相关变化率
参数方程的导数及相关变化率问题
x (t) ,
dy f (t ) ,
dx (t )
t I.
3
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
x y a(2 ) 0
2 例 3．求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a 为正常数) 在对应
解：设经 t 小时后甲船与乙船的距离为 s km ，甲船 行驶了 x km ，乙船行驶了 y km ，
则 s2 (t ) x2(t) (16 y(t))2 ，
所建立的方程不是 s 与 t 的直接函数关系，但所求的是
v ds ，且已知 dx 6 ， dy 8 ，故借助相关变化率来求。
dt
dt
1.2 参数方程的求导法则 及相关变化率问题
1.2 导数的计算
5. 参数方程确定的函数的求导法则
一般地参数方程
x y
f
(t) (t)
,tI
确定了 y 与 x
之间的函数关系。
如果函数 x (t) 存在反函数 t 1( x) ，则 y 可以看作 x 的复合函数，即 y f [ 1( x)] ，它由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成。
匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线
与地面夹角 为 。求当 时， 对 t 的变化率。
3
x
解：以直升飞机飞过观察者头顶
时算起的距离为 x，显然 x ,
500
均为 t 的函数，已知飞机的速度
§4.4 变化率与相关变化率
，如图所示．
h/2
将方程两边关于时间 t 求导数，得 即
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 将方程两边关于时间 t 求导数，得
．
h/2
即
变化率与相关变化率
§4.4 变化率与相关变化率
4.4.1 变化率 4.4.2 相关变化率 内容小结与作业
变化率与相关变化率
4.4.1 变化率
例1 当运动员从10 m 高台跳水时，运动员跳向空中到 进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设 在 t s 时运动员相对水面高度为
问： (1)在2 s 时运动员的下降速度为多少？ (2)运动员跃起后何时上升的速度为0？ (3)运动员入水刹那的速度为多少？
时, C ( x ) 与 C
C C( x 1) C( x) C( x) C
7．01 9．01 11．01 13．01 15．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01
C( x)
7 9 11 13 15
变化率与相关变化率
4.4.2 相关变化率
例6 设直圆锥的底半径 r 、高 h 都是时间 t 的可微
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （1）在 时刻的下降速度为
所以
即在2秒时运动员下降的速度为 表示运动员在下降．
2
，负号
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （2）令 ，即
解得
．所以，在
相关变化率一阶高阶导数
解：如图 ，设在任一时刻 t 甲船航行
x
的距离为 x (t)，乙船航行的距离为 y(t) ，
两船的距离为 z(t) , 则
z2 ( 40 x )2 y2
40
z
上式两边对 t 求导 ，得
2z dz 2( 40 x ) dx 2 y dy
y
dt
dt
dt
已知 : 当 x 20 时 ,
dx 15 dt
2
4 1 x2 1
8.x y－2x y 0 ，求y( x)
9.
设2
x arctant y ty2 et
5
求 dy dx
高阶导数问题 1. e xy2 ex y ，求y(0) 2.xe f ( y) e y ( f ( y) 1).求y( x) 3.x y y , 求 d 2 y
4 .设对x, y R,有 f (x y) f (x) f ( y) 2xy，f (0) 2
求f (x).
5.
