高等数学同步测试卷
高等数学同步测试卷
高等数学同步测试卷高等数学是大学本科阶段的一门重要课程，对于理工科和经济管理类专业的学生来说尤为重要。
为了评估学生对高等数学知识的掌握程度，提高教学质量，学校通常会组织同步测试卷。
本文将根据任务名称提供一份高等数学同步测试卷的相关内容需求，让我们一起来完成这个任务。
一、选择题1. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(2)的值。
2. 已知函数y = e^x，求y的导数。
3. 设函数y = sin(2x + π/6)，求y的周期。
4. 计算极限lim(x→1) [(x^2 - 1) / (x - 1)]。
5. 求不定积分∫(x^3 + 3x^2 - 2x + 1)dx。
二、填空题1. 设函数y = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5，求y的导数。
2. 计算定积分∫[0, 2] (2x + 1)dx。
3. 求曲线y = 2x^2的切线方程。
4. 求极限lim(x→∞) [x^2 / (e^x + 1)]。
5. 求函数y = ln(x^2 - 1)的导数。
三、计算题1. 求函数y = 3x^2 - 4x + 1的极值点和极值。
2. 计算定积分∫[1, 3] (2x^2 + 3x - 1)dx。
3. 求曲线y = x^3 - 2x^2的拐点。
4. 求函数y = e^x - 2x的最小值。
5. 求函数y = ln(x^2 + 2x + 2)的反函数。
四、证明题1. 证明：若函数y = f(x)满足条件f'(x) > 0，则函数f(x)在其定义域上单调递增。
2. 证明：若函数y = f(x)满足条件f''(x) < 0，则函数f(x)在其定义域上凹。
3. 证明：若函数y = f(x)满足条件f'(x) = 0，则函数f(x)在其定义域上可能有极值点。
4. 证明：若函数y = f(x)满足条件f(x) = f(-x)，则函数f(x)是偶函数。
5. 证明：若函数y = f(x)满足条件f'(x) = 0，则函数f(x)在其定义域上可能有拐点。
《高等数学》同步练习册（下）新答案
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2]1)1[l n()1(xy xy xy xy z y y ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx e x x e 221)1(++(6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223 (4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 217.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台2.在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是3.下列说法正确的是A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形4.如图所示，该直观图表示的平面图形为（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．正三角形5.下列几种说法正确的个数是（）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1B．2C．3D．46.一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为A．B．C．D．7.哪个实例不是中心投影A．工程图纸B．小孔成像C．相片D．人的视觉8.关于斜二测画法画直观图说法不正确的是A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D．斜二测坐标系取的角可能是135°9.下列几种关于投影的说法不正确的是A．平行投影的投影线是互相平行的B．中心投影的投影线是互相垂直的影C．线段上的点在中心投影下仍然在线段上D．平行的直线在中心投影中不平行10.说出下列三视图表示的几何体是A．正六棱柱B．正六棱锥C．正六棱台D．正六边形二、填空题1.平行投影与中心投影之间的区别是_____________；2.直观图（如右图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形ABCD为_ ____，面积为______cm2．3.等腰梯形ABCD,上底边CD="1," 腰AD=CB= , 下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图A′B′C′D′的面积为________．4.如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5米的椭圆，则这个广告气球直径是米．三、解答题1.（12分）用斜二测画法作出边长为3cm、高4cm的矩形的直观图．2.（12分）画出下列空间几何体的三视图．①②3.（12分）说出下列三视图所表示的几何体：正视图侧视图俯视图4.（12分）将一个直三棱柱分割成三个三棱锥，试将这三个三棱锥分离．5.（14分）画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm．6.（14分）根据给出的空间几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图．全国高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台【答案】C【解析】在理解三视图意义的基础上，选C。
高等数学同步测试题
高等数学同步测试题# 高等数学同步测试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值出现在 \( x \) 的哪个值上？- A. \( x = 0 \)- B. \( x = 2 \)- C. \( x = 4 \)- D. \( x = -2 \)2. 以下哪个选项是 \( e^x \) 的导数？- A. \( e^{-x} \)- B. \( e^x \)- C. \( x \cdot e^x \)- D. \( \ln(e^x) \)3. 曲线 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是多少？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 34. 以下哪个级数是收敛的？- A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)- B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)- C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)- D. \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)5. 以下哪个积分是正确的？- A. \( \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \)- B. \( \int e^x dx = e^x + C \)- C. \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \)- D. 所有选项都是正确的二、填空题（每题2分，共10分）6. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是 ______ 。
7. 函数 \( y = \ln(x) \) 的二阶导数是 ______ 。
8. 圆 \( x^2 + y^2 = 4 \) 在第一象限的弧长是 ______ 。
高等数学同济第七版同步练习题第八章1-4节留空版
8-1 向量及其线性运算 8-2数量积 向量积一、填空1. 平行于向量(6,7,6)a 的单位向量为.2. 已知,a b 均为单位向量，且1,2a b则以向量,a b 为邻边的平行四边形的面积为. 2 3. 若,a b =a b 则向量a 与b 的夹角为. π4 4. 设3,5,a b 若a b +k 与a b k 垂直，则常数k . 355. 设向量x 与向量(2,1,2)a 平行，且18,a x 则x . (4,2,4)6. 设(4,2,4),(6,3,2),a b 则Pr b a j =. 107二、设长方体的各棱与坐标轴平行，已知长方体的两个顶点坐标分别为(1,1,2)(3,4,5)，，试写出余下六个顶点的坐标.三、一向量的终点为(2,1,7)，B 在,,x y z 轴上的投影依次为4,4,7, 求此向量的始点坐标，方向余弦和方向角.四、设358,247,54,a i j k b i j k c i j k 求向量43l a b c 在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.五、设32,2,a i j k b i j k 求：（1）;a b （2）Pr b a j ;（3）cos(,).a b六、设,,a b c 为单位向量，且满足0a b c ,++=求++a b b c c a.七、已知(1,1,2),(5,6,2),(1,3,1)，A B C 求同时与,AB AC垂直的单位向量.八、在Oxy 面上，求垂直于(5,3,4)a ，并与a 等长的向量.b的面积.九、已知空间三点(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5),A B C求ABC十、用向量法证明：（1）直径所对的圆周角是直角；（2）三角形的三条高交于一点.8-3平面及其方程 8-4空间直线及其方程一、填空1. 过点12(4,1,2),(3,5,1)M M 的直线方程为.412743x y z 2. 设两直线11112x y z 和11x y z 相交，则 .543. 直线320,6320x y z x y z 与z 轴的夹角为.arccos(61二、已知平面0,Ax By Cz D 求下列情况下的系数应满足什么条件：（1）过原点;（2）平行于z 轴;（3）包含x 轴;（4）平行于xOy 平面.三、求满足下列条件的平面方程：（1）过点(3,0,1) 且与平面375120x y z 平行.（2）过点(1,1,1)和点(0,1,1) 且与平面0x y z 相垂直.（3）过点(1,1,1),(2,2,2),(1,1,2).（4）平行于xOz 面且经过点(2,5,3).（5）平行于x 轴且经过两点(4,0,2),(5,1,7).（6）平面22210x y z 与平面72450x z 之间的二面角的平分面.四、求满足下列条件的直线方程：（1）过点(2,1,3) 且平行于直线21215x y z .（2）过点(0,2,4)且同时平行于平面21x z 和3 2.y z（3）过点(0,1,2)且与直线11112x y z 垂直相交.五、写出直线2530,320x z x y z的对称式方程及参量方程.六、确定下列各组中的直线和平面间的位置关系： （1）223314x y z 和3;x y z（2）3210,21030x y z x y z和4220.x y z七、（1）设0M 是直线L 外的一点，M 是直线上的任意一点，且直线L 的方向向量为,s 证明：点0M 到直线L 的距离为0.ss M M d（2）由此计算：点0(3,4,4)M 到直线452221x y z 的距离.八、求下列投影直线的方程：（1）直线240,3290x y z x y z在xOy 面上的投影直线； （2）直线4310,520x y z x y z在平面2530x y z 上的投影直线.。
高等数学下册期末同步测试卷 答案解析
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完整版)高等数学测试题及答案
完整版)高等数学测试题及答案高等数学测试试题一、是非题（3’×6=18’）1、$\lim_{x\to 1}(1-x)=e$。
（×）2、函数$f(x)$在点$x=x_0$处连续，则它在该点处必可导。
（×）3、函数的极大值一定是它的最大值。
（×）4、设$G(x)=f(x)$，则$G(x)$为$f(x)$的一个原函数。
（√）5、定积分$\int_{-1}^1 x\cos x dx=0$.（√）6、函数$y=x-2$是微分方程$x\frac{dy}{dx}+2y$的解。
