控制工程基础第二章——数学模型
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《控制工程基础》系统的数学模型 ppt课件
如： a n x 0 (n )(t) a n 1 x 0 (n 1 )(t) a 1 x 0 (t) a 0 x 0 (t)
b m x i(m )(t) b m 1 x 0 (m 1 )(t) b 1 x i(t) b 0 x i(t)
第二章 系统的数学模型
二、系统微分方程的列写
际的数学模型。
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
三、线性系统与非线性系统 1. 定义 能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为
非线性系统。 2. 分类 线性定常系统：
线性时变系统：
非线性系统：
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
3. 特性 线性系统满足叠加原理；非线性系统不满足叠加原理。 叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出 等于各个输入单独作用而产生的输出之和。 和的响应等于响应之和。
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-2 下图所示为一简化了的机械系统，求其输入 x(t)与输出y(t)之间的微分方程。
解：在不同的元素之间，可能会有中 间变量。
设中间变量x1，且假设x＞x1＞y。 取分离体阻尼活塞和缸体部分，并 进行受力分析，
图2-2
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
根据受力分析，列写微分方程组，
k 1 x (t) x 1 (t) c x 1 (t) y (t) (1)
cx1(t)y(t)k2y(t)
(2)
消去中间变量x1(t)，得，
k 1 x (t) x 1 (t) k 2y (t) x 1 (t) x (t) k k 1 2y (t)
将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，1. 机械系统Fra bibliotekFma
b m x i(m )(t) b m 1 x 0 (m 1 )(t) b 1 x i(t) b 0 x i(t)
第二章 系统的数学模型
二、系统微分方程的列写
际的数学模型。
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
三、线性系统与非线性系统 1. 定义 能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为
非线性系统。 2. 分类 线性定常系统：
线性时变系统：
非线性系统：
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
3. 特性 线性系统满足叠加原理；非线性系统不满足叠加原理。 叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出 等于各个输入单独作用而产生的输出之和。 和的响应等于响应之和。
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-2 下图所示为一简化了的机械系统，求其输入 x(t)与输出y(t)之间的微分方程。
解：在不同的元素之间，可能会有中 间变量。
设中间变量x1，且假设x＞x1＞y。 取分离体阻尼活塞和缸体部分，并 进行受力分析，
图2-2
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
根据受力分析，列写微分方程组，
k 1 x (t) x 1 (t) c x 1 (t) y (t) (1)
cx1(t)y(t)k2y(t)
(2)
消去中间变量x1(t)，得，
k 1 x (t) x 1 (t) k 2y (t) x 1 (t) x (t) k k 1 2y (t)
将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，1. 机械系统Fra bibliotekFma
控制工程基础第二章 控制系统数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 传递函数框图的简化
• 等效变换原则是：变换前后前向通道中的传递 函数的乘积应保持不变，回路中传递函数的乘 积应保持不变。即变换前后整个系统的输入输 出传递函数保持不变。
• 1、串联环节的等效变换规则 • 前一环节的输出为后一环节的输入的联接方式
称为环节的串联。当各环节之间不存在（或可 忽略）负载效应时，则串联联接后的传递函数 为：
时间 内并无输出，在 后，输出就完全等于从一开
始起的输入，且不再有其他滞后过程；即输出等于输
入，只是在时间上延迟了一段时间间隔 。
第二章 控制系统的数学模型
• 2.4 传递函数框图及其简化
• 传递函数方框图是控制系统的动态数学模型的 图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节 间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传 递、变换过程。
