第二章 光纤光学的基本方程
《光纤光学教学课件》第三讲
缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合以及光场分 布等现象，分析单模光纤时结果存在很大的误差。
14.11.2020
.
2
© HUST 2012
14.11.2020
波动光学方法：
是一种严格的分析方法，从光波的 本质特性电磁波出发，通过求解电磁波所遵 从的麦克斯韦方程，导出电磁波的场分布。
2 (x ,y ,z) k2 (x ,y ,z) 0
ke /V p2/n0k
14.11.2020
.
© HUST 2012
12 14.11.2020
2.2 程函方程与射线方程
一、程函方程：光程函数方程
设上述的标量场方程的解有如下形式： 0 ( x, y, z)eik0Q( x, y,z)
Q(x,y,z) 是光程函数，代入亥姆赫兹方程得：
由 Q2 n2
.
n
14 14.11.2020
单位矢量相等：
u ndr Q
n ds
又有：
d dxi dr•
ds i dsxi ds
对式 Q2 n2 ，求导数得：
2 Q Q 2 n n
nddrsQnn
14.11.2020
.
© HUST 2012
15 14.11.2020
nd Qnn
ds ddsnddrsn
光线方程
14.11.2020
.
© HUST 2012
16 14.11.2020
光线方程的物理意义：
当光线与z 轴夹角很小时，有：
物理意义：
ddznddrznr
• 将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来;
非线性光纤光学 第二章-脉冲在光纤中的传输
解线性波动方程前作两个近似：
a. 光纤的损耗很小， (r , )的虚部相对于实部可以忽略，因而有
n2 (r, ) (r, )，以微扰的方式将光纤损耗包括进去；
b. 在阶跃光纤的纤芯和包层中折射率与方位无关， nr , n( )
E ( E) 2 E 2 E
弱导条件下(n1≈n2)：
U W Jm Km 1 1 m 2 2 UJ m U wKm W U W
本征值方程又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过其定义式与 β 相联系，因此它实际是关于 β的一个超越方程。当 n1、 n2、 a和 λ0给 定时 , 对于不同的 m值,可求得相应的 β值。由于贝塞尔函数及其导数 具有周期振荡性质, 所以本征值方程可以有多个不同的解 βmn(m=0,1,2,3... n=1,2,3...),每一个βmn 都对应于一个导模。
EH21、HE41模
TE02、TM02、HE22模 EH31、HE51模
色散曲线
图中每一条曲线都相应于一个导模。平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点 数就是光纤中允许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常 数β。Vc越大导模数越多；当Vc＜2.405时， 在光纤中只存在HE11模，其它 导模均截止，为单模传输。
几个归一化参数
归一化工作频率：
V
2
0
2 a n12 n2 k0 an1 2
归一化横向传播常数： 归一化横向衰减常数： 有效折射率： 归一化传输常数：
U a n12 k02 2
2 2 W a 2 n2 k0
neff / k0
W b 2 2 2 V n1 n2
光纤讲义-第2章 光纤传输基本理论
第2章 光纤传输基本理论
第2章 光纤传输基本理论
2.1 光纤传输基本方程及解 2.2 多模光纤的光传输特性 2.3 单模光纤的光传输特性 2.4 光纤传输中的非线性现象
2.1 光纤传输基本方程及解
由于任何光信号都可分解成具有一定相对关系的 单色光的组合，为了得到光纤传输的特性，我们需要 导出在单色光输入情况下光纤的输出特性。本节分析 光纤中光的传输特性。
现 在我们 近 似 假 定 横 向 场的 极化 方 向 保持 不变 ， 这样就 可用一个标量来描述它，它将满足标量亥姆霍 兹 方程。由 此 我们可 以通过解 该横 向场的标 量亥姆霍 兹 方程 求 得解 答。 这种 方 法叫标 量 近似 分析 法。可 以 看出，标量近似分析法是以n1≈n2为前提的。下面我们 将用 标 量 近 似 分析 法推 导出场方程、特 征方程，介 绍 标 量解的 模 式分布， 讨论各模 式的传输特性 及光纤中 的功率分布等。
第2章 光纤传输基本理论
第2章 光纤传输基本理论
2.1.1 麦克斯韦方程与波动方程 光信号在光纤中的传输由麦克斯韦方程描述，可写
式中,E(r,t)、 H(r,t)分别为电场强度矢量和磁场强度 矢量；D(r,t)、B(r,t)分别为电位移矢量和磁感应强度矢 量； Jf(r,t) 为电流密度矢量， ρf(r,t) 为电荷密度分布， 是电磁场的源。 当介质内传输的电磁场强度E(r,t)和H(r,t)增大时， (2.1) 电位移矢量D(r,t)和磁感应强度矢量B(r,t)也随之增大， 它们的关系通过物质方程联系起来 D(r,t)=ε0E(r,t)+P(r,t) B(r,t)=μ0H(r,t)+M(r,t) (2.2)
u AJ ( ) r r ≤ a m a R(r ) = DK m ( ω ) r r ≥ a a
光纤光学的基本方程679KB
