镜像法与电轴法(静电场)复习过程
合集下载
4镜像法和电轴法
考虑如图b，在导体平面下方h处放点电荷-q，
并撤去导体，整个空间充满介质的情况
14
q
P
h
qr
P r’ 单一介质！
h
h
-q
(图b)
(图a)
结论：
P
q 4 r
q 4 r
1. 图a中电介质中的电场分布可用图b计算； 2. -q 为镜像电荷，它代替了分布在导电平板上的负值 感应电荷的作用； 3. 用镜像法要注意有效范围： 4. 镜像电荷必须放在有效范围之外。
b
=0
n n x Dn sin y (x,y) = Bn sh b b n 1
n 1
5
1.5.1直角坐标系中的分离变量法
例一、长直金属槽如图.三边接地,另一边电位为V0,求槽内电位分布. 解： ▽
2
b |(y=0,0<x<a)= 0 =V0 =0 |(x=a,0<y<b) = V0 x =0 n n 0 a x Dn sin y (x,y) = Bn sh b b n 1 na ny 由边界条件4 ： Bn Dn sh b sin b V0 n 1 b b na ny my my 数学处理： Bn Dn sh sin sin dy V0 sin dy 0 0 b b b b n 1
BnDn sh (na/b ) =
|(x=0,0<y<b) =0 |(y=b,0<x<a)= 0
2 2 2 =0 2 x y
金属槽内
y
=0
4V0/ n 0
n为奇数
n为偶数
6
电动力学二四(镜象法)
25
物理结果讨论： 物理结果讨论：
Q(Q0 − Q′) QQ′ 4πε0F = + 2 2 a (a − b) QQ Q R 2a − R 0 = 2 − 3 2 a a a −R
2
(
3 0
(
2
2 0 2 2 0
)
)
过渡到点 电荷相互 作用模型
R0 →0
吸引力， 吸引力， 趋于消失
26
QQ Q R 2a − R 0 4πε0F = 2 − 3 2 a a a −R
2
(
3 0
(
2
2 0 2 2 0
)
)
吸引力起主要作用 数值大于第一项） （数值大于第一项） 即使Q 即使Q和Q0同号 只要Q ，只要Q距球面足 够近， 够近，就受到导体 的吸引力。 的吸引力。
a→ R0
原因： 原因：虽然整个导 体的电荷与Q 体的电荷与Q同号 但在靠近Q ，但在靠近Q的球 面部分出现异号电 荷。从而相互吸引 起主要作用。 起主要作用。
可以看出，引入象电荷取代感应电荷， 可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是 一种求解泊松方程的简洁方法。 一种求解泊松方程的简洁方法。
13
真空中有一半径为R 例2 真空中有一半径为R0的接 地导体球，距球心为a 地导体球，距球心为a（a>R0） 处有一点电荷Q，求空间各点的电 处有一点电荷Q 势（如图）。 如图）。
8
解
电荷： 电荷：一个点电荷 界面： 界面：接地无穷大导体 区域：上半空间（下半空间电势为零） 区域：上半空间（下半空间电势为零）
已知界面电势为零， 已知界面电势为零，满足唯一性定理 的要求，可以确定电势。 的要求，可以确定电势。
9
4镜像法和电轴法
r ( x + b) + y = = K2 2 ( x b)2 + y2 r+
2 2 2
+τ x
K2 +1 2 2bK 2 2 ) (x 2 b) + y = ( 2 K 1 K 1
则等位线为若干圆，设圆心到原点的距离为d，圆半径为R 则等位线为若干圆，设圆心到原点的距离为 ，圆半径为
K2 + 1 d= 2 b K 1
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 注意确定等效电轴的位置。 等效电轴的位置 注意确定等效电轴的位置。
设圆柱导体的半径为a，两圆心距离为 ，两等效电轴的距离为2b 设圆柱导体的半径为 ，两圆心距离为2h，两等效电轴的距离为
a
-τ 0 P’ 2b U0 D
x
9
不同半径)外部的电场 四、两长直平行带电圆柱导体(不同半径 外部的电场： 两长直平行带电圆柱导体 不同半径 外部的电场：
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 注意确定等效电轴的位置。 注意确定等效电轴的位置。 等效电轴的位置
导体内部 的电场？ 的电场？
a2+b2 =h2
y -τ a -τ
r_ r+
若取y轴电位为 ， 若取 轴电位为0， 轴电位为 则圆柱导体外任一点 的电位为 的电位为: 则圆柱导体外任一点P的电位为
P(x, y) + +τ τ x
