广义积分的判别法
最新广义积分的收敛判别法
广义积分的收敛判别法第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a, +∞）上的广义积分«Skip收敛的充分必要条件是：«Skip Record If...», 存在A>0, Record If...»使得b, «Skip Record If...»>A时，恒有«Skip Record If...»使用柯西收敛原理立即证明：对«Skip Record If...»«Skip Record If...»得此结论．(«Skip Record If...»为瑕点), 我同样对瑕积分«Skip Record If...»们有定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a, b–«Skip Record If...»]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: «Skip Record If...», «Skip «Skip Record If...»Record If...», 只要0<«Skip Record If...»，就有«Skip Record If...»定义9.5如果广义积分«Skip Record If...»收敛，我们称广义积分«Skip Record If...»绝对收敛（也称f (x )在[a ,+«Skip Record If...»上绝对可积]; 如«Skip Record If...»收敛而非绝对收敛，则称«Skip RecordIf...»条件收敛，也称f (x )在[a ,+«Skip Record If...»上条件可积．由于«Skip Record If...»，均有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分«Skip Record If...»绝对收敛，则广义积分«Skip Record If...»必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
第二节 广义积分的收敛判别法
第二节广义积分的收敛判别法广义积分的收敛与发散是数学分析中的一个重要问题，因为广义积分不同于普通积分，广义积分可能存在收敛性，也可能存在发散性。
对于一个广义积分的收敛与发散，我们需要利用一些收敛判别法来判断，本文将介绍一些广义积分的收敛判别法。
I. 初等判别法对于某个广义积分 $\int_{a}^{\infty} f(x)\mathrm{d}x$，如果能找到一个常数$c>0$，使得 $f(x)\ge c$ 对于所有 $x\ge a$ 成立，则该积分必定发散。
该判别法的原理很简单，因为当 $f(x)\ge c$ 的时候，因为积分极限为从 $a$ 到无穷大，所以它会与一个发散的积分 $\int_{a}^{\infty} c\mathrm{d}x$ 进行比较，由于$f(x)\ge c$，所以 $\int_{n}^{n+1} f(x)\mathrm{d}x\ge c$ 就可以得到最后的结论。
1. 若 $\int_{a}^{\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int_{a}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛IV. 绝对收敛和条件收敛这里需要注意的是，绝对收敛必定收敛，但是条件收敛不一定收敛。
因此，对于一个条件收敛的积分，我们通常需要采用柯西收敛判别法或者达朗贝尔判别法来判断其收敛性。
V. 柯西收敛判别法对于一个条件收敛的广义积分 $\int_{a}^{\infty} f(x)\mathrm{d}x$，如果$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{a}^{b_n} f(x)\mathrm{d}x=0$，则该积分收敛，其中 $b_n$ 是一个单调递增的正数列，且满足$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n=\infty$。
该判别法的原理在于，因为 $|f(x)|\ge |f(x+1)|\ge |f(x+2)|\ge \cdots$，所以可以认为 $|f(x)|$ 随着 $x$ 的增大而逐渐减小，而较小的 $|f(x)|$ 对于积分的影响会相对较小，因此可以利用这个性质来证明广义积分的收敛性。
(5)广义积分敛散性的判别法,
f (x) N ,(a x b) (x a)q
则
b
f (x)dx 发散
a
Cor4.（极限形式）设 f (x) 在区间(a,b]
上连续，且 f (x) 0, lim f (x) xa0
1.如果存在常数0<q<1，使得：
b
lim (x a)q f (x) 存在，则广义积分 f (x)dx
收敛；
a
a
2）如果：当x充分靠近点a时有
lim f (x) 0 f (x) g(x),
xa
b
b
且 f (x)dx 发散则 g(x)dx
a
a
发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的 发散则大的也发散）
补充：无界函数广义积分中p积分的收敛性 与无穷限广义积分情况正好相反
取
g(x)
a
Cor2（与p级数比较的极限形式）
Cor2（极限形式）设 f (x) 在区间
[a, );(a 0) 上连续，且 f (x) 0
则1）当
lim x p f (x), ( p 1)
x
存在时 f (x)dx
a
收敛；
2）当 lim xf (x),( p 1) 存在或为无穷大时， x
f (x)dx
发散；
a
3.级数绝对收敛及其性质
Def：绝对收敛：如果积分 f (x)dx a
收敛，则称积分 f (x)dx 绝对收敛
a
定理：绝对收敛积分必收敛
（ 二）。例题选讲
无穷限广义积分的审敛法
例1 判别广义积分 dx
的敛散性.
