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人教版初中数学《第11章比例与相似》竞赛专题复习含答案

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九年级数学下册综合算式专项练习题比例与相似的综合考察

九年级数学下册综合算式专项练习题比例与相似的综合考察

九年级数学下册综合算式专项练习题比例与相似的综合考察在九年级数学下册的学习中，深入理解和熟练运用比例与相似的概念和性质是十分重要的。

为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，本文将结合综合算式专项练习题，对比例与相似进行综合考察，以巩固所学内容。

一、比例的基本概念与性质比例是数学中常见的一种关系，它指的是两个具有对应关系的量之间的相对大小关系。

在比例中，我们通常会遇到比例的增大、减小、倒数比以及相等等性质。

1. 比例的增大与减小在比例中，若两个量成正比例关系，那么当一个量增大时，另一个量也会增大；反之，当一个量减小时，另一个量也会减小。

这是因为两个量成比例，它们之间的相对关系始终保持一致。

2. 比例的倒数关系若两个量成比例，称它们的倒数也成比例。

比如，如果a∶b成比例，那么b∶a也成比例。

这是因为两个量的倒数之间的相对大小关系与原比例相一致。

3. 比例的相等关系若两个比例之间的对应项相等，那么它们是相等比例。

比如，如果a∶b=c∶d，则称a∶b和c∶d是相等比例，或者称两个比例相等。

这时，我们可以利用相等比例中的任意一个比例求解未知量。

二、比例与相似的综合应用在实际生活和问题解决中，比例与相似的概念与性质经常被运用。

下面我们通过一些综合题目，来考察大家对比例与相似的理解与应用：题目一：若某线段在放大时的比例因子为2，放大后的长度为8cm，则原线段的长度是多少？解答一：设原线段的长度为x cm。

根据题意，放大后的线段长度为8cm，即x × 2 = 8。

解方程可得x = 4，所以原线段的长度为4cm。

题目二：两个圆的直径之比为3∶5，求两个圆的面积之比。

解答二：设两个圆的直径分别为3x和5x，那么它们的半径分别为3x÷2和5x÷2。

根据面积公式，面积之比为(3x÷2)²∶(5x÷2)² = 9x²∶25x² = 9∶25。

15-初中数学竞赛——比例与相似综合(一)

15-初中数学竞赛——比例与相似综合(一)

【例9】
已知等腰直角
.E.D分oo
△ABC中，
E、 D分口口直角口
口作AE的垂口，交斜口
AB于L，
K.求口：
BC、AC上的点，且CE
BL
LK.
CD，口C、D分
C D
BL
K
A
【例10】在△ABC中，
AB4，BC
CA上，且PD//BC，
2，CA
3.P是△ABC内一点，
PE//AC，
PF/AB.若PD
PE
BM
MN于M，
CN
MN于N，
N D G
B
C
【例15】如口， PB PA
AM▲ABC的中口， 任作一直口分口交
QC
MN
2
NA QA
AB、AC、
AM于点P、Q、
N.求口：
N
Q
B
C
M
作口
1. 如口， D口▲ABC的BC口的中点，
的口.
AO
E口AC口上的点，且AC
3CE，BE与AD交于O点，求
OD
E
B D
BN于点Q，
QR
AC于点R，
(1) TP/MR；
(2)
MRQ
PRQ.
BT/AC交RQ的延口口于T，求口：
AC上，
MN//BC，
MP交
R
M
B T
N
C P
4.
E、F在BC延口口上，
四形ABCD口正方形，
DE与AF的交点，求口：
▲CHG口等腰三角形，
H
G
B
C
E
F
5. 0P/BC、
如口，已知点
O是△ABC内部的一点，

《相似》全章复习与巩固(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

《相似》全章复习与巩固(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题27.43《相似》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【要点梳理】【知识点一】成比例线段1、定义：四条线段,,,a b c d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段。

2、性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =；反之，若ad bc =(),,,0a b c d 都不等于，那么a c b d =（2）等比性质：如果()==0a c m b d n b d n =+++≠ ，那么a c m a b d n b +++=+++ （3）合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d ++=，a b c d b d --=【知识点二】平行线分线段成比例1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例【知识点三】相似多边形1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点四】相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点五】黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ()AC BC >，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即:0.618:1AC AB ≈【知识点六】位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P ,'P 所在的直线都经过同一点O ，且有'OP =()0k OP k ⋅≠，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数()0k k ≠，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k【典型例题】类型一、成比例线段和平行线分线段成比例1．已知三条线段a b c ，，满足1324a b c +==，且17a b c ++=．（1）求a b c ，，的值；（2）若线段d 是线段a 和b 的比例中项，求d 的值．【点拨】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k 法”用k 表示出a 、b 、c 可以使计算更加简便．【变式1】已知:2:3,:3:4a b b c ==，且26a b c +-=，求,,a b c 的值【答案】4a =，6b =，8c =．【分析】根据比的性质，可得a ，b ，c 用k 表示，根据解方程，可得k 的值，即可得答案．解：∵:2:3a b =，:3:4b c =，∴设2a k =，3b k =，4c k =，∴()22346k k k ⋅+-=，整理得：36k =　，解得：2k =，∴24a k ==，36b k ==，48c k ==．【点拨】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出2a k =，3b k =，4c k =是解题关键．【变式2】如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF PD=，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．，的长；（1）求AM DM（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．2．如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若25DE EF =，AC=14，（1）求AB 的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE 的长．【点拨】本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【变式1】如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求DEDF的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．【变式2】如图，在ABC ∆中，点D 是边AB 上的一点.（1）请用尺规作图法，在ABC ∆内，求作ADE ∠，使ADE B ∠=∠，DE 交AC 于E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若2AD DB =，求AE EC的值.【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.类型二、相似三角形判定和性质3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求证：OCE OFD ∽△△．(2)当7AE =，24BF =时，求线段EF 的长．【答案】(1)见分析(2)25EF =【分析】（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，再根据三角形全等的判定定理证出EDF ECF ≅ ，根据全等三角形的性质可得12∠=∠，从而可得421∠=∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得EG EF =，再根据三角形全等的判定定理证出ADG BDF ≅△△，根据全等三角形的性质可得24AG BF ==，7B ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得90EAG ∠=︒，最后在Rt AEG △中，利用勾股定理即可得．（1）证明：∵EF 垂直平分CD ，∴90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，在EDF 和ECF △中，ED EC FD FC EF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()EDF ECF SSS ≅ ，∴12∠=∠，∵90ACB ∠=︒，90EOC ∠=︒，∴233490∠+∠=∠+∠=︒，∴421∠=∠=∠，在OCE △和OFD △中，9014EOC DOF ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，∴OCE OFD ．（2）解：如图，延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ．则ED 垂直平分FG ，【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【变式1】如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2=AB•AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求的值．=．∴AF4【变式2】如图，在△ABC中，（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD•BC．【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，4．如图，在ABC交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF()1求证：四边形AFCD是平行四边形．()2若GB3=，BC6=，3BF=，求AB的长．2【变式1】已知：如图6，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为E，交AC于点F.求证：(1)△ABF∽△BED；(2)求证：AC BD BE DE=.【变式2】如图，已知▱ABCD．（1）用直尺和圆规在BC边上取一点E，使AB=AE，连结AE；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的前提下，求证：AE=CD；∠EAD=∠D；（3）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，直接写出EF：FA的值．【答案】（1）见分析（2）证明见分析（3）1:2分析：(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，该圆与BC的交点即为所求的点E;(2)根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD,根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB,即可得证；(3)由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD即可求得EF∶FA的值．解：（1）如图所示：；（2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，∴∠DAE=∠D；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF ∽△AFD ，∴=，∵E 为BC 的中点，∴BE=BC=AD ，∴EF ：FA=1：2．【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是关键．5．如图，在ABC 中，点D 、点E 分别在AC 、AB 上，点P 是BD 上的一点，联结EP 并延长交AC 于点F ，且A EPB ECB ∠=∠=∠．(1)求证：BE BA BP BD ⋅=⋅；(2)若90ACB ∠=︒，求证：CP BD ⊥．【变式1】已知ADE C ∠=∠，AG 平分BAC ∠交DE 于F ，交BC 于G ．(1)求证：ADF ∽ACG ；(2)连接DG ，若DG AC ∥，25AF AG =，6AD =，求CE 的长度．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握以上的定理并熟练的运用．【变式2】如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；(1)求AE的长．(2)求证：△ADE∽△DFE．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法以及根据相似三角形性质列出比例式进行求解是解题的关键．类型三、相似三角形拓展与提升6．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？【点拨】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【变式1】已知，点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 上．(1)如图1，当四边形EFGH 是正方形时，求证：AE AH AB +=；(2)如图2，已知AE AH =，CF CG =，当AE 、CF 的大小有_________关系时，四边形EFGH 是矩形；(3)如图3，AE DG =，EG 、FH 相交于点O ，:4:5OE OF =，已知正方形ABCD 的边长为16，FH 长为20，当OEH △的面积取最大值时，判断四边形EFGH 是怎样的四边形？证明你的结论．【答案】(1)见分析(2)AE CF =(3)平行四边形，证明见分析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得BEF AHE ∠=∠，根据角角边证明AEH BFE △≌△．（2）当AE CF =，证得AEH FCG △≌△，EBF △是等腰直角三角形，∠HEF =∠EFG =90°，即可证得四边形EFGH 是矩形．（3）利用正方形的性质证得AEGD 为平行四边形，过点H 作HM BC ⊥，垂足为点M ，交EG 于点N ，由平行线分线段成比例，设4OE x =，5OF x =，HN h =，则可表示出HN ，从而把△OEH 的面积用x 的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE =OG ，OF =OH ，即可证得平行四边形．解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，∴90AEH AHE ∠+∠=°．∵四边形EFGH 为正方形，∴EH EF =，90HEF ∠=︒，∴90AEH BEF ∠+∠=︒，∴BEF AHE ∠=∠．在AEH △和BFE △中，∵90A B ∠=∠=︒，AHE BEF ∠=∠，EH FE =，∴AEH BFE △≌△．∴AH BE =．∴AE AH AE BE AB +=+=；（2）AE CF =；证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，AB =BC =AD =CD ，∵AE =AH ，CF =CG ，AE =CF ，∴AH =CG ，∴AEH FCG △≌△，∴EH =FG ．∵AE =CF ，∴AB －AE =BC －CF ，即BE =BF ，∴EBF △是等腰直角三角形，∴∠BEF =∠BFE =45°，∵AE =AH ，CF =CG ，∴∠AEH =∠CFG =45°，∴∠HEF =∠EFG =90°，∴EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．（3）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥．【点拨】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．【变式2】已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转DAG CAE∴∠=∠12AG AD AE AC == GAD EAC ∴ ∽ 82AB =，22AG =82AD AB ∴==,AG =,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC AC =由（2）知△ADG∽△【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．类型三、位似7．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）【点拨】此题主要考查了位似图形的画法以及勾股定理等知识，利用位似比得出对应点位置是解题关键．【变式一】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（5，2）．(1)以点B为位似中心，在网格内画出△ABC的位似△A1BC1，使得△A1BC1与△ABC的位似比为2；(2)直接写出点A1的坐标和△A1BC1的面积．(2)如图所示1A ：()3,7；11Δ116846222A BC S =⨯-⨯⨯-⨯【点拨】此题考查了位似变换和三角形面积求法，【变式二】如图，ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为()1,3A ，()2,1B ，()5,2C （正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点O 为位似中心，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ．(1)请在第一象限内画出A B C '''V ；(2)若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【答案】(1)见分析(2)()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -【分析】（1）根据点O 为位似中心，()1,3A ，()2,1B ，()5,2C ，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ，求出点'A ，'B ，'C 的坐标，在网格中描点顺次连线即得；C(2)设D(x,y)，∵平行四边形的对角线互相平分，且综上，()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -．【点拨】本题主要考查了位似三角形，平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握位似三角形的定义及画法，平行四边形对角线的性质和线段中点坐标公式．。

人教版数学九年级下册《相似》单元测试题(含答案)

人教版数学九年级下册《相似》单元测试题(含答案)

人教版数学九年级下册《相似》单元测试一、选择题1.下列说法中正确的是（）A.两个平行四边形一定相似B.两个菱形一定相似C.两个矩形一定相似D.两个等腰直角三角形一定相似2.已知,则的值为 ( )A. B. C.2 D.3.下列各组数中，成比例的是（）A.-7，-5，14，5B.-6，-8，3，4C.3，5，9，12D.2，3，6，124.若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c的值等于（）A.-3B.-5C.-7D.-155.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是( )A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C．AO：AA′=1：2D．AB∥A′B′6.图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )A.点MB.点NC.点OD.点P7.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A.1：2B.1：4C.1：5D.1：68.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，则△ODE与△AOB的面积比为( )A.1：2B.1：3C.1：4D.1：59.如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是( )A．= B．= C．= D．=10.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（）A.m=5B.m=4C.m=3D.m=1011.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC=BO•BE．其中正确结论的个数有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE=1：3；③DE=BC；④S四边形OCEF=S△AOD，正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13.若四边形ABCD与四边形A/B/C/D/的相似比为3∶2，那么四边形A/B/C/D/与四边形ABCD的相似比为14.．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长为．15.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是．16.如图1,小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架,如图2是晒衣架的侧面示意图,经测量：OC=OD=126cm，OA=OB=56cm，且AB=32cm，则此时C，D两点间的距离是______cm．17.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP= ．18.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD=10，BD=6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为．三、作图题19.在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．四、解答题20.已知a,b,c均不为0，且，求的值.21.某同学将一张报纸对折后，发现对折后的半张报纸与整张报纸恰好相似，如图所示求整张报纸的长和宽的比是多少？22.如图，已知点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB=4.求证：△ACP ∽△PDB.23.如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E.（1）求证：△ADG ≌△CDG.（2）若CE=2EF ，EG=4，求AG 的长.24.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，P 是⊙O 外的一点，AM 是⊙O 的直径，∠PAC=∠ABC.(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)连接PB 与AC 交于点D ，与⊙O 交于点E ，F 为BD 上的一点，若M 为BC ︵的中点，且∠DCF=∠P ，求证：BD PD =FD ED =CD AD.25.如图，已知在△ABP 中，C 是BP 边上一点，∠PAC=∠PBA ，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O的直径，且交BP 于点E.(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)过点C 作CF ⊥AD ，垂足为点F ，延长CF 交AB 于点G ，若AG ·AB=12，求AC 的长；(3)在满足(2)的条件下，若AF ∶FD=1∶2，GF=1，求⊙O 的半径及sin ∠ACE 的值.参考答案1.D2.B3.B4.D5.C.6.D7.B8.A.9.D．10.B.11.答案为：A.解析：连结DO．∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO=90°，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，∵△COD≌△COB，∴CD=CB，∵OD=OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO=∠ADB=90°，∴∠EDA+∠ADO=∠BDO+∠ADO=90°，∴∠ADE=∠BDO，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠EDA=∠DBE，∵∠E=∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；∵∠EDO=∠EBC=90°，∠E=∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，∵OD=OB，∴ED•BC=BO•BE，故④正确；故选：A．12.答案为：D.解析：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BF=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DE，∴∠BAF=∠CEF，∵∠AFB=∠CFE，∴△ABF≌△ECF(AAS)，∴AB=CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴四边形ABEC是正方形，故此题结论正确；②∵OC∥AD，∴△OCF∽△OAD，∴OC：OA=CF：AD=CF：BC=1：2，∴OC：AC=1：3，∵AC=BE，∴OC：BE=1：3，故此小题结论正确；③∵AB=CD=EC，∴DE=2AB，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AB=BC，∴DE=2×，故此小题结论正确；④∵△OCF∽△OAD，∴，∴，∵OC：AC=1：3，∴3S△OCF=S△ACF，∵S△ACF=S△CEF，∴，∴，故此小题结论正确．13.答案为：2：3；14.答案为：6．15.答案为：（，）．16.答案为：72．17.答案为：.18.答案为：4和2.56．解析：∵过B点的切线交AC的延长线于点D，∴AB⊥BD，∴AB===8，当∠AEP=90°时，∵AE=EC，∴EP经过圆心O，∴AP=AO=4；当∠APE=90°时，则EP∥BD，∴=，∵DB2=CD•AD，∴CD===3.6，∴AC=10﹣3.6=6.4，∴AE=3.2，∴=，∴AP=2.56．综上AP的长为4和2.56．19.解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；（2）△A′B′C′的各顶点坐标分别为：A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．20.解：设=k，则①②③由①+③得，2b+2c=12k,∴b+c=6k④由②＋④，得4b=9k, ∴b=，分别代入①，④得，a=,c=.∴.21.略22.证明：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD=2，∴∠PCA=∠PDB=120°，∵AC=1，BD=4，∴，=，∴=，∴△ACP∽△PDB.23.解：24.解：(1)连接CM.∵∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，∴∠PAC=∠M.∵AM 为直径，∴∠M ＋∠MAC=90°，∴∠PAC ＋∠MAC=90°，即∠MAP=90°，∴MA ⊥AP ，∴PA 是⊙O 的切线(2)连接AE.∵M 为BC ︵中点，AM 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BC.∵AM ⊥AP ，∴AP ∥BC ，∴△ADP ∽△CDB ， ∴BD PD =CD AD. ∵AP ∥BC ，∴∠P=∠CBD.∵∠CBD=∠CAE ，∴∠P=∠CAE.∵∠P=∠DCF ，∴∠DCF=∠CAE.又∵∠ADE=∠CDF ，∴△ADE ∽△CDF ，∴CD DA =FD ED， ∴BD PD =FD ED =CD AD. 25. (1)证明：如图，连接CD ，∵AD 是⊙O 的直径.∴∠ACD=90°.∴∠CAD ＋∠ADC=90°.又∵∠PAC=∠PBA ，∠ADC=∠PBA ，∴∠PAC=∠ADC.∴∠CAD ＋∠PAC=90°.∴PA ⊥DA.而AD 是⊙O 的直径，∴PA 是⊙O 的切线.(2)解：由(1)知，PA ⊥AD ，又∵CF ⊥AD ，∴CF ∥PA.∴∠GCA=∠PAC.又∵∠PAC=∠PBA ，∴∠GCA=∠PBA.而∠CAG=∠BAC ，∴△CAG ∽△BAC.∴AG AC =AC AB，即AC 2=AG ·AB.∵AG ·AB=12，∴AC 2=12.∴AC=2 3.(3)解：设AF=x ，∵AF ∶FD=1∶2，∴FD=2x.∴AD=AF ＋FD=3x.在Rt △ACD 中，∵CF ⊥AD ，∴AC 2=AF ·AD ，即3x 2=12，解得x=2或x=－2(舍去).∴AF=2，AD=6.∴⊙O 的半径为3.在Rt △AFG 中，AF=2，GF=1，根据勾股定理得AG=AF 2＋GF 2=22＋12=5，由(2)知AG ·AB=12，∴AB=12AG =1255.连接BD ，如图. ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD=90°.在Rt △ABD 中，∵sin ∠ADB=AB AD， AD=6，AB=1255，∴sin ∠ADB=255. ∵∠ACE=∠ADB ，∴sin ∠ACE=255.。

