寿险精算学全集
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寿险精算公式集合
第一章 生命表函数与生命表构造生存函数 定义 意义：新生儿能活到 岁的概率 与分布函数的关系 与密度函数的关系 新生儿将在x 岁至z 岁之间死亡的概率 未来寿命定义：已经活到x 岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为未来寿命，记作T(x)。
分布函数：基本函数 未来寿命的生存函数特别： ：x 岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x 岁的人将在1年内去世的概率 ：X 岁的人将在x+t 岁至x+t+u 岁之间去世的概率整值未来寿命定义：未来存活的完整年数，简记 概率函数11Pr(())Pr(()1)k x k x kx k xk x x k xk K X k k T x k q q p p p q q +++==≤<+=-=-=⋅=未来寿命的期望与方差期望未来寿命：()x 未来寿命的期望值(均值),简记00(())(1)ox tx tx e E T x td p p dt∞∞==-=⎰⎰未来寿命的方差2220(())(())(())2o tx xVar T x E T x E T x t p dt e ∞=-=⋅-⎰整值未来寿命的期望与方差期望整值未来寿命：()x 整值未来寿命的期望值(均值),简记xe 1(())x kx x k k xk k e E K x k p q p ∞∞++====⋅⋅=∑∑整值未来寿命的方差22210(())()()(21)k x x k Var K x E K E K k p e ∞+==-=+⋅-∑死亡效力)Pr()(x X x S ≥=x )(1)(x F x S -=)()(x S x f '-=Pr()()()x X z s x s z <≤=-Pr(())()()()()t x q T X t pr x X x t X x s x s x t s x =≤=<≤+>-+=t x p Pr(())Pr()()()t x p T x t X x t X t s x t s x =>=>+>+=0()x p s x =x px q x t u q xt u x t x t x t u xt u q q q p p ++=-=-()x (),()1,0,1,K X k k T x k k =≤<+=定义：()x 的瞬时死亡率，简记()()ln[()]()()x s x f x s x s x s x μ''=-==-死亡效力与生存函数的关系0()exp{}exp{}xs x ttxsxs x ds p ds μμ+=-=-⎰⎰死亡效力与密度函数的关系0()()exp{}xx x s f x s x ds μμμ=⋅=⋅-⎰ 死亡效力表示未来寿命的密度函数()g t T ()()F ()1()()()()f ()()()()tx x t T tx x ts x s x tt p s x s x t d d s x s x t t G t p dt dt s x s x μμ++-+=-=⎡⎤+-+====⋅⎢⎥⎣⎦关寿命分布的参数模型De Moivre 模型(1729)1()1 , 0xxxs x x μωωω=-=-≤≤Gompertze 模型(1825) ()exp{(1)} , B 0,c 1,0xx xBc s x B c x μ==-->>≥Makeham 模型(1860)()exp{(1)} , B 0,A -B,c 1,0xx xA Bc s x AxB c x μ=+=--->≥>≥ Weibull 模型(1939)1()exp{} , 0,0,0nx n kx s x kx k n x μ+==->>≥ 参数模型的问题：至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
保险精算课程三(寿险精算)
N N Dx
x
xn
x
xh
2.终身寿险的年缴纯保费
h Px
Ax ax:h|
Mx Nx Nxh
3.两全保险的年缴纯保费
P h x：n|
Ax:n| ax:h |
Mx
M xn Dxn Nx Nxh
课堂练习:
1.某人30岁投保20年期，延期10年，5年限期缴费的定期 人寿险,保险金额为100000元，求年缴纯保险费?
N x N x1 Dx
S x N x N x1
(Ia) x
Sx Dx
( Ia) x
S x 1 Dx
( Ia) x:n |
S x 1
S x n1 Dx
nN x n1
作业：
1.某人30岁(女)时投保寿险,约定45岁前死亡给付保险金 150000元,40岁至60岁之间死亡给付保险金为100000 元,60岁以后给付保险金50000元,求趸缴纯保险费?
(In| A)x (IA)1x:n| n|Ax
Rx Rxn nM xn N M xn
Dx
Dx
标准递减也可以看作：
A1 x:n |
A1 x:n 1|
A1 x:n 2|
A1 x:1|
nM x [Rx1 Rxn1 ] Dx
课堂练习
（x）=30，定期寿险保单。第一年死亡给付1000元， 第二年死亡给付1200元，第三年1400元，这样依次按 200元比例递增，n=20，求保险金的精算现值：
x:n |
Dx
Ax:n|
Mx
M xn Dx
Dxn
Ax
Mx Dx
m| Ax
M xm Dx
A1 x :n|
Mx
M Dx
x
xn
x
xh
2.终身寿险的年缴纯保费
h Px
Ax ax:h|
Mx Nx Nxh
3.两全保险的年缴纯保费
P h x：n|
Ax:n| ax:h |
Mx
M xn Dxn Nx Nxh
课堂练习:
1.某人30岁投保20年期，延期10年，5年限期缴费的定期 人寿险,保险金额为100000元，求年缴纯保险费?