光纤光学的基本⽅程679KB第⼆章光纤光学的基本⽅程光纤光学的研究⽅法⼏何光学⽅法：光纤芯径远⼤于光波波长0λ时, 可以近似认为0λ→0从⽽将光波近似看成由⼀根⼀根光线所构成, 因此可采⽤⼏何光学⽅法来分析光线的⼊射、传播(轨迹) 以及时延(⾊散) 和光强分布等特性，这种分析⽅法即为光线理论。
优点：简单直观，适合于分析芯径较粗的多模光纤。
缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合以及光场分布等现象，分析单模光纤时结果存在很⼤的误差。
波动光学⽅法：是⼀种严格的分析⽅法，从光波的本质特性电磁波出发，通过求解电磁波所遵从的麦克斯韦⽅程，导出电磁波的场分布。
优点：具有理论上的严谨性，未做任何前提近似，因此适⽤于各种折射率分布的单模和多模光纤。
缺点：分析过程较为复杂。
光纤光学的研究⽅法⽐较光线理论与波动理论分析思路电磁分离波动⽅程wave equation时空分离亥姆赫兹⽅程Helmholtz equation纵横分离波导场⽅程2.1 麦克斯韦⽅程与亥姆赫兹⽅程⼀、麦克斯韦⽅程光纤是⼀种介质光波导，具有如下特点：①⽆传导电流；②⽆⾃由电荷；③线性各向同性。
边界条件：在两种介质交界⾯上电磁场⽮量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续,D 与B的法向分量连续：⼆、光线⽅程光线⽅程光线⽅程的物理意义：当光线与z 轴夹⾓很⼩时，有：物理意义：将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来;由光线⽅程可以直接求出光线轨迹表达式;d r/dS是光线切向斜率, 对于均匀波导，n为常数,光线以直线形式传播;对于渐变波导,n是r的函数,则d r/dS为⼀变量, 这表明光线将发⽣弯曲。
⽽且可以证明,光线总是向折射率⾼的区域弯曲。
典型光线传播轨迹反射型折射型模式分析的基本过程数学模型园柱坐标系中的波导场⽅程边界条件本征解与本征值⽅程本征值与模式分析数学模型阶跃折射率分布光纤(SIOF)是⼀种理想的数学模型,即认为光纤是⼀种⽆限⼤直园柱系统,芯区半径a ，折射率为1n ；包层沿径向⽆限延伸,折射率为折射率为2n ；光纤材料为线性、⽆损、各向同性的电介质。
2第二章 光纤传输的光线理论
光纤传输的分析方法
光线理论 前提：芯径>>光波波长 可形象地分析光线的入射、 传播轨迹、时延和光强分布 对单模光纤不适用 波动理论（经典场论） 严格的分析方法 可分析模式分布、包 层 导波光量子的寿命和稳定 模、模式耦合以及光场分 性问题；衍射损耗的问题 布等现象 等。 适用于各种折射率分布的 单、多模光纤 量子理论
1 1
2 5
3 61
4 1385
2.8 习题 1.一阶跃光纤，其纤芯折射率n1=1.52,包层折射率n2=1.49, 试问：
（a）光纤放置在空气中，光从空气入射到光纤输入端面上
的最大接收角是多少？ （b）光纤浸在水中（n0=1.33），光从水中入射到光纤输入 端面上的最大接收角是多少？
2.8 习题 2. 阶跃折射率分布光纤纤芯折射率为n1=1.45，相对折射率 差Δ=0.004。 (a) 包层折射率的大小？ (b) 计算光纤的数值孔径NA？ (c) 光纤端面光线容许的最大入射角是多大？ (d) 计算在60km长的光纤上，子午光线的光程差所引起的最 大时延差Δτmax为多少。
2.2 阶跃多模光纤的数值孔径和时延差 时延差 定义：以突变型多模光纤为例：
光纤光纤光学及技术第二章
在θc~900间可容纳的的导模就会增加
光纤光纤光学及技术第二章
【例2.3】 两阶跃光纤纤芯半径均为5μm, 纤芯折 射率分别为n1=1.5和1.53，试求在光波长为 0.85μm时，两光纤相邻导模入射角的余弦差 各为多少
解：
cos
' 1
cos
1
l0
4n1a
对纤芯折射率为1.5的光纤
cos θ1' - cos θ1
波动理论
光纤光纤光学及技术第二章
一种严格的分析方法，严格性在于： 1）从光波的本质特性－电磁波出发，通过求
解电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出电磁场 的场分布，具有理论上的严谨性。 2）未作任何前提近似，因此适用于各种折射 率分布的单模光纤和多模光纤。
光纤光纤光学及技术第二章
适用条件 研究对象 基本方程 研究方法 主要特点
光纤光纤光学及技术第二章
相减可得 4ak0n1(cosθ1' - cosθ1) 2π
cos θ1' - cos θ1
当波长为1.5μm时
π 2ak0n1
λ0 4n1a
cosθ1' - cosθ1
λ0 4n1a
1.5 4 1.5
5
0.05
当波长为0.85μm时
cos θ1' - cos θ1
λ0 4n1a
1
l0
4n1a
对纤芯半径为5μm的光纤，有
cos θ1' - cos θ1
λ0 4n1a
0.85 4 1.5 5
0.0285
光纤光纤光学及技术第二章
对纤芯半径为50μm的光纤，有
cos θ1' - cos θ1
光纤光学-第二章
第12页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
在光的传播方向上,各点的光矢量在确定的平面内，这种光称 为平面偏振光。也由于在垂直于传播方向的平面内，平面偏 振的光矢量端点的轨迹为一直线，又称为线偏振光。
E
振动面
符号表示
v
3）圆偏振光与椭圆偏振光 传播方向相同、振动方向相互垂直、相位差恒定的两线偏振 光叠加（或组合）可合成光矢量有规则变化的圆偏振光或椭 圆偏振光。