设 ( x) 在 x = a 处连续，讨论
① f ( x) ( x a) ( x)
② f ( x) | x a | ( x)
③ f ( x) ( x a) | ( x) | 在 x = a 处的可导性
; y 15 时 ,
dy 25 ; 此时 z 25 , 代入上式 , 得 dt
dz 20 15 15 25 3 ( km/h )
dt
25
因为 dz 3 0, 所以观测时两船相距 25 里 , 正以 dt
3 km/h 的速率彼此远离 。
求导问题
一阶导数问题
一.选择题
1.若f (x) e3 x sin 3x，则下列结论正确的是
因此要使 f ( x)连续 只须f ( x)在x 0处连续
隐函数和参数方程求导、相关变化率
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
相关变化率——精选推荐
2.4.3相关变化率相关变化率问题是指：在某一变化过程中变量 ,,y x ，它们都与变量t 有关，且它们之间有关系式0),,(= y x F ，知道了其中一些变量对t 的变化率，要求另外一些变量对t 的变化率。
求相关变化率的步骤：（1）建立变量 ,,y x 之间的关系式0),,(= y x F ；（2）将关系式0),,(= y x F 两边对t 求导（注意到 ,,y x 都是t 的函数），从而得各变量对t 的变化率之间的关系式；（3）将已知的变化率（包括一些已知数据）代入并求出所要求的变化率。
例1．一架直升飞机在m 500高空，以s m /50的均匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线与地面夹角θ 为。
求当3π=θ时，t 对θ的变化率。
解：以直升飞机飞过观察者头顶时算起的距离为x ， 显然x ，θ均为t 的函数，已知飞机的速度50=dt dx 米/秒，求3π=θ时的dtd θ。
θ=ctg x 500，dt d dt dx θθ-=)csc (5002， dtdx dt d θ-=θ2sin 5001， 当3π=θ时，23sin =θ，50=dt dx米/秒，代入上式得075.03-=θπ=θdtd 弧度/秒，负号表示θ随时间 t 增加而减少。
例2．某人以m 2/s 的速度通过一座桥，桥面高出水面m 20，在此人的正下方有一条小船以m 34/s 的速度在与桥垂直的方向航行，求经s 5后，人与小船相分离的速度。
解：设经t 秒钟后船与人的距离为m s ，人行走距离为m x ，船航行距离为m y ， 则222220)()()(++=t y t x t s ，所建立的方程并不是s 与t 的直接函数关系， 但因为所求的是dt ds v =，且已知2=dt dx，34=dt dy ，所以可借助于相关变化率来求。
dt dy ydt dx x dt ds s222+=， ∵当5=t 时，10=x ，320=y ， ∴37020)320(10222=++=s ， ∴)/(2126370343202105s m dt ds t =⋅+⋅==. §2.5高阶导数与高阶微分2．5．1显函数高阶导数定义 若函数)(x f y =的导数)(x f y '='在x 点可导，则称)(x f y '='在x 点的导数为)(x f y =在x 点处的二阶导数，记作)(x f ''，或y ''，或22dxy d ，即xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆)()(lim)(0，)(''=''y y ， ])([)(''=''x f x f ，)(22dxdy dx d dx y d =。
(2.6) 第六节 变化率问题举例及相关变化率(少学时简约型)
• 求质点沿数轴正向运动的时间段 质点沿数轴正向运动的时间段就是速度方向与数轴
方向一致的时间段，即 v( t )> 0 的情形，于是令 v( t )= 3t 2 - 12 t + 9 = 3( t - 1 )( t - 3 )> 0，
dm dx
1 2x
0.50kg m.
x1
(1) 相关变化率问题的一般概念
如果有一固定的条件联系着几个变量，这些变量又 都随着另一个变量的改变而改变，那么它们的变化率之
间必然也有一定的关系。具有这种连带关系的变化率就
叫做相关变化率。在这种相关变化率问题中，一个变化 率往往能由其它变化率计算出来。
xF y
t
dy dx
?
dx
dy
dt
dt
(2) 相关变化率问题分析
设已知变量 x，y 间的关系满足方程 F( x ,y )= 0 .
若变量 x、y 还和另一变量 t 之间存在函数关系：
x = ( t )，y = ( t )，
则三变量 x、y 、t 间的关系满足方程
F( x ,y )= F[( t ),( t )]= 0 .
解得 t < 1 和 t > 3 .
• 作质点运动草图 作质点运动的图形通常就是作质点运动的轨迹图，
而不是位移函数的二维图形。 由前几问的讨论知： 当 t < 1 和 t > 3 时，质点沿数轴正向运动， 当 1< t < 3 时，质点沿数轴反向运动。
高阶导数
①
e y y 1 xe
②
y
在① 两边再对 x 求导 , 得 (1 x e y ) y 2 e y y x e y ( y ) 2
2 e y y xe y ( y ) 2 y y 1 xe y y 2y e 2e xe y y y 2 1 xe 1 xe (1 xe )
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
1 (3) y 预习P177有理函数的分解 2 x 3x 2 1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
A ( x y x 2 x 1
y
(n) n
x2 x 1
1 1
1 1 ( 1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
(4)
解:
y sin 6 x cos 6 x
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,
且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
n 2m ( m 0 , 1, 2 , ) (0) m m, n 2 m 1 ( 1) ((2 m 1) ! ( 2 m ) ! y ( 0 )
1) y ( 2 m ( 00 ) ,
高等数学高阶导数及相关变化率
5 ( x 2)1 1 ( x 1)1
例4 计算下列函数的n阶导数：
(1) y
x2 sin 3x(2) y
sin6
x
cos6
x(3) y
2x 1 x2 x
2
解 (1) y(n) ( x2 sin 3x)(n)
vu
莱布尼兹公式
(sin 3x)(n) x2 n(sin 3x)(n1) ( x2 )
n(n 1) (sin 3x)(n2) ( x2 ) 2!