N x N x1 Dx
S x N x N x1
(Ia) x
Sx Dx
( Ia) x
S x 1 Dx
( Ia) x:n |
S x 1
S x n1 Dx
nN x n1
作业：
1.某人30岁(女)时投保寿险,约定45岁前死亡给付保险金 150000元,40岁至60岁之间死亡给付保险金为100000 元,60岁以后给付保险金50000元,求趸缴纯保险费?
(In| A)x (IA)1x:n| n|Ax
Rx Rxn nM xn N M xn
Dx
Dx
标准递减也可以看作：
A1 x:n |
A1 x:n 1|
A1 x:n 2|
A1 x:1|
nM x [Rx1 Rxn1 ] Dx
课堂练习
（x）=30，定期寿险保单。第一年死亡给付1000元， 第二年死亡给付1200元，第三年1400元，这样依次按 200元比例递增，n=20，求保险金的精算现值：
x:n |
Dx
Ax:n|
Mx
M xn Dx
Dxn
Ax
Mx Dx
m| Ax
M xm Dx
A1 x :n|
Mx
M Dx
寿险精算公式集合
常用符号：新生生命组个体数：
l0
l0
年龄： x 极限年龄：
lx l0 s ( x )
个新生生命能生存到年龄 X 的期望个数： l x
l0
个新生生命中在年龄 x 与 x+n 之间死亡的期望个数： n d x （特别：n=1 时，记作 d x ）
dx lx lx n lx
纯保费厘定的基本假定 三个基本假定条件:同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。被 保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 保险公司可以预测将来的最低平稳收益 （即预定利率） 。 净保费厘定原理 原则：保费净均衡原则 解释： 所谓净均衡原则， 即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。 它的实质是在统计意义上的收支平衡。 是在大数场合下， 收费期望现时值等于支出期望现时 值 ( x) 基本符号： —— 投保年龄 ——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数 vt ——贴现函 数 zt ——保险给付金在保单生效时的现时值 zt bt vt 主要险种的趸缴净保费的厘定： n 年期定期寿险 终身寿险 延期 m 年的终身寿险 n 年期生存保险 n 年期两全保险 延期 m 年的 n 年期的两全保险 递增终身寿险 递减 n 年定期寿险 2.1.1 死亡保险 n 年定期死亡保险 (x)签约离散型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期死亡保险的趸缴纯保费为:
A1 A1
x:n
当n 1 时 v qx v dx lx
x: 1
自然纯保费
v x 1 d x Cx cx v x lx Dx
Ax
v
k 0 k 1
k 1
k
精算数学寿险精算学课件
❖ 保障标的的不同
人寿保险life insurance 生存保险pure endowment
insurance 两全保险 endowment
insurance
❖ 保障期是否有限
定期寿险 term year insurance
终身寿险whole life insurance
3、人寿保险的性质
2、人寿保险的分类
❖ 受益金额是否恒定
定额受益保险 level benefit insurance 变额受益保险varying benefit insurance
❖ 保单签约日和保障期期 始日是否同时进行
非延期保险non-deferred insurance
延期保险 deferred insurance
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即 预定利率）。
4、趸缴纯保费的厘定
❖ 4.2厘定原则
保费净均衡原则 解释
❖所谓净均衡原则(it is net because it has not been loaded)， 即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金 的期望现时值(expectation of the present value of the net premium equals expectation of the present value of the payment)。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是 在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值
❖ 趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E(zt )
第二节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
1、死亡即刻赔付(payable at the moment of death)