r τ ln P = 2πε r+
0 2b
2h
8
例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为 尺寸如图， 例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为U0，尺寸如图，求导体 及导体外任意点P的电位 的电位。 轴向单位长度电荷量τ及导体外任意点 的电位。 解：用电轴法
2 2 2
+τ x
K2 +1 2 2bK 2 2 ) (x 2 b) + y = ( 2 K 1 K 1
则等位线为若干圆，设圆心到原点的距离为d，圆半径为R 则等位线为若干圆，设圆心到原点的距离为 ，圆半径为
K2 + 1 d= 2 b K 1
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 注意确定等效电轴的位置。 等效电轴的位置 注意确定等效电轴的位置。
设圆柱导体的半径为a，两圆心距离为 ，两等效电轴的距离为2b 设圆柱导体的半径为 ，两圆心距离为2h，两等效电轴的距离为
a
-τ 0 P’ 2b U0 D
x
9
不同半径)外部的电场 四、两长直平行带电圆柱导体(不同半径 外部的电场： 两长直平行带电圆柱导体 不同半径 外部的电场：
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 注意确定等效电轴的位置。 注意确定等效电轴的位置。 等效电轴的位置
导体内部 的电场？ 的电场？
a2+b2 =h2
y -τ a -τ
r_ r+
若取y轴电位为 ， 若取 轴电位为0， 轴电位为 则圆柱导体外任一点 的电位为 的电位为: 则圆柱导体外任一点P的电位为
P(x, y) + +τ τ x
r τ ln P = 2πε r+
0 2b
2h
8
例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为 尺寸如图， 例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为U0，尺寸如图，求导体 及导体外任意点P的电位 的电位。 轴向单位长度电荷量τ及导体外任意点 的电位。 解：用电轴法
电动力学--镜像法复习过程
0 (R R 0)
1
(Ra/R0)2R022Racos
12
Q [
1
R 0 /a
]
40 R 2 a 2 2 R a c o s R 2 R 0 4 /a 2 2 R R 0 2 c o s/a
（3）讨论：
P
① 球面感应电荷分布
Rr r
0
R
Q
a2R02
RR0 4R0(a2R022R0acos)3/2
15
（5）若导体球不接地，且带上自由电荷 Q 0
若导体球不接地，且带上自由电荷 ，Q 0导体上总电荷为 ，Q此0
时要保持导体为等势体， 也Q 应0 均匀分布在球面上。
2
Q Q0 40R 40R
（6）导体球不接地而带自由电荷Q 0时 Q所受到的作用力
可以看作 Q 与Q 及位于球心处的等效电荷Q0 Q 的作用力之和
设电量为 Q ，位置为（0，0，a ）
1[
Q
Q ]
40 x 2 y 2 (z a )2 x 2 y 2 (z a )2
3
1[
Q
Q ]
40 x 2 y 2 (z a )2 x 2 y 2 (z a )2
由边界条件确定 Q 、a 和
0 z0
Q Q ]
x2y2a2
x2y2a2
Q/
P
r
r
（4）若导体不接地
若导体不接地，可视为Q 分布在导体面上。不接地导体已为
等势体，加上Q 还要使导体为等势体，Q 必须均匀分布在球面上。
这时导体球上总电量 QQ0 （因为均匀分布球面上可使导体
产生的电势等效于在球心的点电荷产生的电势）
1
Q
40R
等效电荷一般是点电荷组或一个带电体系， 而不一定就是一个点电荷。
电磁场理论第10讲-镜像法与电轴法
电轴法
∇2ϕ = 0 导线以外的空间
ϕ surface A = constant
∫
D ⋅ dS = −τ
S
ϕ
surface
B=
constant
∫
D ⋅ dS = −τ
S
长直平行圆柱导体传输线
两两根根细细导导线线产产生生的的电电场场
∫ ϕ1 =
Q ρ1
τ 2πε
0
ρ
dρ
=
−
τ 2πε 0
ln
ρ1
+
平面导体上电荷的场 平面导体的镜像
平面导体上电荷的场边值问题
∇
2ϕ
=
0
ϕ = 0
∫
D ⋅ dS
s
=
q
除点电荷之外区域 平面导体和无穷远 S为包围点电荷面积
上半区域场边值问题
∇
2ϕ
=
0
除 点电荷之外的区域
ϕ
