控制工程基础第二章——数学模型
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• ⑷ 描述系统运动的微分方程的系数都是系统 的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性 是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。
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控制工程基础第二章——数学模型
五 系统运动微分方程的一般形式
•设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则 有
•参数决定的常数。齐次方程为
•是由系统结构和
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控制工程基础第二章——数学模型
☆待定系数的求法
• 由于F(s)的极点可以是简单实数极点、共轭复数极 点、重极点，故需分别讨论：
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控制工程基础第二章——数学模型
☆ 斜坡函数和加速度函数
• 斜坡函数——阶跃函数的积分！
•时域中的积分运算 •复数域中为乘1/s，或说除以s
•加速度函数 •（速度函数 •的积分）
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控制工程基础第二章——数学模型
☆ 欧拉公式和谐波函数的拉氏变换
•欧拉 •公式
•谐波函数 •的
• • • 消去中间变量i(t)，稍加整理，即得 • •
• 上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。
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控制工程基础第二章——数学模型
•四 小结
☆ 小结：⑴⑵
• ⑴ 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。 这样的系统称为相似系统。在相似系统的方程中，处于 相同位置的物理量称为相似量。从动态性能来看，在相 同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的 系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。 这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。 这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。 • ⑵ 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同 一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方法，从 信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。
•根据牛顿第二定律，应 有 •由阻尼器、弹簧的特性，可写
出 •消去中间变量，写成规范形
式
•此式为二阶常系 数线性微分方程。
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•系统的数学模型可用方块图表示：
• 方块图描述了系 统中信号转换、传递 的过程，给出了系统 的工作原理。
控制工程基础第二章——数学模型
☆ 举例2：电网络系统
• 设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输 出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的 电流i(t)为中间变量。 • 根据电压方程，可写出
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控制工程基础第二章——数学模型
七 线性系统的叠加原理
(Principle of Superposition)
• 线性系统的线性性质：均匀性、叠加性 • 用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如 果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为 线性时变系统。线性系统的重要性质是可以应用叠 加原理。叠加原理有两重含义：均匀性（齐次性） 和可叠加性。这个原理是说，多个输入同时作用于 线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时分别 产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出亦 增大同样的倍数。系统对输入信号的微分和积分的 响应等于系统对输入信号的响应的微分和积分。
☆基本步骤 •⑴根据多项式定理求F(s)的极点
• F(s) 的 极 点 ： 使 F(s)=∞ 的 s 值 • F(s) 的 零 点 ： 使 F(s)=0 的 s
•⑵根据分项分式法，将F(s)展成部分值分式
•⑶求出待定系数ci（复变函数中的留数）
•在复变函数中ci称为s= －pi极点处的留数。
•⑷查拉氏变换表和利用性质定理求逆变换
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控制工程基础第二章——数学模型
•⑶非线性模型的线性化问 题
• 实际物理元件和系统都是非线性的。非线性特 性分为本质非线性和非本质非线性。如继电器特性 、死区、不灵敏区、滞环、传动间隙等都是本质非 线性。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽 略它们的影响，将它们视为线性元件。
• 对于具有连续变化的非线性特性，可以采用 切线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就 是在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的 近似处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直 线代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡 点处取泰勒级数一次近似式。
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控制工程基础第二章——数学模型
一 拉氏变换的定义
•拉氏变换的定义
•拉氏变换的实质 •时间函数 •复变量s的复变函数