❖ 死亡即刻赔付的含义
保险精算学寿险精算现值
1 D x
M
t 0
x t
引进转换函数：Rx M x t
t 0
则 IA x
Rx Dx
根据概率的知识，我们还可以得到
IA x E Z (k 1)v
k 0
k 1 k
qx k Ax
k 0
（2）定期递增寿险
用 IA x:n 表示趸缴净保费，则
631终身寿险年缴净保费死亡年末赔付单位元终身寿险如果规定保费每年一次终身交付这时保险费的现值就是终身生存年金精算现值以表示年缴均衡净保保费在年内缴清632定期寿险年缴净保费在死亡均匀分布的假设下如果被保险人死亡瞬时赔付633两全寿险年缴净保费634延期年金年缴净保费延期年的终身生存年金的年缴净保费设保费的缴付期限为表示年缴净保费
k 0
本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。 （1）递增型人寿保险的趸缴净保费 （2）递减型人寿保险的趸缴净保费
（1）标准递增终身寿险
某x岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单 位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元 用 IA x 表示这种保险的现值，则
IA x:n IA x:n
1
nAx:n 1
（4） 等值递增n年的终身寿险的趸缴净保费
用 I n A 表示趸缴净保费，则
I A IA
n x t n
x
x
n IA x
t 1 其中， IA ( t n 1) v q x t x n
2 2 2n p v p v n x n x n p xn qx . n 2
Z Z1 Z 2
寿险精算公式集合
x kxn
Weibull 模型(1939) s( x) exp{kxn1} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题： 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义：根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所 组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表 的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。 生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方 法） 生命表的构造 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
0
整值未来寿命的期望与方差
期 望 整 值 未 来 寿 命 ： (x) 整 值 未 来 寿 命 的 期 望 值 ( 均 值 ), 简 记
e ex E ( K ( x))
k k px qxk
p k 1
x
x
k 0
k 0
பைடு நூலகம்
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k 1 px ex2
d
。计算下面各值：（1）
30
,
20
寿险精算(第一章)
定理1.3.2. 假设个体的年龄及是否死亡为已 知,个体的其他信息均未告知. x岁的个体生 存了 t 年后, 其再继续生存时间的分布和x+t 岁的个体的未来生存时间的分布相同, 即
P(T ( x) s t | T ( x) t ) P(T ( x t ) s), s [0, )
(3) p P (T ( x) t ) t x
P (T ( x) h) P (T ( x) t | T ( x) h) P (T ( x) h) P (T ( x h) t h | T ( x h) 0) P (T ( x) h) P (T ( x h) t h) h px t h px h .
第一部分 生存模型和多元衰减模型
第一章 单生命生存模型 第二章 多生命生存模型 第三章 多元衰减模型 大意梗概：人寿保险是以人的寿命、身体或健康 为保险标的（指具体的保险目标）的保险， 因此， 研究人的寿命的延续规律是制定保险保费的重要 基础。人的寿命往往是不确定的，可以看作随机 变量，因此，用概率统计方法研究寿命是普遍方 法。
T ( x)
2) T(x)的死亡力
s ( x)
x (t )
fT ( x ) (t ) 1 FT ( x ) (t )
X与T(x)的分布、密度、生存、死亡函数的 关系
结论1.3.1
f X (x t) fT ( x ) (t ) , t 0; s ( x)
t
( x s ) ds sT ( x ) (t ) e 0 ;
还可证明：
由于 X (t ) ( x t )
sT ( x ) '(t ) sT ( x ) (t ) (ln sT ( x ) (t )) ',
寿险精算学(三)
寿险精算学（三） 寿险精算学（ 寿险产品介绍
内容
1 2 3 4
传统个人寿险和年金产品 投资类保险产品 附加康保险
人身险
终身寿险
生存年金 两全保险
投资类保险产品
分红产品