（√）二、选择题（4’×5=20’）7、函数$f(x)=\sin\frac{1}{x}$是定义域内的（）A、单调函数B、有界函数C、无界函数D、周期函数答案：C8、设$y=1+2x$，则$dy$=（）A、$2xdx$B、$2x\ln2$C、$2x\ln2dx$D、$(1+2x\ln2)dx$答案：A9、设在区间$[a,b]$上$f'(x)>0$，$f''(x)>0$，则曲线$y=f(x)$在该区间上沿着$x$轴正向A、上升且为凹弧B、上升且为凸弧C、下降且为凹弧D、下降且为凸弧答案：B10、下列等式正确的是（）A、$\int f'(x)dx=f(x)$B、$\int f(x)dx=f'(x)$C、$\int f'(x)dx=f(x)+C$D、$\int f(x)dx=f'(x)+C$答案：C11、$P=-\int \cos^2 x dx$，$Q=3\int dx$，$R=\int xdx$，则int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx < \int_0^1 \sin^2 x dx <\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$A、$P<Q<R$B、$Q<P<R$C、$P<R<Q$D、$R<Q<P$答案：D三、选择题（4’×5=20’）12．函数$f(x)=\frac{x^2}{3x-3}$的间断点为（）A、3B、4C、5D、6答案：A13、设函数$f(x)$在点$x=0$处可导，且$\lim_{h\to 0}\frac{f(-h)-f(0)}{h}=\frac{1}{2}$，则$f'(0)$=（）A、2B、1C、-1D、-2答案：B14、设函数$f(x)=x^2\ln x$，则$f''(1)$=（）A、2B、3C、4D、5答案：B15、$\frac{d}{dx}\int_0^{\ln(1+x)}\ln(1+t)dt=$A、$\ln(1+x)$B、$\ln(1+x^2)$C、$2x\ln(1+x^2)$D、$x^2\ln(1+x^2)$答案：C16、$\int f'(e^x)e^xdx=$A、$f(e^x)$B、$f(e^x)+C$C、$f'(e^x)$D、$f'(e^x)+C$答案：B四、选择题（7’×6=42’）17、$\lim_{x\to 2x-2}\frac{x^2+x-6}{x-2x+2}=$A、5B、6C、7D、8答案：B18、函数$y=x^3-3x$的单调减少区间为（）A、$(-\infty,-1)$B、$(-\infty,1)$C、$(-1,+\infty)$D、$[-1,1]$答案：A19、已知曲线方程$y=\ln(2+x)$，则点$M(0,\ln2)$处的切线方程为（）A、$y=\frac{x}{2}+\ln2$B、$y=\frac{x}{2}-\ln2$C、$y=2x+\ln2$D、$y=2x-\ln2$答案：AB、y=x+1C、y=x^2+ln2D、y=x+ln2x10、函数f(x)=∫lntdt的极值点与极值分别为：A、x=2，极小值f(2)=1B、x=1，极小值f(1)=1/2(ln2-1)C、x=2，极大值f(2)=1D、x=1，极大值f(1)=1/2(ln2-1)21、曲线y=4-x^2，x∈[0,4]与x轴，y轴以及x=4所围的平面图形的面积值S=A、4B、8C、16D、3222、微分方程dy/dx=ex-2y满足初始条件y(0)=1的特解为：A、lny=ex-1B、e2y=2ex-1C、e2y=ex-1D、e2y=e2x-1。
高一下学期数学同步测试(2)
高中学生学科素质练习高 一数 学 同 步 测 试〔2〕任意角的三角函数·同角三角函数的根本关系式一、选择题〔每题5分,共60分,请将所选答案填在括号内〕 1．)20(παα<<的正弦线与余弦线相等,且符号相同,那么α的值为 〔 〕A ．ππ434或 B ．ππ4745或 C ．ππ454或 D ．ππ474或 2．假设θ为第二象限角,那么)2cos(sin )2sin(cos θθ⋅的值为〔 〕A ．正值B ．负值C ．零D ．为能确定 3．αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值为〔 〕A ．－2B ．2C ．1623 D ．－1623 4．函数1sec tan sin cos 1sin 1cos )(222---+-=x x x x x xx f 的值域是 〔 〕A ．{－1,1,3}B ．{－1,1,－3}C ．{－1,3}D ．{－3,1} 5．锐角α终边上一点的坐标为〔),3cos 2,3sin 2-那么α= 〔 〕A ．3-πB ．3C ．3－2πD ．2π－3 6．角α的终边在函数||x y -=的图象上,那么αcos 的值为〔 〕A ．22 B ．－22 C ．22或－22 D ．217．假设,cos 3sin 2θθ-=那么2θ的终边所在象限为〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．1sin 、1cos 、1tan 的大小关系为〔 〕A ．1tan 1cos 1sin >>B ．1cos 1tan 1sin >>C ．1cos 1sin 1tan >>D ．1sin 1cos 1tan >>9．α是三角形的一个内角,且32cos sin =+αα,那么这个三角形的形状为 〔 〕A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形10．假设α是第一象限角,那么ααααα2cos ,2tan ,2cos ,2sin ,2sin 中能确定为正值的有〔 〕A ．0个B ．1个C ．2个D ．2个以上11．化简1csc 2csc csc 1tan 1sec 22+++++ααααα〔α是第三象限角〕的值等于〔 〕A ．0B ．－1C ．2D ．－2 12．43cos sin =+αα,那么αα33cos sin -的值为 〔 〕A ．2312825B ．－2312825C ．2312825或－2312825D ．以上全错二、填空题〔每题4分,共16分,请将答案填在横线上〕 13．,24,81cos sin παπαα<<=⋅且那么=-ααsin cos . 14．函数x x y cos lg 362+-=的定义域是_________.15．21tan -=x ,那么1cos sin 3sin 2-+x x x =______. 16．化简=⋅++αααα2266cos sin 3cos sin .三、解做题〔本大题共74分,17—21题每题12分,22题14分〕 17．.1cos sin ,1sin cos =-=+θθθθbya xb y a x 求证：22222=+by a x .18．假设xx x x x tan 2cos 1cos 1cos 1cos 1-=+---+, 求角x 的取值范围.19．角α的终边上的点P 和点A 〔b a ,〕关于x 轴对称〔0≠ab 〕角β的终边上的点Q 与A 关于直线x y =对称. 求βαβαβαcsc sec cot tan sec sin ⋅+⋅+⋅的值.20．c b a ++=-+θθθθ2424sin sin 7cos 5cos 2是恒等式. 求a 、b 、c 的值.21αsin 、βsin 是方程012682=++-k kx x 的两根,且α、β终边互相垂直.求k 的值.22．α为第三象限角,问是否存在这样的实数m,使得αsin 、αcos 是关于x 的方程012682=+++m mx x 的两个根,假设存在,求出实数m,假设不存在,请说明理由.高一数学参考答案〔二〕一、1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．C 8．C 9．B 10．C 11．A 12．C 二、13．23-14． ⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡--6,232,223,6ππππ 15．52 16．1三、17．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,cos sin ,cos sin θθθθbxax故 2)()(22=+b x a x . 18．左|sin |cos 2|sin ||cos 1||sin ||cos 1|x x x x x x =--+==右, ).(222,0sin ,sin cos 2|sin |cos 2Z k k x k x xx x x ∈+<<+<-=∴ππππ19．由P 〔),(),,a b Q b a -,a b a b b b a b a b=-=+=+-=βαβαcot ,tan ,sec ,sin 2222, a b a a b a 2222csc ,sec +=+=βα , 故原式=－1－022222=++a b a a b ． 20．θθθθθθθ2424224sin 9sin 27sin 55sin 2sin 427cos 5cos 2-=--++-=-+,故0,9,2=-==c b a ． 21．设,,22Z k k ∈++=ππαβ那么αβcos sin =,由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=⋅=⋅=+=+≥+⨯--=∆,1cos sin ,812cos sin ,43cos sin ,0)12(84)6(22222121212ααααααx x k x x k x x k k 解知910-=k , 22．假设存在这样的实数m,.那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=⋅-=+≥+-=∆,0812cos sin ,43cos sin ,0)12(32362m m m m αααα 又18122)43(2=+⨯--m m ,解之m=2或m=.910- 而2和910-不满足上式. 故这样的m 不存在. 审定意见：试题整体质量较高,换去了超范围的问题,并对一些标点符号进行了修改.审稿人：安振平。
(完整版)《高等数学》同步练习册(上)新答案
第1章 极限与连续1.1 函数1、(1) x -- (2) ]3,0()0,(Y -∞ (3) 时，210≤<a a x a -≤≤1，φ时，21>a(4) 奇函数 (5)）（101log 2<<-x x x(6) )1(-≠x x (7) 22+x (8))(x g π2 (9) 1525++⋅x x(10) xe1sin 2-2、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-==<<=e x e x e x e x e x e x g f 或或1011011)]([ 3、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<--≤+=262616152)(2x x x xx x x f 4)(max =x f 1.2 数列的极限1、(1) D (2) C (3) D1.3 函数的极限1、(1) 充分 (2) 充要 3、 11.4 无穷小与无穷大1、(1) D (2) D (3) C (4) C1.5 极限运算法则1、 (1) 21-(2) 21(3) ∞ (4) 1- (5) 02、（1）B （2）D3、(1) 0 (2)23x (3)1-(4) 62(5) 1 (6) 4 4、a = 1 b = -11.6 极限存在准则 两个重要极限1、(1) 充分 (2) ω，3 (3) 2 ，23(4) 0，22t (5) 3e ，2e2、(1) x (2)32(3) 2 (4) 1 (5) 3-e (6) 1-e 1.7 无穷小的比较1、(1) D (2) A (3) B (4) C2、(1) 1 (2) 2 (3) 23- (4) 21- (5) 23 (6) 32-3、e1.8 函数的连续性与间断点1、(1) 充要 (2) 2 (3) 0，32 (4) 跳跃 ，无穷 ，可去2、(1) B (2) B (3) B (4) D3、(1) 1-e (2)21-e4、a =1 ， b = 25、 (1))(2,0Z k k x x ∈+==ππ是可去间断点，)0(≠=k k x π是无穷间断；(2) 0=x 是跳跃间断点，1=x 是无穷间断点 6、e b a ==,01.10 总习题1、(1) 2 (2) },,,max{d c b a (3)21(4) 2 (5) 2 8- (6) 2 (7) 23 (8) 0 1- (9) 跳跃 可去 (10) 2 2、(1) D (2) D (3) D (4) C (5) D (6) B (7) D (8) D (9) B (10) B (11) B 3、（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=11575115100190100090)(x x x x x p（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=11515115100130100030)60(2x x x x x x xx p P（3）15000=P （元）。
(完整word版)高等数学同步练习题
高等数学同步练习题 第一部分 函数1.求下列函数的定义域： (1)1)1ln(12++-=x x y ； (2) ][1a x y +=.2.讨论下列哪些函数相同： (1) x ln 2与2ln x ； (2)2x 与x ；(3) x 与x x sgn . 3.讨论下列函数奇偶性：(1) )1ln(2x x y ++=； (2) xe x y 2=； 4. (1) 设52)2(2+-=+x x xf ，求)2(-x f ； (2) 设x e f x=+)1(，求)(x f ； (3)设221)1(xx x x f +=+，求)(x f . 5.设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011)(x x x x f ，x e x g =)(，求)]([x g f 和)]([x f g 并作出这两个函数的图形。