=
q 4πε 0 r
−
q 4πε 0 r
= 0 平面导体和无穷远
∫
D ⋅ dS
s
=
q
S为包围点电荷面积
b = h2 − a2
圆柱导线间电场和电位
E
P
=
τ 2πε 0
(1 ρ1
eρ1
−
1 ρ2
eρ2 )
ϕ p
=
τ 2πε 0
ln
ρ2 ρ1
（以y轴为电位为参考点）
已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带 电长直圆柱导体。试决定电轴位置。
解：
b 2 b 2
= =
h12 h22
− −
a12
a
电磁场 镜像法与电轴法(完美解析)
r
球面
0
设镜像电荷 q '如图，球面电位
q q' p 0 4 π 0 r1 4 π 0 r2
r1 d 2 R 2 2 Rd cos
2
图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像
r2 b 2 R 2 2 Rb cos
2
返 回
上 页
下 页
第 一 章
qh p＝Dn 0 E 2 π(h 2 x 2 ) 3 / 2
地面上感应电荷的总量为 qh S p dS 0 2π(h2 x 2 )3/ 2 2πxdx
q
图1.7.2 地面电荷分布
返 回 上 页 下 页
第 一 章
静 电 场
2. 球面导体的镜像 点电荷位于接地导体球外的边值问题 （除q点外的空间) 2 0
q q' q' ' sin sin sin 2 2 2 4πr 4πr 4πr
2 2 1 2 q 解得 q ' q 和 q' ' 1 2 返 回 1 2
上 页
下 页
第 一 章
静 电 场
思考
1 中的电场由 q 与 q’ 共同产生，q’
等效替代极化电荷的影响。
球面电位
q ＝ 4 π 0 d
图1.7.7 点电荷位于不接地导体 球附近的场图
返 回
上 页
下 页
第 一 章
静 电 场
3. 不同介质分界面的镜像
图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像
根据惟一性定理
E1t E2 t
D1n D2n
q q' q' ' cos cos cos 2 2 2 4π1r 4π1r 4π 2 r
镜像法电轴法电容部分电容静电能量与力副本.pptx
上页 下页
P
1
2
20
ln
2 1
C
以 y 轴为参考电位
P
20
ln
2 1
20
ln
( x b)2 y2 ( x b)2 y2
令：P 常 数，等位线方程
( x b)2 y2 K 2 ( x b)2 y2
( x K 2 1b)2 y2 ( 2bK )2
K2 1
K2 1
第26页/共83页
2 0
思路
边值问题
S U0
导体球外（除q点）空间：
S
D dS
Q
D dS q
S
S U0
+Q
Q
4R
Q 4πεRU0 Q q
第13页/共83页
上页 下页
讨论 4.点电荷q 在不带电的金属球壳内的镜像。
思路
边值问题
导体球内（除q点）空间：
2 0
C
S
S D dS q
q
-q
q S 4R
3. 部分（分布）电容（Distributed Capacitance)
对于多导体系统，每两个导体上的电压受到所有导体上 电荷的影响，这时系统中导体电荷与导体电压的关系不能 仅用一个电容来表示而需引入部分电容的概念。
三导体静电独立系统
第42页/共83页
上页 下页
讨论前提
多导体系统
电位系数
静电独立系统 线性系统
q
41r 2
cos
q'
41r 2
cosBiblioteka q''42r 2
cos
q
4r 2
sin
q'
镜像法与电轴法
电工基础教研室金钊
21
二、电轴法
2. 电轴法 例4. 自由空间，相同半径的平行导体圆柱的情况。
导体圆柱外部
y
0
2
导体圆柱表面
R0
o
R0
0 l n dl
x
圆柱面 C
2016/10/29 电工基础教研室金钊
d
d
22
二、电轴法
2. 电轴法 例4. 自由空间，相同半径的平行导体圆柱的情况。
a b h
2 2
2
y
R0
b
d
R0
b
o
b
d
R0
x
R b d
2 0 2
2016/10/29
2
d
电工基础教研室金钊
23
二、电轴法
2. 电轴法 例5. 自由空间，不同半径的平行导体圆柱的情况。
a b h
2 2
2
y
R b h
2 1 2 2 2 2
2 1 2 2
P( x, y, z)
I 0 除点 (0,0, d ) 外 I r a 0
2
I r 0
球内(r <a)：
a o
q
(0,0, d )
z
II 0
2
II r a 0
II r 0