1 3 x4 1
广义积分的收敛判别法
ln x x
2019/4/26
b
1 4
1 4
x 0
x ln x x
3 4
1 4
1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
宁波大学教师教育学院 18
三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a
t
f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若
a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A
f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
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柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctanx|−∞0+arctanx|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsinx|−10+arcsinx|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxlnx 是发散的.证明：注意到 limx→0+1lnx=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxlnx. 由于∫1/21dxlnx=∫01/2dtln(1−t),且 ln(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxlnx 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01lnx1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 lnx, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2lnx1−xdx>2∫01/2lnxdx,而∫01/2lnxdx=xlnx|01/2−∫01/2dx=12(ln12−1),则∫01/2lnx1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21lnx1−xdx=∫01/2ln(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln(1−t)t=−1, 则∫1/21lnx1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cosx2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cosx2dx=12∫1+∞costtdt.则|∫ABcosttdt|=|sintt|AB+12sintt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cosx2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cost 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cosx2|dx=12∫mπ(m+1)π|cost|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cost|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cosx2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cosx2|≥cos2x2=12(1+cos2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。
§2广义积分的收敛判别法ppt课件
令t, 可见广义 ag积 (x)dx分 必发 . 散
说明: 已知
a
1 xp
dx
收,敛 p1 (a0)
发,散p1
故常 g(x取 )xA p(A0)作比较 ,得函 下列比数 较判别法.
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定理4. (比较判别法 1) 设非负 f(x)函 C[a数 ,)
(a0).
1) 若存在常 M数 0, p1, 使对充分大的x有
§2 广义积分的收敛判别法
无穷限的广义积分 广义积分
无界函数的广义积分
一、无穷限广义积分的收敛判别法 二、无界函数广义积分的收敛判别法
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一、无穷限广义积分的收敛判别法
定理1. 设 f ( x ) C [ a , ) , 且 f ( x ) 0 ,若函数
x
F(x)a f (t)dt
思考题:
讨论广义积分
13
1 dx的收敛性 x3 1
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
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定理5. (极限判别法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
f (x)
则af(x)dx收敛 ;
M xp
2) 若存在常 N数 0, p1, 使对充分大的 x有
f
(x)
N xp
则af(x)dx发散 .
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7
例1.
判别广义积分
广义积分的收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分⎰+∞adxx f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε , 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adxx f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞a dx x f )(收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A Adx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
广义积分收敛判别口诀
本节阐述广义积分收敛原理及判别法
1、正文
1.1广义积分收敛原理
无穷限积分收敛原理
1处：这里采用的是柯西收敛原理，而我们知道柯西收敛原理和语言的极限定义是等价的。
因为只是判定积分是否收敛，那么用柯西收敛原理是更好的。
无穷限积分的比较判别法
无穷限积分判别法的重点是找到满足条件的。
绝对收敛可推出条件收敛，但反之不然。
条件发散可推出绝对发散，但反之不然。
注记