专题27.46 《相似》全章复习与巩固(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基

专题27.46 《相似》全章复习与巩固(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基

专题27.46《相似》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1．已知AB ＝2，点P 是线段AB 上的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP 的长为（ ）A B 1 C 352D ．32．如图，在△ABC 中，已知MN△BC ，DN△MC ．小红同学由此得出了以下四个结论：△AN CN ＝AM AB ；△AD DM＝AM MB ；△AM MB ＝AN CN ；△AD AM ＝ANAC .其中正确结论的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．我们把宽与长的比等于黄金比)的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形ABCD ()AB BC <中,ABC ∠的平分线交AD 边于点E ,EF BC ⊥于点F ,则下列结论错误．．的是（ ）A ．AE DEAD AE= B ．CF BFBF BC= C ．AE BEBE BC= D ．DE ABEF BC= 4．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边BC 上，BE=EC ，将△DCE 沿DE 对折至△DFE ，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG 、BF ，给出下列结论：△△DAG△△DFG ；△BG=2AG ；△△EBF△△DEG ；△S △BEF =725.其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是( )cm 2．A ．B ．C ．D ．6．如图，已知在等腰Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AD 为BC 边的中线，过点C 作CE △AD 于点E ，交AB 于点F ．若AC ＝2，则线段EF 的长为（ ）A ．35B C D ．237．如图，在矩形ABCD 中，点E 是对角线上一点，连接AE 并延长交CD 于点F ，过点E 作EG △AE 交BC 于点G ，若AB ＝8，AD ＝6，BG ＝2，则AE ＝（ ）A B C D 8．如图，在平面直角坐标系中，已知()20A -，，()04B ，，点C 与坐标原点O 关于直线AB对称．将ABC 沿x 轴向右平移，当线段AB 扫过的面积为20时，此时点C 的对应点1C 的坐标为（ ）A ．7855⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．9855⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1855⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．1655⎛⎫- ⎪⎝⎭，9．如图，将矩形ABCD 折叠，使点D 落在AB 上点D ′处，折痕为AE ；再次折叠，使点C 落在ED ′上点C ′处，连接FC ′并延长交AE 于点G ．若AB =8，AD =5，则FG 长为（ ）A ．BC ．203D ．410．如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 在x 轴上，OB =5，OA =2，点C 是y 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕点A 顺时针方向旋转60︒得到AD ，连接BD ，则BD 的最小值为（ ）A ．72B ．52C D 二、填空题11．如图，////AC EF DB ，若8AC =，12BD =，则EF =________．12．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 是BC 边上一点，且3BD CD =，连接AD ，并取AD 的中点E ，连接BE 并延长，交AC 于点F ，则EF 的长为________．13．如图，在ABC 中，90,8,6,ACB AC BC AD ∠=︒==为边BC 上的中线，BE 是ABC 的角平分线，,AD BE 交于点F ．则EF 的长为______．14．如图，AD BC ⊥，垂足为C ，BF BC ⊥，点P 为线段BC 上一动点，连接AP ，过D 作DE AP ⊥交BF 于E ，连接PE ，若4AC BC ==，1CD =，则PE 长的最小值为______．15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A ′B ′CD ′，B ′C 与AD 交于点E ，AD 的延长线与A ′D ′交于点F ．当矩形A 'B 'CD '的顶点A '落在CD 的延长线上时，则EF ＝_____．16．如图，Rt △ABC 中，△ACB =90°，AC =BC ，D 、E 分别在AC 、BC 上，CE =AD ，CG △DE 于点F ，FE =1，FG =3，则AC =______．17．如图，在菱形ABCD 中，ABC ∠是锐角，过点A 作AE BC ⊥于点E ，作EAF ABC ∠=∠，交CD 于点F ．连接EF 、BD ，若25ABCD S =菱形，25EF BD =，则AEF 的面积为_____．18．如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD 和正方形EFGH ，若点A 和点E 的坐标分别为(2,3)-，(1,1)-，则两个正方形的位似中心的坐标是__________．三、解答题19．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，． (1 )如图△，在ABC 中，△A ＝36°，AB AC =，△ACB 的平分线CD 交腰AB 于点D ．请你根据所学知识证明：点D 为腰AB 的黄金分割点：(2) 如图△，在Rt ABC △中，△ACB ＝90°，CD 为斜边AB 上的高，AD BD >，1AB =，若点D 是AB 的黄金分割点，求BC 的长，20．如图，在等边ABC 中，D 是BC 的中点，过点A 作AE BC ∥，且AE DC =，连接CE ．(1) 求证：四边形ADCE 是矩形；(2) 连接BE 交AD 于点F ，连接CF ．若4AB =，求CF 的长．21．已知菱形ABCD 中，E 是BC 边上一点． (1) 在BC 的右侧求作AEF ，使得EF BD ∥，且12EF BD =；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2) 在（1）的条件下，若12EAF ABC ∠=∠，求证：AE =．22．已知不等臂跷跷板AB 长为3米，当AB 的一端点A 碰到地面时，（如图1）点B 离地高1.5米；当AB 的另一端点B 碰到地面时，（如图2）点A 离地高1米，求跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为多少米？23．如图1．已知四边形ABCD 是矩形．点E 在BA 的延长线上．. AE AD EC =与BD 相交于点G ，与AD 相交于点,.F AF AB =()1求证：BD EC ⊥；()2若1AB =，求AE 的长；()3如图2，连接AG ，求证：EG DG -=．24．如图1，在矩形ABCD 中，P 为CD 边上一点（DP ＜CP ），△APB=90°．将△ADP 沿AP 翻折得到△AD′P ，PD′的延长线交边AB 于点M ，过点B 作BN△MP 交DC 于点N ．（1）求证：AD 2=DP•PC ；（2）请判断四边形PMBN 的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若DPAD =12，求EFAE的值．参考答案1．B【分析】根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AB，代入数据即可得出AP 的长度．解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP ×21． 故选：B ．【点拨】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的352，较长的线段=． 2．C解：△△MN △ BC ，△ AN ：CN = AM ：BM ，该项错误；△△DN △ MC ，△ AD ：DM = AN ：NC ，再由（1）得 AD ：DM = AM ：BM ，该项正确；△根据（1）知，此项正确；△根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故选C ．点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．3．C【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE 是正方形，再根据正方形的性质可得AE EF AB BF ===，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得．解：四边形ABCD 是矩形， 90,A ABC AD BC ∴∠=∠=︒=，EF BC ⊥，即90BFE ∠=︒，∴四边形ABFE 是矩形，BE 是ABC ∠的平分线，且,?EA AB EF BC ⊥⊥， AE EF ∴=，∴四边形ABFE 是正方形，AE EF AB BF ∴===，又四边形ABCD 是黄金矩形，且AB BC <，AB BC ∴=设1)(0)AB a a =≠，则2BC a =，1),2AE EF BF AB a AD BC a ∴======，(3,(3DE AD AE a CF BC BF a ∴=-==-=，1)BE a ，则AB B A A C E D ==DE AE ==， 即AE DEAD AE=，选项A 正确；CF BF AB BF BC BC == 即 CF BF BF BC=，选项B 正确；AE BE BE B C 即 AE BE BE BC≠，选项C 错误；AE DE DE AB EF BC===，则选项D 正确； 故选：C ．【点拨】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质，掌握理解黄金矩形的定义是解题关键．4．C【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF ，△A=△GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG△Rt△FDG ，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF ，△BGE 为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF 的面积，再由△BEF 是等腰三角形，而△GED 显然不是等腰三角形，判断△是错误的，即可得答案．解：如图，由折叠可知，DF=DC=DA ，△DFE=△C=90°， △△DFG=△A=90°，在Rt△ADG 和Rt△FDG 中，AD DFDG DG =⎧⎨=⎩， △Rt△ADG△Rt△FDG ，故△正确； △正方形边长是12， △BE=EC=EF=6，设AG=FG=x ，则EG=x+6，BG=12﹣x ，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4△AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故△正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故△错误；△S△GBE=12×6×8=24，S△BEF：S△BGE=EF：EG，△S△BEF=610×24=725，故△正确．综上可知正确的结论是3个．故选C．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.5．B解：试题分析：阴影部分的面积可转化为两个三角形面积之和，根据角平分线定理，可知阴影部分两个三角形的高相等，正方形的边长已知，故只需将三角形的高求出即可，根据△DON△△DEC可将△ODC的高求出，进而可将阴影部分两个三角形的高求出．连接AC，过点O作MN△BC交AB于点M，交DC于点N，PQ△CD交AD于点P，交BC于点Q△AC为△BAD的角平分线，△OM=OP，OQ=ON；设OM=OP=h1，ON=OQ=h2，△ON△BC△，即，解得△OM=OP故选B.考点：角平分线的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质点评：解题的关键是读懂题意及图形，正确作出辅助线，将阴影部分分成几个规则图形面积相加或相减求得．6．B【分析】过点B作BH△BC，交CF的延长线于H，由勾股定理可求AD的长，由面积法可求CE，由“AAS”可证△ACD△△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH△ACF△△BHF，可得BH FHAC FC=＝12，可求CF的长，即可求解．解：如图，过点B作BH△BC，交CF的延长线于H，△AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，△CD＝BD＝1，△AD△11S22ACDAC CD AD CE =⨯⨯=⨯⨯，△CE，△△ADC +△BCH ＝90°，△BCH +△H ＝90°，△△ADC ＝△H ，在△ACD 和△CBH 中，90ADC H ACD CBH AC BC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△△ACD △△CBH （AAS ），△CD ＝BH ＝1，AD ＝CH△AC △BC ，BH △BC ，△AC △BH ，△△ACF △△BHF ， △BH FH AC FC=＝12，△CF△EF ＝CF ﹣CE ， 故选：B ．【点拨】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．B【分析】过点E 作AB 的平行线，分别交,AD BC 于点,M N ，先根据矩形的性质与判定可得四边形ABNM 和四边形CDMN 都是矩形，设(0)EM x x =>，则8EN x =-，再根据相似三角形的判定证出DEM DBA ，根据相似三角形的性质可得34x DM =，从而可得336,444x AM x GN =-=-，然后根据相似三角形的判定证出AEM EGN ，根据相似三角形的性质可得x 的值，最后在Rt AEM △中，利用勾股定理即可得．解：如图，过点E 作AB 的平行线，分别交,AD BC 于点,M N ，四边形ABCD 是矩形，8,6AB AD ==，6,90,BC AD BAD AD BC ∴==∠=︒，∴四边形ABNM 是矩形，8,90MN AB AME ENG ∴==∠=∠=︒，同理可得：四边形CDMN 是矩形，DM CN ∴=，设(0)EM x x =>，则8EN MN EM x =-=-，EM AB ，DEMDBA ∴， DM EM DA BA∴=，即68DM x =， 解得34x DM =， 34x CN ∴=，364AM AD DM x =-=-， 2BG =，344x GN BC BG CN ∴=--=-， 90,AME EG AE ∠=︒⊥，90EAM AEM GEN AEM ∴∠+∠=︒=∠+∠，EAM GEN ∴∠=∠，在AEM △和EGN △中，90AME ENG EAM GEN ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， AEM EGN ∴，AM EM EN GN ∴=，即3643844x x x x -=--，解得4825=x 或8x =， 经检验，4825=x 是所列分式方程的根，且符合题意；8x =不是所列分式方程的根，舍去，483114,625425EM AM x ∴==-=，AE ∴=== 故选：B ．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．8．B【分析】连接AA 1、BB 1，过C 点作CE △x 轴于E 点，过B 点作BD △CE ，交EC 的延长线于点D ，根据A (-2，0)、B (0，4)，OA =2，OB =4，进而得到AC =2，BC =4，再证Rt △DBC △Rt △ECA ，得到422BD CD BC CE AE AC ====，设AE =x ，则有CD =2x ，OE =AO +AE =2+x ，在Rt △ACE 中，222AC CE AE =+，即有22222()2x x +=+，解方程求出x ，即可求出AE ，则C 点坐标可求，再根据AB 扫过的面积为20，求得15AA =，可知△ABC 向右平移了5个单位，则问题得解．解：平移后的效果如图，连接AA 1、BB 1，过C 点作CE △x 轴于E 点，过B 点作BD △CE ，交EC 的延长线于点D ，根据平移的性质可知AA 1=BB 1，且11//AA BB ，即有四边形11AA BB 是平行四边形．△CE △x 轴，BD △CE ，△△D =△CEA =90°，根据对称的性质可知△AOB △△ACB ，△△ACB =△AOB =90°，AO =AC ，OB =BC ，△A (-2，0)、B (0，4)，△OA =2，OB =4，△AO =AC =2，OB =BC =4，△△ACB =90°=△D ，△△DCB +△ACE =90°，△DCB +△DBC =90°，△△ACE =△CBD ，△Rt △DBC △Rt △ECA ， △422BD CD BC CE AE AC ====， 设AE =x ，则有CD =2x ，△OE =AO +AE =2+x ，△△D =△CEA =90°=△AOB ，△四边形OBDE 是矩形，△BD =OE ，即BD =2+x ， △422BD CD BC CE AE AC ====， △222BD x CE +==， △在Rt △ACE 中，222AC CE AE =+，△有22222()2x x +=+，解得65x =，（负值舍去）， △65AE =， △1625OE x =+=，2825x CE +==， △C 点坐标为168()55-，， 根据平移的性质可知直线AB 扫过的图形为是平行四边形11AA BB ，△根据题意有1120AA BB S =平行四边形，△11114AA BB S AA OB AA =⨯=平行四边形，△1420AA =，△15AA =，△可知△ABC向右平移了5个单位，△C168()55-，也向右平移了5个单位才得到C1，△即169555 -+=，△C1点坐标为98 () 55，，故选：B．【点拨】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，求出C点的坐标是解答本题的关键．9．C【分析】过点G作GI△AB，GH△ED'，垂足分别为I、H，由折叠的性质可得C′E=5-4=1，在Rt△EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，再证明△BC′D'△△C′GH，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，则HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，可得到C′G=5m=5，从而解决问题．解：由折叠的性质得，△AD'E=△D=90°，AD=AD'，又△△DAB=90°，△四边形ADED'是矩形，△AD=AD'，△四边形ADED'是正方形，过点G作GI△AB，GH△ED'，垂足分别为I、H，△AD'ED是正方形，△AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，△C=△BC′F=90°，FC=FC′，△D'B=EC=8-5=3，在Rt△C′BD'中，C′D'=4，△C′E=5-4=1，在Rt△EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，△△BC′D'+△GC′H=90°，△GC′H+△C′GH=90°，△△BC′D'=△C′GH，又△△GHC′=△BD'C′=90°，△△BC′D'△△C′GH，△C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，△HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，解得：m=1，△C′G=5m=5，△FG=203；故选：C．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造三角形相似是解题的关键．10．A【分析】构造等边三角形OAE，过点E作AE△EF，垂足为E，交x轴于点F，截取ED=OC,证明△AOC△△AED，得到AC=AD，且△CAD=60°，从而得到点D在直线EF上，过点B作BD△EF，此时BD最小．解：构造等边三角形OAE，过点E作AE△EF，垂足为E，交x轴于点F，截取ED=OC,△等边三角形OAE，△AO=AE，△OAE=△AOE=60°，△ED=OC, △AED=△AOC=90°，△△AOC△△AED，△AC =AD ，且△CAD =60°，△点D 在直线EF 上，过点B 作BD △EF ，此时BD 最小，△OB =5，OA =2，△AE∥BD ，△OEF =△OFE =30°，△OF =OE =OA =AE =2，AB =3，△F A =4，FB =7，AE FA BD FB=， △247BD =， 解得BD =72， 故选A ．【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形相似的判定，垂线段最短原理是解题的关键．11．245【分析】根据平行线AC△EF 分线段成比例得到.EF BF CA AB =同理EF AF DB AB =，则由比例的性质得到DB EF BF DB AB -=，根据等量代换推知EF DB EF CA DB-=，所以把相关数据代入即可求得EF 的值．解：如图,△AC △EF ，△.EF BF CA AB= 又△EF △DB ， △EF AF DB AB=， 则由比例的性质知,DB EF AB AF DB AB --= 即DB EF BF DB AB -=， △EF DB EF CA DB-=， △AC =8，BD =12，△12812EF EF -= △EF =245. 故答案是：245. 【点拨】考查平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例.12【分析】利用△ABC 是直角三角形构造直角坐标系，过点D 作DM △AC 于M ，过点D 作DN △AB 于N ，利用图中各线段的长度，再结合一次函数、中点坐标公式可以求出图中各点的坐标，即可求出EF 的长．解：根据△BAC =90°可知△ABC 是直角三角形，则以直角△ABC 的顶点A 点为坐标原点O ，以AC 为x 轴，以AB 为y 轴构造直角坐标系，过点D 作DM △AC 于M ，过点D 作DN △AB 于N ，如图，由AB =AC =4，可知B 点坐标为(4,0)，C 点坐标为(0,4)，则直线BC 的解析式为4y x =-，△BD =3CD ，△4CD =BC ，△DM △AC ，DN △AB ，△有MD AB ∥，MD AB ∥， 则有CD CM MD BC CA AB ==，即有：14CD CM MD BC CA AB ===， 则可求得D 点坐标为：(1,3)，又△E 点为AD 中点，△根据中点坐标公式又E 点坐标为：13(,)22，则直线BE 的解析式为：31277y x =-+， 则易得F 点坐标为：12(0,)7，则EF 的长度为：EF =【点拨】本题考查了运用直角坐标系求线段的长度的问题，设计根据点的坐标求解一次函数解析式、中点坐标公式、线段长度公式等知识，利用直角三角形的特点构建直角坐标系是解答本题的关键．13【分析】过点E 作EG △AB ，垂足为G ，证明△CBE △△GBE ，求得CE ，EG ，AE 的长，过点F 作FO △AC ，垂足为O ，利用平行线分线段成比例定理求解即可．解：△90,8,6,ACB AC BC ∠=︒==，过点E 作EG △AB ，垂足为G ，△BE 是ABC 的角平分线，△△CBE =△GBE ，△△C =△BGE =90°，BE =BE ，△△CBE △△GBE ，△BC =BG =6，EC =EG ，设CE =x ，则EG =x ，AE =8-x ,AG =AB -BG =4,在直角三角形AEG 中，根据勾股定理，得222AE EG AE =+，即222(8)4x x -=+，解得x =3，△CE =3，AE =5，过点F 作FO △AC ，垂足为O ，90ACB ∠=︒，△FO∥BC ， △OF OE BC CE =， △623OF BC OE CE ===即FO =2OE ， △AD 是中线，BC =6，△CD =3，△FO∥DC ， △8OF AE OE DC +=， △2538OE OE +=， 解得OE =1513， 在直角三角形OEF 中，22225EF EO OF EO =+=，△EF． 【点拨】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键．14【分析】设DE 交AP 于点Q ，DE 交BC 于点H ，根据DE AP ⊥，确定点Q 在以AD 为直径的圆周上运动，得到当点Q 与点P 重合时，PE 最小，此时，点Q 、点P 与点H 重合，取AD 的中点O ，连接OP ，利用勾股定理求出CP ，再证明△CDP △△BPE ，利用勾股定理求出答案．解：设DE 交AP 于点Q ，DE 交BC 于点H ，△DE AP ⊥，△90AQD EQP ∠=∠=︒，△点Q 在以AD 为直径的圆周上运动，当点Q 与点P 重合时，PE 最小，此时，点Q 、点P 与点H 重合，取AD 的中点O ，连接OP ，△52OA OD OP ===，32OC =,△2CP ==， △AD △BF ，△△CPD △△BPE ，△2BP CP ==，△△CDP △△BPE ，△PE PD =【点拨】此题考查图形中的动点问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定，正确理解点Q 的位置与点P 的位置确定PE 的最小值位置是解题的关键．15．154##334 【分析】根据矩形的性质得90D '∠=︒，根据勾股定理得222=+A C A D CD '''，再证明A DF A D C '''△∽△得A D DF A D CD''''=，证明CDE CB A ''△∽△得CD ED CB A B '''=，分别计算DF 和DE 的长即可得解．解：△四边形ABCD 是矩形，矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A ′B ′CD ′， △90D '∠=︒，=4AD A D BC ''==，3CD CD AB '===，在Rt A CD ''△中，=90D '∠︒，△222=+A C A D CD ''''，△5A C '=，2A D '=，△=DA F CA D '''∠∠，=90A DF D ''∠∠=︒，△A DF A D C '''△∽△，△A D DF A D CD ''''=， △243DF =， △DF 32=， 同理可得CDE CB A ''△∽△， △CD ED CB A B '''=， △343ED =， △ED 94=， △EF ＝ED +DF 154=， 故答案为：154． 【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．16．【分析】过点D 作DT △AD 交AB 于点T ，连接ET ，连接CT 交DE 于点M ，通过推导角度可知CT =CG ，且四边形DTEC 为矩形，设CF 为x ，表示出DF ，利用相似可求出x ，进而可得结果．解：过点D 作DT △AD 交AB 于点T ，连接ET ，连接CT 交DE 于点M ，△Rt △ABC 中，△ACB =90°，AC =BC ，△△A =△B =45°，△DT △AD ，△△ADT 为等腰直角三角形，△CE =AD ，△DT =CE ，△DT ∥CE ，△DCE =90°，△四边形DTEC 为矩形，△DE =CT ，设△BCG =α，则△CDE =α，△△DCT =α，△△CTB =45°+α，△△CGT =45°+α，△CT =CG ，△DE =CG ，设CF =x ,则DE =CG =x +3，△DF =x +2，△△CFE △△DFC ， △CF EF DF CF=，即2CF EF DF =⋅， △22x x =+，解得x =2或x =-1（舍），△CF =2，△DF =4，CE =AD△CD△AC故答案为：【点拨】本题考查三角形与四边形综合知识，需要同学们熟练掌握等腰直角三角形的性质、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，选择适当的辅助线将AD =CE 这一条件联系起来是解题关键．17．8【分析】连接AC ，设2CE a =，由菱形的性质和AE BC ⊥可证()ABE ADF ASA ≌，由全等三角形的性质可得BE DF =，从而推出CEF CBD ∠=∠，由相似三角形的判定得出CEF CBD ∽△△，所以25EC EF BC BD，所以5AB AD BC a ===，3BE a =，利用勾股定理得4AE a =，然后再证明FAE ABC △∽△，由相似三角形的性质得1625AEF ABC S S =△△，即可求解．解：连接AC ，设2CE a =，△四边形ABCD 是菱形，AE BC ⊥，△AB AD DC BC ===， AD BC ∥，ABC ADC ∠=∠，CBD CDB ∠=∠，90AEB =︒∠，△90DAE AEB ∠=∠=︒，△90ABC BAE EAF DAF ∠+∠=∠+∠=︒，△EAF ABC ∠=∠，△BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AB ADABE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △()ABE ADF ASA ≌，△BE DF =，AE AF =，△CE CF =，△CEF CFE ∠=∠，△CBD CDB ∠=∠，BCD ECF ∠=∠， △()11802CEF ECF ∠=︒-∠，()11802CBD BCD ∠=︒-∠， △CEF CBD ∠=∠，△CEF CBD ∽△△， △25ECEF BC BD ， △5BC a =，△5AB AD BC a ===，523BE BC EC a a a =-=-=，△4AE a ==，△4AF AE a ==，△45AF AE BA BC ==， 又△FAE ABC ∠=∠，△FAE ABC △∽△，△22416525AEF ABC S AE a S BC a ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△， △四边形ABCD 是菱形，25ABCD S =菱形， △12522ABC ADC ABCD S S S ===△△菱形， △161625825252AEF ABC S S ==⨯=△△． 故答案为：8．【点拨】本题是相似综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识． 掌握菱形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．18．1(,0)4或3(4,-)2 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点A 和E 是对应顶点，B 和F 是对应顶点；另一种是点A 和G 是对应顶点，C 和E 是对应顶点．解：△平面直角坐标系中有正方形ABCD 和正方形EFGH ，点A 和点E 的坐标分别为(2,3)-，(1,1)-，△(2,0)B -，(2,1)H -，(2,0)G ，（1）当点A 和E 是对应顶点，B 和F 是对应顶点时，位似中心就是AE 与BF 的交点， 如图所示：连接AE ，交x 轴于点N ，点N 即为两个正方形的位似中心，设AE 所在直线解析式为：y kx b =+，把(2,3)A -，(1,1)E -代入得：故321k b k b=-+⎧⎨-=+⎩， 解得：4313k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故4133y x =-+；当0y =时，即41033x =-+，解得14x =，即点坐标为1(4，0)， ∴两个正方形的位似中心的坐标是：1(4，0)．（2）当点A 和G 是对应顶点，B 和H 是对应顶点时，位似中心就是AG 与BH 的交点，如图所示：连接AG ，DF ，BH ，CE 并延长交于点M ，设AG 所在直线解析式为：y kx b =+，把(2,3)A -，(2,0)G 代入得：故3202k b k b =-+⎧⎨=+⎩， 解得：3432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故3342y x =-+； 设BH 所在直线解析式为：y mx n =+，把(2,0)B -，(2,1)H -代入得：1412m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故1142y x =--，联立直线BH 、AG 得方程组：33421142y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：432x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 故3(4,)2M -， 综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：1(4，0)或3(4,)2-． 故答案为：1(4，0)或3(4,)2-．【点拨】此题主要考查了位似图形的性质以及函数交点求法以及位似变化中对应点的连线一定经过位似中心．注意：本题应分两种情况讨论．根据点的对应关系利用一次函数求直线的交点是解题关键．19．(1)证明见分析(2)2【分析】（1）根据三角形内角和定理，等边对等角，等角对等边确定BC =AD ，△BCD =△A ，根据相似三角形的判定定理和性质即可证明．（2）根据黄金分割的定义求出BD 的长度，根据相似三角形的判定定理和性质求出BC 2，进而即可求出BC 的长度．（1）证明：△在ABC 中，△A ＝36°，AB AC =， △180722A B ACB ︒-∠∠=∠==︒． △CD 为△ACB 的平分线， △1362ACD BCD ACB ∠∠=∠︒==， △△ACD =△BCD =△A ．△AD =DC ．△18072BDC B BCD ∠=︒-∠-∠=︒．△△BDC =△B ，△BDC >△BCD ．△DC =BC ，BC >BD ．△BC =AD ．△AD >BD ．△CBD ABC ∠=∠，△CBD ABC ∽△△． △BC BD BA BC=，即AD BD BA AD =． △点D 是腰AB 的黄金分割点．（2）解：△点D 是AB 的黄金分割点，AD BD >，△AD BD AB AD ==．△1AB =，△2AD =．△1BD =．△90ACB ∠=︒，CD 是△ABC 斜边上的高，△90ACB CDB ∠=∠=︒．△ABC CBD ∠=∠，△ACB CDB ∽△△． △AB BC CB BD=．△)2114BC AB BD =⋅==． △2BC =．【点拨】本题考查三角形内角和定理，等边对等角，等角对等边，相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．20．(1)见分析【分析】（1）由AE BC ∥，AE DC =，可得四边形ADCE 是平行四边形，由ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，得到△ADC ＝90°，结论得证；（2）由等边三角形的三线合一求得BD ，在Rt ABD △中，由勾股定理得AD ，BE ，由AD EC ，D 为BC 的中点，得到F 为BE 的中点，△BCE 是直角三角形，由斜边上中线等于斜边的一半得到答案．（1）证明：△AE BC ∥，AE DC =，△四边形ADCE 是平行四边形．△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，△AD BC ⊥．△90ADC ∠=︒．△四边形ADCE 是矩形．（2）解：如图，△ABC 是等边三角形，4AB =，△4BC AB ==．△D 是BC 的中点，△2BD =．在Rt ABD △中，90ADB ∠=︒，△AD =△四边形ADCE 为矩形，△==EC AD 90ECB ∠=︒，AD EC ∥．△BE =△AD EC ∥，D 为BC 的中点， △1==BF BD FE DC． △F 为BE 的中点．△△BCE 是直角三角形，△12==CF BE 【点拨】此题考查了矩形判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定、平行线分线段成比例、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定是解题的关键．21．(1)见分析；(2)见分析.【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，在BC 右侧作△CEF =△CBD ，再在射线EF 截取EF =OB ，连接AE 、AF ，即可得△AEF ；（2）延长EF 交AD 延长线于点G ，先证明四边形BEGD 是平行四边形，可得EG =BD =2EF ，△G =△CBD ，（1）解：如图，连接AC 交BD 于O ，在BC 右侧作△CEF =△CBD ，再在射线EF 截取EF =OB ，连接AE 、AF ，则△AEF 即为所要求作的三角形，再证~EAF EGA ，可得EF AE AE EG=，最后证得结果；（2）证明：延长EF 交AD 延长线于点G ，△四边形ABCD 是菱形，△AD //BC∥又△EF //BD ，EF =12BD ，△四边形BEGD 是平行四边形，△EG =BD =2EF ，△G =△CBD ，又△在菱形ABCD 中，△CBD =12△ABC ，12EAF ABC ∴∠=∠， EAF G ∴∠=∠，又△AEF GEA ∠=∠，~EAF EGA ∴，EF AE AE EG∴=， 2222AE EF EG EF EF EF ∴=⋅=⋅=，AE ∴=；【点拨】本题考查作图-复杂作图、相似三角形的性质与判定、菱形的性质、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【分析】过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出OH AO BN AB=，OH BO AM AB =，即可得出答案． 解：如图所示：过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，可得HO ∥BN ，则△AOH ∽△ABN ， 故OH AO BN AB=， ∵AB 长为3米，BN 长为1.5米， ∴1.53OH AO =， ∴2OH OA =同理可得：△BOH ∽△BAM ， 则OH BO AM AB=， ∵AB 长为3米，AM 长为1米， ∴313OH AO -=，即3213OH OH -= ∴OH ＝0.6，答：跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键．23．（1）见分析；（2；（3）见分析 【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF△△DAB ，则有△E=△ADB ，进而证得△EGB=90º即可证得结论；（2）设AE=x ，利用矩形性质知AF△BC ，则有EA AF EB BC=，进而得到x 的方程，解之即可；（3）在EF 上截取EH=DG ，进而证明△EHA△△DGA ，得到△EAH=△DAG ，AH=AG ，则证得△HAG 为等腰直角三角形，即可得证结论．解：（1）△四边形ABCD 是矩形，△△BAD=△EAD=90º，AO=BC ，AD△BC ，在△EAF 和△DAB ，AE AD EAF DAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△EAF△△DAB(SAS)，△△E=△BDA ，△△BDA+△ABD=90º，△△E+△ABD=90º，△△EGB=90º，△BG△EC ；（2）设AE=x ，则EB=1+x ，BC=AD=AE=x ，△AF△BC ，△E=△E ，△△EAF△△EBC ， △EA AF EB BC =，又AF=AB=1， △11x x x=+即210x x --=，解得：x =x =（舍去） 即； （3）在EG 上截取EH=DG ，连接AH ，在△EAH 和△DAG ，AE AD HEA GDA EH DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△EAH△△DAG(SAS)，△△EAH=△DAG ，AH=AG ，△△EAH+△DAH=90º，△△DAG+△DAH=90º，△△HAG=90º，△△GAH 是等腰直角三角形，△222AH AG GH +=即222AG GH =，，△GH=EG -EH=EG -DG ，△EG DG -=．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．24．（1）证明见分析；（2）四边形PMBN 是菱形，理由见分析；（3）49EF AE = 【分析】（1）过点P 作PG△AB 于点G ，易知四边形DPGA ，四边形PCBG 是矩形，所以AD=PG ，DP=AG ，GB=PC ，易证△APG△△PBG ，所以PG 2=AG•GB ，即AD 2=DP•PC ；（2）DP△AB ，所以△DPA=△PAM ，由题意可知：△DPA=△APM ，所以△PAM=△APM ，由于△APB -△PAM=△APB -△APM ，即△ABP=△MPB ，从而可知PM=MB=AM ，又易证四边形PMBN 是平行四边形，所以四边形PMBN 是菱形；（3）由于12DP AD =，可设DP=k ，AD=2k ，由（1）可知：AG=DP=k ，PG=AD=2k ，从而求出GB=PC=4k ，AB=AG+GB=5k ，由于CP△AB ，从而可证△PCF△△BAF ，△PCE△△MAE ，从而可得59AF AC ＝，513AE AC ＝，从而可求出EF=AF -AE=59AC -513AC =20117AC ，从而可得2041175913AC EF AE AC ==． 解：（1）过点P 作PG△AB 于点G ，△易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，△AD=PG，DP=AG，GB=PC△△APB=90°，△△APG+△GPB=△GPB+△PBG=90°，△△APG=△PBG，△△APG△△PBG，△PG GB AG PG＝，△PG2=AG•GB，即AD2=DP•PC；（2）△DP△AB，△△DPA=△PAM，由题意可知：△DPA=△APM，△△PAM=△APM，△△APB-△PAM=△APB-△APM，即△ABP=△MPB△AM=PM，PM=MB，△PM=MB，又易证四边形PMBN是平行四边形，△四边形PMBN是菱形；（3）由于12 DPAD，可设DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，△PG2=AG•GB，△4k2=k•GB，△GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，△CP△AB，△△PCF△△BAF，△45 CF PCAF AB==，△59 AFAC＝，又易证：△PCE△△MAE，AM=12AB=52k,△48552CE PC kAE AM k===△513 AEAC＝，△EF=AF-AE=59AC-513AC=20117AC，△2041175913ACEFAE AC==.【点拨】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．。