.
解
d2x dy2
d dy
( dx ) dy
d dy
1 y
d ( 1 ) dx dx y dy
1 ( y)2
d dx
( y)
1 y
y ( y)2
1 y
(
y y)3
2)间接法 ★ 高阶导数的运算法则
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v(n)
(2) (Cu)(n) Cu(n)
解 (1)(e x )(n) e x 一般：(ax )(n) ax (ln a)n
(2) y (sinx) cos x sin(x )
2
y cos(x ) sin(x ) sin(x 2 )
2
22
2
y cos(x 2 ) sin(x 3 )
2
2
y(n) (sinx)(n) sin(x n )
(3) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u(nk)v(k) uv(n) k!
n
Cnku(nk )v(k )
莱布尼兹公式
k0
高等数学 2-6隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率
上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
∴ y′ =
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ + − − 1] 2 x ( x + 4) e x + 1 3( x − 1) x + 4
sin x ( x > 0), 求y′. 例 5设 y = x
三、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系, 称此为 y = ψ (t ) 由参数方程所确定的函数.
例如
x = 2t , x ⇒ t = 消去参数 t 2 2 y = t ,
x2 1 x ∴ y′ = x ∴ y = t 2 = ( )2 = 2 4 2
7
dy = dx
ห้องสมุดไป่ตู้
t =t0
=
(2) 炮弹在 t 0时刻沿 x, y轴方向的分速度为 dx dt dy vy = dt vx =
t =t 0
= (v0t cos α )′ t =t0 = v0 cos α = (v0t sin α − 1 2 gt )′ t =t0 = v0 sin α − gt 0 2
4000
600
解： 设时刻 t水深为h(t ), 水库内水量为V (t ), 则
V (t ) = 4000 3h 2
6
上式两边对t求导得
Q
dV dh = 8000 3h ⋅ dt dt
dV = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, dt dh ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间 的关系, 用链式求导法求解.
相关变化率问题题目
相关变化率问题题目
1.一条杆子长度为10cm，其中心靠左的4cm处挂一重物，偏离
杆子中心线1cm。
若将杆子向左转动，则重物距离中心线的距离将如何变化？
2. 一辆汽车从A点出发，以每小时60公里的速度向B点行驶，同时另一辆汽车从B点出发，以每小时80公里的速度向A点行驶。
两车在D点相遇，若D点距A点120公里，则两车在D点停留了多长时间？
3. 一坛子装有一定质量的水，下面有一个小孔，小孔直径为1mm。
当水面下降了5cm时，流出的水的体积是多少？（已知水密度为1g/cm）
4. 一架飞机从地面起飞，以每小时800公里的速度向东飞行。
同一时刻，另一架飞机从同一地点起飞，以每小时600公里的速度向南飞行。
两架飞机在4小时后相遇，此时它们距离起点的距离分别是多少？
5. 一张长方形纸片，宽为x cm，长为y cm，从其中一角剪掉一个正方形，使得剩余部分的宽和长的比为2：3。
求剪掉的正方形边长。
- 1 -。
高中数学中的隐函数求导与相关变化率
高中数学中的隐函数求导与相关变化率数学作为一门学科，无处不在我们的生活中。
在高中阶段，我们学习了许多数学的基础知识，其中就包括隐函数求导与相关变化率。
这个主题涉及了数学中的一些基本概念和方法，让我们一起来探讨一下吧。
隐函数求导是数学中的一个重要内容，它是指通过已知的方程式来求解隐含在其中的函数的导数。
在高中数学中，我们通常遇到的隐函数是由两个变量构成的方程式，例如：$x^2 + y^2 = 1$。
在这个方程中，我们可以将$y$看作是$x$的函数，即$y = f(x)$，但是由于方程中没有直接给出$y$关于$x$的表达式，所以我们需要通过一些方法来求解。
为了求解隐函数的导数，我们可以使用隐函数求导的方法。
这个方法的核心思想是将方程两边同时对$x$求导，然后利用链式法则来计算出$y$关于$x$的导数。
具体的步骤如下：1. 对方程两边同时对$x$求导，得到：$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) =\frac{d}{dx}(1)$。
