高考复习函数的单调性

高考复习：函数的单调性

定义

定义域

区间

对应法则值域

一元二次函数一元二次不等式

映射

函数

性质

奇偶性

单调性周期性

指数函数

根式分数指数

指数函数的图像和性质

指数方程对数方程

反函数

互为反函数的函数图像关系

对数函数

对数

对数的性质

积、商、幂与根的对数

对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质

一、单调性

1．定义：如果函数f(x)y 对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、

若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间，则f (x )称为 . 2．判断单调性的方法：

(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .

(2) 导数法，若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论

1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；

4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g(x )的单调相同，则f [g(x )]为 ，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 . 5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .

1、增函数与减函数的定义：

定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数。 2、单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；

（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）， 1、定义法

步骤：(1)取值：设2121,x x A x x <∈且；

(2)作差：21()()f x f x -；

(3)变形：一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出；

(4)定号：即确定差21()()f x f x -的符号，当符号不确定时，可进行分区

间讨论；

(5)判断：根据增函数与减函数的定义下结论。

例 讨论函数342+-=x x y 的单调性.

解：取x 1＜x 2，x 1、x 2∈R ， 取值

f (x 1)－f (x 2)＝(x 12－4x 1+3)－(x 22－4x 2+3) 作差

＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4) 变形

当x 1＜x 2＜2时，x 1＋x 2－4＜0，f (x 1)＞f (x 2)， 定号 ∴y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减． 判断 当2＜x 1＜x 2时， x 1＋x 2－4＞0，f (x 1)＜f (x 2)，

∴y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减，y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增.

2、导数法：一般地，设函数y =f (x ) 在某个区间内有导数.

常用方法

(1)如果在这个区间内y '>0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的增函数； (2)如果在这个区间内y '<0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的减函数. 利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间； 解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间． 例 已知函数

||ln )(2x x x f =，求函数)(x f 的单调区间；

解：函数)(x f 的定义域为{R x x ∈|且0≠x }

当0>x

时，

)1ln 2(1

ln 2)(2+⋅=⋅

+⋅='x x x

x x x x f 若2

10-

<

x ，则

0)(<'x f ，)(x f 递减；

若2

1

->e

x

， 则

0)(>'x f ，)(x f 递增．

当0x <时，由于

)(x f 是偶函数，得)(x f 的递增区间是),(2

1---∞e 和

),(2

1∞+-

e

；递减区间是)0,(2

1--e 和),0(2

1-

e

．

例1已知

⎩⎨

⎧≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么

a 的取值范

围是 （ ）

（A ）)1,0(

（B ）)

31

,0(

（C ）)

3

1,71[

（D ）)

1,71[

例2在区间)0,(-∞上为增函数的是（ ） A ．

)

(log 2

1x y --= B ．

x x

y -=

1 C ．2

)1(+-=x y

D ．2

1x y +=

典型例题