人教版八年级上册数学期末考试复习：第11章《三角形》解答题专题复习

人教版八年级上册数学期末考试复习：第11章《三角形》解答题专题复习

第11章《三角形》解答题精选1．（2019秋•花都区期末）如图，在四边形ABCD 中，∠C +∠D ＝210°（1）∠DAB +∠CBA ＝ 度；（2）若∠DAB 的角平分线与∠CBA 的角平分线相交于点E ，求∠E 的度数．2．（2019秋•南海区期末）阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在△ABC 中，∠A ＝60°，图1﹣3的△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点O ，请直接求出下列角度的度数．如图1，∠O ＝ ；如图2，∠O ＝ ；如图3，∠O ＝ ；如图4，∠ABC ，∠ACB 的三等分线交于点O 1，O 2，连接O 1O 2，则∠BO 2O 1＝ ．（2）如图5，点O 是△ABC 两条内角平分线的交点，求证：∠O ＝90°+12∠A ． （3）如图6，△ABC 中，∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点O 1，O 2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A 的度数．3．（2019秋•普宁市期末）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并证明．4．（2019秋•东莞市期末）如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，∠B ＝70°，∠DAE ＝10°，求∠C 的度数．5．（2020春•东湖区期末）（1）已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°，求这个多边形的边数；（2）一个多边形的外角和是内角和的27，求这个多边形的边数．6．（2019秋•越秀区期末）如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝69°，求∠DAC 的度数．7．（2019秋•揭阳期末）探究与发现：如图①，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝45°，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且∠ADE ＝∠AED ，连接DE ．（1）当∠BAD ＝60°时，求∠CDE 的度数；（2）当点D 在BC （点B 、C 除外）边上运动时，试猜想∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．（3）深入探究：如图①，若∠B ＝∠C ，但∠C ≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系．8．（2019秋•江城区期末）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝3∠A ，求∠B 的度数．9．（2019春•龙门县期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，连接BD ，点E 在BC 边上，点F 在DC 边上，且∠1＝∠2．（1）求证：EF ∥BD ；（2）若DB 平分∠ABC ，∠A ＝130°，求∠2的度数．10．（2019春•番禺区期末）（1）如图1，已知AB ∥CD ，求证：∠EGF ＝∠AEG +∠CFG ．（2）如图2，已知AB ∥CD ，∠AEF 与∠CFE 的平分线交于点G ．猜想∠G 的度数，并证明你的猜想．（3）如图3，已知AB ∥CD ，EG 平分∠AEH ，EH 平分∠GEF ，FH 平分∠CFG ，FG 平分∠HFE ，∠G ＝95°，求∠H 的度数．11．（2019春•南海区期末）如图1，在△ABC 中，∠A ＝80°，BD 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB ，BD 与CE 交于点F ．（1）求∠BFC 的度数；（2）如图2，EG、DG分别平分∠AEF、∠ADF，EG与DG交于点G，求∠EGD的度数．12．（2018秋•澄海区期末）如图，已知AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B＝44°，∠C＝76°，求∠DAE的度数．13．（2018秋•越秀区期末）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠F AD＝60°．（1）求∠ADE的度数；（2）求证：EF∥BC．14．（2018秋•揭西县期末）CE是△ABC的一个外角∠ACD的平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A＝60°，∠CEF＝50°，求∠B的度数．15．（2018秋•普宁市期末）已知，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C在直线AB 的右侧，且∠C＝45°，设∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β．（1）如图1，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D，求证：∠β＝∠α+45°．请将下列推理过程补充完整：证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵PQ∥MN（），∴∠CDQ＝∠β（）．∴∠β＝（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠β＝∠α+45°（等量代换）（2）如图2，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由．16．（2017春•石狮市期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，∠B＝60°（1）若∠3＝60°，试说明∠1＝∠2；（2）∠C＝40°，∠1＝50°，且∠3＝∠4，求∠2的度数．17．（2019春•潮南区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线交CD于点E．（1）若∠A＝70°，求∠ABE的度数；（2）若AB∥CD，且∠1＝∠2，判断DF和BE是否平行，并说明理由．18．（2018秋•大埔县期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝42°．（1）求∠BOC的度数；（2）把（1）中∠A＝42°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系．19．（2019春•南海区期末）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝60°；求∠AEC的度数．20．（2018秋•禅城区期末）叙述并证明“三角形的内角和定理”．（要求根据下图写出已知、求证并证明）21．（2018春•福田区期末）完成下列推理说明．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA ＝180°，试说明：∠BFE＝∠ADF．理由：因为∠CDG＝∠B（已知）所以DG∥AB（）所以＝∠BAD（）因为∠1+∠FEA＝180°（已知）所以+∠FEA＝180°（等量代换）所以AD∥EF（）所以∠BFE＝（）22．（2018春•海珠区期末）已知点C（﹣10，10），直线CE∥x轴交y轴于点B，点A是x轴的负半轴上的动点，作AD⊥AC交线段BO于点D（点D不与点O、B重合），MD⊥AD交CE于点M，∠EMD，∠OAD的角平分线MN，AN交于点N（1）直接写出OB的长度；（2）求出∠MNA的度数；（3）若NH⊥x轴于点H，求∠ANH的取值范围．23．（2017秋•潮安区期末）如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且∠ACB＝∠CED．求证△ACE是直角三角形．24．（2017秋•白云区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠1＝∠B，∠C＝67°，求∠BAC的度数．25．（2018春•澄海区期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点．求证：∠AEB＝∠DAE+∠CBE；（2）如图①，若AE平分∠DAC，∠CAB＝∠CBA．①求证：∠ABE+∠AEB＝90°；①如图①，若∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，与AE交于点P，且∠F＝65°，求∠BCD的度数．26．（2018春•白云区期末）已知：在四边形ABCD中，连接AC、BD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：∠ABC＝∠ADC．27．（2018春•越秀区期末）如图1，已知∠A+∠E+∠F+∠C＝540°．（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由（2）如图2，∠P AB＝3∠P AQ，∠PCD＝3∠PCQ，试判断∠APC与∠AQC的数量关系，并说明理由．28．（2018春•东莞市期末）如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠ABC，∠DBC＝∠D，BD平分∠ABC，点E在BC 的延长线上．（1）求证：CD∥AB；（2）若∠D＝38°，求∠ACE的度数．29．（2018春•茂名期末）已知：△ABC，∠A、∠B、∠C之和为多少？为什么？解；∠A+∠B+∠C＝180°理由：作∠ACD＝∠A，并延长BC到E∵∠ACD＝∠（已作）AB∥CD（）∴∠B＝（）而∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°∴∠ACB++＝180°（）30．（2018春•香洲区期末）如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．（1）求证：∠EAB＝∠CED；（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．①求证EG⊥AF；①求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】第11章《三角形》解答题精选参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）∵∠DAB+∠CBA+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠CBA＝360°﹣（∠C+∠D）＝360°﹣210°＝150°．故答案为：150；（2）∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点E，∴∠EAB=12∠DAB，∠EBA=12∠ABC，∴∠E＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝180°−12（∠DAB+∠CBA）＝180°−12（360°﹣∠C﹣∠D）=12（∠C+∠D），∵∠C+∠D＝210°，∴∠E=12（∠C+∠D）＝105°．2．【解答】解；（1）如图1，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣60°）＝60°∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD∴∠OBC=12∠ABC，∠OCD=12∠ACD∵∠ACD＝∠ABC+∠A∴∠OCD=12（∠ABC+∠A）∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC=12∠ABC+12∠A−12∠ABC=12∠A ＝30°如图3，∵BO 平分∠EBC ，CO 平分∠BCD∴∠OBC =12∠EBC ，∠OCB =12∠BCD∴∠OBC +∠OCB=12（∠EBC +∠BCD ）=12（∠A +∠ACB +∠BCD ）=12（∠A +180°）=12（60°+180°）＝120°∴∠O ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝60°如图4，∵∠ABC ，∠ACB 的三等分线交于点O 1，O 2∴∠O 2BC =23∠ABC ，∠O 2CB =23∠ACB ，O 1B 平分∠O 2BC ，O 1C 平分∠O 2CB ，O 2O 1平分BO 2C ∴∠O 2BC +∠O 2CB=23（∠ABC +∠ACB ） =23（180°﹣∠BAC ）=23（180°﹣60°） ＝80°∴∠BO 2C ＝180°﹣（∠O 2BC +∠O 2CB ）＝100°∴∠BO 2O 1=12∠BO 2C ＝50°故答案为：120°，30°，60°，50°；（2）证明：∵OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∠O ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝180°−12（∠ABC +∠ACB ）＝180°−12（180°﹣∠A ）＝90°+12∠A ． （3）∵∠O 2BO 1＝∠2﹣∠1＝20°∴∠ABC ＝3∠O 2BO 1＝60°，∠O 1BC ＝∠O 2BO 1＝20°∴∠BCO 2＝180°﹣20°﹣135°＝25°∴∠ACB ＝2∠BCO 2＝50°∴∠A ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ＝70°或由题意，设∠ABO 2＝∠O 2BO 1＝∠O 1BC ＝α，∠ACO 2＝∠BCO 2＝β， ∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°∴α＝20°，β＝25°∴∠ABC +∠ACB ＝3α+2β＝60°+50°＝110°，∴∠A ＝70°．3．【解答】解：（1）∵BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠PBC =12∠ABC ，∠PCB =12∠ACB ，∴∠BPC ＝180°﹣（∠PBC +∠PCB ）＝180°﹣（12∠ABC +12∠ACB ）， ＝180°−12（∠ABC +∠ACB ），＝180°−12（180°﹣∠A ）， ＝180°﹣90°+12∠A ， ＝90°+32°＝122°，故答案为：122°；（2）∵CE 和BE 分别是∠ACB 和∠ABD 的角平分线，∴∠1=12∠ACB ，∠2=12∠ABD ，又∵∠ABD 是△ABC 的一外角，∴∠ABD ＝∠A +∠ACB ，∴∠2=12（∠A +∠ABC ）=12∠A +∠1，∵∠2是△BEC 的一外角，∴∠BEC ＝∠2﹣∠1=12∠A +∠1﹣∠1=12∠A =α2；（3）∠QBC =12（∠A +∠ACB ），∠QCB =12（∠A +∠ABC ）， ∠BQC ＝180°﹣∠QBC ﹣∠QCB ，＝180°−12（∠A +∠ACB ）−12（∠A +∠ABC ），＝180°−12∠A −12（∠A +∠ABC +∠ACB ），结论∠BQC ＝90°−12∠A ． 4．【解答】解：∵AD 是高，∠B ＝70°，∴∠BAD ＝20°，∴∠BAE ＝20°+10°＝30°，∵AE 是角平分线，∴∠BAC ＝60°，∴∠C ＝180°﹣70°﹣60°＝50°．5．【解答】解：（1）设这个多边形的每个内角是x °，每个外角是y °， 则得到一个方程组{α=4α+30α+α=180 解得{α=150α=30， 而任何多边形的外角和是360°，则多边形内角和中的外角的个数是360÷30＝12，则这个多边形的边数是12边形；（2）设这个多边形的边数为n ，依题意得：27（n ﹣2）180°＝360°，解得n ＝9，答：这个多边形的边数为9．6．【解答】解：设∠1＝∠2＝x °，则∠3＝∠4＝2x °，∵∠2+∠4+∠BAC＝180°，∴x+2x+69＝180，解得x＝37，即∠1＝37°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝69°﹣37°＝32°．7．【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝105°，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝105°﹣75°＝30°；（2）∠BAD＝2∠CDE，理由如下：设∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝45°+x，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣x，∴∠ADE＝∠AED=90°+α2，∴∠CDE＝45°+x−90°+α2=12x，∴∠BAD＝2∠CDE；（3）设∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠B+x，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠C﹣x，∴∠ADE＝∠AED＝∠C+12 x，∴∠CDE＝∠B+x﹣（∠C+12x）=12x，∴∠BAD＝2∠CDE．8．【解答】解：∵∠B＝3∠A，∴∠A=13∠B，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴13∠B+∠B＝90°，解得∠B＝67.5°．9．【解答】（1）证明：如图，∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠2（等量代换）．∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．（2）解：∵AD∥BC（已知），∴∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A＝130°（已知），∴∠ABC＝50°．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠3=12∠ABC＝25°．∴∠2＝∠3＝25°．10．【解答】证明：（1）如图1，过点G作GH∥AB，∴∠EGH＝∠AEG．∵AB∥CD，∴GH∥CD．∴∠FGH＝∠CFG．∴∠EGH+∠FGH＝∠AEG+∠CFG．即：∠EGF＝∠AEG+∠CFG；（2）如图2所示，猜想：∠G＝90°；证明：由（1）中的结论得：∠EGF＝∠AEG+∠CFG，∵EG、FG分别平分∠AEF和∠CEF，∴∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴2∠AEG+2∠CFG＝180°，∴∠AEG+∠CFG＝90°，∴∠G＝90°；（3）解：如图3，∵EG平分∠AEH，EH平分∠GEF，FH平分∠CFG，FG平分∠HFE，∴∠AEG＝∠GEH＝∠HEF=13αααα，∠CFH＝∠HFG＝∠EFG=13αααα，由（1）可知，∠G＝∠AEG+∠CFG，∠H＝∠AEH+∠CFH，∴∠G=13∠AEF+23∠CFE＝95°，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴13（∠AEF+∠CFE）+13αCFE＝95°，∴∠CFE＝105°，∴∠AEF＝75°，∴∠H=23∠AEF+13∠CFE=23×75°+13×105°=85°．11．【解答】解：（1）∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB∴∠CBD=12∠CBA，∠BCE=12∠ACB，∵∠CBA +∠BCA ＝180°﹣80°＝100°，∴∠BFC ＝180°−12（∠CBA +∠ACB ）＝130°．（2）∵EG 、DG 分别平分∠AEF 、∠ADF∴∠GEF =12∠AEF ，∠GDF =12∠ADF ，∵∠AEF +∠ADF ＝360°﹣80°﹣130°＝150°，∴∠GEF +∠GDF =12×150°＝75°，∴∠EGD ＝360°﹣（∠GEF +∠GDF ）﹣∠EFD ＝360°﹣75°﹣130°＝155°．12．【解答】解：∵∠B ＝44°，∠C ＝76°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝60°，∵AE 是角平分线，∴∠EAC =12∠BAC ＝30°．∵AD 是高，∠C ＝76°，∴∠DAC ＝90°﹣∠C ＝14°，∴∠DAE ＝∠EAC ﹣∠DAC ＝30°﹣14°＝16°．13．【解答】解：（1）∵六边形ABCDEF 的内角都相等，∴∠BAF ＝∠B ＝∠C ＝∠CDE ＝∠E ＝∠F =(6−2)×180°6=120°， ∵∠F AD ＝60°，∴∠F +∠F AD ＝180°，∴EF ∥AD ，∴∠E +∠ADE ＝180°，∴∠ADE ＝60°；（2）∵∠BAD ＝∠F AB ﹣∠F AD ＝60°，∴∠BAD +∠B ＝180°，∴AD ∥BC ，∴EF ∥BC ．14．【解答】解：∵EF ∥BC ，∴∠CEF ＝∠ECD ＝50°，∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝∠ECD ，∴∠ACD ＝∠ACE +∠ECD ＝100°，∴∠ACB ＝180°﹣∠ACD ＝180°﹣100°＝80°，∴∠B ＝180°﹣（∠A +∠ACB ）＝180°﹣60°﹣80°＝40°．15．【解答】解：（1）证明：∵∠CDQ 是△CBD 的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CDQ ＝∠α+∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵PQ ∥MN （已知），∴∠CDQ ＝∠β（两直线平行，同位角相等）．∴∠β＝∠α+∠C （等量代换）．∵∠C ＝45°（已知），∴∠β＝∠α+45°（等量代换）；故答案为：已知，两直线平行，同位角相等，∠α+∠C ，（2）证明：∵∠CFN 是△ACF 的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CFN ＝∠β+∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∵PQ ∥MN （已知），∴∠CFN ＝∠α（两直线平行，同位角相等）∴∠α＝∠β+∠C （等量代换）．∵∠C ＝45°（已知），∴∠α＝∠β+45°（等量代换）．16．【解答】解：（1）∠B ＝60°，∠3＝60°，∴△ABD 中，∠1＝180°﹣∠B ﹣∠ADB ＝120°﹣∠ADB ，又∵∠2＝180°﹣∠3﹣∠ADB ＝120°﹣∠ADB ，∴∠1＝∠2；（2）∵∠C ＝40°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝80°，又∵∠1＝50°，∴∠DAE＝30°，又∵∠3＝∠4，∴∠4＝75°，∴∠2＝∠4﹣∠C＝75°﹣40°＝35°．17．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∠A＝70°，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝110°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC＝55°；（2）证明：DF∥BE．∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∠2＝∠AFD，∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠1＝∠2=12∠ADC，∠ABE=12∠ABC∴∠2＝∠ABE，∴∠AFD＝∠ABE，∴DF∥BE．18．【解答】解：（1）∵∠A＝42°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝138°，∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，∴∠1+∠2=12（∠ABC+∠ACB）=12×138°=69°，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣69°＝111°；（2）∠BOC＝90°+12∠A，∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，∴∠1+∠2=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A），∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180−12(180°−αα)=90°+12αα．19．【解答】解：∵AD⊥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∵∠BAC＝80°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣30°＝50°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=12∠DAC=12×50°＝25°，∴∠BAE＝30°+25°＝55°，∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝55°+60°＝115°．20．【解答】已知：△ABC中，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．证明：过点A作直线MN，使MN∥BC．∵MN∥BC，∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC（两直线平行，内错角相等）∵∠MAB+∠NAC+∠BAC＝180°（平角定义）∴∠B+∠C+∠BAC＝180°（等量代换）即∠A+∠B+∠C＝180°．21．【解答】解：∵∠CDG＝∠B（已知），∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行），∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），∵∠1+∠FEA＝180°（已知），∴∠BAD+∠FEA＝180°（等量代换），∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴∠BFE＝∠ADF（两直线平行，同位角相等），故答案为：同位角相等，两直线平行，∠1，两直线平行，内错角相等，∠BAD，同旁内角互补，两直线平行，∠ADF，两直线平行，同位角相等．22．【解答】解：（1）∵C（﹣10，10），CE∥x轴，∴B（0，10），∴OB＝10．（2）连接AM．∵AD⊥DM，∴∠DAM+∠DMA＝90°，∵EC∥AH，∴∠EMA+∠HAM＝180°，∴∠EMD+∠HAD＝90°，∵MN平分∠EMD，AN平分∠DAH，∴∠EMN+∠NAH＝45°，∴∠NMA+∠NAM＝135°，∴∠MNA＝180°﹣135°＝45°．（3）由题意：0°＜∠DAO＜45°，∵AN平分∠DAO，∴0°＜∠NAH＜22.5°，∵NH⊥AH，∴∠AHN＝90°，∴∠ANH＝90°﹣∠NAH，∴67.5°＜∠ANH＜90°．23．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∠CED+∠DCE＝90°．∵∠ACB＝∠CED，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝180°﹣（∠ACB+∠DCE）＝90°．∴△ACE是直角三角形．24．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠1＝∠B＝45°，又∵∠C＝67°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．25．【解答】（1）证明：如图①，过E作EF∥AD，∵AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠DAE＝∠AEF，∠CBE＝∠BEF，∴∠AEB＝∠DAE+∠CBE；（2）①证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∵AE平分∠DAC，∴∠EAC=12∠DAC=12∠ACB，∵∠ABC＝∠BAC，∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠EAC＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°；①解：如图（3），由①知∠BAE＝90°，∴∠F AE＝90°．∵∠F＝65°，∴∠APC＝90°+60°＝155°．∴∠P AC+∠ACP＝25°．∵AE平分∠DAC，CF平分∠ACD，∴∠DAC+∠ACD＝2（∠P AC+∠ACP）＝50°，∴∠D＝180°﹣50°＝130°．∵AD∥BC，∴∠BCD＝180°﹣∠D＝180°﹣130°＝50°．26．【解答】证明：方法1：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，∴∠ADC+∠DCB＝180°，∴∠ABC＝∠ADC．方法2：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，∴ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC．27．【解答】解：（1）AB∥CD，理由是：分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，∵EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥FN∥AB，∴∠1+∠A＝180°，∠3+∠4＝180°，∵∠A+∠E+∠F+∠C＝540°，∴∠2+∠C＝540°﹣180°﹣180°＝180°，∴FN∥CD，∵FN∥AB，∴AB∥CD；（2）设∠P AQ＝x，∠PCD＝y，∵∠P AB＝3∠P AQ，∠PCD＝3∠PCQ，∴∠P AB＝3x，∠BAQ＝2x，∠PCD＝3y，∠QCD＝2y，过P作PG∥AB，过Q作QH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PG∥GH，∴∠AQH＝∠BAQ＝2x，∠QCD＝∠CQH＝2y，∴∠AQC＝2x+2y＝2（x+y），同理可得：∠APC＝3x+3y＝3（x+y），∴αααααααα=23，即∠AQC=23∠APC．28．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠DBC＝∠D，∴∠ABD＝∠D，∴CD∥AB，（2）∵∠D＝38°，∴∠ABD＝∠D＝38°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝76°，∴∠ABC＝∠A＝76°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A＝76°，∠ABC＝∠DCE＝76°，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝76°+76°＝152°29．【解答】解；∠A+∠B+∠C＝180°．理由：作∠ACD＝∠A，并延长BC到E∵∠ACD＝∠A（已作）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）而∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°∴∠ACB+∠A+∠B＝180°（等量代换）故答案为：A，内错角相等，两直线平行，∠DCE，两直线平行，同位角相等，∠A，∠B，等量代换．30．【解答】解：（1）∵AB⊥BC，∴∠EAB+∠AEB＝90°，∵AE⊥ED，∴∠CED+∠AEB＝90°，∴∠EAB＝∠CED．（2）①∵AF平分∠BAE，∴∠EAG=12∠EAB，∵EH平分∠CED，∴∠HED=12∠CED，∵∠EAB＝∠CED，∴∠HED＝∠EAG，∴∠HED+∠AEG＝90°，∴∠EAG+∠AEG＝90°，∴∠EGA＝90°，∴EG⊥AF．①作FM∥CD．∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴FM∥AB，∴∠DFM＝∠CDF=12∠CDE，∠AFM＝∠F AB=12∠EAB，∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠CDE+∠EAB＝90°，∴∠DF A＝∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB）＝45°．。

第11章 反比例函数【单元提升卷】2022-2023学年八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试

第11章 反比例函数【单元提升卷】2022-2023学年八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试