万能产品
投连产品
常见附加险产品
主险附加产品 医疗费用 住院津贴
疾病保险
Cycle name
收入补偿
意外险
团体保险概念
团体： 人以上 团体：5人以上 用一张保单 对一团体的人提供保障 同一险种
团体保险
团体保险特点
1
精算方法不同
2
费率不同
3
管理方式和费用不同
团险种类
团体寿险
团体意外险 团体年金
团体健康险
内容
1 2 3 4
传统个人寿险和年金产品 投资类保险产品 附加康保险
人身险
终身寿险
生存年金 两全保险
投资类保险产品
分红产品
万能产品
投连产品
常见附加险产品
主险附加产品 医疗费用 住院津贴
疾病保险
Cycle name
收入补偿
意外险
团体保险概念
团体： 人以上 团体：5人以上 用一张保单 对一团体的人提供保障 同一险种
团体保险
团体保险特点
1
精算方法不同
2
费率不同
3
管理方式和费用不同
团险种类
团体寿险
团体意外险 团体年金
团体健康险
寿险精算学课件-(3)精选全文
费用分类
成分
投资费用
（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本
1、新契约费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2）风
保
险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录
险 2、维持费 （1）保费收取及会计
费
（2）给付变更及理陪选择权准备
用
（3）与保单持有人进行联络
3、营业费用 （1）研究、开发新险种费用（2）精算及一般法律服务 （3）普通会计（4）税金、许可证等费用
0
Ax
P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
方差确定
Var(L)
Var[vt
P(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[v(k 1)(s1)
P
(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[(vs1 P( Ax ) )vk1] d
记Z s
vs1
P( Ax d
)
，Z
k
vk 1
由于分数剩余寿命和整值剩余寿命相互独立，
(
Z
k
)
方差的确定
终身寿险场合有
E
(Z
2 k
)
2 Ax，Var(Zk
)
2 Ax
-
Ax
2
在分数期死亡服从均匀分布的假定下，有
E(Zs )
E
v
s-1
P( Ax )
d
i
P( Ax ) d
Var(Zs
)
Var
v
s-1
P( Ax d
)
Var (v s -1 )
寿险精算学(第3版)课件：期缴保费
• 以例5.8进行讲解，每年的净保费等于133.07元，每年的 毛保费等于178.47元，也就是说每年缴纳的毛保费里面有 45.4元是覆盖费用的费用保费。但实际上第一年的真实费 用等于：
40.5+205+78%178.47=279.71
• 第一年收取的费用45.4元是完全不够支付第一年的真实费 用的。费用不够的部分是由保险公司现行垫付。这就产生 了寿险产品的新业务压力（new business strain）。也就 是说寿险公司只要新卖出一份保险产品，第一年就要承担 初年费用不够的资金压力。
毛保费的构成图示
经营费用
• 所谓经营费用是指保险公司支出的除了风险赔付之外, 其他维持 保险公司正常运作的所有费用支出的统称。
• 经营费用包括管理费用和佣金两大部分, 其中, 管理费用通常由 投资费用和保险费用两部分构成。
– 投资费用包括与投资相关的分析、 购买、 销售及服务成本。 由 于这些费用直接与投资收入的产生有关, 所以投资费用通常从总投 资收入中扣除, 在传统寿险产品保费计算时通常不单独考虑。
缴费频率与赔付频率不一致时， 期缴净保费的厘定
• 实务中, 有时保费的缴纳频率会和赔付的给付频率不一致
– 比如有可能保费每年期初缴纳, 但死亡即刻给付; – 再比如保费每年缴纳m 次, 而死亡年末赔付或死亡即刻赔付。
• 这时，期缴净保费的厘定, 通常需要借助不同频率之间精 算函数的变换来实现。
例5.6
未来损失变量
• 未来损失变量（Future Loss），t时刻的未来损失变量记作Lt
Lt =未来支出贴现到t 时刻的现值 - 未来收入贴现到t 时刻的现值
– 如果Lt >0, 意味着对保险人而言未来收不抵支, 将会产生亏损 (loss) – 如果Lt <0, 意味着对保险人而言未来收入会大于支出, 将会产生利润
40.5+205+78%178.47=279.71
• 第一年收取的费用45.4元是完全不够支付第一年的真实费 用的。费用不够的部分是由保险公司现行垫付。这就产生 了寿险产品的新业务压力（new business strain）。也就 是说寿险公司只要新卖出一份保险产品，第一年就要承担 初年费用不够的资金压力。
毛保费的构成图示
经营费用
• 所谓经营费用是指保险公司支出的除了风险赔付之外, 其他维持 保险公司正常运作的所有费用支出的统称。
• 经营费用包括管理费用和佣金两大部分, 其中, 管理费用通常由 投资费用和保险费用两部分构成。