2. 利用求导法则计算出左边的导数：$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$。
3. 将方程整理为关于$\frac{dy}{dx}$的方程：$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。
通过这个方法，我们就可以求解出隐函数的导数。
这个过程中，我们需要注意的是，由于$y$是$x$的函数，所以在求导的过程中，我们需要将$y$看作是$x$的函数来进行计算。
除了隐函数求导，相关变化率也是高中数学中的一个重要概念。
相关变化率是指两个变量之间的变化关系。
在高中数学中，我们通常会遇到一些问题，要求我们计算出两个变量之间的相关变化率。
例如，一个问题可能会问我们，当一个物体的体积变化时，它的表面积是如何变化的？为了计算相关变化率，我们可以使用微分学中的概念。
相关变化率可以通过求解导数来得到。
具体的步骤如下：1. 假设有两个变量$x$和$y$，它们之间存在某种关系，可以表示为$y = f(x)$。
导数与微分 阶导数及相关变化率1
5.导数的不同记号:
f
(
x0
)
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 )
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
x x0
6.如果极限不存在,则称函数f(x)在点x0不可导。 如果导数不存在的原因是lim y ,
x0 x
则称函数f(x)在点x0的导数为无穷大。
2.单侧导数的定义
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h0
y y x
o
x
f (0 h) f (0)
h
lim
lim 1
h0
h
h h0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导。
例9
求f
(
x)
x
2
cos x 1
，x 0 在x 0处的导数。 ，x 0
lim
x0
y
lim[
x0
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续。
★ 本讲内容小结
物理典型:速度问题
导数的概念:函数对 自变量的即时变化 率
导数的定义:当自变 量的增量趋于零时, 函数增量与自变量 增量之比的极限。
利用定义 求导数
几何典型:切线问题 求切线和 法线方程
可导与连续的 关系
加深对导数概念的理解； 基本求导公式的推导； 分段函数分界点处的可导性讨论； 抽象函数导数存在性的证明等。
2. 导数的几何意义
切线的斜率: k切 tan f ( x0 ) ( x0, f ( x0 ))是切点)
相关变化率问题的求解方法及应用
相关变化率问题的求解方法及应用1. 引言相关变化率问题是数学中一个重要而复杂的概念，涉及到微积分和函数的导数。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到各种各样的相关变化率问题，比如物体的速度、加速度、成本的边际变化等等。
掌握相关变化率问题的求解方法对于理解和解决实际问题至关重要。
本文将从基础概念入手，逐步展开相关变化率问题的求解方法及应用。
2. 相关变化率问题的基本概念相关变化率问题涉及到两个变量之间的关系，通常表现为一个变量随着另一个变量的变化而变化。
一个物体的位移随着时间的变化而变化，这就涉及到了速度的概念。
相关变化率的求解方法是通过求取两个变量的导数来得到它们之间的关系。
在数学中，相关变化率通常通过函数的导数来呈现，这需要我们熟练掌握导数的求解方法。
3. 相关变化率问题的求解方法相关变化率问题的求解方法主要涉及到求取函数的导数。
对于给定的函数，我们首先需要求取它关于自变量的导数，然后根据具体问题中的变量关系，进一步求取相关变化率。
常见的求导方法包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等等，我们需要根据具体的函数形式和问题需求，灵活运用这些求导法则。
另外，对于一些复杂的函数，我们还需要运用链式法则、乘积法则、商法则等高阶导数的求法则来求取相关变化率。
4. 相关变化率问题的应用相关变化率问题的应用非常广泛，涉及到物理、经济、生物、工程等各个领域。
在物理学中，我们可以用相关变化率来求取物体的速度、加速度、力的功率等等，进而解决各种运动问题。
在经济学中，相关变化率可以被用来求取成本的边际变化率、收益的边际变化率，帮助企业制定最优的生产和经营策略。
在生物学和工程学中，相关变化率可以帮助我们理解各种生物体的生长规律，以及设计各种工程结构和装置。
5. 个人观点和总结相关变化率问题是微积分中一个非常有意义和应用价值的内容，掌握相关变化率的求解方法对于理解和解决实际问题至关重要。
通过学习和熟练运用相关变化率的求解方法，我们可以更好地理解和应用微积分知识，解决我们在生活和工作中遇到的各种问题。
相关变化率及微分的应用
x 的相对误差限( 简称相对误差) .
