高数 夹逼准则与两个重要极限.
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解
x 2 sin 1 cos x 2 lim lim 2 2 x 0 x 0 x x
2
2
sin x 1 时，有三处必须一致，公式的 在使用公式 lim x 0 x sin ( x) 一般形式为
( x ) 0
x sin 1 1 2 1 2 lim 1 . 2 x 0 x 2 2 2 例3—例7可以作为公式使用. 通过这些例子可以看到，
(2) lim yn a, lim z n a,
n n
xn a. 则数列{xn}的极限存在, 且 lim n
o
准则I
如果当
x U x0 , (或| x| > M)时, 有
（ 1） g(x) f(x ) h(x)
(2) g (x) A, h(x) A (xx0或x),
解
a a lim1 lim1 x x x x
bx
x ab a
e .
ab
x 1 例13 求 lim . x x 1
解
x
2 x 1 lim lim1 x x 1 x x 1
则有 f(x) A (xx0或x)
( 例1 求 lim n
1 n2 1
n
n
1
1 n2 2
2
Baidu Nhomakorabea
1
1 n2 n
2
).
n n2 1
解 因为 又
n n
2
n 1
lim
n
1 1 1 n 1
n n
1
lim
n
n n
2
lim
n
n n2 1
x
t 0 ，可以得到此极限的另一个等价形式
1 型极限.若令 x t ，则 x 时，
1 t
lim(1 t ) e
t 0
y
此极限我们不予证明，
从函数的图形中可以看出
3
y (1 t )
1 t
此极限存在。
. t
我们在 t 0 左右两侧附近计算出一些点的对应函数值 列表观察函数极限值。 t<0 t>0
1
lim
n
由夹逼准则得
lim(
n
1 1 2 n
1
1 n 2
2
1 n n
2
n 1
2
) 1.
sin x si n0 0 li m ? x 0 x 0 0
二、两个重要极限
sin( x ) sin x 证 因为 , 故只讨论x0+的情形. x x 如图, 在单位圆中,AOB = x, BD = sinx, AC=tanx,
1 例11 求 lim1 . x x
解
x
1 1 lim 1 lim 1 x x x x
bx
x
x 1
1 e . e
1
a 例12 求 lim1 . x x
第五节
夹逼准则与两个重要极限
利用极限的定义及运算法则虽可以求得很多函数的 极限，但是对于一些特殊函数的极限却无能为力，如
tan x lim , x 0 x
3 x 2x lim( ) x 2 x
极限值各是多少？如何求解？ 一、夹逼准则 二、两个重要极限
一、夹逼准则
准则I 如果数列{xn}, {yn}, {zn}满足 (1) yn xn zn, (n =1,2,3…)；
sin x (1) lim 1. x 0 x
SAOB < S扇形AOB < SAOC , 1 1 1 sin x x tan x , 所以 2 2 2 x 1 1 , cos x sin x 1, sin x cos x x sin x 由夹逼准则, 得 lim 1. x 0 x
因为
例3
求
sin kx sin k x lim k 解 lim x0 x x 0 kx sin k x k k lim x 0 k x
tan x . 例4 求 lim x 0 x tan x sin x 1 lim 11 1. 解 lim x 0 x 0 x x cos x
x
x 11
2 lim1 x x 1
2 lim1 x x 1
e 2 1 e 2
x 1
2 lim1 x x 1
2 lim1 x x 1
.
lim
( x)
1
1 例8. 求 lim x sin x x
解: 原式
1
例9.
求
解: 原式
3 2
1 （2） lim 1 e. x x 1 ( 1 ) 1, 这是一个非常重要的极限.当 x 时，底数 x
指数 x ，称为 1
2.71827 2.71828
-0.000001 2.71828
从表中可以看出，当 t 0 时，
(1 t ) 2.71828
可以证明这个极限是无理数，将其记作e， e 2.71828 .这样就有
1 t
lim(1 t ) e
t 0
1 t
或
1 x lim(1 ) e x x
-0.5 -0.1 4.00000 2.86797 0.5 0.1 2.25000 2.25374
-0.01
-0.001
2.73200
2.71964
0.01
0.001
2.70481
2.71692
-0.0001
-0.00001
2.71842
2.71830
0.0001
0.00001 0.000001
2.71815
例5. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
例6. 求
sin t t
1
解: 令 t arctan x , 则 x tan t , 因此 t 原式 lim 1 tan t t 0 tan t
t
1 cos x . 例7 求 lim 2 x 0 x
x 2 sin 1 cos x 2 lim lim 2 2 x 0 x 0 x x
2
2
sin x 1 时，有三处必须一致，公式的 在使用公式 lim x 0 x sin ( x) 一般形式为
( x ) 0
x sin 1 1 2 1 2 lim 1 . 2 x 0 x 2 2 2 例3—例7可以作为公式使用. 通过这些例子可以看到，
(2) lim yn a, lim z n a,
n n
xn a. 则数列{xn}的极限存在, 且 lim n
o
准则I
如果当
x U x0 , (或| x| > M)时, 有
（ 1） g(x) f(x ) h(x)
(2) g (x) A, h(x) A (xx0或x),
解
a a lim1 lim1 x x x x
bx
x ab a
e .