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控制工程基础第二章——数学模型
二 典型函数的拉氏变换
•指数函数 •工程中极其重要的 函数！有如下性质
•它的微分、积 分与其自身成比 例 •阶跃函数
•指数函数的拉氏变换 •拉氏变换是线性变换
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2020/11/20
控制工程基础第二章——数学模型
控制工程基础——数学模型
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• 数学模型：描述系统动态特性的数学表达式，称为系统的数学模型， 它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。
• 作用：数学模型是设计和分析控制系统的依据。显然，建立正确、 合理的系统的数学模型是关键性的步骤。 • 数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。 • 外部模型也称为输入—输出模型。 • 它着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。 因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述 线性时不变系统的输入—输出关系，对连续系统是用常系数线性微分 方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。 • 内部模型也称为状态变量描述法。 • 它不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，特 别适用于多输入、多输出系统。用这种方法建立的数学式为一阶微分 方程组形式，便于计算机求解。状态变量分析法还适用于时变系统和 非线性系统，已成为系统理论与现代控制工程的基础。 • 建模基本方法：解析法和实验法。
•拉氏变换
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控制工程基础第二章——数学模型
三 拉氏变换性质定理⑴
•⒈线性定理 •⒉微分定理和积分定理（在所有初始条件均为零时）
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•⒊延迟定理
•①平移函数、延迟函数
•对于函数 •函
•称为延迟函数 ，数函数本身
并不发生改变，只是延迟α
时间才发生。
• 注意：
时，函数
控制工程基础第二章——数学模型
数间断点处求导数的问题。单位脉冲函数就是 单位阶跃函数在不连续点（t=0）处的导数！
•采样性质：
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三 拉氏变换性质定理⑵
•⒋位移定理
•设
•则有
•的拉氏变换，有以（s+α）去替换s的效果。 •可按拉氏变换定义证明之。
•举例
•如
•则
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三 拉氏变换性质定理⑶
•⒌初值定理 •若 •和终值定理 •则
•存在，且 有
有 • 初值定理表明时间函数在原点的性质与sF（s）在复数域
无穷远处的性质一致；终值定理则表明，时间函数在时间无穷
远点的性质与sF（s）在复数域原点处的性质一致。即建立了
时间函数在无穷远点（原点）与复变函数sX（s）在坐标原点
•特征方程为
• 特征方程的根称为特征根，他们是系统系数的组合。N阶 系统有n个特征根。特征根只能是0、实数、复数（必共扼成 对出现）。系统特征根决定了系统的性能! PPT文档演模板 • 注意：根据运动微分方程可以判断控系制工统程基的础第类二章型——。数学模型
六 建立动态方程时应注意的问题
• ⑴ 变量形式的选取问题 • 系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量 很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因 此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用 增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解 方程，便于非线性方程进行线性化处理。 • ⑵ 负载效应问题 • 由于后一环节的存在，前一环节的输出受到影响， 有如加上了一个负载对前一环节产生影响，这种影响 称为负载效应。例如，无源网络输入阻抗对前级的影 响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。
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数学模型的形式
•微分方程 •L变换 •传递函数 （组） •L反变换 （阵）
•s=jω
•频率特性
•时间响应
•变量状态 图
•现代控制理论
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•方框图，
•信号流 图
•Nyquist图， •Bode图等
控制工程基础第二章——数学模型
2.1系统运动微分方程的建立
•一 依据： •反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论
•②延迟定理
•若
•则有
•延迟函数的拉氏变换 •原函数的拉氏变换乘以
•例：求脉动函数和脉冲函数的拉氏变换
•① 脉动函数
•它是正负阶跃函数的叠加：
•脉动函数的拉氏变换：
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控制工程基础第二章——数学模型
☆ 脉冲函数及其拉氏变换
•② 脉冲函数： •脉动函数的极限，t0看作变量。
•单位脉冲（Dirac） •面积为1的脉冲函数
•二 步骤：
• （1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程； • （2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各 变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应； • （3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理； • （4）消去中间变量，得到输出——输入关系式； • （5）整理成规范形式。
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☆ 小结：⑶⑷
