勾股定理的证明ppt
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探索勾股定理(公开课课件)
数学领域中的应用
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关， 它可以用于求解三角函数的值， 以及推导三角函数的性质和公式。
解析几何
在解析几何中，勾股定理可以用于 求解直线、圆和曲线的方程，以及 解决几何问题。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例如 在证明一些数学定理和猜想时，勾 股定理可以提供重要的思路和方法。
公式表示
勾股定理的公式可以表示为 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角 边，c是斜边。
勾股定理的重要性
01
几何学基础
勾股定理是几何学中的一个基础定理，它为解决与直角三角形相关的问
题提供了重要的工具。
02 03
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑、航海、航空等领域。 通过应用勾股定理，我们可以解决与直角三角形相关的问题，从而更好 地理解和设计各种实际结构。
数学发展史
勾股定理在数学发展史上具有重要地位。它的证明和推广对于数学的发 展起到了重要的推动作用，也激发了人们对数学研究的兴趣和热情。
02 勾股定理的起源与历史
CHAPTER
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派， 他们发现了音乐、政治、宇宙和数学之间的联系，并提出了 “万物皆数”的哲学思想。
CHAPTER
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理 ，则这个三角形是直角三角形。
逆定理的证明
假设三角形ABC的三边满足勾股定理， 即$a^2 + b^2 = c^2$，根据余弦定 理，有$cos C = frac{a^2 + b^2 c^2}{2ab} = 0$，因此角C是直角。
勾股定理公开课课件
（项明达证明） 项明达:清代数学家
勾股定理的证明
走 进 数 学 史
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则 a2 b2 c2
议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由： (1)在△ABC中,若a=3,b=4,则c=5 (2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,则c=5. (3)在Rt△ABC中，∠C=90° , 如果a=3，b=4,则c=5.
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图,一个长8 米,宽6 米的草地,需在相对角的
顶点间加一条小路,则小路的长为 ( )
C
A.8 米 B.9 米 C.10米 D.14米
化简得： a2 b2 c2
方法三：
c
b b-a c
a c
c
S正
c2
4
1 2
ab
(b
a)2
，
化简得： a2 b2 c2
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
勾股定理的证明
走 进 数 学 史
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则 a2 b2 c2
议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由： (1)在△ABC中,若a=3,b=4,则c=5 (2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,则c=5. (3)在Rt△ABC中，∠C=90° , 如果a=3，b=4,则c=5.
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图,一个长8 米,宽6 米的草地,需在相对角的
顶点间加一条小路,则小路的长为 ( )
C
A.8 米 B.9 米 C.10米 D.14米
化简得： a2 b2 c2
方法三：
c
b b-a c
a c
c
S正
c2
4
1 2
ab
(b
a)2
，
化简得： a2 b2 c2
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
勾股定理课件
希腊1955年为纪念毕 达哥拉斯学派发行的纪念 邮票。
读一读
勾股历史（ 勾股历史（二）
我国是最早了解勾股定理的国家之一。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角三角形， 将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾 等于三，股等于四，那么弦就等于五， 等于三，股等于四，那么弦就等于五，即 勾三、股四、弦五” “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国 古代著名的数学著作《周髀算经》 古代著名的数学著作《周髀算经》中。最 早是由三国时期的数学家赵爽在为《 早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀 算经》注解时给出的。 算经》注解时给出的。
读一读
图是在北京召开的2002年国际数学家大会 年国际数学家大会 图是在北京召开的 （TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”， － ）的会标，其图案正是“弦图” 它标志着中国古代的数学成就. 它标志着中国古代的数学成就
一.勾股定理
发 现
们 ， 我 们 也 来 观 察 下 面 的 案 ， 看 看 你 能 图
（一）对勾股定理内容的直接应用 1. 求下列图中字母所代表的正方形的面积
A 32 60
81 B 225 B=________ 225-81=144
A=________ 32+60=92
求出下列直角三角形中未知边的长度. 2. 求出下列直角三角形中未知边的长度.