数学模型动 静态 态模 模型 型
• 静态模型：一般是不含时间变量t的代数 方程，描述系统的静态特性，即平衡状 态下各变量间的对应关系。
• 动态模型：描述系统的动态特性，即在 运动过程中随时间变化的各变量间的相 互关系，数学表达式是含时间变量t的微 分方程、传递函数或频率特性。
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 传递函数求解示例 • 之前例1中求得机械位移系统的微分方程为
• 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
T 2 s2 X (s ) 2T(s) X X (s ) k(s F )
• 按照定义，系统的传递函数为：
G(s)X F((ss))T2s2k2T s1
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
G (s)X X o i((s s))X X 1 i( (s s) )X X 1 o((s s))G 1(s)G 2(s)
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
27
例2.1：用拉氏变换解微分方程
L ur
i
R C uc
d 2uc du LC 2 RC c uc u r dt dt L[uc (t )] U c ( s ) duc (t ) ] sU c ( s ) U c (0) dt d 2uc (t ) ' L[ ] s 2U c ( s ) sU c (0) U c (0) dt 2 s 2U c ( s ) 0.1s 0.1 L[
2）对于机械转动系统，牛顿定律可以表示为：
J (t ) M (t )
3）化简 4) 标准化
J
d 2 (t ) dt 2
d (t ) M (t ) M f (t ) M (t ) f dt
d 2 (t ) d (t ) J f M (t ) 2 dt dt
电气系统的微分方程
进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出 量的时域表达式，即为所求微分方程的解。
拉氏(laplace)变换 • 定义：设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分
F ( s ) f (t )e dt
st 0
2)单位斜坡函数
t
0
t
0, f t t ,
t0 t0
L f t L[t ]
0
te
st
1 dt 2 s
几个重要的拉氏变换
f(t) F(s) f(t)
eat f t
df t dt
F(s)
F s a
sF s f 0
控制工程第02章数学模型
上海交通大学机械与动力工程学院
控制理论基础 (I)
第二章 物理系统的数学模型
划分环节
按功能（测量、放大、执行）
由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程） 根据元件的工作原理和在系 统中的作用，确定元件的输 入量和输出量(必要时还要考 虑扰动量)，并根据需要引进 一些中间变量。
School of Mechanical & Power Engineering
机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理 电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热学： 传热定理、热平衡定律
差分方程 （离散系统） y(kT ), y(kT T )
数学模型的准 确性和简化
School of Mechanical & Power Engineering
线性与非线性
分布性与集中性
参数时变性
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控制理论基础 (I)
第二章 物理系统的数学模型
Part 2.1 物理系统的数学模型
2.1.1 数学模型的定义 2.1.2 建立数学模型的基础
机械系统
Example 电气系统
2.1.3 提取数学模型的步骤
相似系统
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注：非线性系统的线性化 模型，称为增量方程。
注：y = f (x0)称为系统的 静态方程
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控制理论基础 (I)
第二章 物理系统的数学模型
多变量函数泰勒级数法
增量方程 静态方程
控制工程基础第二章——数学模型
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A
fT
(t)
lim
t0 0
t0
d [ A(1 et0s )]
L[
fT
(t
)]
lim
t0 0
A t0s
(1
et0s
)
lim t0 0
dt0
d dt0
(t0 s )
As A s
单位脉冲（Dirac） 定义：
面积为1的脉冲函数
(t)dt 1, (t 0, (t) 0)
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统
中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
.
