2014年数学一轮复习试题_平面向量的应用
江苏省2014届一轮复习数学试题选编11：平面向量(教师版)
．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）如图,已知正方形 的边长为3, 为 的中点, 与 交于点 .则 __________.
【答案】 .
．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知向量 , 满足 , ,且对一切实数 , 恒成立,则 与 的夹角大小为______.
．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题）已知向量 与 的夹角为 , ,则 在 方向上的投影为____________.
【答案】
．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）△ABC中, , , ,则 ____.
【答案】5
．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知平面上的向量 . 满足 , ,设向量 ,则 的最小值是________________.
(3)∵ = , cos ·sin θ-cos(10- ) ·sin[(10- ) ]
=cos ·sin -cos( - )·sin( - )
=cos ·sin -sin ·cos =0,
∴ ∥
．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））如图,已知 的长为 ,求GA、GC的长.
江苏省2014届一轮复习数学试题选编11：平面向量
填空题
．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）在平面四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,且AB , ,CD .
若 ,则 的值为______.
【答案】
．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）△ABC外接圆的半径为 ,圆心 为 ,且 , ,则 的值是______.
【答案】
．（2013江苏高考数学）设 分别是 的边 上的点, , ,若 ( 为实数),则 的值为__________.
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第五篇 第4讲 平面向量应用举例
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第4讲 平面向量应用举例A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )．A ．1B ．－1 C. 3D.22解析 由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b .所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1. 答案 A2．(2013·九江模拟)若|a |＝2sin 15°，|b |＝4cos 15°，a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值是( )．A.32B. 3 C ．2 3D.12解析 a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝8sin 15°cos 15°×32＝4×sin 30°×32＝ 3. 答案 B3.(2012·哈尔滨模拟)函数y ＝tan π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )．A ．4B ．6C ．1D ．2解析 由条件可得B (3,1)，A (2,0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6.答案 B4．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )．A.53B.54 C.109 D.158解析 法一 依题意，不妨设BE →＝12E C →，BF→＝2FC →，则有AE→－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →； AF→－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →.所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC → ＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →)＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC→) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A.法二 由∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1可得∠ACB ＝90°，如图建立直角坐标系，则A (0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0， ∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋(－1)·(－1)＝23＋1＝53，选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·温州适应性测试)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________. 解析 AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12DC →·(BA →＋BC →)＝(AD →＋12DC →)·(AD→－DC →)＝AD →2－12DC →·AD →－12DC →2＝1－12×1×2cos 60°－12×4＝－32. 答案 －326．(2013·东北三校一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，S △ABC ＝2，则BA →·AC →＝________. 解析 依题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0， 于是有cos A ＝13，sin A ＝1－cos 2A ＝223，又S △ABC ＝12·bc sin A ＝12bc ×223＝2，所以bc ＝3，BA →·AC→＝bc cos(π－A )＝－bc cos A ＝－3×13＝－1. 答案 －1 三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ， 又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ，∵c ＝2，∴k ＝1.8．(13分)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC→＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值． 解 (1)∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴AC→2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC→2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由|AC→|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2， 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4. (2)由AC →·BC→＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49， ∴2sin αcos α＝－59. ∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对应的三角形的边长，若4aBC →＋2bCA →＋3cAB →＝0，则cos B ＝( )．A ．－1124 B.1124 C.2936D ．－2936解析 由4aBC →＋2bCA →＋3cAB →＝0，得4aBC→＋3cAB →＝－2bCA →＝－2b (BA →－BC →)＝2bAB →＋2bBC →， 所以4a ＝3c ＝2b .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝b 24＋49b 2－b 22·b 2·23b ＝－1124.答案 A2．(2013·郑州三模)△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为( )．A ．1B ．2C. 3D ．3解析 如图，由题意可设D 为BC 的中点，由OA →＋AB →＋AC →＝0，得OA →＋2AD →＝0，即AO →＝2AD→，∴A ，O ，D 共线且|AO →|＝2|AD →|，又O 为△ABC 的外心， ∴AO 为BC 的中垂线，∴|AC→|＝|AB →|＝|OA →|＝2，|AD →|＝1， ∴|CD →|＝3，∴CA →在CB →方向上的投影为 3. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________． 解析 若a ⊥b ，则4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2. 9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥2×32x ＋y ＝2×32＝6. 当且仅当x ＝12，y ＝1时取得最小值． 答案 64．(2013·山西大学附中月考)已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为________．解析 由题意得：f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b 必有可变号零点，即Δ＝|a |2－4a ·b >0，即4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉>0，即－1≤cos 〈a ，b 〉<12.所以a 与b 的夹角范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π三、解答题(共25分)5．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ，∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式， 得ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，即S △ABC 的最大值为 3.6．(13分)(2012·南通模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2 x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2 x4＝32sin x 2＋1＋cos x22＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， ∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3. ∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
2014高考真题向量专题练习(答案版)
平面向量专题练习 一、平面向量的概念及其线性运算1．[2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM→ B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 答案：D [解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD→. 在△OAC 中，OA→＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB→＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA→＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.2．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13.若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a|＝________．答案：3 [解析] 因为|a|2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9×1－12×1×1×13＋4×1＝9，所以|a|＝3. 3．[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(非p)∧(非q)D ．p ∨(非q)答案：A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．4．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝( ) A.AD → B.12AD → C.12BC → D.BC → 答案：A [解析] EB ＋FC ＝EC ＋CB ＋FB ＋BC ＝12AC ＋12AB ＝AD.5．[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b(m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．答案：2 [解析] c ＝ma ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a·c |a|·|c|＝b ·c |b|·|c|，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.二、平面向量基本定理及向量坐标运算6．[2014·北京卷] 已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( )A ．(5，7)B ．(5，9)C ．(3，7)D ．(3，9) 答案：A [解析] 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)． 7．[2014·广东卷] 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( )A ．(－2，1)B ．(2，－1)C ．(2，0)D ．(4，3) 答案：B [解析] b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．8．[2014·湖北卷] 若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB→|＝________． 答案：25 [解析] 由题意知，OB→＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝25.9．[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m)，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3答案：B [解析] 由题意得cos π6＝a·b |a||b|＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m29＋m 2，解得m ＝ 3.10．[2014·陕西卷] 设0＜θ ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a·b ＝0，则tan θ＝______.答案：.12 [解析] 由a·b ＝0，得sin 2 θ＝cos 2θ.又0<θ<π2，∴cos θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，则tan θ＝12.11．[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在 △ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP→＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)． (1)若m ＝n ＝23，求|OP→|； (2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解： (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)， ∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)， ∴|OP→|＝22＋22＝2 2. (2)∵OP→＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减，得m －n ＝y －x.令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.12． [2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b(m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________． 答案：2 [解析] c ＝ma ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a·c|a|·|c|＝b ·c |b|·|c|，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.三、 平面向量的数量积及应用13．[2014·湖北卷] 若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB→|＝________． 答案：25 [解析] 由题意知，OB→＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝25.14． [2014·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．图1-3答案：22 [解析] 因为CP ＝3PD ，AP·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC ＋CP ＝AD －34AB ，所以AP·BP ＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB ·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－12AB ·AD ，故AB·AD ＝22 .15．[2014·全国卷] 已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b)·b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案：B [解析] 因为a ，b 为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a －b)·b ＝2a·b －b 2＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0.16．[2014·重庆卷] 已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b ＝________．答案：10 [解析] ∵|a|＝（－2）2＋（－6）2＝210， ∴a·b ＝|a||b|cos 60°＝210×10×12＝10.17．[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m)，若向量a ，b的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3答案：B [解析] 由题意得cos π6＝a·b |a||b|＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m29＋m2，解得m ＝ 3. 18．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．答案：2 [解析] 建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－3)，C(1，0)，D(0，3)．设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，由BC→＝3BE →，得(1，3)＝3(x 1，y 1＋3)，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233；由DC →＝λDF →，得(1，－3)＝λ(x 2，y 2－3)，可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，3－3λ.∵AE ·AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋1，3－3λ＝103λ－23＝1，∴λ＝2.19．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5答案：A [解析] 由已知得|a ＋b|＝10，|a －b|2＝b ，两式相减，得a·b ＝1. 四、 单元综合20．[2014·浙江卷] 设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋ta|的最小值为1( )A ．若θ确定，则|a|唯一确定B ．若θ确定，则|b|唯一确定C ．若|a|确定，则θ唯一确定D ．若|b|确定，则θ唯一确定答案：B [解析] |b ＋ta|≥1，则a 2t 2＋2|a||b|tcos θ＋b 2的最小值为1，这是关于t 的二次函数，故最小值为4a 2b 2－4（|a||b|cos θ）24a 2＝1，得到4a 2b 2sin 2θ＝4a 2，故|b|sin θ＝1.若|b|确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b|唯一确定．故选B. 21．[2014·安徽卷] 设a ，b 为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6 D ．0答案：B [解析] 令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2＋2，S 2＝＋＋2a·b ，S 3＝4a ·b.又因为|b|＝2|a|.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a·b ＝(a －b)2>0，S 2－S 3＝(a －b)2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4.设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4＝8|a|2cos θ＝4|a|2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.22．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]答案：D [解析] 由|CD→|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D(3＋cos α，sin α)，所以OA→＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD→|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．。
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10：平面向量
