第八章 空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案

第八章：空间解析几何与向量代数

一、重点与难点

1、重点

①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；

②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；

③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；

④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；

⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；

2、难点

①向量积（方向）、混合积（计算）；

②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形；

③空间曲线在坐标面上的投影；

④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；）

⑤平面方程的几种表示方式之间的转化；

⑥直线方程的几种表示方式之间的转化；

二、基本知识

1、向量及其线性运算

①向量的基本概念：

向量:既有大小又有方向的量；

向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向.；

向量的符号:以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用粗体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如a、r、v、F或、、、；

向量的模:向量的大小叫做向量的模向量a、、的模分别记为|a|、、

单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量；

向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a与b平行记作a // b零向量认为是与任何向量都平行；两向量平行又称两向量共线

零向量:模等于0的向量叫做零向量记作0或零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的

共面向量：设有k(k3)个向量当把它们的起点放在同一点时如果k个终点和公共起点在一个平面上就称这k个向量共面；

两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超

过的夹角称为向量a与b的夹角记作或如果向量a与b中有一个是零

向量规定它们的夹角可以在0与之间任意取值；

②向量的线性运算

向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a与b平移向量使b的起点与a的终点重合此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和记作a+b即ca+b .

:

平行四边形法则:向量a与b不平行时平移向量使a与b的起点重合以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和ab

向量的加法的运算规律: (1)交换律abba (2)结合律(ab)ca(bc)

负向量: 设a为一向量与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量记为a

向量的减法:把向量a与b移到同一起点O则从a的终点A向b的终点B所引向

量便是向量b与a的差ba

向量与数的乘法：向量a与实数的乘积记作规定a是一个向量它的模|a||||a| 它的方向当>0时与a相同当<0时与a相反当0时 |a|0 即a为零向量这时它的方向可以是任意的

运算规律: (1)结合律 (a)(a)()a； (2)分配律 ()aaa；(ab)ab

向量的单位化: 设a0则向量是与a同方向的单位向量记为e a，于是a|a|e a 定理1 设向量a0那么向量b平行于a的充分必要条件是: 存在唯一的实数使b a

③空间直角坐标系

在空间中任意取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴) 统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为Oxyz坐标系

注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;

(2)通常把x轴和y轴配置在水平面上而z轴则是铅垂线;

(3)数轴的的正向通常符合右手规则

坐标面: 在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面

x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面另两个坐标面是yOz面和zOx面

卦限:三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy面的上方在xOy面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限在xOy面的下方与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示

向量的坐标分解式任给向量r对应有点M使以OM为对角线、三条坐标轴

为棱作长方体有

设则

上式称为向量r的坐标分解式x i、y j、z k称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系

有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标记作r(x y z)

向量称为点M关于原点O的向径

④利用坐标作向量的线性运算

设a(ax ay az) b(bx by bz)

ab(axbx ayby azbz)

ab(axbx ayby azbz)

a(ax ay az)

利用向量的坐标判断两个向量的平行:设a(ax ay az)0 b(bx by bz) 向量

b//aba即b//a(bx by bz)(ax ay az) 于是

⑤向量的模、方向角、投影

设向量r(x y z) 作则

向量的模长公式

设有点A (x1 y1 z1)、B(x2 y2 z2)

(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)(x2x1 y2y1 z2z1)

A、 B两点间的距离公式为：

方向角：非零向量r与三条坐标轴的夹角、、称为向量r的方向角

设r(x y z) 则x|r|cos y|r|cos z|r|cos

cos、cos、cos 称为向量r的方向余弦

从而 cos2cos2cos21

投影的性质

性质1 (a)u|a|cos (即Prj u a|a|cos ) 其中为向量与u轴的夹角

性质2 (ab)u(a)u(b)u (即Prj u(ab) Prj u a Prj u b)

性质3 (a)u(a)u (即Prj u(a)Prj u a)

2、数量积、向量积、混合积

①两向量的数量积

数量积对于两个向量a和b它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积记作ab即

a·b|a| |b| cos

数量积的性质

(1)a·a|a| 2

(2) 对于两个非零向量a、b如果a·b0则ab;

反之如果ab则a·b0

如果认为零向量与任何向量都垂直则ab a·b0

两向量夹角的余弦的坐标表示

设(a ^ b) 则当a0、b0时有

数量积的坐标表示

设a(ax ay az )b(bx by bz ) 则a·b axbxaybyazbz

数量积的运算律

(1)交换律a·b b·a;

(2)分配律(ab)cacbc

(3)(a)·b a·(b) (a·b)

(a)·(b) (a·b)、为数

②两向量的向量积

向量积设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出