第二部分 一元微分学一、求导数1. 若函数)(x f 在a 可导，计算(1)ah a f h f ah --→)()(lim;(2)hh a f a f h )()(lim--→;(3)ha f h a f h )()2(lim-+→;(4)hh a f h a f h 2)()2(lim+-+→.2. 求导数: (1) x y =;(2) 53x x y =.(3) xy 1=(4) 531xxy =3. 求下列曲线在指定点的切线及法线方程 (1) )1,1(1在点xy =处;(2) )21,3(cos π在点xy =处.(3) 求2x y =在点)0,1(-处的切线4. 若函数)(x f 在a 处可导，计算)]()1([lim a f na f n n -+∞→. 5. 如果)(x f 为偶函数，且)(x f '存在，证明0)0(='f .6. 计算函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001)(1x x e x x f x 在点x =0的左右导数.7. 计算函数⎩⎨⎧<+≥=cx b ax cx x x f 2)(在c 的右导数，当a 、b 取何值时，函数)(x f 在c 处不连续、连续及可导？8. 已知)(,00sin )(x f x xx x x f '⎩⎨⎧≥<=求.9. 求下列函数的导数: (1) 6324-+=x x y ;(2) 5123+-=x x y ;(3) xx x y 133++=; (4) )21)(1(23x x y ++=;(5) 221x x y +=;(6) x x x y cos sin +=;(7) x x y ln =; (8) x x x y cot tan -=; (9) x xy 4=; (10) x e x y 2=;(11) x x y arcsin =; (12) x xy arctan =;(13) xxx x y sin sin +=;(14) x x y arccos 2=;(15) xxy ln =;(16) 11+-=x x y ;(17) 143522-+-=x x x y .10. 求下列函数的导数:(1) 22)32(-=x y ;(2) 22a x y -=;(3) xxy -+=11; (4) x x x y ++=;(5) x x y 3cos sin 2+=; (6) )tan(b ax y +=; (7) x x y 3cos 2sin =;(8) x y 5cot 2=;(9) x y sin ln =;(10) x y 2cos ln =;(11) xa x a x x y 2222)ln(+-++=; (12) 54+=x e y ;(13) xae y =; (14) 2)(arcsin x y =; (15) )1arctan(2+=x y ; (16) xxx y )1(+=;(17) x x x y sin 1ln -=;(18) x x y cos )(sin =;(19) 211xy -=.11. 设函数)(x f 和)(x g 可导，且0)()(22≠+x g x f ，试求函数)()(22x g x f y +=的导数.12. 设)(),(x g x f 可导，求下列函数y 的导数dxdy(1) )(2x f y =(2) )(cos )(sin 22x g x f y +=13. 求下列各题的二阶导数: (1) 21xx y -=;(2) t e y tsin -=;(3) 21arcsin xx y -=;(4) 113+=x y ;(5) )1ln(2x x y ++= .14. 设)(x f ''存在，求下列函数y 的二阶导数22dx yd .(1) )(xef y -=;(2) )](ln[x f y =.15. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) )1(1-=x x y ;(2) x x y ln =;(3) x y 2sin =.16.求由下列方程所确定的隐函数y 的导数xy d d (1) )cos(y x y +=(2) y xe y -=1(3) 0=-xyyx17.求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d d xy(1) 122=+-y xy x ;(2); 22ln arctany x xy+= (3); )tan(y x y +=. 18.已知y x xy b a e = 证明0)(2)ln (2='-''-y y a y .19.求由下列参数方程所确定的函数y 的导数(1) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2)1(11t t y t x ;(2) ⎩⎨⎧==tb y ta x 33sin cos .20.求由下列参数方程所确定的函数y 的二阶导数22d d xy(1) ⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(t t y t t x ;(2) 存在且不等于零设)()()()(t f t f t f t y t f x ''⎩⎨⎧-'='=21.求下列函数的微分dy (1) x x y sin 2= (2) x x x y -=ln (3) x y tan ln =(4) 21arcsin x y -=22． 计算下列函数)(x y y =的导数.dx dy： ⑴ ⎰+=x dt t y 02;)1cos(⑵ ⎰+=20;)1ln(x dt t y⑶ ⎰--=1;xtdt te y⑷ ⎰=x xt dt e y cos sin ;2⑸ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰⎰tt udu y duu x 00sin )cos 1(;⑹ ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰402cos sin 2ty du u x t ;⑺.0cos 0=+⎰⎰xyy ttdt dt e二、求极限1.计算下列各极限：(1) 15lim 3+-→x x x ；(2)；15865lim 223+-+-→x x x x x(3)； hx h x h 220)(lim -+→(4)；)1113(lim 31xx x ---→ (5)； 121lim 22---∞→x x x x(6)；31lim 2+++∞→x x x x(7); 157134lim 32-++-∞→x x x x x(8); xx x 1sinlim 2→ (9); ∑=∞→nk n nk12lim(10); ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→n n n Λ 2计算下列各极限：(1) 203050)3()12()52(lim +++∞→x x x x ;(2) 11sin 11lim 22-++-∞→x x x x x ;(3) 134lim2+--∞→x x x ;(4) xx x x 11lim--+→;(5) 1lim21--→t t t t ;3.如果 51lim21=-++→xbax x x ，求a 与b 的值。
高等数学同步训练习题上
高等数学同步训练习题上一、极限1. 计算下列极限：- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)- \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} \)- \( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4) \)2. 判断下列函数在 \( x \to 0 \) 时是否存在极限，并求出极限值（如果存在）：- \( f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x} \)- \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \)二、导数与微分1. 求下列函数的导数：- \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + 7 \)- \( g(x) = \sin x + \cos x \)2. 利用导数判断下列函数在 \( x = 1 \) 处的单调性：- \( h(x) = x^2 - 2x + 1 \)- \( k(x) = e^x - x \)三、积分1. 计算下列不定积分：- \( \int x^2 dx \)- \( \int \frac{1}{x} dx \)2. 解下列定积分：- \( \int_{0}^{1} x^3 dx \)- \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx \)四、级数1. 判断下列级数的收敛性：- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)2. 求下列级数的和（如果收敛）：- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \)- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)五、多元函数微分1. 求下列多元函数的偏导数：- \( f(x, y) = x^2 y + y^3 \)- \( g(x, y) = \ln(x^2 + y^2) \)2. 求下列多元函数在给定点处的方向导数：- \( h(x, y) = xy + x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处沿向量 \( \vec{v} = (1, -1) \) 的方向导数六、常微分方程1. 解下列一阶微分方程：- \( \frac{dy}{dx} = x - y \)- \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \)2. 解下列二阶常系数线性微分方程：- \( y'' - 2y' + y = 0 \)- \( y'' + 4y' + 4y = 0 \)结束语通过完成上述习题，同学们可以加深对高等数学基本概念的理解，并提高解决实际问题的能力。
同步单元测试卷数学高三
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = 2^xC. f(x) = x^3D. f(x) = log2(x)2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，其对称轴为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = -13. 下列各式中，能表示x = 1的根的是（）A. x - 1 = 0B. x^2 - 1 = 0C. (x - 1)^2 = 0D. x^2 - 2x + 1 = 04. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则第5项a5的值为（）A. 13B. 15C. 17D. 195. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°6. 下列复数中，不是纯虚数的是（）A. 2iB. -3iC. 4 + 3iD. 5 - 2i7. 已知等差数列{an}的公差d = 2，首项a1 = 3，则第10项a10的值为（）A. 21B. 23C. 25D. 278. 下列函数中，在x = 0时，有极小值的是（）A. f(x) = x^3B. f(x) = -x^3C. f(x) = x^2D. f(x) = -x^29. 下列各式中，能表示圆的方程的是（）A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 - y^2 = 1C. x^2 + y^2 = 4D. x^2 - y^2 = 410. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标为（）A. (2, 3)B. (3, 2)C. (-2, -3)D. (-3, -2)二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，其顶点坐标为（）。