例 设 y f ( x) 由于 x 的误差而引起 y 的误差,
பைடு நூலகம்
当
| x |
x时, 求 y
及 |
y . f ( x0 ) |
例 求边长为a 2.41 0.005 m的正方形的 面积 , 并估计绝对误差与相对误差.
tan 两边对
h 500
F(, h)
t求导得sec2
0
d
1
dh500米
(3)
dh dt
140米 / 分,
当h
dt
500m时,
500 tan
dt
1,
sec2 2
d
dt
1 2
1 140 500
0.14(弧 度 /
分)
仰角增加率
练习 河水以8米3 / 秒的体流量流入水库中, 水库
解 正方形面积为 S a2 , 则 S 2a. a0 2.41m, a 0.005m,
所求面积的近似值 S0 a02 5.808m2
绝对误差 S S(a0 ) a 2a0 0.005 0.0241m2 相 对误差 S 0.0241 0.0041 0.41%
相关变化率及微分的应用
一、相关变化率 二、微分的应用
一、相关变化率
x x(t) , y y(t)为两可导函数
x , y之间有联系 dx , dy 之间也有联系
dt dt 称为 相关变化率
相关变化率解法三步骤 (1) 找出相关变量的关系式 F ( x, y) 0
导数的应用教案
导数的应用教案教案1: 导数的应用——相关变化率教学目标:1. 理解导数的意义，能够解释导数代表相关变化率的含义。
2. 能够在实际问题中应用导数求解相关变化率。
3. 能够在实际问题中应用导数解决最优化问题。
教学准备:1. 教师准备相关变化率和最优化问题的实际应用例题，如某物体运动的速度和加速度问题，总收益和销售量的关系问题等。
2. 准备计算导数和求解最优化问题的手段和方法。
教学过程:引入：1. 导入相关变化率的概念，引导学生思考在我们日常生活中有哪些变量之间存在相关变化的情况，并了解相关变化率的重要性。
2. 引入导数的概念，解释导数代表相关变化率的含义，即导数表示因变量相对于自变量的变化速率。
探究：1. 通过实例和图形直观理解导数的概念，包括斜率、切线、变化率等。
2. 让学生进行实际问题的探究，如给定一个函数表达式，利用导数求解相关变化率的具体问题。
3. 引导学生通过具体实例，进一步理解导数的应用，如速度和加速度的关系问题。
拓展：1. 引导学生应用导数解决最优化问题，比如通过导数求解某函数的最大值、最小值等问题。
2. 引导学生思考一些实际问题，如制作某个产品的成本、利润与销售量的关系，利用导数求解最优销售量等实际问题。
实践：1. 组织学生分组完成一些实际问题的探究和求解，让学生练习运用导数求解实际问题。
2. 学生通过小组展示和分享，互相学习和交流，提高对导数应用的理解和掌握程度。
总结：1. 归纳和总结导数的应用领域，通过概念总结和案例分析，强化学生对导数应用的理解。
2. 提醒学生导数应用的实际意义和重要性，鼓励学生在日常生活中运用导数的方法和思想解决问题。
课后作业:1. 完成课后练习题，巩固导数应用的知识和技能。
2. 搜集相关应用实例，了解和探究更多的导数应用领域。
3. 思考导数应用的局限性和拓展方向，形成个人的思考和见解。
高等数学A1教学PPT课件1：20-第20讲 相关变化率、曲率
d y 2 x d x ,
dt
dt
故在 x 200时, 圆板面积的增加率为
d y 2 200 0.01 4 (cm/ 秒).
dt
例2 向一个上顶的直径为8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速
注水. 若注水的速度为4 m3/分, 求当水深5 米时水表面上
升的速度 ?