2 2 2 2 2 2 x y z
2
1 1 2 (r ) 2 2 2 r r r r z
2
直角坐标系
第7页
圆柱坐标系
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
自由介质中的单色均匀平面波
i (t kr ) E (r , t ) E0e
y 右旋 E 左旋 Ey
O
Ex
x
第15页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
第16页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
§1-2 波导方程
矩形波导
圆波导
微带线
电磁波在纵向(轴向)以“行波”的形式存在，在横向以“驻波” 的形式存在。
第17页
《光纤光学》第二章 一、波导方程
光纤光学基本方程
E 2 E E 0 2 t
第13页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
设电场强度的瞬时值为
E x ( z, t ) e x Exm sin( t kz)
在空间任一固定点，电场强度矢量的端点随时 间的变化轨迹为与 x 轴平行的直线。因此，这种极 化特性称为线极化，其极化方向为 x 方向。
光纤光学-第二章
第10页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
导电介质中的平面波
Ex
E(r, t ) E0 ( x, y)ei (t kz z ) E0 ( x, y)e
z i (t z )
e
z
衰减因子
Hy
第11页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
§1-2 波导方程
纵横关系式
式中： 2 k 2 2 2 2
第18页 推导
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
返回框图
类似地，对于圆柱坐标，可得：
ez 1 hz er i r r hz 1 ez 2 e i r r
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
第24页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
1-3 模式及其基本性质 （以平板波导为例）
从物理量随着指标变化来看，平板波导只与X、Z两 个指标有关。又可称平板波导为二维波导。
x
电磁场沿z方向传输，z 方向波导的几何形状不 变。在 y 方向波导是无 限延伸的，同时由于对 称性，场分量在 y 方向 没有变化，即：
z y film n1 n3 cover n2 substrate d
平板波导结构图
If n2= n3, 对称波导（Symmetrical waveguide） n2>n3, 非对称波导（Asymmetrical waveguide）
第21页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
1-3 模式及其基本性质
第17页
i A x Ax
第二章 光纤光学的基本方程
代入光线方程展开式： 代入光线方程展开式： 用 n 乘 K 有:
dn (r ) dr dn dr dn − = ∇n (r ) − nK = e r dr ds ds ds ds
eR
上式表明折射率梯度矢量位于光线的切面内
n’
n n’ >n
dr/ds
重写曲率矢量和光线方程展开式： 重写曲率矢量和光线方程展开式：
•时变电场可以产生时变磁场 时变电场可以产生时变磁场 •磁场是无源的 磁场是无源的 •电场是有源的 电场是有源的
∇⋅ B = 0
∇⋅ D = ρ
光纤中不存在电流和自由电荷，则有： 光纤中不存在电流和自由电荷，则有： ∇ ⋅ D = 0, J = 0
2．电磁波的波动现象 电场和磁场之间就这样互相激发，互相支持。 电场和磁场之间就这样互相激发，互相支持。 光在光导纤维中的传播， 光在光导纤维中的传播，正是电磁波的一种 传播现象。 传播现象。 在光纤中传播的电磁场满足边界条件： 在光纤中传播的电磁场满足边界条件：磁场 与电场的切向和法向分量均连续，即： 与电场的切向和法向分量均连续，
∇ϕ (r ) × E 0 = ηH 0
∇ϕ (r ) × H 0
（2.2a） 2.2a） （2.2b） 2.2b） （2.2c） 2.2c） （2.2d） 2.2d）
E 相位梯度
n2 = − E0 η
∇ϕ (r )
∇ϕ (r )
•
•
E0 = 0
H0 = 0
三个矢量正交，相位梯度与 三个矢量正交， 波面法线方向一致。 波面法线方向一致。
得到
{∇S (r ) • ∇S (r )}E
− n E0 = 0
2
即 或
∇S (r ) • ∇S (r ) = n 2
第2章 光纤光学的基本方程
Ψ x , y , z , t e
dt
9 江汉大学
第2章 2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
边界条件 ˆ D2 D1 n D1n D2 n ˆ B2 B1 0 n 即 B1 n B2 n ˆ E 2 E1 0 n E1t E 2 t n H 2 H 1 H 1t H 2 t
x, y, z r , , z
电流连续性方程
8 江汉大学
ρ J 0 t
