2017-2018学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一(上)期末数学试卷及答案

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2017-2018学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数

学试卷

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．（5分）已知R为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，则∁R A＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3]C．（﹣3，1）D．[﹣3，1]

2．（5分）直线x+y+1＝0的倾斜角是（）

A．B．C．D．

3．（5分）下列命题中错误的是（）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

4．（5分）过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4＝0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1＝0B．3x+2y+7＝0C．2x﹣3y+5＝0D．2x﹣3y+8＝0 5．（5分）一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．5

6．（5分）由直线y＝x+1上的一点向圆x2﹣6x+y2+8＝0引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．2C．D．3

7．（5分）下列函数中，既在定义域上是增函数且图象又关于原点对称的是（）A．y＝﹣B．y＝lg（﹣1）

C．y＝2x D．y＝2x+2﹣x

8．（5分）设a＝log3，b＝（）0.2，c＝2，则（）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c

9．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；

②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；

③若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．

④若m∥α，α⊥β，则m⊥β．

其中真命题的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

10．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝AB＝4，DA⊥平面ABC，E是BD的中点．若此三棱锥的体积为，则异面直线AE与DC所成角的大小为（）

A．90°B．60°C．45°D．30°

11．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2＝1，则的取值范围是（）A．B．

C．D．

12．（5分）已知f（x）＝，则函数y＝2f2（x）﹣3f（x）+1的零点的个数为（）个．

A．3B．4C．5D．6

二、填空题（每小题5分，共10分）

13．（5分）已知函数为奇函数，则实数a＝．

14．（5分）在平面直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心且与直线（3m+2）x+（m﹣1）y ﹣5（m+1）＝0，（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．

三、解答题（每小题10分，共30分）

15．（10分）已知函数f（x）＝x|m﹣x|（x∈R），且f（4）＝0．

（1）求实数m的值；

（2）作出函数f（x）的图象；

（3）根据图象指出f（x）的单调递减区间；

（4）若方程f（x）＝a只有一个实数根，求a的取值范围．

16．（10分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求证：AE∥平面BFD．

17．（10分）已知O为坐标原点，直线l的斜率为﹣，且与x轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交于B，三角形AOB面积等于6．

（1）求直线l的方程．

（2）设三角形AOB的重心为G，外心为M，内心为N，试求出它们的坐标，并判定这三点是否共线．

18．（10分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于．

19．（10分）方程lg（﹣x2+3x﹣m）﹣lg（3﹣x）＝0在（0，3）上有唯一解，则实数m的取值范围为．

20．（10分）已知圆C与y轴相切于点A（0，1），且被x轴所截得的弦长为2，圆心C 在第一象限．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若点P是直线l：2x+y+5＝0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，当△PBC 的面积最小时，求切线PB的方程．

21．（10分）如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到，其中P、C为原正方体的顶点，E、F为原正方体侧棱的中点，正方形ABCD为原正方体的底面．

（1）求证：EF⊥平面APC；

（2）在棱BC上存在点G，使三棱锥E﹣FBG的体积恰为几何体ABEP﹣CDF的体积的若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

22．（10分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且当x≥1时，f（x）＝lg（x+）．

（1）若lg9＝t，求f（﹣1）的值（用t表示）．

（2）解不等式f（2﹣2x）＜f（x+3）．

（3）若关于x的方程f（x）＝lg（+2a）在（1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

2017-2018学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．（5分）已知R为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，则∁R A＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3]C．（﹣3，1）D．[﹣3，1]

【分析】先求出集合A，再由补集定义能求出∁R A．

【解答】解：∵R为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}＝{x|x≥3或x≤﹣1}，

∴∁R A＝{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3）．

故选：A．

【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．

2．（5分）直线x+y+1＝0的倾斜角是（）

A．B．C．D．

【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．

【解答】解：直线x+y+1＝0的斜率k＝﹣1，

∴直线x+y+1＝0的倾斜角α＝．

故选：C．

【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．