点到 ABC 两边 所在的直线的距离相等．
B A
B PM
C
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同步课程˙“将军饮马”系列最值问题
常见模型： （1） PA PB 最小
同侧 B
A l
P A'
图1
异侧 B
l P
A 图2
（2）① PA PB 最小
同侧 B
异侧 A
l
B
P 图4
异侧
l
B
A P
图5
A' l
A P
图6
② PA PB 最大
同侧
A
B
l P
异侧 A
P A'
l B
【变形】异侧时，也可以问：在直线 l 上是否存在一点 P 使的直线 l 为 APB 的角平分线
B A
l
【变式练习】(07 年三帆中学期中试题)如图，正方形 ABCD 中，AB 8 ，M 是 DC 上的一点，且 DM 2 ， N 是 AC 上的一动点． 求（1） DN MN 的最小值与最大值． （2） DN MN 的最小值与最大值．
B A
a
【变式练习】如图， M 、 N 为 ABC 的边 AC 、 BC 上的两个定点，在 AB 上求一点 P ，使 PMN 的周 长最短．
C
M N
A
B
【例4】如图， AOB 45 ，角内有点 P ，在角的两边有两点 Q 、 R (均不同于 O 点)，求作 Q 、 R ， 使得 PQR 的周长的最小．
知识讲解
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦． 有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从 A 出发到河边 饮马，然后再到 B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便 作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．
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同步课程˙“将军饮马”系列最值问题
【例6】已知如图，点 M 在锐角 AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 P ，使点 P 到点 M 的距离与点 P 到 OA 的边的距离和最小．
A O
M B
【例7】已知： A 、 B 两点在直线 l 的同侧， 在 l 上求作一点 M ，使得| AM BM | 最小值和最大值．
考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问 题考查。
构建“对称模型”实现转化
C
P B
M
P M
C C
M B
A
A
A
B
A
C
P
M
P B
A
C
P
B
M
C

C
M
B
P
PA PB BC
A M P