相关变化率

( x)
2
(
x
a)
1 3
2
1
,x a
3
3 3 xa
易知f (x)没有驻点,只有一个不可导点 x a. 列表讨论如下:
x
a
f (x)
f (x)
无
极小值
f (a) 2 a
y a
结论:
O
x
(1)当f (a) 2 a 0即a 2时,由零点定理知:
f (x)有二个零点(如右图);
(2)当f (a) 2 a 0即a 2时, f (x)仅有一个零点x a(如右图);
解：如图 ，设在任一时刻 t 甲船航行
x
的距离为 x (t)，乙船航行的距离为 y(t) ，
两船的距离为 z(t) , 则 z 2 (40 x)2 y 2
40
z
上式两边对 t 求导 ，得
y
2z dz 2(40 x) dx 2y dy
dt
dt
dt
已知 : 当 x 20 时 , dx 15 ; y 15 时 , dt
原方程有二个实根;
(2)当A 1 时, e
原方程仅有一个实根;
(3)当A 1 时, e
原方程没有实根.
2
2.试就a的不同取值 ,讨论方程 (x a) 3 2 a的实根个数 .
解： 2 令f (x) (x a) 3 2 a,则原方程的根即为f (x)的零点.
显然,
f (x)在(,)连续,且f
故直线 y x 1 是曲线的斜渐近线。
补充思考 :
在第一象限,求曲线y 3 x2的一条切线, 使该切线与两坐标所形成的三角形面积最小.
所求切线:y 4 2x
2 斜渐近线: 设a lim f (x) , b lim ( f (x) ax),
x x
x
( x )
( x )
( x )
( x)
则 y ax b 为 y f (x) 的渐近线。 特别，若 a 0, 则得水平渐近线.
公式法
另.若专门求水平渐近线: lim f ( x) c, x
则水平渐近线为 y c
e
e
e
f (x)有二个零点 (如右图);
(2)当f (1) A 1 0即A 1时,
e
e
e
y A
f (x)仅有一个零点x 1 (如右图); e
O
1 e
x
(3)当f (1) A 1 0即A 1 时,
y A
e
e
e
f (x)没有零点(如右图).
综上可得:
O
1
x
e
(1)当0 A 1 时, e
显然, f (x)在(0,)连续,且f (x) 1 ln x
令f (x) 0 x 1 ,这是f (x)在(0,)内的唯一驻点,没有不可导点.
e
列表讨论如下:
y
x
0
1
e
A
1
f (x)
0
e
O
x
A
极小值
f (x)
f (1) A 1
e
e
结论: (1)当f (1) A 1 0即0 A 1时,由零点定理知 :
dy 25 ; 此时 z 25 , 代入上式 , 得 dt
dz 2015 15 25 3 (km/h)
dt
25
因为 dz 3 0, 所以观测时两船相距 25 里 , 正以
dt
3 km/h 的速率彼此远离 。
例7 讨论方程x ln x A 0有几个实根.其中A为正常数.
解：令f (x) x ln x A, x (0,),则原方程的根即为f (x)的零点.
则底半径的膨胀速率如何? 解:
(1)V 1 r2h 1 r3, dV r 2 , dV 25
3
3
dr
dr r5
(2) dV r2 dr ,
dt
dr
已知某一时刻,r0
5, dV dt
0.5,代入得: dr dr
1
50
(cm / s)
例 27. 甲船向正南乙船向正东直线航行 , 开始时甲 船恰在乙船正北 40 km处 , 后来在某一时刻测得甲船 向南航行了 20 km , 此时速率为 15km/h ;乙船向东航行 了15 km , 此时速率为 25km/h 。问这时两船是在分离 还是在接近 ，速率是多少 ？
* 相关变化率
相
设 x x(t) , y y(t) 都是可导函数 , 变量 x 和 y 之间存
在某种对应关系 , 如果已知 x (或 y )对 t 的变化率 ,要求
y (或 x )对 t 的变化率,这种问题称为相关变化率问题 。
例26. 一气球从离开观察员 500米处离地面铅直上升
其速率为 140 米/秒 。当气球高度为 500 米时 ，观察员
(3)当f (a) 2 a 0即a 2时, f (x)没有零点(如右图).
综上可得:
y
Oa x y
Oa x
(1)当a 2时, (2)当a 2时, (3)当a 2时,
原方程有二个实根; 原方程仅有一个实根; 原方程没有实根.
渐近线
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定义：若曲线 y f (x) 上的
y
动点 P(x, y) 沿着曲线无限
视线的仰角增加率是多少 ？
解：设气球上升 t 秒后其高度为 h ，
观察员的仰角为 , 则
tg h ,
500
其中 , h 都是时间 t 的函数。
h
500
上式两边对 t 求导，得 ：
sec2 d 1 dh
dt 500 dt
已知 dh 140 m / min , 又当 h 500 m 时 , dt
∵ lim x2 ， x 1 x 1
∴直线 x 1 是曲线y x2 的垂直渐近线。 x 1
由 a lim f (x) lim x 1 ， x x x x 1
和b lim [ f (x) ax] lim [ x2 x] lim x 1 ，
x
x x 1
x x 1
远离坐标原点时，它与某
直线l 的距离趋向于零，则
o
称 直线l 为该曲线的渐近线。
l ．P(x, y)
y f (x)
x
曲线 的渐 近线:
渐近线
1 垂直渐近线 : 若当x x0 (x x0 , x x0 )时，
f (x) ,则y f (x)在x0右侧（左侧，两侧）以 直
线x x0为渐近线。 观察 法,并验 证
tg 1, sec2 2 代入上式得 d 70 0.14 度/秒
dt 500
h
500
即观察员视线的仰角增加率是 0.14 弧度/秒 。
例27. 有一底半径与高相等的直圆锥体受热膨胀,
其高和底半径的膨胀系数相同,当底半径为5cm时,问: (1)体积关于底半径的变化率如何? (2)若此时体积的膨胀速率为0.5(cm / s),
例.求下列曲线的渐近线
（1） y 1 ； 1 x2
解：（1）∵
lim
x
1
1 x
2
0，
∴直线
y
0
是曲线
y
1
1 x
2
的水平渐近线。
∵ lim 1 ， lim 1 ，
x 11 x 2
x11 x2
∴直线 x 1 和x 1 是曲线y 1 的垂直渐近线。 1 x2
（2） y x2 . x 1