(n)
x(t) sX (s) x (t) s n X (s)
x(t)dt
1 sn
X
(s)
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t) 函数 f (t )
称为延迟函数，函数本身并
不发生改变，只是延迟α时
间才发生。
注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t) F (s) 则有 f (t ) es F (s) 延迟函数的拉氏变换 原函数的拉氏变换乘以 es
显然 (t) 1, A (t) A
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
控制工程基础第二章第二部分
bm1s bm an1s an
(n m)
6
第二章 数学模型 特征方程、零点和极点
考试会考求增益K，特征方程的 零点和极点
➢ 特征方程
令：M (s) b0sm b1sm1 bm1s bm
N (s) a0sn a1sn1 an1s an
LCs2
1 RCs
1
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4
第二章 数学模型
几点结论
✓ 传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。
✓ 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。
✓ 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关
第二章 数学模型
第二章 控制系统的数学模型
○、数学模型的基本概念 一、控制系统的运动微分方程 二、非线性数学模型的线性化
三、拉氏变换和拉氏反变换 四、传递函数 五、系统方框图和信号流图 六、控制系统传递函数推导举例 七、小结
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1
第二章 数学模型
四、传递函数
传递函数的概念和定义 ➢ 传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏 变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。
式中，T—积分环节的时间常数。
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积分环节的单位阶跃响应
Xi (s)
1
Xo (s)
Ts
xi (t)
x0 (t)
T1
1
1
T2 , T2 T1
0 t1
0
t
t1
t
输出随着时间线性增长，一旦输入为零，输出停止
控制工程基础第2章 数学模型(2)
递的关系，可写出
X 0 s G s E s E s X i s B s B s H (s )X 0 s
消去E（s）、B(s)得：
1 G s H (s )X 0 s G s X i s
因此，得闭环传递函数
U i s U A s I1 s R1 1 I1 s I 2 s U A s C1s U A s U 0 s I 2 s R2 1 U 0 s I 2 s C2 s
3．梅森公式
1 p
式中：P—系统总传递函数： pk—第k条前向通路的传函数 Δ—流图的特征式，面且
FB (s ) BsX (s ) X 0 (s )
1 FK1 (s) FB (s) FK 2 (s) X (s ) 2 m1s
FK 2 (s ) K 2 X 0 (s )
X (s )
各方程对应的方框单元 如图2．33所示
1 Fi (s ) FB (s ) FK 1 (s ) 2 m1s FK 1 (s ) K1 X (s ) X 0 (s )
(1)节点 表示变量或信号，其值等于所有进人该节点的 信号之和。 (2)输入节点 （3）输出节点 （4）混和节点 它是只有输出的节点，也称源点。 它是只有输入的节点，也称汇点。 它是既有输入又有输出的节点。
（5）支路 定向线段称为支路。其上的箭头表明信号 的流向，各支路上还表明了增益，即支路的传递函数。
d d 转动平衡方程 : J B T T dt dt
M b
N
d 电动机的反电动势正比 于速度 : e K dt 式中：K 反电动势常数 。
b b
0
控制工程基础第2章
yky1不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。 又例如：元件的数学模型为：
y(t ) y(t ) x(t ) 线性元件
元件的数学模型为：
y(t ) y(t ) x(t ) b 不是线性元件
• 2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和 齐次性，对研究带来了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和 干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几 个外作用单独求响应，加起来就是总响应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时， 其响应的数值也增加若干倍。就可以采用单 位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位 斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。
duC (t ) i (t ) C dt 由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)
duC (t ) d uC (t ) ur (t ) RC LC uC (t ) 2 dt dt
2
整理成规范形式
(t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t ) 即LCuC
0
lim
0
2 2 1 1 s s s (1 e ) lim (1 1 ) 1 s 1! 2! 0 s
例2-6.求指数函数
0 at st
f (t ) e
0 ( a s ) t
at
的拉氏变换