1处：无穷下限的积分，我初步尝试了一下，发现和无穷上限的积分收敛原理和比较判别法是一样的。
2处：双无穷限的积分不难，就是判断无穷下限的积分和无穷上限的积分是否同时收敛。
瑕积分收敛原理
注意这个指的是点的左开区间。
瑕积分收敛的比较判别法
绝对收敛可推出条件收敛，但反之不然。
条件发散可推出绝对发散，但反之不然。
注记
1.左端点的无界积分的收敛原理和比较判别法是类似的。
2.对于区间中有一瑕点的无界积分，其要义是判定区间和的无界积分是否同时成立。
注意！
无论是无穷限积分还是无界积分，都要求它们的子闭区间是黎曼可积的。
1.2广义积分收敛判别法
无穷限积分收敛判别法的比较形式。
广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算， 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值。
对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f （x )在[a ， +∞ )上的广义积分⎰+∞adxx f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '〉A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )(（b 为瑕点）, 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理)设函数f (x )在［a ,b )上有定义，在其任何闭子区间［a ， b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε , 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9。
5如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛（也称f （x ）在[a ,+)∞上绝对可积］; 如⎰+∞adx x f )(收敛而非绝对收敛,则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f （x )在[a ，+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有 |)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A Adx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子.对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：定理9。
广义积分敛散性对数判别法的两点注记
广义积分敛散性对数判别法的两点注记
1. 广义积分敛散性对数判别法：
广义积分敛散性对数判别是一种基于信息理论的机器学习方法，是一种用于判断给定数据是否从已知分布中取样的方法，其中包括克鲁格曼和霍夫曼熵。
它是一种基于最大似然估计法来比较观察到的数据分布和假设分布之间的相对对比度的有效方法。
它可以在无参数选择空间中根据当前数据的特性来构建最优参数，以使估计的参数接近真实的分布参数。
2. 注记：
（1）广义积分敛散性对数判别法是一种数据分析方法，能够比较不同分布间的对比度，用于判断给定数据是否从已知分布中取样。
（2）广义积分敛散性对数判别法是基于最大似然估计法和参数选择空间的方法，以便于使估计参数接近真实的分布参数。
广义积分判别法 -回复
广义积分判别法 -回复广义积分判别法是用来判断广义积分是否收敛的一种方法。
广义积分判别法可以分为比较判别法、比值判别法和根值判别法等几种形式。
比较判别法是通过比较被积函数与已知函数的大小关系来判断广义积分的敛散性。
比值判别法是通过取被积函数与已知函数的比值来判断广义积分的敛散性。
根值判别法是通过取被积函数的根式来判断广义积分的敛散性。
广义积分判别法在解决一些特定类型的广义积分问题时十分有用。
比较判别法常用于判断具有正负变号的被积函数的敛散性。
比值判别法常用于判断具有指数函数或幂函数的被积函数的敛散性。
根值判别法常用于判断具有根式函数的被积函数的敛散性。
广义积分判别法的应用范围广泛，可以解决许多复杂的积分问题。
对于比较判别法，如果被积函数与已知函数具有相同的收敛性质，则广义积分收敛。
对于比值判别法，如果比值极限存在且小于1，则广义积分收敛。
对于根值判别法，如果根式极限存在且大于1，则广义积分发散。
广义积分判别法的应用需要进行一系列的数学推导和计算过程。
在使用广义积分判别法时，需要注意函数的特性以及判别法的适用范围。
广义积分判别法是分析广义积分敛散性的重要工具之一。
广义积分判别法在数学分析、物理学和工程学等领域中都有广泛应用。
对于特殊函数，如常见的指数函数、对数函数和三角函数等，广义积分判别法也有特殊的运用方法。
广义积分判别法的准确性和可靠性得到了广泛的认可。
广义积分判别法的提出和理论研究对数学领域的发展起到了积极的推动作用。
借助广义积分判别法，我们能够更好地理解和解决复杂的积分问题。
广义积分判别法的研究还在不断深入，为解决更加复杂的问题奠定了基础。
广义积分判别法的深入研究对于提高数学分析的水平具有重要意义。
广义积分敛散性的一个判别法：“0”收敛法
广义积分敛散性的一个判别法：“0”收敛法
王敬有
【期刊名称】《天津商学院学报》
【年(卷),期】1992(012)001
【摘要】广义积分包括两大类。
一类是积分区间无穷型的广义积分,如∫0∞f（x）dx,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分,如∫0∞f（x）dx （（?）（x）=∞）。
传统的判别法是对第一类广义积分先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,用此极限去判定原积分是否收敛。
如当（?）F（b）存在时则∫0∞f（x）dx收敛,否则发散。
对第二类广义积分则是先将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理、待求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否存在,从而判断此广义积分是否收敛,如:当（?）F （α+ε）存在时则∫0∞（x）dx收敛,否则发散。
【总页数】3页(P73-75)
【作者】王敬有
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.正函数广义积分敛散性的判别法的推广 [J], 杨青
2.试论级数敛散性的判别法在广义积分中的推广 [J], 董振华
3.广义积分敛散性对数判别法的两点注记 [J], 梁峰
4.柯西判别法在广义积分敛散性中的运用 [J], 余小飞;郭洪林;
5.柯西判别法在广义积分敛散性中的运用 [J], 余小飞 ;郭洪林
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广义积分敛散性判别方法探讨
广义积分敛散性判别方法探讨引言在数学初学者学习积分的过程中，会接触到定积分及广义积分的概念。
