解题策略“以退为进”

以退为进

“以退为进”整个主题框架——退到特殊情况、退到摸清规律、退到看懂题目、退到性质定理、退到猜出结果、退到“同族”子题等。

退中有法，以退为进。

数学上的特殊情况包括：变量值的特殊化、函数解析式的特殊化、图形形状的特殊化、位置关系的特殊化、极端化也是一种特殊化、甚至还包括定量问题特殊成定性问题……退到特殊情况，由此产生了“特殊值法、特殊函数法、特殊图形法、极端分析法、估算法”等等。都是大家熟悉的，用来解决选择、填空题是很有趣的。

以退为进，退出了一些选择题、填空题的解题技巧，看似旁门左道，却节省时间，提高效率。很多时候，只有在基础知识熟悉到一定程度上，解题经验积累到一定程度上，胆识达到一定程度，才有了这些“旁门左道”，要求其实挺高的。这些方法正是体现了——退中有术（巧妙的解决方法）。

解数学题真的能培养学生的韧性和毅力。很多时候，解题就是熬，谁能熬到最后，谁就熬出了成功，从这个层面上讲，解题还可以让我们修身养性。

我们不妨试想一下，当学生把我们教的知识点全都除掉的话，我们教给学生的东西还剩下什么？一定是思考和解决问题的策略、方法还有意志，我觉得这就是能力，这应该是我们老师在教学过程中应该多多考虑的东西。

学生从“完全不认识”——“担心害怕”——“壮着胆子试试”

——“慢慢认识”——“找到规律”——“大胆猜想结果”——“用 点数学语言描述”。我们让学生这样来体验一下完整的过程，可以锻炼他们动手解决问题的能力。

以退为进，先足够地退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。

知道怎么退，其实也就知道怎么进。

教师的高度影响了学生的高度，教师的态度决定了学生的态度。 问题1、11个女孩与n 个男孩去摘苹果，一共摘了2n +9n-2个苹果，假设每个小孩摘的苹果数相同，则____________多(填“男孩”或“女孩”)

提示：可用多项式除法（2n +9n-2能被11+n 整除）或直接从1开始检验

问题2设()()473102222n f n n N +=++++∈……则()f n = （ ）

A 、()2817n -

B 、()+12817n -

C 、()+32817n -

D 、()+42817

n - 提示：n 取0、1即可

问题3、()()22020cos cos 120cos 240______ααα++++=

提示：特殊值即可（不放心就多试几个）

问题4：定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且对()(),22x R f x xf x '∀∈+<恒成立，则不等式()()2211x f x f x -<-的解集为（ ）

A 、{},1x x R x ∈≠±

B 、 ()-11，

C 、 ()()--1+∞⋃∞，1，

D 、()()-1001⋃，， 提示：特殊偶函数：()0f x =

问题5、()0

20

3-sin 702cos 10=-

A 、1

2 B 、2 C 、

2 D 、2 提示：分子大于2，分母小于2，答案比1大

问题6、如图G 为三角形OAB 的中线OM 上的一

点，PQ 过G ，分别交OA 、OB 于点P 、Q ，

OP m OA

=，OQ n OB =。则11____m n +=。 提示：特殊三角形或者PQ 特殊位置。

问题7、如图：=,,,l A B αβαβαβ⊥⋂∈∈，A 、B 到直线l 的

距离分别是a 、b ，AB 与αβ、所成的角分别是θϕ和，AB

在αβ、内的射影分别是m 和n ，若a>b ，则 （ ）

A 、,m n θϕ>>

B 、,m n θϕ>>

C 、,m n θϕ>>

D 、,m n θϕ>>

提示：如图特殊化即可

问题8、（2016全国一卷理

12）已知函数()()s i n 0,,24f x x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>≤=- ⎪⎝⎭为()f x 的零点，4x π=为()y f x =的

图像的一条对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）

A 、11

B 、9

C 、7

D 、5

提示：直接由大到小检验，（即使填空题可先利用

5-=123618122T ππππωω

≤=⇒≤然后由大到小检验）

问题9、已知数列{}n a 满足()122+11,5,n n n a a a a a n N *+===-∈则2017______.a =

变式：已知数列{}n a 满足()

122+11,5,n n n a a a a a n N *+===-∈则2017______.a = 像这种题目，一看就知道有周期，我们平时练的题目周期比较小，这个题目的周期是6。为了培养孩子坚韧度，索性加个绝对值如何，得到下面的变式题。变了以后，周期是9。学生有意识，会方法，以退为进，一个一个算，算到6、7、8还没有发现周期，算得他开始怀疑人生。其实解数学题真的能培养学生的韧性和毅力。很多时候，解题就是熬，谁能熬到最后，谁就熬出了成功，从这个层面上讲，解题还可以让我们修身养性。

问题10、（2016年全国三理12）定义“规范01数列”{}n a 如下：

{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，

12,,k a a a ……中0的个数不少于1的个数。若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）

A 、18个

B 、16个

C 、14个

D 、12个

很多情况下，对付困难的题，关键是克服对题目的恐惧，也可以说是培养学生的坚韧程度。如果说知识上不成问题，就得从思考方向上下功夫，学生需要的是思考问题的原则和方法，我觉得这就是我们教师应该教给学生的东西。