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换 L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
控制工程基础 第二章 控制系统的数学模型
R1 ui C1 K
R2 C2 uc
U c ( s) K U i ( s ) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1)
有源网络：
Ur R0
R1
C1 +12V
+
-12V
Uc
U c ( s) R1C1s 1 U r ( s) R0C1s
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元 件、元件组或元件的一部分称为一个环 节。 系统传递函数可写为：
例2 电学系统： 其中：电阻为R，电感为L，电容为C。
＋ ur(t) － i
＋ uc(t) －
解：系统的微分方程如下
d U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
2
拉氏变换后（零初始条件下）
U c ( s) 1 2 U r ( s ) LCs RCs 1
2 2
1 1 1 , 2 2 s Ts 1, T s 2Ts 1
各典型环节名称：
比例环节：K 一阶微分环节：s 1 2 2 s 二阶微分环节： 2 s 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： 1 Ts 1 二阶振荡环节：2 s 2 2Ts 1 T
传递函数的性质： （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和 参数，与输入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统， 具有复变函数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式， 即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；
传递函数的性质： （5）传递函数与真正的物理系统不存在一 一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多 项式的系数均为实数，故零点和极点可以是 实数，也可以是成对的共轭复数。
控制工程基础第2章
xo (t ) cos t xi (t )
2 3 x ( t ) x ( t ) x ( t ) 2 x ( t ) 5 x （4） o o o o i (t )
非线性
本课程涉及的数学模型形式
时间域：微分方程（一阶微分方程组）、
差分方程、状态方程
复数域：传递函数、结构图
其中f(0)是函数f(t)在自变量t=0的值，即初始值。 可推广到n阶
d n f (t ) n n 1 n2 L s F ( s ) s f (0) s f (0) n dt f ( n1) (0)
当初始条件为0时，即 则有 L f (t ) sF (s)
小 结
物理本质不同的系统，可以有相同的数学 模型，从而可以抛开系统的物理属性，用 同一方法进行具有普遍意义的分析研究。
通常情况下，元件或系统微分方程的阶次 等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅取 决于系统的结构及其参数。
三、拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是控制工程中的一 个基本数学方法，其优点是能将时间 函数的导数经拉氏变换后，变成复变 量s的乘积，将时间表示的微分方程， 变成以s表示的代数方程。
拉氏变换的性质
3、复数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s)，对于任 一常数a（实数或复数），有
L[e f (t )] F(s a)
at
4、微分定理
设f(t)的拉氏变换为F(s)，则
df (t ) L[ ] L[ f ' (t )] sF ( s ) f (0) dt
频率域：频率特性
二、系统微分方程的建立
建立微分方程的步骤：
控制工程基础第2章 控制系统的动态数学模型
LCuo (t ) RCuo (t ) uo (t ) ui (t )
u1 (t ) u2 (t ) Ri
u1 (t) C u2 (t)
i (t)
i (t)
u1 (t ) u2 (t )
1 idt C
ui (t) i1 (t)
R1
u1 (t)
R2
uo (t)
X s
s p1 s p1
r1
b0 s m b1s m1 bm1s bm
rl
r2
s p1 s c1s d1 s c1s d1
2 k1 2
kg
其中，
r1 r2 rl 2k1 k2 k g n
θo(t) l
ml2 (t ) mglo (t ) Ti (t ) o
mg
Ti(t)
2.3 拉氏变换及反变换
Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、 时不变系统的重要工具！ 2.3.1 拉氏变换定义 定义
拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏 变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了 时域和复频域间的联系。
简写为：
xt L X s
1
在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式：
b0 s b1s bm1s bm X s n s a1s n 1 an 1s an
m
m 1
其中，使分母为零的s值称为极点，使分子为零的s值称为零点。 则有：
对于这类分式可通过部分分式展开法求其反变换
1. 只含不同单极点的情况
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm X s n s a1s n 1 an 1s an b0 s m b1s m 1 bm 1s bm s p1 s p2 s pn an 1 an a1 a2 s p1 s p2 s pn 1 s pn
u1 (t ) u2 (t ) Ri
u1 (t) C u2 (t)