第11章 反比例函数【单元提升卷】考生注意：1.本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题1. 下列函数关系式中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A. y=2x ﹣1B. 2x y =C. 22y x =D. y=2x2. 如图是三个反比例函数1k y x =、2k y x =、3k y x =在x 轴上方的图象，由此观察得到123,,k k k 的大小关系（ ）A. 123k k k >>B. 321k k k >>C. 231k k k >>D. 312k k k >>3. 某长方体的体积为100cm 3，长方体的高h (单位：cm)与底面积S 的函数关系式为()A. h ＝S100 B. h ＝100S C. h ＝100S D. h ＝1004. 如图，已知点C 为反比例函数y=﹣6x上一点，过点C 向坐标轴引垂线，垂足分别为A ，B ，那么四边形AOBC 的面积为（ ）A. ﹣6B. 3C. 6D. 125. 关于反比例函数y=﹣4x ，下列说法正确的是（ ）A. 图象在第一、三象限 B. 图象经过点（2，﹣8）C. 当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D. 当x ＜0时，y 随x 的增大而增大6. 如图4，A 、B 是反比例函数2y x的图象上的两点．AC 、BD 都垂直于x 轴，垂足分别为C 、D ．AB 的延长线交x 轴于点E ．若C 、D 的坐标分别为(1，0)、(4，0)，则ΔBDE 的面积与ΔACE 的面积的比值是　( )A. 12 B. 14 C. D.7. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的直角顶点A 的坐标为（2，0），顶点B 的坐标为（0，1），顶点C 在第一象限，若函数y=k x（x ＞0）的图象经过点C ，则k 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 68. 在同坐标系中，函数k y x=（k≠0）与y=kx+k （k≠0）在同一坐标系中的大致图像是（ ）A. B. C.D.9. 如图，△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （1，3），C （3，1）．若反比例函数y =k x在第一象限内的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A. 2≤k ≤3B. 2≤k ≤4C. 3≤k ≤4D. 2≤k ≤3.510. 如图，若双曲线(0)k y k x=>与它的一条对称轴y x =交于A 、B 两点，则线段AB 称为双曲线(0)k y k x =>的“对径”．若双曲线(0)k y k x =>的对径长是则 k 的值为（ ）A. 2B. 4C. 6D.二、填空题11. 如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为1，则反比例函数的解析式为_______.12. 已知一菱形的面积为12cm2，对角线长分别为xcm和ycm，则y与x的函数关系式为_____13. 如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数kyx=在第一象限内的交点，PA⊥OP交x轴于点A，△POA的面积为2，则k的值是___．14. 如图，一次函数y1=ax+b与反比例函数2kyx=的图像交于A(1，4)、B(4，1)两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是___________．15. 若一次函数2y x k =-的图象与反比例函数5k y x +=的图象相交，其中一个交点纵坐标为4，则此交点坐标为_________．16. 如图，点A 为函数y ＝9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1x (x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为______.17. 如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B (203-，5)，D 是AB 边上的一点．将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是_____．18. 若A 、B 两点关于y 轴对称，且点A 在双曲线12y x=上，点B 在直线3y x =+上，设点A 的坐标为（a ,b ）,则ab b a+=________________．三、解答题19. 如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O 左侧固定位置B 处悬挂重物A ，在中点O 右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O 的距离x （cm ），观察弹簧秤的示数y （N ）的变化情况．实验数据记录如下：x（cm）…1015202530…y（N ） (3020151210)…（1）把上表中x ，y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y （N ）与x （cm ）之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）当弹簧秤的示数为24N 时，弹簧秤与O 点的距离是多少cm ？随着弹簧秤与O 点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？20. 一张边长为16cm 正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示．小矩形的长x （cm ）与宽y （cm ）之间的函数关系如图2所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）“E ”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ，求小矩形宽的范围．21. 如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线 k y x =与直线()1y x k =--+在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B 且S △ABO = 32．（1）求这两个函数的解析式．（2）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和△AOC 的面积．22. 如图，一次函数4y x =+的图像与反比例函数k y x=(k 为常数，且0k ≠)的图像交于(1,),(,1)A a B b -两点.(1)求反比例函数的表达式; (2)在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，求满足条件的点P 的坐标;(3)在(2)的条件下求PAB ∆的面积.23. 如图，已知反比例函数k y x=的图象与一次函数y x b =+的图象交于点(1,4)A ，点(4,)B n -．（1）求n 和b 的值；（2）求OAB ∆的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．24. 如图，直线y=k 1x+b 与双曲线y=2k x相交于A （1，2）、B （m ，﹣1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）为双曲线上的三点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系式；（3）观察图象，请直接写出不等式k 1x+b ＞2k x 的解集．25. 已知反比例函数1k y x -=的图象经过A (2,-4)．(1)求k 的值．(2)这个函数的图象在哪几个象限？y 随x 的增大怎样变化？(3)画出函数的图象．(4)点B (-2,4)，C (-1,5)在这个函数的图象上吗？26. 如图，正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数(0,0)ky k x x =>>的图象上，点P (,)m n 是函数k y x=图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合的部分（图中阴影部分）的面积为S ．（1）求B 点坐标和k 值；（2）当92S =时，求P 点坐标．第11章 反比例函数【单元提升卷】考生注意：1.本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y=k x （k≠0），即可判定函数的类型．【详解】A.是一次函数，故此选项错误；B.是正比例函数，故此选项错误；C.不是反比例函数，故此选项错误；D.是反比例函数，故此选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的形式为y=k x（k 为常数，k≠0）或y=kx -1（k 为常数，k≠0）．【2题答案】【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质进行解答即可．【详解】解：∵反比例函数y ═3k x 和y =2k x 的图象在第一象限，∴k 3＞0，k 2＞0．∵反比例函数y =1k x的图象在第二象限，∴k 1＜0．∵y =3k x的图象据原点较远，∴k 2＜k 3，∴k 3＞k 2＞k 1．故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据等量关系“长方体的高=长方体的体积÷底面积”即可列出关系式．【详解】由题意得：长方体的高h （单位：cm ）与底面积S 的函数关系式为h =100s．故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是找出题中的等量关系．【4题答案】【答案】C【解析】【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S 是个定值，即S=|k|．【详解】由于点C 为反比例函数y=-6x 上的一点，则四边形AOBC 的面积S=|k|=6．故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数y=k x中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|．【5题答案】【答案】D【解析】【分析】反比例函数y=kx（k≠0）中的k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，据此可解．【详解】A.因为k=-4＜0，所以函数图象位于二、四象限，故本选项错误；B.因为k=-4≠-8×2，所以图象不过点（2，-8），故本选项错误；C.因为k=-4＜0，所以函数图象位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项错误；D.因为k=-4＜0，所以函数图象位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项正确；故选D．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y 随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．【6题答案】【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式求得AC=2，BD=12，再证明△BDE∽△ACE，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵C、D的坐标分别为（1，0），（4，0），∴AC=2，BD=12，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDE=90°，∴AC BD∥，∴△BDE∽△ACE，∴△BDE的面积与△ACE的面积的比值为2116 BDAC⎛⎫=⎪⎝⎭．故选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，反比例函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．【7题答案】【答案】D【解析】【分析】作CD ⊥x 轴，构造△AOB ≌△CDA ，得到DC=OA=2，AD=BO=1，求出C 的坐标，把C 点坐标代入y=k x（x ＞0）即可求出k 的值．【详解】∵点A 的坐标为（2，0），顶点B 的坐标为（0，1），∴OA=2，OB=1，作CD ⊥x 轴与D ，∴∠BAO+∠CAD=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CAD=∠ABO ，在△AOB 和△CDA 中，=90ABO CAD AOB ADC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOB ≌△CDA ，∴DC=OA=2，AD=BO=1，∴DO=OA+AD=1+2=3；∴C 点坐标为（3，2），把（3，2）代入y=k x（x ＞0）得，k=6．故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这些性质是解题的关键．【8题答案】【答案】C【解析】【分析】首先由四个图像中一次函数的图像与y轴的交点在正半轴上，确定k的取值范围，然后根据k的取值范围得出反比例函数y＝kx（k≠0）的图像．【详解】由一次函数的图像与y轴的交点在正半轴上可知k＞0，故函数y=kx+k的图像过一、二、三象限，反比例函数y＝kx经过第一、三象限，所以可以排除A，B，D．故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的图像性质和一次函数的图像性质，掌握它们的性质是解题的关键．【9题答案】【答案】B【解析】【分析】根据△ABC三顶点的坐标可知，当k最小是反比例函数过点A，当k取最大值时，反比例函数与直线相切，且切点在线段BC上，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的最小值，再由点B、C的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式，将其代入反比例函数中，令△=0即可求出k的最大值，从而得出结论．【详解】当反比例函数过点A时，k值最小，此时k=1×2=2；∵1×3=3×1，∴反比例函数图象与直线BC的切点在线段BC上，设直线BC的解析式为y=ax+b，∴有313a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得：14ab=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=-x+4，将y=-x+4代入y=kx中，得：-x+4=kx，即x2-4x+k=0，∵反比例函数图象与直线BC只有一个交点，∴△=（-4）2-4k=0，解得：k=4．综上可知：2≤k≤4．故答案是：2≤k≤4．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及根的判别式，解题的关键是求出k的最小值与最大值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由点的坐标利用待定系数法求出直线解析式，将其代入反比例函数中利用相切求出k值是关键．【10题答案】【答案】B【解析】【分析】根据题中的新定义：可得出对径AB=OA+OB=2OA，由已知的对径长求出OA的长，过A作AM垂直于x轴，设A（a，a）且a>0，在直角三角形AOM 中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值．【详解】解：过A作AM⊥x轴，交x轴于点M，如图所示：设A(a,a)，a>0，可得出AM=OM=a，又∵双曲线的对径AB=，∴OA=OB=在Rt△AOM中,根据勾股定理得：AM2+OM2=OA2，则a2+a2=()2，解得：a=2或a=−2(舍去)，则A(2,2)，将x =2,y =2代入反比例解析式得：2=2k ，解得：k =4故选B 二、填空题【11题答案】【答案】2y x =-．【解析】【详解】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S=12|k|，又反比例函数的图象在二、四象限，∴k ＜0．则由1=12|k|得k=－2．所以这个反比例函数的解析式是2y x =-．【12题答案】【答案】24y x =【解析】【详解】根据菱形的面积等于对角线积的一半， 即112,24,2xy xy ==得 即y=24x .故答案：y=24x.【13题答案】【答案】2【解析】【详解】试题分析：如图，过P 作PB ⊥OA 于B ，∵正比例函数的解析式为y=x ，∴∠POA=45°．∵PA ⊥OP ，∴△POA 为等腰直角三角形．∴OB=AB ．∴S △POB =12S △POA =12×2=1．∴12k=1，解得k=2．【14题答案】【答案】x＜0或1＜x＜4【解析】【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．【详解】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．【点睛】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．【15题答案】【答案】()0.5,4【解析】【分析】把纵坐标代入两个函数解析式建立方程组即可．【详解】解：由题意得：4=254x kkx-⎧⎪+⎨=⎪⎩，解得：312kx=-⎧⎪⎨=⎪⎩，经检验符合题意；故交点坐标为()0.5,4．故答案：()0.5,4【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点坐标，理解题意建立正确的方程组是解本题的关键．【16题答案】【答案】6【解析】【分析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：S△AOD=92, S△BOE=12，再证明△BOE∽△AOD，由性质得OB与OA的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论．【详解】如图，分别作BE⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为点E、D，∴BE∥AD，∴△BOE∽△AOD，∴22BOEAODS OBS OA=，∵OA=AC，∴OD=DC，∴S△AOD=S△ADC=12S△AOC，∵点A为函数y=9x（x＞0）的图象上一点，∴S△AOD=9 2，同理得：S△BOE=12，∴112992BOEAODSS==，∴13 OBOA=，∴23 AB OA=，∴23ABC AOC S S = ，∴2963ABC S ⨯== ，故答案为6．【17题答案】【答案】y ＝－12x【解析】【分析】此题要求反比例函数的解析式，只需求得点E 的坐标．根据点B 的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点E 的坐标，运用待定系数法进行求解．【详解】解：过E 点作EF OC ⊥于F 由条件可知：5OE OA ==，53tan 2043EF BC OF OC ===∠B O C =，所以3EF =，4OF =，则E 点坐标为(4,3)-设反比例函数的解析式是k y x =则有4312k =-⨯=-∴反比例函数的解析式是12y x=-．故答案为：12y x=-．【点睛】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、锐角三角形函数，解题的关键是利用锐角三角函数求解．【18题答案】【答案】16【解析】【详解】试题解析：∵点A的坐标为（a，b），A、B两点关于y轴对称，∴B（-a，b），∵点A在双曲线y=-12x上，点B在直线y=x+3上，∴a b=-12，-a+3=b，即ab=-12，a+b=3，∴原式=2()2a b abab+-=16.【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．三、解答题【19题答案】【答案】（1）图象见解析；300yx=；（2）随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数不断增大．【解析】【分析】（1）在平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点，然后由图象猜测可y与x之间的函数关系为反比例函数关系；再根据待定系数法求解即可；（2）把y＝24代入（1）中的函数关系式即可求出弹簧秤与O点的距离，根据反比例函数的性质即可得出答案；【详解】解：(1)取实验数据(10，30)，(15，20)，(20，15)，(25，12)，(30，10)，并在平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点，得到如图所示的图象．由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数关系．设反比例函数为kyx=(k≠0)，把x＝10，y＝30代入，得k＝300，∴300yx=，将各点代入均适合．∴y与x之间的函数解析式为300yx =．(2)把y ＝24代入300y x=，得x ＝12.5．∴当弹簧秤的示数为24N 时，弹簧秤与O 点之间的距离是12.5cm ．随着弹簧秤与O 点之间的距离不断减小，弹簧秤的示数不断增大．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意、得出相应的反比例函数关系式是解题的关键．【20题答案】【答案】（1）20y x =（52 ＜x ＜16）；（2）216；（3）51033y ≤≤cm ．【解析】【分析】（1）根据图像易知，y 是x 的反比例函数，将（10,2）代入反比例函数解析式即可；（2）“E ”图案的面积等于正方形的面积减去2xy ，即可；（3）根据图像回答问题即可.【详解】解：（1）设函数关系式为k y x =，∵函数图像经过（10，2） ∴210k=∴k =20，∴y 与x 之间的函数关系式20y x=；∵0＜x ＜16，0＜y ＜16，∴0＜x ＜16，0＜20x＜16，∴52＜x＜16；（2）∵20yx =，∴xy=20，∴S E=S正=162-2×20=216；（3）当x=6时，201063y==，当x=12时，205123y==，∴小矩形的长是6≤x≤12cm，小矩形宽的范围为51033y≤≤cm．【点睛】这是一道反比例函数的综合题，涉及求反比例函数解析式，根据自变量的额范围确定函数值的范围，或者根据函数值的范围求自变量的范围，通常通过数形结合来做.【21题答案】【答案】（1）y=﹣3x；y=﹣x+2（2）4【解析】【分析】（1）根据S△ABO=32，即1322x y⋅=，所以3x y⋅=，又因为图像在二四象限，所以xy=﹣3即k=-3，求出反比例函数解析式，再将k=-3代入()1y x k=--+，求出一次函数解析式；（2）将两个函数关系式y=﹣3x和y=﹣x +2联立，解这个方程组，可求出两个交点A，C的坐标；（3）将x=0代入y=﹣x +2中，求出D点坐标，根据△AOC的面积=△ADO的面积+△CDO的面积求解即可.【详解】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0则S△ABO=12•|OB|•|AB|=12•（﹣x）•y=32∴xy=﹣3又∵kyx=∴k=﹣3∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣3x，y=﹣x +2（2）A 、C 两点坐标满足32y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩解得 121213,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ ∴交点A 为（﹣1，3），C 为（3，﹣1）（3）由y =﹣x +2，令x =0，得y =2．∴直线y =﹣x +2与y 轴的交点D 的坐标为（0，2）112123422AOC AOD DOC S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯= 【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，反比例函数与一次函数的综合，割补法求不规则图形的面积，解答本题的关键是求出两个函数的表达式.【22题答案】【答案】(1)反比例函数的表达式：3y x =-; (2) 5(,0)2-; (3) PAB ∆的面积为32.【解析】【详解】【试题分析】（1）根据()()1,,,1A a B b -两点在一次函数4y x =+的图像上，求出A 、B 两点坐标即可；代入反比例函数求出答案；（2）根据“小马饮水”的思路解决即可，关键是先画出图形，再解答；（3）用割补法求三角形的面积.【试题解析】（1）根据()()1,,,1A a B b -两点在一次函数4y x =+的图像上，得A(-1，3)和B(-3，1)，因为点A(-1，3)在k y x =，则31(3)3,k y x=⨯-=-=-即；（2）如图，作点B 关于x 轴的对称点D(-3，-1)，连接DA ，则直线DA 的解析式为25y x =+ ，当y=0时，x=5-2 ，故点P （5,02-）；（3）用割补法求三角形的面积，PAB ∆的面积为提醒ABGH 的面积减去三角形BGH 的面积减去三角形APH 的面积，即(13)21131313222222+⨯-⨯⨯-⨯⨯= .【23题答案】【答案】（1）-1；（2）7.5；（3）x ＞1或﹣4＜x ＜0【解析】【分析】（1）把点A 坐标分别代入反比例函数k y x=，一次函数y x b =+，求出k 、b 的值，再把点B 的坐标代入反比例函数解析式求出n 的值，即可得出答案；（2）求出直线AB 与y 轴的交点C 的坐标，分别求出ACO ∆和BOC ∆的面积，然后相加即可；（3）根据A 、B 的坐标结合图象即可得出答案．【详解】解：（1）把A 点(1,4)分别代入反比例函数k y x =，一次函数y x b =+，得14k =⨯，14b +=，解得4k =，3b =，点(4,)B n -也在反比例函数4y x=的图象上，414n ∴==--；（2）如图，设直线3y x =+与y 轴的交点为C ，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴，1131347.522AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=；（3）(4,1)B -- ，(1,4)A ，∴根据图象可知：当1x >或40x -<<时，一次函数值大于反比例函数值．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，解题的关键是利用数形结合思想求解．【24题答案】【答案】（1）双曲线的解析式为：y=2x直线的解析式为：y=x+1（2）y 2＜y 1＜y 3（3），x ＞1或﹣2＜x ＜0【解析】【分析】（1）将点A （1，2）代入双曲线y=2k x ，求出k 2的值，将B （m ，﹣1）代入所得解析式求出m 的值，再用待定系数法求出k 1x 和b 的值，可得两函数解析式．（2）根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究．（3）根据A 、B 点的横坐标结合图象找出直线在双曲线上方时x 的取值即可．【详解】解：（1）∵双曲线y=2k x 经过点A （1，2），∴k 2=2，∴双曲线的解析式为：y=2x．∵点B （m ，﹣1）在双曲线y=2x 上，∴m=﹣2，则B （﹣2，﹣1）．由点A （1，2），B （﹣2，﹣1）在直线y=k 1x+b 上，得11k +b=2{2k +b=1--，解得1k =1{b=1．∴直线的解析式为：y=x+1．（2）∵双曲线y=2x 在第三象限内y 随x 的增大而减小，且x 1＜x 2＜0，∴y 2＜y 1＜0，又∵x 3＞0，∴y 3＞0．∴y 2＜y 1＜y 3．（3）由图可知，x ＞1或﹣2＜x ＜0．【25题答案】【答案】(1)k =9；（2）图象位于二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大；（3）见解析；（4）B （-2，4）在反比例函数的图象上，C （-1，5）不在反比例函数的图象上．【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k 值；（2）根据确定的k 的符号判断其所在的象限和增减性；（3）利用描点作图法作出图象即可；（4）满足函数关系式即在，否则不在．【详解】解：（1）∵反比例函数1k y x-=的图象经过点A （2，﹣4），∴1﹣k =2×（﹣4）=﹣8；解得：k =9；（2）∵1-k =﹣8＜0，∴图象位于二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大；（3）图象为：（4）∵﹣2×4=﹣8，﹣1×5=﹣5≠﹣8，∴B （﹣2，4）在反比例函数的图象上，C （﹣1，5）不在反比例函数的图象上．【点睛】本题考查了求反比例函数的比例系数，画反比例函数图象，反比例函数的性质，点与反比例函数图象的关系，确定比例系数是关键．【26题答案】【答案】（1）(3,3)B ，9k =；（2）当92S =时，P 点坐标为36,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,62⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由正方形的面积，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，确定出OA 及AB 的长，得到点B 的坐标，将B 的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k 值；（2）分两种情况考虑：①当点P 在点B 的左边时，不重合部分为矩形PMCF ，将P 的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到mn 的值，根据P 及B 的坐标，表示出PM 与CM ，利用矩形的面积公式表示出矩形PMCF 的面积，将mn 的值及已知的面积代入，即可求出m 的值，进而得到n 的值，确定出此时P 的坐标；②当点P 在点B 的右边时，不重合部分为矩形ANPE ，由P 及B 的坐标表示出AE 及PE ，利用矩形的面积公式表示出矩形ANPE 的面积，将mn 的值及已知的面积代入求出n 的值，进而求出m 的值，确定出此时P 的坐标，综上，得到所有满足题意的P 的坐标．【详解】解：（1）∵正方形OABC 的面积为9，∴OA =OC =AB =BC =3，∴B （3，3）．又∵点B （3，3）在函数k y x=（k ＞0，x ＞0）的图象上，∴将B 的坐标代入反比例函数解析式得：3k =3，即k =9；（2）分两种情况：①当点P 在点B 的左侧时，矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分为矩形PFCM ．∵P （m ，n ）在函数k y x=上，∴mn =9．∵PE =n ，ME =BA =3，∴PM =PE ﹣ME =n ﹣3，又CM =OE =m ，∴S =CM •PM =m （n ﹣3）=mn ﹣3m =9﹣3m =92，解得：m =1.5，可得n =6，∴点P 的坐标为（1.5，6）；②当点P 在点B 的右侧时，矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分为矩形ANPE ．∵P （m ，n ）在函数k y x=上，∴mn =9．∵OE =PF =m ，NF =AO =3，∴AE =OE ﹣OA =m ﹣3，又PE =n ，∴S=AE•PE=n（m﹣3）=mn﹣3n=9﹣3n=9 2，解得n=1.5，可得m=6，∴点P的坐标为（6，1.5）．综上所述：P的坐标为（1.5，6）或（6，1.5）．【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键，需要注意分点P在点B的左边与右边两种情况进行讨论求解，避免漏解而导致出错．。

人教版初中数学竞赛专题复习《第11章 比例与相似》(含答案)

人教版初中数学竞赛专题复习《第11章 比例与相似》(含答案)