2016/10/29 电工基础教研室金钊 6
一、镜像法
例2. 自由空间，接地导体球与点电荷。
r1 x 2 y 2 ( z d )2 r2 x y ( z d )
2 2 2
P( x, y, z)
1 12
用镜像法求解静电场
2) 在求解区域之外引入象电荷取代感应电 荷，保持求解区域电荷分布不变；
3) 引入镜象电荷，不改变求解区域边值关 系和边界条件。
2、与分离变量法比较 共同点：
1) 两种方法都是根据边值关系和边 界条件进行求解；
2) 可解的条件都是唯一性定理所要 求的分区均匀介质和边界条件。
不同点：
分离变量法
镜象法
Q’和a如何确定？
0
Q Q
z 0
x 2 y 2 a 2
x 2 y 2 a 2
QQ, aa 舍去正号解？
Q
1
1
[
]
40 x2y2 (z a )2 x2y2 (z a )2
接地导
Q
体外有
一点电
荷的电
势分布
图
例2 真空中有一半径为R0的接地导体 球，距球心为a（a>R0）处有一点电 荷Q，求空间各点的电势（如图）。
分离变量求解拉普拉斯方程
唯一性定理给出静电场可以唯一 从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
② 球面感应电荷分布 （5）若导体不接地，导体上带上自由电荷，又如何分析？
接地导体外有一点电荷的电势分布图
求解的条件。 这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。
导体球接地后，感应电荷总量不为零？ 从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
求解区域没有（或 求解区域有一个
电荷分布 者经过变换没有） 或者几个自由点
自由电荷分布
电荷
具体方法
分离变量求解拉 普拉斯方程
求解区域之外引入 象电荷取代感应电
荷
者电势法向导数唯一地确定。 （4）若导体不接地，电势不为零，
3) 引入镜象电荷，不改变求解区域边值关 系和边界条件。
2、与分离变量法比较 共同点：
1) 两种方法都是根据边值关系和边 界条件进行求解；
2) 可解的条件都是唯一性定理所要 求的分区均匀介质和边界条件。
不同点：
分离变量法
镜象法
Q’和a如何确定？
0
Q Q
z 0
x 2 y 2 a 2
x 2 y 2 a 2
QQ, aa 舍去正号解？
Q
1
1
[
]
40 x2y2 (z a )2 x2y2 (z a )2
接地导
Q
体外有
一点电
荷的电
势分布
图
例2 真空中有一半径为R0的接地导体 球，距球心为a（a>R0）处有一点电 荷Q，求空间各点的电势（如图）。
分离变量求解拉普拉斯方程
唯一性定理给出静电场可以唯一 从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
② 球面感应电荷分布 （5）若导体不接地，导体上带上自由电荷，又如何分析？
接地导体外有一点电荷的电势分布图
求解的条件。 这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。
导体球接地后，感应电荷总量不为零？ 从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
求解区域没有（或 求解区域有一个
电荷分布 者经过变换没有） 或者几个自由点
自由电荷分布
电荷
具体方法
分离变量求解拉 普拉斯方程
求解区域之外引入 象电荷取代感应电
荷
者电势法向导数唯一地确定。 （4）若导体不接地，电势不为零，
镜像法与电轴法
r 0
p r2 +q' R
o
r r1 q
任一点电位及电场强度为：
接地球壳，点电荷在球壳 内部，如何布置镜像电荷
b -q' d
1 q q q ( ) 4π 0 r r1 r2 q 1 R R ( ) 4π 0 r dr1 dr2
E
q 1 R R ( er 2 er1 2 er2 ) 4π 0 r 2 dr1 dr2
s
0
dS q n
+q
Q1:若板厚度变化， 求解区域场的解答 是否发生变化？为 什么？
+q
vacuum
1. Where to put the image charges? 2. How? (location and amplitude)
conductor
+q
上半区域场边值问题
Q2:若板中存在空腔， 求解区域场解答是 否发生变化？为什 么？
5V
正电位区域
-3 V
负电位区域
Double check the BVP 1. Equation? 2. Boundary?
