2014年数学一轮复习试题_平面向量的应用

第二十六讲 平面向量的应用

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．(2010·全国Ⅰ)已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A ·PB 的最小值为( )

A ．－4＋2

B ．－3＋ 2

C ．－4＋2 2

D ．－3＋2 2

解析：设|||PA PB = ，∠APB ＝θ，则tan θ2＝1

x ，cos θ＝x 2－1x 2＋1

，则P AP B ＝x 2

·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2

x 2

＋1

＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2

＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1

－3≥22－3，当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时，取“＝”，故PA PB

的最小值为22－3，故选D. 答案：D

2．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )

A.π

6

B.π3

C.2π3

D.5π

6

解析：依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12.又π6

3，选C.

答案：C

3．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且||||0,

MN MP MNoNP +=

＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3,0)的距离d 的最小值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

解析:因为M(-3,0),N(3,0),所以(6,0),||6,MN MN MP ==

=(x+3,y),NP =(x-3,y).

由||||MN MP MN NP + =0得化简得y 2=-12x,所以点M 是抛

物线y 2

=-12x 的焦点,所以点P 到M 的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以d min =3.

答案：B

4．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且a 、b 、c 成等比数列，

a ＋c ＝3，cos B ＝3

4

，则AB BC 等于( )

A.32

B ．－3

2

C ．3

D ．－3

解析：由已知b 2

＝ac ，a ＋c ＝3，cos B ＝34，得34＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2

－3ac

2ac

，

解得ac ＝2.则AB ·BC ＝ac ·cos 〈AB ，BC 〉＝2×⎝⎛⎭⎫－34＝－3

2. 答案：B

5．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )

A ．6

B ．2

C ．2 5

D ．27

解析：F 23＝F 21＋F 2

2＋2|F 1||F 2|cos60°

＝28，所以|F 3|＝27，选D. 答案：D

6．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0,OB OC OB OC OA -+-= ＝0，

则△ABC 的形状为( )

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．以上都不对

解析：由已知得()0,CB AB AC += ＝0，设BC 中点为D ， 则0CB AD =

，即中线AD 与高线重合，∴△ABC 为等腰三角形．

答案：C

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM ＝16CB ＋23

,CA 则MA MB ＝_____.

解析：建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)，

∴MA ＝(0,1)，MB ＝(－3，－2)．∴MA MB

＝－2.

答案：－2

8．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．

解析：如图所示，渡船速度为OB ，水流速度为OA ，船实际垂直过江的速度为,OD

依题意知|OA |＝12.5＝25

2

，

|OB

|＝25. ∵OD OB OA =+ ，∴OD OA OB OA OA =+ 2， ∵OD ⊥OA ，∴OD ·OA ＝0，∴25×252cos(∠BOD ＋90°)＋⎝⎛⎭⎫2522＝0，

∴cos(∠BOD ＋90°)＝－12，∴sin ∠BOD ＝12，∴∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.

答案：北偏西30°

9．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()

OH m OA OB OC =++

则实数m ＝________.

解析：取BC 的中点D ，则2,OB OC OD +=

，且OD ⊥BC ，AH ⊥BC . 由()OH m OA OB OC =++ ，可得(2)OA AH m OA OD +=+ ， ∴(1)2.AH m OA mOD =-+ .(1)2,AH BC m OA BC m OD BC =-+

即0＝(m －1)·OA BC

＋0，故m ＝1.

答案：1

10．已知|a |＝2，|b |＝4，a 与b 的夹角为π

3，以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四

边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．

解析：画图可知，较短一条对角线的长度为 |a |2＋|b |2－2|a ||b |cos π

3＝

22＋42－2×2×4×1

2

＝2 3.

答案：2 3

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知a ＝(1，x )，b ＝(x 2＋x ，－x )，m 为实数，求使m (a ·b )2－(m ＋1)a ·b ＋1<0成立的x 的取值范围．

解：∵a ·b ＝x 2＋x －x 2＝x . ∴m (a ·b )2－(m ＋1)a ·b ＋1<0⇔mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0. (1)当m ＝0时，x ＞1.

(2)当m ≠0时，m (x －1

m

)(x －1)<0，