第11章 比例与相似§11.1比例线段11.1.1★在ABC △中，角平分线AD 与BC 交于D ，AB c =，BC a =，CA b =，求BD 、CD 之长度(用a 、b 、f 表示)． 解析 如图，易知有BD CD a +=，BD AB c CD AC b ==，故ac BD b c =+，abCD b c=+． AB D C11．1．2★已知：等腰梯形ABCD 中，M 、N 分别是腰AB 、CD 的中点，BD BC =，BD CA ⊥且交于E ，求证：CE MN =．解析 如图，不妨设1BE CE ==，则BC BD AC ===，1AE ED ==，故2AD =-()112MN AD BC CE =+==． ADEMN BC11．1．3★在ABC △中，2AC AB =，A ∠的平分线交BC 于D ，过D 分别作AB 、AC 的平行线交AC 、AB 于F 、E ，FE 和CB 的延长线交于G ，求证：EF EG =． 解析 如图，由ED AC ∥，及AD 平分BAC ∠，知12GE BE BE BD AB GF DF AE CD AC =====，故2GF GE =，因此EF EG =．AEFGBDC11．1．4★设D 为ABC △的边BC 的中点，过D 作一直线，交AB 、AC 或其延长线于E 、F ，又过A 作AG BC ∥，交FE 的延长线于G ，则EG FD GF DE ⋅=⋅．G AE BDCF解析 由平行知GE AG AG GFDE BD CD DF===． 于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论． 11．1．5★已知O 是平行四边形ABCD 内的任意一点，过点O 作EF AB ∥，分别交AD 、BC 于E 、F ，又过O 作GH BC ∥，分别交AB 、CD 于G 、H ；连结BE ，交GH 于P ；连结DG ，交EF 于Q ．如果OP OQ =，求证：平行四边形ABCD 是菱形． 解析 如图，易知OP EO GA BF EF AB ==，OQ GO AEDH GH AD==． 由于AE BF =，GA DH =，故OP AB GA BF AE DH OQ AD ⋅=⋅=⋅=⋅，于是AB AD =，四边形ABCD 是菱形．A E DQGH POB F C11．1．6★ABC △中，AB AC >．AD 是BAC ∠的角平分线．G 是BC 的中点，过G 作直线平行于AD 交AB 、AC 或延长线于E 和F ．求证：2AB ACBE CF +==． 解析 如图，易知G 比D 靠近B ，E 在AB 上，而F 在CA 延长线上．易知12BG BC =，而AB BC BD AB AC ⋅=+，故2BE BG AB ACAB BD AB+==，同理，CF 也是此值． F AEB G D C评注 不用比例线段的方法是：延长EG 一倍至P ，则CP BE =，再证AEF △和FCP △均为等腰三角形．11．1．7★凸四边形ABCD 中，ADC ∠，90BCD ∠>︒，BE 平行于AD 交AC 延长线于点E ，AF 平行于BC 交BD 延长线于点F ，连结E 、F ，证明：EF CD ∥． 解析 如图，设AC 、BD 交于O ，则由平行线性质，知FO AO BO CO =，AOFO BO CO=⋅，同理，BO EO AO DO =⋅，故FO DOEO CO=，故EF CD ∥． AF DOB CE11．1．8★★如图，在ABC △中．AB AC =，BP 、BQ 为B ∠的三等分角线，交A ∠的平分线AD 于P 、Q ，连结CQ 并延长交AB 于R ，求证：PR QB ∥．ARP Q BDC解析 易知ABC △关于AD 对称．又设QBC QCB θ∠=∠=，则2ABQ RQB θ∠==∠，故RQ RB =，于是由角平分线之性质，知AR AR AC AB APBR RQ CQ BQ PQ ====，于是PR QB ∥． 11．1．9★★梯形ABCD 中，AD BC ∥(AD BC <)，AC 和BD 交于M ，过M 作EF AD ∥，交AB 、CD 于E 、F ，EC 和FB 交于N ，过N 作GH AD ∥，交AB 、CD 于G 、H ．求证：1212AD BC EF GH+=+．A DE MF GNHBC解析11EM AM DM BM EM BC AC DB DB AD ===-=-，故111EM AD BC =+，同理111FM AD BC =+，故11112EF AD BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理11112GH EF BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两式相加并整理即得结论． 11．1．10★设a 、b 、c 分别是ABC △的三边的长，且a a bb a b c+=++，求它的内角A ∠、B ∠． 解析 由条件，得22a ab ac ab b -+=+，即()2b a a c =+，所以b a ca b+=． 如图，延长CB 至D ，使B D A B =，于是CD a c =+．因此在ABC △与DAC △，AC DCBC AC=，且C ∠为公共角，所以ABC △∽DAC △，BAC D ∠=∠．而BAD D ∠=∠，故22ABC D BAD D BAC ∠=∠+∠=∠=∠．CABbca D11．1．11★设凸四边形ABCD ，对角线交于E ，过E 作直线与BC 平行，交AB 、CD 及DA 延长线于G 、H 、F ．若1GE =，2EH =，求EF ．DA FGEHBC K解析 延长DF 与CB 延长线交于K ，则有FG GE KB FEBC EH==． 设EF x =，则1FG x =-，代人上式，便得12xx -=．故2EF x ==． 11．1．12★★AP 为等腰三角形ABC 底边BC 上的高，CD 为ACB ∠的平分线，作DE BC ⊥于E ，又作DF DC ⊥与直线BC 交于F ，求证：4CFPE =． 解析 如图，设AB AC m ==，BC n =，则由角平分线性质知PE AD ACBP AB AC BC==+， 故()2mnPE m n =+．又取FC 中点G ，连结DG ，1902F C ∠=︒-∠，DG FG =，故1902FDG C ∠=︒-∠，DGF C ∠=∠，故DG AC ∥，从而DG BD BC AC AB AC BC ==+，故mnDG m n=+．于是224FC FG DG PE ===．ADF B EG P C11.1.13★★足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系．跳起来呢?解析 设运动员P 在矩形球场ABCD 内，如图(a)，过P 作MPN BC ∥，M 在AB 上，N 在CD 上，则22222222AP BP AM BM DN CN PD PC -=-=-=-，或2222AP CP BP DP +=+．A MBCND P图(a)又设灯高为H ，运动员身高为h ，点A 处的灯造成的影子长为PA ′，如图(b)，则AP hA A H'='，得A P h PA H h '=-，同理B PC PD P hPB PC PD H h'''===-，故四个影子的关系是2222A P C P B P D P '+'='+'．图(b)图(c)A'hHAP A'AA''P lh H跳起来时，不妨设脚底离地l ，此时点A 处的灯造成的影子长度为A ′A ″，如图(c)，则h l A P PA H h l +'=--，lA P PA H l"=-，于是A A A P A P '"='-"h ll PA H h l H l +⎛⎫=- ⎪---⎝⎭()()Hh PA H h l H l =---， 同理B B C C D D PB PC PD '"'"'"==()()Hh H h l H l =---，所以A ′2A "+2C C '"=22B B D D '"+'"仍旧成立．11．1.14★★求日高公式． 解析 如图所示，设太阳高度为RD x =，杆AB =A ′B =h 直立在地上，影子的长度分别为BC a =，B ′C ′b =，两杆距离为d ．所谓日高公式就是用a 、b 、d 、h 表示x ，这里假定大地为平面，且AB 、A ′B ′与R 在同一平面上．RxDB'A A'hhCB易知CB AB CD RD =，代入得a h a BD x =+，故1x B D a h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；同理，B ′1x D b h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由BD B -′D B =B ′d =，代入得()1x a b d h ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，由此解得1d x h a b ⎛⎫=+⎪-⎝⎭． 11.1.15★★设梯形ABCD ，E 、F 分别在AB 、CD 上，且AD EF BC ∥∥，若3AD =，7BC =，5AB =，6CD =，梯形AEFD 和梯形EBCF 的周长相等，求EF ．解析 如图，作平行四边形DABH ，H 在BC 上，则5DH AB ==，4CH =．设D H 与EF 交于G ．A DEG FB HC易知梯形AEFD 的周长为DGF △的周长加上6，梯形EBCF 的周长为梯形FGHC 的周长加6，故DGF △的周长=梯形GHCF 的周长，也即DG DF DHC +=△周长的一半即152． 又56DG DH DF CD ==，故6154511211DF =⨯=．453046611DF GF CH CD =⋅=⨯=，306331111EF =+=．11．1．16★★如图，已知ABC △中，AD 、CE 交于F ，BF 、ED 交于G ，过G 作GMN BC ∥，交CE 于M ，交AC 于N ，求证：GM MN =．AEP BDCG K MNF解析 设AD 与GM 交于K ，AB 与直线NG 交于P ，则KN CD KMPK BD GK==． 于是1PK PG CD GM MN KN KM KM KM PG PG GM GK GK BD PG ⎛⎫=-=-=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭． 11.1.17★四边形ABCD 为正方形，E 、F 在BC 延长线上，CE CD =，CF CA =，H 、G 分别是CD 、DE 与AF 的交点．求证：CHG △为等腰三角形． 解析 如图，不妨设正方形边长为1，则CF =1CE =，1EF ．ADH JBCEFG作GJ CF ∥，交CD 于J．则JG DG AD CE DE AD EF ==+．于是12HG JG HF CF ==，即G 为直角三角形斜边HF 之中点，于是GH GC =． 11.1.18★★在ABC △中，4AB =，2BC =，3CA =，P 是ABC △内一点，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，且PD BC ∥，PE AC ∥，PF AB ∥．若PD PE PF ==，求PD ． 解析 如图，延长CP 交AB 于C ′(同理定义A ′、B ′，图中未画出)，设PD PE PF x ===，则2x C P CC '='，同理，4x B P BB '='，3x PA AA '='，由于1PA PB PC AA BB CC '''++='''，故1234x x x ++=，1213x =． AC'FPDE B C11.1.19★ABC △内有一点O ，AO 的延长线交边BC 于点A ′，BO 的延长线交边AC 于点B ′，CO 的延长线交边AB 于点C ′．若AO BO CO k OA OB OC ++='''，求A OB OC OO A O B O C ⋅⋅'⋅'⋅'的值(用k 表示)． 解析 如图，设AO x OA ='，BO y OB ='，CO z OC ='，则x y z k ++=，而1OA OB OCAA BB CC ''++='''，即1111111x y z++=+++，展开得 ()32x y z xy yz zx ++++++()1x y z xy yz zx xyz =+++++++，故22xyz x y z k =+++=+．AC'B'B A'CO11.1.20★已知ABC △的三边长分别为a 、b 、c ，三角形中有一点P ，过P 作三边的平行线，长度均为x ，试用a 、b 、c 来表示x ．解析 设AP 延长后与BC 交于A ′(同理定义B ′与C ′)，则1x AP PA a AA AA '==-''，同理1x PB b BB '=-'， 1x PC b CC '=-'，三式相加，得11132PA PB PC x a b c AA BB CC '''⎛⎫⎛⎫++=-++= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭，所以2abcx ab bc ca=++．ABCPA'评注 P 存在的条件是x a <，b ，c ，代人得：1a 、1b 、1c可组成三角形三边之长． 11.1.21★已知D 、E 、F 分别是锐角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于点P ，6AP BP CP ===．设P D x =，PE y =，PF z =，28xy yz zx ++=，求xyz 的大小．解析 由熟知结论1PD PE PFAD BE CF++=，得1666x y z x y z ++=+++，因此(6)(6)(6)(6)(6)(6)x x z y x z z x y ++++++++=(6)(6)(6)x y z +++，即 1083()xyz xy yz zx =-++=24．11.1.22★如图，正方形ABCD 边长为1，Q 为BC 延长线上一点，QA 与CD 、BD 分别交于点P 、E ，QO (点O 是AC 与BD 交点)与CD 交于点F ，若EF AC ∥，求AP 的长．ADEPFOCBQ解析 连结DQ ，则由EF AC ∥，得EQ EF EF DEQA AO CO DO===，于是DQ AC ∥，CQ AD =，P 为CD 中点，所以AP =． 11.1.23★★如图，已知EF BC <，G 、D 分别在EF 、BC 上，则下面任两条可推出第三条：(1)BE 、DG 、CF 共点；（2）EF BC ∥；（3）EG BDFG CD=． AA'E'EGF F'B DC解析 (1)，(2)⇒(3)：EF BC ∥，则EG AG GF BD AD CD ==，故EG BDGF CD=． （2），（3）⇒（1）：E G B DF G C D=⇒1E G F G E FB DCD B C==<，故可设BE 、DG 延长后交于A ，DG 、CF 延长后交于AG EG GF AD BD CD ===A G A D ''，AG A GGD GD'=，A 与A '重合． (1)，(3)⇒(2)：若EF 与BC 不平行，作E 'GF 'BC ∥，E '在AB 上，F '在AC 上，则有E G BD EGF G CD FG'=='，得EE 'FF ∥'，即AB AC ∥，矛盾． 11.1.24★ABC △中，AK 为A ∠的平分线，在BA 、CA 上取BD CE =，G 、F 分别为DE 、BC 的中点，则GF AK ∥．解析 如图，连结BE ，设BE 中点为M ，连结CM 、FM ，则12GM BD =∥12CE MF ∥，所以GM FM =，且GMF GME EMF ABE ∠=∠+∠=∠+180180BEC BAC ︒-∠=︒-∠． 取AC 上的点S ，使KS AB ∥，则等腰GMF △∽等腰AKS △，且对应边KS GM ∥，AS MF ∥，故第三边也平行，即GF AK ∥．AE SGD MBFKC11.1.25★★★已知：ABC 中，90A ∠=︒，D 为BC 上一点，且非BC 中点，211AD BD CD=+，P 为AD 中点，求证：2BDA BAD ∠=∠，PD 平分BPC ∠．解析 如图，作BR AD ∥，与CA 延长线交于R ，延长CP 交BR 于Q ，则由AP PD =，AD RB ∥，有RQ BQ =．又90RAB ∠=︒，故AQ BQ =．由条件，知111BCPD BD CD BD CD++=⋅，于是PD CD PD BD BC BQ ==，BD BQ AQ ==，四边形AQBD 乃等腰梯形(若四边形AQBD 是菱形，则C ∠=QAR R DAC ∠=∠=∠，D 为BC 中点，与题设矛盾)，12BAD QBA QAD ∠=∠=∠12BDA =∠．又P 为AD 中点，显然(比如由全等)有BPD APQ DPC ∠=∠=∠．RQBDCAP11．1．26★★★已知M 、N 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，CD 延长线上有一点P ，PM 延长后与AC 交于Q ．求证．NM 平分PNQ ∠．解析 如图，设AC 与MN 交于O ，则MO NO =，过O 作OR MN ⊥，交QN 于R ，则MR NR =．AMDPROB N C又OR BC ∥，MO PC ∥，故QM QO QRM P OC RN==，于是MR PN ∥，由于OR 将MN 垂直平分，于是RNO RMO PNM ∠=∠=∠． 11.1.27★★在ABC △中，3A B ∠=∠，求证：2a b b c a b -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，a 、b 、c 为ABC △的对应边长．解析 如图，延长CA 至D ，使223D B A C A B C∠=∠=∠，于是DBA ABC ∠=∠，故C D B C =，AD a b =-．ABD △中，2D D BA ∠=∠，则2()AB AD AD BD =+．又由角平分线性质BD AD BC AC =，得()a a b BD b -=，22a b AD BD b -+=，代人前式，得222()()a b a b c b --=，即得结论．DACB评注 ABC △中，22()A B BC AC AC AB ∠=∠⇔=+，证明如下：延长CA 至D ，使A D A B =，于是2()D ABC BC AC AC AD ∠=∠⇔=+或()AC AC AB +．11．1.28★★已知AB CD ∥，E 、F 分别是AB 、CD 上任两点，DE 、FB 延长后交于M ，AF 、EC 延长后交于N ，求证：若AB CD ≠，则AD 、BC 、MN 共点；若AB CD =，则AD BC MN ∥∥．解析 如图，设AE a =，BE b =，CF c =，DF d =，延长AB 、DC 分别与MN 交于P 、Q ，设BP x =,CQ y =．由A P F Q ∥知a c b x y =+，同理d bc y x =+，即a y b c c x =+，dx bc by =+，于是ay cc dx by -=-，a b cd x y ++=，或A B C DB PC Q=．若A B C D =，则B P C Q =，又BP C Q ∥，做AD BC PQ ∥∥；AB CD ≠，由AB ∥CD ，得AD 、BC 、MN 共点（见题11.1.23）．ADE FB C MPQN11.1.29★★正三角形ABC ，D 、E 、F 是BC 、CA 、AB 的中点，P 、Q 、R 分别在EF 、FD 、DE 上，A 、P 、Q 共线，B 、Q 、R 共线，C 、R 、P 共线，求FP PE ． 解析 如图，不妨设ABC △边长为2，PF x =，QD y =，ER z =，则1PE x =-，1FQ y =-，1D R z =-．AE PQRBDCF由PE ER CD RD =，得11z x z -=-，同理11y z y -=-，11x y x -=-，于是121xy x -=-，121y x yx -=-，13111111212x x x z x x--=-=-=---，x y z ===．所以1x -=1FP x PE x ===-11．1．30★★任给锐角ABC △，问在BC 、CA 、AB 上是否各存在一点D 、E 、F ，使FD BC ⊥，DE AC ⊥，EF AB ⊥?解析 这样的DEF △是存在的．作法如下：在BC 上任取一点D ′，作D ′E ′AC ⊥于E ′，分别过D ′、E ′作BC 、AB 的垂直线交于点F ′．A RF SB D'D CEE'F'若F ′恰在AB 上，则D ′、E ′、F ′，即为满足条件的三点D 、E 、F ；若，F ′不在AB 上，设C 、F ′，所在直线与AB 交点为F (因为ABC △是锐角三角形，所以交点必在AB 上)，过F 分别作BC 、AB 的垂线交BC 、AC 于D 、E ，则FD BC ⊥，EF AB ⊥，连结DE ，易知CD CF CECD CF CE =='''，得DE ∥D ′E ′，由作法D ′E ′AC ⊥，所以DE AC ⊥，D 、E 、F 满足条件．11.1.31★★★已知凸四边形内有一点P ，APB ∠、BPC ∠、CPD ∠、DPA ∠的平分线分别交AB 、BC 、CD 、DA 于K 、L 、M 、N ，求证：四边形KLMN 为平行四边形的充要条件是P 为AC 、BD 的中垂线的交点．解析 若P 为AC 、BD 的中垂线之交点，则AP CP =，BP DP =，于是AK AP AP ANBK BP DP ND===，于是KN BD ∥，同理ML ∥BD ，又同理MN AC KL ∥∥，故四边形KLMN 为平行四边形．反之，若四边形KLMN 为平行四边形，由于AN DM AP AK BLND MC CP KB LC⋅==⋅，故由梅氏定理，若MN 、KL 不与AC 平行，它们将与AC 交于同一点，这与NM KL ∥矛盾，因此NM AC ∥，AP CP =，同理BP DP =，故P 在AC 、BD 的中垂线上．11．1．32★★★已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别在AB 、CD 上，求证：若ED BF ∥，则AF CE ∥．又此时若ED 、AF 交于M ，CE 、BF 交于N ，问三直线AB 、MN 、CD 共点的条件．解析 如图(a)，不妨议BA 、CD 延长后交于P ，于是有PQ PD BP PC =，PE PDPB PF =．PA D M EFN BC图(a)于是PA PC PB PD PE PF ⋅=⋅=⋅，由此可得PA PFPE PC=，故AF CE ∥． 因为四边形MENF 为平行四边形，MN 过EF 的中点，若P 、M 、N 共线，则由塞瓦定理，有AD EF ∥BC ∥．下面刻画E 或F 的位置，如图(b)，设BD 与EF 交于Q ，AEk EB=，则由ED BF ∥，DF DQ EQ k FC BQ FQ ===，而111EQ AD K =++，1QF k BC k =+，故1ADk k BC =⋅，此即AEBE=． ADEFQBC图(b)11.1.33★★如图，已知ABC △中，AD 、BE 、CF 交于G ，FH AD ∥，FH 延长后与ED 的延长线交于K ，求证：FH HK =．AFEMG N BH DJ CK解析 作EJ AD ∥，EJ 与CF 交于N ，FK 与BE 交于M ，则由平行，知FH AD EJFM AG EN==，故FH FM FG HD HKEJ EN GN DJ EJ====，于是FH HK =．11.1.34★★★已知ABC △，AD 、BE 、CF 是角平分线，M 、N 在BC 上，且FM AD EN ∥∥，求证：AD 平分MAN ∠．AF EPI TSBMDN C解析1 设ABC △内心为I ，FM 与BE 交于S ，EN 与CF 交于T ，连结EF ，交AD 于P ．由角平分线及平行性质，有FM AD EN FS AI ET ==，故有FM FS SI FP AF EN ET IE PE AE====，又11802AFM BAC ∠=︒-∠∠AEN =∠，故AFM △∽AEN △，于是FAM EAN ∠=∠，于是AD平分MAN ∠．解析2 由角平分线性质，知AE AB EC BC =，AF AC BF BC =，于是AE AB CE AF AC BF =⋅．又易见FM BFAD AB=，EN CE AD AC =，故EN CE AB FM BF AC ⋅=⋅，于是AE ENAF FM =，以下同解析1． 评注 注意解析1更好些，因为只要求AD 平分BAC ∠．不要求I 是内心，本题结论也成立．于是本题的逆命题是，由AD 平分MAN ∠得出AD 平分BAC ∠，而不能证明I 是内心．这个逆命题也是正确的，读诗者不妨一试．11．1．35★★P 为XOY ∠内一点，A 、B 在OX 上，C 、D 在OY 上，线段AD 、BC 交于P ．若1111OA OD OB OC+=+，则OP 平分XOY ∠，反之亦然． 解析 如图，作平行四边形PQOR ，Q 、R 分别在OX 、OY 上．设QP OR a ==，OQ PR b ==． 此时易得1a b a b OD OA OC OB +=-+，因此1111a b a b b b OD OD OA OC OC OB --⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是a b a bOD OC --=．但OD OC >，故a b =．所以平行四边形PQOR 是菱形，OP 为XOY ∠之平分线．XYBA Q POR C反之，可设所作平行四边形PQOR 为菱形．设菱形边长为n ，则1a PR RD aOA OA OD OD===-，即得111OA OD a +=．同理，111OB OC a+=，于是命题得证．11．1．36★★已知ABC △，三边分别为a 、b 、c ，AD 是角平分线．求AD 之长(用a 、b ，c 表示)解析 如图，延长AD 至E ，使E B ∠=∠，于是A 、B 、E 、C 共圆，又ABD △∽AEC △，故AB AC ⋅=()AD AE AD AD DE ⋅=+=22AD AD DE AD BD CD +⋅=+⋅．ABDCE设AB c =，AC b =，则ac BD b c =+，abCD b c=+，故AD =11．1．37★★在ABC △中，AD 、AE 三等分BAC ∠，且BD =2，DE =3，EC =6，求AB 的长． 解析 如图，设AB x =，AD y =，则由角平分线性质知32AE x =，2AC y =． AB D E由于2AB AE AD BD DE ⋅-=⋅，即22362x y -=，同理2292184y x -=，消去y ，得AB x ==11．1．38★★★已知平行四边形ABCD ，点E 是点B 在AD 上的垂足，点F 在CD 上，90AFB ∠=︒，EG AB ∥，点G 在BF 上，点H 是AF 与BE 的交点，又D H 延长后与CB 的延长线交于点I ，求证：FI GH ⊥．解析 如图，作IK HF ⊥．对OKF △与HFG △来说，KF FG ⊥，IK HF ⊥，而90HFG IKF ∠=︒=∠，如果能证明两三角形(顺向)相似，那么第三组对应边OF 与HG 就垂直了，于是只需证明KF IK FG HF =或KF FGIK HF=．事实上设AF 、BC 延长后交于点J ，且设J θ∠=∠，则易知cos KF BO θ=，sin KI IJ θ=，于是cot cot cot KF BI DE FGIK IJ AD FBθθθ===，又HB BJ ⊥，故HBF θ∠=，于是tan FB HF θ=，代人上式，即得KF FGKI HF=． θθθCJIB GK F HAED§11.2相似三角形11．2．1★已知，B 是AC 中点，D 、E 在AC 的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BD E AD B ∠=∠．解析 如图，易知DBE DBC EBC A ADB EBC A ∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠． 又ABD △∽BDE △，故BD AD ADBE BC AB==，于是ADB △∽BDE △，故BD E AD B ∠=∠． DEA B C11．2．2★已知αβ+=α′+β′<180︒，sin sin αβ=sin sin αβ''，则αα=′，ββ='． 解析 如图，作ABC △与A △′B ′C ′，使B α∠=，B ∠′α=′，C β∠=，C ∠′β='，则由条件A A ∠=∠′，且sin sin sin sin AB A B AC A C ββαα'''==='''，故ABC △∽A △′B ′C ′，从而B B ∠=∠′，C C ∠=∠′．此即αα=′，ββ=′．AB C A'B'C'评注 这个结果用途极广．11．2．3★线段BE 分ABC △为两个相似的三角形，求ABC △的各内角． 解析 如图，不妨设BCE △∽ABE △，BCE △比较“大”．BA EC由于BEA ∠>EBC ∠及C ∠，故只能有BEA CEB ∠=∠，于是BE AC ⊥． ABE CBE ∠=∠不可能(否则ABE △≌BCE △)，故AB EC ∠=∠，CBE A ∠=∠，90ABC ∠=︒，BCAB=ABC △三内角为：30︒、60︒、90︒． 11．2．4★★设ABC △中，D 在BC 在上，且22BD AD BC AC =，求证：ABD △∽CBA △． AEB D C解析 过D 作DE AC ∥，E 是AB 是一点．于是BD EDBC AC=，代入条件并整理，即得ED ADAD AC=． 又EDA DAC ∠=∠，于是EDA ∠∽DAC △，于是BAD C ∠=∠，故ABD △∽CBA △．11．2．5★在锐角三角形ABC 中，E 是AD 是一点，满足::AE ED CD DB =，过D 作DF BE ⊥，F 为垂足，证明：90AFC ∠=︒．AEFB D C解析 由条件知BED △∽DEF △，且AE ED EFCD DB FD==，又90AEF EDF FDC ∠=︒+∠=∠，故AEF △∽CDF △，于是90AFC AFE EFC EFC CFD EFC EFD ∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒． 11．2．6★已知正方形ABCD ，点P 和Q 分别在上，且BP BQ =，BH 与PC 垂直于H ，求DHQ ∠的取值范围．ADP HCQ B解析 易知PBH △∽BCH △，故有BH BH CH CHBQ BP BC DC ===．又HBQ BPC HCD ∠=∠=∠，故HBQ △∽HCD △，90DHQ DHC QHC BHQ QHC ∠=∠+∠=∠+∠=︒．11．2．7★在ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内的一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，且8PA ∠=，6PC =，求PB ．ABCP解析 由条件易知120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，又18012060PAB PBA PBA PBC ∠=︒-︒-∠=︒-∠=∠，故PAB △∽PBC △．PA PBPB PC=．因此，PB =11．2．8★如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为35，有一个边长为12的正方形CDEF 内接于ABC △，求ABC △的周长．A FECDB解析 设BC a =，AC b =，则222351225a b +==．又Rt △AFE ∽Rt ACB △，所以，FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故()12a b ab +=．所以，()2222122524()a b a b ab a b +=++=++，解得49a b +=(另一个解-25舍去)．所以三角形的周长为84．11．2．9★★K 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点L 分对角线AC 的比为:3AL LC =，证明：90KLD ∠=︒．解析 如图，连结BD 、KD ，BD 交AC 于O ，则1142CL AC OC ==，12OL LC OD ==，而12AK AD =，AD AB ⊥，OD OC ⊥，故ADK △∽ODL △，这是顺相似，所以AOD △∽KLD △，90KLD AOD ∠=∠=︒．ADKOLBC11．2．10★★如图，AC AF ⊥，BC BE ⊥，BD BF ⊥，BM 与BN 分别是BCD △与BEF △的高，点1H 与2H 分别为BCD △与BEF △的垂心，求证：12H H 被AB 平分．F解析 本题即是证明12AH B AH B S S =△△，这可以转化为求证12AM BH AN BH ⋅=⋅或21BH AM AN BH =．很容易看出BCD △∽BEF △，故21BH BN BH BM=．由于四边形AMBN 是矩形，有AM BN =，AN BM =，于是结论成立．11．2．11★★已知ABC △，向外作正方形ABPQ 和正方形ACMN ．若BC PM ∥，求证：AB AC =．解析 如图，不妨设PM 与AB 、AC 分别交于E 、F ，于是PB BA CA CMBE BE CF FC===，90EBP ∠=︒=FCM ∠，EBP △∽FCM △，180180PBC EPB FMC MCB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，两边同时减去90︒，得ABC ACB ∠=∠，于是AB AC =．QANPE F MBC评注 本题也可通过P 、M 向直线BC 作垂线，并通过全等三角形来证明．PM 与AB 或AC 不相交是不可能的，这样P 、M 将在直线BC 的异侧．11．2．12★★ABC △中，1BC =，2A B ∠=∠，求ACBC的取值范围． 解析 如图，设ABC △三对应边分别为a 、b 、c ，延长CA 至D ，使AD AB =，于是CBA D ∠=∠，ABC △∽BDC △，故2BC CA CD =⋅，即2()a b b c =+，从而AC b BC a ==a c b +>显然，a c a +>也显然，a b c +>，c b >-，或3b c >，故12b a >．又22()a b b c b =+>，故1b a <．因此，ACBC的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．CB AD11．2．13★★已知正三角形ABC ，D 在BC 上，2CD BD =，E 在AD 上，求证：EBD DAB ∠=∠．解析 如图，不妨设1BD =，2CD =，3AB AC ==，则AD =AE x =，DE y =，则x y +22225x y AC CD -=-=，解得y =21BD ED AD ==⋅，BED △∽ABD △，故有EBD DAB ∠=∠．ABCED11．2．14★★已知锐角ABC △，AD 是高，3AB =，1BD =，M 是AB 中点，作CP 与M D 延长线垂直且交于P ，若P 在BC 的中垂线上，求AC ．解析 如图，设BC 中点为N ，由于MDB CDP B ∠=∠=∠，故DNP △∽DPC △∽BDA △，所以13DN DP BD DP CD AB ===，9CD DN =．设DN x =，则由BN CN =，得1CN x =-，21CD x =+，所以219x x +=，17x =，97CD =，AC ==ABCMD N P11．2．15★★如图，直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，BD 是角平分线，CE BD ⊥于E ，则2AC CE AB BD =；222BC BE ED AB BD -=． AFD GEB 解析 延长CE 与AB 交于F ，易知2CE CF =．由于ACF DBC ABD ∠=∠=∠，故ABD △∽ACF △，于是2AC CF CE AB BD BD ==．又作D 关于E 之对称点G ，则222BE ED BG BD BD-=．由于ABD △∽CBG △，故222BC BG BE ED AB BD BD -==． 11．2．16★★能否把任意两个直角三角形各划分成两个三角形，使它们分别对应相似? 解析 如图，设90B E ∠=∠=︒．若两三角形相似，结论显然成立．否则可不妨设D A ∠>∠，则C F∠=∠于是可在AB上取一点M，使MCA F∠=∠；在EF上取一点N，使NDF A∠=∠．易知AMC△∽DNF△，MBC△∽MED△．AMB C DE N F11．2．17★★设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M．过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆心，OM为半径的圆上一点．求证：OPF OEP∠=∠．E解析延长AD、BO交于点G．由OM GA∥得OF CO OMGD CG GA==，即OF GDOM GA=．同理，得OM BO OEGD BG GA==，即O M G DO E G A=．所以OF OMOM OE=．由条件得OP OM=，所以OF OPOP OE=，因此可得OPF△∽OEP△，则有OPF OEP∠=∠．11．2．18★证明：三角形的一条高线的垂足和它在另外两条高线上的射影组成的三角形，与原三角形相似．解析如图，ABC△中，AD、BE、CF是高，D在BE、CF上的射影分别是M、N．则180MDN BHC BAC∠=︒-∠=∠．又MD HD DNAE AH AF==，故MD AEDN AF==coscosAB A ABAC A AC=，故有DMN△∽ABC△．AFE HMNBDC题11.2.18评注 本题亦可用四点共圆证明．又本题将ABC △画成锐角三角形，若ABC △为非锐角三角形，结论不变．11．2．19★★★点B 、E 分别在AC 、AD 上，EC 与BD 交于F ，若BDA ECA ∠=∠，且3AB BC ==，4CF EF ⋅=，求AF ．解析 如图，延长AF 至G ，使4AF FG CF EF ⋅=⋅=，连结CG ．于是由BDA ECA ∠=∠，得G AEF ABF ∠=∠=∠，故B 、C 、G 、F 共圆，有224AF AG AF AF FG AF ⋅=+⋅=+，于是AF =ABE DGCF题11.2.1911．2．20★★★已知一个红三角形与一个蓝三角形，试将每个三角形用两刀分成三个三角形，使每个盛色的部分与一个相应的红色部分相似(或全等)． 解析 如果两个三角形可以分别划分成n 个小三角形，使对应的n 组三角形均相似(或全等)，则称这两个三角形是“n 相似”的，于是，立刻可以得出如下结论：“1相似”即“相似(或全等)”．“n 相似”可推出“1n +相似”．以下先证一个结论：对ABC △与A △′B ′C ′，若A A ∠=∠′，则它们是“2相似”的．证明如下：由前知，ABC △∽A △′B ′C ′，则其“2相似”，否则，不妨设B B ∠<∠′，则C C ∠>∠′，可在AB 、A ′C ′上分别找点D ，D ′，使DCB C ∠=∠′，D ∠′B ′C ′B =∠，于是ADC △∽A △′B ′D ′，BDC △∽△B ′D ′C ′,结论证毕．现对于一般的ABC △与△A ′B ′C ′，不妨设ABC △以B ∠最大，C ∠最小；△A ′B ′C ′中B ∠′最大，而且B B ∠>∠′(B B ∠=∠′就不要做了)≥60︒，则60C ∠<︒，如图，今在BC 同侧作BCF △∽A △′B ′C ′，使FCB B ∠=∠′，FBC C ∠=∠′，则F 在ABC △外，设BF 与AC 交于E ，则ABE △与EFC △“2相似”，故ABC △与BFC △“3相似”；又BFC △∽△B ′A ′C ′，故ABC △与A △′B ′C ′“3相似”．AFEBC11．2．21★★如图(a)，AB BD ⊥，CD BD ⊥，6AB =，4CD =，14BD =，现有点P 在直线BD 上，并且满足条件：ABP △与CDP △相似，求BP 的长度．ACB P D图(a)解析 设BP x =．分三种情况讨论：(1)P 在DB 延长线上时，如图(b)，只能是ABP △∽PDC △，则AB BP PD CD =，即6144xx =+，解得7x =；（2）P 在BD 延长线上，如图(c)，是ABP △∽PDC △或ABP △∽CDP △，则AB BP PD CD =或AB BP CD PD =，即6144xx =-或6414xx=-，解得12x =或2或8.4； AP BD CACB PD图(b)图(c)(3)P 在BD 延长线上，如图(d)，是ABP △∽PDC △或ABP △∽CDP △，则AB BPPD CD=或AB BP CD PD =，即6414x x =-或6144xx =-，解得42x =7；ACB DP图(d)综上所述，这样的点P 有六个，BP7，2，8.4，12，42+7． 11．2．22★★★设四边形ABCD 的对角线交于点O ，点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，点1H 、2H (不重合)分别是AOB △与COD △的垂心，求证：12H H MN ⊥．解析 如图，不妨设AOB ∠（θ=）90<︒(其余情形请读者自己讨论)，并不妨设1BH 与2CH 的延长线交于点P ．取AB 中点Q ，连结MQ 、NQ ．易见MQ BD ∥，从而2MQ H P ⊥，同理可得1NQ H P ⊥，于是P MQN ∠=∠．对于12PH H △与QNM △来说，对应角已有一组相等，对应边已有两组垂直，如能证明它们是(顺向)相似的，则立得第三组对应边垂直，即12MN H H ⊥．于是，问题归结为求证21PH QM QN PH =或12PH AC PH BD =．设(90)PCO PBO αθ∠=-︒-=∠，于是2cos KRPH α=，此处点K 和R 分别为点B 及点D 在AC 上的垂足．又cos KR BD θ=，故2cos cot cos PH BD BD θθα==，同理1cot PH AC θ=，即得12PH ACPH BD=． P A MDKQ ORC NBH 2H 1θαα11．2．23★★★菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 在AD 上，CE 与BA 延长后交于F ，BE 延长后与FD 交于M ，求DMB ∠．解析 连结BD ，如图．由平行成比例及菱形性质知AD FC FB ED EC AB ==，于是BD BFED BD=，而60FBD BDE ∠=︒=∠，故BED △∽FDB △，所以BFD M BD ∠=∠．BA FE MDC从而60BMD BFD FBM FBD ∠=∠+∠=∠=︒．11．2．24★★如图(a)，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，对角线的交点为O ，P 、Q 分别是边AD 、BC 上的点，使得APB CPD ∠=∠，AQB CQD ∠=∠，求证：OP OQ =．A B PQODC COQPB AB 1(a)(b)解析 如图(b)延长DA 至1B ，使得1BB =BA ，则11PB B B AB PDC ∠=∠=∠，于是DPC △∽1B PB △，故11DP CD CD DOPB BB BA BO===，所以1PO BB ∥．又因为DPO △∽1DB B △，所以1DO DOOP BB AB DB DB=⋅=⋅． 同理可得CO OQ AB CA =⋅．而AB CD ∥，所以DO CODB CA=，故OP OQ =． 11．2．25★★证明拿破仑定理：以ABC △每边为边分别向外作正三角形，则这3个正三角形的中心是另一个正三角形的顶点．解析 如图，设BCD △、ACE △与ABF △均为正三角形，P 、Q 、R 是各自的中心．连结CQ 、CP 、BE．易知CQ PC CE BC ==60QCP ACB ECB ∠=∠+︒=∠，故QCP △∽ECB △，PQ =同理，RQ =PQ RQ =．同理PQ RP =，于是PQR △为正三角形．FAER Q BCPD11．2．26★★四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N ．证明：AFN DME ∠=∠．FMADPN E解析 设MN 与EF 交于点P ，由NE BC ∥，得PN PEPB PC=，所以PB PE PN PC ⋅=⋅．又ME BF ∥，故P M P E P B P F =，所以PB PE PM PF ⋅=⋅．从而PN PC PM PF ⋅=⋅，即P M P CP N P F=．又F P N M P C ∠=∠，故PNF △∽PMC △，PNF PMC ∠=∠，从而NF MC ∠∥，ANF EDM ∠=∠．又ME BF ∥，故FAN MED ∠=∠．所以AFN DME ∠=∠．11．2．27★★★在ABC △中，设P 是边BC 的中点，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，MN BC ∥，MP 交BN 于点Q ，QR AC ⊥于点R ，BT AC ∥交RQ 的延长线于T ，求证： (1)TP MR ∥；(2)MRQ PRQ ∠=∠．解析 (1)因为BT ∥RN ，所以QRN △∽QTB △，QR QNQT QB=，又MN BP ∥，所以QMN △∽QPB △，QM QN QP QB =，因此QR QMQT QP=，从而QRM △∽QTP △，故TP MR ∥． ARNSCMQBTP(2)延长TP 交AC 于点S ，则TBSC 是平行四边形，在直角三角形TRS 中，P 是斜边TS 的中点，所以，RP TP =，于是MRQ QTP PRQ ∠=∠=∠．11．2．28★★★不等边锐角三角形ABC △中，D 是底边BC 上一点，AD 上有一点P ，延长BP 、CP ，分别交AC 、AB 于M 、N ，若DA 平分MDN ∠，求证：AD BC ⊥．解析 如图，连结MN ，交AD 于Q ，又作NJ AD MK ∥∥，J 、K 在BC 上，设M 与BM交于X ，M K 与CN 交于Y ．则NJ AD MKNX AP MY ==，故NJ NX XP JD NQ ND MK MY PM DK MQ MD =====，故MJD △∽MKD △，于是NDJ MDK ∠=∠，又NDA MDA ∠=∠，故90ADB ADC ∠=∠=︒．ANQMBJD KCXY P评注 本题也可用塞瓦定理加以证明．11．2．29★★等边ABC △的三条边BC 、CA 、AB 上分别有三条相等的线段12A A 、12B B 、12C C ．求证：直线21B C 、21C A 、21A B ，所构成的三角形上，三条线段21B C 、21C A 、21A B 与包含它们的边成比例．解析 设直线21B C 、21C A 、21A B 所构成的三角形为333A B C △(如图)，过1C 、2C 分别作AC 、BC 的平行线，相交于点P ，则12PC C △是等边三角形，且112PC B B ∥，221PC A A ∥，可得221PA C A ∥，121PB B C ∥，即21A B P △∽333A B C △，1221333333B P PA A BB C C A A B ==，所以212121333333B C C A A B B C C A A B ==． C A BPA 1A 2A 3B 1B 2B 3C 1C 2C 311．2．30★★★已知ABC △，AB AC =，D 是BC 中点，直线CF BC ⊥．E 是AB 上任一点，ED 延长后交直线CF 于F ，M 、N 分别是ED 、DF 中点，求证：AD 平分MAN ∠． 解析 如图，连结CN 、EC ，EC 与AD 交于K ，则由角平分线及平行线性质，知AE EK ED EMAC KC DF CN===，AED B EDB ACD CDF ∠=∠+∠=∠+∠ACD NCD ACN =∠+∠=∠，故AEM △∽ACN △，BAM CAN ∠=∠．又BAD CAD ∠=∠，故AD 平分MAN ∠．ABCDFNKM E11．2．31★★★设直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AD 是斜边BC 上的高，ABD △、ACD △的内心分别是S 、T ，延长ST ，交两直角边于M 、N ，证明：AM AN =，并用AB 、AC 来表示MN ．解析 如图，连结SD 、TD 、AS 、AT ．因为ABD △∽CAD △，DS 、DT 为对应线段，故90SDT ∠=︒，且S D T △∽BAC △，于是STD C ∠=∠，从而45ANM TDC ADT ∠=∠=︒=∠．又TAD TAN ∠=∠，故ADT △≌ANT △，AN AD =，同理AM AD =．于是MN==．ABM NSTD11．2．32★★分别以锐角三角形ABC 的边AB 、BC 、CA 为斜边向外作等腰直角三角形DAB 、EBC 、FAC ．求证：(1)AE DF =；(2)AE DF ⊥．解析 (1)延长BD 至点P ，使DP BD =，连结AP 、CP ．因为DAB △是等腰直角三角形，所以ABBD=．又2BP BD =，所以AB BP =．因为EBC △是等腰直角三角形，所以45PBC ABC ABE ∠=︒+∠=∠，于是ABE △∽PBC △，AE AB PC BP ==即A E =．又在ADF △和APC △中,有AF AD AC AP ==，45DAF PAC DAC ∠=∠=︒+∠，所以ADF △∽APC △，DF AD PC AP ==，即DF =．所以，AE DF =．PADFB CE(2)因为ADF △∽APC △，所以ADF ∠=APC ∠．又由ABE △∽PBC △，得B A E C P B ∠=∠,于是454590DAE ADF BAE ADF CPB APC ∠+∠=︒+∠+∠=︒+∠+∠=︒．所以，AE DF ⊥． 11．2．33★★★已知ABC △，向外作正三角形ABD △与ACE △，P 、Q 分别是AD 、CE 的中点，R 是BC 上一点，BR 3CR =，求PQR △的三个内角值．解析 如图，作QS AC ⊥于S ，连结AQ 、RS ，则1122SC CQ AC ==，于是RS AB ∥，1142SR AB AP ==． 又12SQ AQ =，90RSQ A PAQ ∠=∠+︒=∠，故PAQ △∽RSQ △，且是顺相似，于是PRQ △∽ASQ △，所以PQR △的内角依次为30︒、60︒、90︒． PADFB CE评注 A ∠≥90︒时结论不变．11．2．34★★★已知：ABC △，向外作正三角形ACE 和正三角形BCF ，1O 与2O 依次是它们的中心，D 是AB 中点，求证：12EDO FDO ∠=∠．解析 如图，设BC 、CA 的中点分别为P 、Q ，连结2PO F 与1QO E ，则11PF PF CQ DPDQ PC QO QO ===， 又190DPF C DQO ∠=∠+︒=∠，故DPF △∽1O QD △，于是21DFO O DQ ∠=∠，同理，由2DPO △∽EQD △，可得2DO P EDQ∠=∠，于是11222EDO EDQ QDO DO P DFO FDO ∠=∠-∠=∠-∠=∠．AEDBCFP QO 1O 211．2．35★★★已知锐角三角形ABC ，AD 、CE 为高，H 是垂心，ED 、AC 延长后交于P ，G 为AC 中点，求证：PH BG ⊥．解析 如图，设HP 与CD 交于K ，BG 与AD 交于J ．由面积知B 、D 、K 、C 是调和点列，即CB CK BD DK =，又由梅氏定理，1BC DJ AG BD JA GC ⋅⋅=，即JA BC CKDJ BD DK==．又ABD △∽CHD △，且顺相似，HD BD ⊥，CH AB ⊥，K 、J 是对应点，故BJ HK ⊥，即PH BG ⊥．AEJ GHC D BKP评注 调和点列见15．1．65，此题是一个一般结果之特例．11．2．36★★★已知ABC △中，90A ∠=︒，S 、N 在AB 上，M 在BC 上，MN BC ⊥，2SC CM CB =⋅，Q 在AC 上，SQ SO ⊥(O 为BC 中点)，SQ 交MN 于P ，求证：SP QP =．解析 如图，延长MP 、CA ，设交于R ，连结SR ．由于MRC △∽ABC △，故C A C R ⋅=2C M C B S C ⋅=，于是RS CS ⊥，又由QS SO ⊥，PM MO ⊥，故RSP △∽CSO △，同理RPQ △∽BOS △． 于是SP SO PR CO =，PQ SORP BO=，由于BO CO =，故SP QP =．RA Q SN PB O M C11．2．37★★★★D 为ABC △的边AC 上一点，E 和F 分别为线段BD 和BC 上的点．满足BAE CAF ∠=∠．再设P 、Q 为线段BC 和BD 上的点，使得EP QF DC ∥∥．求证：BAP QAC ∠=∠．解析 如图，在AB 上取点R ，使RE AQ ∥，连结RE 、RP ．易知REP △与AQF △位似，故QAF ∠ERP =∠，RPE AFQ ∠=∠．而Q F C D ∥，故A F Q F A C B A E ∠=∠=∠，从而RPE BAE ∠=∠，所以R 、A 、P 、E 共圆(R 与A 不重合)，于是QAF ERP EAP ∠=∠=∠．又CAF BAE ∠=∠，加之，即得QAC BAP ∠=∠．ARBEP FCQD11．2．38★★★★已知ABC △中，AB 、AC 上各有一点R 、Q ，直线RQ 与BC 延长线交于点P ，求证：1AQ CQ PC PB QR BRPQ RQ PQ PR QR PR⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅． ARQTSPCB解析 在PR 上取S ，使A 、R 、C 、S 共圆，则QSC A ∠=∠，AQ QC RQ SQ ⋅=⋅，又在PR 上取T ，使T 、C 、B 、R 共圆，则CTP B ∠=∠，PC PB PT PR ⋅=⋅，于是1A Q C Q P C P B S Q P T T SP Q R Q P Q P R P Q P Q P Q ⋅⋅+=+=+⋅⋅，于是问题变成求证TS AR BR PQ QR PR ⋅=⋅．显见STC △∽ABC △，TS CSAB AC=，又ARQ △∽SCQ △，故AR SC RQ CQ =，欲证式成为AB BP AC PQ CQ PR =⋅⋅，或1AB PR CQBR PQ AC⋅⋅=，这是梅氏定理，故结论成立．11．2．39★★★★如图，PQR △和P △′Q ′R ′是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 的边长分别是1AB a =，1BC b =，2CD a =，2DE b =，3EF a =，3FA b =．求证：（1）222223123123a a ab b b ++=++；(2)123123a a a b b b ++=++． R'P'Q'PA F RB ECD a 1a 2a 3b 1b 2b3解析 (1)不妨设PAB △、P △′BC 、QCD △、Q △′DE 、REF △、R △FA 的面积分别为1S 、1S '、2S '、3S '、3S 、3S '．由PAB △∽P △′CB ∽QCD ∠∽Q △′ED ∽REF △∽R △′AF ，可得331122222222112233S S S S S S a b a b a b '''=====123222123S S S a a a ++=++123222123S S S b b b '+'+'=++(由211211S a S b ='得112211S S a b '=，同理可得其余)． 因为PQR △≌P △′Q ′R ′，所以12312S S S S S S ++='+'+'，则22222123123a a a b b b ++=++． (2)不妨设PAB △、P ∠′BC 、QCD △、Q △′DE 的周长分别为1l 、1l '、2l 、2l '、3l 、3l '． 可得111111l a l b a b -'-=333312312322222233123()l a l b l l l a a a l a l b a b a b a a a -'-++-++-'=====++ 123123123()l l l b b b b b b '+'+'-++=++(由1111l a l b ='，得1111l l a b '=，因此111111l a l b a b -'-=，同理可得其余)．又设PQR △、P △′Q ′R ′的周长均为L ，123a a a A ++=，123b b b B ++=，由上面等式可得L B L AA B--=，化得()()0A B L A B ---=，而L A B >+，因此A B =，即12312a a a b b b ++=++．11．2．40★★★★已知平行四边形ABCD ，C 在边AD 、AB 上的射影分别是M 、N ，NM延长后与BD 延长线交于P ，求证：PC AC ⊥．。