i (t)
i (t)
u1 (t ) u2 (t )
1 idt C
ui (t) i1 (t)
R1
u1 (t)
R2
uo (t)
X s
s p1 s p1
r1
b0 s m b1s m1 bm1s bm
rl
r2
s p1 s c1s d1 s c1s d1
2 k1 2
kg
其中，
r1 r2 rl 2k1 k2 k g n
θo(t) l
ml2 (t ) mglo (t ) Ti (t ) o
mg
Ti(t)
2.3 拉氏变换及反变换
Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、 时不变系统的重要工具！ 2.3.1 拉氏变换定义 定义
拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏 变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了 时域和复频域间的联系。
简写为：
xt L X s
1
在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式：
b0 s b1s bm1s bm X s n s a1s n 1 an 1s an
m
m 1
其中，使分母为零的s值称为极点，使分子为零的s值称为零点。 则有：
对于这类分式可通过部分分式展开法求其反变换
1. 只含不同单极点的情况
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm X s n s a1s n 1 an 1s an b0 s m b1s m 1 bm 1s bm s p1 s p2 s pn an 1 an a1 a2 s p1 s p2 s pn 1 s pn
控制工程基础2章-1
例题
i2
Ui(t) 为输入电压，Uo(t) 为输 出电压，试列写其关于输入输出的 微分方程模型。
Ui
R2
i1
R1 A
i3 － K0 ＋ C Uo
解：对理想放大器，K0值很大 又 Uo(t) = -K0UA(t) ∴ UA(t) = -Uo(t) / K0 ≈ 0 对点建立节点电流方程
i1 t i2 t i3 t i1 t ui (t ) R1 uo (t ) i2 t R2 i3 t C uo (t )
yo(t) yo(t) Fi(t)
K
M c
d 2 yo (t ) dyo (t ) Fi (t ) M c kyo (t ) 0 2 dt dt d 2 yo (t ) dyo (t ) M c kyo (t ) Fi (t ) 2 dt dt
2、机械旋转系统
如图所示旋转系统，回转体通过柔性轴（用扭转弹簧K表 示）与齿轮连接，回转体的粘性摩擦系数为B。设齿轮扭转转 角为系统输入量，回转体扭转角为系统旋转体转角输出量。
1 h h0 h 忽略二阶以上项，且令 h - h0 = Δh，则 2 h0 d (h h0 ) 1 将 h = h0 +Δh代入原方程 A ( h0 h) qi 0 qi dt 2 h0
∵平衡时
qi 0 qc 0 h0 ，整理即可得
这就是液位系统的线性增量微分方程
二、数学模型的种类 常用的动态数学模型有：微分方程、差分方程、传递函数 、脉冲响应函数、状态空间模型和动态结构图等。
三、数学模型的建立方法
解析法——根据实际系统各环节所遵循的物理化学规律列出 描述这些变化规律的数学表达式，经整理得到相 应的数学模型。 实验法——指对系统加入激励信号，测出其响应信号，然后 分析、拟合、辨识系统的数学模型。 本章注重讨论解析法建立物理系统的数学模型。
控制工程基础 第二章数学模型-拉氏变换(第三讲)
上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可 确定A1和A2的值。
例：求
的原函数。
解：
1 1 2 A1 A2 2 即： j 3 A j 3 1 2 2
所以：
含多重极点的情况 设F(s)存在r个重极点-p0，其余极点均不同，则
= 式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。
解：对微分方程左边进行拉氏变换
对方程右边进行拉氏变换
从而：
所以
当初始条件为零时：
作业: 2-1， 2-2， 2-9(b)， 2-10(a) ，2-11(c)
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）为复变数； 象函数 原函数
拉氏变换的符号
简单函数的拉氏变换
单位阶跃函数 1(t)
f(t) 1
0
单位阶跃函数
t
指数函数
f(t) 1
指数函数
t
正弦函数、余弦函数
f(t) 1 0 -1 f(t)=cost 正弦及余弦函数 f(t)=sint
由欧拉公式，有：
工程数学积分变换数学变换小学数学图形变换数学必修二第二章高等数学李伟第二章高中数学图像变换数学建模第二章答案数学必修2第二章数学必修一第二章初一数学第二章
四、拉氏变换和拉氏反变换 设函数f(t) (t≥0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正 实常数σ，使得：
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
复微分定理 若L[f(t)]=F(s)，则除了F(s)的极点之外，有：
积分定理
……
Hale Waihona Puke 当初始条件为零时 延时定理
f(t-a)
a
函数 f(t-a)
控制工程基础第二章
若：f 0 f 0 f n 2 0 f n1 0 0 d n f t n L s F s n dt
证明
df t df t L e st dt 0 dt dt 利用分部积分法，则令 df t st u e , dv dt dt df t st st 则L e f t 0 s 0 f t e dt sF s f 0 dt
yo(t)
工件
例2 无源电路网络
u
i
C i 1 t R1
根据基尔霍夫定律和欧 姆定律，有
u
R2
o
i t
2
ui t uo t R1 i 2 t 1 i1 t dt R1i2 t c uo t R2 i t
i1 t i 2 t i t
d t2 dt
实际系统一般都有非线性现象：
第二节 线性微分方程式的建立 一．列写系统微分方程的一般步骤：
