高考复习函数的单调性

高考复习：函数的单调性定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质一、单调性1．定义：如果函数f(x)y 对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有 ，则称f (x )在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；②都有 ，则称f (x )在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间，则f (x )称为 . 2．判断单调性的方法：(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法，若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g(x )的单调相同，则f [g(x )]为 ，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 . 5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .1、增函数与减函数的定义：定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数。

2、单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。

此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）， 1、定义法步骤：(1)取值：设2121,x x A x x <∈且；(2)作差：21()()f x f x -；(3)变形：一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出；(4)定号：即确定差21()()f x f x -的符号，当符号不确定时，可进行分区间讨论；(5)判断：根据增函数与减函数的定义下结论。

例 讨论函数342+-=x x y 的单调性.解：取x 1＜x 2，x 1、x 2∈R ， 取值f (x 1)－f (x 2)＝(x 12－4x 1+3)－(x 22－4x 2+3) 作差＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4) 变形当x 1＜x 2＜2时，x 1＋x 2－4＜0，f (x 1)＞f (x 2)， 定号 ∴y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减． 判断 当2＜x 1＜x 2时， x 1＋x 2－4＞0，f (x 1)＜f (x 2)，∴y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减，y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增.2、导数法：一般地，设函数y =f (x ) 在某个区间内有导数.常用方法(1)如果在这个区间内y '>0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的增函数； (2)如果在这个区间内y '<0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的减函数. 利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间； 解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间． 例 已知函数||ln )(2x x x f =，求函数)(x f 的单调区间；解：函数)(x f 的定义域为{R x x ∈|且0≠x }当0>x时，)1ln 2(1ln 2)(2+⋅=⋅+⋅='x x xx x x x f 若210-<<ex ，则0)(<'x f ，)(x f 递减；若21->ex， 则0)(>'x f ，)(x f 递增．当0x <时，由于)(x f 是偶函数，得)(x f 的递增区间是),(21---∞e 和),(21∞+-e；递减区间是)0,(21--e 和),0(21-e．例1已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ）（A ）)1,0(（B ）)31,0(（C ）)31,71[（D ）)1,71[例2在区间)0,(-∞上为增函数的是（ ） A ．)(log 21x y --= B ．x xy -=1 C ．2)1(+-=x yD ．21x y +=典型例题例3 设1,0≠>a a ，函数x a x f -=)(是增函数，则不等式0)75(log 2>+-x x a 的解集为 ( ) 【（2，3）】 例4 判断函数)0(1)(2≠-=a x axx f 在区间（-1，1）上的单调性。

例5 设a >0且1≠a ，试求函数)34(log 2x x y a -+=的单调区间。

例6已知函数)x (f =x a +12+-x x (a ＞1)，证明：函数)x (f 在(-1,+∞)上为增函数.证明 方法一 任取1x 、2x ∈(-1,+∞), 不妨设1x ＜2x ,则2x -1x ＞0,12x x a -＞1且01>x a ，∴0)1(12112>-=--x x x x x a a a a ，又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0,∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x ＞0,于是f(x 2)-f(x 1)=12x x a a-012121122>+--+-+x x x x 故函数)x (f 在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 )x (f =)1(131>+-+a x a x , 求导数得)(x f '=a ln a x 2)1(1++x ,∵a ＞1,∴当x ＞-1时，a ln a x＞0,2)1(1+x ＞0,)(x f '＞0在（-1，+∞）上恒成立，则)x (f 在（-1,+∞）上为增函数.方法三 ∵1>a ,∴x a y =为增函数，又13112+-+=+-=x x x y ，在（-1，+∞）上也是增函数.∴12+-+=x x a y x 在（-1，+∞）上为增函数.例7. (2009·福建文)已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -=（I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点； 解法一： （I ） 依题意，得2'()2f x x ax b =++；（II ）由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-（Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++- 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-令'*()0f x =，则1x =-或12x a =-①当1a >时，121a -<-当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：x(,12)a -∞- (2,1)a -- (1)-+∞'()f x + — + ()f x单调递增单调递减单调递增由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和，单调减区间为(12,1)a --②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- 综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- （Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x =--；由3'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-所以函数()f x 在121.3x x =-=处取得极值。

故5(1,).(3,9)3M N --所以直线MN 的方程为813y x =-- 由22133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+=令32()33F x x x x =--+ 易得(0)30,(2)30F F =>=-<，而()F x 的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线，故()F x 在(0,2)内存在零点0x ，这表明线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点解法二： （I ）同解法一 （Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x xx=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --所以直线MN 的方程为813y x =--由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+=；解得1231, 1.3x x x =-==1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-1．证明一个函数在区间D 上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论.2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围. 1：讨论函数f （x ）=x+xa （a ＞0）的单调性. 2. 判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.变式训练：求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间.3. 求下列函数的最值与值域：（1）y=4-223x x -+; (2)y=x+x4;(3)y=4)2(122+-++x x .变式训练：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf （x ）=f （x+1）-f （x ）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （x ＞0）台的收入函数为R （x ）=3巩固练习小结归纳000x-20x 2 (单位：元)，其成本函数为C （x ）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；（2）利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）是否具有相同的最大值？ 4．（2009·广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 变式训练：函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3.补充例题：【例2】设a >0且1≠a ，试求函数)34(log 2x x y a -+=的单调区间。