定积分的计算可以通过积分公式和分部积分法等一系列方法进行求解，但广义积分的计算相对困难，必须先判断其敛散性，然后才能定量计算。
因此，本文将探讨广义积分敛散性判别方法，让读者更好地理解和掌握这一知识点。
广义积分概述广义积分是指被积函数在积分区间上具有无限变化或在有限变化之外的点具有间断、奇异等性质的积分。
它与定积分相比，可以扩展进行积分的范围。
常用的广义积分可以分为以下两类：第一类广义积分第一类广义积分的被积函数在积分区间的某一端点或两个端点附近有无穷大的极限值或具有无限间断点。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{1}{x^2}dx$和$\\displaystyle\\int_{1}^{2}\\frac{1}{(x-1)^{1/2}}dx$都属于第一类广义积分。
第二类广义积分第二类广义积分的积分区间是无限的，在无穷远处或在某一点处可能有无限大的变化。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}e^{-x}dx$和$\\displaystyle\\int_{0}^{1}\\frac{1}{x^{1/2}}dx$都属于第二类广义积分。
敛散性判别方法广义积分在计算时必须先判断其敛散性，只有在敛的情况下才能对其进行求解。
下面是判别广义积分敛散性的常用方法。
第一类广义积分的敛散性判别方法一、比较判别法如果存在两个广义积分：$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$和$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$且满足：$\\forall x>a,\\ f(x)\\ge g(x)\\ge 0$则有：1.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$收敛，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$收敛；2.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$发散，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$发散。
广义积分判别法
广义积分判别法广义积分判别法是微积分中一个重要的概念和方法，用于判断广义积分的收敛性和发散性。
本文将介绍广义积分判别法的基本原理和应用，并通过实例详细说明其具体操作方法。
一、广义积分的定义在微积分中，广义积分是对某些函数进行积分运算的一种扩展形式。
对于连续函数，我们可以直接使用定积分进行求解，但对于一些特殊的函数情况，定积分无法直接求解。
此时，我们需要引入广义积分的概念。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的广义积分，可以表示为：∫f(x)dx = lim┬(t→b⁺) ∫┬(a)f(x)dx其中，a为积分下限，b为积分上限，t为一个逼近b的数列。
如果该极限存在且有限，则称广义积分收敛；如果该极限不存在或为无穷大，则称广义积分发散。
二、收敛性的判别方法1. 基本性质判别法若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且0≤f(x)≤g(x)，其中g(x)在[a,b]上连续，且∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫g(x)dx发散，则∫f(x)dx发散。
2. 比较判别法设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，且0≤f(x)≤g(x)，若∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫f(x)dx发散，则∫g(x)dx 发散。
3. 极限判别法设函数f(x)在区间[a,b)上连续，若存在正数M>0和正数p>1，使得当x→b-时，|f(x)|≤M/(|x-b|ᵖ)，则∫f(x)dx收敛；若对于任意正数M>0和正数p>1，当x→b-时，|f(x)|>M/(|x-b|ᵖ)，则∫f(x)dx发散。
4. 绝对收敛和条件收敛若∫|f(x)|dx收敛，则称广义积分∫f(x)dx绝对收敛；若∫|f(x)|dx发散，但∫f(x)dx收敛，则称广义积分∫f(x)d x条件收敛。
三、实例分析下面通过几个实例来说明广义积分判别法的具体应用。
实例1：判断广义积分的收敛性考虑广义积分∫┬(1)(x⁻²-1)dx，我们可以使用比较判别法来判断其收敛性。
广义积分地收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分⎰+∞adxx f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε , 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果广义积分⎰+∞adx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞a dxx f )(收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有 |)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A Adx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞a dxx f )(必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
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分大时, 必有 x p f (x) l , 即
0
f
(x)
M xp
可见 a
f
(x)
d
x收敛 ;
(M l )
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当 p 1时, 可取 0, 使 l 0, (l 时用任意正
数 N 代替 l ), 必有 x p f (x) l
即
f
(
x)
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在 ,
即反常积分 a
f
( x) d
x 收敛
.
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C[a , ),且对充 分大的x 有 0 f (x) g(x) , 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
f
(x) dx 发散
a
f
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1) 若 f (x) C[a ,),且 f (x) 0,
满足
lim x p f (x) l
x
则有:
1) 当 p 1,0 l
时 a
f (x) d x收敛 ;
2)
当
p
1,0
l
时 a
f
(x)
d
x
发散 .