y
6 8
x 5 13
132 − 52 = 144 =12 y=_____________________
年一个周末的傍晚， 在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在 年一个周末的傍晚 在美国首都华盛顿的郊外， 散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。 散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着 走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去， 时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去， 想搞清楚两个小孩到底在干什么。 想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着 一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？ 一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地 请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和 ， 说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 和4，那么斜边长为多 少呢？ 伽菲尔德答到： 小男孩又问道： 少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为 呀 5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到： 和 ，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？ 伽菲尔德不加思索地回答到： 那斜边的平方一定等于5的平方加上 的平方。 小男孩又说道： 先生， 的平方加上7的平方 “那斜边的平方一定等于 的平方加上 的平方。”小男孩又说道：“先生，你 能说出其中的道理吗？ 伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经 过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
新人教版《勾股定理的证明》完美课件下载
②甲、乙两组同时施工8天可以完成，需付装修费用3 520元，此时工期比甲组单独施工少4天，商店早开业4天可盈利4×200＝800(元)
．
②甲、乙两组同时施工8天可以完成，需付装修费用3 520元，此时工期比甲组单独施工少4天，商店早开业4天可盈利4×200＝800(元)
．
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC
一级基础巩固练
三级检测练
11．已知直角三角形的两条直角边的长分别为 1，2，
则斜边长为( D ) (2)如果学校计划购买足球和篮球共80个，总费用不超过4800元，那么最多能买多少个篮球？
为____________． ②甲、乙两组同时施工8天可以完成，需付装修费用3 520元，此时工期比甲组单独施工少4天，商店早开业4天可盈利4×200＝800(元)
新课学习
3．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2. 几何语言： ∵_在___R_t_△__A_B_C__中__，__∠__A_C__B_＝__9_0_°， ∴_a_2_＋__b_2_＝__c_2 ________________．
4．(例 1)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3， AC＝4，求 AB 的长．
当AD="1" /"3" "AE时,如图①,(-1+m)-(-1-m)=" "1" /"3" [(1+m)-(-1-m)],
＝1 ×4×4 3 (2)为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？ 2
＝8 3 ．
小结： (1)勾股定理只适用于直角三角形； (2)已知直角三角形两边，用勾股定理求出第三边； (3)勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；
勾股定理ppt课件
创设情境 数学是科技发展中最重要的学科，2002年全球最顶级数学家大 会在北京召开，大会会徽是：
赵爽弦图
数学文化 赵爽，名婴，字君卿，是我国三国时期杰出的数学家， 他在注解《周髀算经》时给出的这个图.
创设情境 请你观察这个图中有哪些基本几何图形？2002年的数学家大会为 什么用这个图作为会徽呢？
继续探究
1.如图，表格中左、右各有一组图，每组图中的三个正方形的面积分 别是多少，它们之间有什么关系？（设表格中每个小正方形面积为1）
C A
B
C A
B
继续探究 2.观察图形，请完成下面表格：
两个图中正 方形C的面积 如何求呢？
项目
左图 右图 A、B、C 面积关系
A的面积 4 16
B的面积 9 9
A
8
B 6
C
应用新知
例2 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形 B，D的边长分别是16，12，SE=625，S1=400，求正方形A、C的边长. 解：依题意，得SB=162=256，SD=122=144， ∵S1=SA+SB且S1=400， ∴SA=S1-SB=400-256=144， ∴正方形A的边长为 144 12， ∵SE=S1+S2且SE=625，S1=400， ∴S2=SE-S1=625-400=225， ∵S2=SC+SD，∴SC=S2-SD=225-144=81， ∴正方形C的边长 81 9 .
证明2： 如图，四个全等直角三角形拼成
如图所示的正方形，直角边为a、
b，斜边为c. S四个直角三角形面积和= 4 1 ab 2ab，
2
S四个直角三角形面积和=(a+b)2-c2
八下数学第十七章勾股定理全章课件
在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.
在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.
B′
∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，
解得x＝2.即AM＝2.
探究新知
方法点拨
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的
D
3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内
通过？为什么？
C 2m
解：如图，连接AC。 在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC AB2 BC2 12 22
AB
1m
5
5 2.236 2.2
∴木板可以从门框内通过。
巩固练习
如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方 向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距离
在Rt△AFD′中，AF2=D′F2+AD′2,
(8-x)2=x2+42， 解得x=3. ∴AF=AB-FB=8-3=5， ∴S△AFC= AF•BC=10．
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第 二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第 二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命 题.