( b cot )
a
(a cos )
b a2
1
sin 3
故
k
y
(1
y2
)
3 2
(a2 sin 2
ab
b
2
cos
2
)
3 2
令
d k 3ab(a2 b2 )sin cos
d
(a2
s in 2
b2
cos2
5
)2
0,
得驻点 0 , , , 3 ,
2
2
因为 a b , 故在各象限中 d k 的符号依次为
(1 y2 )3 y2
(1)
又 DM 位于曲线在点 M 处的法线上 , 其斜率为
k法
y0 x0
曲线在点 M 处切线的斜率为 y , 从而 , 有
y x0 y0
(2)
由 (1) , (2) 两式消去 x0 , 得
画画图 更清楚
(
y0
)2
(1 y2 y2
)2
由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧 , 所以
曲率中心的坐标
设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线方程为 y f (x) , f (x) 存在且
f (x0 ) 0 , 则曲线在点 M (x0, y0 ) 处的曲率
中心 D(, ) 的坐标为
相关变化率几何意义
相关变化率几何意义相关变化率及其几何意义在微积分学中，相关变化率（也称作导数）是一个十分重要的概念。
它描述的是一个函数在某一点上的斜率，也可以理解为该点的切线斜率。
此外，相关变化率还可以被应用到许多实际问题中，如计算速度、加速度以及最大值和最小值等等。
在几何中，相关变化率可以被视作某个曲线在某一点处的切线斜率，进而揭示出曲线的变化与趋势。
相关变化率的定义是函数在某一点处的极限，也就是该点的导数。
举例来说，如果我们有一个函数y=f(x)，那么该函数在某一点x0处的导数可以表示为y'=lim(h->0)[f(x0+h)-f(x0)]/h。
这个形式可能看起来有些教条，但它实际上非常有用。
通过求导数，我们可以得出函数在求导点的斜率，然后我们就可以在此基础上推断出许多物理问题中的速度和加速度等概念。
在几何中，导数与切线紧密相连。
我们可以将函数想象成平面直角坐标系上的线条，在每一个点处都有一个切线与之对应。
通过导数，我们可以计算出这个切线的斜率，从而进一步推断出它的倾向和变化趋势。
这个观点在许多数学问题中都有应用，例如优化解、极值以及函数图像的绘制。
更进一步地，相关变化率对解析几何也有很大的帮助。
例如，给定两个函数y=f(x)和y=g(x)，我们可以计算它们在某一点x0处的斜率差，即[f(x0)-g(x0)]/h，来推断出两个函数在该点附近的切线以及它们的交点。
这个概念在解析几何中常被运用到，例如用来计算两条平面的交点、计算两条曲线在某个点的交点等等。
用相关变化率的概念进行函数分析可以揭示函数图像的许多特性，例如函数的平滑性、变化的突然性和不可导点等等。
此外，导数还可以被用来计算函数的极值，帮助自然科学家解决工程设计中的问题。
例如，一个船只行进的速度与时间的关系可以表示为一个函数，通过求这个函数的最大导数点，我们就可以计算出这个船只的最大速度。
综上所述，相关变化率的概念在微积分学和几何学中都扮演着至关重要的角色。
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例.求下列曲线的渐近线
（1） y 1 ； 1 x2
解：（1）∵
lim
x
1
1 x
2
0，
∴直线
y
0
是曲线
y
1
1 x
2
的水平渐近线。
∵ lim 1 ， lim 1 ，
x 11 x 2
x11 x2
∴直线 x 1 和x 1 是曲线y 1 的垂直渐近线。 1 x2
（2） y x2 . x 1
( x)
2
(
x
a)
1 3
2
1
,x a
3
3 3 xa
易知f (x)没有驻点,只有一个不可导点 x a. 列表讨论如下:
x
a
f (x)
f (x)
无
极小值
f (a) 2 a
y a
结论:Ox源自(1)当f (a) 2 a 0即a 2时,由零点定理知:
f (x)有二个零点(如右图);
(2)当f (a) 2 a 0即a 2时, f (x)仅有一个零点x a(如右图);
(3)当f (a) 2 a 0即a 2时, f (x)没有零点(如右图).
综上可得:
y
Oa x y
Oa x
(1)当a 2时, (2)当a 2时, (3)当a 2时,
原方程有二个实根; 原方程仅有一个实根; 原方程没有实根.