第2章 2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
场量的时域和频域表达式
Φ x , y , z , t Ψ x , y , z , e
jt
d
jt
1 Φ x , y , z , 2
23 江汉大学
第2章 2.4模式及其基本性质
modes of a fiber
24 江汉大学
第2章 2.4模式及其基本性质
Rectangular transverse mode patterns TEM(mn)
25 江汉大学
第2章 2.4模式及其基本性质
光纤中的模式-横模
26 江汉大学
第2章 2.4模式及其基本性质
it
得 亥姆霍兹方程
Ψ x , y, z k Ψ x , y, z 0
k nk0 2 2 E x, y, z k E x, y, z 0 2 2 H x, y, z k H x, y, z 0
11 江汉大学
第2章 2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
1.电磁分离H B E t D B H D E H t D E 2 D 0 t t H 2 H H 2 2 B 0 H H H t 1 B 1 H H B B
光纤光学-第2章-光纤光学原理及应用(第二版)-张伟刚-清华大学出版社
光纤光学》《光纤光学第二章光纤光学的基本理论南开大学张伟刚教授第2 章光纤光学的基本理论2.1 引论2.2 光纤的光线理论222.3光纤的波动理论2.1引论2.1.1光线理论可以采用几何光学方法分析光线的入1.优点：的多模光纤时2.不足：2.1.2波动理论2.不足：2.1.3分析思路麦克斯韦方程光线理论波动理论2.2光纤的光线理论 2.2.1程函方程问题2.1：(r , t )z y x e z e y ex r ˆˆˆ++=G ),(t r E G G ),(t r H G G G G G G G G )0,0(0===t r E E )0,0(0===t r H H )(r G φφ=(2.1) 00ik i t E E e ϕω−+=G G (2.2)00ik i t H H e ϕω−+=G G 000)()()(000E e e E e E E ik ik ik G G G G ×∇+×∇=×∇=×∇−−−φφφik ik −−G G []φφφ00000)()(e E ik e E ×∇−×∇=φ0ik e E ik E −×∇−×∇=G G (2.3)[]φ000)((2.3)G G G G (24)[]φφφ000000)()(ik ik e H ik H e H H −−×∇−×∇=×∇=×∇(2.4) (21)(22)(25)(28)(2.1)(2.2)(2.5)(2.8)B ∂G G t E ∂−=×∇G (2.5)(26)t D H ∂∂=×∇G (2.6)G G 0=⋅∇D (2.7)(28)0=⋅∇B (2.8)(2.9)(2.10)(2.9)E D G G ε=G G (210)）HB μ=(2.10) 因光纤为透明介质（无磁性），于是0μμ≈ωi t =∂∂φμωμ0000ik e H c ik H i E −−=−=×∇G G G (2.11) φεωε0ik e E i c ik E i H −==×∇G G G (2.12) 00()(2.32.3))(2.112.11))(2.42.4))(2.122.12))G G G −=−000000)(H c ik E ik E μφ×∇×∇00000)(E c ik H ik H G G G εφ=×∇−×∇1G G G ∇=−(213)00000)(E ik H c E ××∇μφ1H k E c H G G G ×∇=+×∇ε(2.13) (2.14) 0000)(ik φ()H G 0[]000200)(1)(1)(1)(E c E E E G G G G εφφφφμφ−=∇−∇⋅∇=×∇×∇000c c c μμ(2.15)λ→0000)(H c E G G μφ=×∇(2.16) 00)(E c H G G εφ−=×∇(2.17)问题2.2：(2.15)(2.16)000E H ϕϕ⋅∇=⋅∇=G G (2.18a) (218b)∇∇G G (2.18b)0E H ϕϕ⋅∇=⋅∇=G G 、、三个矢量相互垂直三个矢量相互垂直！！0E 0H ϕ∇(2.1(2.188)(2.1(2.155)r c εεμεμφ===∇00221)((2.19)22(220)με00)(n =∇φ(2.20)G G =)()(r n r ∇φ(2.21)221)G (2.21)“程函方程” ()r φ程函方程的物理意义：讨论讨论：r G ∇()φ)(r G φ∇“”n r G 场源()(2.2.2121))),,(),,(),,(),,(2222z y x n z z y x y z y x x z y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎤⎢⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂φφφ(2.22)⎦⎣问题2.3：(2.2.2121))2.2.2 光线方程根据折射率分布，可由程函方程求出光程函()r Gφ为此，可从程函方程出发推导光线方程。
《光纤光学教学课件》第三讲
2020/4/22
纵模
• 相长干涉 条件：2 nL＝Kλ • 纵模是与激光腔长度相关的，所以叫做“纵