A的面 B的面 C的面
积
积
积
C A
图1
9
9 18
B 图2-1
C A
B 图2-2
图2
4
48
A、B、C 面积关系
SA+SB=SC
直角三角形 两直角边的平方和 三边关系 等于斜边的平方
《勾股定理——勾股定理的逆定理》数学教学PPT课件(5篇)
判定一个三角形是直角三角形的方法
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
角：
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
再 见
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
古埃及人曾用下面的方法得到直角
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
∴ ∠C= 900
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题证明
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例1： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例题3：
如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90度求：绿地ABCD的面积。
C
B
A
D
24
20
15
7
25
例2：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
角：
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
再 见
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
古埃及人曾用下面的方法得到直角
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
∴ ∠C= 900
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题证明
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例1： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例题3：
如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90度求：绿地ABCD的面积。
C
B
A
D
24
20
15
7
25
例2：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。
小学奥数几何模型专项课件-勾股定理课件
总结归纳
总结归纳
直角三角形 三边关系
直接利用
进行构造
勾股定理
巩固提升
巩固提升
作业1：如图，每个直角三角形的一条直角边都是1厘米，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业2：7个正方形如图进行摆放，已知其中3个正方形的面积，求其余4个正方形的面积之和.
巩固提升
作业3：如图，直角三角形ABC中，已知AB=6厘米，BC=8厘米，且点O到三条边的距离相等，求 图中阴影部分的面积.
目 录
专题解析 例题讲授 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
勾股定理 勾股定理作为直角三角形中最为重要的一条定理，也是几何部分最重要的定理之一，其主要研究 的是直角三角形三条边的关系，即两直角边的平方和等于斜边平方. 基本要求 直角三角形，一定满足勾股定理；满足勾股定理的三角形一定是直角三角形.
S梯
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c 2；
S梯
1（a 2
b）2
ab
1 2
a2
1 2
b2；
则1 c2 1 a2 1 b2， 即a2 b2 c2 . 222
专题解析
勾股数 我们将满足勾股定理的三个数称之为一组勾股数，下面列出常见的一些.
3
4
5
6
8
10
9
12
15
12
16
20
…
…
…
例题讲授
例5：如图，正方形ABCD中，以CD为斜边作直角三角形CDE，已知CE=3，DE=5，求图中阴影部 分的面积.
例题讲授
练一练5：如图，长方形ABCD的长是16厘米，宽是12厘米，E为BC边上一点，过E点向AC、BD作 垂线，垂足分别是F、G，求EF+EG.
《17.1 勾股定理》课件(含习题)
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的 代数式表示CD
根据勾股定理， 利用AD作为“桥 梁”建立方程模 型求出x
B
DC
利用勾股定理求 出AD的长，再计 算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
a
c
b
二 勾股定理的验证
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三 角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
赵爽
b
a
c
b
a
a2 + b2
这种用拼图的验
=证勾c股2 定理的方
法叫做弦图法
c
a
b
证一证
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
当堂练习
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米
.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行
（ B ）A. 8米 B.10米
C.12米 D.14米
A
B
第1题图
《勾股定理》PPT课件
AC 2 6
1.在△ABC中，∠C=90°.