1. 将系统划分环节，确定各环节的输入
及输出信号，每个环节列写一个方程； 2. 根据物理定律或通过实验得出的物理 规律列写各环节的原始方程，并适当 简化，线性化； 3. 将各环节方程式联立，削去中间变量， 最后得到只含有输入、输出变量以及 参量的系统方程式。
0
1 st 1 dt e 0 s s
2.单位斜坡的拉氏变换
0 例2－3 求单位斜坡函数f (t)=t的 f (t ) 拉氏变换。单位斜坡函数如图所示，定 t 义为
f (t) ) t e st dt F
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
第三节 传递函数
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
《控制工程基础》课件-第二章
4/21/2023
27
第二章 数学模型
非线性数学模型的线性化
➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
4/21/2023
1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(
x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
4/21/2023
20
第二章 数学模型
➢ 线性系统与非线性系统
线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
线性是指系统满足叠加原理，即：
✓ 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1) f ( x2 )
K
J TC(t)
柔性轴 齿轮
粘性液体 C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
4/21/2023
12
第二章 数学模型
TK (t) Ki (t) o (t)
TC
(t)
C
d dt
o
(t
)
J
d2 dt 2
o (t)
TK
(t) TC (t)
J
d2 dt 2
o (t)
C
d dt
y
f (x10,
x20
)
f x1
f
x1 x10 x2 x20
( x1
x10 )
x2
( x2
控制工程第二章_控制系统的数学基础和数学模型
第二章控制系统的数学基础和数学模型基本要求1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。
2.了解数学模型的基本概念。
能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电网络系统的微分方程。
3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。
4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。
5.掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。
掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。
6.了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。
7.了解相似原理的概念。
本章重点1.拉氏变换定理。
2.列写系统的微分方程。
3.传递函数的概念、特点及求法。
4.典型环节的传递函数。
5.系统的方框图及其化简。
本章难点1.列写系统微分方程。
2.系统的方框图及其化简。
∞ 2.1 拉普拉斯(L a p l a c e )变换2.1.1 拉氏变换概述1.拉氏变换的定义F (s ) = L [ f (t )] = ⎰0f (t )e -std tf (t )：原函数（实域、时间域） F (s )：象函数（s 域、复数域） s ：复变量，s=σ+j ωe - st: 拉氏算子j ω[s]σδ ( t )e -atsin ωtcos ωt2.基本函数的拉氏变换1tkttttu ( t ) r ( t )x i ( t ) k 序号原函数 f (t ) 象函数F (s )1 单位脉冲函数 δ (t ) 12单位阶跃函数 1(t ) 1 s 3 K常数k s4t 单位斜坡函数1 s2 5 tnn ! s n +16 e- at1 s + a7sin ωtω s 2 + ω 28cos ωts s 2 + ω 22.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.3拉氏反变换定义:f(t)=L-1[F(s)],将象函数变换成原函数s：复变量F(s)：象函数（s 域、复数域）f(t)：原函数（实域、时间域）2.2系统的数学模型数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构与参数之间的数学表达式。
控制工程基础- 第2章 控制系统的时域数学模型
下，用泰勒展开式的一次项近似表示元件输入输出特性函数，使得系统
中非线性元件线性化，从而使描述系统的非线性微分方程线性化。
使用小偏差法的步骤包括：
1．将非线性元件线性化
y
f
(
x0
)
df ( x0 dx
)
(
x
x0 )
1 2!
d2 f ( x0 dx 2
)
(
x
x0
)2
y
y0
df ( x0 ) x dx
Qo
T
dh dt
h
K u(T
RA，K
Ku R)
在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，得到单容水槽的传递函数为
G(s) H (s) K 控制U 工( s程) 基础T s 1
控制系统的时域数学模型
例 电加热炉。
Qo
u：电热丝电压； M：电热丝质量；
T1：炉内温度； C：比热；
H：传热系数；
A：传热面积；
q2
解：设流体是不可压缩的，根据物质守恒定律，有
dh q1 q2 dt S
通过负载阀(节流阀)的液体是紊流，根据流体力学
q2 a h a 是与负载阀的特性有关的系数，阀的开度一定时为常数。
dh a
1
dt S
h S q1
这是一个一阶非线性微分方程。
控制工程基础
控制系统的时域数学模型
dh q1 q2 dt S
1 2!