2023-2024学年全国全部人教A版(2019)高中数学同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：67 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1. 如图所示正三棱锥中，是上一点，，且，，则三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.2. 在棱长为的正方体中，平面，则以平面截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以为顶点的锥体的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.3. 在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为( )A.P −ABC M PC PM =2MC PB ⊥AM AB =2P −ABC ()2π2π2–√4π6π2ABCD −A 1B 1C 1D 1α⊥D B 1αB 112π25π320π36πP −ABC ABC 43–√PA =PB =PC =5P −ABC 100π3625πB.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）4. 我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相切的球称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为，则下列说法中正确的有( ).A.正方体的棱切球的半径为B.正四面体的棱切球的表面积为C.等长正六棱柱的棱切球的体积为D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为5. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )（多选）A.①是棱台B.②是圆台C.③是棱锥D.④是棱柱6. 已知长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的有( )A.当与重合时，三棱锥的外接球的表面积为B.三棱锥的体积不变C.直线与平面所成角不变D.的最小值为卷II （非选择题）625π3100π9625π912–√π24π357π12ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =BC =3–√A =1A 1P BC 1P C 1P −ACD 7πA −PCD 1AP ACD 1AP +PC 3三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）7. 一个圆锥的表面积为，其侧面展开图为半圆，则此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为________.8. 如图，是圆台的轴截面． ，过点与垂直的平面交下底圆周于两点，则四面体的体积为________. 9. 已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球的表面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________.四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）10. 一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为．试确定与的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．11. 如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，，，，交于点，且，分别为，的中点， . 48πABCD AB =3CD =6,AD =22–√D AD E,F CDEF 316R r (1)R r (2)ABCD −A 1B 1C 1D 1AC =22–√A =AD =DC =2A 1AC BD E E F AC CC 1BE =2–√2求证：平面平面；求三棱锥的体积．12. 已知三棱柱中，四边形与四边形为全等的矩形，，是的中点．若，证明：平面若是等边三角形，求点到平面的距离．）八\13. 如图所示为一个半圆柱，为半圆弧上一点， .若，求四棱锥的体积的最大值；有三个条件：①；②直线与所成角的正弦值为；③.请你从中选择两个作为条件，求直线与平面所成角的余弦值．(1)C //B 1D 1BD A 1(2)F −BD A 1ABC −A 1B 1C 1ABB 1A 1ACC 1A 1A =2=4A 1A 1B 1E CC 1(1)AB ⊥AC AE ⊥E A 1B 1(2)△ABC A 1AEB 1101E CD CD =5–√(1)AD =25–√E −ABCD (2)4⋅=⋅DE −→−DC −→−EC −→−DC −→−AD BE 23=sin ∠EAB sin ∠EBA 6–√2AD EAB参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1.【答案】D【考点】球的表面积和体积球内接多面体棱锥的结构特征【解析】利用正三棱锥的结构特征，求出外接球的半径，根据求的表面积公式求解.【解答】解：∵三棱锥是正三棱锥，∴．∵，，∴平面，∴，，即，，两两垂直．∵，∴.设外接球的半径为，则，∴球的表面积.故选.2.【答案】B【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】P −AB C PB ⊥AC AM ⊥PB AM ∩AC =A PB ⊥PAC PB ⊥PA PB ⊥PC PA PB PC AB =2PA =PB =PC =2–√R =3×(=6(2R)22–√)2S =4π=6πR 2D根据正方体的性质，准确认清截面的位置特征是解决本题的关键，正六棱锥的外接球的球心在棱锥的高线上，根据底面是正六边形，利用勾股定理可求外接球的半径，至此问题可解.【解答】解：依正方体的性质，当平面过图中棱的中点，，，，，时满足条件.这时截面为正六边形，棱锥为正六棱锥.底面边长，高.设正六棱锥的外接球半径为，则由，得，外接球的表面积.故选.3.【答案】D【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，αE F G H M N −EFGHMNB 1EF =AC =122–√h =D =12B 13–√−EFGHMN B 1R +=()2–√2(−R)3–√2R 2R =53–√6∴=4π=4π×=S 球R 2()53–√6225π3B设为正三角形的中心，易证得平面，则球心在上． 因为正三角形的边长为，所以，又，所以．设三棱锥的外接球的半径为，则，解得．故三棱锥的外接球的表面积．故选．二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）4.【答案】B,C,D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积球内接多面体【解析】利用新定义，对选项逐个判断即可.【解答】解：，由新定义可知，正方体的棱切球的半径为正方体的中心到各棱的距离，故半径为，故错误；，由新定义可知，正四面体的棱切球的球心为正四面体的中心，球心到正四面体的顶点的距离为，故半径为，故棱切球的表面积为，故正确；O ABC PO ⊥ABC O ′PO ABC 43–√OC =4PC =5PO ==3−5242−−−−−−√P −ABC R =+R 242(3−R)2R =256P −ABC S =4π=R 2625π9D A =+()122()122−−−−−−−−−−−−√2–√2A B ×=−12(×)3–√2232−−−−−−−−−−−−−−√346–√4=−()6–√42()122−−−−−−−−−−−−−−√2–√44π×=()2–√42π2B C，由新定义可知，等长正六棱柱的棱切球的球心为等长正六棱柱的中心，故半径为，棱切球的体积为，故正确；，由新定义可知，棱切球在每个面的截面即为该面的棱切圆，故底面的截面面积为，侧面的截面面积为，故截面面积之和为，故正确.故选.5.【答案】C,D【考点】棱台的结构特征棱锥的结构特征棱柱的结构特征【解析】认真审题，首先需要了解棱台的结构特征(①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点)．【解答】解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，符合棱柱的结构特征，所以④是棱柱．故选.6.【答案】A,B,D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析C 1×=4π3134π3CD π×=()122π4π×=(×)3–√2132π12+4×=π4π127π12D BCD CD【解答】解：，当与重合时，三棱锥的外接球的直径为：，则三棱锥的外接球的表面积为：，故正确；，连接，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵是线段上的一动点，∴到平面的距离不变，∴三棱锥的体积不变，∴三棱锥的体积不变，故正确；，直线与平面所成角和直线与平面所成角不相等，则直线与平面所成角发生变化，故错误；，当运动到中点时，的值最小，最小值为：，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）7.【答案】【考点】柱体、锥体、台体的侧面积和表面积【解析】左侧图片未给出解析．【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，因为圆锥的侧面展开图为半圆，所以，解得.因为圆锥的表面积为，所以，解得，，.如图，设内接圆柱的底面半径为，高为，A P C 1P −ACD =++3–√23–√212−−−−−−−−−−−−−√7–√P −ACD 4×π×(=7π7–√2)2AB AD 1AB//D 1C 1AB =D 1C 1ABC 1D 1B //A C 1D 1B ⊂C 1ACD 1A ⊂D 1ACD 1B //C 1ACD 1P BC 1P ACD 1P −ACD 1A −PCD 1B C AB ACD 1AC 1ACD 1AP ACD 1C D P BC 1AP +PC +=3+(+(3–√23–√2)212)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√(+(3–√2)212)2−−−−−−−−−−−√D ABD 2r l h πl =2πr l =2r 48ππ+π=48π12l 2r 2r =4l =8h =43–√R a则，所以，内接圆柱的侧面积，当时，有最大值，故答案为：．8.【答案】【考点】柱体、锥体、台体的体积计算旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】连接.取上靠近的三等分点，取中点，连接，利用圆台性质及几何体体积的求法即可得到结果.【解答】解：连接.取上靠近的三等分点，取中点，连接，由圆台的性质知平面，因此，∵平面，∴，∴为直角三角形，∴，∴也为的三等分点，,∴平面，即上底面，，∴四面体的体积为=a43–√4−R 4a =(4−R)3–√S =2πRa =2π[−(R −2+4]3–√)2R =2S 282–√3AB AB A P EF O DC,CO,OP,PD AB AB A P EF O DC,CO,OP,PD DP ⊥ABE DP =h ==2A −D 2(AB)132−−−−−−−−−−−−−−√AD ⊥DEF AD ⊥DO △ADO AO =4，DP =2O AB OP =2CO ⊥ABE CO ⊥EF =2=4−(AB)122(PO)122−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2–√CDEF=⋅DC ⋅=×2××EF ×OCV D−CEF 13S △CEF 1312×2×EF =×2×4=8–√.故答案为：.9.【答案】【考点】球的表面积和体积圆锥表面积的有关计算由三视图求表面积【解析】根据已知条件求得圆锥底面半径与球半径的关系，进而根据几何体的特征得到球心到圆锥底面的距离与球半径的关系，进而可以得出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．【解答】设球半径为，则球的表面积为，则两圆锥的底面积为所以圆锥的底面半径”满足，即，由几何体的特征，设球心到圆锥底面的距离为，则有，所以，所以体积较小的圆锥的高为，体积较大的圆锥的高为，因此体积较小者的高与体积较大者的高的比值为故答案为：四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）10.【答案】解：，，，，，.=×2×EF =×2×4=13132–√82–√382–√314R 4πR 2×4π=425R 216πR 225π=r 216πR 225r =R 45d =+R 2r 2d 2d =R 35R −d =R 25R +d =R 85R =251414(1)π=×4πr 2316R 2r =R 3–√2O ==R O 1−R 2r 2−−−−−−√12=B =BO +O =R +R =R h 大O 1O 11232=A =OA −O =R −R =R h 小O 1O 11212:=:=3:1V 大V 小h 大h 小+):=(π+π):π114．【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，，，.．11.【答案】解：如图，连接，设，则为的中点，而为的中点，连接，则为的中位线．∴ ．又，，平面，∴平面平面 .连接，，，(2)(+):=(π+π):πV 大V 小V 球13r 2h 大13r 2h 小43R 3=:=⋅=r 2h 小R 3r 2R 2h 小R 38(1)π=×4πr 2316R 2r =R 3–√2O ==R O 1−R 2r 2−−−−−−√12=B =BO +O =R +R =R h 大O 1O 11232=A =OA −O =R −R =R h 小O 1O 11212:=:=3:1V 大V 小h 大h 小(2)(+):=(π+π):πV 大V 小V 球13r 2h 大13r 2h 小43R 3=:=⋅=r 2h 小R 3r 2R 2h 小R 38(1)AD 1A ∩D =H D 1A 1H AD 1E AC EH EH △ACD 1EH//CD 1//BD B 1D 1∩C =B 1D 1D 1D 1EH ⊂BD A 1C //B 1D 1BD A 1(2)E A 1EF A 1C 1ABCD −A B C D∵四棱柱的侧棱与底面垂直，∴，∵，为的中点，∴ .