初中数学专题复习图形的相似（含答案）

初中数学专题复习图形的相似（含答案）

初中数学专题复习图形的相似（含答案）第19课时图形的相似一、知识导航图应用:解决实际问题3.面积的比等于相似比的平方2.对应边、对应中线、对应角平分线、对应高线、周长的比等于相似比1.对应角相等4.三边对应成比例3.两边对应成比例且夹角相等2.两角对应相等1.定义图形的运动与坐标用坐标来确定位置位似性质识别方法相似多边形的特征概念图形与坐标相似三角形相似的图形图形的相似二、中考课标要求三、中考知识梳理1.比例线段由于比例线段的实质就是四个正数组成的比例式,所以要学好本部分内容,首先要复习小学所学的有关比例的相关知识.2.相似形具有相同形状的图(大小不一定相同). 3.相似多边形的特征“对应边成比例,对应角相等”既是相似多边形的识别方法又是性质. 4.相似比相似比是把一个图形放大或缩小的倍数,其具有顺序性,全等是相似比为 1 时的特殊情况.5.相似三角形的性质(1)对应边成比例,对应角相等;(2)对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;(3)周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方. 6.相似图形的画法是新课标中新增添的内容,要求掌握用多种方法将一个图形放大或缩小. 7.图形与坐标是新课程中新增添的内容,应注意把“形”与“数”紧密地联系在一起. 四、中考题型例析1.列比例式例1 (2002·北京怀柔)已知三个数请你再添上一个(只填一个)数, 使它们能构成一个比例式,则这个数是_________.分析:这是一道开放型试题,由于题中没有告知构成比例的各数顺序, 故应考虑各种可能位置.答案2.相似三角形的识别例2 (2004·昆明)如图,在△ABC 中,AC>AB,点D 在AC 边上(点D 不与A 、C 重合),若再增加上条件就能使△ABD ∽△ACB,则这个条件可以是_______.解析:由于所识别的两三角形隐含着一个公共角∠A,因此依照识别方法,只要再附加条件∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,或AD ABAB AC =即可. 答案:∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,AD ABAB AC=。

人教版数学七年级下册：《比例运算》专项练习含答案

人教版数学七年级下册：《比例运算》专项练习含答案

人教版数学七年级下册：《比例运算》专
项练习含答案
练题一：比例关系
1. 小明用12个苹果换了3个梨，那么苹果和梨的比例是多少？
答案：4:1
2. 甲乙丙三个人合作修建一座房子，甲需要10天完成，乙需
要15天完成，丙需要12天完成。

他们按照比例分工，一起修建了
4天后，甲已经完成了多少工作？
答案：\(\frac{4}{10}\) = 40%
3. 一个长方形的长和宽的比例是3:2，如果长是15cm，那么宽
是多少？
答案：\(15 \div 3 \times 2 = 10\)，宽是10cm
练题二：比例计算
1. 用1升水果糖浆可以制作2千克水果糖，那么3升水果糖浆
可以制作多少千克水果糖？
答案：\(3 \times \frac{2}{1} = 6\)，3升水果糖浆可以制作6千
克水果糖。

2. 甲乙两台机器生产产品的比例是5:3，如果甲机器生产了
200个产品，那么乙机器生产了多少个产品？
答案：\(200 \div 5 \times 3 = 120\)，乙机器生产了120个产品。

3. 一辆火车从A地到B地共行驶400公里，行驶时间是4小时，速度是多少千米/小时？
答案：\(400 \div 4 = 100\)，火车的速度是100千米/小时。

以上是《比例运算》的专项练习题目及答案。

希望能帮助你巩
固和理解比例运算的知识。

加油！。

人教版九年级下册数学《相似三角形的周长与面积》精讲精练(附答案)

人教版九年级下册数学《相似三角形的周长与面积》精讲精练(附答案)

一、基础知识（1）相似三角形的周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；（2）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方。

二、 重难点分析重点：本节课的重点是相似三角形的周长的比、面积的比与相似比的关系。

难点：本节课的难点是相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的应用。

例：如图所示，在△ABC 中，D,E 分别为BC 、AC 边上的中点，AD 、BE 相交于点G ，若1GDE S V ， 求ABC S V .三、中考感悟1、（四川凉山州）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A. 1∶25B. 1∶5C. 1∶2.5D. 1∶52、（随州）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2【解析】根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的四、专项训练（一）基础练习1、两个相似三角形的相似比为2∶3，则周长的比为 ，面积比为 。

2、如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2∶1，则下列结论正确的是（ ）A. ∠E=2∠KB.BC=2HIC. 六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长D.2ABCDEF GHIJKL S S 六边形六边形3、两个相似三角形的对应角平分线的比是1∶4，那么它们的面积比是 。

5、在一张由复印机复印出来的纸上,一个多边形的一条边的长由原来的1 cm 变成4 cm,那么它的周长由原来的3 cm 变成( )A.6 cmB.12 cmC.24 cmD.48 cm6、如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AE ∶EB ＝2∶3， 若△AED 的面积是4m 2，则四边形DEBC 的面积为______．（二）提升练习7、如图所示,D,E,F 分别在△ABC 的边上,DE ∥BC,EF ∥AB,如果AD ∶DB=1∶2,则:DEF ABCS S V等于( )A.1∶3B.1∶4C.1∶9D.2∶98、如图27-2-3-7,把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置,它们的重叠部分的面积是△ABC 面积的一半.若AB=2,则此三角形移动的距离AA′是( )9、如图，在ABCD Y 中，BE ∶EC=1∶2，且BEF S V =2cm 2,求ABCD S Y .=2（ABF S V +ADF S V ）=2（6+18）=48cm ²【点评】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方这一知识点，掌握性质是解题的关键。

人教版九年级数学竞赛专题：相似三角形的性质(含答案)

人教版九年级数学竞赛专题：相似三角形的性质(含答案)

BE =5，EF =2，则 FG 的长是 ________________【例2】如图，已知△ ABC 中，DE // GF // BC ,且AD : DF : FB 则S A ADE :S四边形DFGE: 5边形FBCGA.1：9:36C. 1:8: 27D. 1:8:36【例3】如图，在△ ABC 的内部选取一点 P ,过P 点作三条分别与厶的三个三角形t !, t 2, t 3的面积分别为4, 9和49,求厶ABC 的面积.【例4】如图，△ ABC 中，O 是三角形内一点，满足 • BAO 二.CAO 二.CBO = • ACO . 求证： BC 2 =AC AB .人教版九年级数学竞赛专题：相似三角形的性质（含答案）【例1】如图，已知口 ABCD 中，过点B 的直线顺次与 AC , AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若C=1:2:3 ,B. 1:4:9ABC 的三边平行的直线，这样所得AB_ ' C 【例引如图，在梯形ABCD中，AD // BC, AD =3 , DC = 5, A^ 4 2 , B = 45 .动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒.(1) 求BC 的长;(2) 当MN // AB时，求t的值；(3) 试探究：t为何值时，△ MNC为等腰三角形【例6】设厶A! B i C i的面积为$,△ A2B2C2的面积为S2(3 ：：：S2)，当△ A i B i C i A2B2C2，且0.3岂蛍岂0.4时，则称△ A i B i C i与厶A2B2C2有一定的“全等度” •如图，已知梯形ABCD , AD // S2 BC, • B =30 , BCD =60，连接AC.(1)若AD=DC，求证：△ DAC与厶ABC有一定的“全等度”；(2)你认为：△ DAC与厶ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明A D 能力训练1.如图，在△ ABC与厶BED中, AB BC BD 一BE△ ABC的周长为(第1题）如图，△ ABC中, CE:EB =1:2，DEAC =3 4 5，且△ ABC与厶BED的周长之差为10cm，则DE 3（第 2 题）（第 3 题）// AC.若厶ABC的面积为A.1： 4B.1:9C.2:5D.1: 2C（第 5 题） （第 6 题） （第 7 题）6. 如图，直角梯形 ABCD 中，.BCD =90 , AD // BC , BC=CD , E 为梯形内一点，且.BEC =90 .将△ BEC 绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到△ DCF ,连接EF 交CD 于点M.已知BC =5 , CF = 3 , 则DM :MC 的值为（）误的是（如图，已知梯形 ABCD 中，AD // BC , . ACD 二/B .求证：CD 「 AD10. 如图1,在Rt △ ABC 中，/BAC =90 , AD 丄BC 于点D ,点O 是AC 边上一点，连接 BO 交AD 于 F , OE 丄OB 交BC 于点 E.A. 5:3B. 3:5C.4:3D.3: 47.如图,△ABC 中, DE // BC , BE 与 CD 交于点 O , AO 与 DE , BC 分别交于点N , M ，则下列结论错AN ON A.A M "OMS A ONE ANB. OEON SA ADE8.如图，在正方形 1A.-2（第 8 题）S A OMB AMABCD AMOC点在CD 上.2 D.-5D OM 2 _ S A ABCCNNMBC，（AB 2 BC 中，M 是AD 的中点,DC（第 9题）1 B.-3N(1) 求证：△ ABF s\ COE ;11. 如图，△ ABC 中，AB =4 , D 在AB 边上移动(不与A , B 重合)，DE // BC 交AC 于E ,连接CD.设(1 )当D 为AB 中点时，求S ：S 的值；S(2) 当AD 二x ,巳二y ，用x 的代数式表示y ,并求x 的取值范围；S1(3) 是否存在点D ，使得$ . S ?若存在，求出 D 点位置；若不存在，请说明理由412. 在等腰△ ABC 中，AB =AC =5 , BC =6.动点M , N 分别在两腰 AB , AC 上 (M 不与A , B 重合， N 不与A , C D 重合)，电MN // BC.将厶AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点 A 的对应点为P . (1 )当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上;BC(2)设MN =x , △ MNP 与等腰△ ABC 重叠部分的面积为 y ,试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值 时，y 的值最大，最大值是多少?(2) 当O 为AC 边中点, (3) 当O 为AC 边中点,AC OFAB =2时，如图2，求 OE 的值; AC AB 二n 时，请直接写出OF的值. OES A ABCS A DECA2则 AE:ED =（5. 如图，△ ABC 中，D , E 分别是边 BC , AB 上的点,且 1= 2= 3.女口果△ ABC , △ EBD , △ ADC的周长依次是 m , m 1, m 2，证明：巴一m 4A.2B.32C.42如图，梯形ABCD 中,AB // C D ，且 CD -3AB , EF // CD , EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分,NCBPB 级A DAGFCCB的值是） C.2AD.3AAORECCDCBQPD（第1题）（第 2 题） 那么正方形OPQR 的边长是 B. .3.. 21.如图，在△ ABC 中，DE // FG // BC , GI // EF // AB.若厶 ADE ,△ EFG , △ GIC 的面积分别为 20cm 2 A B1BB—H —ID ■ EE32（第 3 题）（第 4 题） （第 5 题） M3.如图，正方形OPQR 内接于△ ABC ,已知△ AOR,△ BOP 和厶CRQ 的面积分别是, S^3和= 12.如图，梯形ABCD 中，AD // BC , ABC = 90，对角线AC 丄BD 于P 点，已知AD : BC =3: 4，则BDAC 45 cm 2, 80 cm 2,则厶ABC 的面积为6. 如图，卩是厶ABC 内的一点，等长的三条线段 DE ,FG 和HI 分别平行于边AB, BC 和CA,并且AB = 12 ,BC =8，CA =6.求证：Al : IF : FB =1:5:3 .如图，锐角△ ABC 中，PQRS 是厶ABC 的内接矩形，且 ABC 二nS 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数.求证： BS为无理数•AB8. 如图，已知直线11的解析式为y =3x 6，直线h 与x 轴，y轴分别相交于 A ，B 两点，直线I ?经过B ， C 两点，点C 的坐标为（8,0）.又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线I 2上从点C 向点B 移动，点P ，Q 同时出发，且移动的速度都为每秒 1个单位长度•设移动时间为t 秒.（1） 求直线I 2的解析式；（2） 设厶PCQ 的面积为S,请求出S 关于t 的函数关系式； （3） 试探究：当t 为何值时，△ PCQ 为等腰三角形？（第 6 题）Cy9. 如图，设△ ABC三边上的内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相等•求证：△ ABC为正三角形.AAD CG10. 在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知k，连接DE与AF交于点P,连接CP.AB CEAF（1）如图1，当k=1时，点B，C，E三点在同一条直线上，求的值•DE（2）如图2，当k=1时，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针旋转一个角度AF①求竺的值；DE②求证：CP丄AF.AF（3）如图3,当k -1时，请直接写出用含k的式子表示的一匚的值.DEE E11. 在直角梯形 ABCD 中，CB // OA , / COA=90 , CB =3 , 0A =6 , BA=3「5.分别以 OA , OC 边 所在的直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系参考答案E. T DE // AC ,A Z 0AC= / 1,A Z 1 = / BA0,vZ 0AC= / 0CA ,「. A0 = 0C , AE=0E ,「.A A0EAC OCAB AEACO ，二①，T DE // AC ,「.②，•••/ 2= / OBC ，/ BCO= / BCO ,A ^ OCDAO E0CB CDBCO ,A 0^ -CD ③，①X ②X ③得些UBC COCO（1） 求点B 的坐标；（2） 已知D ，E 分别为线段 OC , 0B 上的点, 线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点0D =5，0E=2EB ，直线DE 交x 轴于点F ，求直x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N ，使以0、D 、N 的坐标；若不存在，请说明理由例 110.5BE AE EF EG ECBE例3144 提示例4 解法一：如图1，过点0作AC 的平行线交BC ，AB 于点D ,提示：BDC图1AB OCOC AE CD BC BCOE CD OCAC AB21 (AO=OC , AE=OE ),BC ••• BC 2 =AC AB .解法二：如图2，不妨设AB >AC ,延长CA 至点P ,使CP=AB ，连接PB , PO .BA 二 PC•△ BAO ^A PCO ,•••/ CPO= / ABO .• O , A , P , B 四点共圆, 而/ 又/AC BC一-——，注意到PC=AB ,BC PC2• BC =AC AB ，即△ ABC 三边成比例.A在厶BAO 和厶PCO 中, NBAO =ZPCO , 例 5 提示：(1) BC=10 (2)如图1,过点D 作DG // AB 交BC 于点G ,则 BG=AD=3, GC=7, MN // DG , 当 M , N 运动 t 秒时，CN=t , CM=10-2t , CN 由厶 MNC sA GDC ，得一 CD (3)①当NC=MC 时, 如图CM t 10「2t 即… ，解得 CG5 7 10 2,贝U t=10-2t , t ： 350 t :17②当MN=NC 时，如图 由厶NEC s^ DHC ，得3，过点N 作NE 丄MC 于点E , CN EC t 5 —t 即 ：CD HC53③当MN=MC 是，如图 过点D 作DH 丄BC 于点H ,5，解得t ：811 4,过点M 作MF 丄CN 于点F ，则FC NC t . 22OAB=Z OPB=Z OBC . CPO= / ABO , ABC=Z CPB , ACB=Z BCP , CBA sA CPB ,AO 二 COC例 6 (1)V AD=DC ,•••/ DAC= / DCA • DAC= Z ACB • BCD=60° , DCA= Z ACB=30° • B=30° , DAC= Z B=30° ,DAC ABC •D 作DE 丄AC 于点E • •AD=DC , • AC=2EC •在 Rt △ DEC 中，T Z DCA=30° ,•- cos^DCA =DCDC 1 AC .3 '•/ o.3 乞S DAC<Q .4S.A BC• △ DAC 与厶ABC 有一定的 全等度（2）△ DAC 与厶ABC 有一定的 全等度”不正确. 反例：若Z ACB=40° ,则厶DAC 与厶ABC 不具有一定的vZ B=30° , Z BCD=60° , • Z BAC=110° ••/ AD // BC ,• Z D=120° ••△ DAC 与厶ABC 都是钝角三角形，且两钝角不相等.由厶 MFCDHC ，得 ZC图11t 即乙 310_2t 5图2图3图4SDAC _ DCS.A BC.AC1 0.3,3AD // BC , Z Z Z Z 过点 全等度” •3•••△ DAC 与厶ABC 不相似.•••若/ ACB=40° ,则厶DAC 与厶ABC 不具有一定的 全等度”.21 . 252 . - S92ABS ABCBC9 .提示：由△ ABC s^ DCA ，得2A —CD S 也DC AD10.提示：(1)z ABF = Z COE ,/ BAF = Z C ,可证明△ ABF —OE .(2)如图，作 OG 丄AC ,交AD 的延长线于 G ,则/ G=/ C , •/ O 为 AC 中点，AC=2AB , •••/ FOG= / BOA= / COE=45° , •••△ FOGEOC , • OF OGOE OC '又 AO=BA ,/ G= / C ,/ AOG = / BAC , • △ AGO 也厶 BCA , • OG=AC=2OC ,S t -x 2 亠4x— 0 ：：: x ：：: 4 .S 161(3 )不存在点D ，使得S 1 •-S 成立，从而反面说明.412. (1)当 MN=3 时，点 P 在 BC 上.1 2(2)①当0：：：x 乞3时，y x .当x=3时，y 有最大值为3;3421 S PEF x -3, y = S AMN —S PEF x33当x=4时，y 有最大值为4222x -3 x 8x -12 = - X -44 .23提示：Rt △ BAD s Rt △ CBA . 3. C .2OF OG=2OE OC(3) OFOE11.提示:(1)S1(4_ x _4 344.7375. B6. C7. C8. AG(第10题)2 一DE 1 . 405cm 提示：—BC F— J—冷BC BC3延长DA 、CB 相交于G , 2竺SGDC (CD 丿设 S GAB 二 S 则 S GDC =9S , S ABCD =8S , 2 2 _ GA :GE : GD = S GAB : SGEF:S G.DC =1:5:9 . m 1 BD 5.A EBDDACABC,—-m BC m 2 m DCACAC mi m 2 BD AC BC -DC AC AC BC BCDC + BC BCAC+—— BCAC 1 BC 26 .提示：DE 二 FG 二HI 由厶 AFGABC , 得辽 AB 16 ,IF3GF 二AB -DE 二20 AF 20 二 Al IF 二 Al37 .设BC=a , BC 边上的高 BC ' AD=h , 4 Al , FB=4. 3 PS=x , RS=y .由厶 ASRs^ ABC ，得 y =——a , h ， 一 nS矩形PQRS ? h -x 二 nxy 二 nx --- a , h 整理得 2 2 2nx —2nxh 亠 h 0 , 1 +丄 J n 2-2n . 2 2n 2 2 2 -2 :::n 2n ：：： n -1 , -2n 不是完全平方数, \ n 2 为无理数, 从而-为无理数，于是 h BS BA x 为无理数• 8•提示: h (1)3 y x 6.(2)4 (3)如图1,当CP=CQ 时，即10 -t = t ,得t =5.如图 则CD 」PC 二2 1 10 "••••△ QDC “△ BOC 」CD 2 CO 2，当QC=QP 时，过点 1 -10-t2 Q 作QD 丄x 轴于D ,(3)如图3, PC=PQ 时，过CD CP CO CB ' 10 t 10，d ，即 CB—，得t 二色10 131P 作 PD _ I 2于 D ,则 CD CQ2CDP COB.9•设三角形边长为a, b, c.设x为正方形的边长，h为三角形的高，S为三角形的面积•设D、E、F、G ah a 2S 2S 2S , ,X a - .同理可得：X b,血.据题意X a = X b = X c，故得a h a a h ab h bc h c2S 2S 2S 111---- ---- = ------ ，或a h a = b h^c h c ①，但S ah a bh b ch c,a h ab h bc h c 2 2 22 2故ah a 二bh b 二ch c②.由①②得 a - h a b - h b，因此a-h a| |b-h b，故a-h a=b-h b③,或a - h a = h b - b④，其中必有一成立.若④式成立，由①④求得a = h b，矛盾(直角三角形斜边大于直角边)，故③式成立.有①③得a = b .同理可证b=c，故a=b=c，即△ABC为正三角形.AF —10.(1)连结AC, CF，可证明△ACFDCE，得 2 .DE(3)存在.①如图1，当OD=DM=MN=NO= 5时，四边形ODMN为菱形.作MP丄y轴于点P,则AMP PD MP /x轴‘•△MPD心FOD，- OTOD MDFD.又当y二0时, 解得MP _ PD _ 510 5 5. 5MDB是立于a边上的正方形的顶点.••• GF // BC ,•••△ AGFABC,X aha _ Xh a(3)AFDE-2. ②证明△ADH CPH，/ CPH= / ADH= 90 ° 故CP 丄AF.AFDE11.(1)B(3,6). ⑵作EG丄x轴于点G,可求得E (2, 4),直线DE的解析式旳=一1-x 5. 23. 如图，在△ ABC 中，DE / BC , DE , CD 交于 F ，且 衣 ^3S /FH D ，则 S△ADE: S4ABC ~ -----------------------------------.②如图2,当OD=DN=NM=MO= 5时，四边形 ODNM 为菱形，延长 NM 交x 轴于点P ,贝U MP 丄x 轴.•••点M 在直线“寸・5上..••设M 点坐标为a ，-1a 5，在 R f°PM中, I 3 .2•••点M 的坐标为（4, 3） . •••点N 的坐标为（ OP 2 PM 2 = 0M 2 ,.•• a 2 -- i 1 a 5 2 =52, 解得a i =4, a^ = 0 舍去，4, 8)r.V/M A③如图3，当OM=MD=DN=NO 时，四边形 OMDN 为菱形, 连结 NM 交OD 于点P ，贝U OD 互相垂直平分，• yM 二yN = OP = £ -1xM 52NM 与-xM - - 5.（ 5 ■ • N的坐标为5,厂综上所述, x 轴上方的点 N 2 4, 8 , N 3 -5,- JB” DN V- ——、尸/ \ Jr\0 A pxN 有三个，分别为图m4. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm, 则此正方形的边长为_____________ cm.5. 如图，口ABCD中, E是AB的中点，F是AD的中点，EF交AC于点O, FE的延长线交CB的延长线于G点，那么S^AOF : S^ COG -( )②当3 ::x ：：:6时，设△ PMN与BC相较于点E、F, BC边上的高为4,则X ^10.• F 点的坐标为(10, 0) . • OF=10.在Rt A ODF 中，FD -、.OD2OF2 =、52102=5〔5 ,MP =^.5 , PD = .5.二点M 的坐标为- 2.5, .5 . •••点N 的坐标为-2^5, .5 .。