ab
x 1 例13 求 lim . x x 1
解
x
2 x 1 lim lim1 x x 1 x x 1
则有 f(x) A (xx0或x)
( 例1 求 lim n
1 n2 1
n
n
1
1 n2 2
2
Baidu Nhomakorabea
1
1 n2 n
2
).
n n2 1
解 因为 又
n n
2
n 1
lim
n
1 1 1 n 1
n n
1
lim
n
n n
2
lim
n
n n2 1
x
t 0 ，可以得到此极限的另一个等价形式
1 型极限.若令 x t ，则 x 时，
1 t
lim(1 t ) e
t 0
y
此极限我们不予证明，
从函数的图形中可以看出
3
y (1 t )
1 t
此极限存在。
. t
我们在 t 0 左右两侧附近计算出一些点的对应函数值 列表观察函数极限值。 t<0 t>0
1
lim
n
由夹逼准则得
lim(
n
1 1 2 n
1
1 n 2
2
1 n n
2
n 1
2
) 1.
sin x si n0 0 li m ? x 0 x 0 0
二、两个重要极限
sin( x ) sin x 证 因为 , 故只讨论x0+的情形. x x 如图, 在单位圆中,AOB = x, BD = sinx, AC=tanx,
1 例11 求 lim1 . x x
解
x
1 1 lim 1 lim 1 x x x x
bx
x
x 1
1 e . e
1
a 例12 求 lim1 . x x
第五节
夹逼准则与两个重要极限
利用极限的定义及运算法则虽可以求得很多函数的 极限，但是对于一些特殊函数的极限却无能为力，如
tan x lim , x 0 x
3 x 2x lim( ) x 2 x
极限值各是多少？如何求解？ 一、夹逼准则 二、两个重要极限
一、夹逼准则
准则I 如果数列{xn}, {yn}, {zn}满足 (1) yn xn zn, (n =1,2,3…)；
sin x (1) lim 1. x 0 x
SAOB < S扇形AOB < SAOC , 1 1 1 sin x x tan x , 所以 2 2 2 x 1 1 , cos x sin x 1, sin x cos x x sin x 由夹逼准则, 得 lim 1. x 0 x
因为
例3
求
sin kx sin k x lim k 解 lim x0 x x 0 kx sin k x k k lim x 0 k x
tan x . 例4 求 lim x 0 x tan x sin x 1 lim 11 1. 解 lim x 0 x 0 x x cos x
x
x 11
2 lim1 x x 1
2 lim1 x x 1
e 2 1 e 2
x 1
2 lim1 x x 1
2 lim1 x x 1
.
lim
( x)
1
1 例8. 求 lim x sin x x
解: 原式
1
例9.
求
解: 原式
3 2
1 （2） lim 1 e. x x 1 ( 1 ) 1, 这是一个非常重要的极限.当 x 时，底数 x
指数 x ，称为 1
2.71827 2.71828
-0.000001 2.71828
从表中可以看出，当 t 0 时，
(1 t ) 2.71828
可以证明这个极限是无理数，将其记作e， e 2.71828 .这样就有
1 t
lim(1 t ) e
t 0
1 t
或
1 x lim(1 ) e x x
-0.5 -0.1 4.00000 2.86797 0.5 0.1 2.25000 2.25374
-0.01
-0.001
2.73200
2.71964
0.01
0.001
2.70481
2.71692
-0.0001
-0.00001
2.71842
2.71830
0.0001
0.00001 0.000001
2.71815
例5. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
例6. 求
sin t t
1
解: 令 t arctan x , 则 x tan t , 因此 t 原式 lim 1 tan t t 0 tan t
t
1 cos x . 例7 求 lim 2 x 0 x