渐近线
定义：若曲线 y f (x) 上的
y
动点 P(x, y) 沿着曲线无限
则底半径的膨胀速率如何? 解:
(1)V 1 r2h 1 r3, dV r 2 , dV 25
3
3
dr
dr r5
(2) dV r2 dr ,
dt
dr
已知某一时刻,r0
5, dV dt
0.5,代入得: dr dr
1
50
(cm / s)
例 27. 甲船向正南乙船向正东直线航行 , 开始时甲 船恰在乙船正北 40 km处 , 后来在某一时刻测得甲船 向南航行了 20 km , 此时速率为 15km/h ;乙船向东航行 了15 km , 此时速率为 25km/h 。问这时两船是在分离 还是在接近 ，速率是多少 ？
∵ lim x2 ， x 1 x 1
∴直线 x 1 是曲线y x2 的垂直渐近线。 x 1
由 a lim f (x) lim x 1 ， x x x x 1
和b lim [ f (x) ax] lim [ x2 x] lim x 1 ，
x
x x 1
x x 1
视线的仰角增加率是多少 ？
解：设气球上升 t 秒后其高度为 h ，
观察员的仰角为 , 则
tg h ,
500
其中 , h 都是时间 t 的函数。
h
500
上式两边对 t 求导，得 ：
sec2 d 1 dh
dt 500 dt
已知 dh 140 m / min , 又当 h 500 m 时 , dt
解：如图 ，设在任一时刻 t 甲船航行
x
的距离为 x (t)，乙船航行的距离为 y(t) ，
两船的距离为 z(t) , 则 z 2 (40 x)2 y 2
40
z
上式两边对 t 求导 ，得
y
2z dz 2(40 x) dx 2y dy
dt
dt
dt
已知 : 当 x 20 时 , dx 15 ; y 15 时 , dt
e
e
e
f (x)有二个零点 (如右图);
(2)当f (1) A 1 0即A 1时,
e
e
e
y A
f (x)仅有一个零点x 1 (如右图); e
O
1 e
x
(3)当f (1) A 1 0即A 1 时,
y A
e
e
e
f (x)没有零点(如右图).
综上可得:
O
1
x
e
(1)当0 A 1 时, e
原方程有二个实根;
(2)当A 1 时, e
原方程仅有一个实根;
(3)当A 1 时, e
原方程没有实根.
2
2.试就a的不同取值 ,讨论方程 (x a) 3 2 a的实根个数 .
解： 2 令f (x) (x a) 3 2 a,则原方程的根即为f (x)的零点.
显然,
f (x)在(,)连续,且f
tg 1, sec2 2 代入上式得 d 70 0.14 度/秒
dt 500
h
500
即观察员视线的仰角增加率是 0.14 弧度/秒 。
例27. 有一底半径与高相等的直圆锥体受热膨胀,
其高和底半径的膨胀系数相同,当底半径为5cm时,问: (1)体积关于底半径的变化率如何? (2)若此时体积的膨胀速率为0.5(cm / s),
故直线 y x 1 是曲线的斜渐近线。
补充思考 :
在第一象限,求曲线y 3 x2的一条切线, 使该切线与两坐标所形成的三角形面积最小.
所求切线:y 4 2x
dy 25 ; 此时 z 25 , 代入上式 , 得 dt
dz 2015 15 25 3 (km/h)
dt
25
因为 dz 3 0, 所以观测时两船相距 25 里 , 正以
dt
3 km/h 的速率彼此远离 。
例7 讨论方程x ln x A 0有几个实根.其中A为正常数.
解：令f (x) x ln x A, x (0,),则原方程的根即为f (x)的零点.
* 相关变化率
相
设 x x(t) , y y(t) 都是可导函数 , 变量 x 和 y 之间存
在某种对应关系 , 如果已知 x (或 y )对 t 的变化率 ,要求
y (或 x )对 t 的变化率,这种问题称为相关变化率问题 。
例26. 一气球从离开观察员 500米处离地面铅直上升
其速率为 140 米/秒 。当气球高度为 500 米时 ，观察员
远离坐标原点时，它与某
直线l 的距离趋向于零，则
o
称 直线l 为该曲线的渐近线。
l ．P(x, y)
y f (x)
x
曲线 的渐 近线:
渐近线
1 垂直渐近线 : 若当x x0 (x x0 , x x0 )时，
f (x) ,则y f (x)在x0右侧（左侧，两侧）以 直
线x x0为渐近线。 观察 法,并验 证
2 斜渐近线: 设a lim f (x) , b lim ( f (x) ax),
x x
x
( x )
( x )
( x )
( x)
则 y ax b 为 y f (x) 的渐近线。 特别，若 a 0, 则得水平渐近线.
公式法
另.若专门求水平渐近线: lim f ( x) c, x
则水平渐近线为 y c
显然, f (x)在(0,)连续,且f (x) 1 ln x
令f (x) 0 x 1 ,这是f (x)在(0,)内的唯一驻点,没有不可导点.
e
列表讨论如下:
y
x
0
1
e
A
1
f (x)
0
e
O
x
A
极小值
f (x)
f (1) A 1
e
e
结论: (1)当f (1) A 1 0即0 A 1时,由零点定理知 :