• ⑶ 在通常情况下，元件或系统的微分方程的 阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储 能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部 就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换， 描述系统的微分方程将增高一阶。
•定义：
•显然
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•结论：脉冲函数是面积函数；
•
脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。
•
换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数 控制工程基础第二章——数学模型
☆ 关于单位脉冲函数的说明
•⑴单位脉冲函数定义
•⑵单位脉为冲：函数是面积函数，它的面积为1；
•⑶
•时域里的脉冲
复数域中的常数
• ⑷单位脉冲函数是人为定义的广义函数，是 一种数学分析工具；它的引入解决了不连续函
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2.2 拉普拉斯变换 (Laplace Transformation)
• 建立描述系统动态性能的运动微分方程之后， 给定输入，解这个方程，得到它的全解，即可知道 系统的输出响应，从而知道系统在给定输入作用下 的运动规律，即性能。问题在于，用一般微分方程 理论求解高阶微分方程是相当困难的。人类的思路 就是变换研究领域，借助其他方法。拉普拉斯变换 是一种数学工具，它可将时域中的微积分运算转化 为复数域中的代数运算。
• 在输入fi(t)力的作用下，质量块m将有加速度，从而产 生速度和位移。质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生 粘性阻尼力fc(t)和弹性力fk(t)。这两个力反作用于质量块， 影响输入fi(t) 的作用效果，从而使质量块的速度和位移发 生变化，产生动态过程。
控制工程基础第二章——数学模型
☆ 机械平移动力学系统的模型
控制工程基础第二章——数学模型
☆ 举例1：机械平移动力学系统
•三 举例
• 弹簧和质量在静止平衡
时的那一点为系统的平衡工 作点。这样的坐标系原点选 择消除了重力的影响。
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• 设系统的输入量为外作 用力fi(t)，输出量为质量块 的位移xo(t)，现研究外力fi(t) 与位移xo(t)之间的关系。
后求积分得出的值。卷积运算满足交换律、结合律
和分配律。
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四 拉氏逆变换及其求法
•逆变换 •定义
•已知F(s), 求f(t)的数学过程
•⒈查表法 注意综合应用拉氏变换的性质定理。
•2.部分分式法
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• 将F(s)分解成标准形式的简单函数之和，
•然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出f(t)。 控制工程基础第二章——数学模型
（无穷远点）的值之间的关系。
•终值定理
•出发点：微 分定理、拉
•的证明 氏变换定义
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•有终值定 理
•应用：稳态误差计算
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三 拉氏变换性质定理⑷
•⒍卷积定理
•⑴卷积的数学定义
•符号表示 •性质： •⑵卷积定理 •若
•则
• 关于卷积的说明：
• 卷积h(t)是时间函数f(τ)与时间倒置函数g(t-τ)相乘
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五 系统运动微分方程的一般形式
•设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则 有
•参数决定的常数。齐次方程为
•是由系统结构和
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☆待定系数的求法
• 由于F(s)的极点可以是简单实数极点、共轭复数极 点、重极点，故需分别讨论：
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☆ 斜坡函数和加速度函数
• 斜坡函数——阶跃函数的积分！
•时域中的积分运算 •复数域中为乘1/s，或说除以s
•加速度函数 •（速度函数 •的积分）
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☆ 欧拉公式和谐波函数的拉氏变换
•欧拉 •公式
•谐波函数 •的
• • • 消去中间变量i(t)，稍加整理，即得 • •
• 上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。
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•四 小结
☆ 小结：⑴⑵
• ⑴ 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。 这样的系统称为相似系统。在相似系统的方程中，处于 相同位置的物理量称为相似量。从动态性能来看，在相 同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的 系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。 这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。 这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。 • ⑵ 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同 一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方法，从 信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。
•根据牛顿第二定律，应 有 •由阻尼器、弹簧的特性，可写
出 •消去中间变量，写成规范形
式
•此式为二阶常系 数线性微分方程。
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•系统的数学模型可用方块图表示：