练 习
(1)若a=6，c=10，则b=
;
(2)若a=12，b=9，则c= (3)若c=25，b=15，则a=
; ;
2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。 C 3.如图，在△ABC中，C=90°，
CD为斜边AB上的高，你可以得 b 出哪些与边有关的结论？ A m h
c2
；
a c
c a
b a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
a
b
b c
b c
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 c2 +4•ab/2
a b
a
b
c
c
a
b
c
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
a
B D n
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD
证明：过A作AE⊥BC于E ∵AB=AC，∴BE=CE D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) B E C
a b
c
勾股定理的证明
证明方法3：赵爽弦图，动手拼图
勾股定理的证明
证明方法4：美国总统加菲尔德的证明方法
a b
第3课时 勾股定理的证明
第一章 勾股定理
美丽的勾股树
勾股定理
拼图游戏
勾股定理
印度婆什迦罗的证明
勾股定理
c b a
直接观察验证
勾股定理
a2
a2 c2 b2
勾股定理
青朱出入图
青出
青 入
青方
青 出
朱入 朱入
朱 朱 出 朱方 出
华罗庚
青入
青出勾股定理Fra bibliotek④⑤
b
c
a
③
①
②
无字证明
赵爽弦图
勾股定理
c
a
b
勾股定理 1876年4月1日，伽菲尔德在 《新英格兰教育日志》上发 表了他对勾股定理的这一证 法。 1881年，伽菲尔德就任美国 第20任总统。后来，人们为 了纪念他对勾股定理直观、 简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统证 法”。
毕达哥拉斯证明方法
勾股定理
勾股定理
美丽的勾股树
勾股定理
拼图游戏
勾股定理
印度婆什迦罗的证明
勾股定理
c b a
直接观察验证
勾股定理
a2
a2 c2 b2
勾股定理
青朱出入图
青出
青 入
青方
青 出
朱入 朱入
朱 朱 出 朱方 出
华罗庚
青入
青出勾股定理Fra bibliotek④⑤
b
c
a
③
①
②
无字证明
赵爽弦图
勾股定理
c
a
b
勾股定理 1876年4月1日，伽菲尔德在 《新英格兰教育日志》上发 表了他对勾股定理的这一证 法。 1881年，伽菲尔德就任美国 第20任总统。后来，人们为 了纪念他对勾股定理直观、 简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统证 法”。
毕达哥拉斯证明方法
勾股定理
勾股定理
勾股定理证明方法合集ppt课件
方法一：赵爽“弦图”
三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅 “勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证 明。
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正 是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。
ppt课件.
1
方法二：刘徽“青朱出入图”
约公元 263 年，三国时代魏国的数学家 刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用 “出入相补法”证明了勾股定理。
ppt课件.
4
方法五：达·芬奇的证明
达·芬奇，意大利人，欧洲文艺复兴时期的著名画家。主要作品 《自画像》《岩间圣母》《蒙娜丽莎》等
自画像
A
a
B
F
Oc Cb E
D
A1
图F11
B1
E1 C1 Ⅰ D1
Ⅰ Ⅰ
1、 在一张长方形的纸板上画 两个边长分别为a、b的正方形， 并连接BC、FE，设长度为c
2、沿ABCDEF剪下，得两个大小 相同的纸板Ⅰ、Ⅱ
股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后
来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就
把这一证法称为“总统”证法。
a
bc
ac
b
ppt课件.
8
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
Ⅱ
3、将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其 它的图形
图2
4、比较第一个和最后一个多边 形的面积，你能验证勾股定理吗？ 请试试
ppt课件.
5
方法六：五巧板“拼图”
a2 + b2 = c2
2
5 4
4
55
33
三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅 “勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证 明。
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正 是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。
ppt课件.
1
方法二：刘徽“青朱出入图”
约公元 263 年，三国时代魏国的数学家 刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用 “出入相补法”证明了勾股定理。
ppt课件.
4
方法五：达·芬奇的证明
达·芬奇，意大利人，欧洲文艺复兴时期的著名画家。主要作品 《自画像》《岩间圣母》《蒙娜丽莎》等
自画像
A
a
B
F
Oc Cb E
D
A1
图F11
B1
E1 C1 Ⅰ D1
Ⅰ Ⅰ
1、 在一张长方形的纸板上画 两个边长分别为a、b的正方形， 并连接BC、FE，设长度为c
2、沿ABCDEF剪下，得两个大小 相同的纸板Ⅰ、Ⅱ
股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后
来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就
把这一证法称为“总统”证法。
a
bc
ac
b
ppt课件.