又，∴平面，∴，且，由，，，得，，，，，，∴，即，又，∴平面，∵ . ∴三棱锥的体积为：. 【考点】平面与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】【解答】解：如图，连接，设，则为的中点，而为的中点，连接，则为的中位线．∴ ．又，，平面，∴平面平面 .连接，，，∵四棱柱的侧棱与底面垂直，∴，ABCD −A 1B 1C 1D 1A ⊥DE A 1AD =DC E AC AC ⊥DE A ∩AC =A A 1DE ⊥A C A 1C 1DE ⊥EF DE ⊥E A 1AC =22–√A =AD =DC =2A 1BE =2–√2∠ADC =90∘DE =2–√E =A 16–√EF =3–√F =3A 1BD =32–√2+E =A 1E 2F 2A 1F 2EF ⊥E A 1E ∩DE =E A 1EF ⊥BD A 1=×E ×BD =××=S △BD A 112A 1126–√32–√233–√2F −BD A 1V =×EF ×=××=13S △BD A 1133–√33–√232(1)AD 1A ∩D =H D 1A 1H AD 1E AC EH EH △ACD 1EH//CD 1//BD B 1D 1∩C =B 1D 1D 1D 1EH ⊂BD A 1C //B 1D 1BD A 1(2)E A 1EF A 1C 1ABCD −A 1B 1C 1D 1A ⊥DE A 1AD =DC AC∵，为的中点，∴ .又，∴平面，∴，且，由，，，得，，，，，，∴，即，又，∴平面，∵ .∴三棱锥的体积为：.12.【答案】【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】【解答】13.【答案】解：在平面内作于点，因为平面平面，平面平面，AD =DC E AC AC ⊥DE A ∩AC =A A 1DE ⊥A C A 1C 1DE ⊥EF DE ⊥E A 1AC =22–√A =AD =DC =2A 1BE =2–√2∠ADC =90∘DE =2–√E =A 16–√EF =3–√F =3A 1BD =32–√2+E =A 1E 2F 2A 1F 2EF ⊥E A 1E ∩DE=E A 1EF ⊥BD A 1=×E ×BD =××=S △BD A 112A 1126–√32–√233–√2F −BD A 1V =×EF ×=××=13S △BD A 1133–√33–√232(1)EDC EF ⊥CD F ABCD ⊥EDC ABCD∩EDC =DCABCD所以平面.因为为半圆弧上一点，所以，所以 .因为，所以，当且仅当时等号成立，所以四棱锥的体积的最大值为．由条件①得：，即，所以.又因为，所以，.由条件②得：因为，平面，所以为直线与所成角，且，.由条件③得：.设，则，若选条件①②，则，，且，所以；若选条件①③，则，，且，所以；若选条件②③，则，且，，所以.即从①②③任选两个作为条件，都可以得到，下面求与平面所成角的余弦值：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，EF ⊥ABCD E CD CE ⊥ED =⋅⋅EF V E−ABCD 13S ABCD=××2×135–√5–√CE ⋅ED CD =⋅CE ⋅ED 25–√3C +E =C =5E 2D 2D 2≤×=×=V E−ABCD 25–√3C +E E 2D 2225–√35255–√3CE =ED =10−−√2E −ABCD 55–√3(2)4||||cos ∠CDE =||||cos ∠DCE DE −→−DC −→−CE −→−DC −→−4D =C E 2E 22DE =CE D +C =5E 2E 2DE =1CE =2AD//BC BC ⊥DCE ∠CBE AD BE sin ∠CBE ==23CE BE =tan ∠CBE =CE BC 25–√==sin ∠EAB sin ∠EBA EB EA 6–√2AD =x =+C x 2E 2+D x 2E 232DE =1CE =2=tan ∠CBE =CE BC 25–√AD =BC =5–√DE =1CE =2=+C x 2E 2+D x 2E 232AD =BC =x =5–√=tan ∠CBE =CE x 25–√=+C x 2E 2+D x 2E 232D +C =5E 2E 2AD =BC =x =5–√AD =BC =5–√AD EAB A则，，，所以，.设平面的法向量为，则令，则，所以 .因为与平面所成角为，所以与平面所成角的余弦值为．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算基本不等式在最值问题中的应用用空间向量求直线与平面的夹角【解析】无无【解答】解：在平面内作于点，B (,0,0)5–√D (0,0,)5–√E (,,)5–√525–√55–√=(,,)AE −→−5–√525–√55–√=(,0,0)AB −→−5–√EAB =(x,y,z)m → x +y +z =0,5–√525–√55–√x =0,5–√z =1=(0,−,1)m →52cos , ==AD −→−m →5–√×5–√1+254−−−−−√229−−√AD EAB − , π2AD −→−m →AD EAB 529−−√29(1)EDC EF ⊥CD F因为平面平面，平面平面，所以平面.因为为半圆弧上一点，所以，所以.因为，所以，当且仅当时等号成立，所以四棱锥的体积的最大值为．由条件①得：，即，所以.又因为，所以，.由条件②得：因为，平面，所以为直线与所成角，且，.由条件③得：.设，则，若选条件①②，则，，且，所以；若选条件①③，则，，且，所以；若选条件②③，则，ABCD ⊥EDC ABCD∩EDC =DC EF ⊥ABCD E CD CE ⊥ED =⋅⋅EF V E−ABCD 13S ABCD=××2×135–√5–√CE ⋅ED CD=⋅CE ⋅ED 25–√3C +E =C =5E 2D 2D 2≤×=×=V E−ABCD 25–√3C +E E 2D 2225–√35255–√3CE =ED =10−−√2E −ABCD 55–√3(2)4||||cos ∠CDE =||||cos ∠DCE DE −→−DC −→−CE −→−DC −→−4D =C E 2E 22DE =CE D +C =5E 2E 2DE =1CE =2AD//BC BC ⊥DCE ∠CBE AD BE sin ∠CBE ==23CE BE =tan ∠CBE =CE BC 25–√==sin ∠EABsin ∠EBA EB EA 6–√2AD =x =+C x 2E 2+D x 2E 232DE =1CE =2=tan ∠CBE =CE BC 25–√AD =BC =5–√DE =1CE =2=+C x 2E 2+D x 2E 232AD =BC =x =5–√=tan ∠CBE =CE x 25–√+C 22且，，所以.即从①②③任选两个作为条件，都可以得到，下面求与平面所成角的余弦值：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，.设平面的法向量为，则令，则，所以 .因为与平面所成角为，所以与平面所成角的余弦值为．=+C x 2E 2+D x 2E 232D +C =5E 2E 2AD =BC =x =5–√AD =BC =5–√AD EAB A B (,0,0)5–√D (0,0,)5–√E (,,)5–√525–√55–√=(,,)AE −→−5–√525–√55–√=(,0,0)AB −→−5–√EAB =(x,y,z)m → x +y +z =0,5–√525–√55–√x =0,5–√z =1=(0,−,1)m →52cos , ==AD −→−m →5–√×5–√1+254−−−−−√229−−√AD EAB − , π2AD −→−m →AD EAB 529−−√29。
高中数学 《同步测试》及参考答案(理)
同步测试及参考答案第1卷一、选择题1、已知全集,则集合( )A.B.C.D.2、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为[ ] A.B.C.D. 53、对二次函数(为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.是的零点B.是的极值点C.是的极值D.点在曲线上4、如图,某港口一天时到时的水深变化曲线近似满足函数,据此函数可知,这段时间水深(单位:)的最大值为( )A.5B.6C.8D.105、二项式的展开式中的系数为15，则（）A．4 B．5 C．6 D．76、根据右边的图，当输入为时，输出的（）A．28 B．10 C．4 D．27、某企业生产甲、乙两种产品均需用,两种原料.已知生产吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产吨甲、乙产品可获利润分别为万元、万元,则该企业每天可获得最大利润为( )((A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元8、某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A.93B.123C.137D.1679、设,若,, ,则下列关系式中正确的是( )A.B.C.D.10、设复数，若，则的概率（）A．B．C．D．11、“”是“”的（）D．既不充分也不必要A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件条件12、对任意向量,下列关系式中不恒成立的是( )A.B.C.D.13、设复数(,)的模为,则.14、在中,,,的角平分线,则_______.15、中位数为的一组数构成等差数列,其末项为,则该数列的首项为.16、已知,函数(的图像连续不断)(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)当时,证明:存在,使;(Ⅲ)若存在均属于区间的,且,使,证明.17、如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点分别为弦与弦上的点,且,四点共圆.1.证明:是外接圆的直径;2.若,求过四点的圆的面积与外接圆面积的比值.18、已知函数,1.求的最小正周期和最大值;2.讨论在上的单调性.19、在数列中,,1.若,,求数列的通项公式;2.若,,证明.20、已知函数.1.当时,求不等式的解集;2.若的解集包含,求的取值范围.21、如图,三棱锥中,平面,,,分别为线段,上的点,且,.1.证明:平面;2.求二面角的余弦值.22、在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线的方程为.1.求圆的普通方程及直线的直角坐标方程;2.设圆心到直线的距离等于,求的值.23、如图所示,椭圆的左、右焦点分别为,,过的直线交椭圆,两点, 且.1.若,,求椭圆的标准方程;2.若,求椭圆的离心率.24、设函数.1.若在处取得极值,确定的值,并求此时曲线在点处的切线方程;2.若在上为减函数,求的取值范围.参考答案一、选择题1.答案： C2.答案： B3.答案： A解析：由A知；由B知，令可得，则，则；由D知.假设A选项错误，则，得，满足题意，故A结论错误.同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A.4.答案： C解析：由图象知:,因为,所以,解得:,所以这段时间水深的最大值是,故选C.5.答案： C解析：二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．二项式定理．6.答案： B解析：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：；第3次运行：；；第1003次运行：；第1004次运行：．不满足条件，停止运行，所以输出的，故选B．程序框图．7.答案： D解析：根据题意,设每天生产甲产品吨,乙吨,则,目标函数为,作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线并平移,易知当直线经过点时,取得最大值且,故该企业每天可获得最大利润为万元, 选D.8.答案： C解析：由图可知该校女教师的人数为故答案选C考点:概率与统计.9.答案： C解析：;;;因为,由是递增函数,,所以,故答案选C.考点:函数单调性的应用. 10.答案： C解析：如图可求得,，阴影面积等于，若，则的概率，故答案选考点：1.复数的模长；2.几何概型.11.答案： A解析：由可得，反之当时，所以．“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件12.答案： B解析：对于A选项,设向量的夹角为,∵,∴A 选项正确;对于B选项,∵当向量反向时,,∴B 选项错误;对于C选项,由向量的平方等于向量模的平方可知,C选项正确;对于D选项,根据向量的运算法则,可推导出,故D选项正确,综上选B.二、填空题13.答案： 3解析：复数(,)的模为,则,所以.14.答案：解析：由正弦定理得,即,解得,从而,所以,.15.答案： 5解析：设首项为,由题意,中位数为,的等差中项,∴,∴.三、解答题16.答案：(Ⅰ)解:, 令.当x变化时,的变化情况如下表:所以,的单调递增区间是的单调递减区间是(Ⅱ)证明:当由(Ⅰ)知在(0,2)内单调递增,在内单调递减.令由于在(0,2)内单调递增,故取所以存在即存在(Ⅲ)证明:由及(Ⅰ)的结论知,从而上的最小值为又由,知故从而17.答案： 1.证明:因为为外接圆的切线,所以由题设知,故,所以.因为四点共圆,所以,故.所以因此是外接圆的直径.2.连接,因为,所以过四点的圆的直径为,由,有,又,所以.而,故过四点的圆的面积与外接圆面积的比值为.18.答案：1.,因此的最小正周期为,最大值为。