证: 当p 1时, 根据极限定义 , 对取定的 0, 当 x 充
则反常积分 a
f
( x) d
x 收敛 .
证：令
(
x)
1 2
[
f
(
x)
f (x) ], 则 0 (x)
f (x)
a
f（x）d x收敛 ,
a
(
x)
d
x
也收敛
,
而
f (x) 2 (x) f (x)
f (x)d x 2
(x)d x
a
a
a
f (x) d x
可见反常积分
a
f
( x) d
x
一元函数积分学
第一讲 反常积分的审敛法 函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法
二、无界函数反常积分的审敛法
一、无穷限广义积分
定义1. 设 f (x) C [a , ) , 取 b a , 若
b
lim f (x) dx
b a
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分,
N xp
则
a
f
(x)
d
x
发散 .
例1.
判别反常积分
sin 2 x d x 的敛散性 . 1 3 x4 1
解:
0 sin2 x 3 x4 1
1 3 x4
1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题: 讨论反常积分
13
1 x3
1
d
x
的敛散性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3 x3 1 3 (x 1)3 x 1
t a
a
f (x)dx
极限存在
,
即反常积分
a
f
(x) dx收敛.
若 a
f
( x) dx
发散 ,
因为
t
a
时有
t
t
0 a f (x)dx a g(x)dx
令
t
,
可见反常积分
a
g
(
x)
d x 必发散
.
说明: 已知
a
1 xp
dx
收敛 , 发散 ,
p 1 p 1
(a 0)
故常取 g(x)
A xp
收敛 .
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定义.
设反常积分
a
f
( x) d
x
收敛 ,
若 a
f (x)
dx
收敛
,
则称
a
f
( x) dx
绝对收敛
;
若 a
f
(x)
dx
发散 ,
则称
a
f
( x) dx
条件收敛
.
例4. 判断反常积分 eax sin bx dx (a,b为常数 , a 0) 0
的敛散性 .
l
xp
N x
(N l )
可见 a
f
(x)
d
x 发散.
注意:
lim
x
xp
f
(x)
lim
x
f
(x)
1
此极限的大小刻画了
xp
x 时 f (x) 趋于 0 的快慢程度.
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d x
例2. 判别反常积分1 x 1 x2 的敛散性 .
解: lim x2 1 lim 1 1
记作
b
a
f (x) dx lim f (x) dx b a
这时称广义积分
a
f
(x) dx收敛
; 如果上述极限不存在,
就称广义积分 f (x) dx 发散 . a
注：f(x)非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积
b
2. 无穷限广义积分的计算 a
f (x) dx lim f (x) dx
(A
0) 作比较函数 ,
得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)设非负函数 f (x) C[a , )
(a 0).
1) 若存在常数 M 0, p 1, 使对充分大的 x 有
则
a
f
(x)
d
f (x) x收敛 ;
M xp
2) 若存在常数 N 0, p 1, 使对充分大的x 有
f
(x)
(x) dx收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性 , 设 x [a, )时,0 f (x) g(x)
若 g(x) dx收敛 , 则对 t a 有
a
t
t
a f (x) dx a g(x) dx a g(x) dx
故
t a
f
(x)dx 是
t
的单调递增有上界函数
,
因此
t
lim f (x) dx
b a
若 F (x) 是 f (x)的原函数 , 引入记号
F () lim F ( x) ; F () lim F ( x)
x
x
则有类似N – L公式的计算表达式 :
a
f (x)dx F(x) a
F () F (a)
b
f
( x) dx
F ( x)
b
F (b) F ()
f
( x) dx
解: 因 eax sin bx eax , 而 eax dx 收敛 , 根据比 0
较审敛原理知 eax sin bx dx 收敛 , 故由定理5知所 a
给积分收敛 (绝对收敛) .
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(2013)
二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如
F ( x)
F () F ()
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 设 f (x) C[a , ),且 f (x) 0, 若函数
x
F (x) a f (t) d t
在[a, )上有上界 ,
则反常积分 a
f
(x) d x收敛.
证: f (x) 0, F (x) 在[a, )上单调递增有上界,
x
x 1 x2
x
1 x2
1
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
3
例3. 判别反常积分
x2 1 1 x2
dx
的敛散性
.
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2
lim
x
1
x
2
x
2
1
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
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定理5.若
f
(
x)
C
[a
,
)
,
且
a
f（x）d x收敛 ,