模”，纵模是指频率而言的。
2020/4/22 © HUST 2012
2020/4/22
模式的场分量
• 模式场分布由六个场分量唯一决定：
直角坐标系：Ex Ey Ez Hx Hy Hz 圆柱坐标系：Er E Ez Hr H Hz • Ez 和 Hz 总是独立满足波导场方程
说明：光纤为圆柱型波导，通常 在圆柱坐标系下研究更为方便。 此时其两个横向分量相互交叠， 没有如此简单的分量方程，只有 纵向分量满足独立的波导场方程。
• 场的横向分量可由纵向分量来表示——6个场
分量可简化为2个纵向场分量的求解。
2020/4/22
© HUST 2012
2020/4/22
直角坐标系纵横关系式
优点：具有理论上的严谨性，未做任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单 模和多模光纤。 缺点：分析过程较为复杂。
2020/4/22 © HUST 2012
2020/4/22
光纤光学的研究方法比较
适用条件 研究对象 基本方程 研究方法 研究内容
几何光学方法 d 光线 射线方程 折射/反射定理 光线轨迹
2020/4/22 © HUST 2012
2020/4/22
• 由此得到电场E和磁场H的场分布满足的 波导场方程：
数学物理意义：
是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的
本征方程,其本征值为χ或β。当给定波导的边界条 件时,求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。 通常将本征解定义为“模式”.
2020/4/22 © HUST 2012
2020/4/22
光纤光学-第2二章
几何光学方法
波动光学方法
适用条件 研究对象
基本方程 研究方法 主要特点
λ＞＞d 光线
射线方程 折射/反射定理 约束光线
λ~d 模式
波导场方程 边值问题 模式
图 几何光学方法与波动光学方法之研究思路比较图
E(x, y, z, t) H(x, y, z, t) 电、磁分离
式(2-3)：表示电场有散度，电场可由点电荷激发。 式(2-4)：表示磁场无散度，即磁场不可能为单磁荷 所激发。
电磁场的辅助方程 或构成方程
具体化：
(电、磁分离)
式左＝… 式右＝… 均匀介质中的波动方程
(时、空分离) ω
( f ) f f
j (t kr ) E E0 e
E(x, y, z) H(x, y, z)
时、空分离
纵、 横 分 离 E(x, y) H(x, y)
2.2 麦克斯韦方程及波动方程
2.2.1 麦克斯韦方程
电磁场的基本规律， Maxwell方程组：
矢量E , H , D, B, J，标量
分别代表电场强度，磁场强度， 电位移矢量，磁感应强度， 电流密度以及电荷密度，
表示旋度， 表示散度。
B E t D J H t 传导 位移 电流 电流 D B 0
波动光学方法
1.适用条件：把光波看作波长较短的电磁波。
（光的波动性）
2.分析方法：波动理论或波动光学。
二种方法比较：
1.射线光学方法：具有简单、直观的特点。 2.波动光学方法：是一种更严格、更全面的方法， 但要使用较复杂的数学工具，过程较繁杂。 分析简单问题时，二者均可得出一致结果，但分析 复杂问题时，射线理论不能给出满意的结果。要获得 全面、准确的解析或数值结果，必须采用波动理论。
第2章 光纤光学的课件基本方程
H z
Ez r
2E
i
w
H r
z
1 Ez r
2Hr
i
we
1 r
Ez
Hz r
25
横纵关系式
Ez
i
1 we
H y x
H x y
Hz
i
1
H x x
H y y
i
w
E y x
Ex y
Ez
i
1 we
1 r
r
rH
1 r
H r Βιβλιοθήκη Hzi11
r
r
rHr
1 r
H
1
w
1 r
r
rE
1 r
Er
26
模式命名
根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否, 可将模式命名为:
(1)横电磁模(TEM): Ez＝Hz＝0;
(2)横电模(TE):
Ez＝0, Hz≠0;
(3)横磁模(TM): Ez≠0,Hz＝0;
(4)混杂模(HE或EH):Ez≠0, Hz≠0。
光纤中存在的模式多数为HE(EH)模,有
Q(x, y, z) const
于是，也就确定了光线轨迹。 由光程函数方程可推得光线方程（射线方程）：
10
d
(n
dr
)
n(r )
dS dS
当光线与z轴夹角很小时，光线方程可取
近似形式：
d
(n
dr
)
n(r )
dS dS
d
(n
dr
)
n(r )
dz dz
11
射线方程的物理意义
d
(n
dr
光纤光学光纤传输的基本理论
MAXWELL’S EQUATIONS ∇ · B = 0 ∇ · D = ρ ∇×E = −∂B/∂t ∇×H = J +∂D/∂t From the first line, the normal ponents of D and B are continuous across a dielectric interface From the second line, the tangential ponents of E and H are continuous across a dielectric interface
由于渐变型多模光纤折射率分布是径向坐标r的函数，纤芯各点数值孔径不同.