等位线与电力线分布图
已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带 电长直圆柱导体。试决定电轴位置。
试确定图示偏心电缆的电轴位置
2 b 2 h12 a1 2 2 2 b h2 a 2 d h h 1 2 确定b, h1 , h2
两导线系统的等电 位线是圆心在x轴 上的一系列圆
对称轴 ＝ 0
试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布 建立坐标系，确定电轴位置 解：
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
第二章 静电场及其解法2_镜像、分量
镜像法镜像法分离变量法分离变量法复变函数法格林函数法静电场问题的常用解法适用范围原理思想使用方法步骤2424原理在所研究的区域以外的适当位置上用一些虚设的电荷等效替代导体表面的感应电荷和边界的影响将原来具有边界的空间变成同一媒质的无限大空间从而使计算大大简化
静电场问题的常用解法
镜像法 分离变量法 复变函数法 格林函数法
另法：在极坐标系下讨论
点电荷——不接地导体球面
等位面电位不为零；
导体球总的感应电荷为零
ε
a
先设想导体球接地（同上例）， 则导体球面电位为0，且存在总 电量为q’的感应电荷；可以上例 相同电量和位置的镜像电荷取代。
d’
q’
d
q
再考虑断开接地线的情形：须 保证球面总电量为0，即将-q’加 于导体球面上；还须保证球面为 等位面，即-q’应均匀分布于导体 球面上。这样就可以在球心虚设 一个镜像电荷-q’。
点电荷—无限大导体平面
z +q
x
-q
线电荷——无限大导体平面
z +ρ
x
-ρ
点电荷——相交半无限大导体平面
y B
a
b
+q
C
R1 R3 q 1 1 1 1 4 R R R R 2 3 4 1
x
n 平面可看作n 1的情形，则N 1 时，共有N 2n 1个镜像电荷
x, y A0 x B0 C 0 y D0 An cosk n x Bn sin k n x C n ch k n y Dn sh k n y
n 1
可见：通解函数的选择取决于边界条件；待 定系数的确定亦取决于边界条件。
静电场问题的常用解法
镜像法 分离变量法 复变函数法 格林函数法
另法：在极坐标系下讨论
点电荷——不接地导体球面
等位面电位不为零；
导体球总的感应电荷为零
ε
a
先设想导体球接地（同上例）， 则导体球面电位为0，且存在总 电量为q’的感应电荷；可以上例 相同电量和位置的镜像电荷取代。
d’
q’
d
q
再考虑断开接地线的情形：须 保证球面总电量为0，即将-q’加 于导体球面上；还须保证球面为 等位面，即-q’应均匀分布于导体 球面上。这样就可以在球心虚设 一个镜像电荷-q’。
点电荷—无限大导体平面
z +q
x
-q
线电荷——无限大导体平面
z +ρ
x
-ρ
点电荷——相交半无限大导体平面
y B
a
b
+q
C
R1 R3 q 1 1 1 1 4 R R R R 2 3 4 1
x
n 平面可看作n 1的情形，则N 1 时，共有N 2n 1个镜像电荷
x, y A0 x B0 C 0 y D0 An cosk n x Bn sin k n x C n ch k n y Dn sh k n y
n 1
可见：通解函数的选择取决于边界条件；待 定系数的确定亦取决于边界条件。
静电场4-静电场的解(镜像法+场图)(1)
v∫⎪⎪ϕ
⎪⎪ ⎨
SA SA
= con D ⋅dS
st1
=τ
l
⎪⎪ϕ SB = const 2
v∫⎪
⎪⎩ SB
D
⋅ dS
=
−τ l
两导电圆柱形传输线
圆柱的镜像—电轴法
镜像法的思路：假定导体圆柱能够用线电荷等效，设 法依据“三不变”原则确定它的位置和大小。
预问题1：单根电轴的电场与电位。
E = τ eρ
电荷与镜像关于球 面反演。
球内是两个电荷作 用的叠加；球外电 位与电场都为0。
点电荷对球面导体的镜像
d.在问题c中，球壳不接地，求球壳内外的电位及电 场分布。
球内电场分布不变，但电位被抬高；球外的场相 当于电荷位于球心的作用。
镜像法
(4) 导电圆柱之间的镜像——电轴法
边值问题：
⎧∇ 2ϕ = 0 （导线以外空间）
• 镜像法只能解决一些特殊的边值问题。更一般的边值 问题的求解方法，包括解析法和数值法，下节讨论。
作业：
3.18, 3.24, 3.27
选做有奖题：能否用镜像法分析
两个带电导体球之间的电场？给出 详细分析论证。（满分2分）
一些典型的场图
方芯圆壳偏心电缆电 位分布与电力线分布
静电场场图
• 导体表面是等位面； • 两导体之间，等位面
ρ22 = a12 + (h1 + b)2 − 2a1(h1 + b) cosθ
ϕP
=
τ 2πε 0
ln
ρ2 ρ1
=const
⇒
ρ
2 2
=
k 2 ρ12
电轴法
⇒ a12 + (h1 + b)2 − 2a1(h1 + b) cosθ
镜像法电轴法电容部分电容静电能量与力副本
P
1
2
20
ln
2 1
C
以 y 轴为参考电位
P
20
ln
2 1
20
ln
( x b)2 y2 ( x b)2 y2
令：P 常 数，等位线方程
( x b)2 y2 K 2 ( x b)2 y2
( x K 2 1b)2 y2 ( 2bK )2
S
S U0
+Q
Q
4R
Q 4πεRU0 Q q
上页 下页
讨论 4.点电荷q 在不带电的金属球壳内的镜像。
思路 边值问题
导体球内（除q点）空间：
2SC0
S D dS q
q
-q
q S 4R
b d
b
R2 d
q
R d
q
上页 下页
讨论 5.求图示问题的镜q 像电荷的位置和大小。
思路 边值问题
球外任一点P 的电位与电场为
球外的电场计算
p
q
4
球外的电场分布
EP
q