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编10：平面向量一、填空题1 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知非零向量，a b 满足(2)(2)-⊥-⊥，，a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为______.【答案】π32 ．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,在△ABC 中,D,E 分别为边BC,AC 的中点. F 为边AB 上. 的,且,则x+y 的值为____【答案】523 ．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知O 是ABC ∆的外心,10,6==AC AB ,若AC y AB x AO ⋅+⋅=且5102=+y x ,则=∠BAC cos _____________.【答案】314 ．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在ABC ∆中,若22()||5CA CB AB AB +⋅=,则tan tan AB= ________. 【答案】735 ．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知在ABC ∆中,3==BC AB ,4=AC ,设O 是ABC ∆的内心,若AC n AB m AO +=,则=n m :__★__.【答案】3:4 提示一:利用夹角相等,AB =||.提示二:利用角平分线定理,根据相似比求得AC AB AO 103104+=6 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知非零向量a ,b 满足|a |=|a +b |=1,a与b 夹角为120°,则向量b 的模为________.【答案】17 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC,=, 12AE EB = , 若12BD AC ⋅=- , 则⋅=_____.【答案】43-8 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）在ABC ∆中,M 为AB 的的三等分点,:1:3,AM AB N =为AC 的中点,BN 与CM 交于点E ,,AB m AC n ==,则AE =_____________________. 【答案】1255m n +9 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,()2,0A ,()0,1B ,则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的平面区域的面积是________.【答案】410．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）设向量a 、b 满足:|a |3=,|b |1=,a·b 23=,则向量a 与b 的夹角为__★__.【答案】6π 11．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）向量n m --==若),3,2(),2,1(与2+共线(其中,,0mm n R n n∈≠且）则等于_ .【答案】21-12．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）已知a 、b 、c 都是单位向量,且a b c += ,则a c ⋅的值为_________.【答案】1213．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在ABC ∆中,6BC =,BC 边上的高为2,则AB AC ⋅的最小值为________.【答案】5-14．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）已知ABC ∆是边长为4的正三角形,D 、P是ABC ∆内部两点,且满足11(),48AD AB AC AP AD BC =+=+,则APD ∆的面积为__________.【答案】15．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）P 是ABC ∆所在平面内一点,若+=λ,其中R ∈λ,则P 点一定在(A)ABC ∆内部 (B)AC 边所在直线上 (C)AB 边所在直线上 (D)BC 边所在直线上【答案】B16．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知)2sin ,2(),sin,1(2x x ==,其中()0,x π∈,若a b a b ⋅=⋅,则tan x =_____. 【答案】1;17．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）在平面直角坐标系x O y 中,已知=(3,﹣1),=(0,2).若•=0,=λ,则实数λ的值为__________.【答案】218．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）如图,,,A B C 是直线上三点,P 是直线外一点,1==BC AB ,︒=∠90APB ,︒=∠30BPC ,则PA PC ⋅=________.【答案】74-19．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）已知向量a 的模为2,向量e 为单位向量,)(-⊥,则向量a 与e 的夹角大小为_______.【答案】3π; 20．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）已知向量a 与b 的夹角为60º,且|a |=1,|b |=2,那么2()+a b 的值为________.【答案】721．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知O 为△ABC 的外心,,120,2,20=∠==BAC aAC a AB 若AC AB AO βα+=,则βα+的最小值为____ 300lABCP【答案】222．（江苏省泰州市姜堰区张甸中学2014届高三数学期中模拟试卷）已知平面向量(1,2)a = ,(1,3)b =-,则a与b夹角的余弦值为___________【答案】22; 23．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知,是非零向量且满足a b a ⊥-)(2,b a b ⊥-)(2,则a 与b 的夹角是________.【答案】3π24．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为 ▲ .【答案】125．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）若向量→a 、→b 满足|→a |=1,|→b |=2,且→a 与→b的夹角为π3,则|→a +2→b |=_______【答案】26．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）已知向量a =(2,1),a ·b =10,|a +b |=则|b |=__________【答案】527．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）设向量(1,),(3,4)a x b ==- ,若//a b ,则实数x 的值为________.【答案】43-28．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知向量(1,3)=a ,(2,1)=-b ,(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线,则实数k =________. 【答案】1-29．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）若等腰梯形ABCD中,//AB CD ,3AB =,BC =45ABC ∠=,则AC BD ⋅的值为____________【答案】330．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）设x ∈R,向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ,则x = ______.【答案】2331．（江苏省无锡市洛社高级中学2014届高三10月月考数学试题）设平面向量(1,2)a = ,与向量(1,2)a =共线的单位向量坐标为_______.【答案】(,55或(55-- 32．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知向量(12,2)a x =-,()2,1b - =,若→→b a //,则实数x =______.【答案】25二、解答题33．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）设(,1)a x = ,(2,1)b =- ,(,1)c x m m =--(,x m ∈∈R R ).(Ⅰ)若a 与b的夹角为钝角,求x 的取值范围; (Ⅱ)解关于x 的不等式a c a c +<-.【答案】(1)由题知:210a b x ⋅=-< ,解得12x <;又当2x =-时,a 与b 的夹角为π,所以当a 与b 的夹角为钝角时, x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-(2)由a c a c +<-知,0a c ⋅< ,即(1)[(1)]0x x m ---<;当2m <时,解集为{11}x m x -<<; 当2m =时,解集为空集;当2m >时,解集为{11}x x m <<-34．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ== 为锐角.(1)若136a b ⋅= ,求sin cos θθ+的值;(2)若//a b ,求sin(2)3πθ+的值.【答案】解:(1)因为a ·b =2 + sin θcos θ =136 , 所以sin θcos θ = 16, 所以(sin θ +cos θ)2= 1+2sin θcos θ = 34 .又因为θ为锐角,所以sin θ + cos θ = 233(2)因为a ∥b ,所以tan θ = 2,所以sin2θ = 2sin θcos θ = 2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ = 2tan θtan 2θ+1 = 45 , cos2θ = cos 2θ-sin 2θ = cos 2θ-sin 2θsin 2θ+cos 2θ = 1-tan 2θtan 2θ+1 = — 35所以sin(2θ+ π3 ) = 12 sin2θ + 32 cos2θ = 12 ×45+32 ×(-35) = 4-331035．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知在等边三角形ABC 中,点P 为线段AB 上一点,且(01)AP AB =≤≤λλ.(1)若等边三角形边长为6,且13=λ,; (2)若CP AB PA PB ⋅≥⋅,求实数λ的取值范围. 【答案】(1)当13=λ时,13AP AB = ,2222221()262622282CP CA AP CA CA AP AP =+=+⋅+=-⨯⨯⨯+= .∴||CP =(2)设等边三角形的边长为a ,则221()()2CP AB CA AP AB CA AB AB a a ⋅=+⋅=+λ⋅=-+λ ,222()()PA PB PA AB AP AB AB AB a a ⋅=⋅-=λ⋅-λ=-λ+λ即2222212a a a a -+λ≥-λ+λ,∴21202λ-λ+≤,∴2222≤λ≤.又00≤λ≤,∴212≤λ≤. 36．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）已知向量,m n的夹角为45︒,则||1,||m n = 又2,3a m n b m n =+=-+.(1)求a 与b 的夹角;(2)设,2c ta b d m n =-=-,若//c d ,求实数t 的值.【答案】37．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2a b παλαββλαβ=-=><<< 是平面上的两个向量,若向量a b + 与a b -互相垂直.(Ⅰ)求实数λ的值;(Ⅱ)若45a b ⋅= ,且4tan 3β=,求tan α的值.【答案】(Ⅰ)由题设可得()()0,a b a b +⋅-=即220,a b -=代入,a b坐标可得22222cos +(1)sin cos sin 0αλαββ---=.222(1)sin sin 0,λαα∴--=0,0,22παλλ<<>∴= .(Ⅱ)由(1)知,4cos cos sin sin cos(),5a b αβαβαβ⋅=+=-=02παβ<<< ∴ 02παβ-<-<33sin(),tan()54αβαβ∴-=--=-.34tan()tan 743tan tan[()]=341tan()tan 241()43αββααββαββ-+-+∴=-+==--⋅--⨯. 7tan 24α∴=38．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）已知平面向量a =(1,2sin θ),b =(5cos θ,3).(1)若a ∥b ,求sin2θ的值; (2)若a ⊥b ,求tan(θ+π4)的值.【答案】 (1)因为a ∥b ,所以1×3-2sin θ×5cos θ=0,即5sin2θ-3=0,所以sin2θ=35(2)因为a ⊥b ,所以1×5cos θ+2sin θ×3=0 所以tan θ=-56所以tan(θ+π4)=tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4=11139．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知,,a b c是同一平面内的三个向量,其中(1,2)a =(1)若||c =,且//c a ,求:c 的坐标(2)若||b = 且2a b + 与2a b - 垂直,求a 与b 的夹角【答案】解:设(,)c x y =由//||c a c =及2212022,4420y x x x y y x y ⋅-⋅===-⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或 所以,(2,4)(2,4)c c ==-- 或 (2)∵2a b + 与2a b - 垂直,∴(2)(2)0a b a b +⋅-=即222320a a b b +⋅-= ;∴52a b ⋅=-∴cos 1||||a ba b θ⋅==- ,∵[0,]θπ∈∴θπ=40．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）设平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈,使向量θθtan ,)3(tan 2⋅+-=-+=m ,且⊥.(Ⅰ)求)(θf m =的关系式; (Ⅱ)若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值. 【答案】解: (Ⅰ)∵d c⊥,且1=⋅,∴0)tan 3(tan 232=-+-=⋅m θθ∴)2,2(),tan 3(tan 41)(3ππθθθθ-∈-==f m (Ⅱ)设θtan =t ,又∵]3,6[ππθ-∈,∴]3,33[-∈t ,则)3(41)(3t t t g m -== )1(43)(''2-==t t g m 令0)('=t g 得1-=t (舍去) 1=t ∴)1,33(-∈t 时0)('<t g ,)3,1(∈t 时0)('>t g ,∴1=t 时,即4πθ=时, )1(g 为极小值也是最小值,)(t g 最小值为21-41．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）如图,在△OAB 中,已知P 为线段AB 上的一点,.OP x OA y OB =⋅+⋅(1)若BP PA =,求x ,y 的值;(2)若3BP PA = ,||4OA = ,||2OB =,且OA 与OB 的夹角为60°时,求OP AB ⋅ 的值.【答案】(1)∵BP PA =,∴BO OP PO OA +=+ ,即2OP OB OA =+ ,∴1122OP OA OB =+ ,即12x =,12y =(2)∵3BP PA = ,∴33BO OP PO OA +=+,即43OP OB OA =+∴3144OP OA OB =+∴34x =,14y =31()()44OP AB OA OB OB OA ⋅=+⋅-131442OB OB OA OA OA OB =⋅-⋅+⋅221311244294422=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-。
2014届高考数学一轮复习效果监测平面向量的数量积及平面向量的应用
平面向量的数量积及平面向量的应用1.(2012年高考重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )(A)(B)(C)2(D)10解析:∵a⊥b,∴x-2=0,∴x=2.∴|a+b|====.故选B.2.(2013乐山市第一次调研)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为( C )(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2解析:由=(2,3),因为⊥a,所以2(2k-1)+2×3=0,得k=-1,故选C.3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B )(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b解析:法一代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b,故选B.法二几何法:如图所示,在▱ABCD中,设=a,=b,∴=a+b,=a-b,∵|a+b|=|a-b|,∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,∴a⊥b,故选B.4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( A )(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2解析:cos<a,b>===-,向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>=6×(-)=-4,故选A.5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于( A )(A)2 (B)4 (C)2(D)6解析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2,故选A.6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为( B )(A)4,0 (B)4,0 (C)16,0 (D)4,4解析:|2a-b|=|(2cos θ-,2sin θ-1)|==,所以最大值和最小值分别为4,0.故选B.二、填空题7.单位圆上三点A,B,C满足++=0,则向量,的夹角为.解析:∵A,B,C为单位圆上三点 ,∴||=||=||=1,又++=0,∴-=+,∴=(+)2=++2·,可得cos<,>=-,∴向量,的夹角为120°.答案:120°8.(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.解析:如图建立平面直角坐标系,设C(0,b),则B(1,b),又A(2,0),设P(0,y),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),∴|+3|2=25+(3b-4y)2,∴当3b-4y=0,即y=b时,|+3|2的最小值为25.∴|+3|的最小值为5.答案:59.(2012德州一模)已知a=(m,n),b=(p,q),定义a⊗b=mn-pq,下列等式中,①a⊗a=0;②a⊗b=b⊗a;③(a+b)⊗a=a⊗a+b⊗a;④(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),一定成立的是.(填上所有正确等式的序号)解析:由a⊗b的定义可知,①a⊗a=mn-mn=0,故①正确,②a⊗b=mn-pq,b⊗a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)⊗a=(m+p)(n+q)-mn,而a⊗a+b⊗a=pq-mn,故③错误,④(a⊗b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,所以(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确.答案:①④三、解答题10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2,可得:∴或∴c=(2,4)或c=(-2,- 4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,∴a·b=-,∴cos θ==-1,∵θ∈[0,π],∴θ=π.即a与b的夹角大小为π.11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·=·=k(k∈R).(1)判断△ABC的形状;(2)若k=2,求b的值.解:(1)∵·=cbcos A,·=bacos C,∴bccos A=abcos C,根据正弦定理,得sin Ccos A=sin Acos C,即sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0,∴A=C,即a=c.则△ABC为等腰三角形.(2)由(1)知a=c,由余弦定理,得·=bccos A=bc·=.·=k=2,即=2,解得b=2.12.(2012山东省威海市高三第一次模拟)已知向量m=(2cos x,cos x-sin x),n=,且满足f(x)=m·n.(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)设△ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且·=,求边BC的最小值.解:(1)f(x)=2cos x（sin x+cos x）+sin x·cos x-sin2x=2sin x·cos x+cos2x-sin2 x=sin 2x+cos 2x=2sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所求单调递增区间为(k∈Z).(2)由f(A)=2sin=2,0<A<π得A=,∵·=,即bccos A=,∴bc=2,又△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc =(2-)bc,∴=(2-)×2=4-2,∴a min==-1.即边BC的最小值为-1。
2014高考数学一轮汇总训练《平面向量的数量积及平面向量的应用 》理 新人教A版