– 投资费用包括与投资相关的分析、 购买、 销售及服务成本。 由 于这些费用直接与投资收入的产生有关, 所以投资费用通常从总投 资收入中扣除, 在传统寿险产品保费计算时通常不单独考虑。
缴费频率与赔付频率不一致时， 期缴净保费的厘定
• 实务中, 有时保费的缴纳频率会和赔付的给付频率不一致
– 比如有可能保费每年期初缴纳, 但死亡即刻给付; – 再比如保费每年缴纳m 次, 而死亡年末赔付或死亡即刻赔付。
• 这时，期缴净保费的厘定, 通常需要借助不同频率之间精 算函数的变换来实现。
例5.6
未来损失变量
• 未来损失变量（Future Loss），t时刻的未来损失变量记作Lt
Lt =未来支出贴现到t 时刻的现值 - 未来收入贴现到t 时刻的现值
– 如果Lt >0, 意味着对保险人而言未来收不抵支, 将会产生亏损 (loss) – 如果Lt <0, 意味着对保险人而言未来收入会大于支出, 将会产生利润
寿险精算学(四)
分类
初付年金/延付年金 连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 非延期年金/延期年金
课程结构
趸缴净保费厘定
保费 厘定
生存年金净保费厘定 均衡净保费厘定 毛保费厘定 多生命保险保费厘定
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
生存年金与确定性年金的联系
lx
趸缴纯保费递推公式
公式三：
Ay v
x y x y 1
q x (1 Ax 1 )
解释
(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成 本的现时值之和。
生存年金
生存年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、 半年、季、月）支付一次保险金的保险类型
相关公式及理解
（1 a x： E (Y ) E ( ） n
1 zt
)
1
(1 Ax： ) n
1 a x Ax： n
1 zt 1 （2）Var(Y ) Var( ) 2 Var( zt )
Var(aT )
1
[ 2Ax:n ( Ax:n ) 2 ] 2
A
M x m M x m n Dx
Mx Ax Dx
A m x:n
M x m M x m n Dx m n Dx
( IA)1 :n x
Rx Rx n nM x n Dx
( DA)1 :n x
nM x ( Rx 1 Rx n 1 ) Dx
解释
所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正 好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的 实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场 合下，收费期望现时值等于支出期望现时值
寿险精算学-ch10[37页]
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利润测试
毛保费与定价假设
▪ 毛保费是指保险人为覆盖未来的赔付风险和经营费用
支出，向被保险人收取的费用。
▪ 为了厘定毛保费，必须要假设未来任意时刻的风险发
生概率，即死亡率，投资收益率，和各种费用率。这 些假设是精算师根据自己对未来的社会政治、经济、 科学水平以及公司的发展前景等诸多因素，进行科学 展望，再结合自己的专业经验做出的预测。
▪ 实际上，评估假设和定价假设是两个同的概念。它们既
可能相同，也可能不同。
定价假设与评估假设 ▪ 比如，我国从2013年8月5日开始规定普通型人身保险预
定利率由保险公司按照审慎原则自行决定，但是普通型人 身保险保单法定评估利率为3.5%。这意味着保险公司计 算保费的时候可以自行确定定价利率，但是在测算责任准 备金时，必须使用3.5%的评估利率。
被保险人应该承担的未尽责任现值称为责任准备金。要计 算责任准备金，需要假设从时刻开始，以后任意时刻的死 亡率，投资收益率和各种费用率。这些跟责任准备金计算 相关的风险假设称为评估假设。
▪ 我们在第六章讲授责任准备金计算方法时，使用的假设条
件几乎都是定价假设。这主要是因为第六章的授课重点是 责任准备金的概念和计算方法。评估假设的问题我们就没 有提及。这可能会给同学们造成误解，以为责任准备金的 评估假设就是定价假设。
其中：
k CV kV k SC
k CV 为现金价值，kV 为净责任准备金，k SC为解约费用
现金价值的计算
k CV kV k SC
kV
(Pa
P)a xk:hk
( kV
Pa xk:hk
)
Paa xk:hk
Axk
Paa xk:hk
其中：
Pa Ax E1 ax
毛保费与定价假设
▪ 毛保费是指保险人为覆盖未来的赔付风险和经营费用
支出，向被保险人收取的费用。
▪ 为了厘定毛保费，必须要假设未来任意时刻的风险发
生概率，即死亡率，投资收益率，和各种费用率。这 些假设是精算师根据自己对未来的社会政治、经济、 科学水平以及公司的发展前景等诸多因素，进行科学 展望，再结合自己的专业经验做出的预测。