40r12
er1
qR
40dr22
er2
上页 下页
讨论 1.点电荷q 对不接地金属球的镜像。
思路 边值问题
导体球外（除q点）空间：
2 0
S C
D dS 0
球S
D dS q
S
上页 下页
导体球零电位
E E E
垂直地面的电场分量
E
2
q cos 40r 2
qh
20 (h2
x2 )3/2
地面电荷分布
p＝Dn
0 E
2
qh (h2 x2 )3/2
电磁场 镜像法与电轴法(完美解析)
镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区
域。叠加时，要注意场的适用区域。
返 回
上 页
下 页
镜像电荷放在当前求解的场域外。 镜像电荷等于负的感应电荷总量。
图1.7.5 球外的电场分布
返 回 上 页 下 页
第 一 章
静 电 场
例1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。 解： 边值问题 （除q点外的空间) 2 0
S const
思路
D dS 0
S
球面等位（ q ' 位于球心） 通量为零（ q' , - q'大小相等）
2中的电场由 q” 决定，q” 等效替
代自由电荷与极化电荷的作用。
图1.7.10 电场分布图
返 回
上 页
下 页
第 一 章
静 电 场
1.7.2 电轴法（Electric Axis Method）
边值问题
0 (导线以外的空间)
2
导体A
const
S
D dS , 电荷分布不均匀
d 2 2 b ( ) a 2
设电轴线电荷 ，任一点电位 2 ln 2π 0 1
b (h a) b (h a) U0 ln ln 2π 0 b (h a) b (h a)
U0 ln 所以 b (h a) 2 ln b (h a)
静 电 场
将 r1, r2 代入方程
qr2 q' r1 0 ，得
[q 2 (b 2 R 2 ) q'2 (d 2 R 2 )] 2R(q'2 d q 2b) cos 0
域。叠加时，要注意场的适用区域。
返 回
上 页
下 页
镜像电荷放在当前求解的场域外。 镜像电荷等于负的感应电荷总量。
图1.7.5 球外的电场分布
返 回 上 页 下 页
第 一 章
静 电 场
例1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。 解： 边值问题 （除q点外的空间) 2 0
S const
思路
D dS 0
S
球面等位（ q ' 位于球心） 通量为零（ q' , - q'大小相等）
2中的电场由 q” 决定，q” 等效替
代自由电荷与极化电荷的作用。
图1.7.10 电场分布图
返 回
上 页
下 页
第 一 章
静 电 场
1.7.2 电轴法（Electric Axis Method）
边值问题
0 (导线以外的空间)
2
导体A
const
S
D dS , 电荷分布不均匀
d 2 2 b ( ) a 2
设电轴线电荷 ，任一点电位 2 ln 2π 0 1
b (h a) b (h a) U0 ln ln 2π 0 b (h a) b (h a)
U0 ln 所以 b (h a) 2 ln b (h a)
静 电 场
将 r1, r2 代入方程
qr2 q' r1 0 ，得
[q 2 (b 2 R 2 ) q'2 (d 2 R 2 )] 2R(q'2 d q 2b) cos 0
4.3 镜像法1
表面吻合。
总结：
（1）镜像电荷与原电荷异号。 可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表 面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量 应该等于这些感应电荷的总电量。
（2）用镜像电荷等效感应电荷后，不改变原来的电场分布，即原电力线
和等位线分布不变。 （3）镜像法只适用于不包括镜像电荷所在的区域，如本题为导体上 方。 半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为 在上半空间中，源及边界条件未变。
1
思考题： （1）若导体球不接地，求球外的电场分布。 （2）若将点电荷放置在接地导体球形空腔内，距球心d2处，求 空腔内的电场。
若导体球不接地，则位于点电荷一侧的导
P a r 2 o d q
2
r1
体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面
q
上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应 电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球， 若引入上述的镜像电荷 q‘ 后，为了满足电荷守
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得
s 0 Ez 0 z
h z z 0
q q
2
qh 2 x y h
2 2
3
2
dS q
s
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
部分完全相同。
z
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
解：由镜像法可得，l1的镜像电荷 a 位于l 2的反演点 d2 处。 d d
2 2 1
P a r2
r1 P2 d1
l 1
线电荷 l1 产生电位为： 1 1 l1 ln 2 0 r1
镜像法与电轴法(静电场)复习过程共36页
镜像法与电轴法(静电场)复习过程
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
ห้องสมุดไป่ตู้