第三节平面向量的数量积及平面向量的应用[备考方向要明了]年会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其[归纳²知识整合]1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a²b.即a²b＝|a||b|cos θ，规定0²a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a²b＝b²a(2)(λa)²b＝λ(a²b)＝a²(λb)(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．(1)a²b＝a²c，则b＝c吗？(2)(a²b)c＝a(b²c)吗？提示：(1)不一定，a ＝0时不成立，另外a ≠0时，a ²b ＝a ²c .由数量积概念可知b 与c 不能确定； (2)(a ²b )c ＝a (b ²c )不一定相等．(a ²b )c 是c 方向上的向量，而a (b ²c )是a 方向上的向量，当a 与c 不共线时它们必不相等．3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)[自测²牛刀小试]1．(教材习题改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a ²b ＝－10，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.23π C.π6D.56π 解析：选B 设a 与b 的夹角为θ，则a ²b ＝|a ||b |cos θ＝5³4cos θ＝－10，即cos θ＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝23π.2．(教材习题改编)等边三角形ABC 的边长为1，BC ＝a ，CA ＝b ，AB＝c ，那么a ²b＋b ²c ＋c ²a 等于( )A ．3B ．－3 C.32D ．－32解析：选D 由题意知|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 与b 的夹角为120°，b 与c 的夹角为120°，c 与a 的夹角也为120°.故a ²b ＋b ²c ＋c ²a ＝－32.3．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ²b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) A. 2 B. 3 C. 5D.7解析：选B |a ＋2b |＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ²b ＋4|b |2＝1－2＋4＝ 3.4．(教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋k b 与a －k b 垂直，则k ＝________.解析：∵(a ＋k b )⊥(a －k b )， ∴(a ＋k b )²(a －k b )＝0， 即|a |2－k 2|b |2＝0.又∵|a |＝3，|b |＝4，∴k 2＝916，即k ＝±34.答案：±345．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )²c ＝30，则x ＝________. 解析：由题意可得8a －b ＝(6,3)，又(8a －b )²c ＝30，c ＝(3，x )，则18＋3x ＝30，解得x ＝4.答案：4[例1] (1)(2012²天津高考)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ²CP ＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±222(2)(2012²上海高考)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM||BC |＝|CN ||CD |，则AM ²AN 的取值范围是________． [自主解答] (1)以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP ＝λAB，得P (2λ，0)，由AQ ＝(1－λ) AC ，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ ²CP＝(－λ－1，3(1－λ))²(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)²(2λ－1)－3³3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.(2)建立平面直角坐标系，如图．则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.令BM BC ＝CN CD＝λ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫λ2＋2，32λ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ，32.∴AM ²AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋2²⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴AM ²AN∈[2,5]．[答案] (1)A (2)[2,5] ——————————————————— 平面向量数量积的类型及求法(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a ²b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．注意以下两个重要结论的应用： ①(a ＋b )2＝a 2＋2a ²b ＋b 2； ②(a ＋b )²(a －b )＝a 2－b 2.1.(2012²江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ²AF ＝2，则AE ²BF的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB ²AF ＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE ²BF＝(2，1)²(1－2，2)＝ 2.答案： 2[例2] 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[自主解答] (1)∵(2a －3b )²(2a ＋b )＝61，解得a ²b ＝－6.∴cos θ＝a ²b |a ||b |＝－64³3＝－12， 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝13，∴|a ＋b |＝13. |a －b |2＝a 2－2a ²b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.本例条件不变，若AB＝a ，BC ＝b ，试求△ABC 的面积．解：∵AB 与BC 的夹角θ＝23π，∴∠ABC ＝π－23π＝13π.又|AB|＝|a |＝4，|BC |＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB ||BC |sin ∠ABC ＝12³4³3³32＝3 3.———————————————————1．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ²a ＝|a |2或|a |＝a ²a .(2)|a ±b |＝a ±b 2＝a 2±2a ²b ＋b 2.(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. 2．求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ²b|a ||b |，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a ²b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．(2)利用坐标公式，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21²x 22＋y 22. (3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解．2．(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角．解：(1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α²(α－2β)＝α2－2α²β＝1－2α²β＝0. ∴α²β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α²β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a ＋b ＋c )²a ＝a 2＋a ²b ＋a ²c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32，|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ²b ＋2a ²c ＋2b ²c＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120° ＝ 3.设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ， 则cos θ＝a ＋b ＋c ²a |a ＋b ＋c ||a |＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°.[例3] 已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|a ＋b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．[自主解答] (1)|a ＋b |2＝|a |2＋2a ²b ＋|b |2＝16＋2³4³8³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋64＝48，故|a ＋b |＝4 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )²(k a －b )＝0，即k a 2＋(2k －1)a ²b －2b 2＝16k －16(2k －1)－2³64＝0，解得k ＝－7. 即k ＝－7时，两向量垂直． ——————————————————— 两向量垂直的判断方法及应用(1)若a ，b 为非零向量，则a ⊥b ⇔a ²b ＝0；若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．3．在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，求k 的值．解：(1)当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ²AC＝0.∴2³1＋3k ＝0，解得k ＝－23.(2)当B ＝90°时，∵AB ⊥BC， 又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ²BC＝2³(－1)＋3³(k －3)＝0，解得k ＝113.(3)当C ＝90°时，∵AC ⊥BC，∴1³(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.综上可得k 的值为－23或113或3±132.[例4] 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . [自主解答] (1)由a 与b －2c 垂直，a ²(b －2c )＝a ²b －2a ²c ＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4si n β)|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32， 所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即 4cos α²4cos β－sin αsin β＝0， 所以a ∥b . ———————————————————平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．4．在△ABC 中，已知2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |＝3|BC |2，求角A ，B ，C 的大小．解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，∵由2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝32， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由3|AB |²|AC |＝3|BC |2得bc ＝3a 2，由正弦定理得sin C ²sin B ＝3sin 2A ＝34， ∴sin C ²sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，即sin C ²⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C ＋32sin C ＝34，∴2sin C ²cos C ＋23sin 2C ＝3， ∴sin 2C －3cos 2C ＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0，由A ＝π6知0<C <5π6，∴－π3<2C －π3<4π3，从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3.故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.3个防范——与向量夹角有关的易误点 (1)若a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0°； (2)若a ²b <0，则a 与b 的夹角为钝角或180°；(3)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如等边△ABC 中，AB 与BC的夹角应为120°而不是60°.4个区别——向量运算与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ²b ＝0推出a ＝0或b ＝0成立．实际上由a ²b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |²|b |，但对于向量a ，b 却有|a ²b |≤|a |²|b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ²b |＝|a |²|b |²|cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ²b ＝a ²c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ²b )²c 不一定等于a ²(b ²c )，这是由于(a ²b )²c 表示一个与c 共线的向量，而a ²(b ²c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线.创新交汇——平面向量与其他知识的交汇1．平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容，且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题，且常考常新．2．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．[典例] (2012²广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α²ββ²β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52 B.32 C ．1 D.12[解析] a ∘b ＝a ²b b 2＝|a ||b ||b |2cos θ＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝|b ||a |²cos θ，因为|a |>0，|b |>0,0<cos θ<22，且a ∘b 、b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z ，所以|a ||b |cos θ＝n 2，|b ||a |cos θ＝m2，其中m ，n ∈N *，两式相乘，得m ²n 4＝cos 2θ，因为0<cos θ<22，所以0<cos 2θ<12，得到0<m ²n <2，故m ＝n ＝1，即a ∘b ＝12.[答案] D [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题属新定义问题，命题背景新颖；(2)考查知识新颖，本题把向量的数量积、夹角、不等式、集合等问题通过新定义有机结合在一起，较好地考查了考生的阅读理解能力和知识的迁移、转化的能力．2．解决本题的关键有以下几点(1)读懂、读透题目中所给的新定义α∘β＝α²ββ²β的意义．(2)理解a ∘b 与b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z 中的实际意义是|a ||b |cos θ与|b ||a |cos θ都能表示成n2(n ∈Z )的形式．(3)善于转化，通过两式相乘，将问题转化为0<cos 2θ<12，即0<m ²n <2成立，从而求得结论．[变式训练]1．已知向量OZ 与1OZ 关于x 轴对称，j ＝(0,1)，则满足不等式OZ 2＋j ²1ZZ ≤0的点Z (x ，y )的集合用阴影表示为( )解析：选C 依题意得，动点Z 的坐标满足：(x 2＋y 2)＋(0,1)²(0，－2y )＝x 2＋y 2－2y ≤0，即x 2＋(y －1)2≤1，易知该不等式表示的平面区域是以点(0,1)为圆心，1为半径的圆及其内部．2．已知平面内的向量OA ，OB 满足：|OA |＝|OB |＝2，OA 与OB 的夹角为π2，又OP ＝λ1OA ＋λ2OB,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2，则点P 的集合所表示的图形的面积是( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选B 如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (0,2)，设P (x ，y )，则由OP ＝λ1OA ＋λ2OB，得(x ，y )＝λ1(2,0)＋λ2(0,2)＝(2λ1,2λ2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ1，y ＝2λ2.又因为⎩⎪⎨⎪⎧0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，2≤y ≤4.所以点P的集合为{(x ，y )|0≤x ≤2,2≤y ≤4}，它表示正方形区域(如图中阴影部分所示)，所以点P 的集合所表示的图形的面积为2³2＝4.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012²重庆高考)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b ，可得a ²b ＝0，即x －2＝0，得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a ＋b |＝32＋－12＝10.2．(2012²湖北高考)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：选C 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a ＋b 与a －b 的夹角为π4.3．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD|＝1，则AC ²AD＝( )A ．2 3B.32C ．－32D. 3解析：选D 建系如图．设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC＝(x C －x B ，y C )， BD＝(－x B,1)， ∵BC ＝3BD，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)²x B ，y C ＝3，AC ＝((1－3)x B ，3)，AD＝(0,1)，AC ²AD ＝ 3.4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ²b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的射影的数量是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选A 设a 与b 的夹角为θ，∵a ²b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的射影的数量的乘积，而cos θ＝a ²b |a ||b |＝－23，∴|a |cos θ＝6³⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4. 5．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ²PB的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：选 D 设∠APB ＝2θ，|PO |＝x ，则PA ²PB ＝|PA |²|PB|²cos 2θ＝|PA |2cos 2θ＝(|PO |2－1)²(1－2sin 2θ)＝(x 2－1)²⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝x 2－2－1＋2x 2≥－3＋22，当且仅当x 2＝2x2即x ＝42时取等号．6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a²b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π3，πD.⎝⎛⎦⎥⎤π3，2π3解析：选C f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ²b x 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a²b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |2－4a²b ＞0⇒cos 〈a ，b 〉＜12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.解析：∵a ＋b 与k a －b 垂直， ∴(a ＋b )²(k a －b )＝0，化简得(k －1)(a ²b ＋1)＝0，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得a ²b ＋1≠0，得k －1＝0，即k ＝1.答案：18．(2012²北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ²CB的值为________；DE ²DC的最大值为________．解析：法一：以AB ，AD 为基向量，设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD＝λAB －AD ，CB ＝－AD ，所以DE ²CB ＝(λAB －AD )²(－AD)＝－λAB ²AD ＋AD 2＝－λ³0＋1＝1.又DC ＝AB ，所以DE ²DC ＝λAB－AD )²AB ＝λAB 2－AD ²AB＝λ³1－0＝λ≤1，即DE ²DC的最大值为1.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E 点坐标为(t ,0)(0≤t ≤1)可得DE ²CB＝(t , －1) ²(0, －1)＝1, DE ²DC＝(t , －1) ²(1, 0)＝t ≤1故DE ²CB ＝1，DE ²DC的最大值为1.答案：1 19．(2012²湖南高考)如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ²AC＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ²AC ＝AP ²2AO ＝2AP 2＋2AP ²PO＝2³32＋0＝18.答案：18三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ²(a ＋λb )>0，即(1,2)²(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0.即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，λ>－53且λ≠0.11．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. ∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |²|AC |²sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ²q ≤p ＋q2，∴p ²q ≤3. ∴p ²q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132³9＝18932.12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)．设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)因为α＝π4，所以b ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，a ²b ＝322， 则|m |＝a ＋t b 2＝5＋t 2＋2t a ²b＝ t 2＋32t ＋5＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋3222＋12，所以当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)存在满足题意的实数t ， 由条件得cos π4＝a －b ²a ＋t b |a －b ||a ＋t b |，又因为|a －b |＝a －b 2＝6，|a ＋t b |＝a ＋t b 2＝5＋t 2，(a －b )²(a ＋t b )＝5－t ， 则有5－t 6³5＋t2＝22，且t <5， 整理得t 2＋5t －5＝0，所以存在t ＝－5±352满足条件．