全国高三高中数学同步测试带答案解析
全国高三高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知y ＝f(x)是奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)＝ln x －ax ，当x ∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a 的值等于________．2.函数f(x)＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________．3.已知函数f(x)＝ln x ＋2x ，若f(x 2＋2)<f(3x)，则实数x 的取值范围是________．4.电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝x 3－x 2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．5.函数f(x)＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________．二、解答题1.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m 的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内)，D 为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A(0,4)，另一端点C(3,1)，点B(2,0)，单位：m.(1)求助跑道所在的抛物线方程；(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m 到6 m 之间(包括4 m 和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围． (注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)2.已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xln a(a>0，a≠1)．(1)求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调增区间；(3)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1(e 是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．3.已知函数f(x)＝ax 2＋1，g(x)＝x 3＋bx ，其中a>0，b>0.(1)若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x) 在它们的交点P(2，c)处有相同的切线(P 为切点)，求实数a ，b 的值；(2)令h (x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)的单调减区间为.①求函数h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值M(a)； ②若|h(x)|≤3在x ∈[－2,0]上恒成立，求实数a 的取值范围．4.设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a 和函数h(x)，其中h(x)对任意的x ∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x 2－ax ＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．(1)设函数f(x)＝ln x ＋ (x ＞1)，其中b 为实数．①求证：函数f(x)具有性质P(b)； ②求函数f(x)的单调区间；(2)已知函数g(x)具有性质P(2)．给定x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，设m 为实数，α＝mx 1＋(1－m)x 2，β＝(1－m)x 1＋mx 2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x 1)－g(x 2)|，求m 的取值范围．5.记函数f n (x)＝a·x n －1(a ∈R ，n ∈N *)的导函数为f′n (x)，已知f′3(2)＝12.(1)求a 的值；(2)设函数g n (x)＝f n (x)－n 2ln x ，试问：是否存在正整数n 使得函数g n (x)有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由；(3)若实数x 0和m(m>0且m≠1)满足＝，试比较x 0与m 的大小，并加以证明．6.已知f(x)是定义在集合M 上的函数．若区间D ⊆M ，且对任意x 0∈D ，均有f(x 0)∈D ，则称函数f(x)在区间D 上封闭．(1)判断f(x)＝x －1在区间[－2,1]上是否封闭，并说明理由；(2)若函数g(x)＝在区间[3,10]上封闭，求实数a 的取值范围；(3)若函数h(x)＝x 3－3x 在区间[a ，b](a ，b ∈Z ，且a≠b)上封闭，求a ，b 的值．全国高三高中数学同步测试答案及解析一、填空题1.已知y ＝f(x)是奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)＝ln x －ax，当x ∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a 的值等于________．【答案】1【解析】由题意知，当x ∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.令f′(x)＝－a ＝0，得x ＝， 当0<x<时，f′(x)>0； 当x>时，f′(x)<0.∴f(x)max ＝f＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.2.函数f(x)＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________．【答案】20【解析】因为f′(x)＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f′(x)＝0，得x ＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max ＝1，f(x)min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max －f(x)min ≤t ，从而t≥20，所以t 的最小值是20.3.已知函数f(x)＝ln x ＋2x ，若f(x 2＋2)<f(3x)，则实数x 的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】由f(x)＝ln x ＋2x ，x ∈(0，＋∞)得f′(x)＝＋2x ln 2>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(x 2＋2)<f(3x)， 得0<x 2＋2<3x ，所以x ∈(1,2)．4.电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝x 3－x 2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．【答案】40【解析】由y′＝x 2－39x －40＝0，得x ＝－1或x ＝40，由于0<x<40时，y′<0；当x>40时，y′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．5.函数f(x)＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，0)【解析】f(x)＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f′(x)＝0有两个不等实根．∵f(x)＝ax 3＋x ，∴f′(x)＝3ax 2＋1.要使f′(x)＝0有两个不等实根，则a<0.二、解答题1.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m 的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内)，D 为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A(0,4)，另一端点C(3,1)，点B(2,0)，单位：m.(1)求助跑道所在的抛物线方程；(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m 到6 m 之间(包括4 m 和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围． (注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)【答案】（1）f(x)＝x 2－4x ＋4，x ∈[0,3]（2）2 m 到3 m 之间【解析】解：(1)设助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝a 0x 2＋b 0x ＋c 0，依题意解得 a 0＝1，b 0＝－4，c 0＝4，所以助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝x 2－4x ＋4，x ∈[0,3]．(2)设飞行轨迹所在抛物线为g(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)，依题意， 即，解得所以g(x)＝ax 2＋(2－6a)x ＋9a －5＝a2＋1－. 令g(x)＝1，得2＝. 因为a<0，所以x ＝－＝3－. 当x ＝时，g(x)有最大值，为 1－， 则运动员的飞行距离d ＝3－－3＝－，飞行过程中距离平台最大高度h ＝1－－1＝－，依题意，4≤－≤6，即2≤－≤3， 即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2 m 到3 m 之间．2.已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xln a(a>0，a≠1)．(1)求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调增区间；(3)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1(e 是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．【答案】（1）y ＝1（2）(0，＋∞)（3）【解析】解：(1)因为函数f(x)＝a x ＋x 2－xln a(a>0)，a≠1)，所以f′(x)＝a x ln a ＋2x －ln a ，f′(0)＝0，又因为f(0)＝1，所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝1.(2)由(1)知f′(x)＝a x ln a ＋2x －ln a＝2x ＋(a x －1)ln a.因为当a>0，a≠1时，总有f′(x)在R 上是增函数，又f′(0)＝0，所以不等式f′(x)>0的解集为(0，＋∞)，故函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．(3)因为存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1成立，而当x 1，x 2∈[－1,1]时，|f(x 1)－f(x 2)|≤f(x)max －f(x)min ，所以只要f(x)max －f(x)min ≥e －1即可．当x 变化时，f′(x) ，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在[－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当x ∈[－1,1]时，f(x)的最小值f(x)min ＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)max 为f(－1)和f(1)中的最大值．f(1)－f(－1)＝(a ＋1－ln a)－＝a －－2ln a.