九年级数学下册第二十七章《相似》单元练习题-人教版(含答案)

九年级数学下册第二十七章《相似》单元练习题-人教版(含答案)

九年级数学下册第二十七章《相似》单元练习题-人教版（含答案）一、单选题1．下列各组线段中，不成比例的是（ ）A ．30cm,20cm,90cm,60cmB ．4cm,6cm,8cm,10cmC ．11cm,22cm,33cm,66cmD ．2cm,4cm,4cm,8cm2．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的段GN 的比例中项，即满足51MG GN MN MG -==51-这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE 的面积为（ ）A ．1045-B ．355C 525-D ．2085-3．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）A ．5B ．6C ．163D ．1734．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。

金字塔的影长，推算出金字塔的高度。

这种测量原理，就是我们所学的（ ）A ．图形的平移B ．图形的旋转C ．图形的轴对称D ．图形的相似5．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC 是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE （不含△ABC ），使得△ADE △△ABC （同一位置的格点三角形△ADE 只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 6．下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中ABC 和CDE 的顶点都在小正方形的顶点上，则ABC 与CDE 一定相似的图形是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知23a b =，那么下列等式中成立的是（ ） A ．23a b = B ．1314a b +=+ C ．53a b b += D ．13a b b -=． 8．如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a 、b 应满足的条件是（ ）A ．aB ．a ＝2bC ．a ＝D ．a ＝4b 9．如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立．．．的是（ ）A ．AD AE DB EC = B ．DE DF BC FC = C ．DE AE BC EC =D ．EF AE BF AC= 10．已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：111．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，EF 是对角线BD 的垂直平分线，则EF 的长为（ ）A ．154cmB ．153cmC ．152cmD ．8cm 12．若ABC DEF ∽△△，且10cm AB =，12cm BC =，5cm DE =，则EF 的长度为（ ）． A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm二、填空题13．已知0234x y z ==≠，则xy yz zx +的值是________． 14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 为射线BC 上的一个动点，过点P 的直线PQ 垂直于AP 与直线CD 相交于点Q ，当BP ＝5时，CQ ＝_____．15．将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB =2AD ，则b a的值为________.16．若1()2b d a c a c ==≠，则b d a c-=-________．三、解答题17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上、已知纸板的两条边DF ＝0.5m ，EF ＝0.3m ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝10m ，求树高AB ．18．如图，一个矩形广场的长120AB =米，宽60AD =米，广场内两条纵向的小路宽为a 米，横向的两条小路宽为b 米，矩形ABCD 矩形EFGH ．(1)求:a b 的值；(2)若4a =，求矩形EFGH 的面积．19．已知：::2:3:5a b c =.（1）求代数式323a b c a b c-++-的值； （2）如果324a b c -+=，求,,a b c 的值.20．（1）观察猜想：如图1，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，45BAC DAE ∠=∠=︒，DE AE =，将ADE 绕点A 逆时针旋转到如图2所示的位置，连接BD ，交AC 于点G ，连接CE 交BD 于点F ，则BD CE值为______，BFC ∠的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当90ACB AED ∠=∠=︒，30BAC DAE ∠=∠=︒时，请求出BD CE的值及BFC ∠的度数．（3）拓展应用： 如图4，在四边形ABDC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，45BDC ∠=︒．若8CD =，6BD =，请直接写出A ，D 两点之间的距离．参考答案1．B2．A3．C4．D5．C6．A7．C8．B9．C10．C11．C12．C13．9414．531516．1217．树高AB 是9米18．(1)a ：b ＝2：1(2)6272米219．（1）1；（2）6,9,15a b c === 20．（1，45°；（230°；（3）。

初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第11章 比例与相似试题2 新人教版

初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第11章 比例与相似试题2 新人教版

第11章 比例与相似11．2．5★在锐角三角形ABC 中，E 是AD 是一点，满足::AE ED CD DB =，过D 作DF BE ⊥，F 为垂足，证明：90AFC ∠=︒．AEFB D C解析 由条件知BED △∽DEF △，且A E E D E FC D D B F D==，又90AEF EDF FDC ∠=︒+∠=∠，故AEF △∽CDF △，于是90AFC AFE EFC EFC CFD EFC EFD ∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒．11．2．6★已知正方形ABCD ，点P 和Q 分别在上，且BP BQ =，BH 与PC 垂直于H ，求DHQ ∠的取值范围．ADP HCQ B解析 易知PBH △∽BCH △，故有BH BH CH CHBQ BP BC DC===．又H B Q B P C H C D∠=∠=∠，故H B Q △∽HCD △，90DHQ DHC QHC BHQ QHC ∠=∠+∠=∠+∠=︒．11．2．7★在ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内的一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，且8PA ∠=，6PC =，求PB ．ABCP解析 由条件易知120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，又18012060PAB PBA PBA PBC ∠=︒-︒-∠=︒-∠=∠，故PAB △∽PBC △．PA PBPB PC=．因此，PB ==11．2．8★如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为35，有一个边长为12的正方形CDEF 内接于ABC △，求ABC △的周长．A FEC D B解析 设BC a =，AC b =，则222351225a b +==．又Rt △AFE ∽Rt ACB △，所以，FE AFCB AC=，即1212b a b-=，故()12a b ab +=．所以，()2222122524()a b a b ab a b +=++=++，解得49a b +=(另一个解-25舍去)．所以三角形的周长为84．11．2．9★★K 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点L 分对角线AC 的比为:3AL LC =，证明：90KLD ∠=︒．解析 如图，连结BD 、KD ，BD 交AC 于O ，则1142CL AC OC ==，12OL LC OD ==，而12A K A D =，AD AB ⊥，OD OC ⊥，故ADK △∽ODL △，这是顺相似，所以AOD △∽KLD △，90KLD AOD ∠=∠=︒．ADKOLBC11．2．10★★如图，AC AF ⊥，BC BE ⊥，BD BF ⊥，BM 与BN 分别是BCD △与BEF △的高， 点1H 与2H 分别为BCD △与BEF △的垂心，求证：12H H 被AB 平分．F解析 本题即是证明12AH B AH B S S =△△，这可以转化为求证12AM BH AN BH ⋅=⋅或21BH AM AN BH =．很容易看出BCD △∽BEF △，故21BH BNBH BM=．由于四边形AMBN 是矩形，有AM BN =，AN BM =，于是结论成立．11．2．11★★已知ABC △，向外作正方形ABPQ 和正方形ACMN ．若BC PM ∥，求证：AB AC =．解析 如图，不妨设PM 与AB 、AC 分别交于E 、F ，于是PB BA CA CMBE BE CF FC===，90EBP ∠=︒=FCM ∠，EBP △∽FCM △，180180PBC EPB FMC MCB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，两边同时减去90︒，得ABC ACB ∠=∠，于是AB AC =．QANPE F MBC评注 本题也可通过P 、M 向直线BC 作垂线，并通过全等三角形来证明．PM 与AB 或AC 不相交是不可能的，这样P 、M 将在直线BC 的异侧．11．2．12★★ABC △中，1BC =，2A B ∠=∠，求ACBC的取值范围． 解析 如图，设ABC △三对应边分别为a 、b 、c ，延长CA 至D ，使AD AB =，于是CBA D ∠=∠，ABC △∽BDC △，故2BC CA CD =⋅，即2()a b b c =+，从而AC b BC a ==等式，a c b +>显然，a c a +>也显然，a b c +>c b -，或3b c >，故12b a >．又22()a b bc b =+>，故1b a <．因此，AC BC 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭． CB AD11．2．13★★已知正三角形ABC ，D 在BC 上，2CD BD =，E 在AD 上，求证：EBD DAB ∠=∠．解析 如图，不妨设1BD =，2CD =，3AB AC ==，则AD AE x =，DE y =，则x y +=，22225x y AC CD -=-=，解得y =．于是21BD ED AD ==⋅，BED △∽ABD △，故有EBD DAB ∠=∠．ABCED11．2．14★★已知锐角ABC △，AD 是高，3AB =，1BD =，M 是AB 中点，作CP 与MD 延长线垂直且交于P ，若P 在BC 的中垂线上，求AC ．解析 如图，设BC 中点为N ，由于MDB CDP B ∠=∠=∠，故DNP △∽DPC △∽BDA △，所以13DN DP BD DP CD AB ===，9CD DN =．设DN x =，则由BN CN =，得1CN x =-，21CD x =+，所以219x x +=，17x =，97CD =，AC =．ABCMD N P11．2．15★★如图，直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，BD 是角平分线，CE BD ⊥于E ，则2A C C EA B B D=；222BC BE ED AB BD -=． AFD GEB解析 延长CE 与AB 交于F ，易知2CE CF =．由于ACF DBC ABD ∠=∠=∠，故ABD △∽ACF △，于是2AC CF CEAB BD BD ==．又作D 关于E 之对称点G ，则222BE ED BG BD BD -=．由于ABD △∽CBG △，故222BC BG BE ED AB BD BD -==． 11．2．16★★能否把任意两个直角三角形各划分成两个三角形，使它们分别对应相似? 解析 如图，设90B E ∠=∠=︒．若两三角形相似，结论显然成立．否则可不妨设D A ∠>∠，则C F ∠=∠于是可在AB 上取一点M ，使MCA F ∠=∠；在EF 上取一点N ，使NDF A ∠=∠．易知AMC △∽DNF △，MBC △∽MED △．AMB C DE N11．2．17★★设凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点为M ．过点M 作AD 的平行线分别交AB 、CD 于点E 、F ，交BC 的延长线于点O ．P 是以O 为圆心，OM 为半径的圆上一点．求证：OPF OEP ∠=∠．解析 延长AD 、BO 交于点G ．由OM GA ∥得OF CO OM GD CG GA ==，即OF GDOM GA=．同理，得OM BO OE GD BG GA ==，即OM GD OE GA =．所以OF OM OM OE =．由条件得OP OM =，所以OF OPOP OE =，因此可得OPF △∽OEP △，则有OPF OEP ∠=∠．11．2．18★证明：三角形的一条高线的垂足和它在另外两条高线上的射影组成的三角形，与原三角形 相似．解析 如图，ABC △中，AD 、BE 、CF 是高，D 在BE 、CF 上的射影分别是M 、N ．则180MDN BHC BAC ∠=︒-∠=∠．又M D H D D NA E A H A F==，故M D A ED N A F==c o s c o s A B A A BA C A A C=，故有DMN △∽ABC △．AFE HMNBDC题11.2.18评注 本题亦可用四点共圆证明．又本题将ABC △画成锐角三角形，若ABC △为非锐角三角形，结论不变．11．2．19★★★点B 、E 分别在AC 、AD 上，EC 与BD 交于F ，若B D A E C A ∠=∠，且3A B B C ==，4CF EF ⋅=，求AF ．解析 如图，延长AF 至G ，使4AF FG CF EF ⋅=⋅=，连结CG ．于是由BDA ECA ∠=∠，得G AEF ABF ∠=∠=∠，故B 、C 、G 、F 共圆，有224AF AG AF AF FG AF ⋅=+⋅=+，于是AF = ABE DGCF题11.2.1911．2．20★★★已知一个红三角形与一个蓝三角形，试将每个三角形用两刀分成三个三角形，使每个盛色的部分与一个相应的红色部分相似(或全等)． 解析 如果两个三角形可以分别划分成n 个小三角形，使对应的n 组三角形均相似(或全等)，则称这两个三角形是“n 相似”的，于是，立刻可以得出如下结论：“1相似”即“相似(或全等)”．“n 相似”可推出“1n +相似”．以下先证一个结论：对ABC △与A △′B ′C ′，若A A ∠=∠′，则它们是“2相似”的．证明如下：由前知，ABC △∽A △′B ′C ′，则其“2相似”，否则，不妨设B B ∠<∠′，则C C ∠>∠′，可在AB 、A ′C ′上分别找点D ，D ′，使DCB C ∠=∠′，D ∠′B ′C ′B =∠，于是ADC △∽A △′B ′D ′，BDC △∽△B ′D ′C ′,结论证毕．现对于一般的ABC △与△A ′B ′C ′，不妨设ABC △以B ∠最大，C ∠最小；△A ′B ′C ′中B ∠′最大，而且B B ∠>∠′(B B ∠=∠′就不要做了)≥60︒，则60C ∠<︒，如图，今在BC 同侧作BCF △∽A △′B ′C ′，使FCB B ∠=∠′，FBC C ∠=∠′，则F 在ABC △外，设BF 与AC 交于E ，则ABE △与EFC △“2相似”，故ABC △与BFC △“3相似”；又BFC △∽△B ′A ′C ′，故ABC △与A △′B ′C ′“3相似”．AFEBC11．2．21★★如图(a)，AB BD ⊥，CD BD ⊥，6AB =，4CD =，14BD =，现有点P 在直线BD 上，并且满足条件：ABP △与CDP △相似，求BP 的长度．ACB P D图(a)解析 设BP x =．分三种情况讨论：(1)P 在DB 延长线上时，如图(b)，只能是ABP △∽PDC △，则AB BP PD CD =，即6144xx =+，解得7x =；（2）P 在BD 延长线上，如图(c)，是ABP △∽PDC △或ABP △∽CDP △，则AB BP PD CD =或AB BP CD PD =，即6144x x =-或6414xx=-，解得12x =或2或8.4； AP BD CACB PD图(b)图(c)(3)P 在BD 延长线上，如图(d)，是ABP △∽PDC △或ABP △∽CDP △，则AB BP PD CD =或AB BPCD PD=，即6414x x =-或6144xx =-，解得42x =7；ACB DP图(d)综上所述，这样的点P 有六个，BP7，2，8.4，12，42．11．2．22★★★设四边形ABCD 的对角线交于点O ，点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，点1H 、2H (不重合)分别是AOB △与COD △的垂心，求证：12H H MN ⊥．解析 如图，不妨设AOB ∠（θ=）90<︒(其余情形请读者自己讨论)，并不妨设1BH 与2CH 的延长线 交于点P ．取AB 中点Q ，连结MQ 、NQ ．易见MQ BD ∥，从而2MQ H P ⊥，同理可得1NQ H P ⊥，于是P MQN ∠=∠．对于12PH H △与QNM △来说，对应角已有一组相等，对应边已有两组垂直，如能证明它们是(顺向)相似的，则立得第三组对应边垂直，即12MN H H ⊥．于是，问题归结为求证21PH QM QN PH =或12PH AC PH BD =．设(90)P C O P B O αθ∠=-︒-=∠，于是2cos KRPH α=，此处点K 和R 分别为点B 及点D 在AC 上的垂足．又cos KR BD θ=，故2cos cot cos PH BD BD θθα==，同理1cot PH AC θ=，即得12PH ACPH BD=．P A MDKQ ORC NBH 2H 1θαα11．2．23★★★菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 在AD 上，CE 与BA 延长后交于F ，BE 延长后与FD 交于M ，求DM B ∠．解析 连结BD ，如图．由平行成比例及菱形性质知AD FC FB ED EC AB ==，于是BD BFED BD=，而60FBD BDE ∠=︒=∠，故BED △∽FDB △，所以BFD MBD ∠=∠．BA FE MDC从而60BMD BFD FBM FBD ∠=∠+∠=∠=︒．11．2．24★★如图(a)，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，对角线的交点为O ，P 、Q 分别是边AD 、BC 上的点，使得APB CPD ∠=∠，AQB CQD ∠=∠，求证：OP OQ =．A B PQODC CDOQPB AB 1(a)(b)解析 如图(b)延长DA 至1B ，使得1BB =BA ，则11PB B B AB PDC ∠=∠=∠，于是DPC △∽1B PB △，故11DP CD CD DO PB BB BA BO ===，所以1PO BB ∥．又因为DPO △∽1DB B △，所以1DO DOOP BB AB DB DB=⋅=⋅． 同理可得CO OQ AB CA =⋅．而AB CD ∥，所以DO CODB CA=，故OP OQ =． 11．2．25★★证明拿破仑定理：以ABC △每边为边分别向外作正三角形，则这3个正三角形的中心是另一个正三角形的顶点．解析 如图，设BCD △、ACE △与ABF △均为正三角形，P 、Q 、R 是各自的中心．连结CQ 、CP 、BE．易知CQ PC CE BC ==60QCP ACB ECB ∠=∠+︒=∠，故QCP △∽ECB △，PQ =同理，RQ =PQ RQ =．同理PQ RP =，于是PQR △为正三角形．FAER Q BCPD11．2．26★★四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ， 过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N ．证明：AFN DME ∠=∠．FMAD PN EB C解析 设MN 与EF 交于点P ，由N E B C ∥，得PN PEPB PC=，所以PB PE PN PC ⋅=⋅．又M E B F ∥，故P M P E P B P F =，所以PB PE PM PF ⋅=⋅．从而PN PC PM PF ⋅=⋅，即PM PCPN PF=．又F P N M P C ∠=∠，故PNF △∽PMC △，PNF PMC ∠=∠，从而NF MC ∠∥，ANF EDM ∠=∠．又ME BF ∥，故FAN MED ∠=∠．所以AFN DME ∠=∠． 11．2．27★★★在ABC △中，设P 是边BC 的中点，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，MN BC ∥，MP 交BN 于点Q ，QR AC ⊥于点R ，BT AC ∥交RQ 的延长线于T ，求证： (1)TP MR ∥；(2)MRQ PRQ ∠=∠．解析 (1)因为BT ∥RN ，所以QRN △∽QTB △，QR QNQT QB=，又M N B P ∥，所以QMN △∽QPB △，QM QN QP QB =，因此QR QMQT QP=，从而QRM △∽QTP △，故TP MR ∥． ARNSCMQBP(2)延长TP 交AC 于点S ，则TBSC 是平行四边形，在直角三角形TRS 中，P 是斜边TS 的中点，所以，RP TP =，于是MRQ QTP PRQ ∠=∠=∠．11．2．28★★★不等边锐角三角形ABC △中，D 是底边BC 上一点，AD 上有一点P ，延长BP 、CP ，分别交AC 、AB 于M 、N ，若DA 平分MDN ∠，求证：AD BC ⊥．解析 如图，连结MN ，交AD 于Q ，又作NJ AD MK ∥∥，J 、K 在BC 上，设M 与BM 交于X ，MK 与CN 交于Y ．则N J A D M KN X A P M Y==，故N J N X X P J D N Q N DM K M Y P M D K M Q M D=====，故M J D △∽MKD △，于是NDJ MDK ∠=∠，又NDA MDA ∠=∠，故90ADB ADC ∠=∠=︒．ANQMBJD KCXY P评注 本题也可用塞瓦定理加以证明．11．2．29★★等边ABC △的三条边BC 、CA 、AB 上分别有三条相等的线段12A A 、12B B 、12C C ．求证：直线21B C 、21C A 、21A B ，所构成的三角形上，三条线段21B C 、21C A 、21A B 与包含它们的边成比例．解析 设直线21B C 、21C A 、21A B 所构成的三角形为333A B C △(如图)，过1C 、2C 分别作AC 、BC 的平行线，相交于点P ，则12PC C △是等边三角形，且112P C BB ∥，221PC A A ∥，可得221PA C A ∥，121PB B C ∥，即21A B P △∽333A B C △，1221333333B P PA A B B C C A A B ==，所以212121333333B C C A A BB C C A A B ==． C A BPA 1A 2A 3B 1B 2B 3C 1C 2C 311．2．30★★★已知ABC △，AB AC =，D 是BC 中点，直线CF BC ⊥．E 是AB 上任一点，ED 延长后交直线CF 于F ，M 、N 分别是ED 、DF 中点，求证：AD 平分MAN ∠． 解析 如图，连结CN 、EC ，EC 与AD 交于K ，则由角平分线及平行线性质，知AE EK ED EMAC KC DF CN===，AED B EDB ACD CDF ∠=∠+∠=∠+∠ACD NCD ACN =∠+∠=∠，故AEM △∽ACN △，BAM CAN ∠=∠．又BAD CAD ∠=∠，故AD 平分MAN ∠．ABCDFNKM E11．2．31★★★设直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AD 是斜边BC 上的高，ABD △、ACD △的内心分别是S 、T ，延长ST ，交两直角边于M 、N ，证明：AM AN =，并用AB 、AC 来表示MN ． 解析 如图，连结SD 、TD 、AS 、AT ．因为ABD △∽CAD △，DS 、DT 为对应线段，故90SDT ∠=︒，且SDT △∽BAC △，于是STD C ∠=∠，从而45ANM TDC ADT ∠=∠=︒=∠．又TAD TAN ∠=∠，故ADT △≌ANT △，AN AD =，同理AM AD =．于是MN ===．ABCM NSTD11．2．32★★分别以锐角三角形ABC 的边AB 、BC 、CA 为斜边向外作等腰直角三角形DAB 、EBC 、FAC ．求证：(1)AE DF =；(2)AE DF ⊥．解析 (1)延长BD 至点P ，使DP BD =，连结AP 、CP ．因为DAB △是等腰直角三角形，所以ABBD=．又2B P B D=，所以AB BP =．因为EBC △是等腰直角三角形，所以45PBC ABC ABE ∠=︒+∠=∠，于是ABE △∽PBC △，AE AB PC BP ==，即A E C =．又在ADF△和APC △中,有AF AD AC AP =，45DAF PAC DAC ∠=∠=︒+∠，所以A D F △∽APC △，2DF AD PC AP ==，即2DF PC =．所以，AE DF =．PADFB CE(2)因为ADF △∽APC △，所以ADF ∠=APC ∠．又由ABE △∽PBC △，得BAE CPB ∠=∠,于是454590DAE ADF BAE ADF CPB APC ∠+∠=︒+∠+∠=︒+∠+∠=︒．所以，AE DF ⊥．11．2．33★★★已知ABC △，向外作正三角形ABD △与ACE △，P 、Q 分别是AD 、CE 的中点，R 是BC 上一点，BR 3CR =，求PQR △的三个内角值．解析 如图，作QS AC ⊥于S ，连结AQ 、RS ，则1122SC CQ AC ==，于是RS AB ∥，1142SR AB AP ==．又12SQ AQ =，90RSQ A PAQ ∠=∠+︒=∠，故PAQ △∽RSQ △，且是顺相似，于是PRQ △∽ASQ △，所以PQR △的内角依次为30︒、60︒、90︒． PADFB CE评注 A ∠≥90︒时结论不变．11．2．34★★★已知：ABC △，向外作正三角形ACE 和正三角形BCF ，1O 与2O 依次是它们的中心，D 是AB 中点，求证：12EDO FDO ∠=∠．解析 如图，设BC 、CA 的中点分别为P 、Q ，连结2PO F 与1QO E ，则11PF PF CQ DPDQ PC QO QO ==， 又190DPF C DQO ∠=∠+︒=∠，故DPF △∽1O QD △，于是21DFO O DQ ∠=∠，同理，由2DPO △∽EQD △，可得2DO P EDQ ∠=∠，于是11222EDO EDQ QDO DO P DFO FDO ∠=∠-∠=∠-∠=∠．AEDBCFP QO 1O 211．2．35★★★已知锐角三角形ABC ，AD 、CE 为高，H 是垂心，ED 、AC 延长后交于P ，G 为AC 中点，求证：PH BG ⊥．解析 如图，设HP 与CD 交于K ，BG 与AD 交于J ．由面积知B 、D 、K 、C 是调和点列，即CB CKBD DK =，又由梅氏定理，1BC DJ AG BD JA GC ⋅⋅=，即JA BC CKDJ BD DK==．又ABD △∽CHD △，且顺相似，HD BD ⊥，CH AB ⊥，K 、J 是对应点，故BJ HK ⊥，即PH BG ⊥．AEJ GHC D BKP评注 调和点列见15．1．65，此题是一个一般结果之特例．11．2．36★★★已知ABC △中，90A ∠=︒，S 、N 在AB 上，M 在BC 上，MN BC ⊥，2SC CM CB =⋅，Q 在AC 上，SQ SO ⊥(O 为BC 中点)，SQ 交MN 于P ，求证：SP QP =．解析 如图，延长MP 、CA ，设交于R ，连结SR ．由于MRC △∽ABC △，故C A C R ⋅=2C M C B S C ⋅=，于是RS CS ⊥，又由QS SO ⊥，PM MO ⊥，故RSP △∽CSO △，同理RPQ △∽BOS △． 于是SP SO PR CO =，PQ SORP BO=，由于BO CO =，故SP QP =． RA Q SN PB O M C11．2．37★★★★D 为ABC △的边AC 上一点，E 和F 分别为线段BD 和BC 上的点．满足BAE CAF ∠=∠．再设P 、Q 为线段BC 和BD 上的点，使得EP QF DC ∥∥．求证：BAP QAC ∠=∠．解析 如图，在AB 上取点R ，使RE AQ ∥，连结RE 、RP ．易知REP △与AQF △位似，故QAF ∠ERP =∠，RPE AFQ ∠=∠．而QF CD ∥，故AFQ FAC BAE ∠=∠=∠，从而RPE BAE ∠=∠，所以R 、A 、P 、E 共圆(R 与A 不重合)，于是QAF ERP EAP ∠=∠=∠． 又CAF BAE ∠=∠，加之，即得QAC BAP ∠=∠．ARBEP FCQD11．2．38★★★★已知ABC △中，AB 、AC 上各有一点R 、Q ，直线RQ 与BC 延长线交于点P ，求证：1AQ CQ PC PB QR BRPQ RQ PQ PR QR PR⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅．ARQTSPCB解析 在PR 上取S ，使A 、R 、C 、S 共圆，则QSC A ∠=∠，AQ QC RQ SQ ⋅=⋅，又在PR 上取T ， 使T 、C 、B 、R 共圆，则CTP B ∠=∠，PC PB PT PR ⋅=⋅，于是1AQ CQ PC PB SQ PT TSPQ RQ PQ PR PQ PQ PQ⋅⋅+=+=+⋅⋅， 于是问题变成求证TS AR BR PQ QR PR ⋅=⋅．显见STC △∽ABC △，TS CSAB AC=，又ARQ △∽SCQ △，故AR SC RQ CQ =，欲证式成为AB BP AC PQ CQ PR =⋅⋅，或1AB PR CQBR PQ AC⋅⋅=，这是梅氏定理，故结论成立．11．2．39★★★★如图，PQR △和P △′Q ′R ′是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 的边长分别是1AB a =，1BC b =，2CD a =，2DE b =，3EF a =，3FA b =．求证：（1）222223123123a a a b b b ++=++；(2)123123a a a b b b ++=++．R'P'Q'PA F RB ECD Q a 1a 2a 3b 1b 2b3解析 (1)不妨设PAB △、P △′BC 、QCD △、Q △′DE 、REF △、R △FA 的面积分别为1S 、1S '、2S '、3S '、3S 、3S '．由PAB △∽P △′CB ∽QCD ∠∽Q △′ED ∽REF △∽R △′AF ，可得331122222222112233S S S S S S a b a b a b '''=====123222123S S S a a a ++=++123222123S S S b b b '+'+'=++(由211211S a S b ='得112211S S a b '=，同理可得其余)． 因为PQR △≌P △′Q ′R ′，所以123123S S S S S S ++='+'+'，则222222123123a a a b b b ++=++． (2)不妨设PAB △、P ∠′BC 、QCD △、Q △′DE 的周长分别为1l 、1l '、2l 、2l '、3l 、3l '． 可得111111l a l b a b -'-=333312312322222233123()l a l b l l l a a a l a l b a b a b a a a -'-++-++-'=====++ 123123123()l l l b b b b b b '+'+'-++=++(由1111l a l b ='，得1111l l a b '=，因此111111l a l b a b -'-=，同理可得其余)．又设PQR △、P △′Q ′R ′的周长均为L ，123a a a A ++=，123b b b B ++=，由上面等式可得L B L AA B--=，化得()()0A B L A B ---=，而L A B >+，因此A B =，即123123a a a b b b ++=++． 11．2．40★★★★已知平行四边形ABCD ，C 在边AD 、AB 上的射影分别是M 、N ，NM 延长后与BD 延长线交于P ，求证：PC AC ⊥．RA MP DLBN解析 延长AD ，交CP 于L ，则PC AC ACM ⊥⇔△∽CLM △2AM ML CM ⇔⋅=，下面就来证明此式．延长MN ，交CB 延长线于Q ，又延长CN ，交DA 延长线于R ．于是ML QC RMMD QB AM ==，于是欲证式变为2MD RM CM ⋅=，而这显然成立．11．2．41★★★★已知ABC △内有一点Y ，BC 上有一点P ，X 、Z 在ABC △外，AXB △∽CYP △，ACZ △∽BPY △(即XAB YCB ∠=∠，XBA YPC ∠=∠，CAZ YBP ∠=∠，ACZ YPB ∠=∠)，求证：XY BPYZ PC=． 解析 如图，延长CY 至M ，使MB PY ∥，连结XM ．于是XBA △∽YPC △∽MBC △，而且是顺相似，故XBM △∽ABC △．故XM BM PY AC BC PC ==，PYXM AC PC=⋅． XAMBPCZY又ACZ △∽BPY △，故CZ PY AC PB =，于是XM PB MYCZ PC CY==． 又XMY XMB BMY ACB PYC ∠=∠+∠=∠+∠=ACB YPB YCB ∠+∠-∠YPB ACY ACZ ACY ZCY =∠+∠=∠+∠=∠，故M X Y △∽CZY △，于是X Y M Y B PY Z Y C P C ==，同时由MYX CYZ ∠=∠，得X 、Y 、Z 三点共线．。