1．下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ²c |＝|b ²c |； ③a ，b 共线⇔a ²b ＝|a ||b |； ④|a ||b |<a ²b ； ⑤a ²a ²a ＝|a |3； ⑥a 2＋b 2≥2a ²b ；⑦非零向量a ，b 满足a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量． 其中正确的是________．解析：由于a 2≥0，b 2≥0，所以，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故①正确；若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，又a ，b ，c 是三个非零向量，所以a ²c ＝－b ²c ，所以|a ²c |＝|b ²c |，②正确；a ，b 共线⇔a ²b ＝±|a ||b |，所以③错；对于④，应有|a ||b |≥a ²b ，所以④错； 对于⑤，应该是a ²a ²a ＝|a |2a ，所以⑤错；a 2＋b 2≥2|a ||b |≥2a ²b ，故⑥正确；当a 与b 的夹角为0°时，也有a ²b >0，因此⑦错；|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确． 答案：①②⑥2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定解析：选B 由(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，得[(DB －DA )＋(DC －DA )]²(AB －AC)＝0，所以(AB ＋AC )²(AB －AC)＝0.所以|AB |2－|AC |2＝0，故|AB|＝|AC |，故△ABC 是等腰三角形．3．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC |＝|BC|，求角α的值；(2)若AC ²BC ＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解：(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)， BC＝(cos α，sin α－3)， ∴AC 2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC 2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α. 由|AC |＝|BC |，可得AC 2＝BC 2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC ²BC＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α，由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.4．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE ²PF的最值．解：(1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0，得|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1. 所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)PE ²PF的最大值为19；PE ²PF的最小值为12－4 3.。
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《平面向量的数量积与平面向量应用举例 》理 新人教B版
A [第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2013²大连模拟] 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →²AC →＝( )A ．－32B ．－23C.23D.322．[2013²大连模拟] 若向量a 与b 不共线，a ²b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ²a a ²b b ，则向量a与c 的夹角为( )A ．0 B.π6C.π3D.π23．[2013²锦州模拟] 已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →²OB →＝( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－144．已知向量a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2能力提升5．[2013²郑州检测] 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．46．[2013²石家庄模拟] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a²b ＝0，(a －c )²(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．27．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列命题不正确的是( ) A ．e 1在e 2方向上的射影为cos θB ．e 21＝e 22C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)D ．e 1²e 2＝18．[2013²大连模拟] 设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a³b 是一个向量，它的模|a³b |＝|a|²|b |²sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ³b |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1²b 2＝________．10．[2013²烟台质检] 在平面直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋m j ，则实数m ＝________．11．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →²MB →＝________．12．(13分)[2013²吉林模拟] 已知m ，x ∈R ，向量a ＝(x ，－m )，b ＝((m ＋1)x ，x )． (1)当m >0时，若|a |<|b |，求x 的取值范围；(2)若a ²b >1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．难点突破13．(12分)已知向量a ＝cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求a²b 及|a ＋b |的值；(2)若f (x )＝a²b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值．B [第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2013²辽宁卷] 已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b2．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中为真命题的是( ) A ．若a²b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ²b ＝a²c ，则b ＝c3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →²AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．164．[2013²沈阳模拟] 如图K27－1，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3 BD →，|AD →|＝1，则AC →²AD→＝( )A ．2 3 B.32 C.33D. 3能力提升5．[2013²郑州模拟] 如图K27－2，设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →²AF →＝( )图K27－2A ．8B ．10C ．11D ．126．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，满足2OA →＋AB →＋AC →＝0(其中O 为坐标原点)，又|AB →|＝|OA →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－127．[2013²吉林模拟] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若m⊥n ，则角A 的大小为( )A.2π3B.π3C.π2D.π48．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →²AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1，2)D ．(2，22)9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．10．[2013²郑州检测] 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．11．[2013²北京卷] 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →²CB →的值为________，DE →²DC →的最大值为________．12．(13分)在▱ABCD 中，A (1，1)，AB →＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3，5)，求点C 的坐标；(2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹．难点突破13．(12分)[2013²石家庄模拟] 已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x ，2cos x )．(1)求证：向量a 与向量b 不可能平行；(2)若a²b ＝1，且x ∈[－π，0]，求x 的值．课时作业(二十七)A【基础热身】1．D [解析] AB →²AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝|AB →||AC →|²|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|22|AB →||AC →|＝32.2．D [解析] ∵a ²c ＝a ²⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ²a a ²b b＝a²a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ²b a ²b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0，c ≠0，∴a⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π2，故选D.3．B [解析] 设AB 中点为P ，∵|AB |＝3，∴|AP |＝32. 又|OA |＝1，∴∠AOP ＝π3，∴∠AOB ＝2π3，∴OA →²OB →＝|OA →||OB →|cos 2π3＝－12.4．B [解析] 由a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)， 得b ＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)． 设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ²b |a||b |＝222＝22，∴θ＝π4.【能力提升】5．B [解析] 设A 1A 2中点为P ，A 3A 4中点为Q ，则MA 1→＋MA 2→＝2MP →，MA 3→＋MA 4→＝2MQ →， ∴2MP →＋2MQ →＝0，即MP →＝－MQ →，∴M 为PQ 中点， 所以有且只有一个点适合条件．6．B [解析] |a ＋b －c |＝（a ＋b －c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a²b －2a²c －2b²c ，由于a²b ＝0，所以上式＝3－2c ²（a ＋b ），又由于(a －c )²(b －c )≤0，得(a ＋b )²c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ²（a ＋b ）≤1，故选B.7．D [解析] ∵|e 1|＝1，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝θ， ∴e 1在e 2方向上的射影数量为|e 1|cos θ＝cos θ， ∴A 正确；又e 21＝e 22＝1，∴B 正确；∵(e 1＋e 2)²(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝0， ∴(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)，∴C 正确；∵e 1²e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝cos θ，∴D 不成立． 8．B [解析] ∵|a|＝|b|＝2，a²b ＝－23，∴cos θ＝－232³2＝－32.又θ∈[0，π]，∴sin θ＝12.∴|a ³b |＝2³2³12＝2.9．－6 [解析] ∵〈e 1，e 2〉＝π3，|e 1|＝1，|e 2|＝1，∴b 1²b 2＝(e 1－2e 2)²(3e 1＋4e 2)＝3|e 1|2－2e 1²e 2－8|e 1|2＝3－2cos π3－8＝－6.10．0或－2 [解析] ∵△ABC 为直角三角形，∴当A 为直角时，AB →²AC →＝(i ＋j )²(2i ＋m j )＝2＋m ＝0⇒m ＝－2；当B 为直角时，AB →²BC →＝AB →²(AC →－AB →)＝(i ＋j )²[i ＋(m －1)j ]＝1＋m －1＝0⇒m ＝0；当C 为直角时，AC →²BC →＝AC →²(AC →－AB →)＝(2i ＋m j )²[i ＋(m －1)j ]＝2＋m 2－m ＝0，此方程无解．∴实数m ＝0或－2.11．－2 [解析] 以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (－3，0)，B (3，0)，C (0，3)．设M点的坐标为(x ，y )，则CM →＝(x ，y －3)，CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)．又CM →＝16CB →＋23CA →，即(x ，y －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，所以MA →²MB →＝－2.12．解：(1)|a |2＝x 2＋m 2，|b |2因为|a |<|b |，所以|a |2<|b |2.从而x 2＋m 2<(m ＋1)2x 2＋x 2.因为m >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m m ＋12<x 2， 解得x <－m m ＋1或x >mm ＋1. (2)a²b ＝(m ＋1)x 2－mx .由题意，得(m ＋1)x 2－mx >1－m 对任意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1>0对任意的实数x 恒成立． 当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，从而⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>0，m 2－4（m ＋1）（m －1）<0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－1，m >233或m <－233，所以m >233. 【难点突破】13．解：(1)a²b ＝cos 3x 2²cos x 2－sin 3x 2²sin x2＝cos2x .|a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos2x ＝2cos 2x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ≥0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴0≤cos x ≤1.①当λ<0时，当且仅当cos x ＝0时， f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；③当λ>1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1相矛盾．综上所述，λ＝12即为所求．课时作业(二十七)B【基础热身】 1．B [解析] 本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．因为|a ＋b |＝|a －b |⇒(a ＋b )2＝(a －b )2⇒a ²b ＝0，所以a⊥b ，答案选B. 2．B [解析] a²b ＝0⇒a ⊥b ，故A 错；a 2＝b 2⇒|a |＝|b |，得不出a ＝±b ，不要与实数x ，y 满足|x |＝|y |⇒x ＝±y 混淆，故C 错；a ²b ＝a²c ⇒a ²(b －c )＝0，同A 知D 错，故选B.3．D [解析] 因为∠C ＝90°，所以AC →²CB →＝0，所以AB →²AC →＝(AC →＋CB →)²AC →＝|AC →|2＋AC →²CB →＝AC →2＝16.4．D [解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →， ∴AC →²AD →＝(AB →＋ 3 BD →)²AD →＝AB →²AD →＋ 3 BD →²AD →.又∵AB ⊥AD ，∴AB →²AD →＝0， ∴AC →²AD →＝ 3 BD →²AD →＝3|BD →||AD →|cos ∠ADB＝3|BD →|cos ∠ADB ＝3|AD →|＝ 3. 【能力提升】5．B [解析] AE →²AF →＝(AB →＋BE →)²(AC →＋CF →)＝AB →＋13BC →²AC →－13BC →＝AB →²AC →－19|BC →|2＋13BC →²(AC →－AB →)＝29|BC →|2＝29(62＋32)＝10. 6．C [解析] 由2OA →＋AB →＋AC →＝(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝OB →＋OC →＝0得，OB →＝－OC →，即O ，B ，C 三点共线．又|AB →|＝|OA →|＝1，故向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos π3＝12.7．B [解析] m²n ＝b (b －c )＋c 2－a 2＝c 2＋b 2－a 2－bc ＝0，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.8．B [解析] 由题意F (1，0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0.∵OA →²AF →＝－4， ∴y 204⎝⎛⎭⎪⎫1－y 204－y 20＝－4，解得y 0＝2或y 0＝－2. ∴当y 0＝2时，x 0＝y 204＝1；当y 0＝－2时，x 0＝y 204＝1.故A (1，±2)，故选B.9．1 [解析] 由a ＋b 与k a －b 垂直知(a ＋b )²(k a －b )＝0，即k a 2－a²b ＋k a²b －b 2＝0，又由|a |＝|b |＝1知(k －1)(a²b ＋1)＝0.若a²b ＝－1，则a 与b 夹角180°，与a ，b 不共线矛盾，∴k －1＝0，∴k ＝1.10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 [解析] 平行四边形面积S ＝|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ≥12.又θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.11．1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识．方法一：投影法：设向量DE →，DA →的夹角为θ，则DE →²CB →＝DE →²DA →＝|DE →|²|DA →|cos θ，由图可知，|DE →|cos θ＝|DA →|，所以原式等于|DA →|2＝1，要使DE →²DC →最大只要使向量DE →在向量DC →上的投影达到最大即可，因为DE →在向量DC →上的投影达到最大为|DC →|＝1，所以(DE →²DC →)max＝|DC →|2＝1.方法二：因为DE →＝DA →＋AE →且DA →⊥AE ，所以DE ²CB ＝(DA ＋AE →)²DA →＝|DA →|2＝1，DE →²DC →＝(DA →＋AE →)²AB →＝AB →²AE →＝|AB →||AE →|＝|AE →|，所以要使DE →²DC →最大，只要|AE →|最大即可，明显随着E 点在AB 边上移动|AE →|max ＝1，故(DE →²DC →)max ＝1.方法三：以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴， 建立平面直角坐标系，如图所示，可知E (x ，1)，0≤x ≤1，所以DE →＝(x ，1)，CB →＝(0，1)，可得DE →²CB →＝x ³0＋1³1＝1.因为DC →＝(1，0)，所以DE →²DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →²DC →)max ＝1.12．解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0又AC →＝AD →＋AB →＝(3，5)＋(6，0)＝(9，5)， 即(x 0－1，y 0－1)＝(9，5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10，6)． (2)设P (x ，y )， 则BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6，0) ＝(x －7，y －1)， AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →＝12AB →＋3(AP →－12AB →) ＝3AP →－AB →＝(3(x －1)，3(y －1))－(6，0) ＝(3x －9，3y －3)． ∵|AB →|＝|AD →|，∴平行四边形ABCD 为菱形， ∴BP →⊥AC →，∴(x －7，y －1)²(3x －9，3y －3)＝0， 即(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0. ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5，1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y ＝1的两个交点． 【难点突破】13．解：(1)证明：假设a∥b ，则2cos x (cos x ＋sin x )＝sin x (cos x －sin x )，即2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin x cos x －sin 2x ，1＋sin x cos x ＋cos 2x ＝0，1＋12sin2x ＋1＋cos2x 2＝0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－3⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－322. 而sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈[－1，1]，－322<－1，矛盾．故假设不成立，向量a 与向量b 不平行．(2)a²b ＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， a ²b ＝1⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝22. 又x ∈[－π，0]⇒2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4，π4，∴2x ＋π4＝－7π4或2x ＋π4＝－5π4或2x ＋π4＝π4，∴x ＝－π，－3π4或0.。