令g(a)＝a －－2ln a(a>0)，因为g′(a)＝1＋－＝2≥0， 所以g(a)＝a －－2ln a 在a ∈(0，＋∞)上是增函数.而g(1)＝0，故当a>1时，g(a)>0，即f(1)>f(－1)；当0<a<1时，g(a)<0，即f(1)<f(－1)．所以当a>1时，f(1)－f(0)≥e －1，即a －ln a≥e －1，易得函数y ＝a －ln a 在a ∈(1，＋∞)上是增函数，解得a≥e ； 当0<a<1时，f(－1)－f(0)≥e －1，即＋ln a≥e －1，易得函数y ＝＋ln a 在a ∈(0,1)上是减函数，解得0<a≤. 综上可知，实数a 的取值范围为.3.已知函数f(x)＝ax 2＋1，g(x)＝x 3＋bx ，其中a>0，b>0.(1)若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x) 在它们的交点P(2，c)处有相同的切线(P 为切点)，求实数a ，b 的值；(2)令h (x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)的单调减区间为.①求函数h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值M(a)； ②若|h(x)|≤3在x ∈[－2,0]上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）a ＝，b ＝5 （2）①M(a)＝② 【解析】解：(1)由P(2，c)为公共切点，f(x)＝ax 2＋1，g(x)＝x 3＋bx(a>0)，得f′(x)＝2ax，k＝4a，1＝12＋b.g′(x)＝3x2＋b，k2又f(2)＝4a＋1，g(2)＝8＋2b，所以，解得a＝，b＝5.(2)①h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，则h′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为函数f(x)＋g(x)的单调减区间为，所以x∈时，有3x2＋2ax＋b≤0恒成立．此时x＝－是方程3x2＋2ax＋b＝0的一个根，所以32＋2a＋b＝0，得a2＝4b，所以h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1.又函数h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．若－1≤－，即a≤2时，最大值为h(－1)＝a－；若－<－1<－时，即2<a<6时，最大值为h＝1；若－1≥－时，即a≥6时，最大值为h＝1，综上所述，M(a)＝②由①可知h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．所以h为极大值，h＝1，h为极小值，h＝－＋1，因为|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，又h(0)＝1，所以即解得故实数a的取值范围是.4.设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a 和函数h(x)，其中h(x)对任意的x ∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x 2－ax ＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．(1)设函数f(x)＝ln x ＋ (x ＞1)，其中b 为实数．①求证：函数f(x)具有性质P(b)； ②求函数f(x)的单调区间；(2)已知函数g(x)具有性质P(2)．给定x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，设m 为实数，α＝mx 1＋(1－m)x 2，β＝(1－m)x 1＋mx 2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x 1)－g(x 2)|，求m 的取值范围．【答案】（1）当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；当b ＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，)，单调增区间为(，＋∞)． （2）(0,1)【解析】解：(1)由f(x)＝ln x ＋，得f′(x)＝. ①证明：因为x ＞1时，h(x)＝＞0，所以函数f(x)具有性质P(b)．②当b≤2时，由x ＞1得x 2－bx ＋1≥x 2－2x ＋1＝(x －1)2＞0，所以f′(x)＞0.从而函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．当b ＞2时，令x 2－bx ＋1＝0得x 1＝，x 2＝. 因为x 1＝＝＜＜1，x 2＝＞1， 所以当x ∈(1，x 2)时，f′(x)＜0；当x ∈(x 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x ＝x 2时，f′(x)＝0.从而函数f(x)在区间(1，x 2)上单调递减，在区间(x 2，＋∞)上单调递增．综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；当b ＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，)，单调增区间为(，＋∞)．(2)由题设知，g(x)的导函数g′(x)＝h(x)(x 2－2x ＋1)，其中函数h(x)＞0对于任意的x ∈(1，＋∞)都成立，所以当x ＞1时，g′(x)＝h(x)(x －1)2＞0，从而g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．①当m ∈(0,1)时，有α＝mx 1＋(1－m)x 2＞mx 1＋(1－m)x 1＝x 1，α＜mx 2＋(1－m)x 2＝x 2，即α∈(x 1，x 2)，同理可得β∈(x 1，x 2)．所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x 1)，g(x 2))，从而有|g(α)－g(β)|＜|g(x 1)－g(x 2)|，符合题意．②当m≤0时，α＝mx 1＋(1－m)x 2≥mx 2＋(1－m)x 2＝x 2，β＝(1－m)x 1＋mx 2≤(1－m)x 1＋mx 1＝x 1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x 1)＜g(x 2)≤g(α)，所以|g(α)－g(β)|≥|g(x 1)－g(x 2)|，与题意不符．③当m≥1时，同理可得α≤x 1，β≥x 2，进而得|g(α)－g(β)|≥|g(x 1)－g(x 2)|，与题意不符．综上所述，所求的m 的取值范围为(0,1)．5.记函数f n (x)＝a·x n －1(a ∈R ，n ∈N *)的导函数为f′n (x)，已知f′3(2)＝12.(1)求a 的值；(2)设函数g n (x)＝f n (x)－n 2ln x ，试问：是否存在正整数n 使得函数g n (x)有且只有一个零点？若存在，请求出所有n 的值；若不存在，请说明理由；(3)若实数x 0和m(m>0且m≠1)满足＝，试比较x 0与m 的大小，并加以证明．【答案】（1）a ＝1 （2）存在n ＝1，使得函数g n (x)有且只有一个零点．（3）见解析【解析】解：(1)f 3′(x)＝3ax 2，由f 3′(2)＝12得a ＝1.(2)g n (x)＝x n －n 2ln x －1，g′n (x)＝nx n －1－＝.因为x>0，令g n ′(x)＝0得x ＝， 当x>时，g n ′(x)>0，g n (x)是增函数； 当0<x<时，g n ′(x)<0，g n (x)是减函数． 所以当x ＝时，g n (x)有极小值，也是最小值，g n ()＝n －nln n －1.当x→0时，g n (x)→＋∞；当x→＋∞时，g n (x)→＋∞.当n≥3时，g n ()＝n(1－ln n)－1<0，函数g n (x)有两个零点；当n ＝2时，g n ()＝－2ln 2＋1<0，函数g n (x)有两个零点；当n ＝1时，g n ()＝0，函数g n (x)有且只有一个零点．综上所述，存在n ＝1，使得函数g n (x)有且只有一个零点．(3)f n ′(x)＝n·x n －1.因为＝，所以＝， 解得x 0＝. 则x 0－m ＝，当m>1时，(n ＋1)(m n －1)>0.设h(x)＝－x n ＋1＋x(n ＋1)－n(x≥1)，则h′(x)＝－(n ＋1)x n ＋n ＋1＝－(n ＋1)·(x n －1)≤0，当且仅当x ＝1时取等号， 所以h(x)在[1，＋∞)上是减函数．又m>1，所以h(m)<h(1)＝0，所以x 0－m<0，所以x 0<m.当0<m<1时，(n ＋1)(m n －1)<0.设h(x)＝－x n ＋1＋x(n ＋1)－n(0<x≤1)，则h′(x)＝－(n ＋1)x n ＋n ＋1＝－(n ＋1)·(x n －1)≥0，当且仅当x ＝1时取等号，所以h(x)在(0,1]上是增函数． 又因为0<m<1，所以h(m)<h(1)＝0，所以x 0－m>0，所以x 0>m.综上所述，当m>1时，x 0<m ，当0<m<1时，x 0>m.6.已知f(x)是定义在集合M 上的函数．若区间D ⊆M ，且对任意x 0∈D ，均有f(x 0)∈D ，则称函数f(x)在区间D 上封闭．(1)判断f(x)＝x －1在区间[－2,1]上是否封闭，并说明理由；(2)若函数g(x)＝在区间[3,10]上封闭，求实数a 的取值范围；(3)若函数h(x)＝x 3－3x 在区间[a ，b](a ，b ∈Z ，且a≠b)上封闭，求a ，b 的值．【答案】（1）函数f(x)在区间[－2,1]上不是封闭的（2）[3,31]（3）a ＝－2，b ＝2【解析】解：(1)因为函数f(x)＝x －1在区间[－2,1]上单调递增，所以当x ∈[－2,1]时，f(x)的值域为[－3,0]．而[－3,0]⊄[－2,1]，所以函数f(x)在区间[－2,1]上不是封闭的．(2)因为g(x)＝＝3＋.①当a ＝3时，函数g(x)＝3，显然{3}⊆[3,10]，故a ＝3满足题意；②当a>3时，在区间[3,10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的值域为.由⊆[3,10]得，解得3≤a≤31，故3<a≤31；③当a<3时，在区间[3,10]上，有g(x)＝3＋<3，不合题意．综上所述，实数a的取值范围是[3,31]．(3)因为h(x)＝x3－3x，所以h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．因为当x<－1或x>1时，h′(x)>0；当x＝－1或x＝1时，h′(x)＝0；当－1<x<1时，h′(x)<0，所以函数h(x)在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．从而h(x)在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2.由题意知即解得因为a<b，所以－2≤a≤0,0≤b≤2.又a，b∈Z，故a只可能取－2，－1,0，b只可能取0,1,2.①当a＝－2时，因为b>0，故由h(－1)＝2得b≥2，因此b＝2.经检验，a＝－2，b＝2符合题意；②当a＝－1时，由h(－1)＝2，得b＝2，此时h(1)＝－2∉[－1,2]，不符合题意；③当a＝0时，显然不符合题意．综上所述，a＝－2，b＝2.。
全国高三高中数学同步测试带答案解析