• 方块图描述了系 统中信号转换、传递 的过程，给出了系统 的工作原理。
控制工程基础第二章——数学模型
☆ 举例2：电网络系统
• 设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输 出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的 电流i(t)为中间变量。 • 根据电压方程，可写出
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七 线性系统的叠加原理
(Principle of Superposition)
• 线性系统的线性性质：均匀性、叠加性 • 用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如 果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为 线性时变系统。线性系统的重要性质是可以应用叠 加原理。叠加原理有两重含义：均匀性（齐次性） 和可叠加性。这个原理是说，多个输入同时作用于 线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时分别 产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出亦 增大同样的倍数。系统对输入信号的微分和积分的 响应等于系统对输入信号的响应的微分和积分。
☆基本步骤 •⑴根据多项式定理求F(s)的极点
• F(s) 的 极 点 ： 使 F(s)=∞ 的 s 值 • F(s) 的 零 点 ： 使 F(s)=0 的 s
•⑵根据分项分式法，将F(s)展成部分值分式
•⑶求出待定系数ci（复变函数中的留数）
•在复变函数中ci称为s= －pi极点处的留数。
•⑷查拉氏变换表和利用性质定理求逆变换
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•⑶非线性模型的线性化问 题
• 实际物理元件和系统都是非线性的。非线性特 性分为本质非线性和非本质非线性。如继电器特性 、死区、不灵敏区、滞环、传动间隙等都是本质非 线性。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽 略它们的影响，将它们视为线性元件。
• 对于具有连续变化的非线性特性，可以采用 切线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就 是在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的 近似处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直 线代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡 点处取泰勒级数一次近似式。
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一 拉氏变换的定义
•拉氏变换的定义
•拉氏变换的实质 •时间函数 •复变量s的复变函数
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二 典型函数的拉氏变换
•指数函数 •工程中极其重要的 函数！有如下性质
•它的微分、积 分与其自身成比 例 •阶跃函数
•指数函数的拉氏变换 •拉氏变换是线性变换
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• 数学模型：描述系统动态特性的数学表达式，称为系统的数学模型， 它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。
• 作用：数学模型是设计和分析控制系统的依据。显然，建立正确、 合理的系统的数学模型是关键性的步骤。 • 数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。 • 外部模型也称为输入—输出模型。 • 它着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。 因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述 线性时不变系统的输入—输出关系，对连续系统是用常系数线性微分 方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。 • 内部模型也称为状态变量描述法。 • 它不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，特 别适用于多输入、多输出系统。用这种方法建立的数学式为一阶微分 方程组形式，便于计算机求解。状态变量分析法还适用于时变系统和 非线性系统，已成为系统理论与现代控制工程的基础。 • 建模基本方法：解析法和实验法。
•拉氏变换
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三 拉氏变换性质定理⑴
•⒈线性定理 •⒉微分定理和积分定理（在所有初始条件均为零时）
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•⒊延迟定理
•①平移函数、延迟函数
•对于函数 •函
•称为延迟函数 ，数函数本身
并不发生改变，只是延迟α
时间才发生。
• 注意：
时，函数
控制工程基础第二章——数学模型
数间断点处求导数的问题。单位脉冲函数就是 单位阶跃函数在不连续点（t=0）处的导数！
•采样性质：
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三 拉氏变换性质定理⑵
•⒋位移定理
•设
•则有
•的拉氏变换，有以（s+α）去替换s的效果。 •可按拉氏变换定义证明之。
•举例
•如
•则
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三 拉氏变换性质定理⑶
•⒌初值定理 •若 •和终值定理 •则
•存在，且 有
有 • 初值定理表明时间函数在原点的性质与sF（s）在复数域
无穷远处的性质一致；终值定理则表明，时间函数在时间无穷
远点的性质与sF（s）在复数域原点处的性质一致。即建立了
时间函数在无穷远点（原点）与复变函数sX（s）在坐标原点
•特征方程为
• 特征方程的根称为特征根，他们是系统系数的组合。N阶 系统有n个特征根。特征根只能是0、实数、复数（必共扼成 对出现）。系统特征根决定了系统的性能! PPT文档演模板 • 注意：根据运动微分方程可以判断控系制工统程基的础第类二章型——。数学模型
六 建立动态方程时应注意的问题