2014届步步高高三数学一轮复习备考 5.2 平面向量基本定理及坐标表示课件
x2－x12＋y2－y12 .
3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其 中 b≠0.a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
被向量 a 唯一确定，此时点 A 的 坐标与 a 的坐标统一为(x， 但 y)， 应注意其表示形式的区别，如点 → A(x，y)，向量 a＝OA＝(x，y)． → → 当平面向量OA 平行移动到O1A1 → → 时，向量不变即O1A1＝OA＝(x， → y)，但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 向量坐标的基本运算
解 析 探 究 提 高 【例 2】 已知 A(－2,4)，B(3，－1)， → → → (3)设 O 为坐标原点， C(－3， －4)． 设AB＝a， ＝b， BC CA → → → → → ∵CM＝OM－OC＝3c， ＝c，且CM＝3c，CN＝－2b， → → (1)求 3a＋b－3c； ∴OM＝3c＋OC＝ (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m， n； (3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
数学
北(理)
§5.2 平面向量基本定理及 坐标表示
第五章 平面向量
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线， 就 可以作为平面的一组基 底，对基底的选取不唯 一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组 基底 e1， 2 线性表示， e 且 在基底确定后， 这样的表 示是唯一的．
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB、 两边分别交于 M、 AC → → → N 两点， 且AM＝xAB， AN 1 1 → ＝yAC，求 ＋ 的值． x y
高考数学一轮复习高效作业：《平面向量的数量积及其应用》
时间：45分钟 满分：100分 班级：________姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·湖北重点中学联考)设0≤θ＜2π，已知两个向量OP 1→＝(cosθ，sinθ)，OP 2→＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P 1P 2→的长度的最大值是( )A. 2B. 3 C ．3 2D ．2 3解析：P 1P 2→＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)， |P 1P 2→|＝22－cosθ2＋2sin 2θ＝10－8cosθ≤18＝3 2. 当且仅当θ＝π时取等号． 答案：C2．(2013·湖南)已知a ，b 是单位向量，a·b＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析：|c －a －b|＝1⇒|c －(a ＋b)|＝1，因为a ，b 为单位向量且a·b＝0即垂直，则|a ＋b|＝ 2.画出图形知，当a ＋b 与c 同向时，|c|min ＝2－1，当a ＋b 与c 反向时，|c|max ＝2＋1，故选A.答案：A3．(2014·菏泽联考)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b＜0，S △ABC ＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC 等于( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°解析：∵S △ABC ＝12|a||b|sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又a·b＜0，∴∠BAC 为钝角， ∴∠BAC ＝150° 答案：C4．(2014·天津河西质量调查)已知两点M(－3,0)，N(3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P(x ，y)到点M(－3,0)的距离d 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为M(－3,0)，N(3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y)，NP →＝(x －3，y)．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0得6x ＋32＋y 2＋6(x －3)＝0，化简得y 2＝－12x ，所以点M 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到M 的距离的最小值就是原点到M(－3,0)的距离，所以d min ＝3.答案：B5．(2014·马鞍山二模)在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且a 、b 、c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB →·BC →等于( )A.32 B ．－32C ．3D ．－3解析：由已知b 2＝ac ，a ＋c ＝3，cos B ＝34，得34＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2－3ac 2ac ， 解得ac ＝2.则AB →·BC →＝ac·cos〈AB →，BC →〉 ＝2×(－34)＝－32.答案：B6．(2013·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90°C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC解析：如图，设A(0,0)，B(4,0)，C(a ，b)，P(x,0)，P 0(3,0)，则有(4－x,0)·(a－x ，b)≥(1,0)·(a－3，b)，化简x 2－(a ＋4)x ＋3a ＋3≥0在[0,4]上恒成立，∴(a ＋4)2－4(3a ＋3)≤0，(a －2)2≤0，∴a ＝2，∴AC ＝BC.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(2014·安徽模拟)若平面向量a ，b 满足：|2a －b|≤3，则a·b 的最小值是________． 解析：|2a －b|≤3⇔4a 2＋b 2≤9＋4a·b4a 2＋b 2≥4|a||b|≥－4a·b ⇒9＋4a·b≥－4a·b ⇔a·b≥－98.答案：－988．(2014·北京模拟)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__________；DE →·DC →的最大值为________．解析：建立平面直角坐标系，将向量数量积运算转化为向量的坐标运算求解． 如图所示，以AB ，AD 所在的直线分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．又E 在AB 边上，故设E(t,0)(0≤t≤1)． 则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)． 故DE →·CB →＝1. 又DC →＝(1,0)，∴DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t. 又0≤t≤1，∴DE →·DC →的最大值为1. 答案：1 19．(2014·上海模拟)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．解析：建立坐标系，应用坐标运算将所求问题转化为二次函数在给定区间上的取值范围问题．以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(52，32)，D(12，32)，设M(x 1，3(x 1－2))，N(x 2，32)，由条件可得2|BM →|＝|CN →|，代入坐标化简得4x 1＋x 2＝212，得x 2＝212－4x 1，所以AM →·AN →＝(x 1，3(x 1－2))·(x 2，32)＝x 1(212－4x 1)＋32(x 1－2)＝－4x 21＋12x 1－3，x 1∈[2，52]．由二次函数的图像可知y ＝－4x 21＋12x 1－3在x 1∈[2，52]上是减函数，所以AM →·AN →的取值范围是[2,5]．答案：[2,5]10．(2014·南通一调)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则BA →·BC→|BC →|＝________.解析：易知满足|AB →＋AC →|＝|BC →|的A 、B 、C 构成直角三角形的三个顶点，且∠A 为直角，于是BA →·BC →|BC →|＝|BA →|·cos∠ABC ＝1×cos60°＝12.答案：12三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(2014·南京调研)已知OM →＝(cosα，sinα)，ON →＝(cosx ，sinx)，PQ →＝(cosx ，－sinx ＋45cosα)． (1)当cosα＝45sinx时，求函数y ＝ON →·PQ →的最小正周期；(2)当OM →·ON →＝1213，OM →∥PQ →，α－x ，α＋x 都是锐角时，求cos2α的值．解：(1)∵cosα＝45sinx ，∴y ＝cos 2x －sin 2x ＋4sinx5cosα＝cos2x ＋sin 2x＝cos2x ＋1－cos2x 2＝12cos2x ＋12，∴该函数的最小正周期是π. (2)∵OM →·ON →＝cosαcosx＋sinαsinx ＝cos(α－x)＝1213，且α－x 是锐角．∴sin(α－x)＝1－cos 2α－x ＝513，∵OM →∥PQ →，∴－cosαsinx＋45－sinαcosx＝0，即sin(α＋x)＝45.∵α＋x 是锐角， ∴cos(α＋x)＝1－sin2α＋x ＝35，∴cos2α＝cos[(α＋x)＋(α－x)]＝cos(α＋x)cos(α－x)－sin(α＋x)sin(α－x) ＝35×1213－45×513＝1665， 即cos2α＝1665.12．(2014·衡阳模拟)如图，在△ABC 中，AB →·AC →＝0，|AB →|＝8，|AC →|＝6，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，(1)求AD →·CB →的值．(2)判断AE →·CB →的值是否为一个常数，并说明理由． 解：(1)由已知可得AD →＝12(AB →＋AC →)，CB →＝AB →－AC →，AD →·CB →＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(AB →2－AC →2)＝12(64－36)＝14. (2)AE →·CB →的值为一个常数．∵l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点， ∴DE →·CB →＝0，故AE →·CB →＝(AD →＋DE →)·CB → ＝AD →·CB →＋DE →·CB →＝AD →·CB →＝14.13．△ABC 中，满足：AB →⊥AC →，M 是BC 的中点．(1)若|AB →|＝|AC →|，求向量AB →＋2AC →与向量2AB →＋AC →的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB →|＝|AC →|＝2，求OA →·OB →＋OC →·OA →的最小值． 解：(1)设向量AB →＋2AC →与向量2AB →＋AC →的夹角为θ， |AB →|＝|AC →|＝a ， ∵AB →⊥AC →，∴(AB →＋2AC →)·(2AB →＋AC →)＝2AB →2＋5AB →·AC →＋2AC →2＝4a 2， |AB →＋2AC →|＝ AB →＋2AC→2＝AB →2＋4AB →·AC →＋4AC →2＝5a ，同理可得|2AB →＋AC →|＝5a ，∴cosθ＝AB →＋2AC →·2AB →＋AC →|AB →＋2AC →||2AB →＋AC →|＝4a 25a 2＝45.(2)∵|AB →|＝|AC →|＝2，∴|AM →|＝1.设|OA →|＝x ，则|OM →|＝1－x ，而OB →＋OC →＝2OM →， ∴OA →·(OB →＋OC →)＝2OA →·OM →＝2|OA →||OM →|cosπ ＝－2x(1－x)＝2x 2－2x ＝2(x －12)2－12当且仅当x ＝12时，OA →·(OB →＋OC →)取最小值－12.。
山东省2014届理科一轮复习试题选编16：平面向量的综合问题
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编16：平面向量的综合问题一、选择题1 ．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知||||2OA OB ==,点C 在线段AB 上,且||OC 的最小值为1,则||(OA tOB t -∈R)的最小值为（ ）ABC ．2D【答案】B2 ．(2012年普通高等学校招生全国统一考试预测卷 理科数学1)设()()1212,,,a a a b b b ==,定义一种向量积()()()12121122,,,a b a a b b a b a b ⊗=⊗=.已知12,,,023m n π⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,点P (x ,y )在y=sin x 的图象上运动,点Q 在y=f (x )的图象上运动,且满足OQ m OP n =⊗+(其中O 为坐标原点),则y=f (x )的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．21 【答案】D ．3 ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）若,,a b c均为单位向量,且0a b ⋅= ,则a b c +- 的最小值为 （ ）A1-B ．1C1+D【答案】A 222222232()a b c a b c a b a c b c a b c +-=+++⋅-⋅-⋅=-+⋅,因为0a b ⋅= ,且1a b c === ,所以a c += ,所以()cos ,,a b c a b c a b c a b c +⋅=+<+>=<+>,所以23(),a b c a b c +-=-<+> ,所以当cos (),1a b c <+>=时,2a b c +- 最小为2231)a b c +-=-=- ,所以1a b c +-=- ,即a b c +-的最小值为1-.选A ．4 ．(2012年高考(广东文))(向量、创新)对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （ ）A ．12B ．1C ．32D ．52【答案】 解析: C ．⋅==⋅ aa b a b b b b1cos 2k θ=,= b b a a 2cos 2kθ=,两式相乘,可得212cos 4k k θ=.因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以1k 、2k 都是正整数,于是2121cos 124k k θ<=<,即1224k k <<,所以123k k =.而0≥>a b ,所以13k =,21k =,于是32=a b . 5 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））在△ABC 中,E 、F 分别为AB ,AC中点.P 为EF 上任一点,实数x ,y 满足PA +x PB+y PC =0.设△ABC ,△PBC ,△PCA ,△PAB 的面积分别为S ,1S ,2S ,3S ,记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=,则23λλ 取最大值时,2x +y 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-32D ．32【答案】D【解析】由题意知2111==λS S ,即S S 211=.,所以S S S S 211132=-=+,两边同除以S ,得2132=+S S S ,即2132=+λλ,所以3232221λλλλ≥+=,所以16132≤⋅λλ,当且仅当4132==λλ,此时点P 位EF 的中点,延长AP 交BC 于D,则D 为中点,由0=++PC y PB x PA ,得AP PA PC y PB x =-=+,PC PB PC PB PD AP 2121)(21+=+==,所以21,21==y x ,所以232=+y x ,选 D ．6 ．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）定义域为[a,b]的函数()y f x =图像的两个端点为 （ ）A ．B,M(x ,y )是()f x 图象上任意一点,其中(1)[,=+-∈x a b a b λλ,已知向量(1)O N O A O B λλ=+- ,若不等式||MN k ≤恒成立,则称函数()[,]f x a b 在上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=-在[1,2]上“k 阶线性近似”,则实数k 的取值范围为 （ ）A ．[0,)+∞B ．1[,)12+∞C ．3[)2++∞D ．3[)2-+∞【答案】D7 ．(北京市东城区2012届高三上学期期末教学统一检测(数学文))在平面直角坐标系xOy 中,已知向量OA 与OB关于y 轴对称,向量)0,1(=a ,则满足不等式20OA AB +⋅≤ a 的点),(y x A 的集合用阴影表示为【答案】B ．8 ．(哈尔滨市第六中学2011-2012学年度上学期期末高三理科考试卷)已知点G 是ABC ∆重心,),(R ∈+=μλμλ,若2,120-=⋅=∠A ,的最小值是（ ）A ．33 B ．22 C ．32 D ．43 【答案】C ．9 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a ⊙b= mq-np,下面说法错误的是 （ ） A ．若a 与b 共线,则a ⊙b =0 B ．a ⊙b =b ⊙aC ．对任意的λ∈R,有(λa)⊙b =λ(a ⊙b)D ．(a ⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|2【答案】B 【解析】由定义知:a ⊙b= mq-np:所以选项A 正确;又b ⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq-np, 所以选项B 错误;(λa)⊙b=mq np λλ-,λ(a ⊙b)= λ( mq-np)= mq np λλ-,所以 对任意的λ∈R,有(λa)⊙b =λ(a ⊙b),选项C 正确;(a ⊙b)2+(a·b)2=( mq-np)2+( mp+nq)2=22222222m q n p m p n q +++,|a|2|b|2=()()222222222222m n p q m q n p m p n q ++=+++,所以(a ⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|2,因此D 正确.10．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点为A,B,M()(),x y x 是f 图象上任意一点,其中()()()1,1x a b R O N O A O B λλλλλ=+-∈=+-向量,若不等式MN k ≤ 恒成立,则称函数()[],f x a b 在上“k 阶线性近似”.若函数[]112y x x=+在，上“k 阶线性近似”,则实数k 的取值范围为（ ）A ．[)0+∞，B ．[)1+∞，C ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．32⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 由题意知1,2a b ==,所以5(1,2),(2,)2A B .所以直线AB 的方程为1(3)2y x =+.因为()()1212M x a b λλλλλ=+-=+-=-,()()551(1,2)1(2,)(2,)222ON OA OB λλλλλλ=+-=+-=-- ,所以2N x λ=-,,M N 的横坐标相同.且点N 在直线AB 上.所以1113(3)222M N x MN y y x x x x =-=+-+=+- ,因为12x x +≥=,且1322x x +≤,所以13313()22222x x MN x x =+-=-+≤ ,即MN 的最大值为32所以32k ≥-选 C ． 11．(2012年高考(安徽理))在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ则点Q 的坐标是 （ ）A ．(-B ．(-C ．(2)--D ．(-【答案】 【解析】选A【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=-【方法二】将向量(6,8)OP = 按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-则)(OQ OP OM =+=-12．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）在ABC ∆中,P 是BC 边中点,角A ,B ,C的对边分别是a ,b ,c ,若0cAC aPA bPB ++=,则ABC ∆的形状为（ ）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.【答案】A【解析】如图由AC c +aPA bPB += 知PC b c PA c a PC b PA a PA PC c )()()(-+-=-+-0=,而PA 与PC 为不共线向量,0=-=-∴b c c a ,.c b a ==∴故选（ ）A ．13．(2010昌平二模试题(理科)正式稿)设向量1212(,),(,)a a a b b b ==,定义一种向量积:12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗= .已知1(,3),(,0),26m n π== 点P 在sin y x =的图像上运动,点Q 在()y f x =的图像上运动,且满足OQ m OP n =⊗+(其中O 为坐标原点),则()y f x =的最大值及最小正周期分别是 （ ）A ．1,2π B ．1,42π C ．3,πD ．3,4π【答案】 C ．二、填空题14．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）下列命题中,正确的是____________________(1)平面向量a 与b 的夹角为060,)0,2(=a ,1=b ,则=+b a(2)已知((sin ,1,a b θ== ,其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2,则a b ⊥(3)O 是ABC ∆所在平面上一定点,动点P 满足:sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭,()0,λ∈+∞,则直线AP 一定通过ABC ∆的内心【答案】 ①②③15．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）定义平面向量的一种运算:||||sin ,⊗=⋅a b a b a b ,则下列命题:①⊗=⊗a b b a ;②()()λλ⊗=⊗a b a b ;③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c ; ④若a =11221221(,),(,),||x y x y x y x y =⊗=-则b a b . 其中真命题是_________(写出所有真命题的序号).【答案】①④由定义可知||||sin ,⊗=⋅=⊗b a b a a b a b ,所以①正确.②当λ<时,,,a b a b λπ<>=-<>,所以()||||sin ,||||sin ,λλλλ⊗=⋅=-⋅a b a b a b a b a b ,而()||||sin ,λλ⊗=⋅a b a b a b ,所以②不成立.