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
ห้องสมุดไป่ตู้
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
进阶学习 镜像法 梯度 唯一性 静 电 场
图1.2.2
电偶极子
用二项式展开，又有
，得 r >> d
r1 = r −
代入上式，得
d cosθ 2
r2 = r +
d cosθ 2
ϕ
p
qd cos θ p ⋅er = = 2 4 πε 0 r 4 πε 0 r 2
p 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线
E p = −∇ ϕ =
例2
计算电偶极子的电场 (r>>d)。
(r,θ,φ)
r1 r2
在球坐标系中：
1 1 q r2 − r1 ϕp = ( − )= 4πε 0 r1 r2 4πε 0 r1 r2 q
13
1 1 d2 d2 r1 = ( r 2 + − rd cos θ ) 2 ，r2 = ( r 2 + + rd cos θ ) 2 4 4
F q Ep( r ) = = e 2 r qt 4πε0r
V/m
4πε 0 r − r' q eR = 2 4πε 0 R
图2.1.2 点电荷的电场
=
q( r − r' )
3
V/m
b) n个点电荷产生的电场强度 (矢量叠加)
E( r ) =
c)
1 4 πε
0 k =1
∑
N
qk r − rk '
2
2.2.1 静电场的无旋性 1. 静电场旋度 点 电 荷
7
E(r ) =
∇ × E( r ) =
q 4 πε
q 4 πε 0
0
⋅
r − r' r − r'
第二章 静电场 镜像法
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson’s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
2 0 (r 2 a 2 )3/ 2
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。
（c）Q与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力
F
Q2
40r 2
(R2
R04 a2
R0 a 2R R02
a
1
cos ) 2
R0 R
a
(R R0 )
再由
内 RR0
外 RR0
得到
内
Q
4 0R0
Q
4 0a
b)导体球不接地其电势为U0 这种情况与例3的差别仍然在边界条件，这里
内 RR0 U0
U0 是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心 处放置了电量为 4 0U0R0 的点电荷，显然，其解为
解：先考虑介质1 中的电势，设想将下半空间换成 与上半空间一样，并在z=-a处有Q的像电荷Q' 来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。 则在Z>0的区域，空间一点的电势为
`1
1
4 1
(Q r
Q) r
(1)
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson’s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
2 0 (r 2 a 2 )3/ 2
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。
（c）Q与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力
F
Q2
40r 2
(R2
R04 a2
R0 a 2R R02
a
1
cos ) 2
R0 R
a
(R R0 )
再由
内 RR0
外 RR0
得到
内
Q
4 0R0
Q
4 0a
b)导体球不接地其电势为U0 这种情况与例3的差别仍然在边界条件，这里
内 RR0 U0
U0 是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心 处放置了电量为 4 0U0R0 的点电荷，显然，其解为
解：先考虑介质1 中的电势，设想将下半空间换成 与上半空间一样，并在z=-a处有Q的像电荷Q' 来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。 则在Z>0的区域，空间一点的电势为
`1
1
4 1
(Q r
Q) r
(1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(ln b
ln
1 )
2
b 2
d 2 0
2π 0
(ln
b
ln
2 )
P
1 2
2π 0
ln
2 1
2π 0
ln
(x b)2 y2 (x b)2 y2
若 p
2 0
ln( 2 1
)
2 0
ln(K )
常数
则
( (
x x
b) b)
2 2
y2 y2
K2
等位线方程为：
(x K 2 1b)2 y2 ( 2bK )2
E
2 2 r
er
2 2 r
(x r
ex
y
h r
ey )
160 162 800
(x r2
ex
yh r2
ey )
x
yh
810 ( x2 ( y h)2 ex x2 ( y h)2 ey )
电轴法工程背景
两根等量异号线电荷的电场
以原点o为参考点，则
1
b 1
d 2 0
2π 0
cos
q
4 r2
sin
q'
4 r2
sin
q ''
4 r2
sin
q' q'
1 2 1 2
' 2 2 1 2
q q
1中的电场是由q与q’共同产生，其有效区在上