01
单击此处添加小标题
局部数值孔径NA(r)和最大数值孔径NAmax
组层与层之间有细微的折射率变化的薄层, 其中在中心轴线处的层具有的折射率为n1，在包层边界的折射率为n2。这也是制造商如何来制造光纤的方法。
= r1 (1.13)
01
An(0) sin(Az) cos(Az)
cos(Az)
02
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
r
03
这个公式是自聚焦透镜的理论依据。
θ*
由此可见，渐变型多模光纤的光线轨迹是传输距离z的正弦函数，对于确定的光纤，其幅度的大小取决于入射角θ0， 其周期Λ=2π/A=2πa/ ， 取决于光纤的结构参数(a, Δ)， 而与入射角θ0无关。
波动方程
麦克斯韦方程组
时、空坐标分离：亥姆霍兹方程，是关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式
单色波：
矢量的Helmholtz方程
空间坐标纵、横分离：得到关于E(x,y)和H(x,y)的方程式；
光纤应用习题解第1-7章
第一章 光纤光学基础1．详述单模光纤和多模光纤的区别（从物理结构，传播模式等方面）A ：单模光纤只能传输一种模式，多模光纤能同时传输多种模式。
单模光纤的折射率沿截面径向分布一般为阶跃型，多模光纤可呈多种形状。
纤芯尺寸及纤芯和包层的折射率差：单模纤芯直径在10um 左右，多模一般在50um 以上；单模光纤的相对折射率差在0.01以下，多模一般在0.01—0.02之间。
2．解释数值孔径的物理意义，并给出推导过程。
A:：NA 的大小表征了光纤接收光功率能力的大小，即只有落入以m 为半锥角的锥形区域之内的光线，才能够为光纤所接收。
3．比较阶跃型光纤和渐变型光纤数值孔径的定义，可以得出什么结论？A ：阶跃型光纤的NA 与光纤的几何尺寸无关，渐变型光纤的NA 是入射点径向坐标r 的函数，在纤壁处为0，在光纤轴上为最大。
4．相对折射率差的定义和物理意义。
A ：2221212112n n n n n n --D =?D 的大小决定了光纤对光场的约束能力和光纤端面的受光能力。
5．光纤的损耗有哪几种？哪些是其固有的不能避免，那些可以通过工艺和材料的改进得以降低？A ：固有损耗：光纤材料的本征吸收和本征散射。
非固有损耗：杂质吸收，波导散射，光纤弯曲等。
6．分析多模光纤中材料色散，模式色散，波导色散各自的产生机理。
A ：材料色散是由于不同的光源频率所对应的群速度不同所引起的脉冲展宽。
波导色散是由于不同的光源频率所对应的同一导模的群速度不同所引起的脉冲展宽。
多模色散是由于不同的导模在某一相同光源频率下具有不同的群速度所引起的脉冲展宽。
7．单模光纤中是否存在模式色散，为什么？A ：单模光纤中只传输基模，不存在多模色散，但基模的两个偏振态存在色散，称为偏振模色散。
8．从射线光学的观点计算多模阶跃光纤中子午光线的最大群时延差。
A ：设光纤的长度为L ，光纤中平行轴线的入射光线的传输路径最短，为L ；以临界角入射到纤芯和包层界面上的光线传输路径最长，为sin c L f 。
光学中的光学光纤方程
光学中的光学光纤方程光学光纤是现代通信技术中不可或缺的组成部分。
它的应用范围广泛，既可用于通信传输，也可用于医疗、材料加工、传感器等领域。
光学光纤的优点是传输速度快、带宽高、抗干扰能力强、信号损耗小等。
但是，光纤传输中的信号衰减、色散等问题也不容忽视。
在光学光纤中，光从一端进入，经过光纤中的反射和折射等过程传输，并在另一端输出。
光纤的传输过程受到多种因素的影响，如纤芯直径、材料折射率、纤芯和外套之间的折射率差、温度等。
因此，需要建立光学光纤传输的数学模型，以描述光信号的传输过程。
建立光学光纤传输模型的基础是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组描述了电磁场的变化，光就是电磁波的一种。
光在介质中传输时，其电场和磁场在空间和时间上都会随着位置和时间的变化而变化，因此麦克斯韦方程组可以描述光的变化规律。
在光纤传输中，光的传播过程涉及到折射和反射现象。
折射现象是指光线从一种介质进入到另一种介质时，会发生偏折的现象。
反射现象则是指光线在介质表面发生反弹现象。
光的折射和反射现象会影响光信号在光纤中的传输过程，也就是说，光纤的传输特性取决于光的折射和反射。