d
2 f ( x0 dx2
)
x
2
y df ( x0 ) x dx
2．将非线性微分方程增量化 3．将非线性微分方程线性化
控制工程基础
控制系统的时域数学模型
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控制工程基础第二章——数学模型
☆ 斜坡函数和加速度函数
• 斜坡函数——阶跃函数的积分！
•时域中的积分运算 •复数域中为乘1/s，或说除以s
•加速度函数 •（速度函数 •的积分）
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控制工程基础第二章——数学模型
☆ 欧拉公式和谐波函数的拉氏变换
•欧拉 •公式
•谐波函数 •的
•二 步骤：
• （1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程； • （2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各 变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应； • （3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理； • （4）消去中间变量，得到输出——输入关系式； • （5）整理成规范形式。
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控制工程基础第二章——数学模型
•⑶非线性模型的线性化问 题
• 实际物理元件和系统都是非线性的。非线性特 性分为本质非线性和非本质非线性。如继电器特性 、死区、不灵敏区、滞环、传动间隙等都是本质非 线性。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽 略它们的影响，将它们视为线性元件。
• 对于具有连续变化的非线性特性，可以采用 切线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就 是在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的 近似处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直 线代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡 点处取泰勒级数一次近似式。
• ⑷ 描述系统运动的微分方程的系数都是系统 的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性 是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。
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控制工程基础第二章——数学模型
五 系统运动微分方程的一般形式
•设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则 有
•参数决定的常数。齐次方程为
•是由系统结构和
控制工程基础第二章——数学模型
数学模型的形式
•微分方程 •L变换 •传递函数 （组） •L反变换 （阵）
•s=jω
•频率特性
•时间响应
•变量状态 图
•现代控制理论
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•方框图，
•信号流 图
•Nyquist图， •Bode图等
控制工程基础第二章——数学模型
2.1系统运动微分方程的建立
•一 依据： •反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论
•特征方程为
• 特征方程的根称为特征根，他们是系统系数的组合。N阶 系统有n个特征根。特征根只能是0、实数、复数（必共扼成 对出现）。系统特征根决定了系统的性能! PPT文档演模板 • 注意：根据运动微分方程可以判断控系制工统程基的础第类二章型——。数学模型
六 建立动态方程时应注意的问题
• ⑴ 变量形式的选取问题 • 系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量 很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因 此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用 增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解 方程，便于非线性方程进行线性化处理。 • ⑵ 负载效应问题 • 由于后一环节的存在，前一环节的输出受到影响， 有如加上了一个负载对前一环节产生影响，这种影响 称为负载效应。例如，无源网络输入阻抗对前级的影 响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。
• 在输入fi(t)力的作用下，质量块m将有加速度，从而产 生速度和位移。质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生 粘性阻尼力fc(t)和弹性力fk(t)。这两个力反作用于质量块， 影响输入fi(t) 的作用效果，从而使质量块的速度和位移发 生变化，产生动态过程。
控制工程基础第二章——数学模型
☆ 机械平移动力学系统的模型
•定义：
•显然
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•结论：脉冲函数是面积函数；
•
脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。
•
换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数 控制工程基础第二章——数学模型
☆ 关于单位脉冲函数的说明
•⑴单位脉冲函数定义
•⑵单位脉为冲：函数是面积函数，它的面积为1；
•⑶
•时域里的脉冲
复数域中的常数
• ⑷单位脉冲函数是人为定义的广义函数，是 一种数学分析工具；它的引入解决了不连续函
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控制工程基础第二章——数学模型
☆ 小结：⑶⑷
• ⑶ 在通常情况下，元件或系统的微分方程的 阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储 能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部 就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换， 描述系统的微分方程将增高一阶。
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控制工程基础第二章——数学模型
七 线性系统的叠加原理