▪ 实际上，评估假设和定价假设是两个同的概念。它们既
可能相同，也可能不同。
定价假设与评估假设 ▪ 比如，我国从2013年8月5日开始规定普通型人身保险预
定利率由保险公司按照审慎原则自行决定，但是普通型人 身保险保单法定评估利率为3.5%。这意味着保险公司计 算保费的时候可以自行确定定价利率，但是在测算责任准 备金时，必须使用3.5%的评估利率。
被保险人应该承担的未尽责任现值称为责任准备金。要计 算责任准备金，需要假设从时刻开始，以后任意时刻的死 亡率，投资收益率和各种费用率。这些跟责任准备金计算 相关的风险假设称为评估假设。
▪ 我们在第六章讲授责任准备金计算方法时，使用的假设条
件几乎都是定价假设。这主要是因为第六章的授课重点是 责任准备金的概念和计算方法。评估假设的问题我们就没 有提及。这可能会给同学们造成误解，以为责任准备金的 评估假设就是定价假设。
其中：
k CV kV k SC
k CV 为现金价值，kV 为净责任准备金，k SC为解约费用
现金价值的计算
k CV kV k SC
kV
(Pa
P)a xk:hk
( kV
Pa xk:hk
)
Paa xk:hk
Axk
Paa xk:hk
其中：
Pa Ax E1 ax
第四章寿险精算(人身保险-南开大学,李秀芳)
9093.465 8531.089 8277.164 8039.333 7816.236 7606.652
9577.175 10000
9317.294 10000
9194.765 10000
9076.836 10000
8963.274 10000
8853.86 10000
人身保险
14
利润现值表
利率
2003年
人身保险
3
寿险公司风险类型
C1：资产贬值风险 C2：定价不足风险 C3：利率变动风险 C4：一般经营风险 C5：汇率风险
2003年
人身保险
4
C1：资产贬值风险
如债券、抵押贷款、股票、不动产和其它投资发生损失而 造成的风险，由于利息支付违约或本金违约，或由于市场 价值的损失而造成的风险。C1风险影响寿险公司的资产而 不包括负债。控制C1风险是投资管理部门的职责。审慎的 投资分析和信用分析是控制C1风险的最好方法，而在操作 中可以通过评估投资风险而投资于高质量的资产。
372.9029 381.7385
5% 377.6005 386.5342
385.7004 394.8721 404.2662 413.8842 423.7237 433.7912 444.0879 454.6161 465.3796
390.796 400.0765 409.5824 419.3152 429.2723 439.4603 449.8805 460.5353 471.4284
比较典型的C1风险包括：
资产市场价值的损失（不包括利率变动引起的损失）； 借方对于利息的违约； 借方对于本金的违约等。
2003年
人身保险
5
美国高利率债券资产违约率分布
保险精算学5-寿险保费厘定
所以死亡年末赔付时刻是一个离散随机变量，它
保险赔付金额和赔付时间的不确定性
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命 状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味 着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保 险人剩余寿命分布。
被保障人群的大数性
保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可 预测将来的风险。
三、传统个人寿险产品
3、两全保险
在规定保险期内，如果被保险人死亡，保险人赔付死 亡保险金；如果被保险人期满存活，保险人则给付生 存保险金。
此为定期寿险与生存纯保险的合险。 具有较高的现金价值，满期时现金价值与生存保险金
相等；在保险期内，退保也可以得到退保现金价值。
第二节 寿险趸缴纯保费
一、计算原理
1、方法： 现实支付法 总额支付法
第五章 寿险保费厘定
英汉对照
定期寿险 终身寿险 两全保险 生存保险 延期保险 变额受益保险 死亡年末给付保险
死亡即刻赔付保险
趸缴纯保费
Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance Insurances payable at the end of
每年根据死亡风险重新厘定保费水平（仅在最开始售出保单时核 保）
保额递减定期寿险：常见的有“以抵押贷款余额为死亡 赔付额，以还款期为保险期的定期保险”，如以未付房
2、终身寿险
为被保险人提供从投保开始到生命结束的死亡保险。 保险金额通常恒定，保费可趸缴、定期年缴、终身缴
保险赔付金额和赔付时间的不确定性
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命 状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味 着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保 险人剩余寿命分布。