③因为a b + 的长度不一定等于a b +,所以③不成立.④2222222()||||sin ,||||(1cos ,)⊗=⋅<>=⋅-<>a b a b a b a b a b 22222||||||||cos ,=⋅-⋅<>a b a b a b222222222112212121221||||()()()()()a b x y x y x x y y x y x y =⋅-⋅=++-+=-a b ,所以1221||x y x y ⊗=-a b ,所以④成立,所以真命题是①④.16．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知O 为锐角△ABC 的外心,10,6==AC AB 若AO =x AB +y AC ,且5102=+y x ,则BAC ∠cos 的值是________【答案】3117．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点,且EF//BC,实数x,y 满足0.,,,PA xPB yPC ABC PBC PCA PAB ++=∆∆∆∆设的面积分别为S,S 1,S 2,S 3,记312123,,S S SS S Sλλλ===,则23λλ⋅取最大值时,2x+y 的值为________. 【答案】32 【解析】由题意知12312S S S S ==+,223232322()1216S S S S S S λλ+=≤=,当且仅当23S S =时取等号,此时点P 在EF 的中点,所以0PF PE +=,由向量加法的四边形法则可得,2PA PB PE += ,2PA PC PF += ,所以20PA PB PC ++= ,即11022PA PB PC ++=,又0PA xPB yPC ++= ,所以12x y ==,所以322x y +=.18．(山西省实验中学仿真演练试卷文)对于命题:若O 是线段AB 上一点,则有0OB OA OA OB ⋅+⋅= .将它类比到平面的情形是:若O 是△ABC 内一点,则有0OBC OCA OBA S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.将它类比到空间的情形应该是:若O 是四面体ABCD 内一点,则有______________________________________.【答案】 0O BCD O ACD O ABD O ABC V OA V OB V OC V OD ----+++=19．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）下列命题中,正确的是____________________①平面向量a 与b 的夹角为060,)0,2(=a ,1=b ,则=+b a②已知((sin ,a b θ== ,其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2,则a b ⊥③O 是ABC ∆所在平面上一定点,动点P 满足:sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭,()0,λ∈+∞,则直线AP 一定通过ABC ∆的内心【答案】①②③ 【解析】①中,2a = ,所以1c o s 60212a b a b ==⨯= ,所以22221427a b a b a b +=++=++= ,所以a b +=,正确.②中,sin sin a b θθ==+ ,即sin sin sin a b θθθ==+,因为3(,)2πθπ∈,所以sin 0θ<,所以s i n s i ns i n s i n 0a b θθθθ=+=-= ,即a b ⊥ ,正确.③中,根据正弦定理可知2sin sin AB AC R C B ==,所以s i n ,s i n22ABACC B RR==,即()2()sin sin AB AC AB AC R C B AB ACλλ+=+ ,即2()AB ACOP OA R APAB AC λ-=+=,即AP 与BAC ∠的角平分线共线,所以直线AP 一定通过ABC∆的内心,正确,所以正确的命题为①②③.20．(安徽寿县一中2012年高三第四次月考试卷)关于非零平面向量,,a b c .有下列命题:①若(1,),(2,6)k ==-a b ,∥a b ,则3k =-; ②若||||||==-a b a b ,则a 与+a b 的夹角为60; ③||||||+=+a b a b ⇔a 与b 的方向相同; ④||||||+>-a b a b ⇔a 与b 的夹角为锐角; ⑤若(1,3),(2,4),(4,6)---a =b =c =,则表示向量4,32,-a b a c 的有向线段首尾连接能构成三角形.其中真命题的序号是____________(将所有真命题的序号都填上).【答案】 ①③⑤三、解答题21．(湖北黄冈中学高三五月适应训练)已知ABC ∆中,90C ∠=︒,D 为斜边AB 上靠近顶点A 的三等分点.(I)设,CA a CB b ==,求CD ;(II)若1CA CB ==,求CD 在AB方向上的投影. 【答案】 (1) ∵ 3AB AD =即()3CB CA CD CA -=-∴32CD CB CA =+ 故 2133CD a b =+(2)过C 作CE AB ⊥于E ,则由射影定理得83AE =∴53DE =又因为CD 在AB 方向上的投影为负,故CD 在AB 方向上的投影为53。
2014年平面向量高考题及答案
平面向量【知识点】1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．baCBAa b C C -=A -AB =B⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
山东省2014届理科一轮复习试题选编15平面向量的平行与垂直
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编15：平面向量的平行与垂直一、选择题1 ．(江西省上高二中2012届高三第五次月考(数学理))已知A(2,-2)、B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且//p AB,则k 的值为（ ）A ．910-B ．910C ．1910-D ．1910【答案】 D ．2 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知向量(0,1),(2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则（ ）A ．—3B ．—2C ．lD ．-l【答案】A【解析】因为2a b c +与垂直,所以有2=0a b c + （）,即2=0a c b c + ,0=,解得3k =-,选A ．3 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知向量(1,2),m x =-+ (3,21),n y =-若m n ⊥ ,则18()16xy+的最小值为 （ ）A ．2B ．4C ．D ．【答案】C4 ．(2013辽宁高考数学(文))已知点()()1,3,4,1,A B -则与向量AB同方向的单位向量为 （ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A (3,4)AB =- ,所以||5AB = ,这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-5 ．在四边形ABCD 中,,AB DC = 且0AC AD =,则四边形ABCD 是 （ ）A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形【答案】B6 ．过ABC ∆的重心G 作一直线分别交AB 、AC 于D 、E ,若0,,≠==xy AC y AE AB x AD ,则yx 11+的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ．错误人数40/94提示:设BC 的中点为F ,yx y x3131)11(31)(3132+=+=+==,由点E G D ,,共线可知31113131=+⇒=+yx y x 7 ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知向量(1,2)=a ,(,6)x =b ,且a ∥b ,则x 的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 因为a ∥b ,所以1620x ⨯-=,解得3x =,选C ．8 ．(2013陕西高考数学(文))已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于（ ）A ．BC ．D ．0【答案】 C 解:.221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅∴==m m m b a m b m a 且 ,所以选C9 ．(2012年广西北海市高中毕业班第一次质量检测数学(理)试题及答案)给定两个向量)4,3(=,)1,2(=,若)//()(x -+,则x 的值等于（ ）A ．23 B ．1- C ．1D ．23-【答案】A ．10．(2013辽宁高考数学(理))已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】 A 解:(3,4)AB =- ,所以||5AB = ,这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-11．(2012年高考(四川理))设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．//a b 且||||a b =【答案】 [答案]D[解析]若使||||a ba b = 成立,则方向相同，与b a 选项中只有D 能保证,故选D ．[点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意. 12．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,且()b a c λ+⊥,则λ= （ ）A ．311-B ．113-C ．12D ．35 【答案】A13．(2011年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷)若向量()2,0a =,()1,1b =,则下列结论正确的是（ ）A ．1a b ⋅=B ．a b =C ．()a b b -⊥D ．//a b【答案】 【解】2a b ⋅= ,A 不正确;2a = ,b = ,则a b ≠,B 不正确;()1,1a b -=-,()()()1,11,10a b b -⋅=-⋅= ,所以()a b b -⊥ ,C 正确;不存在实数λ,使a b λ=,D 不正确.故选C ．14．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知向量a ()()4,3,1,2==-b ,若向量k +a b,则k 的值为 （ ）B ．7C D 【答案】A15．(2013大纲版高考数学(理))已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()m n m n +⊥-,则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-1【答案】B ．()()2222||||0(1)1[(2)4]3m n m n m n λλλ+⊥-⇒-=⇒++-++⇒=-16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若56OB a OA a OC =+(O 为坐标原点),且,,A B C 三点共线(该直线不过点O ),则10S 等于 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．10【答案】B ．提示:依题意有165=+a a ,故5)(5210)(6510110=+=⨯+=a a a a S17．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）设向量(1,sin )θ=a ,(3sin ,1)θ=b ,且//a b ,则cos2θ等于 （ ）A ．31-B．32-C．32D．31 【答案】D 二、填空题18．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知向量)3,2(=a ,)2,1(=b ,且b a ,满足)()(b a b a -⊥+λ,则实数=λ_______.【答案】 35-【解析】由)3,2(=a ,)2,1(=b ,得++=+3,2(λλb a )2λ,)1,1(=-b a ,因为)()(b a b a -⊥+λ,所以0)()(=-∙+b a b a λ,即01)23(1)2(=⨯++⨯+λλ,解得35-=λ.19．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知向量()()1,1,2,a b k =-=,且//a b ,则实数k =____________【答案】2- 【解析】因为 //a b,所以120k --⨯=,解得2k =-.20．(2013山东高考数学(文))在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,)OA t =- ,(2,2)OB = ,若90oABO ∠=,则实数t 的值为______【答案】答案:5.解析:∵ ，(1)OA t =- ,，(22)OB = ,∴(2,2)AB OB OA =-=(1,)(3,2)t t --=-,又∵90ABO ∠=,∴AB OB ⊥,∴232(2)0AB OB t ⋅=⨯+⨯-= ,解得5t =.21．(2012年石景山区高三数学一模理科)设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a,且b a //,则θ2cos =________.【答案】 31-22．(2012年高考(安徽文))设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+= ,若()a c +⊥b ,则a = _____. 【答案】【解析】a =1(3,3),()3(1)302a c m a cb m m m a +=+=++=⇔=-⇒=23．已知O 是坐标原点,,A B 是坐标平面上的两点,且向量(1,2)OA =- ,(3,)OB m =.若△AOB 是直角三角形,则m =_________.【答案】32或4; 24．(2013上海春季数学(理))已知向量(1 )a k =，,(9 6)b k =- ，.若//a b ,则实数 k = __________ 【答案】 34-25．(山西省实验中学仿真演练试卷理)1e 、2e 是互相垂直的两个单位向量,且向量122e e + 与12e ke -也相互垂直,则k =_____________. 【答案】2三、解答题26．四边形ABCD 中,)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB(1)若//,试求x 与y 满足的关系式;(2)满足(1)的同时又有⊥,求y x ,的值及四边形ABCD 的面积.【答案】解:),(y x BC = )2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x CD BC AB AD DA(1)// 则有0)4()2(=--⋅-+-⋅x y y x 化简得:02=+y x (2))1,6(++=+=y x BC AB AC)3,2(--=+=y x CD BC BD又BD AC ⊥ 则 0)3()1()2()6(=-⋅++-⋅+y y x x 化简有:0152422=--++y x y x联立⎩⎨⎧=--++=+015240222y x y x y x 解得⎩⎨⎧=-=36y x 或⎩⎨⎧-==12y xDA BC // BD AC ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形当⎩⎨⎧=-=36y x )0,8()4,0(-==此时1621==S ABCD 当⎩⎨⎧-==12y x )4,0()0,8(-==此时1621==S ABCD 27．已知向量=)2,1(,=)2,3(- .⑴求||+与||-;⑵ 当k 为何值时,向量b a k +与b a 3+垂直?⑶ 当k 为何值时,向量k +与3+平行?并确定此时它们是同向还是反向?【答案】因为)2,3(),2,1(-==b a 所以5||2=a ,13||=b ,1=∙b a ,(1)52||==+b a , 4||==-b a ;(2)当向量b a k +与b a 3+垂直时,则有∙+)(b a k 0)3(=+b a ,03)13(2=+∙++b b a k a k ,即039)13(5=+++k k 解得5-=k 所以当5-=k 时,向量b a k +与b a 3+垂直;(3)当向量k +与3+平行时,则存在λ使)3(k +=+λ成立,于是⎩⎨⎧==13λλk 解得31=k ,当31=k 时,)3(3131b a b a b a k +=+=+,所以31=k 时向量k +与3+平行且它们同向.。
2014届高三理科数学第一轮复习单元过关(6)-解三角形、平面向量
2014届高三理科数学第一轮复习单元过关（6）考查：解三角形和平面向量 时间：90分钟练习时间：2013年10月20日星期天上午 出题人：盛驰志 审题人：刘仕宏一、选择题1．在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（ ）A．B．CD2．在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形.D ．不能确定.3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 4．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP |:|PB |＝2，如图所示，则OP →＝( )A.13e 1－23e 2B.23e 1＋13e 2C.13e 1＋23e 2D.23e 1－13e 25．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与b 垂直，则λ等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A．2 B．2 C ．12 D ．12- 7．在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．24258．在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（ ）ABCD二、填空题9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，则a ·b ＝______，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝______. 10．在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6π则b=______ 11．△ABC 中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为12．设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、,且1cos 4a b C ==1，=2，,则sin B =____13．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.14．已知ABC ∆,则其最大角的余弦值为_________.班别： 姓名： 学号： 成绩：二、填空题9． __________________ 10．__________________ 11．__________________12．__________________ 13．__________________ 14．__________________三、解答题15．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，求实数m 的取值范围．16．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知,2.B C b == （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）cos(2)4A π+的值．17．要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．18．已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量．(1)求A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．2014届高三理科数学第一轮复习单元过关（6）参考答案1．B.解析:由正弦定理,可得sin 45sin60AC BC=︒︒,所以2AC ==2．A.解析:由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得02cos 222<-+=abcb a C ,所以C 是钝角.3．A.解析:由已知得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ，故AD →＝2BC →，由共线向量知AD ∥BC ，且|AD |＝2|BC |，故四边形ABCD 为梯形，所以选A.4．C.解析: AP →＝2PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝3PB →，OP →＝OB →＋BP →＝OB →－13AB →＝OB →－13(OB →－OA →)＝13e 1＋23e 2.5．C.解析:λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴ λ＝－2.6．C.解析:由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”,选C. 7．A.解析:∵8=5b c ,由正弦定理得8sin =5sin B C ,又∵=2C B ,∴8sin =5sin 2B B ,所以8sin =10sin cos B B B ,易知sin 0B ≠,∴4cos =5B ,2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.8．B.解析:设AB c =,在△ABC 中,由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅,即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯,2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴= 设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式h BC B BC AB S ABC ⋅=⋅⋅=∆21sin 21，知 1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯ ,解得h =. 9．解析:a·b ＝1×(－3)＋2×2＝1，∵ ka ＋b 与b 平行，ka ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，∴ (k －3)×2－(－3)×(2k ＋2)＝0，∴ k ＝0. 10．解析:由余弦定理得,2222cos 4b a c ac B =+-=,所以2b =.11．由余弦定理得o 120cos 2222⋅⋅-+=BC AC BC AC AB ，解得BC=3．故由面积公式得4315sin 21=⋅⋅=B BC AB S 12．解析:11,2,cos 4a b C ===,由余弦定理得22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=,则2c =,即B C =,故sin 4B ==. 13．解析:由222()()a b c a b c ab a b c ab +-+-=⇒+-=-，根据余弦定理可得22212cos 223a b c C C ab π+-==-⇒=14．解析:设最小边为a ,,2a ,由余弦定理得,最大角的余弦值为222cos 4α==-15．解：(1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))．∴AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴3(1－m )＝2－m ，∴m ＝12.(2)由题设知BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m ) ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0⇒m >－34又由(1)可知，当m ＝12时，∠ABC ＝0°故m ∈⎝⎛⎭⎫－34，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 16．（Ⅰ）解：由,2,B C b c b ====可得所以222222331cos .23a a a b c a A bc +-+-===（Ⅱ）解：因为1cos ,(0,)3A A π=∈，所以sin A ==27cos 22cos 1.sin 22sin cos 99A A A A A =--=-==故所以78cos 2cos 2cos sin 2sin 444929218A A A πππ+⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17．解 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝ 5 (km)，∴A 、B 之间的距离为 5 km.18．解 (1)∵p ∥q ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝0，∴sin 2A ＝34，又π<<A 0，故sin A ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝60°.(2)y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫180°－B －A －3B 2 ＝2sin 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos 2B cos 60°＋sin 2B sin 60°＝1－12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋sin(2B －30°)，当2B －30°＝90°，即B ＝60°时，函数取最大值2.。