8
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Ⅱ
3、将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其 它的图形
图2
4、比较第一个和最后一个多边 形的面积，你能验证勾股定理吗？ 请试试
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5
方法六：五巧板“拼图”
a2 + b2 = c2
2
5 4
4
55
33
勾股定理的证明比较全的证明方法PPT24页
勾股定理的证明比较全的证明方法
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、Байду номын сангаас律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、Байду номын сангаас律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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P 和意义（如课本 65）
2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬 了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A
G
B
E
C
F
D
1）本节课我们学习了什么? 勾股定理 2）利用勾股定理， 已知直角三角形
的某两边长，会根据条件求另一边
3）了解用面积法证明勾股定理
P 1、 69-70第1、2题
2、通过书籍和网络查阅有关资料，了解勾股定理的历史背景
4米
3米
应用举例
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了 解到每层楼高2米，消防队员取来7米长的 云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2 米，请问消防队能否进入三楼灭火?
解:如图,在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=6米 ,
BC=2米,则AB=
≈6.3
因为7米大于6.3米
所以消防队能进入三楼灭火
二 选择题：
“赵爽弦图’表现了我国古代人对数学 的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数 学的骄傲，因此，这个图案被选为2002年 在北京召开的国际数学家大会的会徽。
在西方，一般认为这个定理是毕达哥 拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达 哥拉斯定理。
一 填空题：
1) 在直角三角形中，两条直角边 分别为a,b, 斜边为c，则c2=_a_2+_b_2 2) 在RT△ABC中∠C=90°,
⑴如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ㎝ ，那么直角三角形的其它两边长是（ A ）
A 1， 3 B 1 ，3 C 1， 5 D 1 ,5
⑵如图，在RT△ABC中，∠C=90°, A
∠B=45°,AC=1,则AB=( C )
A 2, B 1, C 2, D 3C
B
⑶一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，
那么它的宽是（ B）
A 2 5㎝ B 5 ㎝ C 5 ㎝ D 5 ㎝
2
2
（4）、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿
着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速度
都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到
家，小红和小颖家的距离为 （ C ）
A、600米
B、800米
C、1000米
D、不能确定
常用的勾股数：3，4，5；
6，8，10；
5，12，13；
C
B
7，24，25。
勾股定理的各种表达式：
在RT△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C的对边分别为a 、b 、c ,则:
c22=a22+b22 a2=c2-b2 b2=c2-a2
c= a2 b2 a= c2 b2 b= c2 a2
大正方形的面积可以表示为 c2
；
也可以表示为 (b a)2 4 1 ab 2
c a
∵ c2=(b-a)2+4×½ab
b
=b2-2ab+a2+ 2ab
=a2+b2
c a
b
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为 4 ×½ab+c2
c a
活动1 欣赏图片 了解历史
1、你曾见过这个图案吗?
赵爽弦图
这个图案是3世纪我国汉代 的赵爽在注解《周髀算经》时 给出的，人们称之为“赵爽弦 图”
2、你听说过“勾股定理”吗？
如：勾三，股四，弦五
在我国古代，人们将直角三 角形中短的直角边叫做勾，长的 直角边叫做股，斜边叫做弦。
活动2、 探索勾股定理
16 36
探
索
B
勾
股 C的面积
定 （单位面积）
25 52
理
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
C Aa cb B NhomakorabeaSA+SB=SC探
SA=a2
索
勾
SC=
2
C
股
a2+b2=c2 定
理
长分别如为果a直,角b，三斜角边形长的为两c条，直那角么边探
c2=a2+b2.
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = 4 ×½ab+c2
a2+2ab+b2 = 2ab +c2
∴a2+b2=c2
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做 定理。
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，则
A
ａ2 +b2 =c2
索
勾a
c弦
勾 股
定
b股
理
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为a，b， 斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
⑴若a=4,b=3,则c=__5__
⑵若c=13,b=5,则a=__1_2_
⑶ 若 c=17,a=8,则b=__1_5_
（3 ） 等边三角形的边长为12， 则它的高为__6__3__
（4) 在直角三角形中,如果有两边 为3,4,那么另一边为___5_或___7__
勾股定理，想得再多一点
如图，受台风莫拉克影响，一棵树在离地面4 米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵 树折断前有多高？
数学家毕达哥拉斯的故事
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？
两直边的平方和等于斜边的平方
对于等腰直角三角形有这样的性质：两直边的平 方和等于斜边的平方
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？
A
图1-1 图1-2
C
C
B
A的面积 （单位面积）
9 16
A
B的面积 （单位面积）
2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬 了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A
G
B
E
C
F
D
1）本节课我们学习了什么? 勾股定理 2）利用勾股定理， 已知直角三角形
的某两边长，会根据条件求另一边
3）了解用面积法证明勾股定理
P 1、 69-70第1、2题
2、通过书籍和网络查阅有关资料，了解勾股定理的历史背景
4米
3米
应用举例
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了 解到每层楼高2米，消防队员取来7米长的 云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2 米，请问消防队能否进入三楼灭火?