被保障人群的大数性
保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可 预测将来的风险。
三、传统个人寿险产品
3、两全保险
在规定保险期内，如果被保险人死亡，保险人赔付死 亡保险金；如果被保险人期满存活，保险人则给付生 存保险金。
此为定期寿险与生存纯保险的合险。 具有较高的现金价值，满期时现金价值与生存保险金
相等；在保险期内，退保也可以得到退保现金价值。
第二节 寿险趸缴纯保费
一、计算原理
1、方法： 现实支付法 总额支付法
第五章 寿险保费厘定
英汉对照
定期寿险 终身寿险 两全保险 生存保险 延期保险 变额受益保险 死亡年末给付保险
死亡即刻赔付保险
趸缴纯保费
Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance Insurances payable at the end of
每年根据死亡风险重新厘定保费水平（仅在最开始售出保单时核 保）
保额递减定期寿险：常见的有“以抵押贷款余额为死亡 赔付额，以还款期为保险期的定期保险”，如以未付房
2、终身寿险
为被保险人提供从投保开始到生命结束的死亡保险。 保险金额通常恒定，保费可趸缴、定期年缴、终身缴
《寿险精算学(第3版)》 PPT-ch3
函数为
0 , 0 t n Zt vn ,t n
• 定期生存险趸缴净保费
A 1 x:n
E(Zt )
n
vn
fx
(t)dt
vn
n
px
• 现时值方差
Var(Zt )
A 2 1 x：n
A1 x:n
2
其中：2
A1 x:n
=
v2n
n
px
例3.4
• （30）购买10年定期生存险，10年末生存给付1。假设复 利计息，年实质利率为5%，寿命服从（0,100）的de Moivre分布。请计算：
140 ln1.05
（3）对于定期寿险而言，赔付现时值是一个分段函数，因 为 v10=1.0510 0.6139 A310:10，也就是说只要是在10年内发生理赔的 被保险人他们所缴纳的趸缴净保费都小于赔付现时值，他们 保费不足的部分是由那些活过10年，没有发生任何赔付的被 保险人补齐的，即
Pr(Zt
(
x)
1
x 100
例3.2解
,0 x 100 ，所以
f30
(t)
1 70
, 0 t 70
且已知复利计息，年实质利率为5%，则 δ = ln(1+ i) = ln1.05
所以趸缴净保费为
A30 E(Zt )
e 70 t
1
e t dt =
0 70 70
0
1
1 1.0570 =
0.2832
• 赔付现值变量是未来寿命的单调减函数。未来寿命短的被保险 人, 由于贴现时期短,赔付现值会大于平均赔付成本。 反之, 未 来寿命长的被保险人, 由于贴现时期长, 赔付现值会小于平均赔 付成本。 本例中, 收支平衡的时间点出现在未来寿命为25.8577 年的时刻点上。未来寿命长于25.8577 年的被保险人（63%） 会补贴哪些未来寿命短于25.8577年的被保险人（37%）。
保险精算课件第3章寿险精算现值
4.2 死亡即付的人寿保险
死亡即付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。
死亡即刻赔付时刻是一个连续型随机 变量，它距保单生效日的时期长度就等于 被保险人签约时的剩余寿命。
1.终身寿险 对(x) 的1单位元终身寿险，死亡即付现值 随机变量为
死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为 标准递增的变额寿险。
标准递增的终身寿险
Z (K 1)vK 1, K 0,1, 2,
1
…
11
…
x x+1 x+2
…
1…
1
1…
…
1
1…
1
1…
x+n-1 x+n
其精算现值以 (IA)x 表示，有
(IA)x E(Z ) (k 1)vk1k qx k 0
k 0
qx
1 lx
x 1
d xk v k 1
k 0
●赔付现值随机变量的方差：
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2
E(Z 2)
v2(k1) k qx
e q 2 (k 1) kx
k 0
k 0
E(Z 2) 相当于以计算趸缴净保费利息力
Ax E(Z )
0
vt
t
px
x t dt
v k 1 t
k
t
px
x t dt
k 0
v1 sk
0
sk
px
xsk ds
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中国精算师的职业制度基本思路在考试认可制度
下，取得精算师考试合格证书仅是精算师职业制 度的开端： ①取得中国精算师资格证书者，若以精算师名义 在商业保险机构执业，还需向中国保监会申请注 册，在取得精算师执业证书后，方可执业; ②执业的精算师应加入精算师的专业团体中国精 算师协会，每年需参加中国精算师协会规定的职 业培训，接受其监督管理；
关键概念
保险合同 可保风险：可保风险是保险人愿意承保并能够 承保的风险。
保险分类