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人教版初中数学《比例与相似》竞赛专题复习含答案11．2．5★在锐角三角形ABC 中，E 是AD 是一点，满足::AE ED CD DB =，过D 作DF BE ⊥，F 为垂足，证明：90AFC ∠=︒．AEFB D C解析 由条件知BED △∽DEF △，且A E E D E FC D D B F D==，又90AEF EDF FDC ∠=︒+∠=∠，故AEF △∽CDF △，于是90AFC AFE EFC EFC CFD EFC EFD ∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒．11．2．6★已知正方形ABCD ，点P 和Q 分别在上，且BP BQ =，BH 与PC 垂直于H ，求DHQ ∠的取值范围．ADP HCQ B解析 易知PBH △∽BCH △，故有BH BH CH CHBQ BP BC DC===．又H B Q B P C H C D∠=∠=∠，故H B Q △∽HCD △，90DHQ DHC QHC BHQ QHC ∠=∠+∠=∠+∠=︒．11．2．7★在ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内的一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，且8PA ∠=，6PC =，求PB ．ABCP解析 由条件易知120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，又18012060PAB PBA PBA PBC ∠=︒-︒-∠=︒-∠=∠，故PAB △∽PBC △．PA PBPB PC=．因此，PB ==11．2．8★如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为35，有一个边长为12的正方形CDEF 内接于ABC △，求ABC △的周长．A FEC D B解析 设BC a =，AC b =，则222351225a b +==．又Rt △AFE ∽Rt ACB △，所以，FE AFCB AC=，即1212b a b-=，故()12a b ab +=．所以，()2222122524()a b a b ab a b +=++=++，解得49a b +=(另一个解-25舍去)．所以三角形的周长为84．11．2．9★★K 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点L 分对角线AC 的比为:3AL LC =，证明：90KLD ∠=︒．解析 如图，连结BD 、KD ，BD 交AC 于O ，则1142CL AC OC ==，12OL LC OD ==，而12AK AD =，AD AB ⊥，OD OC ⊥，故ADK △∽ODL △，这是顺相似，所以AOD △∽KLD △，90KLD AOD ∠=∠=︒．ADKOLBC11．2．10★★如图，AC AF ⊥，BC BE ⊥，BD BF ⊥，BM 与BN 分别是BCD △与BEF △的高， 点1H 与2H 分别为BCD △与BEF △的垂心，求证：12H H 被AB 平分．F解析 本题即是证明12AH B AH B S S =△△，这可以转化为求证12AM BH AN BH ⋅=⋅或21BH AM AN BH =．很容易看出BCD △∽BEF △，故21BH BNBH BM=．由于四边形AMBN 是矩形，有AM BN =，AN BM =，于是结论成立．11．2．11★★已知ABC △，向外作正方形ABPQ 和正方形ACMN ．若BC PM ∥，求证：AB AC =．解析 如图，不妨设PM 与AB 、AC 分别交于E 、F ，于是PB BA CA CMBE BE CF FC===，90EBP ∠=︒=FCM ∠，EBP △∽FCM △，180180PBC EPB FMC MCB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，两边同时减去90︒，得ABC ACB ∠=∠，于是AB AC =．QANPE F MBC评注 本题也可通过P 、M 向直线BC 作垂线，并通过全等三角形来证明．PM 与AB 或AC 不相交是不可能的，这样P 、M 将在直线BC 的异侧．11．2．12★★ABC △中，1BC =，2A B ∠=∠，求ACBC的取值范围． 解析 如图，设ABC △三对应边分别为a 、b 、c ，延长CA 至D ，使AD AB =，于是CBA D ∠=∠，ABC △∽BDC △，故2BC CA CD =⋅，即2()a b b c =+，从而AC b BC a ==等式，a c b +>显然，a c a +>也显然，a b c +>c b -，或3b c >，故12b a >．又22()a b bc b =+>，故1b a <．因此，AC BC 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭． CB AD11．2．13★★已知正三角形ABC ，D 在BC 上，2CD BD =，E 在AD 上，求证：EBD DAB ∠=∠．解析 如图，不妨设1BD =，2CD =，3AB AC ==，则AD AE x =，DE y =，则x y +=，22225x y AC CD -=-=，解得y =．于是21BD ED AD ==⋅，BED △∽ABD △，故有EBD DAB ∠=∠．ABCED11．2．14★★已知锐角ABC △，AD 是高，3AB =，1BD =，M 是AB 中点，作CP 与MD 延长线垂直且交于P ，若P 在BC 的中垂线上，求AC ．解析 如图，设BC 中点为N ，由于MDB CDP B ∠=∠=∠，故DNP △∽DPC △∽BDA △，所以13DN DP BD DP CD AB ===，9CD DN =．设DN x =，则由BN CN =，得1CN x =-，21CD x =+，所以219x x +=，17x =，97CD =，AC =．ABCMD N P11．2．15★★如图，直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，BD 是角平分线，CE BD ⊥于E ，则2A C C EA B B D=；222BC BE ED AB BD -=． AFD GEB解析 延长CE 与AB 交于F ，易知2CE CF =．由于ACF DBC ABD ∠=∠=∠，故ABD △∽ACF △，于是2AC CF CEAB BD BD ==．又作D 关于E 之对称点G ，则222BE ED BG BD BD -=．由于ABD △∽CBG △，故222BC BG BE ED AB BD BD -==． 11．2．16★★能否把任意两个直角三角形各划分成两个三角形，使它们分别对应相似? 解析 如图，设90B E ∠=∠=︒．若两三角形相似，结论显然成立．否则可不妨设D A ∠>∠，则C F ∠=∠于是可在AB 上取一点M ，使MCA F ∠=∠；在EF 上取一点N ，使NDF A ∠=∠．易知AMC △∽DNF △，MBC △∽MED △．AMB C DE N11．2．17★★设凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点为M ．过点M 作AD 的平行线分别交AB 、CD 于点E 、F ，交BC 的延长线于点O ．P 是以O 为圆心，OM 为半径的圆上一点．求证：OPF OEP ∠=∠．解析 延长AD 、BO 交于点G ．由OM GA ∥得OF CO OM GD CG GA ==，即OF GDOM GA=．同理，得OM BO OE GD BG GA ==，即OM GD OE GA =．所以OF OM OM OE =．由条件得OP OM =，所以OF OPOP OE =，因此可得OPF △∽OEP △，则有OPF OEP ∠=∠．11．2．18★证明：三角形的一条高线的垂足和它在另外两条高线上的射影组成的三角形，与原三角形 相似．解析 如图，ABC △中，AD 、BE 、CF 是高，D 在BE 、CF 上的射影分别是M 、N ．则180MDN BHC BAC ∠=︒-∠=∠．又MD HD DN AE AH AF ==，故M D A ED N A F==c o s c o s A B A A BA C A A C=，故有DMN △∽ABC △．AFE HMNBDC题11.2.18评注 本题亦可用四点共圆证明．又本题将ABC △画成锐角三角形，若ABC △为非锐角三角形，结论不变．11．2．19★★★点B 、E 分别在AC 、AD 上，EC 与BD 交于F ，若B D A E C A ∠=∠，且3A B B C ==，4CF EF ⋅=，求AF ．解析 如图，延长AF 至G ，使4AF FG CF EF ⋅=⋅=，连结CG ．于是由BDA ECA ∠=∠，得G AEF ABF ∠=∠=∠，故B 、C 、G 、F 共圆，有224AF AG AF AF FG AF ⋅=+⋅=+，于是AF = ABE DGCF题11.2.1911．2．20★★★已知一个红三角形与一个蓝三角形，试将每个三角形用两刀分成三个三角形，使每个盛色的部分与一个相应的红色部分相似(或全等)．解析 如果两个三角形可以分别划分成n 个小三角形，使对应的n 组三角形均相似(或全等)，则称这两个三角形是“n 相似”的，于是，立刻可以得出如下结论：“1相似”即“相似(或全等)”．“n 相似”可推出“1n +相似”．以下先证一个结论：对ABC △与A △′B ′C ′，若A A ∠=∠′，则它们是“2相似”的．证明如下：由前知，ABC △∽A △′B ′C ′，则其“2相似”，否则，不妨设B B ∠<∠′，则C C ∠>∠′，可在AB 、A ′C ′上分别找点D ，D ′，使D C B C ∠=∠′，D ∠′B ′C ′B =∠，于是ADC △∽A △′B ′D ′，BDC △∽△B ′D ′C ′,结论证毕．现对于一般的ABC △与△A ′B ′C ′，不妨设ABC △以B ∠最大，C ∠最小；△A ′B ′C ′中B ∠′最大，而且B B ∠>∠′(B B ∠=∠′就不要做了)≥60︒，则60C ∠<︒，如图，今在BC 同侧作BCF △∽A △′B ′C ′，使FCB B ∠=∠′，FBC C ∠=∠′，则F 在ABC △外，设BF 与AC 交于E ，则ABE △与EFC △“2相似”，故ABC △与BFC △“3相似”；又BFC △∽△B ′A ′C ′，故ABC △与A △′B ′C ′“3相似”．AFEBC11．2．21★★如图(a)，AB BD ⊥，CD BD ⊥，6AB =，4CD =，14BD =，现有点P 在直线BD 上，并且满足条件：ABP △与CDP △相似，求BP 的长度．ACB P D图(a)解析 设BP x =．分三种情况讨论：(1)P 在DB 延长线上时，如图(b)，只能是ABP △∽PDC △，则AB BP PD CD =，即6144xx =+，解得7x =-；（2）P 在BD 延长线上，如图(c)，是ABP △∽PDC △或ABP △∽CDP △，则AB BP PD CD =或AB BP CD PD =，即6144x x =-或6414xx=-，解得12x =或2或8.4； AP BD CACB PD图(b)图(c)(3)P 在BD 延长线上，如图(d)，是ABP △∽PDC △或ABP △∽CDP △，则AB BP PD CD =或AB BPCD PD=，即6414x x =-或6144xx =-，解得42x =7；ACB DP图(d)综上所述，这样的点P 有六个，BP7，2，8.4，12，42．11．2．22★★★设四边形ABCD 的对角线交于点O ，点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，点1H 、2H (不重合)分别是AOB △与COD △的垂心，求证：12H H MN ⊥．解析 如图，不妨设AOB ∠（θ=）90<︒(其余情形请读者自己讨论)，并不妨设1BH 与2CH 的延长线 交于点P ．取AB 中点Q ，连结MQ 、NQ ．易见MQ BD ∥，从而2MQ H P ⊥，同理可得1NQ H P ⊥，于是P MQN ∠=∠．对于12PH H △与QNM △来说，对应角已有一组相等，对应边已有两组垂直，如能证明它们是(顺向)相似的，则立得第三组对应边垂直，即12MN H H ⊥．于是，问题归结为求证21PH QM QN PH =或12PH AC PH BD=．设(90)PCO PBO αθ∠=-︒-=∠，于是2cos KRPH α=，此处点K 和R 分别为点B 及点D 在AC 上的垂足．又cos KR BD θ=，故2cos cot cos PH BD BD θθα==，同理1cot PH AC θ=，即得12PH ACPH BD=．P A MDKQ ORC NBH 2H 1θαα11．2．23★★★菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 在AD 上，CE 与BA 延长后交于F ，BE 延长后与FD 交于M ，求DM B ∠．解析 连结BD ，如图．由平行成比例及菱形性质知AD FC FB ED EC AB ==，于是BD BFED BD=，而60FBD BDE ∠=︒=∠，故BED △∽FDB △，所以BFD M BD ∠=∠．BA FE MDC从而60BMD BFD FBM FBD ∠=∠+∠=∠=︒．11．2．24★★如图(a)，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，对角线的交点为O ，P 、Q 分别是边AD 、BC 上的点，使得APB CPD ∠=∠，AQB CQD ∠=∠，求证：OP OQ =．A B PQODC CDOQPB AB 1(a)(b)解析 如图(b)延长DA 至1B ，使得1BB =BA ，则11PB B B AB PDC ∠=∠=∠，于是DPC △∽1B PB △，故11DP CD CD DO PB BB BA BO ===，所以1PO BB ∥．又因为DPO △∽1DB B △，所以1DO DOOP BB AB DB DB=⋅=⋅． 同理可得CO OQ AB CA =⋅．而AB CD ∥，所以DO CODB CA=，故OP OQ =． 11．2．25★★证明拿破仑定理：以ABC △每边为边分别向外作正三角形，则这3个正三角形的中心是另一个正三角形的顶点．解析 如图，设BCD △、ACE △与ABF △均为正三角形，P 、Q 、R 是各自的中心．连结CQ 、CP 、BE．易知CQ PC CE BC ==60QCP ACB ECB ∠=∠+︒=∠，故QCP △∽ECB △，PQ =同理，RQ =PQ RQ =．同理PQ RP =，于是PQR △为正三角形．FAER Q BCPD11．2．26★★四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ， 过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N ．证明：AFN DME ∠=∠．FMAD PN EB C解析 设MN 与EF 交于点P ，由N E B C ∥，得PN PEPB PC=，所以PB PE PN PC ⋅=⋅．又M E B F ∥，故PM PE PB PF =，所以PB PE PM PF ⋅=⋅．从而PN PC PM PF ⋅=⋅，即PM PCPN PF=．又F P N M P C ∠=∠，故PNF △∽PMC △，PNF PMC ∠=∠，从而NF MC ∠∥，ANF EDM ∠=∠．又ME BF ∥，故FAN MED ∠=∠．所以AFN DME ∠=∠． 11．2．27★★★在ABC △中，设P 是边BC 的中点，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，MN BC ∥，MP 交BN 于点Q ，QR AC ⊥于点R ，BT AC ∥交RQ 的延长线于T ，求证： (1)TP MR ∥；(2)MRQ PRQ ∠=∠．解析 (1)因为BT ∥RN ，所以QRN △∽QTB △，QR QNQT QB=，又M N BP ∥，所以QMN △∽QPB △，QM QN QP QB =，因此QR QMQT QP=，从而QRM △∽QTP △，故TP MR ∥． ARNSCMQBP(2)延长TP 交AC 于点S ，则TBSC 是平行四边形，在直角三角形TRS 中，P 是斜边TS 的中点，所以，RP TP =，于是MRQ QTP PRQ ∠=∠=∠．11．2．28★★★不等边锐角三角形ABC △中，D 是底边BC 上一点，AD 上有一点P ，延长BP 、CP ，分别交AC 、AB 于M 、N ，若DA 平分MDN ∠，求证：AD BC ⊥．解析 如图，连结MN ，交AD 于Q ，又作NJ AD MK ∥∥，J 、K 在BC 上，设M 与BM 交于X ，MK 与CN 交于Y ．则N J A D M KN X A P M Y==，故N J N X X P J D N Q N DM K M Y P M D K M Q M D=====，故M J D △∽MKD △，于是NDJ MDK ∠=∠，又NDA MDA ∠=∠，故90ADB ADC ∠=∠=︒．ANQMBJD KCXY P评注 本题也可用塞瓦定理加以证明．11．2．29★★等边ABC △的三条边BC 、CA 、AB 上分别有三条相等的线段12A A 、12B B 、12C C ．求证：直线21B C 、21C A 、21A B ，所构成的三角形上，三条线段21B C 、21C A 、21A B 与包含它们的边成比例．解析 设直线21B C 、21C A 、21A B 所构成的三角形为333A B C △(如图)，过1C 、2C 分别作AC 、BC 的平行线，相交于点P ，则12PC C △是等边三角形，且112PC B B ∥，221PC A A ∥，可得221PA C A ∥，121PB B C ∥，即21A B P △∽333A B C △，1221333333B P PA A B B C C A A B ==，所以212121333333B C C A A BB C C A A B ==． C A BPA 1A 2A 3B 1B 2B 3C 1C 2C 311．2．30★★★已知ABC △，AB AC =，D 是BC 中点，直线CF BC ⊥．E 是AB 上任一点，ED 延长后交直线CF 于F ，M 、N 分别是ED 、DF 中点，求证：AD 平分MAN ∠． 解析 如图，连结CN 、EC ，EC 与AD 交于K ，则由角平分线及平行线性质，知AE EK ED EMAC KC DF CN===，AED B EDB ACD CDF ∠=∠+∠=∠+∠ACD NCD ACN =∠+∠=∠，故AEM △∽ACN △，BAM CAN ∠=∠．又BAD CAD ∠=∠，故AD 平分MAN ∠．ABCDFNKM E11．2．31★★★设直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AD 是斜边BC 上的高，ABD △、ACD △的内心分别是S 、T ，延长ST ，交两直角边于M 、N ，证明：AM AN =，并用AB 、AC 来表示MN ． 解析 如图，连结SD 、TD 、AS 、AT ．因为ABD △∽CAD △，DS 、DT 为对应线段，故90SDT ∠=︒，且SDT △∽BAC △，于是STD C ∠=∠，从而45ANM TDC ADT ∠=∠=︒=∠．又TAD TAN ∠=∠，故ADT △≌ANT △，AN AD =，同理AM AD =．于是MN ===．ABCM NSTD11．2．32★★分别以锐角三角形ABC 的边AB 、BC 、CA 为斜边向外作等腰直角三角形DAB 、EBC 、FAC ．求证：(1)AE DF =；(2)AE DF ⊥．解析 (1)延长BD 至点P ，使DP BD =，连结AP 、CP ．因为DAB △是等腰直角三角形，所以ABBD=．又2B P B D=，所以AB BP =．因为EBC △是等腰直角三角形，所以45PBC ABC ABE ∠=︒+∠=∠，于是ABE △∽PBC △，AE AB PC BP ==，即A E C =．又在ADF△和APC △中,有AF AD AC AP ==，45DAF PAC DAC ∠=∠=︒+∠，所以ADF △∽APC △，2DF AD PC AP ==，即2DF PC =．所以，AE DF =．PADFB CE(2)因为ADF △∽APC △，所以ADF ∠=APC ∠．又由ABE △∽PBC △，得BAE CPB ∠=∠,于是454590DAE ADF BAE ADF CPB APC ∠+∠=︒+∠+∠=︒+∠+∠=︒．所以，AE DF ⊥．11．2．33★★★已知ABC △，向外作正三角形ABD △与ACE △，P 、Q 分别是AD 、CE 的中点，R 是BC 上一点，BR 3CR =，求PQR △的三个内角值．解析 如图，作QS AC ⊥于S ，连结AQ 、RS ，则1122SC CQ AC ==，于是RS AB ∥，1142SR AB AP ==．又12SQ AQ =，90RSQ A PAQ ∠=∠+︒=∠，故PAQ △∽RSQ △，且是顺相似，于是PRQ △∽ASQ △，所以PQR △的内角依次为30︒、60︒、90︒． PADFB CE评注 A ∠≥90︒时结论不变．11．2．34★★★已知：ABC △，向外作正三角形ACE 和正三角形BCF ，1O 与2O 依次是它们的中心，D 是AB 中点，求证：12EDO FDO ∠=∠．解析 如图，设BC 、CA 的中点分别为P 、Q ，连结2PO F 与1QO E ，则11PF PF CQ DPDQ PC QO QO ==， 又190DPF C DQO ∠=∠+︒=∠，故DPF △∽1O QD △，于是21DFO O DQ ∠=∠，同理，由2DPO △∽EQD △，可得2DO P EDQ ∠=∠，于是11222EDO EDQ QDO DO P DFO FDO ∠=∠-∠=∠-∠=∠．AEDBCFP QO 1O 211．2．35★★★已知锐角三角形ABC ，AD 、CE 为高，H 是垂心，ED 、AC 延长后交于P ，G 为AC 中点，求证：PH BG ⊥．解析 如图，设HP 与CD 交于K ，BG 与AD 交于J ．由面积知B 、D 、K 、C 是调和点列，即CB CKBD DK =，又由梅氏定理，1BC DJ AG BD JA GC ⋅⋅=，即JA BC CKDJ BD DK==．又ABD △∽CHD △，且顺相似，HD BD ⊥，CH AB ⊥，K 、J 是对应点，故BJ HK ⊥，即PH BG ⊥．AEJ GHC D BKP评注 调和点列见15．1．65，此题是一个一般结果之特例．11．2．36★★★已知ABC △中，90A ∠=︒，S 、N 在AB 上，M 在BC 上，MN BC ⊥，2SC CM CB =⋅，Q 在AC 上，SQ SO ⊥(O 为BC 中点)，SQ 交MN 于P ，求证：SP QP =．解析 如图，延长MP 、CA ，设交于R ，连结SR ．由于MRC △∽ABC △，故C A C R ⋅=2C M C B S C ⋅=，于是RS CS ⊥，又由QS SO ⊥，PM MO ⊥，故RSP △∽CSO △，同理RPQ △∽BOS △． 于是SP SO PR CO =，PQ SORP BO=，由于BO CO =，故SP QP =． RA Q SN PB O M C11．2．37★★★★D 为ABC △的边AC 上一点，E 和F 分别为线段BD 和BC 上的点．满足BAE CAF ∠=∠．再设P 、Q 为线段BC 和BD 上的点，使得EP QF DC ∥∥．求证：BAP QAC ∠=∠．解析 如图，在AB 上取点R ，使RE AQ ∥，连结RE 、RP ．易知REP △与AQF △位似，故QAF ∠ERP =∠，RPE AFQ ∠=∠．而QF CD ∥，故AFQ FAC BAE ∠=∠=∠，从而RPE BAE ∠=∠，所以R 、A 、P 、E 共圆(R 与A 不重合)，于是QAF ERP EAP ∠=∠=∠． 又CAF BAE ∠=∠，加之，即得QAC BAP ∠=∠．ARBEP FCQD11．2．38★★★★已知ABC △中，AB 、AC 上各有一点R 、Q ，直线RQ 与BC 延长线交于点P ，求证：1AQ CQ PC PB QR BRPQ RQ PQ PR QR PR⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅．ARQTSPCB解析 在PR 上取S ，使A 、R 、C 、S 共圆，则QSC A ∠=∠，AQ QC RQ SQ ⋅=⋅，又在PR 上取T ， 使T 、C 、B 、R 共圆，则CTP B ∠=∠，PC PB PT PR ⋅=⋅，于是1AQ CQ PC PB SQ PT TSPQ RQ PQ PR PQ PQ PQ⋅⋅+=+=+⋅⋅， 于是问题变成求证TS AR BR PQ QR PR ⋅=⋅．显见STC △∽ABC △，TS CSAB AC=，又ARQ △∽SCQ △，故AR SC RQ CQ =，欲证式成为AB BP AC PQ CQ PR =⋅⋅，或1AB PR CQBR PQ AC⋅⋅=，这是梅氏定理，故结论成立．11．2．39★★★★如图，PQR △和P △′Q ′R ′是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 的边长分别是1AB a =，1BC b =，2CD a =，2DE b =，3EF a =，3FA b =．求证：（1）222223123123a a a b b b ++=++；(2)123123a a a b b b ++=++．R'P'Q'PA F RB ECD Q a 1a 2a 3b 1b 2b3解析 (1)不妨设PAB △、P △′BC 、QCD △、Q △′DE 、REF △、R △FA 的面积分别为1S 、1S '、2S '、3S '、3S 、3S '．由PAB △∽P △′CB ∽QCD ∠∽Q △′ED ∽REF △∽R △′AF ，可得331122222222112233S S S S S S a b a b a b '''=====123222123S S S a a a ++=++123222123S S S b b b '+'+'=++(由211211S a S b ='得112211S S a b '=，同理可得其余)． 因为PQR △≌P △′Q ′R ′，所以123123S S S S S S ++='+'+'，则222222123123a a a b b b ++=++． (2)不妨设PAB △、P ∠′BC 、QCD △、Q △′DE 的周长分别为1l 、1l '、2l 、2l '、3l 、3l '． 可得111111l a l b a b -'-=333312312322222233123()l a l b l l l a a a l a l b a b a b a a a -'-++-++-'=====++ 123123123()l l l b b b b b b '+'+'-++=++(由1111l a l b ='，得1111l l a b '=，因此111111l a l ba b -'-=，同理可得其余)．又设PQR △、P △′Q ′R ′的周长均为L ，123a a a A ++=，123b b b B ++=，由上面等式可得L B L AA B--=，化得()()0A B L A B ---=，而L A B >+，因此A B =，即123123a a a b b b ++=++． 11．2．40★★★★已知平行四边形ABCD ，C 在边AD 、AB 上的射影分别是M 、N ，NM 延长后与BD 延长线交于P ，求证：PC AC ⊥．RA MP DLBN解析 延长AD ，交CP 于L ，则PC AC ACM ⊥⇔△∽CLM △2AM ML CM ⇔⋅=，下面就来证明此式．延长MN ，交CB 延长线于Q ，又延长CN ，交DA 延长线于R ．于是ML QC RMMD QB AM ==，于是欲证式变为2MD RM CM ⋅=，而这显然成立．11．2．41★★★★已知ABC △内有一点Y ，BC 上有一点P ，X 、Z 在ABC △外，AXB △∽CYP △，ACZ △∽BPY △(即XAB YCB ∠=∠，XBA YPC ∠=∠，CAZ YBP ∠=∠，ACZ YPB ∠=∠)，求证：XY BPYZ PC=． 解析 如图，延长CY 至M ，使MB PY ∥，连结XM ．于是XBA △∽YPC △∽MBC △，而且是顺相似，故XBM △∽ABC △．故XM BM PY AC BC PC ==，PYXM AC PC=⋅． XAMBPCZY又ACZ △∽BPY △，故CZ PY AC PB =，于是XM PB MYCZ PC CY==． 又XMY XMB BMY ACB PYC ∠=∠+∠=∠+∠=ACB YPB YCB ∠+∠-∠YPB ACY ACZ ACY ZCY =∠+∠=∠+∠=∠，故M X Y △∽CZY △，于是X Y M Y B PY Z Y C P C ==，同时由MYX CYZ ∠=∠，得X 、Y 、Z 三点共线．。

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