全国高三高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f′(x)>g′(x),则当a<x<b 时,有( ) A ．f(x)>g(x) B ．f(x)<g(x)C ．f(x)+g(a)>g(x)+f(a)D ．f(x)+g(b)>g(x)+f(b)2.若0<x<,则4x 与3sin2x 的大小关系是( ) A ．4x>3sin2x B ．4x<3sin2x C ．4x=3sin2xD ．与x 的取值有关3.在半径为R 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是( )A ．πR3B ．πR3C ．πR 3D ．πR34.已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<e x 的解集为( ) A ．(-2,+∞) B ．(0,+∞) C ．(1,+∞) D ．(4,+∞)5.函数y=2x 3+1的图象与函数y=3x 2-b 的图象有三个不相同的交点,则实数b 的取值范围是( ) A ．(-2,-1) B ．(-1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)6.函数y=xlnx 在区间(0,1)上是( ) A ．单调增函数B ．在(0,)上是减函数,在(,1)上是增函数C ．单调减函数D ．在(0,)上是增函数,在(,1)上是减函数二、填空题1.已知函数f(x)=xsinx,x ∈R,f(-4),f(),f(-)的大小关系为 (用“<”连接).2.已知f(x)=x 3-3x+m 在区间[0,2]上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形,则m 的取值范围是 .3.设函数f(x)=,g(x)=,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),不等式≤恒成立,则正数k 的取值范围是 .三、解答题1.已知两函数f(x)=8x 2+16x-k,g(x)=2x 3+5x 2+4x,其中k 为实数. (1)对任意x ∈[-3,3]都有f(x)≤g(x)成立,求k 的取值范围. (2)存在x ∈[-3,3]使f(x)≤g(x)成立,求k 的取值范围.(3)对任意x 1,x 2∈[-3,3]都有f(x 1)≤g(x 2),求k 的取值范围. 2.已知函数f(x)=x 3-3x. (1)求函数f(x)的单调区间.(2)求函数f(x)在区间[-3,2]上的最值.3.某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=10000+20x,每日的销售额R(单位:元)与日产量x 满足函数关系式R=已知每日的利润y=R-C,且当x=30时,y=-100. (1)求a 的值.(2)求当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值. 4.已知函数f(x)=x 3-x 2+ax-a(a ∈R).(1)当a=-3时,求函数f(x)的极值.(2)若函数f(x)的图象与x 轴有且只有一个交点,求a 的取值范围.全国高三高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f′(x)>g′(x),则当a<x<b 时,有( ) A ．f(x)>g(x) B ．f(x)<g(x)C ．f(x)+g(a)>g(x)+f(a)D ．f(x)+g(b)>g(x)+f(b)【答案】C【解析】∵f'(x)>g'(x),∴[f(x)-g(x)]'>0, ∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数. ∴f(a)-g(a)<f(x)-g(x), 即f(x)+g(a)>g(x)+f(a).2.若0<x<,则4x 与3sin2x 的大小关系是( ) A ．4x>3sin2x B ．4x<3sin2x C ．4x=3sin2xD ．与x 的取值有关【答案】D【解析】令2x=t,因为0<x<, 所以t ∈(0,).则4x=2t,3sin2x=3sint, 令f(t)=2t-3sint, 则f'(t)=2-3cost,由f'(t)=2-3cost>0,得t>arccos , 由f'(t)=2-3cost<0,得t<arccos ,因此2t 与3sint 的大小与t 的取值有关,亦即4x 与3sin2x 的大小与x 在区间(0,)上的取值有关,故选D.3.在半径为R的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是()A．πR3B．πR3C．πR3D．πR3【答案】A【解析】设圆柱的高为h,则圆柱的底面半径为,圆柱的体积为V=π(R2-h2)h=-πh3+πR2h(0<h<R),V'=-3πh2+πR2=0,则h=时V有最大值为V=πR3.4.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<e x的解集为()A．(-2,+∞)B．(0,+∞)C．(1,+∞)D．(4,+∞)【答案】B【解析】因为f(x+2)为偶函数,所以f(2-x)=f(x+2),因此f(0)=f(4)=1.令h(x)=,则原不等式即为h(x)<h(0).又h'(x)==,依题意f'(x)<f(x),故h'(x)<0,因此函数h(x)在R上是减函数,所以由h(x)<h(0)得x>0.5.函数y=2x3+1的图象与函数y=3x2-b的图象有三个不相同的交点,则实数b的取值范围是()A．(-2,-1)B．(-1,0)C．(0,1)D．(1,2)【答案】B【解析】由题意知方程2x3+1=3x2-b,即2x3-3x2+1=-b有三个不相同的实数根,令f(x)=2x3-3x2+1,即函数y=f(x)=2x3-3x2+1与直线y=-b有三个交点.由f'(x)=6x2-6x=6x(x-1)知,函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(0)是函数的极大值,f(1)是函数的极小值,若函数y=f(x)=2x3-3x2+1与直线y=-b有三个交点,则f(1)<-b<f(0),解得-1<b<0.6.函数y=xlnx在区间(0,1)上是()A．单调增函数B．在(0,)上是减函数,在(,1)上是增函数C．单调减函数D．在(0,)上是增函数,在(,1)上是减函数【答案】B【解析】∵y'=lnx+1,由y'=0,得x=.当x∈(0,)时,y'<0,当x∈(,1)时,y'>0,故选B.二、填空题1.已知函数f(x)=xsinx,x ∈R,f(-4),f(),f(-)的大小关系为 (用“<”连接). 【答案】f()<f(-4)<f(-)【解析】f'(x)=sinx+xcosx, 当x ∈[,]时,sinx<0,cosx<0, ∴f'(x)=sinx+xcosx<0,则函数f(x)在x ∈[,]时为减函数, ∴f()<f(4)<f(),又函数f(x)为偶函数, ∴f()<f(-4)<f(-).2.已知f(x)=x 3-3x+m 在区间[0,2]上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形,则m 的取值范围是 . 【答案】m>6【解析】f(x)=x 3-3x+m,f'(x) =3x 2-3,由f'(x)=0得到x=1或x=-1,在[0,2]上,函数先减小后增加,计算两端及最小值f(0)=m,f(2)=2+m,f(1)=-2+m.在[0,2]上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边的三角形,三个不同的数a,b,c 对应的f(a),f(b),f(c)可以有两个相同.由三角形两边之和大于第三边,可知最小边长的二倍必须大于最大边长. 由题意知,f(1)=-2+m>0 ① f(1)+f(1)>f(0),得到-4+2m>m ② f(1)+f(1)>f(2),得到-4+2m>2+m ③ 由①②③得到m>6,即为所求.3.设函数f(x)=,g(x)=,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),不等式≤恒成立,则正数k 的取值范围是 . 【答案】{k|k≥1}【解析】∵k 为正数,∴对任意x 1,x 2∈(0,+∞),不等式≤恒成立⇒[]max ≤[]min由g'(x)==0,得x=1,x ∈(0,1)时,g'(x)>0,x ∈(1,+∞)时,g'(x)<0, ∴[]max ==. 同理由f'(x)==0,得x=,x ∈(0,)时,f'(x)<0,x ∈(,+∞)时,f'(x)>0, []min ==,∴≤,k>0k≥1.三、解答题1.已知两函数f(x)=8x 2+16x-k,g(x)=2x 3+5x 2+4x,其中k 为实数. (1)对任意x ∈[-3,3]都有f(x)≤g(x)成立,求k 的取值范围. (2)存在x ∈[-3,3]使f(x)≤g(x)成立,求k 的取值范围.(3)对任意x 1,x 2∈[-3,3]都有f(x 1)≤g(x 2),求k 的取值范围. 【答案】(1) k≥45 (2) k≥-7 (3) k≥141【解析】(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x 3-3x 2-12x+k, 问题转化为x ∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立, 即h(x)min ≥0,x ∈[-3,3].令h'(x)=6x 2-6x-12=0,得x=2或x=-1. ∵h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20, h(3)=k-9,∴h(x)min =k-45≥0,得k≥45.(2)据题意:存在x ∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立, 即为h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3,3]上能成立, ∴h(x)max ≥0.∴h(x)max =k+7≥0,得k≥-7. (3)据题意:f(x)max ≤g(x)min ,x ∈[-3,3],易得f(x)max =f(3)=120-k,g(x)min =g(-3)=-21. ∴120-k≤-21,得k≥141.2.已知函数f(x)=x 3-3x. (1)求函数f(x)的单调区间.(2)求函数f(x)在区间[-3,2]上的最值.【答案】(1) (-1,1) (2) 当x=-3时, 最小值为-18。
高等数学同步测试卷
高等数学同步测试卷《高等数学同步测试卷，这可太难啦！》哎呀呀，你们知道吗？最近我们学校来了个超级大怪兽，它的名字叫“高等数学同步测试卷”！这可把我们这群小学生给难坏啦！一听说要做这个测试卷，我的心就像被一只大手紧紧揪住了一样。
我忍不住问自己：“我能行吗？”这感觉就像是要让一只小猫咪去抓一只大老虎，怎么可能嘛！上课的时候，老师把试卷发到我们手里，那一张张纸仿佛变成了无数的小刺，扎得我手都不敢碰。
我偷偷看了看同桌，他的眉头皱得紧紧的，嘴里还嘟囔着：“这都是啥呀？”我心想，看来他也被这试卷给吓到啦！我硬着头皮开始做题，第一道题就像一座大山横在我面前。
我左思右想，脑袋都快想破了，还是没个头绪。
我忍不住想：“这难道是外星人出的题吗？怎么这么难！”再看看后面的题目，一个比一个复杂，就像一个个迷宫，把我绕得晕头转向。
我抬头看看周围的同学，大家都一脸苦相。
有的咬着笔头，眼睛死死地盯着试卷，好像要把试卷看出个洞来；有的不停地挠着头，头发都快被挠成鸡窝了；还有的干脆趴在桌子上，一副生无可恋的样子。
我小声地问后面的同学：“这题你会做吗？”他无奈地摇摇头说：“我要是会做，还能这么愁吗？”这时候，前面的同学转过头来，一脸沮丧地说：“别说话啦，我一点思路都没有，正烦着呢！”时间一分一秒地过去，我的心也越来越慌。
这试卷就像是个调皮的小恶魔，不停地捉弄着我。
我真想大喊一声：“谁来救救我呀！”终于，考试结束的铃声响了，我把笔一扔，长长地舒了一口气。
可心里还是七上八下的，不知道自己能考几分。
这高等数学同步测试卷，简直就是我们的噩梦！我觉得学习就应该一步一个脚印，像爬楼梯一样，慢慢往上走。
可这试卷一下子就把我们扔到了云端，让我们不知所措。
难道就不能循序渐进，让我们先适应适应吗？反正我觉得这样的测试卷太可怕啦，真希望以后不要再有啦！。
燎原高数高等数学同步测试卷
燎原高数高等数学同步测试卷燎原高数高等数学同步测试卷是一份专门针对高等数学学习者的测试卷，旨在帮助学生检测自己的数学学习情况，并提供有针对性的学习指导。
高等数学作为一门重要的学科，对于理工科专业的学生来说尤为重要。
通过参加这样的测试，学生可以及时发现自己的学习不足，有针对性地进行学习提升。
在燎原高数高等数学同步测试卷中，涵盖了高等数学的各个领域，如微积分、线性代数、概率论等。
通过这些试题，可以全面检测学生对于各个数学领域的掌握情况。
除了基本的知识点考察外，测试卷还注重考察学生的解题能力和分析问题的能力，让学生在实际解题过程中得到锻炼和提高。
参加燎原高数高等数学同步测试卷对于学生来说是一次很好的机会。
首先，通过这样的测试，学生可以了解自己在数学学习中的实际水平，找到自己的不足之处。
其次，测试卷中的试题设计也很贴近实际学习和应用，有助于学生提高解题能力和分析问题的能力。
最重要的是，通过参加这样的测试，学生可以及时调整自己的学习计划，有针对性地提高自己的数学学习水平，为未来的学习和发展打下坚实的基础。
在参加燎原高数高等数学同步测试卷之后，学生应该认真分析自己的得分情况，找出自己的薄弱环节，并着重进行针对性的学习。
可以通过查漏补缺、多做题目、请教老师等方式来提高自己的数学学习水平。
同时，也要时刻保持学习的热情和动力，不断提升自己的数学学习能力。
总的来说，燎原高数高等数学同步测试卷是一份很好的学习资料，对于高等数学学习者来说具有很大的帮助。
通过参加这样的测试，学生可以及时发现自己的学习不足，有针对性地进行学习提升，为未来的学习和发展打下坚实的基础。
希望广大学生能够重视高等数学学习，努力提高自己的数学能力，为未来的发展奠定坚实的基础。
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大连理工大学高等数学(上)期中测试_高等数学同
步测试卷
姓名：__________大连理工大学盘锦校区期中试题学号：
__________任课教师:________课程名称：高等数学A(1)试卷：A考试形式：闭卷学院（系）：_______授课院（系）：基础教学部_考试日期：2016年11月19日试卷共6页_____级_____班一二三四五六七八总分标准分30201010101010100得分装一.填空题(每题6分,共计30分)1.2.3.二.选择题(每题4分,共计20分)2.设均为非负数列，且,,,则必有()(A)对任意成立.(B)对任意成立.(C)极限不存在.(D)极限不存在.3.45证明数列有极限,并求其极限值.四.(10分)设在a点连续,.证明:存在的充分必要条件是五．(10分)1.试给出函数在处可微的定义；2．。
试用微分的定义证明：可微。
六.(10分)设为n个正实数,且证明:(1)(2)。