光在光学光纤中的传输过程可以用光学光纤方程表示。
光学光纤方程是通过微分方程对光纤中的光强度和相位进行描述，它可以描述光纤中光的传输特性、极化特性、光学记忆效应、色散和非线性效应等。
常见的光学光纤方程包括折射率波动方程和非线性薄膜方程。
折射率波动方程是描述光在光学光纤中传输时，由于纤芯直径变化等原因而产生的折射率变化所引起的总波长变化。
其数学表达式为：$$\frac{d^2 A}{dz^2}+k^2n^2(z)A=0$$其中$A(z)$表示光波的振幅，$n(z)$表示光纤中的局部折射率，$k$表示波数。
在单模光纤中，$n(z)$是一个常数，说明光波在光纤中传输时的特性是一个单一的傅里叶模式。
非线性薄膜方程描述了光在光学光纤中传输时，受到光纤的非线性效应的影响而引起的相位和能量变化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程 程函方程与射线方程 波导场方程 模式及其基本性质
波动光学理论
❖ 用几何光学方法虽然可简单直观地得到光线在光 纤中传输的物理图象，但由于忽略了光的波动性 质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布及 其它许多特性。
❖ 采用波动光学的方法，把光作为电磁波来处理， 研究电磁波在光纤中的传输规律，可得到光纤中 的传播模式、场结构、传输常数及截止条件。
n r
dr ds
dn ds
❖ 上两矢量式点乘，第二项因两矢量正交为零，故有
K
1
R
eR
n r nr
❖ 因曲率半径总是正的，所以等式右边必须为正：
n r nr
0时，eR 与er 夹角小于
2
；
n r n r
0时，eR
与er
夹角大于
2
；
A B C A C B A B C
❖ 得到
{S r • S r }E0 n 2E0 0
即
S r • S r n 2 程函方程
或 S 2 n 2， S(r ) n r
或
S r
eR
❖ 即光线前进时，向折射率高的一侧弯曲。
n’ n dr/ds
n’ >n
例3：光线在圆柱体中的传播
z
光线方程：d ds
n(r)
dr ds
n(r)
r
0
光线方程在圆柱坐标中可分解成三个标量方程：
设折射率分布横截面为中心对称分布，纵向不变，则：
dn /d =0, dn /dz =0
D
•电场是有源的
光纤中不存在电流和自由电荷，则有： D 0, J 0
2．电磁波的波动现象
❖ 电场和磁场之间就这样互相激发，互相支持。 ❖ 光在光导纤维中的传播，正是电磁波的一种
传播现象。 ❖ 在光纤中传播的电磁场满足边界条件：磁场
与电场的切向和法向分量均连续，即：
E1t E2t H1t H 2t B1n B2n D1n D2n
dn
ds
❖ 据其微大分小几就何是，路等径式曲左线侧的曲dds率。ddsr 是光线路径的曲率矢量，
❖ 令曲率矢量为：K
d 2r ds 2
1
R
eR
K
1
R
R是曲率半径，eR 是曲线主法线方向
❖ 代入光线方程展开式：
❖ 用 n 乘 K 有:
K
1
n
er
dnr
相面确定光线轨迹。
2、射线方程
r ：光线传播路径S上某点的矢径
dr/ds:传播路径切线方向上单位矢量,
根据相位梯度的定义，矢量dr/ds方向与相位梯度方向
一致，大小等于： dr ds
S r S r
z dr/ds
由程函方程 S(r ) n r
dr
Hx的解答式 （5）根据电场和磁场的横向分量可用麦氏方程求出
轴向场分量EZ、HZ的解答式
二、矢量解法
1、理论计算的三大步骤：
①、利用圆柱坐标系（r,φ,z）中的亥姆霍兹方程求 出Ez、Hz
②、由Ez和Hz利用麦克斯韦方程组求出Er、Eφ、Hr、 Hφ
❖ 亥姆霍兹方程+边界条件可求出波导中光波场的 场分布。
❖ 用波动理论研究光纤中的电磁波行为，通常有两 种解法：
▪ 矢量解法
▪ 标量解法。
❖ 矢量解法是一种严格的传统解法，求满足边界条 件的波动方程的解。
❖ 标量解法是将光纤中传输的电磁波近似看成是与 光纤轴线平行的，在此基础上推导出光纤中的场 方程、特征方程并在此基础上分析标量模的特性。
Q r E0 r
0 k0
H0 r
0 00
H0 r
H0 r
❖ 由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理，得到：