半空间，q’是等效替代极化电荷的影响。
2中的电场是q”由决定，其有效区在下半空间，
q”是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。
q'' q q' q 1 2 q 22 q 2 1 2 1
r
0
球外空间（除q点外）
0
导球面 0
设置-q’放置在球内（无效区），使 其等效球壳上的感应电荷，对照两 种情况下的边值问题，关键问题是 确定等效电荷的量值大小和位置。
p 0
点电荷对接地球的镜像
p
q
4π 0r1
q'
4π 0r2
0
r1 d 2 R2 2Rd cos r2 b2 R2 2Rb cos
镜像法与电轴法
镜像法基本思路
首先把原来具有边界的场域空间 看成是一个无限大的均匀空间，然后 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界 面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、 大小与位置使场的解答满足唯一性定 理。虚设电荷一般位于镜像位置，故 称镜像法。
接地导体平面上电荷的场边值问题
2 0 点电荷之外区域
0
平面导体和无穷远
接地导体平面上电荷的场
上半区域场边值问题
点电荷的镜像
2 0
点电荷之外区域
q
4 0 r
q
4 0 r
0
导体平面 和无穷远
注意： 1、有效区域：用镜像求得的解答只对上半空 间才是正确的，因为它符合唯一性定理的要求。 2、镜像法特点：将计算场域不均匀空间转化 为均匀空间，降低了问题求解难度。
求图示1与2
区域的电场强 度，确定镜像 电荷的个数、 大小与位置。
例3-1 离河面高度为h处，有一输电线经过，导 线单位长度的电荷量为τ，且导线半径远小于h。 设河水的介电常数为80ε0，求水中的电场强度。
解：由于导线半径远小于h，所以可将导线表面电荷视
为集中到几何轴线上的线电荷，镜像电荷为：
22 160 1 2 81
两根输电线表面的电位为：
当h>>a，b
1
≈h时：
2
2 0
ln
b (h a) b (h a)
1
2 0
ln
2h a
2 01
ln 2h
,p
1
ln 2h
ln
2 1
a
a
已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带 电长直圆柱导体,试决定电轴位置。
b2 b2
h12 h22
a12 a22
d h1 h2
K 2 1
K 2 1
圆心坐标(h,0) h K 2 1 b K 2 1
圆半径 a
2bK K2 1
a、h、b三者之间的关系满足
a2 b2 ( 2bK )2 b2 ( K 2 1b)2 h2
K2 1
K2 1
＝0
负电位区域
正电位区域
等位线与电力线分布图
电轴法基本思路
若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳， 是否会影响电场分布？感应电荷是否均匀分布？若 在金属圆柱管内填充金属，重答上问。
求空气中点电荷q在地面引起的感应电荷分布情况
解: 设点电荷q离地面高度为h，则
E E E （方向指向地面）
E
2
q 4π 0 r 2
cos ey
qh 2π0 (h2
x2 )3/2
ey
p
D
0Ey
qh 2π(h2 x2 )3/2
整个地面上感应电荷的总量为
地面引起的感应电荷的分布
pdS S
q (1 R R )
4π0 r dr1 dr2
q1 R
R
E 4π0 ( r 2 er dr12 er1 dr22 er2 )
点电荷位于不接地 导体球附近的场图
介质分界面的镜像
21 0 22 0
E1t E2t D1n D2n
q
41r 2
cos
q'
41r 2
cos
q ''
4 2r 2
[q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 )] 2R(q'2 d q2b) cos 0
q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 ) 0 q'2 d q2b 0
b
R2
d
q'
bq Rq dd
计算不接地金属球附近放置点电荷时的电场分布
2 0 r 0
除 q 点外 球外空间
qh
2πxdx
0 2π(h2 x2 )3/2
qh
(h
2
1 x2 )1/ 2
0
q
设有一点电荷q置于相互直角的两个接地的半无限大 导电平板附近，试求解这一电场。
夹角为α=π/3的两相联无限大导电平面的镜象
导体球面镜像：设在点电荷附近有一接地导体球， 求导体球外空间的电位及电场分布。
2
球面s 常数 0
p
r2
r
+q'
r1
q
R
o b-q'
d
点电荷对不接地金属球的镜像
感应电荷分布及球对称性， 在球内有两个等效电荷。 正负镜像电荷绝对值相等； 正镜像电荷只能位于球心。
p
r2
r
+q'
r1
q
R o b-q'
d
任一点电位及电场强度为：
1 (q q q) 4π 0 r 2d
a22
h2
d2
a22 2d
a12
b
(d
2
a12 2d
a22
)2
a12
试确定图示偏心电缆的电轴位置
hh1222
a12 a22
b2 b2
h2 h1 d
置于电轴上的等效线电荷，来代替圆柱 导体面上分布电荷，从而求得电场的方法， 称为电轴法。
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
解：采用电轴法
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
E
P
2π 0
(1
1
e1
1
2
e2
)
p
2π 0
ln
2 1
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场