• ⑴ 变量形式的选取问题 • 系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量 很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因 此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用 增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解 方程，便于非线性方程进行线性化处理。 • ⑵ 负载效应问题 • 由于后一环节的存在，前一环节的输出受到影响， 有如加上了一个负载对前一环节产生影响，这种影响 称为负载效应。例如，无源网络输入阻抗对前级的影 响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。
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数学模型的形式
•微分方程 •L变换 •传递函数 （组） •L反变换 （阵）
•s=jω
•频率特性
•时间响应
•变量状态 图
•现代控制理论
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•信号流 图
•Nyquist图， •Bode图等
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2.1系统运动微分方程的建立
•一 依据： •反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论
•②延迟定理
•若
•则有
•延迟函数的拉氏变换 •原函数的拉氏变换乘以
•例：求脉动函数和脉冲函数的拉氏变换
•① 脉动函数
•它是正负阶跃函数的叠加：
•脉动函数的拉氏变换：
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☆ 脉冲函数及其拉氏变换
•② 脉冲函数： •脉动函数的极限，t0看作变量。
•单位脉冲（Dirac） •面积为1的脉冲函数
•二 步骤：
• （1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程； • （2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各 变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应； • （3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理； • （4）消去中间变量，得到输出——输入关系式； • （5）整理成规范形式。
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☆ 小结：⑶⑷
• ⑶ 在通常情况下，元件或系统的微分方程的 阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储 能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部 就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换， 描述系统的微分方程将增高一阶。
•定义：
•显然
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•结论：脉冲函数是面积函数；
•
脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。
•
换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数 控制工程基础第二章——数学模型
☆ 关于单位脉冲函数的说明
•⑴单位脉冲函数定义
•⑵单位脉为冲：函数是面积函数，它的面积为1；
•⑶
•时域里的脉冲
复数域中的常数
• ⑷单位脉冲函数是人为定义的广义函数，是 一种数学分析工具；它的引入解决了不连续函
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2.2 拉普拉斯变换 (Laplace Transformation)
• 建立描述系统动态性能的运动微分方程之后， 给定输入，解这个方程，得到它的全解，即可知道 系统的输出响应，从而知道系统在给定输入作用下 的运动规律，即性能。问题在于，用一般微分方程 理论求解高阶微分方程是相当困难的。人类的思路 就是变换研究领域，借助其他方法。拉普拉斯变换 是一种数学工具，它可将时域中的微积分运算转化 为复数域中的代数运算。
• 在输入fi(t)力的作用下，质量块m将有加速度，从而产 生速度和位移。质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生 粘性阻尼力fc(t)和弹性力fk(t)。这两个力反作用于质量块， 影响输入fi(t) 的作用效果，从而使质量块的速度和位移发 生变化，产生动态过程。
控制工程基础第二章——数学模型
☆ 机械平移动力学系统的模型
控制工程基础第二章——数学模型
☆ 举例1：机械平移动力学系统
•三 举例
• 弹簧和质量在静止平衡
时的那一点为系统的平衡工 作点。这样的坐标系原点选 择消除了重力的影响。
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• 设系统的输入量为外作 用力fi(t)，输出量为质量块 的位移xo(t)，现研究外力fi(t) 与位移xo(t)之间的关系。
后求积分得出的值。卷积运算满足交换律、结合律
和分配律。
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四 拉氏逆变换及其求法
•逆变换 •定义
•已知F(s), 求f(t)的数学过程
•⒈查表法 注意综合应用拉氏变换的性质定理。
•2.部分分式法
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• 将F(s)分解成标准形式的简单函数之和，
•然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出f(t)。 控制工程基础第二章——数学模型
（无穷远点）的值之间的关系。
•终值定理
•出发点：微 分定理、拉
•的证明 氏变换定义
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•有终值定 理
•应用：稳态误差计算
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三 拉氏变换性质定理⑷
•⒍卷积定理
•⑴卷积的数学定义
•符号表示 •性质： •⑵卷积定理 •若
•则
• 关于卷积的说明：
• 卷积h(t)是时间函数f(τ)与时间倒置函数g(t-τ)相乘