一轮效果监测2014届高考数学一轮复习检测《平面向量的数量积及平面向量的应用》Word版含解析
平面向量的数量积及平面向量的应用知识点、方法题号数量积的运算1、4、9长度及垂直问题1、2、3、5夹角问题7、10平面向量的应用6、8、11、121.(2012年高考重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )(A)(B)(C)2(D)10解析:∵a⊥b,∴x-2=0,∴x=2.∴|a+b|====.故选B.2.(2013乐山市第一次调研)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为( C )(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2解析:由=(2,3),因为⊥a,所以2(2k-1)+2×3=0,得k=-1,故选C.3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B )(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b解析:法一代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b,故选B.法二几何法:如图所示,在▱ABCD中,设=a,=b,∴=a+b,=a-b,∵|a+b|=|a-b|,∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,∴a⊥b,故选B.4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( A )(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2解析:cos<a,b>===-,向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>=6×(-)=-4,故选A.5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于( A )(A)2 (B)4 (C)2(D)6解析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2,故选A.6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为( B )(A)4,0 (B)4,0 (C)16,0 (D)4,4解析:|2a-b|=|(2cos θ-,2sin θ-1)|==,所以最大值和最小值分别为4,0.故选B.二、填空题7.单位圆上三点A,B,C满足++=0,则向量,的夹角为.解析:∵A,B,C为单位圆上三点 ,∴||=||=||=1,又++=0,∴-=+,∴=(+)2=++2·,可得cos<,>=-,∴向量,的夹角为120°.答案:120°8.(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.解析:如图建立平面直角坐标系,设C(0,b),则B(1,b),又A(2,0),设P(0,y),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),∴|+3|2=25+(3b-4y)2,∴当3b-4y=0,即y=b时,|+3|2的最小值为25.∴|+3|的最小值为5.答案:59.(2012德州一模)已知a=(m,n),b=(p,q),定义a⊗b=mn-pq,下列等式中,①a⊗a=0;②a⊗b=b⊗a;③(a+b)⊗a=a⊗a+b⊗a;④(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),一定成立的是.(填上所有正确等式的序号)解析:由a⊗b的定义可知,①a⊗a=mn-mn=0,故①正确,②a⊗b=mn-pq,b⊗a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)⊗a=(m+p)(n+q)-mn,而a⊗a+b⊗a=pq-mn,故③错误,④(a⊗b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,所以(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确.答案:①④三、解答题10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2,可得:∴或∴c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,∴a·b=-,∴cos θ==-1,∵θ∈[0,π],∴θ=π.即a与b的夹角大小为π.11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·=·=k(k∈R).(1)判断△ABC的形状;(2)若k=2,求b的值.解:(1)∵·=cbcos A,·=bacos C,∴bccos A=abcos C,根据正弦定理,得sin Ccos A=sin Acos C,即sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0,∴A=C,即a=c.则△ABC为等腰三角形.(2)由(1)知a=c,由余弦定理,得·=bccos A=bc·=.·=k=2,即=2,解得b=2.12.(2012山东省威海市高三第一次模拟)已知向量m=(2cos x,cos x-sin x),n=,且满足f(x)=m·n.(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)设△ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且·=,求边BC的最小值.解:(1)f(x)=2cos x（sin x+cos x）+sin x·cos x-sin2x=2sin x·cos x+cos2x-sin2 x=sin 2x+cos 2x=2sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所求单调递增区间为(k∈Z).(2)由f(A)=2sin=2,0<A<π得A=,∵·=,即bccos A=,∴bc=2,又△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc =(2-)bc,∴=(2-)×2=4-2,∴a min==-1.即边BC的最小值为-1。
2014高考数学(文科)一轮精练F单元平面向量(2013高考真题+模拟新题).DOC
F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算10．F1[2013·江苏卷] 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．10.12 [解析] 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12－23AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线， 所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.17．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 17．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝b sin B， 所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.12．F1[2013·四川卷] 如图1－6，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.1－612．2 [解析] 根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.14．F1和F3[2013·重庆卷] 在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________．14．4 [解析] 因为AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)，且OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算14．F2[2013·北京卷] 已知点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．14．3 [解析] 设P(x ，y)，∴AP →＝(x －1，y ＋1)，AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．∵AP →＝λAB →＋μAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧3λ＝2x －y －3，－3μ＝x －2y －3.又1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧6≤2x －y ≤9，0≤x －2y ≤3，此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，由于A(3，0)，B(5，1)，所以|AB|＝（5－3）2＋（1－0）2＝5，点B(5，1)到直线x－2y ＝0的距离d ＝35，∴其面积S ＝5×35＝3. 8．F2[2013·湖南卷] 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋28．C [解析] 由题可知a ·b ＝0，则a ⊥b ，又|a |＝|b |＝1，且|c －a －b |＝1，不妨令c ＝(x ，y)，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1.又|c |＝x 2＋y 2，故根据几何关系可知|c |max＝12＋12＋1＝1＋2，选C.12．F2[2013·天津卷] 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．12.12 [解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →， 所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解之得|AB →|＝12或0(舍去)． 14．F2，F3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 中点，则AE →·BD →＝________．14．2 [解析] 如图建立平面直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2.1－621．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．错误!21．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则 |QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0|＝ 2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2. 此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.F3 平面向量的数量积及应用12．F3、H8[2013·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2 D ．212．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，与抛物线方程联立得y 2－8ty －16＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8t ，x 1＋x 2＝t(y 1＋y 2)＋4＝8t 2＋4，x 1x 2＝t 2y 1y 2＋2t(y 1＋y 2)＋4＝－16t 2＋16t 2＋4＝4.MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝4＋16t 2＋8＋4－16－16t ＋4＝16t 2－16t ＋4＝4(2t －1)2＝0，解得t ＝12，所以k ＝1t ＝2.14．F2，F3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 中点，则AE →·BD →＝________．14．2 [解析] 如图建立平面直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2.图1－62．F3[2013·陕西卷] 已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2C ．－2或 2D ．02．C [解析] 因为a ∥b ，且a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，可得1m ＝m2，解得m ＝2或－ 2.15．F3[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t)，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．15．5 [解析] 由题意得AB →＝OB →－OA →＝(3，2－t)，又∵∠ABO ＝90°，∴OB →·AB →＝2×3＋2(2－t)＝0，解得t ＝5. 9．F3[2013·辽宁卷] 已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋b －a 3－1a＝09．C [解析] 由题意知当三角形ABC 为直角三角形时，分为两类，∠OAB ，∠OBA 分别为直角，当∠OAB 为直角时b ＝a 3，当∠OBA 为直角时，OB →·AB →＝0，则(a ，a 3)·(a ，a 3－b)＝0，所以b －a 3－1a ＝0，所以(b －a 3)b －a 3－1a＝0，故选C.7．F3[2013·湖北卷] 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3 152C ．－3 22D ．－3 1527．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22.3．F3[2013·全国卷] 已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－13．B [解析] (m ＋n )⊥(m －n )(m ＋n )·(m －n )＝0m 2＝n 2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.13．F3[2013·安徽卷] 若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________．13．－13 [解析] 设|b |＝1，则|a |＝3，|a ＋2b |＝3，两端平方得a 2＋4a·b ＋4b 2＝9，即9＋12cos 〈a ，b 〉＋4＝9，解得cos 〈a ，b 〉＝－13.16．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．16．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12.13．F3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．13．2 [解析] b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t)b ]＝t a ·b ＋(1－t)b 2＝12t ＋(1－t)＝1－12t ＝0，即t ＝2.21．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．图1－521．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则 |QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0|＝ 2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2. 此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.14．F1和F3[2013·重庆卷] 在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________．14．4 [解析] 因为AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)，且OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.F4 单元综合10．F4[2013·福建卷] 在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．1010．C [解析] ∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC →⊥BD →，面积S ＝12|AC →|·|BD →|＝12×12＋22×（－4）2＋22＝5，故选C.10．F4[2013·广东卷] 设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．B [解析] ①作OA →＝a ，OB →＝b ，如图(1)，连接AB ，只要c ＝BA →即可，故①对；②是对的，因为b 和c 不共线，所以可以作为一组基底来表示平面内任一向量； ③是错的，如图(2)，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝μc ，则|OC →|＝μ，即点C 的轨迹是圆(去掉和a 共线的两个点)，过点A 作OB 的平行线，则可能与圆无交点，即可能无法将a 沿OB →，OC →方向分解；④不一定对，如图(3)，作OA →＝a ，OB →＝λb ，OC →＝μc ，则点B ，C 的轨迹是圆(去掉和a 共线的两个点)，但不一定有a ＝λb ＋μc .综上，选B.17．F4[2013·浙江卷] 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x||b|的最大值等于________．17．2 [解析] |x||b |＝|x|2|b |2＝x 2x 2e 21＋2xy e 1·e 2＋y 2e 22＝x 2x 2＋2xy ×32＋y 2＝11＋3y x ＋y x2＝1y x ＋322＋14≤错误!＝2.1．[2013·延安期末] 已知点M(5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2，0)B ．(－3，6)C ．(6，2)D ．(－2，0)1．A [解析] MN→＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3，6)．设N(x ，y)， 则MN →＝(x －5，y －(－6))＝(－3，6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，选A. 2．[2013·襄阳一检] 如图K17－1所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →等于( )A.13OA →－43OB →B.13OA →＋43OB → C ．－13OA →＋43OB →D ．－13OA →－43OB →2．C [解析] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →，选C.3．[2013·武汉部分学校联考] 已知两点A(1，0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ等于( )A ．－1B ．2C ．1D ．－23．C [解析] 由题可设OC →＝(x ，－3x)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋λ，－3x ＝0＋3λ，解得λ＝1.故选C.4．[2013·衡阳期末] 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1，1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．4.3 [解析] 由AB →＝DC →＝(1，1)，可知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|DC →|＝ 2.因为1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，所以平行四边形ABCD 的对角线BD 平分∠ABC ，四边形为菱形，其边长为2，且对角线BD 是边长的3倍，即BD ＝3×2＝ 6.设AC 与BD 相交于E ，则CE 2＝(2)2－⎝⎛⎭⎫622＝12，即CE ＝22.所以三角形BCD 的面积为12×6×22＝32，所以四边形ABCD 的面积为2×32＝ 3.5．[2013·上饶月考] 已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．35．D [解析] 因为()a －mb ⊥a ，所以(a －m b )·a ＝0，即|a |2－m a ·b ＝0，所以|a |2－m|a ||b |cos 60°＝0，解得m ＝3，选D.6．[2013·三门峡一练] 在平面直角坐标系中，若定点A(1，2)与动点P(x ，y)满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是( )A ．x －2y ＋5＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．x ＋2y ＋5＝0D．x－2y－5＝06．C[解析] 由题意知－5＝OP→·OA→|OA→|＝x＋2y5，所以点P的轨迹方程是x＋2y＋5＝0，故选C.。
数学-兴化市安丰高级中学2014届高三数学一轮复习平面向量测试题
