数学建模 传染病模型
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传染病模型
医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病,但是仍然有一些传染病暴发或流行,危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播,而最直接的因素是:传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类:S类,易感者(Susceptible),指未得病者,但缺乏免疫能力,与感染者接触后容易受到感染;I类,感病者(Infective),指染上传染病的人,它可以传播给S类成员;R类,移出者(Removal),指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
问题提出
请建立传染病模型,并分析被传染的人数与哪些因素有关?如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时,被传染的人数大致不变?
关键字:传染病模型、建模、流行病
摘要:随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展,诸如霍
乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球,至今带来极大的危害。还有最近的SARS病毒和禽流感病毒,都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来,建立制止传染病蔓延的手段等,一直是各国有关专家和官员关注的课题。
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点,弄清这些特点需要相当多的病理知识,这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播,而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。
模型1
在这个最简单的模型中,设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数,
方程(1)的解为
结果表明,随着t的增加,病人人数x(t)无限增长,这显然是不符合实际的。
建模失败的原因在于:在病人有效接触的人群中,有健康人也有病人,而其中只有健康人才可以被传染为病人,所以在改进的模型中必须区别健康人和病人这两种人。
模型2 SI模型
假设条件为
1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,即不考虑生死,也不考虑迁移。人群分为易感染者即健康人(Susceptible)(S)和已感染者即病人(Infective)(i)两类(取两个词的第一个字母,称之为SI模型),以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。
2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ,称为日接触率。当病人与健康者接触时,使健康者受感染变为病人。
方程(5)是Logistic 模型。它的解为
这时病人增加的最快,可以认为是医院的门诊量最大的一天,意味着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门应该关注的时刻。
况。
,这显然不符合实际情将被传染,全变为病人即所有人终时到来。第二,当可以推迟传染病高潮的健设施、提高卫生水平以改善保越小卫生水平越高。所,表示该地区的卫生水平成反比,因为日接触率与,1→∞→i t t m λλλ其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈,人群中的健康者只能变成病人,病人不会再变成健康者。
模型3 SIS 模型
有些病毒人在感染并治愈之后,没有免疫性,即还有可能再被感染。
模型假设
在模型二假设条件的前提下我们再增加一个假设条件
3.病人每天治愈的比例为μ日治愈率。
μλσ=一个感染期内每个病人的有效接触人数
模型构成
于是有[]Ni(t)-t (t)i(t)i(t)-t)i(t N μλ∆=∆+Ns (8)
可得微分方程
i i(0) i -i)-(1==μλi dt di 0 (9) 得到[])1/-(1--di σλi i dt = (10)
模型 4 SIR 模型
大多数传染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以冰域的人即非易感者,也非感病者,因此他们将被移除传染系统,我们称之为移除者,记为R 类
SIR 模型是指易感染者被传染后变为感染住,感病者可以被治愈,并会产生免疫力,变为移除者。人员流动图为:S-I-R 。
假设:
1 总人数为常数N ,且i (t )+s (t )+r (t )=1;
2 .病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数λ,日治愈率(每天被治愈的病人占总病人数的比例)为常数μ,显然平均传染期为1/μ,传染期接触数为σ=λ/μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距,这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。
3 单位时间内病愈免疫的人数与但是的病人人数成正比,比例系数l 。称为恢复系数。 在以上三个基本假设条件下,易感染者从患病到移出的过程框图表示如下:
模型结构
在假设1中显然有:
s(t) + i(t) + r(t) = 1 (1) 对于病愈免疫的移出者的数量应为
r t
d N Ni d μ= (2) 不妨设初始时刻的易感染者,染病者,恢复者的比例分别为0s (0s >0),0i (0i >0),0r =0. SIR 基础模型用微分方程组表示如下:
di dt ds dt
dr dt si i
si i λμλμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩
(3)
s(t) , i(t)的求解极度困难,在此我们先做数值计算来预估计s(t) , i(t)的一般变化规律。
数值计算
在方程(3)中设λ=1,μ=0.3,i (0)= 0.02,s (0)=0.98,用MATLAB 软件编程: function y=ill(t,x)
a=1;b=0.3;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];
ts=0:50;
x0=[0.20,0.98];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2))
pause
plot(x(:,2),x(:,1))
输出的简明计算结果列入表1。i(t) , s(t)的图形以下两个图形,i~s 图形称为相轨线,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t 的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t→∞,i→0,s(t)则单调减少,t→∞,s→0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般变化规律.