解:如图,在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=6米 ,
BC=2米,则AB=
≈6.3
因为7米大于6.3米
所以消防队能进入三楼灭火
二 选择题：
“赵爽弦图’表现了我国古代人对数学 的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数 学的骄傲，因此，这个图案被选为2002年 在北京召开的国际数学家大会的会徽。
在西方，一般认为这个定理是毕达哥 拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达 哥拉斯定理。
一 填空题：
1) 在直角三角形中，两条直角边 分别为a,b, 斜边为c，则c2=_a_2+_b_2 2) 在RT△ABC中∠C=90°,
⑴如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ㎝ ，那么直角三角形的其它两边长是（ A ）
A 1， 3 B 1 ，3 C 1， 5 D 1 ,5
⑵如图，在RT△ABC中，∠C=90°, A
∠B=45°,AC=1,则AB=( C )
A 2, B 1, C 2, D 3C
B
⑶一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，
那么它的宽是（ B）
A 2 5㎝ B 5 ㎝ C 5 ㎝ D 5 ㎝
2
2
（4）、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿
着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速度
都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到
家，小红和小颖家的距离为 （ C ）
A、600米
B、800米
C、1000米
D、不能确定
常用的勾股数：3，4，5；
6，8，10；
5，12，13；
C
B
7，24，25。
勾股定理的各种表达式：
在RT△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C的对边分别为a 、b 、c ,则:
c22=a22+b22 a2=c2-b2 b2=c2-a2
c= a2 b2 a= c2 b2 b= c2 a2
大正方形的面积可以表示为 c2
；
也可以表示为 (b a)2 4 1 ab 2
c a
∵ c2=(b-a)2+4×½ab
b
=b2-2ab+a2+ 2ab
=a2+b2
c a
b
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为 4 ×½ab+c2
c a
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1、你曾见过这个图案吗?
赵爽弦图
这个图案是3世纪我国汉代 的赵爽在注解《周髀算经》时 给出的，人们称之为“赵爽弦 图”
2、你听说过“勾股定理”吗？
如：勾三，股四，弦五
在我国古代，人们将直角三 角形中短的直角边叫做勾，长的 直角边叫做股，斜边叫做弦。
活动2、 探索勾股定理
16 36
探
索
B
勾
股 C的面积
定 （单位面积）
25 52
理
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
C Aa cb B NhomakorabeaSA+SB=SC探
SA=a2
索
勾
SC=
2
C
股
a2+b2=c2 定
理
长分别如为果a直,角b，三斜角边形长的为两c条，直那角么边探
c2=a2+b2.
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = 4 ×½ab+c2
a2+2ab+b2 = 2ab +c2
∴a2+b2=c2
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做 定理。
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，则
A
ａ2 +b2 =c2
索
勾a
c弦
勾 股
定
b股
理
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为a，b， 斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
⑴若a=4,b=3,则c=__5__
⑵若c=13,b=5,则a=__1_2_
⑶ 若 c=17,a=8,则b=__1_5_
（3 ） 等边三角形的边长为12， 则它的高为__6__3__
（4) 在直角三角形中,如果有两边 为3,4,那么另一边为___5_或___7__
勾股定理，想得再多一点
如图，受台风莫拉克影响，一棵树在离地面4 米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵 树折断前有多高？
数学家毕达哥拉斯的故事
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？
两直边的平方和等于斜边的平方
对于等腰直角三角形有这样的性质：两直边的平 方和等于斜边的平方
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？
A
图1-1 图1-2
C
C
B
A的面积 （单位面积）
9 16
A
B的面积 （单位面积）