(Principle of Superposition)
• 线性系统的线性性质：均匀性、叠加性 • 用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如 果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为 线性时变系统。线性系统的重要性质是可以应用叠 加原理。叠加原理有两重含义：均匀性（齐次性） 和可叠加性。这个原理是说，多个输入同时作用于 线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时分别 产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出亦 增大同样的倍数。系统对输入信号的微分和积分的 响应等于系统对输入信号的响应的微分和积分。
控制工程基础第二章— —数学模型
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2020/11/20
控制工程基础第二章——数学模型
控制工程基础——数学模型
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• 数学模型：描述系统动态特性的数学表达式，称为系统的数学模型， 它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。
• 作用：数学模型是设计和分析控制系统的依据。显然，建立正确、 合理的系统的数学模型是关键性的步骤。 • 数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。 • 外部模型也称为输入—输出模型。 • 它着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。 因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述 线性时不变系统的输入—输出关系，对连续系统是用常系数线性微分 方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。 • 内部模型也称为状态变量描述法。 • 它不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，特 别适用于多输入、多输出系统。用这种方法建立的数学式为一阶微分 方程组形式，便于计算机求解。状态变量分析法还适用于时变系统和 非线性系统，已成为系统理论与现代控制工程的基础。 • 建模基本方法：解析法和实验法。
后求积分得出的值。卷积运算满足交换律、结合律
和分配律。
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控制工程基础第二章——数学模型
四 拉氏逆变换及其求法
•逆变换 •定义
•已知F(s), 求f(t)的数学过程
•⒈查表法 注意综合应用拉氏变换的性质定理。
•2.部分分式法
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• 将F(s)分解成标准形式的简单函数之和，
•然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出f(t)。 控制工程基础第二章——数学模型
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控制工程基础第二章——数学模型
一 拉氏变换的定义
•拉氏变换的定义
•拉氏变换的实质 •时间函数 •复变量s的复变函数
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控制工程基础第二章——数学模型
二 典型函数的拉氏变换
•指数函数 •工程中极其重要的 函数！有如下性质
•它的微分、积 分与其自身成比 例 •阶跃函数
•指数函数的拉氏变换 •拉氏变换是线性变换
数间断点处求导数的问题。单位脉冲函数就是 单位阶跃函数在不连续点（t=0）处的导数！
•采样性质：
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控制工程基础第二章——数学模型
三 拉氏变换性质定理⑵
•⒋位移定理
•设
•则有
•的拉氏变换，有以（s+α）去替换s的效果。 •可按拉氏变换定义证明之。
•举例
•如
•则
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控制工程基础第二章——数学模型
• • • 消去中间变量i(t)，稍加整理，即得 • •
• 上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。
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控制工程基础第二章——数学模型
•四 小结
☆ 小结：⑴⑵
• ⑴ 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。 这样的系统称为相似系统。在相似系统的方程中，处于 相同位置的物理量称为相似量。从动态性能来看，在相 同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的 系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。 这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。 这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。 • ⑵ 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同 一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方法，从 信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。
（无穷远点）的值之间的关系。
•终值定理
•出发点：微 分定理、拉
•的证明 氏变换定义
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•有终值定 理
•应用：稳态误差计算
控制工程基础第二章——数学模型
三 拉氏变换性质定理⑷
•⒍卷积定理
•⑴卷积的数学定义
•符号表示 •性质： •⑵卷积定理 •若
•则
• 关于卷积的说明：
• 卷积h(t)是时间函数f(τ)与时间倒置函数g(t-τ)相乘
•拉氏变换
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控制工程基础第二章——数学模型
三 拉氏变换性质定理⑴
•⒈线性定理 •⒉微分定理和积分定理（在所有初始条件均为零时）
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•⒊延迟定理
•①平移函数、延迟函数
•对于函数 •函
•称为延迟函数 ，数函数本身
并不发生改变，只是延迟α