财产保险
车险 房屋保险 火灾险 信用险 知识产权保险
人身保险
寿险 健康险 意外险
精算学及其应用领域
精算学概念 应用各种数理模型来估计和分析未来不确定事件（风险）
经过金融保险监管部门认可其从业资格。资格认定：北美和英 国体系，资格考试分寿险精算师、非寿险精算师、投资与资产 管理精算师、养老金精算师、咨询精算师 精算师的职责 ——保证风险经营的财务稳健性 对风险和损失的预先评价 对风险事件做出预先的财务安排 精算学起源：起源于人寿保费的计算。1693年哈雷编制第一 张生命表 精算师职业组织：英国精算学会、SOA北美精算师协会、 AAA美国精算职业学会、国际精算师学会、⋯⋯
精算师的角色
精算师的基本职能是计算保险费率。传统上，精
算专业大多用于保险公司和参与社会保障体系的 设计，在保险公司中，精算师是核心部门的核心 人才，有着极高的地位、权力和职责。 精算师通常有三种角色：一是保险公司的雇员， 为保险公司工作；二是监管部门的代理人，按照 监管的要求进行工作，并及时反映保险公司诸如 偿付能力不足等重大事件；三是作为保险专家， 发表专家意见，维护消费者的利益，提醒公众风 险在哪里。精算师担负着对政府、保险公司和保 户三方面的重责。
寿险精算学基本思来的损失降 低最小 事先防范风险
净均衡思想
自助互助性 保费的返还性 大数定律
中国精算职业制度：我国保险法规定："经
营人身保险业务的保险公司，必须聘用金 融监督管理部门认可的精算专业人员，建 立精算报告制度。" 1999年组织了中国首 次精算师资格考试，有43人获中国精算师资 格主要应用于寿险业务，而非寿险业务， 精算学的应用还是空白。
产生的影响（特别是财务方面）。以保险业为基础产生的 精算科学通常指处理保险业中的风险管理问题。 精算早已形成完整的体系，在社会保险、金融、投资、证 券等领域广泛应用。
应用领域
保险领域 社会保障领域 投资领域 所有与风险评估，控制相关领域
精算师： 针对精算问题逐步形成的一种专门职业的从业人员，
寿险精算学全集
2006年11月18日
背景知识
保险的基本概念 精算学及其应用领域
寿险精算学的基本思想 精算师
精算师职业资格考试
保险的概念
保险的概念
投保人根据合同约定，向保险人支付保险费， 保险人对于合同约定的可能发生事故因其发生 所造成的财产损失承担赔偿保险金责任，或者 当被保险人死亡、伤残、疾病或者达到约定年 龄、期限时承担给付保险金责任的商业保险行 为。
精算学一般分为寿险精算学和非寿险精算学。寿
险精算学讨论的是只与人的寿命风险有关的计算 问题，而涉及到所有其他保险风险的计算问题都 属于非寿险精算学的范畴，包括健康险的计算问 题。 原因：人的寿命风险具有更大的稳定性，而且寿 险保单中，保险金是事先约定的。而在涉及其他 保险风险的保单中，保险金一般直接与被保险人 的实地损失相联系，后者无法事先准确得知。由 于损失的不确定性，使得非寿险保单费率的厘定、 保险金的提留等都比寿险精算更为复杂和困难， 所使用的工具也更加艰深。
准精算师考试基础课程
课程编号 课程名称 学分 考试时间 备注 001 数学基础Ⅰ 30 3 必考 002 数学基础Ⅱ 30 3 必考 003 复利数学 20 2 必考 004 寿险精算数学 50 4 必考 005 风险理论 20 2 必考 006 生命表基础 30 3 必考 007 寿险精算实务 30 3 必考 008 非寿险精算数学与实务30 3 必考 009 综合经济基础 30 3 必考
精算师考试高级课程
课程编号 课程名称 学分 考试时间 备注 011 财务 30 3 必考 012 保险法规 30 3 必考 013 资产/负债管理 30 3 必考 014 社会保险 20 3 选考 015个人寿险与年金精算实务 20 3 选考 016 高级非寿险精算实务 20 3 选考 017 团体保险 20 3 选考 018 意外伤害和健康保险 20 3 选考 019 投资学 20 3 选考 020 养老金计划 20 3 选考
中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为
准精算师资格考试，第二层次为精算师资格考试。 精算师考试课程共10门，考生必须通过3门必考 课程、2门选考课程的考试。3门必考课程内容主 要涉及保险公司运营管理、财务、投资以及中国 保险业法规、税收、财务制度等。2门选考课程 则为保险业务的不同方向。
③保险公司聘请一名执业精算师作为公司的首席
精算师，并报中国保监会备案(首席精算师需经 中国保监会的资格审查认可)； ④首席精算师离职应当报中国保险监督管理委员 会备案。保险公司解除其首席精算师的职务，应 当向中国保险监督管理委员会陈述理由，并报中 国保险监督管理委员会备案。
中国精算师考试课程
考题形式为标准试题和笔答题，考试采用学分制。
考生通过全部基础课程考试，获得270学分，可 以获得准精算师考试合格证书；精算师高级课程 考试共130学分，90学分必考学分，40学分选考 学分。考生在通过全部课程的考试后，还需有专 业训练要求，考生要请一名资深的中国精算师指 导，在专业领域工作两年，并有一篇专业 报告，经答辩合格后，方取得精算考试合格证书。