兴化市安丰高级中学2014届高三一轮复习数学试题（平面向量）姓名_________________ 学号__________ 成绩___________一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案填在答题纸的相应题号中的横线上．1、已知在ABC ∆中，||||2AC AB AC AB ⋅=⋅，则角A 的大小为 ．2、已知向量a )3,1(=，b )0,2(-=，则| a -2b | = ．3、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则实数λ= ．4、已知向量a ()m ,1=，b ()2,m =, 若a // b , 则实数m 等于 ．5、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c =0，则t = ．6、设a ()2,1-=，b ()4,3-=， c ()2,3=，则(a + 2b )·c = ．7、在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为 ． 8、已知点()3,1A ，()1,4-B ，则与向量AB 同方向的单位向量为 ． 9、已知向量m ()1,1+=λ，n ()2,2+=λ，若(m + n )⊥(m - n )，则=λ ． 10、已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则=⋅BD AE ． 11、若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |=|a +2b |，则a ，b 夹角的余弦值为 ．12、OA 为边，OB 为对角线的矩形中，(3,1)OA =-，(2,)OB k =- ，则实数k = ．13、已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点，若7=OA ，5=OB ，则()OB OA OP -⋅的值为 ．14、如图，在ABC ∆中，2=BC ，DC AD =，EB AE 21=，若21-=⋅AC BD ，则=⋅AB CE ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本小题满分14分）已知向量a ，b 满足|a |=2，|b |=1，|a －b |=2．OCABDA BCDE（1）求a·b 的值； （2）求|a + b |的值． 16、（本小题满分14分） 设向量a ()x x sin ,sin 3=，b ()x x sin ,cos =，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ．（1）若|a |=|b |，求x 的值；（2）设函数()=x f a ·b ，求()x f 的最大值． 17、（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1,－2)、B (2,3)、C (－2,－1) ． (1) 求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2) 设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值．18、（本小题满分15分）已知a ()βαsin ,sin =，b ()()1,cos --=βα，c ()()2,cos βα+=，≠βα,2ππ+k ，Z k ∈．(1)若b //c ，求βαtan tan ⋅的值； (2)求a 2+ c ·b 的值．19、（本小题满分16分）已知向量a ()()θλλθ-=10cos ,cos ，b ()()λθθλsin ,10sin -=，R ∈θλ,． (1)求 |a |2+ |b |2的值； (2)若a ⊥b ，求θ的值； (3)若20πθ=，求证：a //b ．20、（本小题满分16分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ()b c a ,2-=与向量n ()C B cos ,cos -=互相垂直． (1)求角B 的大小；(2)求函数()C B C y 2cos sin 22-+=的值域；(3)若AB 边上的中线2=CO ，动点P 满足()R AC AO AP ∈⋅+⋅=θθθ22cos sin ，求()PC PB PA ⋅+的最小值．兴化市安丰高级中学2014届高三一轮复习数学答案（平面向量）姓名_________________ 学号__________ 成绩___________一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1、3π． 2、2． 3、2． 4、2±． 5、2. 6、3-． 7、5． 8、3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-． 9、=λ-3． 10、2． 11、13-． 12、4． 13、12． 14、34-． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15、解：（1）由|a －b |=2，得|a －b |2=a 2-2a·b +b 2412=+-a·b 4=，∴ a·b 12=．（2）|a +b |2=a 22+a·b +b 2142162=+⨯+=，∴ |a +b |6=．16、 [思路]（Ⅰ）一般给出模的关系就可以考虑把模平方，进而可以把向量问题转化为三角函数问题求出24sin 1x =因为[0,]2x π∈，根据象限符号知sin 0x >求出1sin 2x =，所以6x π=．（2）通过降幂公式和二倍角公式可化简1()sin(2)62f x x π=-+， 最后解得最大值为32． 17、[解析]（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则 (2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为42、210。
2014届高考数学一轮轻松突破复习1.4.4平面向量的应用文
【名师精讲】2014届高考数学一轮轻松突破 1.4.4平面向量的应用文一、选择题1．在△ABC 中，有命题：①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AC →·AB →＞0，则△ABC 为锐角三角形．上述命题正确的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④解析：∵AB →－AC →＝CB →＝－BC →≠BC →，∴①错误.AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝AC →－AC →＝0，∴②正确．由(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0⇔|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等腰三角形，③正确.AC →·AB →＞0⇒cos 〈AC →，AB →〉＞0，即cosA ＞0，∴0°＜A ＜90°，但不能确定B ，C 大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.答案：C2．已知点A 、B 的坐标为A(4,6)、B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32，与直线AB 平行的向量的坐标可以是( ) ①⎝ ⎛⎭⎪⎫143，3 ②⎝ ⎛⎭⎪⎫7，92 ③⎝ ⎛⎭⎪⎫－143，－3 ④(－7,9) A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②③④解析：AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－92，⎝ ⎛⎭⎪⎫143，3＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－92＝－23AB →，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，92＝－⎝⎛⎭⎪⎫－7，－92＝－AB →，⎝ ⎛⎭⎪⎫－143，－3＝23AB →.故选C. 答案：C3．已知直线l 与x ，y 轴分别相交于点A ，B ，AB →＝2i －3j(i ，j 分别是与轴x ，y 正半轴同方向的单位向量)，则直线l 的方程是( )A ．3x －2y ＋6＝0B ．3x ＋2y ＋6＝0C ．2x ＋3y ＋6＝0D ．2x －3y ＋6＝0解析：由于i ，j 分别是与轴x ，y 正半轴同方向的单位向量，所以AB →＝(2，－3)，而A ，B 分别在x 轴，y 轴上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直线的方程为3x ＋2y ＋6＝0. 答案：B4．如图所示，一个物体受到四个共点力作用，处于平衡状态，当三个力的大小和方向都不变而F4的方向顺时针转过90°，大小不变，这时该物体受到的合力的大小是( )A ．0B ．2|F4| C.2|F4| D.3|F4|解析：物体处于平衡状态，物体所受合外力为0，当F4的方向顺时针转过90°时，余下的三个力的合力与F4的大小相等、方向相反，即沿图中的OA 方向．此时物体所受的力相当于是两个互相垂直的F4作用，所以物体受到的合力大小是2|F4|.答案：C5．已知点O 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA →－OB →2，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：由于2OP →＝3OA →－OB →，∴2OP →－2OA →＝OA →－OB →，即2AP →＝BA →.∴AP →＝12BA →，则点P 在线段AB 的反向延长线上，选B. 答案：B6．在直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( )A ．|AC →|2＝AC →·AB →B ．|BC →|2＝BA →·BC →C ．|AB →|2＝AC →·CD →D ．|CD →|2＝AC →·AB →BA →·BC →|AB →|2解析：对选项C ，如图所示，AC →·CD →＝|AC →|·|CD →|·cos(π－∠ACD)＝－|AC →|·|CD →|cos ∠ACD＝－|CD →|2≠|AB →|2.答案：C二、填空题7．通过点A(－1,2)，且平行于向量a ＝(3,2)的直线方程为__________．解析：方法一：∵直线与a ＝(3,2)平行，∴直线斜率k ＝23， ∴直线方程为y －2＝23(x ＋1)，即2x －3y ＋8＝0. 方法二：过点A 且平行于向量的直线是唯一确定的，把这条直线记为l ，在l 上任取一点P(x ，y)，则AP →∥a.如果点P 不与点A 重合，由向量平行，它们的坐标满足条件x －－3＝y －22，整理，得方程为2x －3y ＋8＝0.方法三：设P(x ，y)为所求直线上任意一点，由题意知AP →∥a ，而AP →＝(x ＋1，y －2)，a ＝(3,2)，∴(x ＋1)·2－(y －2)·3＝0，化简得2x －3y ＋8＝0，即为所求直线的方程．答案：2x －3y ＋8＝08．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．解析：如图，渡船速度为OB →，水流速度为OA →，船实际垂直过江的速度为OD →，依题意知，|OA →|＝12.5，|OB →|＝25，由于四边形OADB 为平行四边形，则|BD →|＝|OA →|，又OD ⊥BD ，∴在Rt △OBD 中，∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.答案：北偏西30°9．已知A(2，－1)，B(－1,1)，O 为坐标原点，动点M 满足OM →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R 且2m2－n2＝2，则M 的轨迹方程为__________．解析：设M(x ，y)，则OM →＝(x ，y)，又OA →＝(2，－1)，OB →＝(－1,1)，∴由OM →＝mOA →＋nOB →得(x ，y)＝(2m ，－m)＋(－n ，n)．于是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2m －n ，y ＝－m ＋n ，由2m2－n2＝2消去m ，n 得M 的轨迹方程为x2－2y2＝2.答案：x2－2y2＝2三、解答题10．已知点P(－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA →·AM→＝0，AM →＝－32MQ →.当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程． 解析：设点M(x ，y)为轨迹上的任一点，且设A(0，b)，Q(a,0)(a ＞0)，则AM →＝(x ，y －b)，MQ→＝(a －x ，－y)．∵AM →＝－32MQ →. ∴(x ，y －b)＝－32(a －x ，－y)． ∴a ＝x 3，b ＝－y 2，即A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－y 2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，0. PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32y . ∵PA →·AM →＝0，∴3x －34y2＝0. 即所求轨迹方程为y2＝4x(x ＞0)．11．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，－sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，sin x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.若函数f(x)＝a·b－12λ|a ＋b|的最小值为－32，求实数λ的值． 解析：∵|a|＝1，|b|＝1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴a·b＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos2x ， |a ＋b|＝a ＋b 2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cos2x ＝2|cosx|＝2cosx.∴f(x)＝cos2x －λcosx ＝2cos2x －λcosx －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosx －λ42－λ28－1，cosx ∈[0,1]． ①当λ＜0时，取cosx ＝0，此时f(x)取得最小值，并且f(x)min ＝－1≠－32，不合题意．②当0≤λ≤4时，取cosx ＝λ4，此时f(x)取得最小值，并且f(x)min ＝－λ28－1＝－32，解得λ＝2.③当λ＞4时，取cosx ＝1，此时f(x)取得最小值，并且f(x)min ＝1－λ＝－32， 解得λ＝52，不符合λ＞4舍去，∴λ＝2. 12．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，若存在不同时为零的实数k ，t ，使c ＝a ＋(t2－3)b ，d ＝－ka ＋tb ，且c ⊥d ，|c|≤10.(1)求函数解析式k ＝f(t)；(2)求函数f(t)的单调区间．解析：(1)方法一：c ＝a ＋(t2－3)b ＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－12＋(t2－3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12－，－12＋32－， d ＝－ka ＋tb ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k ＋12t ，k 2＋32t ∵c ⊥d ，即c·d＝0，得k ＝t3－3t.由|c|≤10，∴c2＝[a ＋(t2－3)b]2≤10，a2＝1，b2＝1，a·b＝0，∴(t2－3)2＋1≤10，∴t ∈[－6，6]．方法二：由|a|＝1，|b|＝1，a·b＝0，c·d＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t －k(t2－3)]b2＝－k ＋t3－3t＝0，∴k ＝t3－3t(下同方法一)．(2)f′(t)＝3t2－3，令f′(t)＝0，∴t ＝±1，t ＜－1时，f′(t)＞0，∴f(t)在区间(－6，－1)上单调递增；－1＜t ＜1时，f′(t)＜0，∴f(t)在区间(－1,1)上单调递减；t ＞1时，f′(t)＞0，∴f(t)在区间(1，6)上单调递增．。
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第二十六讲 平面向量的应用一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．(2010·全国Ⅰ)已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A ·PB 的最小值为( )A ．－4＋2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：设|||PA PB = ，∠APB ＝θ，则tan θ2＝1x ，cos θ＝x 2－1x 2＋1，则P AP B ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3，当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时，取“＝”，故PA PB的最小值为22－3，故选D. 答案：D2．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3，选C.答案：C3．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且||||0,MN MP MNoNP +=＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3,0)的距离d 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析:因为M(-3,0),N(3,0),所以(6,0),||6,MN MN MP ===(x+3,y),NP =(x-3,y).由||||MN MP MN NP + =0得化简得y 2=-12x,所以点M 是抛物线y 2=-12x 的焦点,所以点P 到M 的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以d min =3.答案：B4．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且a 、b 、c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB BC 等于( )A.32B ．－32C ．3D ．－3解析：由已知b 2＝ac ，a ＋c ＝3，cos B ＝34，得34＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－3ac2ac，解得ac ＝2.则AB ·BC ＝ac ·cos 〈AB ，BC 〉＝2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 答案：B5．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos60°＝28，所以|F 3|＝27，选D. 答案：D6．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0,OB OC OB OC OA -+-= ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对解析：由已知得()0,CB AB AC += ＝0，设BC 中点为D ， 则0CB AD =，即中线AD 与高线重合，∴△ABC 为等腰三角形．答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM ＝16CB ＋23,CA 则MA MB ＝_____.解析：建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)，∴MA ＝(0,1)，MB ＝(－3，－2)．∴MA MB＝－2.答案：－28．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．解析：如图所示，渡船速度为OB ，水流速度为OA ，船实际垂直过江的速度为,OD依题意知|OA |＝12.5＝252，|OB|＝25. ∵OD OB OA =+ ，∴OD OA OB OA OA =+ 2， ∵OD ⊥OA ，∴OD ·OA ＝0，∴25×252cos(∠BOD ＋90°)＋⎝⎛⎭⎫2522＝0，∴cos(∠BOD ＋90°)＝－12，∴sin ∠BOD ＝12，∴∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.答案：北偏西30°9．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++则实数m ＝________.解析：取BC 的中点D ，则2,OB OC OD +=，且OD ⊥BC ，AH ⊥BC . 由()OH m OA OB OC =++ ，可得(2)OA AH m OA OD +=+ ， ∴(1)2.AH m OA mOD =-+ .(1)2,AH BC m OA BC m OD BC =-+即0＝(m －1)·OA BC＋0，故m ＝1.答案：110．已知|a |＝2，|b |＝4，a 与b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．解析：画图可知，较短一条对角线的长度为 |a |2＋|b |2－2|a ||b |cos π3＝22＋42－2×2×4×12＝2 3.答案：2 3三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知a ＝(1，x )，b ＝(x 2＋x ，－x )，m 为实数，求使m (a ·b )2－(m ＋1)a ·b ＋1<0成立的x 的取值范围．解：∵a ·b ＝x 2＋x －x 2＝x . ∴m (a ·b )2－(m ＋1)a ·b ＋1<0⇔mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0. (1)当m ＝0时，x ＞1.(2)当m ≠0时，m (x －1m)(x －1)<0，①当m <0时，x >1或x <1m . ②当0<m <1时，1<x <1m .③当m ＝1时，x ∈∅. ④当m >1时，1m<x <1.12．在▱ABCD 中，A (1,1)，AB＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD＝(3,5)，求点C 的坐标；(2)当|AB |＝|AD|时，求点P 的轨迹．解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，又AC AD AB =+＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)．(2)设P (x ，y )，则BP AP AB =-＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，AC AM MC =+ ＝123AB MP + ＝1113()222AB AP AB =+-＝3AP AB -＝(3(x －1),3(y －1))－(6,0)＝(3x －9,3y －3)．∵||||AB AD =，∴▱ABCD 为菱形．∴BP ⊥AC ，∴(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0，即(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0.∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)． 故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y ＝1的两个交点．13．已知OM ＝(cos α，sin α)，ON ＝(cos x ，sin x )，PQ ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－sin x ＋45cos α. (1)当cos α＝45sin x时，求函数y ＝ON PQ 的最小正周期；(2)当OM ON ＝1213，OM PQ ∥，α－x ，α＋x 都是锐角时，求cos2α的值．解：(1)∵cos α＝45sin x ，∴y ＝cos 2x －sin 2x ＋4sin x5cos α＝cos2x ＋sin 2x ＝cos2x ＋1－cos2x 2＝12cos2x ＋12，∴该函数的最小正周期是π. (2)∵OM ON＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(α－x )＝1213，且α－x 是锐角， ∴sin (α－x )＝1－cos 2(α－x )＝513，∵OM PQ ∥，∴－cos αsin x ＋45－sin αcos x ＝0，即sin(α＋x )＝45.∵α＋x 是锐角，∴cos(α＋x )＝1－sin 2(α＋x )＝35，∴cos2α＝cos[(α＋x )＋(α－x )]＝cos (α＋x )cos(α－x )－sin(α＋x )sin(α－x )＝35×1213－45×513＝1665，即cos2α＝1665.。