r E0 H0
r H0
n2
E0
（2.2a） （2.2b）
r • E0 0
（2.2c）
平面波在任意方向传输的波函数：
Er ,t E0(r )exp it k • r
相位因子 k • r nk0 • r
▪ 波函数略去时间因子
k
0
00，n
0
Er ,t E0(r )exp it k0S(r )
[ik0e ik0S r S r E0 r E0 r e ik0S r ]e it
0
k0
ik0S r
e E0 r i[t k0S r ]
k0S r E0 r 0H0 r
3．简谐时变场的波动方程—— 亥姆霍兹方程
❖ 光在光波导中传播应满足的亥姆霍兹方程式：
2E(x, y, z) k 2E(x, y, z) 0 2H (x, y, z) k 2H (x, y, z) 0
书P3（1.2-8）式
❖ 其中k＝k0n为折射率为n的介质中的传播常数 （也叫波数）。k0为真空中的波数。
dr
dr ds
dn
ds
nK
er
dnr
dr
dr ds
dn ds
n r
dr ds
dn ds
❖ 上式表明折射率梯度矢量位于光线的切面内
n’ n
eR
n’ >n
dr/ds
❖ 重写曲率矢量和光线方程展开式：
K
d 2r ds 2
1
R
eR
nK
er
dnr
dr
dr ds
dn ds
r • H0 0
❖ 三个矢量正交，相位梯度与 ❖ 波面法线方向一致。
（2.2d）
E 相位梯度
H
❖ 利用光线理论的几何光学近似条件：
0,k0
❖ 将（2.2a）代入（2.2b） ❖ 得到
S r {S r E0} n 2E0 0
利用矢量恒等式
射线方程
折射率梯度
射线方程是矢量方程，表示光线向折射率大的方向弯曲。 一旦给出折射率分布n(r)，就可求出光线轨迹r的表达式。
例1：光线在均匀媒质中的传播（如阶跃型光纤的纤心中）
d 射线方程：ds
n(r)
dr ds
n(r)
a
s
因 n = 常数
改写成：
d 2r n ds 2 0
同理：
H r ,t H 0(r )exp it k0S(r )
由麦克斯韦方程推导程函方程:
▪ 由： E i0H
▪ 等式左边：
E {E0 e r i[t k0S r ]}
[e ik0S r E0 r E0 r e ik0S r ]e it
3．简谐时变场的波动方程—— 亥姆霍兹方程
➢ 分离电磁矢量得到只与E或H有关的矢量波动方程
➢ 利用光纤介电常数变化极为缓慢的条件简化方程 为标量波动方程
➢ 设光纤中传播的电磁场随时间作简谐变化，分离 时空坐标，得到的波动方程就称为亥姆霍兹 （Helmholtz
➢ 推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、 均匀、各向同性而且电磁场是简谐的。
0
（ 2.5c）
设 x 0，y 0 为入射点， L0 ,M 0 , N0 为入射点方向余弦，
n0 为入射点折射率。
由上三式得光线轨迹（路径与z 的关系）：
z
r
N 0dr
r0
n(r) n0
2
1
r0 r
2
x 0M 0 y 0L0 2 r02
dr ds
S r
式2.3
S r
n(r)
S
r
S r 2
n(r)
n(r)2
n(r)
n(r)
故对
S
求导式为： d ds
n(r)
dr ds
n(r) （2.4)
切线方向上的单位 光程沿路径变化率
❖ 得到
t2(x ,y ) 2(x ,y ) 0
❖
————即光纤中的波导场方程
❖ 其中：横向拉普拉斯算符 横向传播常数
2 t
2
2 z 2
纵向传播常数
2 n2k02 2 nk0 cosz
波矢与z轴的夹角
3．标量波导场方程解的推导思路
（1）首先求出横向场Ey的亥姆霍兹方程 （2）将其在圆柱坐标系中展开 （3）用分离变量法求解横向场Ey （4）根据麦氏方程中E和H的关系可得出横向磁场
2.1 麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
1．电磁场的基本方程式 2．电磁波的波动现象 3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程
1．电磁场的基本方程式
❖ 麦克斯韦方程式的微分形式
H
D t
J
•时变磁场可以产生时变电场
E B t
B 0
•时变电场可以产生时变磁场 •磁场是无源的